AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $mn$ ભિન્ન વસ્તુઓને $n$ કદના $m$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(mn)!}{(n!)^m \cdot m!}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$mn = 200$ અને $n = 20$,જેનો અર્થ છે કે $m = 10$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને રીતોની સંખ્યા $\frac{200!}{(20!)^{10} \cdot 10!}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $A, B, C$ દ્વારા દાનમાં આપેલા સિક્કાઓની સંખ્યા છે. આપણે $x_1 + x_2 + x_3 = 10$ માટે $0 \le x_1 \le 6, 0 \le x_2 \le 7, 0 \le x_3 \le 8$ ની શરતો સાથે ઉકેલો શોધવાના છે.
કોઈપણ મર્યાદા વગર કુલ ઉકેલો ${ }^{12} C_2 = 66$ છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1: x_1 \ge 7$ માટે ઉકેલો: ${ }^5 C_2 = 10$.
$P_2: x_2 \ge 8$ માટે ઉકેલો: ${ }^4 C_2 = 6$.
$P_3: x_3 \ge 9$ માટે ઉકેલો: ${ }^3 C_2 = 3$.
કુલ માન્ય રીતો $= 66 - (10 + 6 + 3) = 47$.

(C) $6$ પત્રોને $6$ પરબિડીયાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $6!$ છે.
ઓછામાં ઓછા બે પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $\sum_{r=2}^6 { }^6 C_{6-r} D_r = { }^6 C_4 D_2 + { }^6 C_3 D_3 + { }^6 C_2 D_4 + { }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 D_6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,
જ્યાં $D_r = r! \left( \sum_{i=0}^r \frac{(-1)^i}{i!} \right)$ છે.

(C) $10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3$ દ્વારા મળે છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
$6$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ ત્રિકોણ બનાવતા નથી. આ $6$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_3$ છે.
$^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
તેથી,ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા $N = 120 - 20 = 100$.

(A) ત્રિકોણ $n$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બને છે. $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^nC_3$ છે.
આપેલ છે કે $T_{n+1} - T_n = 10$.
નિત્યસમ ${}^{n+1}C_r - {}^nC_r = {}^nC_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n+1}C_3 - {}^nC_3 = {}^nC_2 = 10$.
સૂત્રનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n^2 - n = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$.

(D) $15$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા કુલ ભિન્ન ત્રિકોણોની સંખ્યા $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ છે.
આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા પડશે જ્યાં $i+j+k = 15$,જ્યાં $1 \leq i < j < k \leq 15$ હોય.
$i+j+k = 15$ થાય તેવી $(i, j, k)$ ની શક્ય જોડીઓ:
$(1, 2, 12), (1, 3, 11), (1, 4, 10), (1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 3, 10), (2, 4, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)$.
આ ગણતરી કરતા,આપણને આવા $12$ કિસ્સાઓ મળે છે.
તેથી,જરૂરી ત્રિકોણોની સંખ્યા $455 - 12 = 443$ છે.

(C) $37$ રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{37}C_2$ છે.
બિંદુ $A$ માંથી $13$ રેખાઓ પસાર થતી હોવાથી,તે $^{13}C_2$ અલગ છેદબિંદુઓ બનાવતી નથી; તેના બદલે,તે બધી $1$ બિંદુ પર છેદે છે. તેથી,આપણે $^{13}C_2$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ માંથી $11$ રેખાઓ પસાર થતી હોવાથી,આપણે $^{11}C_2$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ.
તેથી,છેદબિંદુઓની કુલ સંખ્યા $^{37}C_2 - ^{13}C_2 - ^{11}C_2 + 2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $r_1, r_2, r_3$ એ $HP$ માં છે.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ હોવાથી,જ્યાં $\Delta$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$r_1, r_2, r_3$ એ $HP$ માં હોવા માટે:
$\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = s - a + s - c$
$2s - 2b = 2s - (a + c)$
$-2b = -(a + c)$
$2b = a + c$
આ દર્શાવે છે કે $a, b$ અને $c$ એ $AP$ માં છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $x+2$ બે ક્રમિક ધન બેકી પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ છે,$x^2 + (x+2)^2 = 290$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290$.
$\Rightarrow 2x^2 + 4x - 286 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2x - 143 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 13)(x - 11) = 0$.
તેથી,$x = -13$ અથવા $x = 11$.
કારણ કે $x$ ધન બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x = -13$ શક્ય નથી.
જો $x = 11$ લઈએ,તો ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંક $x+2 = 13$ મળે છે,જે બેકી સંખ્યા નથી.
તેથી,આવા કોઈ ક્રમિક ધન બેકી પૂર્ણાંકોની જોડી શક્ય નથી.
ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે $S = \{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$. બધા ઘટકોનો સરવાળો $S_{total} = 8$ છે.
ધારો કે $x = a+b+c+d$ અને $y = e+f+g+h$.
$x+y = 8$ હોવાથી,$x^2+y^2$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે $|x-y|$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડે.
$x$ ની કિંમત $4$ ની સૌથી નજીક લેતા,$x=5$ મળે છે,જેથી $y=3$ થાય.
તેથી,$x^2+y^2 = 5^2+3^2 = 25+9 = 34$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,તેથી $\sinh x = \frac{5}{4}$.
નિત્યસમ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$.
$\sinh x$ ની કિંમત મૂકતા: $\cosh^2 x = 1 + (\frac{5}{4})^2 = 1 + \frac{25}{16} = \frac{16 + 25}{16} = \frac{41}{16}$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $\cosh x > 0$ હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ: $\cosh x = \sqrt{\frac{41}{16}}$.

(C) આપણે અડધા ખૂણાનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 - \cos A}{2}$.
ધારો કે $A = 45^{\circ}$. તો $\frac{A}{2} = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin^2(22 \frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 - \cos 45^{\circ}}{2}$
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$
$= \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$
તેથી,$\sin(22 \frac{1}{2}^{\circ}) = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
હવે,$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\cos^4 x = \frac{1 + \cos^2 2x + 2\cos 2x}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos^2 2x$.
નિત્યસમ $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમત મૂકીએ છીએ:
$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right)$.
$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x$.
$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cos \theta}{1-\tan \theta}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ મૂકતા:
$= \frac{\sin \theta}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\cos \theta}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \sin \theta + \cos \theta$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે હાઇપરબોલિક વિધેયો નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\sinh x = \frac{1}{\operatorname{cosech} x}$
આપેલ છે કે $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh x = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$

(C) $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1+\tanh x}{1-\tanh x} = \frac{1 + \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{1 - \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{\frac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{\frac{e^x + e^{-x} - (e^x - e^{-x})}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{2e^x}{2e^{-x}}$
$= e^{2x}$

(B) ધારો કે $A = \tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right)$.
$\frac{7 \pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$A = \tan \left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)$.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\theta = \frac{\pi}{8}$ લેતા.
$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)} = 1$.
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = -A$ મૂકતા,$\frac{2(-A)}{1 - (-A)^2} = 1$.
$-2A = 1 - A^2 \Rightarrow A^2 - 2A - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $A = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
$\frac{7 \pi}{8}$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right) < 0$.
તેથી,$A = 1 - \sqrt{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = 1 + \sec ^2 x \sin ^2 x$
કારણ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,તેથી $\sec ^2 x = \frac{1}{\cos ^2 x}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $f(x) = 1 + \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$
કારણ કે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,તેથી $\tan ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$ થાય.
તેથી,$f(x) = 1 + \tan ^2 x$
નિત્યસમ $1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sec ^2 x$ મળે છે.

