AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે રેખા $x+y=4$ પરનું બિંદુ $(\alpha, 4-\alpha)$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુથી રેખા $4x+3y-10=0$ નું લંબ અંતર $1$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left|\frac{4\alpha+3(4-\alpha)-10}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{4\alpha+12-3\alpha-10}{5}\right|=1$.
$|\alpha+2|=5$.
આથી $\alpha+2=5$ અથવા $\alpha+2=-5$.
તેથી,$\alpha=3$ અથવા $\alpha=-7$.
$\alpha=3$ માટે,બિંદુ $(3, 1)$ મળે છે.
$\alpha=-7$ માટે,બિંદુ $(-7, 11)$ મળે છે.
બિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-7-3)^2+(11-1)^2}$ છે.
$d=\sqrt{(-10)^2+(10)^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $L_1: \sqrt{3} x-y+2=0$ અને $L_2: \sqrt{3} x+y-2=0$.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $A(0,2)$ છે.
$P$ એ $L_1$ અથવા $L_2$ પર એવી રીતે છે કે જેથી $AP=5$ થાય.
$L_1$ નો ઢાળ $\sqrt{3}$ છે,તેથી $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $P$ માંથી $y$-અક્ષ પર દોરેલો લંબપાદ છે.
$\triangle PAQ$ માં,$AQ = AP \cos 30^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$.
$P$ નો $y$-યામ $y_P = y_A + AQ = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ છે.
$y$-અક્ષ પરનો લંબપાદ $Q$ એ $(0, y_P)$ છે.
$(0,0)$ થી $Q$ નું અંતર $|y_P| = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ થાય.

(C) $P(1,1)$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખાનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) = 0$ લો,જે $ax + by - (a+b) = 0$ માં પરિણમે છે.
રેખા $ax + by - (a+b) = 0$ થી $A(2,0)$ અને $B(0,2)$ ના અંતરોનો બૈજિક સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{a(2) + b(0) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a(0) + b(2) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{2a - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{2b - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b - a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b + b - a}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0$.
આમ,$P(1,1)$ માંથી પસાર થતી તમામ રેખાઓ માટે $d = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(2,4)$ માંથી રેખા $x+y-1=0$ પરના લંબનો લંબપાદ $B(h,k)$ છે.
લંબપાદ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{h-2}{1} = \frac{k-4}{1} = -\frac{2+4-1}{1^2+1^2} = -\frac{5}{2}$
આથી:
$h-2 = -\frac{5}{2} \Rightarrow h = -\frac{1}{2}$
$k-4 = -\frac{5}{2} \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
તેથી લંબપાદ $B(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ છે.
રેખા $(0,0)$ અને $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{3}{2}-0}{-\frac{1}{2}-0} = -3$.
રેખાનું સમીકરણ $y = -3x$ થાય.

(B) બિંદુ $(x, y, z)$ નું $X, Y, Z$-અક્ષોથી અંતર $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$,$d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$,અને $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ માટે:
$d_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \implies d_1^2 = 13$.
$d_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \implies d_2^2 = 10$.
$d_3 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \implies d_3^2 = 5$.
હવે,$2 d_2^2 + d_3^2 + 1$ ની ગણતરી કરતા:
$2(10) + 5 + 1 = 26$.
$d_1^2 = 13$ હોવાથી,$26 = 2 \times 13 = 2 d_1^2$.

(D) આપેલ છે કે $P=(3,12,4)$ અને $O=(0,0,0)$.
અંતર $OP = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
$Q$ એ $OP$ પર હોવાથી અને $OQ=3$ હોવાથી,$Q$ એ $OP$ નું $3 : 10$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ $\left( \frac{9}{13}, \frac{36}{13}, \frac{12}{13} \right)$ મળે છે.
યામોનો સરવાળો $= \frac{9+36+12}{13} = \frac{57}{13}$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$.
રેખાઓ $x$-અક્ષ પર છેદતી હોવાથી,$x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y=0$ મૂકતા:
$a x^2+2 g x+c=0$.
રેખાઓ $x$-અક્ષ પરના બિંદુએ છેદે તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણના વિવેચક $D=0$ હોવો જોઈએ:
$(2 g)^2 - 4(a)(c) = 0$ $\Rightarrow 4 g^2 = 4 a c$ $\Rightarrow g^2 = a c$.
દ્વિઘાત સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત:
$a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2=0$.
$g^2=a c$ મૂકતા:
$a b c+2 f g h-a f^2-b(a c)-c h^2=0$
$a b c+2 f g h-a f^2-a b c-c h^2=0$
$2 f g h = a f^2 + c h^2$.
આમ,$a b c = 2 f g h$ સામાન્ય રીતે સાચું નથી.

(B) રેખાઓની જોડીનું વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે. આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા $A=9, H=a/2, B=4, G=3, F=b/2, C=-3$ મળે.
સમાંતર રેખાઓ માટે $H^2 = AB$ હોવાથી,$(a/2)^2 = 9 \times 4 = 36$,તેથી $a^2 = 144$ એટલે કે $a = \pm 12$.
વળી,સમાંતર રેખાઓ માટે $af^2 = bg^2$ શરત મુજબ,$9(b/2)^2 = 4(3)^2$ $\Rightarrow 9(b^2/4) = 36$ $\Rightarrow b^2 = 16$ એટલે કે $b = \pm 4$.
$a=12, b=4$ લેતા સમીકરણ $(3x + 2y)^2 + 2(3x + 2y) - 3 = 0$ બને છે,જે બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે સામાન્ય રેખાનો ઢાળ $m$ છે. અન્ય બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ માટે,$m + m_1 = -a/3$ અને $m \cdot m_1 = 2/3$.
$2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ માટે,$m + m_2 = b/3$ અને $m \cdot m_2 = -2/3$.
અન્ય બે રેખાઓ લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
આથી $m^2 = 4/9$,એટલે કે $m = \pm 2/3$.
જો $m = 2/3$ હોય,તો $a = -5$ અને $b = -1$.
જો $m = -2/3$ હોય,તો $a = 5$ અને $b = 1$.
આમ,$(a, b)$ ની કિંમત $(5, 1)$ છે.

(C) બે આપેલી રેખાઓ સાથે સમદ્રિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતી રેખાઓની શ્રેણી તે બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને સમાંતર હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $L_1: 3x - 4y - 2 = 0$ અને $L_2: 12x - 5y + 6 = 0$ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો શોધીએ.
દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{3x - 4y - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{3x - 4y - 2}{5} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{13}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા:
$13(3x - 4y - 2) = -5(12x - 5y + 6)$
$39x - 52y - 26 = -60x + 25y - 30$
$99x - 77y + 4 = 0$.
$11$ વડે ભાગતા,આપણને $9x - 7y + \frac{4}{11} = 0$ મળે છે.
આમ,આ દ્વિભાજકને સમાંતર રેખાઓની શ્રેણી $9x - 7y + c = 0$ છે.

(B) રેખાઓની પ્રથમ જોડીના અવયવ પાડતા:
$6x^2 - xy - 12y^2 = 6x^2 - 9xy + 8xy - 12y^2 = 3x(2x - 3y) + 4y(2x - 3y) = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$
રેખાઓની બીજી જોડીના અવયવ પાડતા:
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = 15x^2 + 20xy - 6xy - 8y^2 = 5x(3x + 4y) - 2y(3x + 4y) = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$
સામાન્ય રેખા $3x + 4y = 0$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
$(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -\frac{3}{4}(x + 1)$
$4y - 4 = -3x - 3$
$3x + 4y - 1 = 0$

(C) આપેલા સમીકરણો $x^2+5x-6=0$ અને $y^2-8y-20=0$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^2+6x-x-6=0$ $\Rightarrow (x+6)(x-1)=0$ $\Rightarrow x_1=-6, x_2=1$.
$y$ માટે ઉકેલતા:
$y^2-10y+2y-20=0$ $\Rightarrow (y-10)(y+2)=0$ $\Rightarrow y_1=10, y_2=-2$.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(-6, 10), (1, 10), (1, -2), (-6, -2)$ છે.
વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,જેમ કે $(-6, 10)$ અને $(1, -2)$.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-6+1}{2}, \frac{10-2}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{-5}{2}, 4\right)$.

