AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+3y^2=6$ છે,જેને $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે બિંદુનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે,જ્યાં $a^2=6$ અને $b^2=2$.
તેથી,યામ $(\sqrt{6} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી આ બિંદુનું અંતર $2$ એકમ છે.
તેથી,$(\sqrt{6} \cos \theta)^2 + (\sqrt{2} \sin \theta)^2 = 2^2$.
$6 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta = 4$.
$6 \cos^2 \theta + 2(1 - \cos^2 \theta) = 4$.
$4 \cos^2 \theta + 2 = 4$ $\Rightarrow 4 \cos^2 \theta = 2$ $\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\frac{3\pi}{4}$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,આ શિરોલંબ ઉપવલય છે જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $a^2 = b^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 4 = 9(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિઓ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{5})$ છે.
બિંદુ $P = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ માટે નાભિ અંતરો $PS$ અને $PS'$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PS = 2$ અને $PS' = 4$ મળે છે.

(D) ધારો કે નાભિઓ $S_1(-ae, 0)$ અને $S_2(ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $A(0, b)$ છે.
ખૂણો $\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta S_1 A S_2$ માં,$\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ હોવાથી,કર્ણ $S_1 S_2$ પરની મધ્યગા $AO$ એ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
$AO = \frac{1}{2} S_1 S_2$
$b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,આપણને મળે:
$(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2 e^2 = a^2 - a^2 e^2$
$2a^2 e^2 = a^2$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^2=36$ અને $b^2=20$ મળે છે,તેથી $a=6$ થાય.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય: $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{36}} = \sqrt{\frac{16}{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
જ્યારે $a > b$ હોય ત્યારે ઉપવલયની નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \pm \frac{6}{2/3} = \pm 9$ મળે છે.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર આ બે કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત છે: $|9 - (-9)| = 18$.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a}$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $= 2b$.
આપેલ શરત મુજબ,નાભિલંબ એ ગૌણ અક્ષના અડધા જેટલું છે:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b) = b$.
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા,$\frac{2b}{a} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{b^2}{a^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 6 \Rightarrow a = 3$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
મુખ્ય અક્ષ $x-y+1=0$ રેખા પર છે. ગૌણ અક્ષ મુખ્ય અક્ષને લંબ છે અને કેન્દ્ર $(5,6)$ માંથી પસાર થાય છે.
મુખ્ય અક્ષનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. તેથી,ગૌણ અક્ષનો ઢાળ $m_2 = -1$ થાય.
ગૌણ અક્ષનું સમીકરણ $y - 6 = -1(x - 5) \Rightarrow x + y - 11 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h,k) = (5,6)$ વાળા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(\text{મુખ્ય અક્ષથી અંતર})^2}{b^2} + \frac{(\text{ગૌણ અક્ષથી અંતર})^2}{a^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,મુખ્ય અક્ષ $x-y+1=0$ થી અંતર $\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$ છે.
ગૌણ અક્ષ $x+y-11=0$ થી અંતર $\frac{|x+y-11|}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$\frac{(\frac{x-y+1}{\sqrt{2}})^2}{1^2} + \frac{(\frac{x+y-11}{\sqrt{2}})^2}{3^2} = 1$
$\frac{(x-y+1)^2}{2} + \frac{(x+y-11)^2}{18} = 1$
$18$ વડે ગુણતા:
$9(x-y+1)^2 + (x+y-11)^2 = 18$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,$\frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ મળે,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ મળે છે.

(D) અંતર્ગત ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,લંબચોરસ $R$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, \pm 2)$ છે.
કારણ કે $E_2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ લંબચોરસ $R$ ને પરિગત છે,તે $R$ ના શિરોબિંદુઓ જેવા કે $(3, 2)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
$E_2$ ના સમીકરણમાં $(3, 2)$ મૂકતા: $\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
આપેલ છે કે $E_2$ એ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1$,જે $b^2 = 16$ આપે છે,તેથી $b = 4$.
$b^2 = 16$ ને સમીકરણ $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{16} = 1$ માં મૂકતા:
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{4} = 1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = 12$ $\Rightarrow a = 2\sqrt{3}$.
આમ,$a = 2\sqrt{3}$ અને $b = 4$.

(A) બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ની અંદર આવેલું છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં બિંદુ મૂકતા:
$4\lambda^2 + 9(\lambda-2)^2 < 36$
$4\lambda^2 + 9(\lambda^2 - 4\lambda + 4) < 36$
$13\lambda^2 - 36\lambda < 0$
$\lambda(13\lambda - 36) < 0$
તેથી,$0 < \lambda < \frac{36}{13}$ $(i)$.
બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ પરવલય $y^2=x$ ની બહાર આવેલું છે.
પરવલયની શરત $y^2 - x > 0$ માં બિંદુ મૂકતા:
$(\lambda-2)^2 - \lambda > 0$
$\lambda^2 - 5\lambda + 4 > 0$
$(\lambda-4)(\lambda-1) > 0$
તેથી,$\lambda \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો છેદગણ લેતા:
$0 < \lambda < 1$ મળે છે.

(D) કારણ કે $(\alpha, -\alpha)$ એ ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ ની અંદર આવેલું છે,તેથી:
$4(\alpha)^2 + 5(-\alpha)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 + 5\alpha^2 - 1 < 0$
$9\alpha^2 < 1$
$\alpha^2 < \frac{1}{9}$
$-\frac{1}{3} < \alpha < \frac{1}{3}$
આમ,$\alpha$ માટેનો અંતરાલ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\beta = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$ છે.
હવે,$\beta = \frac{2}{3}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(6\beta - 4)^{201} + 201 = (6 \times \frac{2}{3} - 4)^{201} + 201$
$= (4 - 4)^{201} + 201$
$= 0^{201} + 201 = 201$.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1$ છે.
અહીં,$a^2=64 \Rightarrow a=8$ અને $b^2=49 \Rightarrow b=7$.
કોઈપણ બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડ $x_0 = \frac{a}{\cos \theta}$ અને $y_0 = \frac{b}{\sin \theta}$ છે.
અંતઃખંડનો સરવાળો $L = a \sec \theta + b \csc \theta$ છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવીએ: $\frac{dL}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta - b \csc \theta \cot \theta = 0$.
આનાથી $\tan^3 \theta = \frac{b}{a}$ મળે છે,તેથી $\tan \theta = (b/a)^{1/3}$.
અંતઃખંડનો ન્યૂનતમ સરવાળો $a+b = 8+7 = 15$ છે.

(B) આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે,નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{2}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ હોવાથી,$ae = 3$ મળે.
$e = \frac{3}{2}$ મુકતા,$a(\frac{3}{2}) = 3$,તેથી $a = 2$ મળે.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 2^2((\frac{3}{2})^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$ મળે.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ એટલે કે $5x^2 - 4y^2 = 20$ થાય.
રેખા $y = 2x - 1$ સાથે છેદનબિંદુ ચકાસવા માટે,$y$ ની કિંમત અતિવલયના સમીકરણમાં મુકતા:
$5x^2 - 4(2x - 1)^2 = 20$
$5x^2 - 4(4x^2 - 4x + 1) = 20$
$-11x^2 + 16x - 24 = 0$ અથવા $11x^2 - 16x + 24 = 0$.
વિવેચક $D = (-16)^2 - 4(11)(24) = 256 - 1056 = -800$.
$D < 0$ હોવાથી,રેખા અતિવલયને છેદતી નથી.