(A) દરેક પદનું મૂલ્ય તે કયા ચરણમાં છે તેના આધારે નક્કી કરીએ:
$I. \sin(-292^{\circ}) = \sin(68^{\circ})$. $68^{\circ}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin(68^{\circ}) > 0$.
$II. \tan(-190^{\circ}) = -\tan(190^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 10^{\circ}) = -\tan(10^{\circ})$. $\tan(10^{\circ}) > 0$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ઋણ છે.
$III. \cos(-207^{\circ}) = \cos(207^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos(27^{\circ})$. $\cos(27^{\circ}) > 0$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ઋણ છે.
$IV. \cot(-222^{\circ}) = -\cot(222^{\circ}) = -\cot(180^{\circ} + 42^{\circ}) = -\cot(42^{\circ})$. $\cot(42^{\circ}) > 0$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ઋણ છે.
આમ,$II, III$ અને $IV$ ઋણ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4^2$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2 \sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 16$
કારણ કે $\sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1$,તેથી:
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2(1) = 16$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 - 2 = 14$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^2\left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\frac{5 \pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$
સંબંધિત ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(\pi-x) = \sin x$,$\cos(\pi-x) = -\cos x$,$\tan(\pi-x) = -\tan x$
$= \sin ^2\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$= \sin ^2\left(\frac{\pi}{3}\right)+\left(-\cos \frac{\pi}{6}\right)^2-\left(-\tan \frac{\pi}{4}\right)^2$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-(-1)^2$
$= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1$
$= \frac{6}{4}-1 = \frac{3}{2}-1 = \frac{1}{2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$.
વ્યાખ્યાઓ $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ અને $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \left( \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \right) + 10 \left( \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} \right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ વડે ગુણતા: $6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$.
ધારો કે $u = e^{2x}$,તો $6u^2 - 5u - 4 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3u - 4)(2u + 1) = 0$.
તેથી,$u = \frac{4}{3}$ અથવા $u = -\frac{1}{2}$.
$e^{2x} > 0$ હોવાથી,$e^{2x} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $2x = \ln \frac{4}{3}$.
તેથી,$x = \frac{1}{2} \ln \frac{4}{3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{\sin ^4 x+4 \cos ^2 x}-\sqrt{\cos ^4 x+4 \sin ^2 x}$
નિત્યસમ $\cos ^2 x = 1-\sin ^2 x$ અને $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{\sin ^4 x-4 \sin ^2 x+4}-\sqrt{\cos ^4 x-4 \cos ^2 x+4}$
$= \sqrt{(\sin ^2 x-2)^2}-\sqrt{(\cos ^2 x-2)^2}$
$= |\sin ^2 x-2|-|\cos ^2 x-2|$
$= (2-\sin ^2 x)-(2-\cos ^2 x)$
$= \cos ^2 x-\sin ^2 x$
$= \cos 2 x$

(D) $\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{(1-\sin \theta) + (1+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}$
$= \frac{2}{1-\sin^2 \theta}$
$= \frac{2}{\cos^2 \theta}$
$= 2 \sec^2 \theta$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos x}{1+\sin x} + \tan x$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $(1-\sin x)$ વડે ગુણતા:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} + \tan x$
નિત્યસમ $(1+\sin x)(1-\sin x) = 1-\sin^2 x = \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{\cos^2 x} + \tan x$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1-\sin x}{\cos x} + \tan x$
અપૂર્ણાંકને અલગ કરતા:
$\frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} + \tan x$
કારણ કે $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ અને $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$:
$\sec x - \tan x + \tan x = \sec x$

(B) આપણે ગુણધર્મ $\cos^2 \theta = \cos^2(180^{\circ} \pm \theta) = \cos^2(360^{\circ} \pm \theta)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 135^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 225^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 225^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 315^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \implies \cos^2 315^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 4 \cos^2 45^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$4 \times \frac{1}{2} = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 \sinh (2 \theta) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
$\sinh (2 \theta) = \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2}$ મૂકતા:
$3 \left( \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2} \right) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
ધારો કે $x = e^{2 \theta}$. $e^{2 \theta} > 0$ હોવાથી,$x > 0$.
$\frac{3}{2} (x - \frac{1}{x}) = 13 - 3x$
$3(x^2 - 1) = 2x(13 - 3x)$
$3x^2 - 3 = 26x - 6x^2$
$9x^2 - 26x - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $9x^2 - 27x + x - 3 = 0$
$9x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(9x + 1)(x - 3) = 0$
$x > 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
$e^{2 \theta} = 3$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2 \theta = \log 3$
$\theta = \frac{1}{2} \log 3$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ અને $\sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$1 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$= 1 + 3 - 2$
$= 4 - 2$
$= 2$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$
છેદ સમાન કરતા: $\frac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી: $\frac{1 + 1 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2}{\sin x} = 2 \operatorname{cosec} x$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos \theta(\operatorname{cosec} \theta - \sec \theta) - \cot \theta$
$= \cos \theta \left( \frac{1}{\sin \theta} - \frac{1}{\cos \theta} \right) - \cot \theta$
$= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta} - \cot \theta$
$= \cot \theta - 1 - \cot \theta$
$= -1$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ})$ જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{12} = 15^{\circ}$ છે.
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) આપણે નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos ^4 \frac{\pi}{24} - \sin ^4 \frac{\pi}{24} = \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2 - \left(\sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2$
$= \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} + \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right) \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} - \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)$
$\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$ અને $\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = \cos 2\theta$ હોવાથી:
$= (1) \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \cos \frac{\pi}{12}$
$\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ હોવાથી,$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(C) આપણે $\frac{7 \pi}{12}$ ને $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$
$= \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$= \frac{1 - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cosh x - \frac{4}{5} \sinh x = 1$
$5$ વડે ગુણતા: $5 \cosh x - 4 \sinh x = 5$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ અને $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ મૂકતા:
$5 \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) - 4 \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 5$
$2$ વડે ગુણતા: $5(e^x + e^{-x}) - 4(e^x - e^{-x}) = 10$
$5e^x + 5e^{-x} - 4e^x + 4e^{-x} = 10$
$e^x + 9e^{-x} = 10$
$e^x$ વડે ગુણતા: $(e^x)^2 - 10e^x + 9 = 0$
$(e^x - 1)(e^x - 9) = 0$
કિસ્સો $1$: $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$
કિસ્સો $2$: $e^x = 9 \Rightarrow x = \ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$
આમ,બીજો ઉકેલ $x = 2 \log 3$ છે.

(C) અમે સરવાળા-થી-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \theta + \sin 3 \theta}{\cos \theta + \cos 3 \theta} = \frac{2 \sin 2 \theta \cos(-\theta)}{2 \cos 2 \theta \cos(-\theta)}$
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ હોવાથી:
$= \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \tan 2 \theta$.