(A) સમીકરણ $x^2-4xy+y^2=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=-2, b=1$ મળે છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right| = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2-(1)(1)}}{1+1} \right| = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = 60^\circ$.
ત્રીજી રેખા $x+y+4\sqrt{6}=0$ છે,જેનો ઢાળ $-1$ છે,એટલે કે તે $x$-અક્ષ સાથે $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા $60^\circ$ છે,તેથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a=3$,$2h=5$,અને $b=4$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{xy}{5/2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{5}$ થાય છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2-y^2 = -\frac{2}{5}xy$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2-y^2+\frac{2}{5}xy=0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$P$ અને $Q$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,જેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(3, 7)$ અને $C(7, 15)$ છે.
$P$ ના યામ = $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2, 5)$.
$Q$ ના યામ = $\left(\frac{3+7}{2}, \frac{7+15}{2}\right) = (5, 11)$.
ધારો કે $R$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ શરત $AC^2 + QR^2 = PR^2$ છે,જેનો અર્થ $PR^2 - QR^2 = AC^2$ થાય છે.
$AC^2 = (7-1)^2 + (15-3)^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$.
$PR^2 - QR^2 = [(x-2)^2 + (y-5)^2] - [(x-5)^2 + (y-11)^2] = 180$.
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) - (x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) = 180$.
$(6x + 12y - 117) = 180$.
$6x + 12y = 297$.

(B) આપેલ રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ છે.
યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે અનુક્રમે $y = 0$ અને $x = 0$ લઈએ.
$y = 0$ માટે,$x = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી બિંદુ $A = (\frac{1}{\cos \theta}, 0)$.
$x = 0$ માટે,$y = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી બિંદુ $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{1}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2h}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2 = 1$ મળે.
$\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = 4$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $BP^2 - AP^2 = 121$.
બિંદુઓ $A(2, 5)$ અને $B(5, 11)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$((x - 5)^2 + (y - 11)^2) - ((x - 2)^2 + (y - 5)^2) = 121$
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) - (x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = 121$
$(x^2 + y^2 - 10x - 22y + 146) - (x^2 + y^2 - 4x - 10y + 29) = 121$
$-6x - 12y + 117 = 121$
$-6x - 12y = 4$
$12y = -6x - 4$
$y = -\frac{6}{12}x - \frac{4}{12}$
$y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy-4x-4y+16=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$x(y-4)-4(y-4)=0$,જેનો અર્થ છે $(x-4)(y-4)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x=4$ અને $L_2: y=4$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y=5$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$A = L_1 \cap L_2 = (4, 4)$
$B = L_1 \cap L_3 = (4, 1)$
$C = L_2 \cap L_3 = (1, 4)$
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = 3$
$a = BC = 3\sqrt{2}$
$b = CA = 3$
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y) = \left(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(4) + 3(1)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
$y = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(1) + 3(4)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
તેથી $x=y$,એટલે કે અંતઃકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x-y=0$ છે.

(A) ધારો કે $A = (-1, 0)$ અને $B = (0, 2)$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{PA}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{PA^2}{PB^2} = 2$.
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-0)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$.
ગુણોત્તરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 + y^2 - 4y + 4)$.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 8y + 8$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = -7 + 1 + 16$.
$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 10$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b)$ થાય.
આંતરછેદ સ્વરૂપમાં ચલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આ રેખા $(l, m)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{l}{a} + \frac{m}{b} = 1$ મળે.
$P(a, b)$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે $a$ ને $x$ અને $b$ ને $y$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{l}{x} + \frac{m}{y} = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $Q = (3, 0)$ અને $R = (0, 4)$. બિંદુ $P(x, y)$ જે $Q$ અને $R$ થી સમાન અંતરે છે તેનો બિંદુપથ $PQ = PR$ દ્વારા મળે છે.
$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-4)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-3)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16$
$-6x + 8y - 7 = 0 \Rightarrow 6x - 8y + 7 = 0$.
ધારો કે $A = (\alpha, \frac{6\alpha + 7}{8})$ અને $B = (\beta, \frac{6\beta + 7}{8})$.
બિંદુ $A$ માટે,$4\alpha = 3(\frac{6\alpha + 7}{8})$ $\Rightarrow 32\alpha = 18\alpha + 21$ $\Rightarrow 14\alpha = 21$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$.
તેથી,$A = (\frac{3}{2}, 2)$.
બિંદુ $B$ માટે,$\beta = \frac{6\beta + 7}{8}$ $\Rightarrow 8\beta = 6\beta + 7$ $\Rightarrow 2\beta = 7$ $\Rightarrow \beta = \frac{7}{2}$.
તેથી,$B = (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$.
અંતર $AB = \sqrt{(\frac{7}{2} - \frac{3}{2})^2 + (\frac{7}{2} - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$(a, 0)$ અને $(-a, 0)$ થી અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $2b^2$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$((x-a)^2 + (y-0)^2) + ((x+a)^2 + (y-0)^2) = 2b^2$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = 2b^2$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2b^2$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 + a^2 = b^2$
પદોને ગોઠવતા,$P$ નો બિંદુપથ મળે છે:
$x^2 + y^2 = b^2 - a^2$

(C) આપેલ છે કે $A$,$X$-અક્ષ પર છે,ધારો કે $A \equiv (a, 0)$.
આપેલ છે કે $B$,$y=6x$ રેખા પર છે,ધારો કે $B \equiv (c, 6c)$.
ધારો કે $C(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{a+c}{2}$ અને $k = \frac{0+6c}{2} = 3c$.
$k = 3c$ પરથી,આપણને $c = \frac{k}{3}$ મળે છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $c$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \frac{a + k/3}{2}$ $\Rightarrow 2h = a + \frac{k}{3}$ $\Rightarrow a = 2h - \frac{k}{3}$.
રેખાખંડની લંબાઈ $AB = r$ આપેલ છે,તેથી $(AB)^2 = r^2$.
$(a-c)^2 + (0-6c)^2 = r^2$
$a = 2h - k/3$ અને $c = k/3$ મૂકતા:
$(2h - k/3 - k/3)^2 + (6(k/3))^2 = r^2$
$(2h - 2k/3)^2 + (2k)^2 = r^2$
$4(h - k/3)^2 + 4k^2 = r^2$
$(h - k/3)^2 + k^2 = \frac{r^2}{4}$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x - y/3)^2 + y^2 = \frac{r^2}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ છે.
$m_1m_2-2=0$ પરથી,આપણને $\frac{a}{b}=2$ મળે છે,તેથી $a=2b$.
$3(m_1-m_2)-7=0$ પરથી,આપણને $m_1-m_2 = \frac{7}{3}$ મળે છે.
$(m_1-m_2)^2 = (m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{7}{3})^2 = (-\frac{2h}{b})^2 - 4(\frac{a}{b})$ મળે.
$a=2b$ મૂકતા,$\frac{49}{9} = \frac{4h^2}{b^2} - 4(2) = \frac{4h^2}{b^2} - 8$ મળે.
$\frac{4h^2}{b^2} = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49+72}{9} = \frac{121}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{2h}{b} = \pm \frac{11}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{b} = \pm \frac{11}{6}$.
આમ,$\frac{h}{\pm 11} = \frac{b}{6}$.
$a=2b$ હોવાથી,$\frac{a}{2} = b$,તેથી $\frac{a}{12} = \frac{b}{6}$.
તેથી,$\frac{a}{12} = \frac{b}{6} = \frac{h}{\pm 11}$.

(A) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $a^2 x^2 + 2hxy + b^2 y^2 = 0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ અને ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ થાય.
અહીં,$A = a^2$,$2H = 2h$,અને $B = b^2$.
તેથી,$m + 2m = -\frac{2h}{b^2}$ $\Rightarrow 3m = -\frac{2h}{b^2}$ $\Rightarrow m = -\frac{2h}{3b^2}$ $(i)$.
વળી,$m \times 2m = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow 2m^2 = \frac{a^2}{b^2}$ (ii).
$(i)$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $2 \left(-\frac{2h}{3b^2}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$.
$2 \left(\frac{4h^2}{9b^4}\right) = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow \frac{8h^2}{9b^4} = \frac{a^2}{b^2}$.
$\frac{h^2}{a^2 b^2} = \frac{9}{8} \Rightarrow \frac{h}{ab} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{3}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

