AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 14x - 10y - 151 = 0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,આપણને $(x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 225$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $C = (7, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 15$ છે.
ધારો કે $P = (2, -7)$. બિંદુ $P$ થી કેન્દ્ર $C$ નું અંતર $d = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ છે.
અહીં $d < r$ હોવાથી,બિંદુ $P$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
સૌથી ટૂંકું અંતર $r - d = 15 - 13 = 2$ છે.
સૌથી મોટું અંતર $r + d = 15 + 13 = 28$ છે.
તેથી,સૌથી મોટા અને સૌથી ટૂંકા અંતરનો ગુણોત્તર $28 : 2 = 14 : 1$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10 = 0$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10 = 0$ છે.
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10) - (x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $x - y = 0$ એટલે કે $y = x$ મળે છે.
રેખા $y = x$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_0, y_0)$ નું પ્રતિબિંબ $(y_0, x_0)$ થાય છે.
તેથી,રેખા $y = x$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $(4, 3)$ છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -2$,$f = -1$,અને $c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P = (10, 7)$ છે. બિંદુ $P$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ છે.
અંતર $d = 10$ એ ત્રિજ્યા $r = 5$ કરતા વધારે હોવાથી,બિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.
વર્તુળથી બિંદુનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = 10 - 5 = 5$ એકમ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
કેન્દ્ર $(-3, 0)$ થી ઓછામાં ઓછા $2$ એકમ અંતરે આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ એ $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર અથવા તેની બહારનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ: $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} \geq 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 3)^2 + y^2 \geq 2^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 6x + 9 + y^2 \geq 4$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 + 6x + 5 \geq 0$.

(D) ધારો કે આપેલા વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-13=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+x-2y-14=0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની અંદર હોય તે માટે,$S(x_1, y_1) < 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ વર્તુળ માટે $S_1(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 - 13 < 0$
$4 + \lambda^2 - 13 < 0$
$\lambda^2 - 9 < 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 3) < 0$
$-3 < \lambda < 3$ ...$(i)$
બીજા વર્તુળ માટે $S_2(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$4 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$\lambda^2 - 2\lambda - 8 < 0$
$(\lambda - 4)(\lambda + 2) < 0$
$-2 < \lambda < 4$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) નો છેદગણ લેતા,આપણને મળે છે:
$\lambda \in (-2, 3)$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(x_i, \frac{1}{x_i})$ વર્તુળ પર હોવાથી,$x_i^2 + (\frac{1}{x_i})^2 + 2gx_i + 2f(\frac{1}{x_i}) + c = 0$.
$x_i^2$ વડે ગુણતા,આપણને ચતુર્થઘાત સમીકરણ મળે છે:
$x_i^4 + 2gx_i^3 + cx_i^2 + 2fx_i + 1 = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,ચતુર્થઘાત સમીકરણ $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{e}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $e = 1$ છે.
તેથી,$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{1}{1} = 1$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=2$ છે. રેખા $2x-2y-3=0$ પર કેન્દ્ર $(0,0)$ થી લંબ અંતર $p_1 = \frac{|2(0)-2(0)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{8}}$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $d_1 = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{4-\frac{9}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-10x-14y+65=0$ માટે,કેન્દ્ર $(5,7)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{5^2+7^2-65} = \sqrt{25+49-65} = \sqrt{9} = 3$ છે.
રેખા $2x-2y-3=0$ પર કેન્દ્ર $(5,7)$ થી લંબ અંતર $p_2 = \frac{|2(5)-2(7)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{|10-14-3|}{\sqrt{8}} = \frac{7}{\sqrt{8}}$ છે.
તેથી,$d_2 = 2\sqrt{r_2^2-p_2^2} = 2\sqrt{9-\frac{49}{8}} = 2\sqrt{\frac{72-49}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ છે.
આમ,$d_1=d_2$ થાય છે.

(A) રેખા એ વર્તુળ $x^2+y^2-4y-6=0$ ને અભિલંબ છે,તેથી તે તેના કેન્દ્ર $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખાનું સમીકરણ $y-2=m(x-0)$ એટલે કે $mx-y+2=0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2-2x-3=0$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 0)$ થી રેખા $mx-y+2=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(1)-0+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} = 2$
$|m+2| = 2\sqrt{m^2+1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(m+2)^2 = 4(m^2+1)$
$m^2+4m+4 = 4m^2+4$
$3m^2-4m = 0$
$m(3m-4) = 0$
તેથી,$m=0$ અથવા $m=\frac{4}{3}$.
જો $m=0$ હોય,તો રેખા $y=2$ મળે.
જો $m=\frac{4}{3}$ હોય,તો રેખા $4x-3y+6=0$ મળે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ છે.
તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $C = (3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ થી રેખા $3x + 4y - 25 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3(3) + 4(-4) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{32}{5}$ છે.
રેખાથી વર્તુળનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = \frac{32}{5} - 5 = \frac{7}{5}$ થાય.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = r^2$ છે.
અહીં $r^2 = 1$ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = 1$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
આને $x x_1 + y y_1 = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x_1 = \frac{1}{a}$ અને $y_1 = \frac{1}{b}$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ સ્પર્શબિંદુ હોવાથી,તે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર આવેલું હોય.
તેથી,બિંદુ $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)$ વર્તુળ પર આવેલું છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2+y^2+6x+6y-2=0$ છે.
બિંદુ $Q$ એ $Y$-અક્ષ પર છે અને રેખા $5x-2y+6=0$ પર છે.
રેખાના સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા: $5(0)-2y+6=0$ $\Rightarrow -2y=-6$ $\Rightarrow y=3$.
તેથી,$Q$ ના યામ $(0, 3)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળના સમીકરણ $S(x, y) = x^2+y^2+6x+6y-2$ માં $Q(0, 3)$ મૂકતા:
$S_1 = 0^2 + 3^2 + 6(0) + 6(3) - 2 = 0 + 9 + 0 + 18 - 2 = 25$.
તેથી,સ્પર્શકની લંબાઈ $PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{25} = 5$.

(A) કેન્દ્ર $C(1, 2)$ અને બિંદુ $P(16, 7)$ વચ્ચેનું અંતર $PC = \sqrt{(16-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{250}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PACB$ નું ક્ષેત્રફળ $AP \times r = 75$ થાય.
ધારો કે $AP = x$,તેથી $x = \frac{75}{r}$.
કાટ્રાયેંગલ $\triangle PAC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + r^2 = PC^2 \Rightarrow (\frac{75}{r})^2 + r^2 = 250$
$r^4 - 250r^2 + 5625 = 0$
$(r^2 - 225)(r^2 - 25) = 0$
તેથી $r^2 = 225$ અથવા $r^2 = 25$.
આમ,$r = 15$ અથવા $r = 5$ મળે. વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $5$ છે.

(D) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
વર્તુળ $(0,2)$ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h|$ અને કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 2$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-2)^2 = h^2$ છે.
તે $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(-1-h)^2 + (0-2)^2 = h^2$
$1 + 2h + h^2 + 4 = h^2$
$2h = -5 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2$ છે.
વિકલ્પ $(d)$ $(-4, 0)$ તપાસતા:
$\left(-4 + \frac{5}{2}\right)^2 + (0-2)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2$.
આમ,વર્તુળ $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ છે.
તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (3, 2)$ મળે છે.
$PA$ અને $PB$ એ $P(1, 8)$ બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,$\angle PAC$ અને $\angle PBC$ એ $90^{\circ}$ છે.
આમ,બિંદુઓ $P, A, C$ અને $B$ એ $PC$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
$P, A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{8+2}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{10}{2}\right) = (2, 5)$.

(B) કારણ કે $(\alpha, \beta)$ રેખા $3x - 4y = 1$ પર આવેલું છે,તેથી $3\alpha - 4\beta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = \frac{3\alpha - 1}{4}$.
કારણ કે $(\alpha, \beta)$ વર્તુળ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ પર પણ આવેલું છે,આપણે $\beta$ ની કિંમત મૂકીએ:
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha - 1}{4} + 2)^2 = 4$
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha + 7}{4})^2 = 4$
$16(\alpha - 1)^2 + (3\alpha + 7)^2 = 64$
$16(\alpha^2 - 2\alpha + 1) + (9\alpha^2 + 42\alpha + 49) = 64$
$16\alpha^2 - 32\alpha + 16 + 9\alpha^2 + 42\alpha + 49 = 64$
$25\alpha^2 + 10\alpha + 1 = 0$
$(5\alpha + 1)^2 = 0$
$\alpha = -\frac{1}{5}$.
$\alpha$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\beta = \frac{3(-\frac{1}{5}) - 1}{4} = \frac{-\frac{3}{5} - 1}{4} = \frac{-\frac{8}{5}}{4} = -\frac{2}{5}$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$.