(A) આપેલ છે: $\sin \alpha+\sin \beta = -\frac{21}{65}$ અને $\cos \alpha+\cos \beta = -\frac{27}{65}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \alpha+\sin \beta)^2 + (\cos \alpha+\cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$2 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = \frac{441 + 729}{4225} = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$.
$2 + 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{18}{65} \implies 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{18}{65} - 2 = -\frac{112}{65}$.
$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{56}{65}$.
નિત્યસમ $\cos(\alpha - \beta) = 2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - 1 = -\frac{56}{65} \implies 2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1 - \frac{56}{65} = \frac{9}{65}$.
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{9}{130}$.
$\pi < \alpha - \beta < 3\pi$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ મળે.
આ અંતરાલમાં,$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ ઋણ છે.
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\sqrt{\frac{9}{130}} = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = \cos \theta (4 \cos^2 \theta - 3)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$4 \cos^2 \theta - 3 = \frac{\cos 3\theta}{\cos \theta}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(4 \cos^2 9^{\circ} - 3)(4 \cos^2 27^{\circ} - 3) = \left( \frac{\cos 27^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} \right) \left( \frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 27^{\circ}} \right)$
$= \frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ} - 9^{\circ})}{\cos 9^{\circ}}$
$= \frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} = \tan 9^{\circ}$.

(A) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S$ છે. શ્રેણી $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ છે.
$\sin 1^{\circ}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+2k)-(45^{\circ}+2k))}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+2k) - \cot(46^{\circ}+2k))$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 47^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + \ldots + (\cot 133^{\circ} - \cot 134^{\circ})]$
$\cot(180^{\circ}-\theta) = -\cot \theta$ હોવાથી,$\cot 133^{\circ} = -\cot 47^{\circ}$ અને $\cot 134^{\circ} = -\cot 46^{\circ}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,પદો ઉડી જાય છે:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{\sin(n^{\circ})} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$,તેથી $n = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin (x+y) \sec x \sec y = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos y}$
$= \frac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y} + \frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}$
$= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}$
$= \tan x + \tan y$

(B) આપેલ છે: $\cosh (x-\log 3)=\sinh x$
વ્યાખ્યા $\cosh \theta = \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$ અને $\sinh \theta = \frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^{x-\log 3}+e^{-(x-\log 3)}}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$e^x \cdot e^{-\log 3} + e^{-x} \cdot e^{\log 3} = e^x - e^{-x}$
કારણ કે $e^{-\log 3} = \frac{1}{3}$ અને $e^{\log 3} = 3$:
$\frac{1}{3} e^x + 3 e^{-x} = e^x - e^{-x}$
$3 e^{-x} + e^{-x} = e^x - \frac{1}{3} e^x$
$4 e^{-x} = \frac{2}{3} e^x$
$e^{2x} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$
$2x = \log 6$
$x = \frac{1}{2} \log 6$

(C) આપેલ છે કે $2 \sin 2 \theta = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin 2 \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\sin 2 \theta = \sin 60^{\circ}$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,$2 \theta = 60^{\circ}$.
તેથી,$\theta = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4+6(e^{2x}+1) \tanh x = 11 \cosh x + 11 \sinh x$
$\tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$,અને $\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ મૂકતા:
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right) = 11 \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) + 11 \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right) = 11 \left(\frac{2e^x}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}-1) = 11e^x$
$6e^{2x} - 11e^x - 2 = 0$
ધારો કે $e^x = t$,જ્યાં $t > 0$:
$6t^2 - 11t - 2 = 0$
$(6t+1)(t-2) = 0$
$t = 2$ અથવા $t = -\frac{1}{6}$
$t > 0$ હોવાથી,$e^x = 2$,જેનો અર્થ થાય છે $x = \log_e 2$.

(A) $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \left(\frac{5 \pi}{24}\right) \cos \left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{5 \pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{5 \pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{6 \pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{4 \pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \right] = \frac{\sqrt{2}+1}{4}$

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta = -\frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
તેથી,$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$.
સૂત્ર $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
જો $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ હોય,તો $\sin 2 \theta = 2 \times (-\frac{3}{4}) \times (\frac{\sqrt{7}}{4}) = -\frac{3 \sqrt{7}}{8}$.
જો $\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ હોય,તો $\sin 2 \theta = 2 \times (-\frac{3}{4}) \times (-\frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $-\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{(1 - \cos 2\theta)(1 + \cos 2\theta)}{4}$
$= \frac{1 - \cos^2 2\theta}{4}$
નિત્યસમ $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ મળે છે.
$= \frac{1 - \left(\frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)}{4}$
$= \frac{\frac{2 - 1 - \cos 4\theta}{2}}{4}$
$= \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

(B) આપેલ છે,$1-\cot 23^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 22^{\circ}}$
$x = (1-\cot 23^{\circ})(1-\cot 22^{\circ})$
$x = (1 - \frac{\cos 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}})(1 - \frac{\cos 22^{\circ}}{\sin 22^{\circ}})$
$x = \frac{(\sin 23^{\circ} - \cos 23^{\circ})(\sin 22^{\circ} - \cos 22^{\circ})}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$x = \frac{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ} - \sin 23^{\circ} \cos 22^{\circ} - \cos 23^{\circ} \sin 22^{\circ} + \cos 23^{\circ} \cos 22^{\circ}}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\cos(23^{\circ}-22^{\circ}) - \sin(23^{\circ}+22^{\circ})}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$x = \frac{\cos 1^{\circ} - \sin 45^{\circ}}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \sin 45^{\circ})}{\cos(23^{\circ}-22^{\circ}) - \cos(23^{\circ}+22^{\circ})}$
$x = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\cos 1^{\circ} - \cos 45^{\circ}} = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}}} = 2$

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A+B+C = \pi$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2}$.
નિત્યસમ $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા: $\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.

(A) $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi \Rightarrow A+B = \pi - C$.
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
કારણ કે $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$,તેથી:
$= 2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos C]$.
કારણ કે $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$,તેથી:
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
નિત્યસમ $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 4 \sin A \sin B \sin C$.