(C) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $y^2-8xy-9x^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(y-9x)(y+x)=0$ મળે છે.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: y=9x$ અને $L_2: y=-x$ છે.
શિરોબિંદુ $V(\alpha, \beta)$ લો. $V$ માંથી પસાર થતી બાજુઓ $VA$ અને $VB$ છે.
રેખા $L_1: y=9x$ એ $VA$ નો લંબદ્વિભાજક છે. $L_1$ નો ઢાળ $9$ છે,તેથી $VA$ નો ઢાળ $-1/9$ છે.
$VA$ નું સમીકરણ $y-\beta = -\frac{1}{9}(x-\alpha) \Rightarrow x+9y = \alpha+9\beta$ છે.
$VA$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ $VA$ નું મધ્યબિંદુ $M$ છે. $y=9x$ અને $x+9y=\alpha+9\beta$ ઉકેલતા,$x+81x = \alpha+9\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha+9\beta}{82}$ અને $y = \frac{9\alpha+81\beta}{82}$ મળે છે.
$M$ એ $VA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $A$ એ $(x_A, y_A)$ હોય,તો $\frac{x_A+\alpha}{2} = \frac{\alpha+9\beta}{82} \Rightarrow x_A = \frac{-40\alpha+9\beta}{41}$ અને $\frac{y_A+\beta}{2} = \frac{9\alpha+81\beta}{82} \Rightarrow y_A = \frac{9\alpha+40\beta}{41}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$L_2: y=-x$ એ $VB$ નો લંબદ્વિભાજક છે. $L_2$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $VB$ નો ઢાળ $1$ છે.
$VB$ નું સમીકરણ $y-\beta = 1(x-\alpha) \Rightarrow x-y = \alpha-\beta$ છે.
$VB$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $VB$ નું મધ્યબિંદુ $N$ છે. $y=-x$ અને $x-y=\alpha-\beta$ ઉકેલતા,$x+x = \alpha-\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ અને $y = \frac{\beta-\alpha}{2}$ મળે છે.
$N$ એ $VB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $B$ એ $(x_B, y_B)$ હોય,તો $\frac{x_B+\alpha}{2} = \frac{\alpha-\beta}{2} \Rightarrow x_B = -\beta$ અને $\frac{y_B+\beta}{2} = \frac{\beta-\alpha}{2} \Rightarrow y_B = -\alpha$ મળે છે.
$\triangle VAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{\alpha+x_A+x_B}{3}, \frac{\beta+y_A+y_B}{3})$ છે.
ગણતરી કરતા,$G = \frac{1}{123}(\alpha-32\beta, \beta+32\alpha)$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $12x^2+7xy-12y^2=0$ ના અવયવો પાડતા:
$12x^2+16xy-9xy-12y^2=0$
$4x(3x+4y)-3y(3x+4y)=0$
$(4x-3y)(3x+4y)=0$
તેથી,રેખાઓ $4x-3y=0$ અને $3x+4y=0$ છે. તેમના ઢાળ $4/3$ અને $-3/4$ હોવાથી,તેઓ પરસ્પર લંબ છે.
$12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0$ ના અવયવો પાડતા:
ધારો કે સમીકરણ $(4x-3y+c_1)(3x+4y+c_2)=0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $12x^2+7xy-12y^2 + (4c_2+3c_1)x + (4c_1-3c_2)y + c_1c_2 = 0$.
સરખાવતા: $4c_2+3c_1 = -1$ અને $4c_1-3c_2 = 7$.
ઉકેલતા,$c_1=1$ અને $c_2=-1$ મળે છે.
તેથી રેખાઓ $4x-3y+1=0$ અને $3x+4y-1=0$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $4x-3y=0$ અને $4x-3y+1=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|1-0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{1}{5}$.
સમાંતર રેખાઓ $3x+4y=0$ અને $3x+4y-1=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|-1-0|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$.
રેખાઓ લંબ હોવાથી અને સમાંતર જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવાથી,આ આકૃતિ $1/5$ બાજુવાળો ચોરસ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (1/5)^2 = 1/25$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 20xy + 25y^2 + 2x + 5y - 12 = 0$ છે.
આને $(2x + 5y)^2 + (2x + 5y) - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 2x + 5y$. તો સમીકરણ $t^2 + t - 12 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t + 4)(t - 3) = 0$.
તેથી,$t = -4$ અથવા $t = 3$.
આમ,બે સમાંતર રેખાઓ મળે છે: $2x + 5y + 4 = 0$ અને $2x + 5y - 3 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2, B = 5, C_1 = 4, C_2 = -3$.
$d = \frac{|4 - (-3)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોય,જ્યાં $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
આપેલ સમીકરણ $ax^2-34xy-5y^2+2x+26y-5=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a=a$,$h=-17$,$b=-5$,$g=1$,$f=13$,અને $c=-5$ મળે છે.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} a & -17 & 1 \\ -17 & -5 & 13 \\ 1 & 13 & -5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(25 - 169) + 17(85 - 13) + 1(-221 + 5) = 0$
$-144a + 1224 - 216 = 0$
$-144a + 1008 = 0$
$a = 7$.

(A) આપેલ રેખા $x+y-\lambda=0$ છે,જેનો અર્થ છે $x+y=\lambda$. $\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\frac{x+y}{\lambda}=1$ $(i)$.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે.
ઉગમબિંદુને $A$ અને $B$ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{\lambda})-4y(\frac{x+y}{\lambda})+2(\frac{x+y}{\lambda})^2=0$
$\lambda^2$ વડે ગુણતા:
$(\lambda^2-2\lambda+2)x^2 + (4-6\lambda)xy + (\lambda^2-4\lambda+2)y^2 = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\lambda^2-2\lambda+2) + (\lambda^2-4\lambda+2) = 0$
$2\lambda^2-6\lambda+4 = 0$
$\lambda^2-3\lambda+2 = 0$
$(\lambda-1)(\lambda-2) = 0$.
આમ,$\lambda=1$ અથવા $\lambda=2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$2$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-5xy+4y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(x-y)(x-4y)=0$.
રેખાઓ $L_1: x-y=0$ અને $L_2: x-4y=0$ છે.
$(2,1)$ માંથી પસાર થતી અને $x-y=0$ ને લંબ રેખા: $x+y-3=0$.
$(2,1)$ માંથી પસાર થતી અને $x-4y=0$ ને લંબ રેખા: $4x+y-9=0$.
સંયુક્ત સમીકરણ: $(x+y-3)(4x+y-9)=0$.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2+5xy+y^2-21x-12y+27=0$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળનો અભિલંબ હંમેશા કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ માંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ એ રેખાખંડ $CP$ નો ઢાળ છે.
ઢાળ $m = \frac{y_1 - (-f)}{x_1 - (-g)} = \frac{y_1+f}{x_1+g}$ થાય.
આમ,અભિલંબનો ઢાળ $\frac{y_1+f}{x_1+g}$ છે.

(C) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ દર્શાવવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક અને $y^2$ નો સહગુણક સમાન હોવા જોઈએ (એટલે કે $a = b$) અને $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ (એટલે કે $h = 0$).
આમ,સમીકરણ $a(x^2 + y^2) + 2gx + 2fy + c = 0$ બને છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા આપણને $a(0)^2 + a(0)^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
તેથી,શરતો $a = b, h = 0, c = 0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ છે.
વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -1$,$f = 2$ અને $c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -2)$ છે.
ચકાસો કે રેખા $4x - 3y - 10 = 0$ કેન્દ્ર $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે કે નહીં:
$4(1) - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$.
રેખા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી,અંતઃખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 - (-20)} = \sqrt{1 + 4 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
અંતઃખંડની લંબાઈ (વ્યાસ) $2r = 2 \times 5 = 10$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, અને $C(5, -2)$ છે.
આ બિંદુઓને આલેખતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $AB$ એ $4$ લંબાઈનો આડો રેખાખંડ છે અને $BC$ એ $4$ લંબાઈનો ઊભો રેખાખંડ છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી, $\triangle ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળ માટે, કર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોય છે.
કર્ણ $AC = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ છે.
તેથી, વર્તુળનો વ્યાસ $4\sqrt{2}$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસની અડધી હોય છે, તેથી $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(2\sqrt{2})^2 = \pi(8) = 8\pi$ થાય.

(D) ધારો કે વર્તુળ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. તે $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2-h)^2 + (3-k)^2 = r^2$.
$x=2$ રેખા પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - (2-h)^2} = 3$ છે. $r^2 - (2-h)^2 = (3-k)^2$ મૂકતા,$2\sqrt{(3-k)^2} = 3$,તેથી $|3-k| = 1.5$,એટલે કે $k = 4.5$ અથવા $k = 1.5$.
$y=3$ રેખા પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - (3-k)^2} = 4$ છે. $r^2 - (3-k)^2 = (2-h)^2$ મૂકતા,$2\sqrt{(2-h)^2} = 4$,તેથી $|2-h| = 2$,એટલે કે $h = 4$ અથવા $h = 0$.
કેન્દ્ર $(h,k)$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$h, k > 0$.
$(h,k) = (4, 4.5)$ કિસ્સો લેતા: $r^2 = (2-4)^2 + (3-4.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$.
સમીકરણ $(x-4)^2 + (y-4.5)^2 = 6.25$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 8x - 9y + 30 = 0$ છે.