(D) આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,તેથી $a = 3$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ છે,તેથી $ae = 4$.
$a=3$ મૂકતા,$3e = 4$,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{4}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 3^2 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 9 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 16 - 9 = 7$.
તેથી,$b = \sqrt{7}$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ છે.
અતિવલયના પ્રચલ સમીકરણો $x = a \sec \theta$ અને $y = b \tan \theta$ છે.
$a=3$ અને $b=\sqrt{7}$ મૂકતા,આપણને $x = 3 \sec \theta$ અને $y = \sqrt{7} \tan \theta$ મળે છે.

(B) આપેલ અતિવલય $16 x^2 - 9 y^2 = 1$ છે.
આને $\frac{x^2}{(1/4)^2} - \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{16}$ અને $b^2 = \frac{1}{9}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ એ $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1/9}{1/16} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$e_1 = \frac{5}{3}$.
અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ એ $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{1/16}{1/9} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$e_2 = \frac{5}{4}$.
હવે,$3 e_1 = 3 \times \frac{5}{3} = 5$.
તેમજ,$4 e_2 = 4 \times \frac{5}{4} = 5$.
તેથી,$3 e_1 = 4 e_2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0$ છે,જેને $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સંયુગ્મી અતિવલય છે.
આ અતિવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = \frac{b}{e}$ છે.
આને આપેલ નિયામિકા $\sqrt{5} y - \sqrt{8} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $y = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{b}{e} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$.
આપેલ છે કે $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$,તેથી $b = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}$.
સંયુગ્મી અતિવલય માટે,$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{a^2}{(\sqrt{2})^2} \implies \frac{5}{4} = 1 + \frac{a^2}{2}$.
$\frac{a^2}{2} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} \implies a^2 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{1}{a} = \sqrt{2}$.

(B) નાભિ $S$ ના યામ $(ae, 0)$ છે અને પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $L$ ના યામ $(ae, b^2/a)$ છે.
આપેલ છે કે $S(8, y_1)$,તેથી $ae = 8$.
આપેલ છે કે $L(x_1, 4)$,તેથી $b^2/a = 4$,એટલે કે $b^2 = 4a$.
અતિવલય માટે,$c^2 = a^2 + b^2$,જ્યાં $c = ae = 8$.
$c = 8$ અને $b^2 = 4a$ ને $c^2 = a^2 + b^2$ માં મૂકતા:
$64 = a^2 + 4a$
$a^2 + 4a - 64 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 256}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17}$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 2\sqrt{17} - 2 = 2(\sqrt{17} - 1)$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 4(\sqrt{17} - 1)$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$,તેથી $a = 4$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2\sqrt{41}$,તેથી $ae = \sqrt{41}$.
સંબંધ $a^2e^2 = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{41})^2 = 4^2 + b^2$
$41 = 16 + b^2$
$b^2 = 41 - 16 = 25$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \times 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

(B) શંકુ આકારની વ્યાખ્યા મુજબ $SP^2 = e^2 PM^2$,જ્યાં $S$ એ નાભિ છે,$P(x,y)$ એ વક્ર પરનું બિંદુ છે,$e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે અને $PM$ એ $P$ થી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
આપેલ નાભિ $S = (1,2)$,નિયામિકા $x+2y=0$,અને $e = \sqrt{2}$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{2})^2 \frac{(x+2y)^2}{1^2+2^2}$
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 2 \frac{(x+2y)^2}{5}$
$5(x^2+y^2-2x-4y+5) = 2(x^2+4y^2+4xy)$
$5x^2+5y^2-10x-20y+25 = 2x^2+8y^2+8xy$
$3x^2-8xy-3y^2-10x-20y+25 = 0$

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x - 14 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 7)(x + 2) = 0$,તેથી બીજ $x_1 = 7$ અને $x_2 = -2$ મળે છે.
અક્ષની લંબાઈ ધન હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $b = 7$ લઈએ છીએ.
બીજા બીજનો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = (-2)^2 = 4$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$.
તેથી,ધન $x$-અક્ષ પરનું નાભિ $(\sqrt{65}, 0)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x^2-8x)-16(y^2-6y)=144$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x^2-8x+16)-16(y^2-6y+9)=144+144-144$
$9(x-4)^2-16(y-3)^2=144$
$144$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-4)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^2=16$ અને $b^2=9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નું સહાયક વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ છે.
$\therefore a^2=16 \Rightarrow a=4$.
અતિવલય $(4 \sqrt{2}, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{(4 \sqrt{2})^2}{16} - \frac{3^2}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{32}{16} - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow 2 - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 9$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(D) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ: $3x^2 - 4y^2 = 300$.
$300$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1$.
અહીં,$a^2 = 100$ અને $b^2 = 75$.
રેખા $3x - my + 5 = 0$ ને $y = \frac{3}{m}x + \frac{5}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = Mx + c$ સાથે સરખાવતા,$M = \frac{3}{m}$ અને $c = \frac{5}{m}$.
સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2M^2 - b^2$ મુજબ: $(\frac{5}{m})^2 = 100(\frac{3}{m})^2 - 75$.
$\frac{25}{m^2} = \frac{900}{m^2} - 75$.
$75 = \frac{875}{m^2} \Rightarrow m^2 = \frac{35}{3}$.
$Y$-અંતઃખંડનો વર્ગ $c^2 = \frac{25}{m^2} = 25 \times \frac{3}{35} = \frac{15}{7}$.

(C) રેખા $y=x$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે. તેથી,સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = -x + c$ અથવા $x + y - c = 0$ છે.
આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 18$ છે,જેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{9} = 1$ લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 18$ અને $b^2 = 9$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શક $y = mx + c$ ની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c^2 = 18(-1)^2 - 9 = 18 - 9 = 9$,તેથી $c = \pm 3$.
સ્પર્શક રેખાઓના સમીકરણો $x + y + 3 = 0$ અને $x + y - 3 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|3 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ એકમ.

(C) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું બિંદુ $(x_0, y_0)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ માંથી અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2$ પર દોરેલી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 2$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = k$ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,સ્પર્શક જીવા અને અનંતસ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોય છે અને તે $a b k$ જેટલું થાય છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $a b (2) = 2ab$ થશે.

(B) લંબચોરસ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = 1$ છે,જ્યાં $a=1$ અને $b=1$ છે.
અતિવલય પરના બિંદુ $P(\theta)$ ના યામ $(\sec \theta, \tan \theta)$ છે.
$\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ માટે,બિંદુ $P$ એ $(\sec \frac{\pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, 1)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \sin \theta$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$P$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\sqrt{2}$ છે.
$P(\sqrt{2}, 1)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -\sqrt{2}(x - \sqrt{2})$ એટલે કે $y = -\sqrt{2}x + 3$ છે.
આને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 - (-\sqrt{2}x + 3)^2 = 1$
$x^2 - 6\sqrt{2}x + 10 = 0$.
બીજ $x_1 = \sqrt{2}$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = 10$,તેથી $x_2 = 5\sqrt{2}$ મળે.
બિંદુ $Q$ માટે,$x_2 = \sec \theta_2 = 5\sqrt{2}$.
તેથી $\tan^2 \theta_2 = \sec^2 \theta_2 - 1 = 50 - 1 = 49$,તેથી $\tan \theta_2 = 7$.
આમ,$\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2 = 50 + 7 = 57$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $a^2e^2 = a^2+b^2$.
નાભિઓને જોડતી રેખાને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2+b^2$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
આ રેખા વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,0)$ થી લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{a^2+b^2}$ જેટલું થાય.
$\frac{|-a^2b^2|}{\sqrt{b^4x_1^2 + a^4y_1^2}} = \sqrt{a^2+b^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x_1^2}{a^4} + \frac{y_1^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ છે.