(A) રેખા $y=mx+1$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x+my+k=0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,અથવા $y=-\frac{1}{m}x+c$.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે,રેખા $y=m_1x+c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2=r^2(1+m_1^2)$ છે.
અહીં,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{m}$ અને $r=1$ છે.
આ શરતમાં કિંમતો મૂકતા: $c^2 = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{m})^2) = 1 + \frac{1}{m^2} = \frac{m^2+1}{m^2}$.
તેથી,$c = \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m}x \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$ છે.
$m$ વડે ગુણતા,આપણને $my = -x \pm \sqrt{m^2+1}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x+my \pm \sqrt{1+m^2}=0$ થાય છે.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $a = \sqrt{9} = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+3}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 3(2)$.
$y = \sqrt{3}x \pm 6$.
પદોને ગોઠવતા,$\sqrt{3}x - y \pm 6 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x+\lambda)^2+(y+1)^2=\lambda^2$ છે.
અહીં,કેન્દ્ર $C$ એ $(-\lambda, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ એ $|\lambda|$ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે અને $P$ એ $O$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે,તેથી ખૂણો $\angle COP = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = 45^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OCP$ માં,$\tan(\angle COP) = \frac{CP}{OP} = \frac{r}{OP}$ થાય.
$\angle COP = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી $OP = CP = |\lambda|$ મળે.
વળી,અંતર $OC = \sqrt{(-\lambda-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{\lambda^2+1}$ થાય.
$\triangle OCP$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OC^2 = OP^2 + CP^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(\sqrt{\lambda^2+1})^2 = |\lambda|^2 + |\lambda|^2$.
$\lambda^2 + 1 = 2\lambda^2$.
તેથી,$\lambda^2 = 1$ મળે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $P(\alpha, 1)$ એ રેખા $y=1$ પર છે. ધારો કે જીવા $PQ$ છે અને તેનું મધ્યબિંદુ $x$-અક્ષ પર $M(h, 0)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-\alpha x-y=0$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
અહીં,$T = xh + yk - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}(y+k)$ અને $S_1 = h^2+k^2-\alpha h-k$.
મધ્યબિંદુ $(h, 0)$ હોવાથી,$T = xh - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}y$ અને $S_1 = h^2-\alpha h$.
તેથી,$xh - \frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha}{2}h - \frac{1}{2}y = h^2-\alpha h$.
આ જીવા $P(\alpha, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=\alpha$ અને $y=1$ મૂકતા:
$\alpha h - \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha h}{2} - \frac{1}{2} = h^2 - \alpha h$.
$2$ વડે ગુણતા: $2\alpha h - \alpha^2 - \alpha h - 1 = 2h^2 - 2\alpha h$.
પદોને ગોઠવતા: $2h^2 - 3\alpha h + \alpha^2 + 1 = 0$.
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,$h$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D > 0$:
$(-3\alpha)^2 - 4(2)(\alpha^2+1) > 0$.
$9\alpha^2 - 8\alpha^2 - 8 > 0$.
$\alpha^2 - 8 > 0 \Rightarrow \alpha^2 > 8$.

(A) ધારો કે $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે ...$(i)$.
આપેલ વર્તુળો $x^2+y^2+6x-15=0$ ...$(ii)$ અને $x^2+y^2-8y-10=0$ ...$(iii)$ છે.
વર્તુળ $(i)$ અને $(ii)$ લંબચ્છેદી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ:
$2(g)(3) + 2(f)(0) = 0 + (-15)$ $\Rightarrow 6g = -15$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$.
વર્તુળ $(i)$ અને $(iii)$ લંબચ્છેદી હોવાથી:
$2(g)(0) + 2(f)(-4) = 0 + (-10)$ $\Rightarrow -8f = -10$ $\Rightarrow f = \frac{5}{4}$.
$g$ અને $f$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y = 0$.
$x^2+y^2-5x+\frac{5}{2}y = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,$2(x^2+y^2)-10x+5y=0$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $(x-1)^2+(y-1)^2=1$,$(x+1)^2+(y-1)^2=1$,$(x-1)^2+(y+1)^2=1$,અને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ છે. આ વર્તુળોની ત્રિજ્યા $1$ છે અને કેન્દ્રો $(\pm 1, \pm 1)$ પર છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી કેન્દ્રોનું અંતર $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ છે.
સૌથી નાનું વર્તુળ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને આ ચાર વર્તુળોને સ્પર્શે છે. તેની ત્રિજ્યા $r$ એ ઉગમબિંદુથી આપેલ વર્તુળોના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર ઓછા તે વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે: $r = \sqrt{2} - 1$.
સૌથી મોટું વર્તુળ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને આ ચાર વર્તુળોને સમાવે છે. તેની ત્રિજ્યા $R$ એ ઉગમબિંદુથી આપેલ વર્તુળોના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર વત્તા તે વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે: $R = \sqrt{2} + 1$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2+1-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$ છે.

(B) ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ એ બે વર્તુળોના કેન્દ્રો છે. કારણ કે $BP$ અને $BQ$ વ્યાસ છે,$C_1$ એ $BP$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $C_2$ એ $BQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\triangle BPQ$ માં,$C_1$ અને $C_2$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BP$ અને $BQ$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય દ્વારા,$PQ \parallel C_1C_2$.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_1C_2$ એ રેડિકલ અક્ષ $AB$ ને લંબ છે.
તેથી,$PQ$ એ રેડિકલ અક્ષ $AB$ ને લંબ છે.
જો રેડિકલ અક્ષનો ઢાળ $m_1 = 3/4$ હોય અને $PQ$ નો ઢાળ $m_2 = a/b$ હોય,તો $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{3}{4} \times \frac{a}{b} = -1$
$\frac{3a}{4b} = -1$
$3a = -4b$
$3a + 4b = 0$.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2g_i x+2f_i y+c_i=0$ ને લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2gg_i+2ff_i=c+c_i$ છે.
આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-4=0 \Rightarrow g_1=0, f_1=0, c_1=-4$
$S_2: x^2+y^2-2x-3=0 \Rightarrow g_2=-1, f_2=0, c_2=-3$
$S_3: x^2+y^2-2y-3=0 \Rightarrow g_3=0, f_3=-1, c_3=-3$
શરત લાગુ પાડતા:
$1$) $S_1$ માટે: $2g(0)+2f(0)=c-4 \Rightarrow c=4$.
$2$) $S_2$ માટે: $2g(-1)+2f(0)=c-3$ $\Rightarrow -2g=4-3=1$ $\Rightarrow g=-1/2$.
$3$) $S_3$ માટે: $2g(0)+2f(-1)=c-3$ $\Rightarrow -2f=4-3=1$ $\Rightarrow f=-1/2$.
હવે,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $r$ ચકાસતા:
$r^2 = g^2+f^2-c = (-1/2)^2+(-1/2)^2-4 = 1/4+1/4-4 = 1/2-4 = -7/2$.
$r^2 < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક વર્તુળ શક્ય નથી.
આમ,આવા વર્તુળોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર સ્પર્શકો: $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$.
તેમની સરખામણી કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $6x - 8y + 8 = 0$ તરીકે લખો.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ $d$ છે:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{10} = 1.5$.
ત્રિજ્યા $r = 0.75$.
કેન્દ્રોનો બિંદુપથ એ આપેલી રેખાઓને સમાંતર રેખા છે.
ગણતરી કરતા,બિંદુપથ $12x - 16y + 15 = 0$ સ્વરૂપની રેખા મળે છે.