(D) આપેલ સ્પર્શકોના સમીકરણો:
$E_1: 3x - 4y + 4 = 0$
$E_2: 6x - 8y - 7 = 0 \Rightarrow 3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ હોવાથી,સ્પર્શકો સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -\frac{7}{2}$.
$d = \left| \frac{4 - (-\frac{7}{2})}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{\frac{15}{2}}{5} \right| = \frac{3}{2}$.
વર્તુળના બે સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલું હોય છે.
તેથી,વ્યાસ $= \frac{3}{2}$.
ત્રિજ્યા $= \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2+2x-a^2=0$ ના બીજ છે. તેથી,$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+2x-a^2 = 0$.
તે જ રીતે,ધારો કે $y_1$ અને $y_2$ એ સમીકરણ $y^2+4y-b^2=0$ ના બીજ છે. તેથી,$(y-y_1)(y-y_2) = y^2+4y-b^2 = 0$.
ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણોની કિંમતો મૂકતા:
$(x^2+2x-a^2) + (y^2+4y-b^2) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^2+y^2+2x+4y-a^2-b^2=0$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(\pm r, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ થાય.
આથી,$g^2 = r^2 = 16$ અને $f = \pm 4$.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,અચળ પદ $c = f^2 = 16$ થાય.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2-c} = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{g^2-c} = 3$,તેથી $g^2-c = 9$.
$c = 16$ મૂકતા,$g^2 = 16+9 = 25$,તેથી $g = \pm 5$.
$g = \pm 5$,$f = \pm 4$,અને $c = 16$ ને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2 \pm 10x \pm 8y + 16 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચું સમીકરણ $x^2+y^2 \pm 10x - 8y + 16 = 0$ છે.

(A) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(h, k)$ માટે $|h| = |k| = r$ થાય,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(r, r), (r, -r), (-r, r),$ અથવા $(-r, -r)$ હોઈ શકે.
કેન્દ્ર $x-2y-3=0$ રેખા પર આવેલું છે.
કિસ્સો $1$: કેન્દ્ર $(r, r)$ હોય તો $r-2r-3=0$ $\Rightarrow -r=3$ $\Rightarrow r=-3$. જે શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: કેન્દ્ર $(r, -r)$ હોય તો $r-2(-r)-3=0$ $\Rightarrow 3r=3$ $\Rightarrow r=1$. કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2+(y+1)^2=1^2 \Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+1=0$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O = (c, 0)$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુઓ $A = (0, a)$ અને $B = (b, h)$ છે.
$O$ એ કેન્દ્ર હોવાથી,$O$ થી $A$ નું અંતર અને $O$ થી $B$ નું અંતર સમાન થાય,તેથી $OA^2 = OB^2$.
$OA^2 = (c - 0)^2 + (0 - a)^2 = c^2 + a^2$.
$OB^2 = (c - b)^2 + (0 - h)^2 = (c - b)^2 + h^2$.
બંને અંતરોને સરખાવતા:
$c^2 + a^2 = (c - b)^2 + h^2$.
$c^2 + a^2 = c^2 - 2bc + b^2 + h^2$.
$a^2 = -2bc + b^2 + h^2$.
$2bc = b^2 + h^2 - a^2$.
$c = \frac{b^2 - a^2 + h^2}{2b}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4y = 0$ છે,જેને $x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ તરીકે લખી શકાય. તેનું કેન્દ્ર $C_1(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે.
તે $x^2 + y^2 - 4y = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = r_1 + r = 2 + R/2$ થાય.
આમ,$\sqrt{h^2 + (k - 2)^2} = 2 + R/2$.
વળી,વર્તુળ $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(4 - h)^2 + (5 - k)^2 = (R/2)^2$.
આ શરતો ઉકેલતા,વ્યાસ $R$ માટે $3 \leq R \leq 7$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $C_1: x^2+y^2+2 \alpha x+c=0$ નું કેન્દ્ર $O_1(-\alpha, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{\alpha^2-c}$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2+y^2+2 \beta x+c=0$ નું કેન્દ્ર $O_2(-\beta, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{\beta^2-c}$ છે.
$C_1$ એ $C_2$ ની અંદર સંપૂર્ણપણે રહે તે માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |O_1O_2| = |\beta - \alpha|$ એ $d + r_1 < r_2$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
આ શરતોના આધારે,સાચો વિકલ્પ $\alpha \beta > 0$ છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
$r = |k| = |-3| = 3$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ મળે.
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 + 9 = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$.

(B) ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$ અને $D(0, a)$ છે.
ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ (અથવા $BD$) એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (0, 0)$ અને $(x_2, y_2) = (a, a)$ લઈને વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - 0)(x - a) + (y - 0)(y - a) = 0$
$x(x - a) + y(y - a) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - ay = 0$
$x^2 + y^2 - a(x + y) = 0$

(A) ધારો કે વર્તુળ $A(1, \lambda)$,$B(\lambda, 1)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $B(\lambda, 1)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ નો $x$-યામ સમાન હોવાથી,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક સમક્ષિતિજ રેખા $y = \frac{1+\lambda}{2}$ છે.
બિંદુઓ $A(1, \lambda)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ નો $y$-યામ સમાન હોવાથી,$AC$ નો લંબદ્વિભાજક શિરોલંબ રેખા $x = \frac{1+\lambda}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $\left(\frac{1+\lambda}{2}, \frac{1+\lambda}{2}\right)$ છે.

(D) વર્તુળ $S = 0$ અને રેખા $L = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,આ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $L = 0$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળ $(x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda p) = 0$ નું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ છે.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ માં મૂકતા:
$(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$
$-\frac{\lambda}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \Rightarrow \lambda = -2p$.
$\lambda = -2p$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$.

(D) ધારો કે $C(h, k)$ એ આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર $C(h, k)$ એ રેખા $x-y-1=0$ પર હોવાથી,$h-k-1=0$,એટલે કે $h=k+1$.
ત્રિજ્યા $3$ હોવાથી,$C(h, k)$ થી $P(7, 3)$ નું અંતર $3$ છે.
તેથી,$(h-7)^2 + (k-3)^2 = 3^2 = 9$.
$h=k+1$ મૂકતા,$(k+1-7)^2 + (k-3)^2 = 9$.
$(k-6)^2 + (k-3)^2 = 9$.
$k^2 - 12k + 36 + k^2 - 6k + 9 = 9$.
$2k^2 - 18k + 36 = 0$.
$k^2 - 9k + 18 = 0$.
$(k-6)(k-3) = 0$,તેથી $k=6$ અથવા $k=3$.
જો $k=6$,તો $h=7$,તેથી $C=(7, 6)$. સમીકરણ $(x-7)^2 + (y-6)^2 = 9$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 14x - 12y + 76 = 0$ મળે.
જો $k=3$,તો $h=4$,તેથી $C=(4, 3)$. સમીકરણ $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $L_1 \equiv x+y=6$ અને $L_2 \equiv x+2y=4$.
બે વ્યાસ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+y=6 \Rightarrow x=6-y$
$L_2$ માં કિંમત મૂકતા: $(6-y)+2y=4 \Rightarrow y=-2$.
તેથી $x=6-(-2)=8$.
આમ,કેન્દ્ર $C$ એ $(8, -2)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $P(6, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $CP$ છે.
$r^2 = CP^2 = (8-6)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$(x-8)^2 + (y+2)^2 = 20$
$x^2 - 16x + 64 + y^2 + 4y + 4 = 20$
$x^2 + y^2 - 16x + 4y + 48 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $P(2+\sqrt{3}, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $CP$ નો ઢાળ $m_{CP} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \sqrt{3}$ છે,જે $\tan 60^{\circ}$ દર્શાવે છે.
નવું કેન્દ્ર $C'(2+2\cos 60^{\circ}, 4+2\sin 60^{\circ}) = (3, 4+\sqrt{3})$ મળે છે.
નવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-(4+\sqrt{3}))^2 = 2^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-6x-2(4+\sqrt{3})y + (24+8\sqrt{3}) = 0$ મળે છે.