(C) $A+B=45^{\circ}$ ધ્યાનમાં લો. તો $\tan(A+B)=1$,જેનો અર્થ છે કે $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$.
બંને બાજુ $1 + \tan A \tan B$ ઉમેરતા $1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B = 2$ મળે,એટલે કે $(1+\tan A)(1+\tan B) = 2$.
આપણે $1^{\circ}$ થી $44^{\circ}$ સુધીના પદોને એવી રીતે જોડી શકીએ કે ખૂણાઓનો સરવાળો $45^{\circ}$ થાય:
$(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ}) = 2$,$(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ}) = 2$,...,$(1+\tan 22^{\circ})(1+\tan 23^{\circ}) = 2$.
આવી $22$ જોડીઓ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $2^{22}$ થાય.
છેલ્લે,આપણે છેલ્લું પદ ઉમેરીએ: $(1+\tan 45^{\circ}) = 1+1 = 2$.
આમ,કુલ ગુણાકાર $2^{22} \times 2 = 2^{23}$ છે.
$2^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n=23$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} \cos 2n \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta)^2 \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right)^2 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{1}{8} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)(1 + \cos 2\theta)$
$= \frac{1}{8} (1 - \cos 2\theta - \cos^2 2\theta + \cos^3 2\theta)$
$\cos^2 2\theta$ અને $\cos^3 2\theta$ ના સૂત્રો વાપરતા,આપણને $n=4$ માટે $a_{2n}=0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $y = \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)$ અને $x = \cos 2 \theta$.
$y$ ના પદમાં $x = \cos 2 \theta$ મૂકતા:
$\frac{1-x}{1+x} = \frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta} = \frac{2 \sin ^2 \theta}{2 \cos ^2 \theta} = \tan ^2 \theta$.
તેથી,$\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \tan ^{-1}(\tan \theta) = \theta$.
આમ,$y = \sin (2 \theta)$.
હવે,$y$ અને $x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} (\sin 2 \theta) = 2 \cos 2 \theta$.
$\frac{d x}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} (\cos 2 \theta) = -2 \sin 2 \theta$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = \frac{2 \cos 2 \theta}{-2 \sin 2 \theta} = -\cot 2 \theta$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cot^{-1} \left(\frac{x^{x} - x^{-x}}{2}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = -\frac{1}{1 + \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.
પદને સાદું રૂપ આપતા,$f'(x) = -\frac{4}{4 + (x^x - x^{-x})^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.
નોંધો કે $(x^x + x^{-x})^2 = (x^x - x^{-x})^2 + 4$,તેથી $f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.
$\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ અને $\frac{d}{dx}(x^{-x}) = -x^{-x}(1 + \log x)$ હોવાથી,$\frac{d}{dx}(x^x - x^{-x}) = (x^x + x^{-x})(1 + \log x)$ મળે.
આમ,$f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot (x^x + x^{-x})(1 + \log x) = -\frac{2(1 + \log x)}{x^x + x^{-x}}$.
$x = 1$ મુકતા,$f'(1) = -\frac{2(1 + \log 1)}{1^1 + 1^{-1}} = -\frac{2(1 + 0)}{1 + 1} = -\frac{2}{2} = -1$.

(B) $y=\tan \left(3 \tan ^{-1} x\right)$
ધારો કે $\tan ^{-1} x=\theta$,તેથી $\tan \theta=x$.
$\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = \frac{3x-x^3}{1-3x^2}$ મળે છે.
તેથી,$(1-3x^2)y = 3x-x^3$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1-3x^2)\frac{dy}{dx} + y(-6x) = 3-3x^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1-3x^2)\frac{d^2y}{dx^2} + (-6x)\frac{dy}{dx} - 6(x\frac{dy}{dx} + y) = -6x$.
$(1-3x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 6x\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} - 6y = -6x$.
$(1-3x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 12x\frac{dy}{dx} = 6y - 6x = 6(y-x)$.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{ax+b}{cx+d}$.
$x$ માટે પદ ગોઠવતા:
$y(cx+d) = ax+b$
$cxy + dy = ax + b$
$x(cy - a) = b - dy$
$x = \frac{dy-b}{a-cy}$
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{(a-cy)(d) - (dy-b)(-c)}{(a-cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - cdy + cdy - bc}{(a-cy)^2} = \frac{ad-bc}{c^2y^2 - 2acy + a^2}$
આને $\frac{ad-bc}{Py^2+Qy+R}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$P = c^2, Q = -2ac, R = a^2$
તેથી,$P+Q+R = c^2 - 2ac + a^2 = (a-c)^2$.

(B) આપેલ છે કે $y = e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}$.
પ્રથમ વિકલન $y_1 = \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
$2\sqrt{x}$ વડે ગુણતા,આપણને $2\sqrt{x} y_1 = e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2\sqrt{x} y_2 + 2 y_1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$2\sqrt{x} y_2 + \frac{y_1}{\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = \frac{y}{2\sqrt{x}}$.
આખા સમીકરણને $2\sqrt{x}$ વડે ગુણતા:
$4 x y_2 + 2 y_1 = y$.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{\log x}{x}$.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \log x}{x^2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x^2 \cdot \frac{d}{dx}(1 - \log x) - (1 - \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot (2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-3 + 2 \log 1}{1^3} = \frac{-3 + 2(0)}{1} = -3$.

(C) આપેલ છે: $3 f(\cos x) + 2 f(\sin x) = 5 x$ ...$(i)$
$x$ ને $(\frac{\pi}{2} - x)$ વડે બદલતા:
$3 f(\sin x) + 2 f(\cos x) = 5(\frac{\pi}{2} - x)$ ...$(ii)$
$(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9 f(\cos x) + 6 f(\sin x) = 15 x$
$4 f(\cos x) + 6 f(\sin x) = 10(\frac{\pi}{2} - x) = 5\pi - 10 x$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$5 f(\cos x) = 25 x - 5\pi \Rightarrow f(\cos x) = 5 x - \pi$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 5 \Rightarrow f^{\prime}(\cos x) = \frac{-5}{\sin x}$
તે જ રીતે,$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $f(\sin x) = \frac{5\pi}{2} - 5x$ મળે છે:
$f^{\prime}(\sin x) \cdot (\cos x) = -5 \Rightarrow f^{\prime}(\sin x) = \frac{-5}{\cos x}$
તેથી,$f^{\prime}(\cos x) + f^{\prime}(\sin x) = \frac{-5}{\sin x} - \frac{5}{\cos x}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{y}{x} \cos^4 \alpha + \frac{x}{y} \sin^4 \alpha = 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
બંને બાજુ $xy$ વડે ગુણતા:
$y^2 \cos^4 \alpha + x^2 \sin^4 \alpha = 2xy \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 \sin^4 \alpha - 2xy \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + y^2 \cos^4 \alpha = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે:
$(x \sin^2 \alpha - y \cos^2 \alpha)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x \sin^2 \alpha - y \cos^2 \alpha = 0$
$y \cos^2 \alpha = x \sin^2 \alpha$
$y = x \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x \sqrt{1-x^3}} dx$. અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^2}{x^3 \sqrt{1-x^3}} dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{1-x^3}$,તેથી $t^2 = 1-x^3$,એટલે કે $x^3 = 1-t^2$.
વિકલન કરતા,$2t dt = -3x^2 dx$,તેથી $x^2 dx = -\frac{2}{3} t dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-\frac{2}{3} t dt}{(1-t^2) t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{t^2-1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C = \frac{1}{3} \log \left| \frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1} \right| + C$.
આને આપેલ પદ $A \log \left( \frac{\sqrt{1-x^3}+B}{\sqrt{1-x^3}+1} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{3}$ અને $B = -1$ મળે છે.
તેથી,$AB = \frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3}$.