(D) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ અતિવલયની જીવા $PQ$ નો ધ્રુવ છે.
સ્પર્શકની જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}=1$ છે.
ઉગમબિંદુને અતિવલય અને જીવાના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}\right)^2$.
જીવા $PQ$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
સાદુરૂપ આપતા: $\left(\frac{1}{a^2}-\frac{h^2}{a^4}\right) + \left(-\frac{1}{b^2}-\frac{k^2}{b^4}\right) = 0$.
$\Rightarrow \frac{h^2}{a^4} + \frac{k^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(h, k)$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ની અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $hx - ky = a^2$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2(y^2 - x^2) = 4x^2y^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે અભિલંબ જીવાનું સમીકરણ $ax \sec \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{hx}{a^2}-\frac{ky}{b^2}=1$ છે.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a \sec \theta}{h/a^2} = \frac{b \tan \theta}{-k/b^2} = a^2+b^2$
$\sec \theta = \frac{h(a^2+b^2)}{a^3}$ અને $\tan \theta = \frac{-k(a^2+b^2)}{b^3}$ મળે.
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{a^6}{x^2}-\frac{b^6}{y^2}=(a^2+b^2)^2$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓ:
$(i) \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$
$(ii) \sqrt{3}kx + ky = 4\sqrt{3}$
$(i)$ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3}x \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) + y \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) = 4\sqrt{3}$
$\frac{3x^2 - \sqrt{3}xy + \sqrt{3}xy - y^2}{4\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
$3x^2 - y^2 = 48$
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ એક અતિવલય છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{48}{16} = 4$.
તેથી,$4e^2 = 4(4) = 16$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $bx - ay = 0$ અને $bx + ay = 0$ છે.
ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$P$ થી અનંતસ્પર્શક $bx - ay = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $PQ = \frac{|b(a \sec \theta) - a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta - \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$P$ થી અનંતસ્પર્શક $bx + ay = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $PR = \frac{|b(a \sec \theta) + a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta + \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
આ અંતરોનો ગુણાકાર $6$ આપેલ છે:
$\frac{a^2 b^2(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{a^2 + b^2} = 6$
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = 6$ મળે.
$e = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$ થાય.
સમીકરણમાં $b^2 = 2a^2$ મૂકતા:
$\frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2a^4}{3a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2}{3}a^2 = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$.
તેથી $b^2 = 2(9) = 18$,એટલે કે $b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$ થાય.

(A) આપણને લક્ષ આપેલ છે: $\lim _{x \rightarrow \frac{-3}{5}} \frac{1}{x}\left[\frac{-1}{x}\right]$.
જેમ $x \rightarrow \frac{-3}{5}$,તેમ પદ $\frac{-1}{x} \rightarrow \frac{-1}{-3/5} = \frac{5}{3}$ થાય.
કારણ કે $\frac{5}{3} = 1.66...$ એ અંતરાલ $[1, 2)$ માં આવે છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\frac{5}{3}] = 1$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{-3}{5}} \frac{1}{x}\left[\frac{-1}{x}\right] = \left(\frac{1}{-3/5}\right) \times [\frac{5}{3}] = \frac{-5}{3} \times 1 = \frac{-5}{3}$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(b-c) x^2+(c-a) x+(a-b)}{(a-b) x^2+(b-c) x+(c-a)}=\frac{1}{2}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(b-c) + \frac{c-a}{x} + \frac{a-b}{x^2}}{(a-b) + \frac{b-c}{x} + \frac{c-a}{x^2}} = \frac{1}{2}$
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ છેદમાં $x$ વાળા પદો $0$ ને અનુલક્ષે છે:
$\frac{b-c}{a-b} = \frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(b-c) = a-b$
$2b - 2c = a - b$
$3b = a + 2c$

(B) $x \rightarrow a^{-}$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x}{a} < 1$ છે,તેથી $\left[\frac{x}{a}\right] = 0$.
આમ,$k = \lim _{x \rightarrow a^{-}} \left(\frac{|x|^3}{a} - 0^3\right) = \frac{a^3}{a} = a^2$.
$x \rightarrow a^{+}$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x}{a} > 1$ છે,તેથી $\left[\frac{x}{a}\right] = 1$.
આમ,$l = \lim _{x \rightarrow a^{+}} \left(\frac{|x|^3}{a} - 1^3\right) = \frac{a^3}{a} - 1 = a^2 - 1$.
$k - l$ ની ગણતરી કરતા:
$k - l = a^2 - (a^2 - 1) = a^2 - a^2 + 1 = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0$.
આપણે લક્ષને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{(a-n) n x-\tan x}{x} \right] \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = 0$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = n$,તેથી:
$n \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left[ (a-n) n - \frac{\tan x}{x} \right] = 0$.
$n [ (a-n) n - 1 ] = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$(a-n) n - 1 = 0$ થવું જોઈએ.
$(a-n) n = 1 \implies a-n = \frac{1}{n} \implies a = n + \frac{1}{n}$.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ,$n > 0$ માટે,$n + \frac{1}{n} \ge 2$.
તેથી $a$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $n = 1$ હોય.

(B) ધારો કે $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n = L$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને શાંત હોવાથી,આપણે પુનરાવર્તિત સંબંધને $L = \frac{a + bL}{b + cL}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ $(b + cL)$ વડે ગુણતા,આપણને $L(b + cL) = a + bL$ મળે છે.
$bL + cL^2 = a + bL$.
બંને બાજુથી $bL$ બાદ કરતા,આપણને $cL^2 = a$ મળે છે.
$L^2 = \frac{a}{c}$.
$a, c > 0$ હોવાથી અને શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ: $L = \sqrt{\frac{a}{c}}$.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-1)(\cos x-e^x)}{x^n}$ છે.
$x=0$ ની નજીક ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$
કિંમતો મૂકતા:
$(\cos x - 1) = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$
$(\cos x - e^x) = -x - x^2 + O(x^3)$
અંશ $= (-\frac{x^2}{2} + O(x^4))(-x - x^2 + O(x^3)) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$.
લક્ષ શૂન્યતર અને વાસ્તવિક મળે તે માટે છેદમાં $x$ ની ઘાત $3$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$n = 3$.

(A) આપેલ છે,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{\sqrt{x^4+4 x^2+5}}=k$.
$x=0$ મૂકતા,આપણને $k = \frac{0}{\sqrt{0+0+5}} = 0$ મળે છે.
હવે,$\lim _{x \rightarrow 0} x^4 \sin \left(\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)=l$ ધ્યાનમાં લો.
જેમ $x \rightarrow 0$ થાય તેમ $\sin \left(\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,અને $x^4 \rightarrow 0$ થાય છે,તેથી સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,$0 \times (\text{finite value}) = 0$.
આમ,$l = 0$.
તેથી,$k+l = 0+0 = 0$.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. $l$ અને $m$ બીજ હોવાથી,$f(x) = a(x-l)(x-m)$.
જો $\alpha \in (l, m)$ હોય,તો $(x-l)$ અને $(x-m)$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે,તેથી $f(x)$ એ $a$ ના વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
આમ,જો $a > 0$ હોય તો $f(x) < 0$ અને જો $a < 0$ હોય તો $f(x) > 0$.
બંને કિસ્સામાં,$x \in (l, m)$ માટે $\frac{|f(x)|}{f(x)} = -1$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{|f(x)|}{f(x)} = \frac{-|a|}{a}$ જ્યારે $\alpha \in (l, m)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
આ કિંમત મર્યાદામાં મૂકતા,આપણને $\lim _{x \rightarrow-\infty} \log _e \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) + x$ મળે છે.
$\log(a/b) = \log a - \log b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{x \rightarrow-\infty} [\log _e(e^x + e^{-x}) - \log _e 2 + x]$ મળે છે.
જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $e^x \rightarrow 0$. લોગની અંદર $e^{-x}$ સામાન્ય લેતા: $\log _e(e^{-x}(e^{2x} + 1)) = \log _e(e^{-x}) + \log _e(1 + e^{2x}) = -x + \log _e(1 + e^{2x})$.
આને પાછું મૂકતા: $\lim _{x \rightarrow-\infty} [-x + \log _e(1 + e^{2x}) - \log _e 2 + x]$.
$x$ અને $-x$ પદો ઉડી જાય છે,તેથી $\lim _{x \rightarrow-\infty} [\log _e(1 + e^{2x}) - \log _e 2]$ બાકી રહે છે.
જેમ $x \rightarrow -\infty$,તેમ $e^{2x} \rightarrow 0$,તેથી $\log _e(1 + 0) - \log _e 2 = 0 - \log _e 2 = -\log _e 2$.