(A) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = c^2$ ના સંદર્ભમાં ધ્રુવ છે.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x x_1 + y y_1 = c^2$ છે.
આને $\frac{x x_1}{c^2} + \frac{y y_1}{c^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x_1}{c^2} = \frac{1}{a} \Rightarrow x_1 = \frac{c^2}{a}$
$\frac{y_1}{c^2} = \frac{1}{b} \Rightarrow y_1 = \frac{c^2}{b}$
આમ,ધ્રુવ $\left(\frac{c^2}{a}, \frac{c^2}{b}\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2-1=0$ ...$(i)$
$S_2: x^2+y^2-8x+15=0$ ...(ii)
$S_3: x^2+y^2+10y+24=0$ ...(iii)
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-8x+15) = 0$
$8x - 16 = 0 \Rightarrow x = 2$
$S_1$ અને $S_3$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2+10y+24) = 0$
$-10y - 25 = 0$ $\Rightarrow 10y = -25$ $\Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $\left(2, -\frac{5}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2+3x+2y+1=0$
$S_2: x^2+y^2-x+6y+5=0$
$S_3: x^2+y^2+5x-8y+15=0$
રેડિકલ કેન્દ્ર એ વર્તુળોની જોડીના રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ છે.
$S_1$ અને $S_2$ નો રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+3x+2y+1) - (x^2+y^2-x+6y+5) = 0$
$4x - 4y - 4 = 0$ $\Rightarrow x - y - 1 = 0$ $\Rightarrow x = y + 1$ (સમીકરણ $1$)
$S_2$ અને $S_3$ નો રેડિકલ અક્ષ $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-x+6y+5) - (x^2+y^2+5x-8y+15) = 0$
$-6x + 14y - 10 = 0 \Rightarrow 3x - 7y + 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી $x = y + 1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3(y + 1) - 7y + 5 = 0$
$3y + 3 - 7y + 5 = 0$
$-4y + 8 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત $x = y + 1$ માં મૂકતા:
$x = 2 + 1 = 3$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $(3,2)$ છે.

(C) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2-6x+12y+15=0$ માટે,$g=-3, f=6, c=15$ છે.
$r_1 = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$.
બીજા વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-6x+12y-15=0$ માટે,$g=-3, f=6, c=-15$ છે.
$r_2 = \sqrt{(-3)^2+6^2-(-15)} = \sqrt{9+36+15} = \sqrt{60}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) ધારો કે સળિયો $x$-અક્ષને $(a, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, b)$ બિંદુએ છેદે છે,અને $(x, y)$ એ સળિયાનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ અને $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$.
સળિયાની લંબાઈ $r$ એકમ આપેલી છે,તેથી $a^2 + b^2 = r^2$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(2x)^2 + (2y)^2 = r^2$ મળે છે.
$4x^2 + 4y^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = (\frac{r}{2})^2$.
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $R = \frac{r}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
વક્રની લંબાઈ (વર્તુળનો પરિઘ) $2 \pi R = 2 \pi (\frac{r}{2}) = \pi r$ છે.

(B) ધારો કે $x = \frac{8t}{1+t^2}$ અને $y = \frac{4(1-t^2)}{1+t^2}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = \frac{64t^2 + 16(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$
$x^2 + y^2 = \frac{16(4t^2 + (1-t^2)^2)}{(1+t^2)^2}$
કારણ કે $(1-t^2)^2 + 4t^2 = (1+t^2)^2$ હોવાથી,
$x^2 + y^2 = \frac{16(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 16$.
આ $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4^2$ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta = 1$ છે.
આ રેખા $\theta$ ની તમામ કિંમતો માટે વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(h, k)$ થી સ્પર્શક રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
રેખાને $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta - 1 = 0$ તરીકે લખતા,$(h, k)$ થી અંતર $\frac{|(h-2) \cos \theta + (k-2) \sin \theta - 1|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = r$ થાય.
આ $\theta$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવાથી,$h-2 = 0$ અને $k-2 = 0$ હોવું જોઈએ,જે કેન્દ્ર $(2, 2)$ આપે છે.
ત્યારબાદ,અંતર $|-1| = r$ થાય,તેથી $r = 1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 1^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 1$ મળે.
આમ,$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$.

(A) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
આપેલ છે કે તે $(0,4), (1,9)$ અને $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(0,4)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 4$.
$(1,9)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $9 = a(1)^2 + b(1) + 4 \implies a + b = 5 \dots (1)$.
$(4,5)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $5 = a(4)^2 + b(4) + 4 \implies 16a + 4b = 1 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $4a + 4b = 20 \dots (3)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $12a = -19 \implies a = -\frac{19}{12}$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $b = \frac{79}{12}$.
આમ,સમીકરણ $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ મળે છે.
જેને સાદું રૂપ આપતા: $19x^2 + 12y - 79x - 48 = 0$.

(B) વિકલ્પ $(A)$ માટે: $x=4 \cos t, y=4 \sin t$. વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$x^2+y^2=16(\cos^2 t + \sin^2 t) = 16$. આ વર્તુળનું સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $x^2-2=-2 \cos t$ અને $y=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
નિત્યસમ $\cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-1$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1+\cos t}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos t = 2y-1$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2-2 = -2(2y-1) = -4y+2$.
આમ,$x^2 = -4y+4$,એટલે કે $x^2 = -4(y-1)$. આ પરવલયનું સમીકરણ છે.

(D) નાભિ $(4, -3)$ પર છે અને શિરોબિંદુ $(4, -1)$ પર છે.
$x$-યામ સમાન હોવાથી,પરવલયની અક્ષ શિરોલંબ રેખા $x=4$ છે.
નાભિ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુ $(4, -1)$ અને નાભિ $(4, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $a = |-1 - (-3)| = 2$ છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ છે.
$h=4, k=-1, a=2$ મૂકતા:
$(x-4)^2 = -4(2)(y - (-1))$
$(x-4)^2 = -8(y+1)$
$x^2 - 8x + 16 = -8y - 8$
$x^2 - 8x + 8y + 24 = 0$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{25}(3x-4y+7)^2$ છે.
અહીં નાભિ $S = (2, 3)$ છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $3x-4y+7=0$ છે.
નાભિથી નિયામિકાનું લંબઅંતર $d = \frac{|3(2)-4(3)+7|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+7|}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $2d$ થાય છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x=t^2+t+1$ અને $y=t^2-t+1$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x-y = 2t$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{x-y}{2}$.
$t$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2+1\right)$.
$x+y = 2\left(\frac{(x-y)^2}{4}+1\right) = \frac{(x-y)^2}{2}+2$.
$2$ વડે ગુણતા: $2(x+y) = (x-y)^2+4$.
ગોઠવતા: $(x-y)^2 = 2(x+y-2)$.
આ $Y^2 = 4aX$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $Y = x-y$,$X = x+y-2$,અને $4a = 2$.
તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-6x+4y+\lambda=0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-3)^2-9+4y+\lambda=0$,જે $(x-3)^2 = -4(y - \frac{9-\lambda}{4})$ માં પરિણમે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,$h=3$,$k=\frac{9-\lambda}{4}$,અને $a=1$ મળે છે.
આ પરવલયની નિયામિકા $y = k+a$ છે.
નિયામિકા $y+1=0$ એટલે કે $y=-1$ આપેલ હોવાથી,$k+a = -1$ લેતા.
$k$ અને $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{9-\lambda}{4} + 1 = -1$.
$\frac{9-\lambda}{4} = -2 \implies 9-\lambda = -8 \implies \lambda = 17$.
નાભિ $(h, k-a) = (3, -2-1) = (3, -3)$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2+8x+12y+4=0$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2+8x = -12y-4$
$(x+4)^2 - 16 = -12y-4$
$(x+4)^2 = -12y+12$
$(x+4)^2 = -12(y-1)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = -12$ મળે છે,તેથી $a = -3$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-4, 1)$ છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k - a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$.
આમ,નિયામિકાનું સમીકરણ $y-4=0$ છે.

(D) પરવલયનું નાભિ $(0, -a) = (0, -3)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
નિયામિકા $y = a = 3$ છે.
નાભિ $y$-અક્ષ પર છે અને ઉગમબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 = -4ay$ છે.
સમીકરણમાં $a = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^2 = -4 \times 3y$
$x^2 = -12y$

(C) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,તેથી $a = 2$.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
બિંદુ $(6, 4 \sqrt{3})$ અને નાભિ $(2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 \sqrt{3} - 0)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (4 \sqrt{3})^2}$
$d = \sqrt{16 + 16 \times 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64}$
$d = 8$.