(A) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે બંને વક્રોને સરખાવીએ: $x^3 - 3x^2 - 8x - 4 = 3x^2 + 7x + 4$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $x^3 - 6x^2 - 15x - 8 = 0$ થાય છે.
આ ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x + 1)^2(x - 8) = 0$ મળે છે.
વક્રો ત્યાં સ્પર્શે છે જ્યાં વિકલિતના મૂલ્યો સમાન હોય અને છેદબિંદુઓ પુનરાવર્તિત થાય. $x = -1$ આગળ વક્રો સ્પર્શે છે.
$y = 3x^2 + 7x + 4$ માં $x = -1$ મૂકતા,આપણને $y = 3(-1)^2 + 7(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(-1, 0)$ છે.
હવે,$y = 3x^2 + 7x + 4$ નું વિકલન કરીને $P(-1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ: $\frac{dy}{dx} = 6x + 7$.
$x = -1$ આગળ,ઢાળ $m = 6(-1) + 7 = 1$ મળે છે.
$(-1, 0)$ બિંદુ અને $m = 1$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - (-1))$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ વક્ર $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
$\Rightarrow (2y - 4) \frac{dy}{dx} = 6x^2$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y - 4} = \frac{3x^2}{y - 2}$.
આમ,$P(\alpha, \beta)$ આગળ ઢાળ $m = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2}$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (x - \alpha)$ છે.
સ્પર્શક $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2 - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow -(\beta - 2)^2 = 3\alpha^2 (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow 3\alpha^3 - 3\alpha^2 - \beta^2 + 4\beta - 4 = 0 \dots (i)$.
વળી,$P(\alpha, \beta)$ વક્ર પર હોવાથી,$\beta^2 - 4\beta + 8 = 2\alpha^3 \dots (ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$3\alpha^3 - 3\alpha^2 - (2\alpha^3 + 4\beta - 8) + 4\beta - 4 = 0$.
$\Rightarrow \alpha^3 - 3\alpha^2 + 4 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2 = 0$ મળે.
જો $\alpha = -1$,તો $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(-1)^3 = -2$,એટલે કે $\beta^2 - 4\beta + 10 = 0$. વિવેચક $D = 16 - 40 = -24 < 0$,તેથી $\beta$ વાસ્તવિક નથી.
જો $\alpha = 2$,તો $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(2)^3 = 16$,એટલે કે $\beta^2 - 4\beta - 8 = 0$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા,$\beta = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $(2, 2 + 2\sqrt{3})$ અને $(2, 2 - 2\sqrt{3})$ મળે છે,જે બે અલગ સ્પર્શકો આપે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ પર,વક્રનું સમીકરણ $(\frac{a}{a})^n + (\frac{b}{b})^n = 1^n + 1^n = 2$ થાય છે,જે કોઈપણ $n$ માટે સાચું છે.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{a^n} x^{n-1} + \frac{n}{b^n} y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \cdot \frac{a^n}{b^n} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $bx + ay = 2ab$ થાય છે.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\cos \alpha = \frac{b}{p}$ અને $\sin \alpha = \frac{a}{p}$ મળે છે.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ હોવાથી,$\frac{b^2}{p^2} + \frac{a^2}{p^2} = 1$,તેથી $a^2 + b^2 = p^2$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{p^2}{a^2 b^2} = \frac{k}{p^2}$.
$p = 2ab$ પરથી,$p^2 = 4a^2 b^2$,તેથી $a^2 b^2 = \frac{p^2}{4}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{p^2}{p^2/4} = 4 = \frac{k}{p^2} \cdot p^2 = k$.
આમ,$k = 4$.

(A) આપેલ વક્ર $3y = 6x - 5x^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$3 \frac{dy}{dx} = 6 - 15x^2$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = 2 - 5x^2$ થાય છે.
બિંદુ $P(h, k)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{2 - 5h^2}$ છે.
$(0,0)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)x$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ અભિલંબ પર હોવાથી,$k = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)h$,એટલે કે $\frac{k}{h} = \frac{1}{5h^2 - 2}$ (સમીકરણ $i$).
બિંદુ $(h, k)$ વક્ર પર હોવાથી,$3k = 6h - 5h^3$,એટલે કે $\frac{k}{h} = \frac{6 - 5h^2}{3}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$\frac{1}{5h^2 - 2} = \frac{6 - 5h^2}{3}$.
આનું સાદું રૂપ $3 = (6 - 5h^2)(5h^2 - 2) = 30h^2 - 12 - 25h^4 + 10h^2$ થાય છે.
ગોઠવતા $25h^4 - 40h^2 + 15 = 0$,અથવા $5h^4 - 8h^2 + 3 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $z = h^2$,તો $5z^2 - 8z + 3 = 0$.
અવયવ પાડતા $(5z - 3)(z - 1) = 0$,તેથી $z = \frac{3}{5}$ અથવા $z = 1$.
$z = 1$ માટે,$h^2 = 1$,તેથી $h = \pm 1$.
ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય $h = 1$ છે.

(C) બિંદુઓ $(0,3)$ અને $(5,-2)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $(y-3) = -1(x-0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x+3$ થાય છે.
વક્ર $y = \frac{c}{x+1}$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2}$ દ્વારા મળે છે.
રેખા એ વક્રનો સ્પર્શક હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ: $\frac{-c}{(x+1)^2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $c = (x+1)^2$.
સ્પર્શબિંદુ પર,વક્ર અને રેખા એકબીજાને છેદે છે,તેથી $\frac{c}{x+1} = -x+3$.
આ સમીકરણમાં $c = (x+1)^2$ મૂકતા: $\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x+3$,જેનું સાદું રૂપ $x+1 = -x+3$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = 2$,તેથી $x = 1$.
$x=1$ ને $c = (x+1)^2$ માં મૂકતા,આપણને $c = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ મળે છે.

(B) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે જ્યાં $y = x^2 + 4x + 3$. રેખા $3x - y + 2 = 0$ છે.
બિંદુ રેખાની સૌથી નજીક હોવા માટે,તે બિંદુ પરનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x + 4$ છે.
સ્પર્શક $y = 3x + 2$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $3$ હોવો જોઈએ.
$2x + 4 = 3 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$x = -\frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $y$-યામ શોધો:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
આમ,બિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$ છે.

(A) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + x + 16$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_1, y_1)} = 2x_1 + 1$ થાય.
સ્પર્શક રેખા $(0,0)$ અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $\frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1}$ પણ થાય.
બંને ઢાળને સરખાવતા: $2x_1 + 1 = \frac{y_1}{x_1} \Rightarrow y_1 = 2x_1^2 + x_1$ ...$(i)$
$(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$y_1 = x_1^2 + x_1 + 16$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $2x_1^2 + x_1 = x_1^2 + x_1 + 16 \Rightarrow x_1^2 = 16 \Rightarrow x_1 = \pm 4$.
જો $x_1 = 4$,તો $y_1 = 4^2 + 4 + 16 = 36$. તેથી ઢાળ $m = \frac{36}{4} = 9$.
જો $x_1 = -4$,તો $y_1 = (-4)^2 + (-4) + 16 = 28$. તેથી ઢાળ $m = \frac{28}{-4} = -7$.
અહીં વિકલ્પો જોતા $m=9$ લેતા જવાબ $9$ મળે છે.