(A) અમે નિશ્ચિત સંકલન માટે વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \cdot [(n-1)(n-3)\dots]}{(m+n)(m+n-2)\dots} \cdot k$,જ્યાં જો $m$ અને $n$ બંને બેકી સંખ્યા હોય તો $k = \frac{\pi}{2}$,અને અન્યથા $k = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048}$.
પરિણામમાં $\pi$ હોવાથી,$m$ અને $4$ બંને બેકી હોવા જોઈએ,તેથી $m$ બેકી છે અને $k = \frac{\pi}{2}$ છે.
સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$I = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) \cdot (4-1)(4-3)}{(m+4)(m+2)(m)(m-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{7 \pi}{2048}$.
જો $m = 8$ લઈએ:
$I = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 1)}{(12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{105 \cdot 3}{46080} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{315 \pi}{92160} = \frac{7 \pi}{2048}$.
આમ,$m = 8$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$ ...$(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022}(-x)}{1+(2022)^{-x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+\frac{1}{(2022)^x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{(2022)^x \cos ^{2022} x}{(2022)^x+1} d x$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x (1+(2022)^x)}{1+(2022)^x} d x = \int_{-\pi}^\pi \cos ^{2022} x d x$
કારણ કે $\cos ^{2022} x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$2I = 2 \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x$,તેથી $I = \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x = 2 \int_0^{\pi/2} \cos ^{2022} x d x$.
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \cos^n x d x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (જ્યાં $n$ યુગ્મ છે) નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \cdot \frac{2021!!}{2022!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2021!!}{2022!!} \pi = \frac{2021!! \cdot 2022!!}{(2022!!)^2} \pi = \frac{2022!}{(2^{1011} \cdot 1011!)^2} \pi = \frac{2022!}{2^{2022} (1011!)^2} \pi$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\alpha+1}^{\alpha} \frac{e^x(\alpha-x)}{(x-\alpha+1)^2} dx$.
$u = x - \alpha + 1$ આદેશ લેતા,$du = dx$ મળે.
જ્યારે $x = \alpha+1$,ત્યારે $u = 2$. જ્યારે $x = \alpha$,ત્યારે $u = 1$.
વળી,$\alpha - x = 1 - u$.
તેથી,$I = \int_{2}^{1} \frac{e^{u+\alpha-1}(1-u)}{u^2} du = e^{\alpha-1} \int_{2}^{1} e^u \left(\frac{1}{u^2} - \frac{1}{u}\right) du$.
સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(u) = -\frac{1}{u}$ અને $f'(u) = \frac{1}{u^2}$.
$I = e^{\alpha-1} \left[ e^u \left(-\frac{1}{u}\right) \right]_{2}^{1} = e^{\alpha-1} \left[ -e^1 + \frac{e^2}{2} \right] = e^{\alpha-1} \left[ \frac{e^2 - 2e}{2} \right] = e^{\alpha} \left( \frac{e-2}{2} \right)$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\pi}{11}$ અને $b = \frac{9\pi}{22}$,આપણને $a+b = \frac{2\pi + 9\pi}{22} = \frac{11\pi}{22} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan(\pi/2 - x)}} = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \frac{\sqrt{\tan x} dx}{\sqrt{\tan x} + 1}$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} \left( \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\pi/11}^{9\pi/22} 1 dx$.
$2I = [x]_{\pi/11}^{9\pi/22} = \frac{9\pi}{22} - \frac{2\pi}{22} = \frac{7\pi}{22}$.
તેથી,$I = \frac{7\pi}{44}$.

(C) ધારો કે $I = \int_2^5 (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}) dx$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદોને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે લખતા:
$x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
$x - 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int_2^5 (\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}) dx$.
અહીં $x \in [2, 5]$ હોવાથી,$\sqrt{x-1} \ge 1$,તેથી $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$.
$I = \int_2^5 (\sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1) dx = \int_2^5 2\sqrt{x-1} dx$.
$I = 2 \int_2^5 (x-1)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} \right]_2^5 = 2 \times \frac{2}{3} [(x-1)^{3/2}]_2^5$.
$I = \frac{4}{3} [(5-1)^{3/2} - (2-1)^{3/2}] = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = \frac{4}{3} [8 - 1] = \frac{4}{3} \times 7 = \frac{28}{3}$.

(A) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$\int_{0}^{1} a^k x^k dx = a^k \int_{0}^{1} x^k dx = a^k [\frac{x^{k+1}}{k+1}]_{0}^{1} = \frac{a^k}{k+1}$.
હવે,વિકલ્પ $A$ ધ્યાનમાં લો:
$\lim_{n \to \infty} \frac{a^k (1^k + 2^k + 3^k + \dots + n^k)}{n^{k+1}} = a^k \lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^k}{n \cdot n^k} = a^k \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^k$.
સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} (\frac{r}{n})^k = \int_{0}^{1} x^k dx = \frac{1}{k+1}$.
તેથી,પદાવલિ $a^k \cdot \frac{1}{k+1} = \frac{a^k}{k+1}$ બને છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} (|\cos t| \sin t + |\sin t| \cos t) dt$.
અહીં $t \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$\cos t > 0$ અને $\sin t > 0$,તેથી $f(t) = \sin(2t)$.
$t \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ માટે,$\cos t < 0$ અને $\sin t > 0$,તેથી $f(t) = 0$.
$t \in [\pi, \frac{5\pi}{4}]$ માટે,$\cos t < 0$ અને $\sin t < 0$,તેથી $f(t) = -\sin(2t)$.
તેથી,$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) dt + \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}} -\sin(2t) dt$.
$I = \left[ -\frac{\cos(2t)}{2} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\cos(2t)}{2} \right]_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$I = (\frac{1}{2} - 0) + (0 - \frac{1}{2}) = 0$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 (x[1+\sin(\pi x)]+1) dx$.
વિધેય $f(x) = x[1+\sin(\pi x)]+1$ ને ધ્યાનમાં લઈએ.
જ્યારે $x \in [-1, 0]$ હોય,ત્યારે $\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,તેથી $1+\sin(\pi x) \in [0, 1]$. આથી,$x \in (-1, 0)$ માટે $[1+\sin(\pi x)] = 0$ થાય.
જ્યારે $x \in [0, 1]$ હોય,ત્યારે $\sin(\pi x) \in [0, 1]$,તેથી $1+\sin(\pi x) \in [1, 2]$. આથી,$x \in (0, 1)$ માટે $[1+\sin(\pi x)] = 1$ થાય.
તેથી,$I = \int_{-1}^0 (x \cdot 0 + 1) dx + \int_0^1 (x \cdot 1 + 1) dx$.
$I = \int_{-1}^0 1 dx + \int_0^1 (x+1) dx$.
$I = [x]_{-1}^0 + [\frac{x^2}{2} + x]_0^1$.
$I = (0 - (-1)) + ((\frac{1}{2} + 1) - 0)$.
$I = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