(C) શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક $x-y+1=0 \dots (i)$ છે.
પરવલયની નાભિ $S(0,0)$ છે.
નાભિથી શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકનું લંબ અંતર $a = \left|\frac{0-0+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
નિયામિકા એ શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકને સમાંતર હોય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x-y+c=0$ સ્વરૂપમાં હશે.
નાભિથી નિયામિકાનું લંબ અંતર $2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\left|\frac{0-0+c}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow |c| = 2$.
નાભિ $(0,0)$ અને સ્પર્શક $x-y+1=0$ નિયામિકાની એક જ બાજુએ હોવાથી,આપણે $c=2$ લઈએ છીએ.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x-y+2=0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ $(2,4)$ આગળ $y=x^2$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $(2,4)$ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $(h,k)$ માંથી પસાર થશે.
$y=x^2$ નું વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x$ છે. $x=2$ આગળ ઢાળ $4$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{4}$ છે.
$(2,4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-4 = -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow x+4y-18=0$ છે.
તેથી,$h+4k=18$ (સમીકરણ $1$).
$(h,k)$ થી $(2,4)$ નું અંતર અને $(h,k)$ થી $(0,1)$ નું અંતર સમાન છે:
$(h-2)^2 + (k-4)^2 = (h-0)^2 + (k-1)^2$.
$-4h-6k+19=0 \Rightarrow 4h+6k=19$ (સમીકરણ $2$).
$h+4k=18$ અને $4h+6k=19$ ઉકેલતા:
$k=\frac{53}{10}$ અને $h=-\frac{16}{5}$.
કેન્દ્ર $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4px$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2pm - pm^3$ છે.
આપેલ અભિલંબના સમીકરણ $ax + by = 1$ ને $y = -\frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, $m = -\frac{a}{b}$ અને $-2pm - pm^3 = \frac{1}{b}$ મળે.
$m = -\frac{a}{b}$ ની કિંમત મૂકતા:
$-2p(-\frac{a}{b}) - p(-\frac{a}{b})^3 = \frac{1}{b}$
$\frac{2pa}{b} + \frac{pa^3}{b^3} = \frac{1}{b}$
બંને બાજુ $b^3$ વડે ગુણતા, $2pab^2 + pa^3 = b^2$ મળે, જેને $pa^3 = b^2 - 2pab^2$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ અસમતા: ${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 > { }^n C_3$
પાસ્કલના નિત્યસમ ${ }^n C_{r-1} + { }^n C_r = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 = { }^n C_4$
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
${ }^n C_4 > { }^n C_3$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4!(n-4)!} > \frac{1}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4 \times 3! \times (n-4)!} > \frac{1}{3! \times (n-3) \times (n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n - 3 > 4$
$n > 7$
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $8$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$
$10 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 3 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$
$5n(n-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{2}$
$n > 2$ હોવાથી,બંને બાજુ $n(n-1)$ વડે ભાગતા:
$5 = \frac{n+1}{2}$
$10 = n + 1$
$n = 9$

(A) આપેલ છે કે $\frac{{ }^{2n}C_3}{{ }^{n}C_3} = \frac{12}{1}$.
સૂત્ર ${ }^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4n(2n-1)}{n(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 12$
$\Rightarrow 2n-1 = 3(n-2)$
$\Rightarrow 2n-1 = 3n-6$
$\Rightarrow n = 5$.

(B) આપણે ગુણધર્મ ${ }^n C_r={ }^n C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
${ }^9 C_5={ }^9 C_{9-5}={ }^9 C_4$.
હવે,પદાવલિ ${ }^9 C_3+{ }^9 C_4$ બને છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
${ }^9 C_4+{ }^9 C_3={ }^{10} C_4$.
આને ${ }^{10} C_r$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r=4$ મળે છે.

(B) અમે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$.
આપેલ પદાવલિ ${}^{34}C_5 + \sum_{i=0}^4 {}^{38-i}C_4 = {}^{34}C_5 + {}^{38}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{35}C_4 + {}^{34}C_4$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $({}^{34}C_5 + {}^{34}C_4) + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ મળે છે.
નિત્યસમ ${}^{34}C_5 + {}^{34}C_4 = {}^{35}C_5$ લાગુ પાડતા,પદાવલિ ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ બને છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા: ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 = {}^{36}C_5$,ત્યારબાદ ${}^{36}C_5 + {}^{36}C_4 = {}^{37}C_5$,ત્યારબાદ ${}^{37}C_5 + {}^{37}C_4 = {}^{38}C_5$,અને અંતે ${}^{38}C_5 + {}^{38}C_4 = {}^{39}C_5$ મળે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે: ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^n C_r = { }^{n-1} C_r + { }^{n-1} C_{r-1} = ({ }^{n-2} C_r + { }^{n-2} C_{r-1}) + ({ }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}) = { }^{n-2} C_r + 2 \cdot { }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}$.
વધુ વિસ્તરણ કરતા: ${ }^{n-2} C_r + 2({ }^{n-3} C_{r-1} + { }^{n-3} C_{r-2}) + ({ }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}) = { }^{n-3} C_r + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $B = 3$ અને $B^{\prime} = 3$ મળે છે.
તેથી,$(B, B^{\prime}) = (3, 3)$.

(C) આપેલ $k$-મું પદ $t_k = k \times k!$ છે.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$t_k = (k+1-1) \times k!$
$t_k = (k+1) \times k! - k!$
$t_k = (k+1)! - k!$
હવે,$k=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો કરતા:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!)$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n+1)! - n!)$
$S_n = (n+1)! - 1!$
$S_n = (n+1)! - 1$

(C) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ છે.
બંને બાજુએ સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y P(x) e^{\int P dx} = Q(x) e^{\int P dx}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $y$ અને સંકલ્યકારક અવયવના ગુણાકારનું વિકલન:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(e^{\int P dx})$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} P(x)$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y e^{\int P dx} P(x)$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{d}{dx}(y f(x))$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f(x) = e^{\int P dx}$.

(C) આપેલ આદેશ $\frac{dy}{dx}=z$ નો ઉપયોગ કરીને,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dz}{dx}$ મળે છે.
આ કિંમતોને આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{dz}{dx}-z=0$ મળે છે.
આ પ્રથમ ક્રમનું વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dz}{dx}=z$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dz}{z}=dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dz}{z} = \int dx$,જેનું પરિણામ $\log_{e}|z|=x+C_1$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $|z|=e^{x+C_1} = e^{C_1} \cdot e^{x}$ મળે છે.
ધારો કે $A = \pm e^{C_1}$,તેથી આપણને ઉકેલ $z=Ae^{x}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ છે.
બંને બાજુ $(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2+1} y = \frac{x^3}{x^2+1}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{x}{x^2+1}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int \frac{x}{x^2+1} dx}$.
ધારો કે $u = x^2+1$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{1}{2} du$.
$IF = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1)} = e^{\ln((x^2+1)^{1/2})} = \sqrt{x^2+1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ છે,જ્યાં $y(1)=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+y^2) dx = xy dy$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1+y^2}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1+y^2}$.
ધારો કે $t = 1+y^2$,તેથી $dt = 2y dy$,એટલે કે $y dy = \frac{1}{2} dt$.
આથી,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C_1 = \ln|\sqrt{1+y^2}| + C_1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x = c\sqrt{1+y^2}$.
શરત $y(1)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા: $1 = c\sqrt{1+0^2} \implies c=1$.
તેથી,$x = \sqrt{1+y^2}$,જેનો વર્ગ કરતા $x^2 = 1+y^2$ અથવા $x^2 - y^2 = 1$ મળે.
આ એક લંબ અતિવલય (rectangular hyperbola) નું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2=1$ અને $b^2=1$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x dy - y dx = y dy$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x dy - y dy = y dx$
$\Rightarrow (x - y) dy = y dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x - y}$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $dy = v dx + x dv$.
$v dx + x dv = \frac{vx}{x - vx} dx = \frac{v}{1 - v} dx$
$x dv = (\frac{v}{1 - v} - v) dx = \frac{v^2}{1 - v} dx$
$\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$
$\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-v^{-1} - \ln|v| = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{v} = \ln|vx| + C$
$v = \frac{y}{x}$ અને $vx = y$ મૂકતા:
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + C$
$\ln|y| = -\frac{x}{y} - C$
$y = A e^{-x/y}$ જ્યાં $A = e^{-C}$.