(C) આપેલ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y-4}{x-3}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{dy}{y-4} = \int \frac{dx}{x-3}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y-4| = \ln|x-3| + C$ મળે.
વક્ર $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=4$ અને $y=3$ મૂકતા: $\ln|3-4| = \ln|4-3| + C \Rightarrow \ln(1) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln|y-4| = \ln|x-3|$,જેનો અર્થ છે કે $|y-4| = |x-3|$.
આના બે કિસ્સા મળે: $y-4 = x-3$ અથવા $y-4 = -(x-3)$.
કિસ્સો $1$: $y-x = 1$. આ રેખા $y=x$ ને છેદતી નથી.
કિસ્સો $2$: $y-4 = -x+3 \Rightarrow x+y = 7$.
$y=x$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x+y=7$ માં $y=x$ મૂકતા: $x+x=7 \Rightarrow 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2}$.
તેથી,$y=\frac{7}{2}$. બિંદુ $(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $e^{y} = 1 + x^2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $y = \ln(1 + x^2)$.
ઢાળ $m$ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln(1 + x^2)) = \frac{1}{1 + x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$m = \frac{1}{1 + x^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{1 + x^2}$.
હવે,$x = 1$ આગળ ઢાળની કિંમત શોધતા:
$m = \frac{2(1)}{1 + (1)^2} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,$m = 1$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 3(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$y^2 \frac{dy}{dx} - y - x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
સ્પર્શક શિરોલંબ હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને અંશ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:
$y^2 - x = 0 \Rightarrow x = y^2$ અને $y \neq 0$.
$x = y^2$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0$.
$y^3 - 3y^3 + 2 = 0$.
$-2y^3 + 2 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ હોવાથી,$x = (1)^2 = 1$.
બિંદુ $(1, 1)$ મળે છે.
આમ,$V = \{(1, 1)\}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=\sqrt{9-2x^2}$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે જ્યાં $x_1 = y_1$ છે.
વક્રના સમીકરણમાં $y_1 = x_1$ મૂકતા: $x_1 = \sqrt{9-2x_1^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x_1^2 = 9-2x_1^2 \Rightarrow 3x_1^2 = 9 \Rightarrow x_1^2 = 3 \Rightarrow x_1 = \pm\sqrt{3}$.
કારણ કે $y = \sqrt{9-2x^2}$ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી $y_1 = \sqrt{3}$. આમ,બિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
હવે,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9-2x^2}} \times (-4x) = \frac{-2x}{\sqrt{9-2x^2}} = \frac{-2x}{y}$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ આગળ ઢાળ $m = \frac{-2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3}$
$2x + y - 3\sqrt{3} = 0$.

(D) વક્ર $y^3-x^2 y+5 y-2 x=0$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$3 y^2 \frac{dy}{dx} - (x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy) + 5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$
$(0,0)$ આગળ,આ $5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી ઢાળ $m_1 = \frac{2}{5}$ મળે.
વક્ર $x^4-x^3 y^2+5 x+2 y=0$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$4x^3 - (x^3 \cdot 2y \frac{dy}{dx} + 3x^2 y^2) + 5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$(0,0)$ આગળ,આ $5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી ઢાળ $m_2 = -\frac{5}{2}$ મળે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (\frac{2}{5}) \times (-\frac{5}{2}) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો $x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a - a \cos \theta)$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \sin \theta$
$y = x \tan \theta - a \tan \theta$
$y = \tan \theta (x - a)$.
આ રેખા $\theta$ થી સ્વતંત્ર એવા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,આપણે $x - a = 0$ લઈએ,જે $x = a$ આપે છે.
સમીકરણમાં $x = a$ મૂકતા,આપણને $y = \tan \theta (a - a) = 0$ મળે છે.
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=a x^3+b x^2+c x+5$ ...$(i)$
વક્ર $P(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=-2$ અને $y=0$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$ ...(ii)
હવે,વક્રનું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
વક્ર $P(-2,0)$ બિંદુએ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી $x=-2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ થાય:
$\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=-2} = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$
$4b = 12a + c$ ...(iii)
સમીકરણ (iii) માંથી $4b$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$-8a + (12a + c) - 2c + 5 = 0$
$4a - c + 5 = 0$
$c = 4a + 5$

(B) છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોને એકબીજાની બરાબર મૂકો:
$x^2-1 = 8x-x^2-9$
$2x^2-8x+8 = 0$
$x^2-4x+4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$
$x=2$ ને $y=x^2-1$ માં મૂકતા,આપણને $y=3$ મળે છે. તેથી,છેદબિંદુ $(2,3)$ છે.
હવે,$(2,3)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ નક્કી કરવા માટે વિકલન શોધો:
$C_1: y=x^2-1$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ આગળ,$m_1 = 2(2) = 4$.
$C_2: y=8x-x^2-9$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 8-2x$. $x=2$ આગળ,$m_2 = 8-2(2) = 4$.
જેમ કે ઢાળ સમાન છે $(m_1 = m_2 = 4)$,તેથી $(2,3)$ બિંદુએ વક્રોના સ્પર્શકો સમાન છે.
તેથી,બંને વક્રો $(2,3)$ બિંદુએ એકબીજાને સ્પર્શે છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = x + \frac{4}{x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^3}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ થાય. તેથી,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$1 - \frac{8}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{8}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
હવે,$x = 2$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $y$ યામ શોધો:
$y = 2 + \frac{4}{2^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
આમ,સ્પર્શક એ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 3$ છે.

(A) વક્ર $y=f(x)$ માટે કોઈ પણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x)$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે બિંદુ $(3,4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t$ અને અભિલંબનો ઢાળ $m_n$ છે.
અભિલંબ ધન $X$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{3\pi}{4}$ માપનો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પર્શક અને અભિલંબના ઢાળ વચ્ચેનો સંબંધ $m_n = -\frac{1}{m_t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ મળે.
આમ,$f^{\prime}(3) = 1$ થાય.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{a} \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} + \frac{n}{b} \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,ઢાળ $m$ છે:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a,b)} = -\frac{b}{a} \left(\frac{a/a}{b/b}\right)^{n-1} = -\frac{b}{a}$.
$(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a) \Rightarrow ay - ab = -bx + ab \Rightarrow bx + ay = 2ab$.
$2ab$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $2a$ અને $2b$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $2a + 2b = 2(a+b)$ થાય.

(D) વક્રનું સમીકરણ $2y = e^{-x/2}$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
$x = 0$ મૂકતા: $2y = e^0 = 1$,તેથી $y = 1/2$.
છેદબિંદુ $(0, 1/2)$ છે.
વક્રનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} e^{-x/2}$.
$x = 0$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}$ મળે છે.
$y$-અક્ષ એ શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
વક્ર અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{1}{m}|$ છે.
અહીં,$m = -1/4$ હોવાથી,$\tan \theta = |\frac{1}{-1/4}| = 4$.
આપેલ છે કે ખૂણો $\tan^{-1}(k)$ છે,તેથી $\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(4)$.
આમ,$k = 4$.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$
$\theta = \pi / 3$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi/3}{2}) = \tan(\pi / 6)$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan \psi$ હોવાથી,જ્યાં $\psi$ એ $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે:
$\tan \psi = \tan(\pi / 6) \Rightarrow \psi = \pi / 6$.