(D) આપણે સંકલન $\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{18}}[x] \, dx$ ને અંતરાલના ભાગ પાડીને ઉકેલીએ છીએ જ્યાં $[x]$ ની કિંમત બદલાય છે:
$\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{18}}[x] \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2}[x] \, dx + \int_{2}^{3}[x] \, dx + \int_{3}^{4}[x] \, dx + \int_{4}^{\sqrt{18}}[x] \, dx$
કારણ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$ અને $\sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.242$ છે,તેથી:
$\int_{\sqrt{3}}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{3\sqrt{2}} 4 \, dx$
$= (2 - \sqrt{3}) + 2(3 - 2) + 3(4 - 3) + 4(3\sqrt{2} - 4)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2 + 3 + 12\sqrt{2} - 16$
$= (2 + 2 + 3 - 16) + 12\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$= -9 + 12\sqrt{2} - \sqrt{3}$
આને $a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -9$,$b = 12$,અને $c = -1$ મળે છે.
તેથી,$a + b + c = -9 + 12 - 1 = 2$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.
આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = I_1 + I_2$.
$I_1 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.
કારણ કે $f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = -\frac{2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$,તેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,$I_1 = 0$.
$I_2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $g(x) = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x}$.
કારણ કે $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} = g(x)$,તેથી $g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,$I_2 = 2 \int_0^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4 \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I_2$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$.
જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.
$2I_2 = 4\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = 4\pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = 4\pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1$.
$2I_2 = 4\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 4\pi (\frac{\pi}{2}) = 2\pi^2$.
આમ,$I_2 = \pi^2$.
અંતે,$I = I_1 + I_2 = 0 + \pi^2 = \pi^2$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{\sin x-x^2}{3-|x|} d x$.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \int_{-1}^1 \frac{\sin x}{3-|x|} d x - \int_{-1}^1 \frac{x^2}{3-|x|} d x$.
કારણ કે $f(x) = \frac{\sin x}{3-|x|}$ એ અયુગ્મ વિધેય છે (કારણ કે $\sin(-x) = -\sin x$ અને $|-x| = |x|$),તેથી $\int_{-1}^1 \frac{\sin x}{3-|x|} d x = 0$.
કારણ કે $g(x) = \frac{x^2}{3-|x|}$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{-1}^1 \frac{x^2}{3-|x|} d x = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{3-x} d x$.
આમ,$I = -2 \int_0^1 \frac{x^2}{3-x} d x = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{x-3} d x$.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $\frac{x^2}{x-3} = x + 3 + \frac{9}{x-3}$.
તેથી,$I = 2 \int_0^1 (x + 3 + \frac{9}{x-3}) d x = 2 [\frac{x^2}{2} + 3x + 9 \ln|x-3|]_0^1$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = 2 [(\frac{1}{2} + 3 + 9 \ln 2) - (0 + 0 + 9 \ln 3)] = 2 [\frac{7}{2} + 9 \ln(\frac{2}{3})] = 7 + 18 \ln(\frac{2}{3}) = 7 - 18 \ln(\frac{3}{2})$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચિત સંકલનનો ગુણધર્મ છે: $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
પ્રથમ સંકલન $\int_{-a}^0 f(x) dx$ માં $x = -t$ આદેશ લેતા,આપણને $\int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$ મળે છે.
તેથી,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
આ કિંમત આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા: $(\int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx) - \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,પરિણામ $\int_0^a f(a-x) dx$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \left(\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) - \cos^2 \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right)\right) dx$.
નિત્યસમ $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B-A) \sin(B+A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}$ અને $B = \frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}$.
$B - A = \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right) - \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) = \frac{8\pi}{8} + \frac{2x}{4} = \pi + \frac{x}{2}$.
$B + A = \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right) + \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) = \frac{14\pi}{8} = \frac{7\pi}{4}$.
આમ,સંકલ્ય $\sin(\pi + \frac{x}{2}) \sin(\frac{7\pi}{4}) = (-\sin \frac{x}{2}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2}$ બને છે.
$I = \int_0^\pi \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ -2 \cos \frac{x}{2} \right]_0^\pi$.
$I = \frac{-2}{\sqrt{2}} (\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -\sqrt{2} (0 - 1) = \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$.
કારણ કે વિધેય $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ માટે $f(\pi - x) = f(x)$ થાય છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x + 2 \tan ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + \tan ^2 x + 2 \tan ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 3 \tan ^2 x} d x$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec ^2 x d x = d t$. જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x \to \pi / 2, t \to \infty$.
$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + 3 t^2} = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + (\sqrt{3} t)^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{1+a^2x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3} t) \right]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $k = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx \frac{3.14159}{1.732} \approx 1.81$.
$k$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $\lfloor 1.81 \rfloor = 1$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$.
$t = \sqrt{x}$ આદેશ લેતા,$x = t^2$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi^2}{4}$,ત્યારે $t = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin t + t \cos t) (2t) \, dt = \int_0^{\pi/2} (4t \sin t + 2t^2 \cos t) \, dt$.
બીજા પદ $\int 2t^2 \cos t \, dt$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$u = 2t^2$ અને $dv = \cos t \, dt$ લેતા,$du = 4t \, dt$ અને $v = \sin t$ મળે.
$\int 2t^2 \cos t \, dt = 2t^2 \sin t - \int 4t \sin t \, dt$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \int_0^{\pi/2} 4t \sin t \, dt + [2t^2 \sin t]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 4t \sin t \, dt$.
$I = [2t^2 \sin t]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 0 = 2(\frac{\pi^2}{4})(1) = \frac{\pi^2}{2}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{1}{\cos^8 x} \, dx = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} (\sec^2 x)^3 \sec^2 x \, dx$.
કારણ કે વિધેય યુગ્મ છે,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 4} (1 + \tan^2 x)^3 \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = \pi / 4, t = 1$.
$I = 2 \int_{0}^{1} (1 + t^2)^3 \, dt = 2 \int_{0}^{1} (1 + 3t^2 + 3t^4 + t^6) \, dt$.
$I = 2 \left[ t + t^3 + \frac{3t^5}{5} + \frac{t^7}{7} \right]_{0}^{1} = 2 \left( 1 + 1 + \frac{3}{5} + \frac{1}{7} \right)$.
$I = 2 \left( 2 + \frac{21 + 5}{35} \right) = 2 \left( 2 + \frac{26}{35} \right) = 2 \left( \frac{70 + 26}{35} \right) = 2 \left( \frac{96}{35} \right) = \frac{192}{35}$.

(B) ધારો કે $I_n = \int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx$.
આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $I_n - I_{n-2} = \int_0^\pi \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \frac{2 \cos(n-1)x \sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos(n-1)x dx$.
$n > 1$ માટે,$I_n - I_{n-2} = \left[ \frac{2 \sin(n-1)x}{n-1} \right]_0^\pi = 0$.
આમ,દરેક $n > 1$ માટે $I_n = I_{n-2}$ થાય.
$n=1$ માટે,$I_1 = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 1 dx = \pi$.
$n=2$ માટે,$I_2 = \int_0^\pi \frac{\sin 2x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos x dx = [2 \sin x]_0^\pi = 0$.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $I_n = I_1 = \pi = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$.
જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $I_n = I_2 = 0 = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$k = 1 - (-1)^n$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $y > 0$ માટે,$\tan ^{-1}(y) + \tan ^{-1}(1/y) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $y = \frac{x}{x^2+1}$. અહીં $x \in [1, 2]$ હોવાથી,$y > 0$ છે.
તેથી,સંકલ્ય (integrand) નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
હવે,સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ:
$I = \int_1^2 \frac{\pi}{2} d x$
$I = \frac{\pi}{2} [x]_1^2$
$I = \frac{\pi}{2} (2 - 1) = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi x (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) (\sin^2(\sin(\pi - x)) + \cos^2(\cos(\pi - x))) dx$
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,આપણને મળે:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
$I$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \pi \int_0^\pi (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2I = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx . . . (i)$
ફરીથી ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x)) dx . . . (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} ((\sin^2(\sin x) + \cos^2(\sin x)) + (\sin^2(\cos x) + \cos^2(\cos x))) dx$
$2I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + 1) dx = 2\pi [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \pi^2$
$I = \frac{\pi^2}{2}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ માટે,$\text{Max}\{f(x), g(x)\} + \text{Min}\{f(x), g(x)\} = f(x) + g(x)$ થાય છે.
તેથી,$f(x) + g(x) = \sin x + \cos x$.
સંકલન $\int_{0}^{\pi} (f(x) + g(x)) dx = \int_{0}^{\pi} (\sin x + \cos x) dx$ બને છે.
$= [-\cos x + \sin x]_{0}^{\pi}$.
$= (-\cos \pi + \sin \pi) - (-\cos 0 + \sin 0)$.
$= (-(-1) + 0) - (-1 + 0)$.
$= (1 + 0) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(C) આપેલ છે કે,$I = \int_0^T f(x) dx$.
કારણ કે $f(x+T) = f(x)$,તેથી $f$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
આપણે $J = \int_0^{5T} f(2x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $2x = y$,તો $dx = \frac{1}{2} dy$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $y = 0$. જ્યારે $x = 5T$,ત્યારે $y = 10T$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$J = \int_0^{10T} f(y) \cdot \frac{1}{2} dy = \frac{1}{2} \int_0^{10T} f(y) dy$.
આવર્તી વિધેયના ગુણધર્મ $\int_0^{nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$J = \frac{1}{2} \times 10 \int_0^T f(y) dy = 5 \int_0^T f(x) dx = 5I$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[a + n] = [a] + n$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] = [\sin x] + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right]$.
અંતરાલ $\frac{3 \pi}{4} \leq x \leq \pi$ માટે,$\sin x$ ની કિંમત $0$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ની વચ્ચે હોય છે.
જેથી $0 \leq \sin x < 1$,તેથી મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[\sin x] = 0$ થાય.
હવે,$\frac{3 \pi}{4} \leq x < \pi$ માટે,$3 \leq \frac{4 x}{\pi} < 4$ થાય છે.
તેથી,$\left[ \frac{4 x}{\pi} \right] = 3$ મળે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi (0 + 3) dx$ મળે.
$I = 3 \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi dx = 3 [x]_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi = 3 \left( \pi - \frac{3 \pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3 \pi}{4}$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int_0^{50\pi} \sqrt{1-\cos 2x} dx$ છે.
નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2}|\sin x|$.
વિધેય $f(x) = \sqrt{2}|\sin x|$ નો આવર્તમાન $T = \pi$ હોવાથી,આપણે ગુણધર્મ $\int_0^{NT} f(x) dx = N \int_0^T f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ.
અહીં $N = 50$ અને $T = \pi$ છે,તેથી $I = 50 \int_0^{\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,$\sin x \ge 0$ હોવાથી,$|\sin x| = \sin x$ થાય.
તેથી,$I = 50\sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x dx$.
$I = 50\sqrt{2} [-\cos x]_0^{\pi}$.
$I = 50\sqrt{2} (-(\cos \pi - \cos 0)) = 50\sqrt{2} (-(-1 - 1)) = 50\sqrt{2} (2) = 100\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin(\tan^{-1} x)$.
નિત્યસમ $\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે છે.
આપણે $I = \int_0^1 x f''(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x$ અને $dv = f''(x) dx$ લેતા,$du = dx$ અને $v = f'(x)$ મળે.
$I = [x f'(x)]_0^1 - \int_0^1 f'(x) dx$.
$I = (1 \cdot f'(1) - 0 \cdot f'(0)) - [f(1) - f(0)]$.
પ્રથમ,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$ શોધીએ.
હવે,$f'(1) = \frac{1}{(1+1^2)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
વળી,$f(1) = \sin(\tan^{-1} 1) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $f(0) = \sin(\tan^{-1} 0) = 0$.
આ કિંમતોને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} - (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{2 \pi} \sin ^{-1}(\sin x) d x$.
આપણે સંકલનને એવા અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $\sin^{-1}(\sin x)$ નું સ્વરૂપ રેખીય હોય:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x d x + \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} (\pi - x) d x + \int_{3 \pi / 2}^{2 \pi} (x - 2 \pi) d x$
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x d x = 0$ (કારણ કે તે સંમિત અંતરાલ પર અયુગ્મ વિધેય છે).
$\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} (\pi - x) d x = [\pi x - \frac{x^2}{2}]_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} = (\frac{3 \pi^2}{2} - \frac{9 \pi^2}{8}) - (\frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{8}) = \frac{3 \pi^2}{8} - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$\int_{3 \pi / 2}^{2 \pi} (x - 2 \pi) d x = [\frac{x^2}{2} - 2 \pi x]_{3 \pi / 2}^{2 \pi} = (2 \pi^2 - 4 \pi^2) - (\frac{9 \pi^2}{8} - 3 \pi^2) = -2 \pi^2 - (-\frac{15 \pi^2}{8}) = -2 \pi^2 + \frac{15 \pi^2}{8} = -\frac{\pi^2}{8}$.
આમ,$I = 0 + 0 - \frac{\pi^2}{8} = -\frac{\pi^2}{8}$.