(D) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ $y \frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y \frac{dy}{dx} = x - 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int (x - 1) \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x + C$
$y^2 = x^2 - 2x + 2C$.
વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2^2 = 1^2 - 2(1) + 2C$
$4 = 1 - 2 + 2C$
$4 = -1 + 2C \implies 2C = 5$.
સમીકરણમાં $2C = 5$ મૂકતા:
$y^2 = x^2 - 2x + 5$
$y^2 - (x^2 - 2x + 1) = 4$
$y^2 - (x - 1)^2 = 4$
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{y^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1$.
આ એક અતિવલય (hyperbola) છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ ના શિરોબિંદુઓ $(h, k \pm a)$ છે.
અહીં $h = 1, k = 0, a = 2$.
તેથી શિરોબિંદુઓ $(1, 0 \pm 2)$ એટલે કે $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(1, 2)$ એ શિરોબિંદુ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ વક્રનો ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ છે.
ધારો કે બીજા વક્રનો ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}$ છે.
હવે,ઢાળનો ગુણાકાર ગણો: $m_1 \times m_2 = \left(\frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}\right) \times \left(-\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}\right) = -1$.
કારણ કે ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ છે,વક્રો લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે છેદનકોણ $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.
અંતે,$4\theta - \frac{\pi}{2} = 4\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ થાય છે.

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}| = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $y \frac{dy}{dx} = \pm k$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $y \, dy = \pm k \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int y \, dy = \int \pm k \, dx$ મળે છે.
આના પરિણામે $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = \pm 2kx + 2C$ મળે છે.
ધારો કે $A = 2C$,તો આપણને $y^2 - A = \pm 2kx$ મળે છે.
આમ,વક્રોના કુળનું સમીકરણ $y^2 - A = 2Kx$ છે (ધન અચળાંક સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લેતા).

(B) $\triangle ABC$ માં,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b} \dots (i)$
$\triangle ADC$ માં,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$. આપેલ છે કે $\overrightarrow{DA} = \vec{a} - \vec{b}$,તેથી $\overrightarrow{AD} = -(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$.
આમ,$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{a}$.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{\vec{b}}{2}$.
$\triangle BDM$ માં,$\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BD}$. કારણ કે $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{b} - 2\vec{a}$,તેથી $\overrightarrow{DM} = \frac{\vec{b}}{2} - (\vec{b} - 2\vec{a}) = 2\vec{a} - \frac{\vec{b}}{2} = \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{DX} = \frac{4}{5}\overrightarrow{DM} = \frac{4}{5} \left( \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2} \right) = \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5}$.
હવે,$\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DX} = (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{5\vec{b} - 5\vec{a} + 8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{3}{5}(\vec{a} + \vec{b})$.
કારણ કે $\overrightarrow{AX} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$,તેથી સદિશો $\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{AC}$ સમાંતર છે અને સામાન્ય બિંદુ $A$ ધરાવે છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, X$ અને $C$ સમરેખ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. સેક્શન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને,$D, E, F$ ના સ્થાન સદિશો છે:
$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$,$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{a}}{3}$,$\vec{f} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$.
$AD$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{d} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{5}\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $P$ એ $BE$ પર પણ આવેલું છે,$\vec{p} = (1-m)\vec{b} + m\vec{e} = \frac{m}{3}\vec{a} + (1-m)\vec{b} + \frac{2m}{3}\vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1-t = \frac{m}{3}$,$\frac{3t}{5} = 1-m$,$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$.
$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$ પરથી,આપણને $3t = 5m$ મળે છે,તેથી $m = \frac{3t}{5}$.
$1-t = \frac{m}{3}$ માં મૂકતા,$1-t = \frac{t}{5}$ મળે,તેથી $t = \frac{5}{6}$.
પછી $m = \frac{1}{2}$.
$\vec{p}$ માટેના સમીકરણમાં $t = \frac{5}{6}$ મૂકતા:
$\vec{p} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.
હવે,$\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}) + \frac{1}{3}(\vec{c}-\vec{a}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
આમ,$x_1 = \frac{1}{2}$ અને $y_1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$x_1 + y_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.

(C) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ વક્ર $y = 2^{x+2}$ પર આવેલા છે.
બિંદુ $P$ માટે,$\overline{OP} \cdot \hat{i} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $P$ નો $x$-યામ $x_P = -1$ છે.
વક્રના સમીકરણમાં $x_P = -1$ મૂકતા: $y_P = 2^{-1+2} = 2^1 = 2$.
આમ,$P = (-1, 2)$ અને $\overline{OP} = -\hat{i} + 2\hat{j}$.
બિંદુ $Q$ માટે,$\overline{OQ} \cdot \hat{i} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $Q$ નો $x$-યામ $x_Q = 2$ છે.
વક્રના સમીકરણમાં $x_Q = 2$ મૂકતા: $y_Q = 2^{2+2} = 2^4 = 16$.
આમ,$Q = (2, 16)$ અને $\overline{OQ} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$.
હવે,$\overline{OQ} - 4\overline{OP}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{OQ} - 4\overline{OP} = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 2\hat{i} + 16\hat{j} + 4\hat{i} - 8\hat{j}$
$= (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j}$
$= 6\hat{i} + 8\hat{j}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a+3 b+4 c=x(a-2 b+3 c)+y(a+5 b-2 c)+z(6 a+14 b+4 c)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a+3 b+4 c=a(x+y+6 z)+b(-2 x+5 y+14 z)+c(3 x-2 y+4 z)$.
$a, b, c$ અસમતલીય સદિશો હોવાથી,બંને બાજુના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x+y+6 z=1$ ...$(i)$
$-2 x+5 y+14 z=3$ ...(ii)
$3 x-2 y+4 z=4$ ...(iii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 1 - y - 6z$.
(ii) માં કિંમત મૂકતા: $-2(1-y-6z) + 5y + 14z = 3 \implies -2 + 2y + 12z + 5y + 14z = 3 \implies 7y + 26z = 5$ ...(iv).
(iii) માં કિંમત મૂકતા: $3(1-y-6z) - 2y + 4z = 4 \implies 3 - 3y - 18z - 2y + 4z = 4 \implies -5y - 14z = 1$ ...$(v)$.
(iv) અને $(v)$ ઉકેલતા: (iv) ને $5$ વડે અને $(v)$ ને $7$ વડે ગુણતા: $35y + 130z = 25$ અને $-35y - 98z = 7$.
સરવાળો કરતા: $32z = 32 \implies z = 1$.
$(v)$ માં $z=1$ મૂકતા: $-5y - 14(1) = 1 \implies -5y = 15 \implies y = -3$.
$(i)$ માં $y=-3, z=1$ મૂકતા: $x - 3 + 6(1) = 1 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.
આમ,$x+y+z = -2 - 3 + 1 = -4$.

(B) ધારો કે $a, 2a, 3a$ માન ધરાવતા સદિશો ઉગમબિંદુ $O$ પર મળતા ઘનના ત્રણ પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણો પર છે.
ધારો કે ઘનની ધાર યામ અક્ષો પર છે. ત્રણ પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણોને $(\hat{i}+\hat{j})$,$(\hat{j}+\hat{k})$,અને $(\hat{k}+\hat{i})$ દિશાના સદિશો તરીકે દર્શાવી શકાય.
આ દિશાઓને પ્રમાણિત કરતા,સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{v_1} = a \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_2} = 2a \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_3} = 3a \frac{\hat{k}+\hat{i}}{\sqrt{2}}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$ છે:
$\vec{R} = \frac{a}{\sqrt{2}} [(\hat{i}+\hat{j}) + 2(\hat{j}+\hat{k}) + 3(\hat{k}+\hat{i})] = \frac{a}{\sqrt{2}} (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k})$.
માન $|\vec{R}|$ નીચે મુજબ છે:
$|\vec{R}| = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{16 + 9 + 25} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{50} = \frac{a}{\sqrt{2}} (5\sqrt{2}) = 5a$.

(D) આપેલ છે કે,$F=2 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$,$A=(1,2,5)$,અને $B=(-1,-2,-3)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $BA = A - B$ શોધીએ:
$BA = (1 - (-1)) \hat{i} + (2 - (-2)) \hat{j} + (5 - (-3)) \hat{k} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
હવે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $BA \times F$ ની ગણતરી કરીએ:
$BA \times F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 8 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(4 \times 5 - 8 \times 2) - \hat{j}(2 \times 5 - 8 \times 2) + \hat{k}(2 \times 2 - 4 \times 2)$
$= \hat{i}(20 - 16) - \hat{j}(10 - 16) + \hat{k}(4 - 8)$
$= 4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
આને આપેલ પદ $4 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2 \lambda = -4$.
તેથી,$\lambda = -2$.