(A) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3|x|-x}{|x|-2x} - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x}$.
પ્રથમ લક્ષ માટે,જેમ $x \rightarrow -\infty$,$|x| = -x$. તેથી,$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3(-x)-x}{-x-2x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-4x}{-3x} = \frac{4}{3}$.
બીજા લક્ષ માટે,આપણે પ્રમાણિત લક્ષો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{x^3} = 1$ અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log(1+x^3)}{x^3} \times \frac{x^3}{\sin^3 x} \right) = 1 \times 1 = 1$.
તેથી,$L = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{3 \sin x-\sqrt{3} \cos x}{6 x-\pi}$.
અહીં લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{\frac{d}{dx}(3 \sin x-\sqrt{3} \cos x)}{\frac{d}{dx}(6 x-\pi)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{3 \cos x+\sqrt{3} \sin x}{6}$
$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$L = \frac{3 \cos(\pi/6) + \sqrt{3} \sin(\pi/6)}{6}$
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6}$
$L = \frac{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\sqrt{11+|x|-6 \sqrt{2+|x|}}}{6-2 \sqrt{2+|x|}}$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $11+|x|-6 \sqrt{2+|x|} = 9 + 2 + |x| - 6\sqrt{2+|x|} = 3^2 + (\sqrt{2+|x|})^2 - 2(3)(\sqrt{2+|x|}) = (3-\sqrt{2+|x|})^2$.
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(3-\sqrt{2+|x|})^2}}{2(3-\sqrt{2+|x|})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|3-\sqrt{2+|x|}|}{2(3-\sqrt{2+|x|})}$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\sqrt{2+|x|} \rightarrow \sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી $3-\sqrt{2+|x|} > 0$.
આમ,$|3-\sqrt{2+|x|}| = 3-\sqrt{2+|x|}$.
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-\sqrt{2+|x|}}{2(3-\sqrt{2+|x|})} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} x^3 \left( \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right)$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ પદાવલિ $0 \times (\sqrt{0 + \sqrt{0 + 1}} - 0) = 0 \times (1 - 0) = 0$ થાય છે.
આમ,$\lim _{x \rightarrow 0} x^3 \left( \sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}} - \sqrt{2} x \right) = 0$.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{x \rightarrow c} \frac{x^n - c^n}{x - c} = n c^{n-1}$.
આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow -a} \frac{x^7 - (-a)^7}{x - (-a)} = 7$.
$n = 7$ અને $c = -a$ લેતા:
$7(-a)^{7-1} = 7$
$7(-a)^6 = 7$
$(-a)^6 = 1$
ઘાત બેકી હોવાથી,$a^6 = 1$.
બંને બાજુ છઠ્ઠું મૂળ લેતા,$a = \pm 1$.

(A) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \log (\cos x)}{\log (1+x^2)}$ છે.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ અને $\log(\cos x)$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$x \rightarrow 0$ માટે $\log(1+x^2) \approx x^2$.
ત્યારબાદ,$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$,તેથી $\log(\cos x) \approx \log(1 - \frac{x^2}{2}) \approx -\frac{x^2}{2}$.
લક્ષમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \cdot (-\frac{x^2}{2})}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} (-\frac{x^2}{2}) = 0$.

(D) આપણને લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} \frac{[\sin x]-[\cos x]+1}{2}$ આપેલ છે.
જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}$,ત્યારે $x$ એ $\frac{\pi}{2}$ કરતા સહેજ મોટું છે.
અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ માટે,$0 \leq \sin x < 1$ હોવાથી $[\sin x] = 0$ થાય.
તે જ રીતે,અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ માટે,$-1 < \cos x < 0$ હોવાથી $[\cos x] = -1$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} \frac{0 - (-1) + 1}{2} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cdot \frac{1-\sin x}{(\pi-2 x)^3}$.
$x = \frac{\pi}{2} + h$ આદેશ લો,જ્યાં $h \rightarrow 0$ જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$.
તેથી $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{h}{2}$ અને $\pi - 2x = -2h$.
$1 - \sin x = 1 - \cos h = 2\sin^2(\frac{h}{2})$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \tan(-\frac{h}{2}) \cdot \frac{2\sin^2(\frac{h}{2})}{-8h^3}$.
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan(\frac{h}{2})}{h} \cdot \frac{2\sin^2(\frac{h}{2})}{8h^2}$.
$L = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos x - e^{nx}}{1 - A e^{nx}}$.
અંશ અને છેદને $e^{nx}$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\cos x}{e^{nx}} - 1}{\frac{1}{e^{nx}} - A}$.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $e^{nx} \rightarrow \infty$.
તેથી,$\frac{\cos x}{e^{nx}} \rightarrow 0$ અને $\frac{1}{e^{nx}} \rightarrow 0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{0 - 1}{0 - A} = \frac{-1}{-A} = \frac{1}{A}$.

(A) આપેલ છે,$\lim _{n \rightarrow \infty} x^n \log _e x=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જેમ $n \rightarrow \infty$,$x^n \rightarrow 0$ માત્ર ત્યારે જ થાય જ્યારે $x \in (0, 1)$ હોય.
તેથી,મર્યાદા $0$ થાય તે માટે $x \in (0, 1)$ હોવું જરૂરી છે.
લોગરીધમ $\log _x 12$ નો આધાર $x \in (0, 1)$ છે અને કિંમત $12 > 1$ છે,તેથી $\log _x 12$ ની કિંમત ઋણ હશે.

(B) આપેલ સમીકરણો $2l-m+3n=0$ અને $l^2+mn-6n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$m=2l+3n$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $l^2+(2l+3n)n-6n^2=0$.
$l^2+2ln+3n^2-6n^2=0 \Rightarrow l^2+2ln-3n^2=0$.
અવયવ પાડતા $(l+3n)(l-n)=0$ મળે,તેથી $l=n$ અથવા $l=-3n$.
કિસ્સો $1$: જો $l=n$,તો $m=2(n)+3n=5n$. દિકગુણોત્તર $(n, 5n, n)$ અથવા $(1, 5, 1)$ છે. દિકકોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{1^2+5^2+1^2}}, \frac{5}{\sqrt{27}}, \frac{1}{\sqrt{27}}) = (\frac{1}{3\sqrt{3}}, \frac{5}{3\sqrt{3}}, \frac{1}{3\sqrt{3}})$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $l=-3n$,તો $m=2(-3n)+3n=-3n$. દિકગુણોત્તર $(-3n, -3n, n)$ અથવા $(-3, -3, 1)$ છે. દિકકોસાઇન $(\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+1^2}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}}) = (\frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}})$ છે.
આમ,$l_1=\frac{1}{3\sqrt{3}}, m_1=\frac{5}{3\sqrt{3}}$ અને $l_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}, m_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}$.
$|l_1 l_2|+|m_1 m_2| = |(\frac{1}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| + |(\frac{5}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| = |\frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| + |\frac{-5}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| = \frac{1}{\sqrt{57}} + \frac{5}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.