(D) સંકલન હેઠળ વિકલન માટેના $Leibnitz$ ના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે: $\frac{d}{dt} \int_{g(t)}^{h(t)} f(x) dx = f(h(t)) \cdot h'(t) - f(g(t)) \cdot g'(t)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy \right) = \frac{d}{dx} (2 \sqrt{x} - 6)$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,ડાબી બાજુનું વિકલન $\frac{f(x)}{x^2}$ થાય છે.
જમણી બાજુનું વિકલન $2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$f(x)$ માટે ઉકેલતા: $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = x^{2 - 1/2} = x^{3/2} = x \sqrt{x}$.

(A) આપેલ લક્ષ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k(2n+k)}}$ છે.
આપણે સામાન્ય પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k \cdot n \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{(n+k) \sqrt{\frac{k}{n} \cdot n \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right) \sqrt{\frac{k}{n} \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$,જ્યાં $x = \frac{k}{n}$.
આમ,$S = \int_0^1 \frac{1}{(1+x) \sqrt{x(2+x)}} dx = \int_0^1 \frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}} dx$.
આને $\int_0^1 f(x) dx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{r}}$ છે.
આપણે આ પદને $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{r/n}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ છે.
તેથી,$L = \int_0^1 x^{-1/2} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $L = \left[ \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]_0^1 = [2\sqrt{x}]_0^1 = 2(1) - 2(0) = 2$.

(B) ઉગમબિંદુથી $P$ એકમ અંતરે આવેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\cot \alpha$.
આના પરથી,$\cos \alpha = -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}$ મળે છે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $x \left( -\frac{dy/dx}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) + y \left( \frac{1}{\sqrt{1+(dy/dx)^2}} \right) = P$.
આનું સાદું રૂપ $y - x \frac{dy}{dx} = P \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y - x \frac{dy}{dx})^2 = P^2 (1 + (\frac{dy}{dx})^2)$ મળે છે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $l = 1$ છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $m = 2$ છે.
આમ,$l m^2 + l^2 m = (1)(2^2) + (1^2)(2) = 4 + 2 = 6$.

(A) અચળ ત્રિજ્યા $a$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્રના યામ છે.
અહીં,$h$ અને $k$ એ બે સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ થશે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વધુમાં,$2$ સ્વૈર અચળાંકો ધરાવતું બીજગણિતીય સમીકરણ એ દ્વિતીય ક્રમના વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ દર્શાવે છે,તેથી કારણ $(R)$ સાચું છે અને તે $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^{p/q} = 5 \frac{d^r y}{d x^r}$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $q$ ઘાત લઈએ છીએ: $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^p = 5^q \left(\frac{d^r y}{d x^r}\right)^q$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. $n < r < m$ આપેલ હોવાથી,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^m y}{d x^m}$ છે.
કક્ષા $4$ આપેલ હોવાથી,આપણને $m = 4$ મળે છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવતી વખતે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^m y}{d x^m}$ છે અને તેની ઘાત $p$ છે.
પરિમાણ $3$ આપેલ હોવાથી,આપણને $p = 3$ મળે છે.
આમ,$m = 4$ અને $p = 3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3 y}{d x^3} = 0$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત સંકલન કરતા:
પ્રથમ સંકલન: $\frac{d^2 y}{d x^2} = c_1$.
બીજું સંકલન: $\frac{d y}{d x} = c_1 x + c_2$.
ત્રીજું સંકલન: $y = \frac{c_1}{2} x^2 + c_2 x + c_3$.
ધારો કે $a = \frac{c_1}{2}$,$b = c_2$,અને $c = c_3$,તો આપણને $y = a x^2 + b x + c$ મળે છે.
આ ઉકેલમાં વિકલ સમીકરણના ક્રમ જેટલા જ ત્રણ સ્વૈર અચળાંકો $(a, b, c)$ હોવાથી,તે વ્યાપક ઉકેલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + 3x(y^{\prime})^{1/3} + x^2y^2 = \sin x$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે વિકલિતના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x = -3x(y^{\prime})^{1/3}$.
$1/3$ ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરતા: $(y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x)^3 = (-3x)^3(y^{\prime}) = -27x^3(y^{\prime})$.
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલિત $y^{\prime \prime}$ છે,તેથી કક્ષા $a = 2$.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતનો મહત્તમ ઘાત $2 \times 3 = 6$ છે. તેથી,પરિમાણ $b = 6$.
$a = 2$ અને $b = 6$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $b = 3a$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y=A e^x+B e^{-2 x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = A e^x - 2B e^{-2x}$.
બીજી વાર,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = A e^x + 4B e^{-2x}$.
હવે,અચળાંકો $A$ અને $B$ નો લોપ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે આ સમીકરણના ઉકેલ માટે લાક્ષણિક સમીકરણના બીજ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણ $(D-1)(D+2)y = 0$ સ્વરૂપમાં હશે,જ્યાં $D = \frac{d}{dx}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $(D^2 + 2D - D - 2)y = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} - 2y = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y=(a+b) \sin (x+c)-d e^{x+e+f}$ છે.
ધારો કે $A = (a+b)$ અને $B = d e^{e+f}$. તેથી સમીકરણ $y = A \sin(x+c) - B e^x$ બને છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે: $A$,$c$,અને $B$.
$n$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોને દૂર કરીને મેળવેલા વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $n$ હોય છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(A) $(0,0)$ માંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-r)^2 + y^2 = r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $(r, 0)$ એ કેન્દ્ર છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2xr + r^2 + y^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2xr = 0$ અથવા $r = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2r = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} = r$
મૂળ સમીકરણમાંથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$x + y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x}$
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$
$2xy \frac{dy}{dx} + x^2 - y^2 = 0$