(D) ધારો કે $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ થાય.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{M} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{N} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.
હવે,$\overline{AM} + \overline{AN} = \vec{M} + \vec{N} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.
$= \frac{\vec{b} + \vec{d} + 2\vec{c}}{2}$.
$\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{\vec{c} + 2\vec{c}}{2} = \frac{3\vec{c}}{2} = \frac{3}{2} \overline{AC}$.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ હોય જો કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = p\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + q\hat{j} - 3\hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$p = \lambda(1) \implies p = \lambda$
$-2 = \lambda(q) \implies -2 = \lambda q$
$5 = \lambda(-3) \implies \lambda = -\frac{5}{3}$
$\lambda = -\frac{5}{3}$ ની કિંમત અન્ય સમીકરણોમાં મૂકતા:
$p = -\frac{5}{3}$
$-2 = (-\frac{5}{3})q \implies q = -2 \times (-\frac{3}{5}) = \frac{6}{5}$
આમ,$p = -\frac{5}{3}$ અને $q = \frac{6}{5}$.

(B) આપેલ છે કે સદિશો $a$ અને $b$ સમરેખ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $b = \lambda a$,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને મળે $|b| = |\lambda| |a|$.
પ્રથમ,સદિશ $a$ નું માન શોધીએ:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આપેલ છે કે $|b| = 21$,તેથી કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$21 = |\lambda| \times 7$.
$|\lambda| = \frac{21}{7} = 3$.
આમ,$\lambda = \pm 3$.
હવે $\lambda$ ની કિંમત $b$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$b = \pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) = \pm(6\hat{i} + 9\hat{j} + 18\hat{k})$.

(B) ધારો કે $A, B, C,$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ અને $\vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{BC} = \lambda \vec{AD}$,તેથી $\vec{c} - \vec{b} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) \dots (i)$.
આપણને $\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BD}$ આપેલ છે.
સ્થાન સદિશો મૂકતા,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b})$.
પદોને ગોઠવતા,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a})$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{x} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) + 1(\vec{d} - \vec{a})$.
આમ,$\vec{x} = (\lambda + 1)(\vec{d} - \vec{a})$.
કારણ કે $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,તેથી $\vec{x} = (\lambda + 1) \vec{AD}$.
આને $\vec{x} = p \vec{AD}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = \lambda + 1$ મળે છે.

(B) કારણ કે $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ થાય.
$\triangle CAD$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB}$ મળે.
હવે,આપણે અદિશ ગુણાકાર $\vec{CA} \cdot \vec{CD}$ શોધીએ:
$\vec{CA} \cdot \vec{CD} = \vec{CA} \cdot (\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB})$
$= |\vec{CA}|^2 + \frac{1}{2} (\vec{CA} \cdot \vec{AB})$
$= b^2 + \frac{1}{2} |\vec{CA}| |\vec{AB}| \cos(\pi - A)$
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \cos A$
$\triangle ABC$ માં કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)$
$= b^2 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4}$
$= \frac{4b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{4}$
$= \frac{1}{4}(a^2 + 3b^2 - c^2)$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $p = 5a + 2b$ અને $q = a - 3b$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = p + q$ અને $d_2 = p - q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d_1 = (5a + 2b) + (a - 3b) = 6a - b$
$d_2 = (5a + 2b) - (a - 3b) = 4a + 5b$
આપેલ છે કે $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$,અને $a$ તથા $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી $a \cdot b = |a||b| \cos 45^{\circ} = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
હવે,પ્રથમ વિકર્ણની લંબાઈ:
$|d_1| = |6a - b| = \sqrt{(6a - b) \cdot (6a - b)} = \sqrt{36|a|^2 + |b|^2 - 12(a \cdot b)}$
$|d_1| = \sqrt{36(8) + 9 - 12(6)} = \sqrt{288 + 9 - 72} = \sqrt{225} = 15$.
હવે,બીજા વિકર્ણની લંબાઈ:
$|d_2| = |4a + 5b| = \sqrt{(4a + 5b) \cdot (4a + 5b)} = \sqrt{16|a|^2 + 25|b|^2 + 40(a \cdot b)}$
$|d_2| = \sqrt{16(8) + 25(9) + 40(6)} = \sqrt{128 + 225 + 240} = \sqrt{593}$.
આમ,વિકર્ણોની લંબાઈ $15$ અને $\sqrt{593}$ છે.

(A) શરત $|a + b| = |a| + |b|$ ત્યારે જ સાચી પડે જો સદિશો $a$ અને $b$ એક જ દિશામાં હોય,એટલે કે તેઓ સમરેખ હોય અને સમાન દિશા ધરાવતા હોય.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $k > 0$ માટે $a = k b$ થાય.
આપેલ $a = \hat{i} + x \hat{j} + \hat{k}$ અને $b = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ માટે,આપણે ઘટકોની સરખામણી કરીએ:
$\frac{1}{1} = \frac{x}{1} = \frac{1}{1}$.
આના પરથી,આપણને $x = 1$ મળે છે.
અહીં $k = 1 > 0$ હોવાથી,$x = 1$ માટે શરત સંતોષાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x a + y b + z c = 0$ માં સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$x(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + z(8 \hat{i} + 13 \hat{j} + 9 \hat{k}) = 0$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2y + 8z = 0$ $(i)$
$2x + 3y + 13z = 0$ $(ii)$
$3x + y + 9z = 0$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ કરતા: $(2x + 4y + 16z) - (2x + 3y + 13z) = 0 \Rightarrow y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$.
$y = -3z$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x + 2(-3z) + 8z = 0 \Rightarrow x - 6z + 8z = 0 \Rightarrow x + 2z = 0 \Rightarrow x = -2z$.
હવે,$\frac{xy}{z^2}$ ની કિંમત શોધતા:
$\frac{xy}{z^2} = \frac{(-2z)(-3z)}{z^2} = \frac{6z^2}{z^2} = 6$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{e_1}$ અને $\overline{e_2}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overline{e_1}| = 1$ અને $|\overline{e_2}| = 1$.
આપેલ છે કે $|\overline{e_1} + \overline{e_2}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overline{e_1} + \overline{e_2}|^2 = 3$.
$(\overline{e_1} + \overline{e_2}) \cdot (\overline{e_1} + \overline{e_2}) = 3$.
$|\overline{e_1}|^2 + |\overline{e_2}|^2 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$.
$1 + 1 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$.
$2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 1 \implies \overline{e_1} \cdot \overline{e_2} = \frac{1}{2}$.
હવે,આપણે $(2 \overline{e_1} - 5 \overline{e_2}) \cdot (3 \overline{e_1} + \overline{e_2})$ નો ડોટ ગુણાકાર શોધીએ:
$= 6(\overline{e_1} \cdot \overline{e_1}) + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 15(\overline{e_2} \cdot \overline{e_1}) - 5(\overline{e_2} \cdot \overline{e_2})$.
$= 6|\overline{e_1}|^2 - 13(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 5|\overline{e_2}|^2$.
$= 6(1) - 13(\frac{1}{2}) - 5(1)$.
$= 6 - 6.5 - 5 = -5.5 = -\frac{11}{2}$.

(A) ધારો કે સદિશો $a$ અને $b$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OADC$ ની બાજુઓ $\vec{OA}$ અને $\vec{OD}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. વિકર્ણ $\vec{OC} = a+b$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. તો $a$ અને $a+b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OADC$ માં,$OA = |a|$ અને $OD = AC = |b|$ છે.
$C$ માંથી $OA$ ને લંબાવેલી રેખા $OB$ પર લંબ દોરવાથી બનતો ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle ABC$ માં,$AB = |b| \cos 2\theta$ અને $BC = |b| \sin 2\theta$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBC$ માં,$\tan \theta = \frac{BC}{OB} = \frac{|b| \sin 2\theta}{|a| + |b| \cos 2\theta}$.
દ્વિ-ખૂણાના સૂત્રો $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{|b| \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}{|a| + |b| \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}$
$\tan \theta = \frac{2|b| \tan \theta}{|a|(1 + \tan^2 \theta) + |b|(1 - \tan^2 \theta)}$
$a$ અને $b$ અસમરેખ હોવાથી,$\theta \neq 0$,તેથી $\tan \theta \neq 0$. $\tan \theta$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{2|b|}{|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta}$
$|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta = 2|b|$
$|a|(1 + \tan^2 \theta) - |b|(1 + \tan^2 \theta) = 0$
$(|a| - |b|)(1 + \tan^2 \theta) = 0$
$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \neq 0$ હોવાથી,$|a| - |b| = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|a| = |b|$.