(D) ધારો કે $AB$ અને $AC$ ની દિક્કોસાઇન ($DC$'s) અનુક્રમે $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
પ્રથમ,$AB$ અને $AC$ ના દિક્ગુણોત્તર ($DR$'s) શોધો:
$AB$ ના $DR's = (3-1, 1-(-2), -3-3) = (2, 3, -6)$.
$AC$ ના $DR's = (-3-1, 1-(-2), 3-3) = (-4, 3, 0)$.
હવે,દિક્ગુણોત્તરને તેમના માન વડે ભાગીને દિક્કોસાઇન શોધો:
$AB$ નું માન $= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$l_1 = \frac{2}{7}, m_1 = \frac{3}{7}, n_1 = \frac{-6}{7}$.
$AC$ નું માન $= \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$l_2 = \frac{-4}{5}, m_2 = \frac{3}{5}, n_2 = 0$.
કારણ કે $\cos A = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$:
$\cos A = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{-4}{5}\right) + \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{-6}{7}\right)(0)$
$\cos A = \frac{-8}{35} + \frac{9}{35} + 0 = \frac{1}{35}$.

(D) આપેલ છે કે $l, m, n$ એ રેખાના દિક્કોસાઇન છે,તેથી $l^2+m^2+n^2=1$ $(i)$.
આપેલ સંબંધ $l-m+n=0$ પરથી,આપણને $l=m-n$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજા સંબંધ $lm+mn-4nl=0$ માં મૂકતા:
$(m-n)m + mn - 4n(m-n) = 0$
$m^2 - mn + mn - 4mn + 4n^2 = 0$
$m^2 - 4mn + 4n^2 = 0$
$(m-2n)^2 = 0 \Rightarrow m=2n$.
$l=m-n$ માં $m=2n$ મૂકતા,આપણને $l=2n-n=n$ મળે છે.
હવે,$l=n$ અને $m=2n$ ને નિત્યસમ $l^2+m^2+n^2=1$ માં મૂકતા:
$n^2 + (2n)^2 + n^2 = 1$
$n^2 + 4n^2 + n^2 = 1$
$6n^2 = 1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
આમ,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ અને $m = \pm \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી દિક્કોસાઇન $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ અથવા $\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = 2 \vec{b} + t(6 \vec{c} - \vec{a})$ અને $\vec{r} = \vec{a} + s(\vec{b} - 3 \vec{c})$ છે.
છેદબિંદુ માટે,સ્થાન સદિશો સમાન હોવા જોઈએ:
$2 \vec{b} + 6t \vec{c} - t \vec{a} = \vec{a} + s \vec{b} - 3s \vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{a}$ માટે: $-t = 1 \implies t = -1$.
$\vec{b}$ માટે: $2 = s$.
$\vec{c}$ માટે: $6t = -3s \implies 6(-1) = -3(2) \implies -6 = -6$,જે સુસંગત છે.
$t = -1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = 2 \vec{b} - 1(6 \vec{c} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - 6 \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + 2 \vec{b} - 6 \vec{c}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $QR$ ને $\lambda : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. $Q$ ના યામ $(2, 2, 1)$ અને $R$ ના યામ $(5, 2, -2)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ નો $x$-યામ $x = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1}$ મળે.
આપેલ છે કે $x = 4$,તેથી $4 = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1} \Rightarrow 4\lambda + 4 = 5\lambda + 2 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,$P$ નો $y$-યામ શોધીએ: $y = \frac{2\lambda + 2}{\lambda + 1} = \frac{2(2) + 2}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$.
ત્યારબાદ,$P$ નો $z$-યામ શોધીએ: $z = \frac{-2\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-3}{3} = -1$.
યામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $y = 2$ અને $z = -1$. આમ,$y = -2(z)$.
તેથી,$P$ નો $y$-યામ એ $-2(P \text{ નો } z\text{-યામ})$ છે.

(B) બિંદુઓ $A(p, -4, 2)$ અને $B(3, 2, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M$ એ $M = \left( \frac{p+3}{2}, \frac{-4+2}{2}, \frac{2-4}{2} \right) = \left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$ દ્વારા મળે છે.
કિરણ બિંદુ $C(5, q, 1)$ અને $M\left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તરો યામોના તફાવતને પ્રમાણસર હોય છે: $\left( \frac{p+3}{2} - 5, -1 - q, -1 - 1 \right)$.
આપેલ દિકગુણોત્તરો $(2, 3, c)$ હોવાથી,આપણે સરખાવીએ:
$1) \frac{p+3}{2} - 5 = 2 \implies \frac{p+3}{2} = 7 \implies p+3 = 14 \implies p = 11$.
$2) -1 - q = 3 \implies q = -4$.
$3) -1 - 1 = c \implies c = -2$.
અંતે,$c \cdot (p + 7q) = -2 \cdot (11 + 7(-4)) = -2 \cdot (11 - 28) = -2 \cdot (-17) = 34$.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ કિરણ દ્વારા $X, Y$ અને $Z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
કિરણના દિકકોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
અહીં $\beta = \frac{\pi}{3}$ અને $\gamma = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
કારણ કે $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$,તેથી:
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
તેથી,$\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(5, 1, 3)$ છે.
રેખા બિંદુ $Q(3, 7, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-5)\hat{i} + (7-1)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
બિંદુથી રેખાનું અંતર $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૌ પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{PQ} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-2)) - \hat{j}(-2 - 0) + \hat{k}(-2 - 0) = 8\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{PQ} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$d = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આપેલ છે કે $a = \frac{5}{2}$,તેથી સમીકરણ $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ બને છે.
સમતલ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{5}$.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $\frac{2x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2}} = \frac{5}{7}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{25} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = (\frac{7}{5})^2 = \frac{49}{25}$.
$(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})^2 = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{bc}$ નો ઉપયોગ કરીને,$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{49}{25} - \frac{4}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$ મળે છે.
તેથી,$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{5} + \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{9}{25} - \frac{45}{25} = \frac{2}{bc} \Rightarrow \frac{2}{bc} = -\frac{36}{25} \Rightarrow bc = -\frac{50}{36} = -\frac{25}{18}$.
હવે,$\frac{b+c}{bc} = \frac{3}{5} \Rightarrow b+c = \frac{3}{5} \times (-\frac{25}{18}) = -\frac{5}{6}$.
આમ $b+c = -\frac{5}{6}$ અને $bc = -\frac{25}{18}$ એ $t^2 - (b+c)t + bc = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 + \frac{5}{6}t - \frac{25}{18} = 0$.
$18$ વડે ગુણતા,$18t^2 + 15t - 25 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$(6t-5)(3t+5) = 0$,તેથી $t = \frac{5}{6}$ અથવા $t = -\frac{5}{3}$.
$y$-અંતઃખંડ $b$ ઋણ હોવાથી,$b = -\frac{5}{3}$.

(D) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ છે.
અહીં બિંદુ $A(-2, 1, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી $A=3, B=1, C=5$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(x - (-2)) + 1(y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3(x + 2) + (y - 1) + 5(z - 3) = 0$
$3x + 6 + y - 1 + 5z - 15 = 0$
$3x + y + 5z - 10 = 0$.
આને $ax + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3, b = 1, c = 5, d = -10$ મળે.
હવે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\frac{a + b}{c + d} = \frac{3 + 1}{5 - 10} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$.