(A) આપેલ વક્રો $y^2=4x$ અને $y=e^{-x/2}$ છે.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ બંને વક્રોનું છેદબિંદુ છે.
$y^2=4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
આમ,ઢાળ $m_1 = \frac{2}{y_1}$ છે.
$y=e^{-x/2}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x/2} = -\frac{1}{2}y$ મળે.
આમ,ઢાળ $m_2 = -\frac{y_1}{2}$ છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $m_1 m_2 = (\frac{2}{y_1})(-\frac{y_1}{2}) = -1$.
કારણ કે $1 + m_1 m_2 = 1 - 1 = 0$,છેદ શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \infty$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.
અંતે,$\operatorname{cosec}^2(\theta/2) = \operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$.

(B) આપેલ વિધેય $y=x^3-a x^2+48 x+7$ છે.
વિધેય $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે વધતું વિધેય હોવા માટે,તેનું વિકલન અ-ઋણ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\frac{dy}{dx} \geq 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2ax + 48$.
કારણ કે $3x^2 - 2ax + 48 \geq 0$ તમામ $x$ માટે,દ્વિઘાત પદાવલિનો વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A=3, B=-2a, C=48$.
$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4(3)(48) = 4a^2 - 576$.
$D \leq 0$ લેતા:
$4a^2 - 576 \leq 0$
$4(a^2 - 144) \leq 0$
$a^2 - 144 \leq 0$
$(a-12)(a+12) \leq 0$.
આમ,$a \in [-12, 12]$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અંતરાલ $(-12, 12)$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = |x-5| + 2|x-7|$ છે.
અંતરાલ $(7, \infty)$ માટે,આપણી પાસે $x > 7$ છે.
કારણ કે $x > 7$,તેથી $x > 5$ અને $x > 7$ થાય.
તેથી,$|x-5| = x-5$ અને $|x-7| = x-7$ થાય.
આ કિંમતોને વિધેયમાં મૂકતા:
$f(x) = (x-5) + 2(x-7)$
$f(x) = x - 5 + 2x - 14$
$f(x) = 3x - 19$.
હવે,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x - 19) = 3$.
અહીં $f'(x) = 3 > 0$ હોવાથી,અંતરાલ $(7, \infty)$ માં વિધેય વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે $4 - x^2 = 0$,તેથી $x = \pm 2$.
કારણ કે $x = \pm 2$ એ અંતરાલ $[-1, 1]$ માં નથી,તેથી આપેલ અંતરાલમાં વિધેયને કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ નથી.
કારણ કે તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $4 - x^2 > 0$ છે,તેથી $f'(x) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય અંતિમ બિંદુ $x = 1$ પર મળે છે:
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1^2} = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ વિધેય: $f(x) = x + \frac{4}{x + 2}$,જ્યાં $x > -2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 = \frac{4}{(x + 2)^2} \implies (x + 2)^2 = 4$
કારણ કે $x > -2$,તેથી $x + 2 = 2$,જે આપણને $x = 0$ આપે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = \frac{8}{(x + 2)^3}$ તપાસીએ.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = \frac{8}{2^3} = 1 > 0$.
કારણ કે $f''(0) > 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 0 + \frac{4}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ છે.
અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
વિધેયને કોઈ અંતિમ મૂલ્ય ન હોય જો તેનું વિકલન $f'(x)$ ચિહ્ન બદલે નહીં,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી અથવા સમાન બીજ છે જેથી ચિહ્ન બદલાતું નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે,તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) < 0$.
$4b^2 - 12ac < 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $b^2 - 3ac < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < 3ac$.

(A) ધારો કે બંધ નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
બંધ નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠફળના સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = 2 \pi r (\frac{V}{\pi r^2}) + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r = 0$.
આનાથી આપણને $4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$ મળે છે,તેથી $V = 2 \pi r^3$.
આ સમીકરણમાં $V = \pi r^2 h$ મૂકતા: $\pi r^2 h = 2 \pi r^3$.
બંને બાજુને $\pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને $h = 2r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $h : r = 2 : 1$ છે.

(A) કણોના યામ $P(t, t^3 - 16t - 3)$ અને $Q(t + 1, t^3 - 6t - 6)$ છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $PQ$ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$PQ = \sqrt{((t + 1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતરના વર્ગ $y = PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવીએ.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dy}{dt} = 2(10t - 3) \times 10 = 20(10t - 3) = 0$
આનાથી $10t - 3 = 0$ મળે છે,એટલે કે $t = \frac{3}{10}$.
$t = \frac{3}{10}$ ને $PQ$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PQ_{min} = \sqrt{1 + (10(\frac{3}{10}) - 3)^2} = \sqrt{1 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$.
આમ,ન્યૂનતમ અંતર $1$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \frac{b^2}{a-x} + \frac{a^2}{x}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2}{(a-x)^2} - \frac{a^2}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $\frac{b^2}{(a-x)^2} = \frac{a^2}{x^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a-x} = \pm \frac{a}{x}$.
$0 < x < a$ અને $a, b > 0$ હોવાથી,આપણે ધન મૂળ લઈએ: $\frac{b}{a-x} = \frac{a}{x} \Rightarrow bx = a^2 - ax \Rightarrow x(a+b) = a^2 \Rightarrow x = \frac{a^2}{a+b}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2b^2}{(a-x)^3} + \frac{2a^2}{x^3}$.
$x = \frac{a^2}{a+b}$ એ $(0, a)$ માં હોવાથી,બંને પદો ધન છે,તેથી $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$,જે ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
$x = \frac{a^2}{a+b}$ ને $y$ માં મૂકતા:
$y_{\min} = \frac{b^2}{a - \frac{a^2}{a+b}} + \frac{a^2}{\frac{a^2}{a+b}} = \frac{b^2}{\frac{a^2+ab-a^2}{a+b}} + (a+b) = \frac{b^2(a+b)}{ab} + (a+b) = \frac{b(a+b)}{a} + (a+b) = (a+b)(\frac{b}{a} + 1) = (a+b)(\frac{a+b}{a}) = \frac{(a+b)^2}{a}$.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં કર્ણ $AC = h$ છે. ધારો કે $\angle A = \theta$.
તેથી બાજુઓ $AB = h \cos \theta$ અને $BC = h \sin \theta$ થશે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} (h \cos \theta)(h \sin \theta)$.
$A = \frac{h^2}{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{h^2}{4} (2 \sin \theta \cos \theta) = \frac{h^2}{4} \sin 2\theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $2\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\theta = 45^{\circ}$ હોય ત્યારે $1$ થાય છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{h^2}{4} \times 1 = \frac{h^2}{4}$ થાય.