(D) આપેલ છે કે,$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OD}=\vec{d}$.
કારણ કે $OA \parallel CB$ અને $\frac{OA}{CB}=2$,તેથી $\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
કારણ કે $OD \parallel AB$ અને $\frac{OD}{AB}=\frac{1}{3}$,તેથી $\vec{AB} = 3\vec{OD} = 3\vec{d}$.
હવે,આપણે જરૂરી સરવાળાને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{d}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{d} - \vec{a}$.
$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{DC}$.
પંચકોણની ભૂમિતિ પરથી,$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + 3\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}$.
વળી,$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) - \vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d}$.
આનો સરવાળો કરતા: $\vec{AD} + \vec{OC} + \vec{DC} = (\vec{d} - \vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d})$.
$= (-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a}) + (\vec{d} + 3\vec{d} + 2\vec{d}) = 0\vec{a} + 6\vec{d} = 6\vec{d}$.

(A) આપેલ છે કે $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+\vec{b}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $6|\vec{a}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} \dots (i)$.
વળી,$(\vec{a}+4 \vec{b}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$\frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3}$.
$18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 = 28|\vec{b}|^2 - 7|\vec{a}|^2$,તેથી $25|\vec{a}|^2 = 43|\vec{b}|^2$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{\frac{43}{25}} |\vec{b}| = \frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|$.
$|\vec{a}|^2 = \frac{43}{25} |\vec{b}|^2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{57}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{19}{25} |\vec{b}|^2$.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$,આપણને મળે છે $\cos \theta = \frac{\frac{19}{25} |\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|) |\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{5\sqrt{43}}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ અને $x=2 y$.
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{(2y)^2+y^2+z^2} = \sqrt{5y^2+z^2}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 5 \sqrt{2}$,તેથી $5y^2+z^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 50$.
$\vec{a}$ એ $z$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,$z$-અક્ષ પરનો ઘટક $z = |\vec{a}| \cos 135^{\circ}$ થાય.
$z = 5 \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -5$.
$z = -5$ ને સમીકરણ $5y^2+z^2 = 50$ માં મૂકતા:
$5y^2 + (-5)^2 = 50 \Rightarrow 5y^2 + 25 = 50 \Rightarrow 5y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5}$.
$x = 2y$ હોવાથી,$x = \pm 2 \sqrt{5}$ મળે.
આમ,$\vec{a} = \pm 2 \sqrt{5} \hat{i} \pm \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $2 \sqrt{5} \hat{i} + \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a'}, \vec{b'}, \vec{c'}$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A', B', C'$ ના સ્થાન સદિશો છે.
સામેની બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ શિરોબિંદુઓમાંથી દોરવામાં આવતી હોવાથી,$A$ એ $B'C'$ નું મધ્યબિંદુ છે,$B$ એ $A'C'$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $C$ એ $A'B'$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} = \frac{\vec{b'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{b'} + \vec{c'} = 2\vec{a}$
$\vec{b} = \frac{\vec{a'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{c'} = 2\vec{b}$
$\vec{c} = \frac{\vec{a'} + \vec{b'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{b'} = 2\vec{c}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}) = 2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\Delta A'B'C'$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G' = \frac{\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\vec{b}+\vec{c}=-\vec{a}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (-\vec{a}) \cdot (-\vec{a})$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$ થાય.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos \theta = 7^2$.
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $a$ એ $b = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $a = \lambda b$ થાય.
આપણને અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = 27$ આપેલ છે.
અદિશ ગુણાકારના સમીકરણમાં $a = \lambda b$ મૂકતા:
$(\lambda b) \cdot b = 27$
$\lambda (b \cdot b) = 27$
$\lambda |b|^2 = 27$
પ્રથમ,$|b|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|b|^2 = (3)^2 + (6)^2 + (6)^2 = 9 + 36 + 36 = 81$.
હવે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda (81) = 27$
$\lambda = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $a = \lambda b$,તેથી $|a| = |\lambda b| = |\lambda| |b|$ થાય.
$|b| = \sqrt{81} = 9$ ની ગણતરી કરીએ.
આમ,$|a| = |\frac{1}{3}| \times 9 = 3$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
જેহেতু $a$ એ $b$ અને $c$ ને સમાવતા સમતલને લંબ છે,તેથી $a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$.
$b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $b \cdot c = |b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
હવે,$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા: $|a+b+c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + \frac{1}{2} + 0)$.
$|a+b+c|^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
તેથી,$|a+b+c| = \sqrt{4} = 2$.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{C} = -\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,અને $\vec{D} = 5 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ છે.
બાજુઓના સદિશોની ગણતરી:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = 6 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DA} = \vec{A} - \vec{D} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ હોવા માટે,સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોવી જોઈએ,એટલે કે $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ અને $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
અહીં,$\overrightarrow{AB} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$.
જેથી $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}$,તેથી આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=4$ મૂકતા:
$(1)^2+(3)^2+(4)^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$1+9+16+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$26+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -26$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -13$.

(A) $\angle AOB$ નો દ્વિભાજક સદિશ $\vec{OD}$ એ $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશોના સરવાળાની દિશામાં હોય છે.
પ્રથમ,એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ શોધો:
$|\vec{OA}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
$\hat{a} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{-4\hat{i} + 3\hat{k}}{5}$
$|\vec{OB}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{196 + 4 + 25} = \sqrt{225} = 15$
$\hat{b} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15}$
દ્વિભાજકની દિશા $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b} = \frac{-12\hat{i} + 9\hat{k} + 14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}}{15} = \frac{2}{15}(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
તેથી $\vec{OD} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{OD}| = \sqrt{6}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \implies |\lambda| \sqrt{6} = \sqrt{6} \implies |\lambda| = 1$.
આમ,$\vec{OD} = \pm(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-7 \hat{k}$ અને $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર પરથી,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$1) \vec{r} \cdot \vec{a} = 2x + 3y + z = 9$
$2) \vec{r} \cdot \vec{b} = 4x + y = 7$
$3) \vec{r} \cdot \vec{c} = x - 3y - 7z = 6$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 7 - 4x$.
$y$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$(1) \Rightarrow 2x + 3(7 - 4x) + z = 9 \Rightarrow 2x + 21 - 12x + z = 9 \Rightarrow -10x + z = -12 \Rightarrow z = 10x - 12$
$(3) \Rightarrow x - 3(7 - 4x) - 7(10x - 12) = 6$
$x - 21 + 12x - 70x + 84 = 6$
$-57x + 63 = 6$
$-57x = -57 \Rightarrow x = 1$
હવે,$y$ અને $z$ શોધીએ:
$y = 7 - 4(1) = 3$
$z = 10(1) - 12 = -2$
આમ,$(x, y, z) = (1, 3, -2)$.

(C) ધારો કે પરિવર્તિત વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ને સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$.
આપેલ છે કે $(AB)^2 + (CD)^2 = 4R^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ અને $(CD)^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2 = 2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$.
$4R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$.
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 0$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=13, |\vec{b}|=5$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=60$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $60 = 13 \times 5 \times \cos \theta = 65 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}$.
હવે,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{5}{13}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = 13 \times 5 \times \frac{5}{13} = 25$.

(A) ધારો કે $b = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
આપેલ છે કે $a \times b = c$,તેથી $c$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે.
$c$ એ $b$ ને લંબ હોવાથી,$b \cdot c = 0$.
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}) = 0 \Rightarrow y - z = 0 \Rightarrow y = z$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $a \cdot b = 3$,તેથી $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 3 \Rightarrow x + y + z = 3$.
$y = z$ ને આમાં મૂકતા,આપણને $x + 2y = 3$ મળે છે (સમીકરણ $2$).
હવે,સદિશ ગુણાકાર $a \times b = c$ ની ગણતરી કરીએ:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $\hat{i}(z - y) - \hat{j}(z - x) + \hat{k}(y - x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $z - y = 0$ (જે $y = z$ છે),$x - z = 1$,અને $y - x = -1$ (જે $x - y = 1$ છે).
$x - y = 1$ પરથી,$x = y + 1$.
$x = y + 1$ ને સમીકરણ $2$ $(x + 2y = 3)$ માં મૂકતા:
$(y + 1) + 2y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$.
$y = z$ હોવાથી,$z = \frac{2}{3}$.
$x = y + 1$ હોવાથી,$x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
આમ,$b = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.