(A) સમતલના અભિલંબના દિશાના ગુણોત્તર $(1, 2, 2)$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x+2y+2z=d$ થશે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{1}{3}$ છે,તેથી લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\frac{-d}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow \left|\frac{-d}{3}\right| = \frac{1}{3} \Rightarrow |d|=1$.
$d=1$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $x+2y+2z-1=0$ મળે છે.
આને $x+py+qz+r=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p=2, q=2, r=-1$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{p^2+q^2+r^2} = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

(B) સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (2,3,-1)$ અને $\vec{n}_2 = (1,-1,2)$ ને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(4+1) + \hat{k}(-2-3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (1, -1, -1)$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $(1,0,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $1(x-1) - 1(y-0) - 1(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x-y-z=0$ થાય છે.
બિંદુ $(11,7,5)$ માંથી પસાર થતા અને $\pi$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x-y-z = k$ છે. બિંદુ $(11,7,5)$ મુકતા,આપણને $11-7-5 = k$ મળે છે,તેથી $k = -1$.
સમીકરણ $x-y-z = -1$ અથવા $x-y-z+1=0$ છે.
તેને $ax+by-z-d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, d=-1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{b} + \frac{b}{d} = \frac{1}{-1} + \frac{-1}{-1} = -1 + 1 = 0$.

(C) $3x + 4y - 5z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y - 5z + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે.
આ સમતલ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(1) + 4(2) - 5(3) + k = 0$
$3 + 8 - 15 + k = 0$
$k - 4 = 0 \Rightarrow k = 4$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y - 5z + 4 = 0$ છે,જેને $3x + 4y - 5z = -4$ તરીકે લખી શકાય.
$-4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3x}{-4} + \frac{4y}{-4} - \frac{5z}{-4} = 1$
$\frac{x}{-4/3} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{4/5} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -4/3, b = -1, c = 4/5$.
હવે,$3a + b + 5c$ ની ગણતરી કરતા:
$3(-4/3) + (-1) + 5(4/5) = -4 - 1 + 4 = -1$.

(A) સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ એ બિંદુ $P(-2,3,6)$ અને લંબપાદ $F(3,4,-7)$ ને જોડતો સદિશ છે.
તેથી,અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(3 - (-2), 4 - 3, -7 - 6) = (5, 1, -13)$ છે.
બિંદુ $(3,4,-7)$ માંથી પસાર થતા અને $(5, 1, -13)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $5(x - 3) + 1(y - 4) - 13(z + 7) = 0$ છે.
$5x - 15 + y - 4 - 13z - 91 = 0$
$5x + y - 13z = 110$.
અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં લખીએ:
$\frac{5x}{110} + \frac{y}{110} - \frac{13z}{110} = 1$
$\frac{x}{22} + \frac{y}{110} + \frac{z}{-\frac{110}{13}} = 1$.
$X$-અંતઃખંડ $a = 22$ છે અને $Y$-અંતઃખંડ $b = 110$ છે.
$X$ અને $Y$-અંતઃખંડોનો સરવાળો $22 + 110 = 132$ થાય છે.

(B) પગલું-$1$: બિંદુઓ $P(4,-3,1)$ અને $Q(2,3,-5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો.
$M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$.
પગલું-$2$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગીને તેને સરળ બનાવી શકીએ છીએ,જેથી $\vec{n}' = (1, -3, 3)$ મળે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$ થશે.
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0 \Rightarrow x - 3y + 3z + 3 = 0$.
અહીં,$a=1, b=-3, c=3, d=3$.
પગલું-$3$: $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ની ગણતરી કરો: $(1)^2 + (-3)^2 + (3)^2 + (3)^2 = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$.

(D) ધારો કે બિંદુઓના યામ $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,અને $C = (0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}) = (2, -3, 5)$ આપેલું હોવાથી,$a = 6$,$b = -9$,અને $c = 15$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જે $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} = 1$ થાય છે.
આને $\frac{x}{6} - \frac{y}{9} + \frac{z}{15} - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \frac{1}{6}$,$B = -\frac{1}{9}$,$C = \frac{1}{15}$,અને $D = -1$ છે.
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (-\frac{1}{9})^2 + (\frac{1}{15})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225}}}$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{36} + \frac{1}{81} + \frac{1}{225} = \frac{225 + 100 + 36}{8100} = \frac{361}{8100}$.
તેથી,$d = \frac{1}{\sqrt{\frac{361}{8100}}} = \frac{90}{19}$.

(D) ધારો કે સમતલ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ ને બિંદુ $Q$ પર $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$Q$ ના યામ:
$Q = \left( \frac{2(3) + 1(-3)}{2+1}, \frac{2(1) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1} \right) = \left( \frac{6-3}{3}, \frac{2-2}{3}, \frac{-4+7}{3} \right) = (1, 0, 1)$.
રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર (DRs) $(3 - (-3), 1 - (-2), -2 - 7) = (6, 3, -9)$ છે.
સમતલ $AB$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (6, 3, -9)$ છે,જેને $(2, 1, -3)$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
બિંદુ $Q(1, 0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(2, 1, -3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$2(x-1) + 1(y-0) - 3(z-1) = 0$
$2x - 2 + y - 3z + 3 = 0$
$2x + y - 3z + 1 = 0$
$2x + y - 3z = -1$
$-1$ વડે ભાગતા:
$-2x - y + 3z = 1$
$\frac{x}{-1/2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{1/3} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,$y$-અંતઃખંડ $b = -1$ મળે છે.

(C) સમતલ $\pi$ એ $(3,-3,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(3,4,-1)$ તથા $(2,-1,5)$ ને જોડતી રેખાને લંબ છે.
સમતલ $\pi$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(3-2, 4-(-1), -1-5) = (1, 5, -6)$ છે.
તેથી,સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $1(x-3) + 5(y+3) - 6(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x+5y-6z+18=0$ થાય છે.
ધારો કે બીજું સમતલ $P_2: ax+y+cz-d=0$ છે. આ સમતલ $(3,4,-1)$ અને $(-1,2,5)$ બિંદુઓને સમાવે છે.
$(3,4,-1)$ એ $P_2$ પર હોવાથી,$3a+4+c(-1)-d=0 \Rightarrow 3a-c-d=-4$ ... $(i)$.
$(-1,2,5)$ એ $P_2$ પર હોવાથી,$-a+2+5c-d=0 \Rightarrow -a+5c-d=-2$ ... (ii).
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા,$4a-6c=-2 \Rightarrow 2a-3c=-1$ ... (iii).
$P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (a, 1, c)$ છે અને $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 5, -6)$ છે.
$P_2 \perp \pi$ હોવાથી,તેમના અભિલંબ પરસ્પર લંબ છે: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow a(1) + 1(5) + c(-6) = 0 \Rightarrow a-6c=-5$ ... (iv).
(iv) પરથી,$a = 6c-5$. તેને (iii) માં મૂકતા: $2(6c-5)-3c=-1 \Rightarrow 12c-10-3c=-1 \Rightarrow 9c=9 \Rightarrow c=1$.
તેથી $a = 6(1)-5 = 1$.
$a=1, c=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $3(1)-1-d=-4 \Rightarrow 2-d=-4 \Rightarrow d=6$.
અંતે,$3(a+c) = 3(1+1) = 6$. કારણ કે $d=6$,તેથી $3(a+c) = d$.