(D) આપેલ વિધેય $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ છે.
અંતિમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x) = a \cos x + \frac{1}{3} \cdot 3 \cos 3x = a \cos x + \cos 3x$.
વિધેયને $x = \frac{\pi}{3}$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય હોવાથી,$f'(\frac{\pi}{3}) = 0$ થવું જોઈએ.
વિકલિતમાં $x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા:
$a \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 0$.
$a(\frac{1}{2}) + \cos(\pi) = 0$.
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$,તેથી:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બે આપેલી બાજુઓ $a$ અને $b$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ સૂત્ર $A = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બાજુઓ $a$ અને $b$ નિશ્ચિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ માત્ર $\sin \theta$ પર આધાર રાખે છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય તે માટે $\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2} \text{ રેડિયન}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે આપેલી બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) કણનો વેગ $V$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે:
$V = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6t - \frac{t^3}{2}) = 6 - \frac{3}{2}t^2$
મહત્તમ વેગ શોધવા માટે,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(6 - \frac{3}{2}t^2) = -3t$
$\frac{dV}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $t = 0$ મળે છે.
અહીં $\frac{d^2V}{dt^2} = -3 < 0$ હોવાથી,$t = 0$ સમયે વેગ મહત્તમ છે.
વેગના સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકતા:
$V_{max} = 6 - \frac{3}{2}(0)^2 = 6$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$ અને $g(x)=x-\frac{1}{x}$.
આપણે $f(x)$ ને $g(x)$ ના સ્વરૂપમાં $f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $t=x-\frac{1}{x}$. તો $f(x)=t^2+2$ અને $g(x)=t$ થાય.
આપણે $h(t)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $h'(t)=1-\frac{2}{t^2}$.
$h'(t)=0$ લેતા,આપણને $1-\frac{2}{t^2}=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t^2=2$,તેથી $t=\pm \sqrt{2}$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$h''(t)=\frac{4}{t^3}$.
$t=\sqrt{2}$ માટે,$h''(\sqrt{2})=\frac{4}{(\sqrt{2})^3} > 0$,તેથી $t=\sqrt{2}$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $h(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ છે.

(D) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં સેક્ટરનો ખૂણો છે. સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમિતિ અચળ હોવાથી,ધારો કે $P = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી,$r(2 + \theta) = k$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{k}{2 + \theta}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \frac{1}{2} \left(\frac{k}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2} \left[ \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} \right] = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta) - 2\theta}{(2 + \theta)^3} = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{2 - \theta}{(2 + \theta)^3}$.
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $2 - \theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 2$.
$\theta = 2$ માટે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2A}{d\theta^2}$ ઋણ છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $\theta = 2^c$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ છે જ્યાં $a>0$.
સૌ પ્રથમ,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x)=6 x^2-18 a x+12 a^2$
$f^{\prime}(x)=6(x^2-3 a x+2 a^2)=6(x-a)(x-2 a)$
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ માટે,$f^{\prime}(x)=0$ લો:
$6(x-a)(x-2 a)=0 \Rightarrow x=a, 2 a$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-18 a$:
$x=a$ આગળ,$f^{\prime\prime}(a)=12 a-18 a=-6 a < 0$ ($a>0$ હોવાથી),તેથી $x=a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x=2 a$ આગળ,$f^{\prime\prime}(2 a)=24 a-18 a=6 a > 0$ ($a>0$ હોવાથી),તેથી $x=2 a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
આમ,$p=a$ અને $q=2 a$.
શરત $p^2=q$ મુજબ:
$a^2=2 a$
$a^2-2 a=0$
$a(a-2)=0$
$a>0$ હોવાથી,આપણને $a=2$ મળે છે.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x, y) = (x, x^2-4)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતરનો વર્ગ $D^2 = S = x^2 + y^2 = x^2 + (x^2-4)^2$ છે.
$S = x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = x^4 - 7x^2 + 16$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\frac{dS}{dx} = 4x^3 - 14x = 0$.
$2x(2x^2 - 7) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x^2 = \frac{7}{2}$ મળે છે.
જો $x = 0$,તો $S = 16$. જો $x^2 = \frac{7}{2}$,તો $S = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = 16 - \frac{49}{4} = \frac{64-49}{4} = \frac{15}{4}$.
ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{S} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ છે.

(A) ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને ઊંચાઈ $H$ છે. ખુલ્લા નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $A = 2\pi RH + \pi R^2$ છે.
આના પરથી,આપણે $H$ ને $H = \frac{A - \pi R^2}{2\pi R}$ તરીકે લખી શકીએ.
ઘનફળ $V = \pi R^2 H = \pi R^2 \left( \frac{A - \pi R^2}{2\pi R} \right) = \frac{R}{2}(A - \pi R^2) = \frac{AR}{2} - \frac{\pi R^3}{2}$ છે.
મહત્તમ ઘનફળ મેળવવા માટે,આપણે $V$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dR} = \frac{A}{2} - \frac{3\pi R^2}{2}$.
$\frac{dV}{dR} = 0$ લેતા,આપણને $A = 3\pi R^2$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા,$\frac{d^2V}{dR^2} = -3\pi R$,જે $R > 0$ માટે ઋણ છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$A = 3\pi R^2$ ને પૃષ્ઠફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $3\pi R^2 = 2\pi RH + \pi R^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2\pi R^2 = 2\pi RH$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = H$.
આમ,ત્રિજ્યા એ નળાકારની ઊંચાઈ જેટલી છે.

(C) આપેલ છે કે $x+y=k$,જ્યાં $x>0$ અને $y>0$.
આપણે $y=k-x$ લખી શકીએ.
ધારો કે $f(x) = x^2+y^2 = x^2+(k-x)^2$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x^2+k^2-2kx+x^2 = 2x^2-2kx+k^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = 4x-2k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ:
$f''(x) = 4 > 0$.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,વિધેય $x = \frac{k}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = \frac{k}{2}$ ને $y = k-x$ માં મૂકતા,આપણને $y = k - \frac{k}{2} = \frac{k}{2}$ મળે છે.
આમ,$x=y=\frac{k}{2}$ એ $x^2+y^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય આપે છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે. લંબચોરસ $R = 10 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,તેથી $x^2 + y^2 = (2R)^2 = (20)^2 = 400$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ છે. ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = x^2y^2$ ને મહત્તમ કરીએ.
ધારો કે $u = x^2$ અને $v = y^2$,તો $u + v = 400$. આપણે $uv$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$,તેથી $\sqrt{uv} \leq \frac{400}{2} = 200$.
આમ,$uv \leq (200)^2 = 40000$.
વૈકલ્પિક રીતે,વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તે ચોરસ હોય.
જો તે $a$ બાજુ ધરાવતો ચોરસ હોય,તો $a^2 + a^2 = (20)^2 \Rightarrow 2a^2 = 400 \Rightarrow a^2 = 200$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = 200 \text{ cm}^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = -\sin x + x - x^2$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = -\cos x + 1 - 2x$.
$x=0$ આગળ કિંમત મેળવો:
$f'(0) = -\sin(0) + 0 - 0^2 = 0$.
$f''(0) = -\cos(0) + 1 - 2(0) = -1 + 1 = 0$.
કારણ કે $f'(0)=0$ અને $f''(0)=0$ છે,આપણે તૃતીય વિકલિત $f'''(x)$ તપાસીએ:
$f'''(x) = \sin x - 2$.
$x=0$ આગળ કિંમત મેળવો:
$f'''(0) = \sin(0) - 2 = -2$.
કારણ કે $x=0$ આગળ પ્રથમ શૂન્યતર વિકલિત એકી ક્રમનું (તૃતીય વિકલિત) છે,તેથી $x=0$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે અને અંતિમ બિંદુ નથી.
તેથી,$x=0$ આગળ $f(x)$ ની કોઈ અંતિમ કિંમત નથી.