(C) ધારો કે $\vec{u} = \sqrt{P^2-4} \hat{i} + P \hat{j} + \sqrt{P^2+4} \hat{k}$ અને $\vec{v} = \tan A \hat{i} + \tan B \hat{j} + \tan C \hat{k}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{P^2-4} \tan A + P \tan B + \sqrt{P^2+4} \tan C = 6P$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,$\vec{u}$ નું માન શોધો:
$|\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{P^2-4})^2 + P^2 + (\sqrt{P^2+4})^2} = \sqrt{P^2-4 + P^2 + P^2+4} = \sqrt{3P^2} = \sqrt{3} |P|$.
તેથી,$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = \sqrt{3} |P| \sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} \cos \theta = 6P$.
$|P| \geq 2$ હોવાથી,$\sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} = \frac{6P}{\sqrt{3} P \cos \theta} = 2\sqrt{3} \sec \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C = (2\sqrt{3})^2 \sec^2 \theta = 12 \sec^2 \theta$.
$\sec^2 \theta \geq 1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $12(1) = 12$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $a \times b = 2(a \times c)$,તેથી આપણે લખી શકીએ $a \times (b - 2c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(b - 2c)$ એ $a$ ને સમાંતર છે.
$b - 2c = \lambda a$ હોવાથી,આપણે તેનું માનનો વર્ગ શોધીએ:
$|b - 2c|^2 = |b|^2 + 4|c|^2 - 4(b \cdot c)$.
અહીં $|b| = 4$,$|c| = 1$,અને $b$ તથા $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ છે,તેથી $b \cdot c = |b||c| \cos \theta = 4 \times 1 \times \frac{1}{4} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|b - 2c|^2 = 4^2 + 4(1)^2 - 4(1) = 16 + 4 - 4 = 16$.
$b - 2c = \lambda a$ હોવાથી,$|\lambda a|^2 = 16$,જેનો અર્થ છે $\lambda^2 |a|^2 = 16$.
$|a| = 1$ હોવાથી,$\lambda^2 = 16$,તેથી $\lambda = \pm 4$.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $4$ છે.

(D) આપેલ છે $a=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $b=18 \hat{i}-22 \hat{j}-5 \hat{k}$.
$x$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ હોવાથી,$x$ એ $a \times b$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 18 & -22 & -5 \end{vmatrix} = 34 \hat{i} + 51 \hat{j} - 102 \hat{k}$.
દિશા સદિશને $17$ વડે ભાગતા $v = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ મળે.
$x$ એ $\hat{j}$ સાથે ગુરુકોણ બનાવતો હોવાથી,$\hat{j}$ નો ઘટક ઋણ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $x = \lambda(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$ જ્યાં $\lambda > 0$.
$|x| = 14$ હોવાથી,$\lambda \sqrt{4 + 9 + 36} = 14 \Rightarrow 7\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 2$.
તેથી $x = 2(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k}) = -4 \hat{i} - 6 \hat{j} + 12 \hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $x \times a = b$. બંને બાજુ $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (x \times a) = a \times b$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot a)x - (a \cdot x)a = a \times b$
અહીં $|a| = \sqrt{3}$ હોવાથી,$a \cdot a = |a|^2 = 3$ મળે:
$3x - (a \cdot x)a = a \times b$
$3x = (a \cdot x)a + a \times b$
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a + a \times b]$
$a \times b = -(b \times a)$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a - b \times a]$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(x \cdot a)a$ અને $b \times a$ ના સ્વરૂપમાં છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(\lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$2 \lambda^2 + 3 \lambda + 5 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31$ મળે છે.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,$\lambda$ ની કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $\phi$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\bar{b} = \sqrt{2} \hat{i} + 3 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \hat{k}$.
અહીં $|\bar{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3 \sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{2 + 18 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(45^{\circ})$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_1(\sqrt{2}) + a_2(3 \sqrt{2}) + a_3(4) = \sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3$.
તેથી,$\sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3 = |\bar{a}| \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} |\bar{a}|$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $\sqrt{2}(a_1 + 3a_2 - 3|\bar{a}|) + 4a_3 = 0$.
$a_1, a_2, a_3$ અને $|\bar{a}|$ સંમેય હોવાથી,સમીકરણ સંતોષવા માટે અસંમેય ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંમેય ભાગ પણ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$4a_3 = 0 \Rightarrow a_3 = 0$.
$a_3 = 0$ હોવાથી,સદિશ $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j}$ એ $XY$-સમતલમાં આવેલું છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
ધારો કે $V = |\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}|$.
સદિશો મૂકતા: $\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overline{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overline{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overline{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,$\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{c}) + (\vec{c}-\vec{b}) \times (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{a}-\vec{c}) \times (\vec{d}-\vec{b})|$.
$V = |(\vec{b} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{d} + \vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{d} - \vec{c} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{d} + \vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{a} \times \vec{d} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b})|$.
પદો રદ કરતા,આપણને મળે છે $V = |2(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})| = 2 |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$ હોવાથી,$V = 4 \times (\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ).
તેથી,$\lambda = 4$.

(A) આપેલ છે: $a = 4 \hat{i} + 6 \hat{j}$ અને $b = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$a$ નો $b$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $c = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $a \cdot b = (4 \hat{i} + 6 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 18$ શોધો.
ત્યારબાદ,$|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ શોધો.
આમ,$c = \left( \frac{18}{25} \right) b$.
હવે,માન $|c| = \left| \frac{18}{25} \right| |b| = \frac{18}{25} \times \sqrt{3^2 + 4^2} = \frac{18}{25} \times 5 = \frac{18}{5}$ શોધો.
તેથી,$c = \frac{18}{25} b$ અને $|c| = \frac{18}{5}$ થાય.

(B) $(x_1, y_1, z_1) = (4, 3, -5)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -8)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = 4 - (-2) = 6$
$b = 3 - 1 = 2$
$c = -5 - (-8) = 3$
તેથી,બિંદુ $P(a, 3b, 2c)$ એ $P(6, 3(2), 2(3)) = P(6, 6, 6)$ થશે.
હવે,બિંદુ $P(6, 6, 6)$ ને આપેલા વિકલ્પોમાં ચકાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે: $x+y-2z = 6+6-2(6) = 12-12 = 0$.
આમ,બિંદુ $P$ એ સમતલ $x+y-2z=0$ પર આવેલું છે.

(B) રેખાના દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
આપેલ દિક્કોસાઇન $\frac{a}{\sqrt{83}}, \frac{5}{\sqrt{83}}, \frac{c}{\sqrt{83}}$ છે.
તેથી,$\left(\frac{a}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{c}{\sqrt{83}}\right)^2 = 1$.
$\Rightarrow \frac{a^2}{83} + \frac{25}{83} + \frac{c^2}{83} = 1$.
$\Rightarrow a^2 + 25 + c^2 = 83$.
$\Rightarrow a^2 + c^2 = 58$ ...$(i)$.
આપેલ છે કે $c - a = 4$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(c - a)^2 = 16$ મળે.
$c^2 + a^2 - 2ca = 16$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a^2 + c^2 = 58$ મૂકતા:
$58 - 2ca = 16$.
$2ca = 58 - 16 = 42$.
$ca = 21$.

(D) $X, Y, Z$-અક્ષો પર $a, b, c$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a = -2, b = \frac{4}{3}, c = \frac{-4}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{4/3} + \frac{z}{-4/5} = 1$ થાય.
આનું સાદુરૂપ $-\frac{x}{2} + \frac{3y}{4} - \frac{5z}{4} = 1$ મળે છે.
$4$ વડે ગુણતા,$-2x + 3y - 5z = 4$ અથવા $2x - 3y + 5z + 4 = 0$ મળે.
સમતલના અભિલંબના દિક્ગુણોત્તરો $(2, -3, 5)$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
અહીં,$\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\left(\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{-3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}}\right)$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ અને દિકકોસાઇન $(\ell, m, n)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = k\ell, b = km, c = kn$ છે,જ્યાં $k$ એક શૂન્યતર અચળાંક છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{(k\ell)^2}{(km)^2+(kn)^2} = \frac{k^2\ell^2}{k^2(m^2+n^2)} = \frac{\ell^2}{m^2+n^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\ell^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $m^2 + n^2 = 1 - \ell^2$ થાય.
આમ,$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{\ell^2}{1-\ell^2}$.