(A) ધારો કે $O$ એ એકી સંખ્યા અને $E$ એ બેકી સંખ્યા દર્શાવે છે. $\{1, 2, \dots, 100\}$ ગણમાં,$50$ એકી અને $50$ બેકી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$P(O) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ અને $P(E) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી હોવા માટે,આપણી પાસે એકી સંખ્યામાં એકી દડા હોવા જોઈએ. શક્ય કિસ્સાઓ છે:
$1$. ત્રણ એકી દડા: $P(O, O, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$2$. એક એકી અને બે બેકી દડા: એકી દડો $3$ માંથી કોઈપણ સ્થાન પર હોઈ શકે છે $(OEE, EOE, EEO)$.
$P(O, E, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, O, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, E, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\bar{B})}$

(A) ધારો કે $R$ એ લાલ દડાની સંખ્યા છે અને $B$ એ કાળા દડાની સંખ્યા છે. શરૂઆતમાં,$R = 19$ અને $B = 19$ છે.
દરેક પગલામાં,બે દડા દૂર કરવામાં આવે છે:
$1$. જો બે લાલ દડા દૂર કરવામાં આવે,તો $R$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે $(R \to R-2, B \to B)$.
$2$. જો બે કાળા દડા દૂર કરવામાં આવે,તો $B$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે $(R \to R, B \to B-2)$.
$3$. જો એક લાલ અને એક કાળો દડો દૂર કરવામાં આવે,તો કાળો દડો દૂર થાય છે અને લાલ દડો પાછો મૂકવામાં આવે છે $(R \to R, B \to B-1)$.
નોંધો કે લાલ દડાની સંખ્યા હંમેશા એકી રહેશે કારણ કે તે ફક્ત જોડીમાં જ દૂર થાય છે. તેથી,પ્રક્રિયા હંમેશા $1$ લાલ દડા સાથે સમાપ્ત થશે. તેથી,સંભાવના $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.44 = 0.3 + x - (0.3 \cdot x)$.
$0.44 - 0.3 = x - 0.3x$.
$0.14 = 0.7x$.
$x = \frac{0.14}{0.7} = 0.2$.

(D) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે રમકડું ખામીયુક્ત છે. ધારો કે $A, B, C$ એ ઘટનાઓ છે કે રમકડું અનુક્રમે મશીન $A, B, C$ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(A) = \frac{30}{100}, P(B) = \frac{40}{100}, P(C) = \frac{30}{100}$
$P(E|A) = \frac{2}{100}, P(E|B) = \frac{3}{100}, P(E|C) = \frac{1}{100}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત રમકડું મશીન $B$ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના:
$P(B|E) = \frac{P(B) \times P(E|B)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B) + P(C) \times P(E|C)}$
$P(B|E) = \frac{\frac{40}{100} \times \frac{3}{100}}{\frac{30}{100} \times \frac{2}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{1}{100}}$
$P(B|E) = \frac{120}{60 + 120 + 30} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$

(A) ધારો કે એક દિવસમાં ભારે ધુમ્મસ હોવાની સંભાવના $p = 0.6 = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,ભારે ધુમ્મસ ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ છે.
અઠવાડિયાના કુલ દિવસો $n = 7$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = 2$ માટે:
$P(X = 2) = {7 \choose 2} \times (\frac{3}{5})^2 \times (\frac{2}{5})^5$
$P(X = 2) = 21 \times \frac{9}{25} \times \frac{32}{3125} = \frac{6048}{5^7}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$\Rightarrow P(A) P(\frac{B}{A}) = P(A \cap B)$
હવે,ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B})$
પૂરક ઘટનાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$:
$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$
પ્રથમ પગલામાંથી $P(A \cap B)$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A) P(\frac{B}{A})$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચું વિધાન છે.

(A) આપેલ છે: $P(P) = 1/4$,$P(P|Q) = 1/2$,અને $P(Q|P) = 1/3$.
આપણે $P(\bar{P}|\bar{Q})$ શોધવાની જરૂર છે.
પ્રથમ,શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને $P(P \cap Q)$ શોધીએ:
$P(Q|P) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P)} \implies P(P \cap Q) = P(Q|P) \times P(P) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
આગળ,$P(Q)$ શોધીએ:
$P(P|Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(Q)} \implies P(Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P|Q)} = \frac{1/12}{1/2} = \frac{1}{6}$.
હવે,પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ગણીએ:
$P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 1/4 = 3/4$.
$P(\bar{Q}) = 1 - P(Q) = 1 - 1/6 = 5/6$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = 1 - P(P \cap Q) = 1 - 1/12 = 11/12$.
ત્યારબાદ,$P(\bar{P} \cap \bar{Q}) = P(\bar{P}) + P(\bar{Q}) - P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{11}{12} = \frac{9 + 10 - 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
અંતે,શરતી સંભાવના છે:
$P(\bar{P}|\bar{Q}) = \frac{P(\bar{P} \cap \bar{Q})}{P(\bar{Q})} = \frac{2/3}{5/6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ છે કે $P(\overline{F}) = 0.7$ અને $P(E \cap F) = 0.2$.
સૌ પ્રથમ,આપણે પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $P(F)$ શોધીએ: $P(F) = 1 - P(\overline{F}) = 1 - 0.7 = 0.3$.
શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $P(E \mid F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$.

(B) આપેલ છે કે,$P(A) = 0.6$ અને $P(B) = 0.8$.
તેથી,$P(A') = 0.4$ અને $P(B') = 0.2$.
$A$ જીતે જો $A$ પ્રથમ શૉટમાં લક્ષ્ય વીંધે,અથવા $A$ ચૂકી જાય,$B$ ચૂકી જાય અને $A$ ત્રીજા શૉટમાં લક્ષ્ય વીંધે,અથવા $A$ ચૂકી જાય,$B$ ચૂકી જાય,$A$ ચૂકી જાય,$B$ ચૂકી જાય અને $A$ પાંચમા શૉટમાં લક્ષ્ય વીંધે,વગેરે.
$A$ જીતે તેની સંભાવના $= P(A) + P(A')P(B')P(A) + P(A')P(B')P(A')P(B')P(A) + \dots$
$= 0.6 + (0.4)(0.2)(0.6) + (0.4)^2(0.2)^2(0.6) + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0.6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (0.4)(0.2) = 0.08$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P(A \text{ જીતે}) = \frac{0.6}{1 - 0.08} = \frac{0.6}{0.92} = \frac{60}{92} = \frac{15}{23}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર અલગ રેન્ડમ ચલ છે.
દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,વિચરણ $Var(X) = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
અહીં,$n = 16$ અને $p = 0.25$ છે,તેથી $q = 1 - 0.25 = 0.75$ થાય.
આમ,$Var(X) = 16 \times 0.25 \times 0.75 = 4 \times 0.75 = 3$.
પોઈસન વિતરણ $Y \sim P(\lambda)$ માટે,વિચરણ $Var(Y) = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda = 2$ છે,તેથી $Var(Y) = 2$.
વિચરણનો સરવાળો $Var(X) + Var(Y) = 3 + 2 = 5$ થાય છે.