(C) આપેલ છે કે $y = (\sin^{-1} x)^2 + A \cos^{-1} x + B$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$y' = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{A}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y' \sqrt{1 - x^2} = 2 \sin^{-1} x - A$ ... $(ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$y'' \sqrt{1 - x^2} + y' \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$
આખા સમીકરણને $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા:
$y'' (1 - x^2) - x y' = 2$
આને આપેલ સમીકરણ $(a - x^2) y'' - x y' = b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b = 2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{b + a}{b - a} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = ax + b$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = a$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ મળે છે.
સમીકરણ $y = ax + b$ માં બે સ્વૈર અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી,તે દ્વિતીય ક્રમના વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(3x+y)$.
ધારો કે $3x+y = t$. તેથી,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dt}{dx} - 3 = \cos^2 t$,જે આપે છે $\frac{dt}{dx} = \cos^2 t + 3$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dt}{\cos^2 t + 3} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dt}{\cos^2 t + 3} = \int dx$.
અંશ અને છેદને $\sec^2 t$ વડે ગુણતા: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3\sec^2 t} = \int dx$.
$\sec^2 t = 1 + \tan^2 t$ નો ઉપયોગ કરતા: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3(1 + \tan^2 t)} = \int \frac{\sec^2 t dt}{4 + 3\tan^2 t} = \int dx$.
ધારો કે $\tan t = m$,તો $\sec^2 t dt = dm$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \frac{dm}{4 + 3m^2} = \frac{1}{3} \int \frac{dm}{\frac{4}{3} + m^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \tan^{-1}\left(\frac{m}{2/\sqrt{3}}\right) = x + C$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}m}{2}\right) = x + C$.
$2\sqrt{3}$ વડે ગુણતા: $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan t\right) = 2\sqrt{3}(x+C)$.
કારણ કે $t = 3x+y$,તેથી $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan(3x+y)\right) = 2\sqrt{3}(x+C)$.
આમ,$f(x) = 2\sqrt{3}(x+C)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{cy+d}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $(cy+d)dy = (ax+b)dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int (cy+d)dy = \int (ax+b)dx$.
આનાથી $\frac{cy^2}{2} + dy = \frac{ax^2}{2} + bx + K$ મળે છે,જ્યાં $K$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
ઉકેલ સુરેખ રેખાઓનું કુટુંબ દર્શાવે તે માટે,$x^2$ અને $y^2$ વાળા પદો શૂન્ય થવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $a=0$ અને $c=0$.
સમીકરણમાં $a=0$ અને $c=0$ મૂકતા,આપણને $dy = bdx$ મળે છે,જે રેખાઓનું કુટુંબ દર્શાવે છે જો $b$ અને $d$ બંને શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $b^2+d^2 \neq 0$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ છે.
જો $\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=m$ હોય,તો સમીકરણને $\frac{dy}{dx}=\frac{m(a_1x+b_1y)+c}{a_1x+b_1y+c_1}$ સ્વરૂપે લખી શકાય.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે $z = a_1x + b_1y$ આદેશ લઈએ છીએ.
આ આદેશ આપણને સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં લાવવા દે છે જ્યાં ચલ $z$ અને $x$ ને અલગ કરી શકાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{1/y^2}}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\int \frac{e^{1/y^2}}{y^3} dy = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{1}{y^2}$,તો $dt = -\frac{2}{y^3} dy$,તેથી $\frac{dy}{y^3} = -\frac{dt}{2}$.
ધારો કે $u = \sqrt{x}$,તો $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$,તેથી $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$\int e^t (-\frac{1}{2}) dt = \int \cos u (2 du)$ મળે છે.
$-\frac{1}{2} e^t = 2 \sin u + C$.
$t = \frac{1}{y^2}$ અને $u = \sqrt{x}$ પાછા મૂકતા,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} + C$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ પર $y = 1$,તેથી $-\frac{1}{2} e^1 = 2 \sin(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -\frac{e}{2}$.
આમ,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} - \frac{e}{2}$.
બંને બાજુ $-2$ વડે ગુણતા,$e^{1/y^2} = e - 4 \sin \sqrt{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\frac{1}{y^2} = \log_e(e - 4 \sin \sqrt{x})$.
આને $\frac{1}{y^2} = \log_e(f(x))$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = e - 4 \sin \sqrt{x}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 4y - 5}{x - 2y + 2}$ છે.
અંશને $2(x - 2y + 2) - 9$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x - 2y + 2) - 9}{x - 2y + 2}$.
ધારો કે $t = x - 2y + 2$. તો $\frac{dt}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dt}{dx})$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dt}{dx}) = \frac{2t - 9}{t} = 2 - \frac{9}{t}$.
$1 - \frac{dt}{dx} = 4 - \frac{18}{t} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{18}{t} - 3 = \frac{18 - 3t}{t}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{t}{18 - 3t} dt = dx \Rightarrow \frac{t}{3(6 - t)} dt = dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1}{3} \int \frac{t - 6 + 6}{t - 6} dt = \int dx \Rightarrow -\frac{1}{3} \int (1 + \frac{6}{t - 6}) dt = x + C_1$.
$-\frac{1}{3} (t + 6 \ln|t - 6|) = x + C_1 \Rightarrow -t - 6 \ln|t - 6| = 3x + C$.
$t = x - 2y + 2$ મૂકતા: $-(x - 2y + 2) - 6 \ln|x - 2y + 2 - 6| = 3x + C$.
$-x + 2y - 2 - 6 \ln|x - 2y - 4| = 3x + C \Rightarrow -4x + 2y - 6 \ln|x - 2y - 4| = C + 2$.
$-2$ વડે ભાગતા: $2x - y + 3 \ln|x - 2y - 4| = k$.
$2x - y + c \log(x - 2y - 4) = k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)}$
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{\sin v}$
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$
ચલને અલગ કરતા:
$-\sin v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$-\int \sin v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\cos v = \log x + C$
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા:
$\cos \frac{y}{x} = \log x + C$
આને આપેલ ઉકેલ $\cos \frac{y}{x} = A \log x + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - y^2 - x^2}$ છે.
$y = mx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = m + x \frac{dm}{dx}$ મળે.
$m + x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2 x^2}{x(mx) - m^2 x^2 - x^2} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1}$.
$x \frac{dm}{dx} = \frac{m^2}{m - m^2 - 1} - m = \frac{m^2 - m^2 + m^3 + m}{m - m^2 - 1} = \frac{m^3 + m}{m - m^2 - 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{m - m^2 - 1}{m^3 + m} dm = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \left( \frac{m}{m(m^2 + 1)} - \frac{m^2 + 1}{m(m^2 + 1)} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\int \left( \frac{1}{m^2 + 1} - \frac{1}{m} \right) dm = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}(m) - \ln|m| = \ln|x| + C$.
$m = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \ln\left|\frac{y}{x}\right| = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - (\ln|y| - \ln|x|) = \ln|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|y| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = f(y) + C$ સાથે સરખાવતા,$f(y) = \ln|y|$ મળે.
તેથી,$f(e^3) = \ln|e^3| = 3$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ છે.
કારણ કે $f$ અને $g$ સમાન ક્રમના સમપરિમાણીય વિધેયો છે,આપણે લખી શકીએ $\frac{dy}{dx} = \frac{f(Vy, y)}{g(Vy, y)} = \frac{y^n f(V, 1)}{y^n g(V, 1)} = \frac{f(V, 1)}{g(V, 1)}$.
આપણને આદેશ $x = Vy$ આપેલ છે. $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = V + y\frac{dV}{dy}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{dx}{dy} - V \right)$.
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$,આપણી પાસે $\frac{dx}{dy} = \frac{g(x, y)}{f(x, y)} = \frac{g(Vy, y)}{f(Vy, y)} = \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)}$ છે.
આ કિંમતને $\frac{dV}{dy}$ ના પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y} \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ મળે છે.
આને $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{y}(F(V))$ સાથે સરખાવતા,આપણને $F(V) = \left( \frac{g(V, 1)}{f(V, 1)} - V \right)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y \log_{e} 0.5 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = y \log_{e} 0.5$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = (\log_{e} 0.5) dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \int (\log_{e} 0.5) dx$,જે $\ln y = (\log_{e} 0.5) x + C$ આપે છે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા: $\ln 1 = (\log_{e} 0.5)(0) + C$,તેથી $0 = 0 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
આમ,$\ln y = (\log_{e} 0.5) x$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$y = e^{(\log_{e} 0.5) x} = (e^{\log_{e} 0.5})^x = (0.5)^x$.
આપણને આપેલ છે કે $x \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $y(x) \rightarrow k$.
તેથી,$k = \lim_{x \rightarrow \infty} (0.5)^x$.
કારણ કે $0.5 < 1$,તેથી જેમ $x \rightarrow \infty$ થાય,તેમ $(0.5)^x \rightarrow 0$ થાય.
આમ,$k = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos^2 x \frac{dy}{dx} + y = \tan x$.
$\cos^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \sec^2 x$ અને $Q = \tan x \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ છે.
$y e^{\tan x} = \int \tan x \sec^2 x e^{\tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
$y e^{\tan x} = \int u e^u du + C = e^u(u - 1) + C$.
$y e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x - 1) + C$.
$e^{\tan x}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી $x = \frac{\pi}{4}$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = \tan(\frac{\pi}{4}) - 1 + Ce^{-\tan(\frac{\pi}{4})}$.
$1 = 1 - 1 + Ce^{-1}$.
$1 = Ce^{-1} \Rightarrow C = e$.

(A) રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માટે,સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધારો કે $u = e^{\int P(x) dx}$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = e^{\int P(x) dx} \cdot \frac{d}{dx}(\int P(x) dx) = u \cdot P(x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{du}{dx} - P(x)u = 0$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $u$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $\frac{dy}{dx} - P(x)y = 0$ છે.