(D) લાલ દડો બે પરસ્પર નિવારક રીતે કાઢી શકાય છે.
$(i)$ થેલી $I$ પસંદ કરવી અને તેમાંથી લાલ દડો કાઢવો.
(ii) થેલી $II$ પસંદ કરવી અને તેમાંથી લાલ દડો કાઢવો.
ધારો કે $E_1$,$E_2$ અને $A$ નીચે મુજબની ઘટનાઓ છે:
$E_1 = \text{થેલી } I \text{ પસંદ કરવી}$
$E_2 = \text{થેલી } II \text{ પસંદ કરવી}$
બે થેલીઓમાંથી એક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_2) = \frac{1}{2}$
હવે,$P(A|E_1) = \text{પ્રથમ થેલી પસંદ કરવામાં આવે ત્યારે લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના} = \frac{4}{7}$
$P(A|E_2) = \text{બીજી થેલી પસંદ કરવામાં આવે ત્યારે લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના} = \frac{2}{5}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 7}{35} = \frac{17}{35}$

(A) ધારો કે ત્રણ ઉછાળના પરિણામો $(T_1, T_2, T_3)$ છે. કુલ નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો છે: $\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
આપેલ છે કે ત્રીજો ઉછાળ છાપ $(T_3 = H)$ છે,તેથી ઘટાડેલ નિદર્શાવકાશ $S'$ માં એવા પરિણામો છે જ્યાં ત્રીજો ઉછાળ $H$ હોય: $S' = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$.
ઘટાડેલ નિદર્શાવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા $n(S') = 4$ છે.
આપણે પ્રથમ બે ઉછાળમાં ઓછામાં ઓછી એક વધુ છાપ મેળવવાની સંભાવના જોઈએ છે. $S'$ માં સાનુકૂળ પરિણામો $\{HHH, HTH, THH\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{4}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = 6$ છે.
પોઈસન વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X \geq 3)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-6} 6^2}{2!} = \frac{36e^{-6}}{2} = 18e^{-6}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - [e^{-6} + 6e^{-6} + 18e^{-6}] = 1 - 25e^{-6} = 1 - \frac{25}{e^6}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
- તેમાં $n$ જેટલા નિશ્ચિત સ્વતંત્ર પ્રયત્નો હોય છે.
- દરેક પ્રયત્નમાં માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો હોય છે: સફળતા અથવા નિષ્ફળતા.
- સફળતાની સંભાવના $(p)$ અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $(q = 1 - p)$ દરેક પ્રયત્ન માટે સમાન રહે છે.
- દરેક પ્રયત્ન સ્વતંત્ર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે એક પ્રયત્નનું પરિણામ બીજા પ્રયત્નના પરિણામને અસર કરતું નથી.
તેથી,'બે પરિણામોની સંભાવનાઓ એક પ્રયત્નથી બીજા પ્રયત્નમાં બદલાઈ શકે છે' તે વિધાન ખોટું છે અને તે દ્વિપદી વિતરણનો ગુણધર્મ નથી.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 15$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણ $\sigma^2 = np(1-p) = 10$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણના સમીકરણમાં $np$ ની કિંમત મૂકતા:
$15(1-p) = 10$.
$1-p = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા:
$n \times \frac{1}{3} = 15$.
$n = 15 \times 3 = 45$.
આમ,પ્રાચલ $n$ ની કિંમત $45$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
$P(X=2) = P(X=3)$ આપેલ હોવાથી:
$\binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \binom{n}{3} p^3 q^{n-3}$
$\frac{n!}{2!(n-2)!} p^2 q^{n-2} = \frac{n!}{3!(n-3)!} p^3 q^{n-3}$
બંને બાજુ $n! p^2 q^{n-3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{q}{2} = \frac{p}{6(n-2)}$
$3q = p(n-2)$
$q = 1-p$ મૂકતા:
$3(1-p) = np - 2p$
$3 - 3p = np - 2p$
$np = 3 - p$
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ છે.
તેથી,મધ્યક $3-p$ છે.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,વિચરણ $\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$\lambda = 3$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(x=n) = \frac{\lambda^n \cdot e^{-\lambda}}{n!}$ છે.
આપણે $P(1 < x < 4) = P(x=2) + P(x=3)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(x=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$.
$P(x=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27 \cdot e^{-3}}{6} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$.
તેથી,$P(1 < x < 4) = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} + \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} = 9 \cdot e^{-3}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $B(n=20, p=0.4)$ ધરાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
તેથી,$n=20$,$p=0.4 = \frac{2}{5}$,અને $q = 1 - p = \frac{3}{5}$.
આપણે $5 - 5 P(X \geq 2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$5 - 5(1 - (P(X=0) + P(X=1))) = 5 - 5 + 5(P(X=0) + P(X=1)) = 5(P(X=0) + P(X=1))$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{20}C_{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^{20} = (\frac{3}{5})^{20}$.
$P(X=1) = {}^{20}C_{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^{19} = 20 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{19} = 8 \times (\frac{3}{5})^{19}$.
હવે,$5(P(X=0) + P(X=1)) = 5 [(\frac{3}{5})^{20} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5} + 8) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3+40}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [\frac{43}{5} \times (\frac{3}{5})^{19}] = 43 \times (\frac{3}{5})^{19}$.

(B) ધારો કે $n = 5$ એ કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
ધારો કે $p$ એ પ્રશ્નનો ખોટો જવાબ આપવાની સંભાવના છે. $4$ માંથી $3$ ખોટા જવાબો હોવાથી,$p = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $q$ એ પ્રશ્નનો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{4}$.
આપણે ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 3)$ છે,જ્યાં $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X=k) = \binom{5}{k} (\frac{3}{4})^k (\frac{1}{4})^{5-k}$
$P(X=3) = \binom{5}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$
$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$
$P(X=5) = \binom{5}{5} (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$
$P(X \ge 3) = \frac{270 + 405 + 243}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$

(A) $n$ અને $p$ પ્રાચલો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,ધારો કે $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
મધ્યક $= np$
વિચરણ $= npq$
જ્યારે સફળતા એ અશક્ય ઘટના નથી,ત્યારે $p > 0$. જ્યારે નિષ્ફળતા પણ અશક્ય ઘટના નથી (દ્વિપદી વિતરણના સંદર્ભમાં જ્યાં $0 < p < 1$),ત્યારે આપણી પાસે $0 < q < 1$ છે.
$q < 1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $npq < np$.
તેથી,મધ્યક હંમેશા વિચરણ કરતા વધારે હોય છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = n p q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
વિચરણનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે તેને $p$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવીએ: $f(p) = n p(1 - p) = n(p - p^2)$.
$p$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $f'(p) = n(1 - 2p) = 0$.
આનાથી $1 - 2p = 0$,અથવા $p = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\sigma^2_{\max} = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$.

(D) આપેલ છે કે,$p=q$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $p=q=\frac{1}{2}$ મળે.
હવે,દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k=5$ અને $p=q=\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$P(X=5) = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5} = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
તેથી,$2^n P(X=5) = 2^n \cdot { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n = { }^n C_5$.

(A) ધારો કે $X$ એ દ્વિપદી ચલ છે જેના માટે મધ્યક $= 4$ અને વિચરણ $= 3$ છે.
તેથી $np = 4$ અને $npq = 3$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{3}{4}$ મળે છે.
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$np = 4$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{1}{4} = 4$,તેથી $n = 16$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપણે $2^{32} P\left(X=\frac{16}{2}\right) = 2^{32} P(X=8)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X=8) = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^{16-8} = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^8 = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{4^{16}}$.
કારણ કે $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$,તેથી $P(X=8) = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}}$.
તેથી,$2^{32} P(X=8) = 2^{32} \times {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}} = {}^{16}C_8 (3^8)$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,મધ્યક અને વિચરણ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $= l$ અને વિચરણ $= m$,તેથી $l = m$.
$l + m = 8$ આપેલ હોવાથી,$l = m$ મૂકતા $2l = 8$ મળે,તેથી $l = 4$ અને $m = 4$.
આપણે $e^4[1 - P(X > 2)]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $1 - P(X > 2) = P(X \leq 2)$,તેથી:
$e^4[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]$.
પોઈસન સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\lambda = 4$:
$P(X = 0) = \frac{e^{-4} \times 4^0}{0!} = e^{-4}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-4} \times 4^1}{1!} = 4e^{-4}$.
$P(X = 2) = \frac{e^{-4} \times 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \leq 2) = e^{-4}(1 + 4 + 8) = 13e^{-4}$.
અંતે,$e^4 \times 13e^{-4} = 13$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
અહીં $n = 15$ અને $\operatorname{Var}(X) = 3.15$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $15 \times p(1 - p) = 3.15$.
$15$ વડે ભાગતા,$p(1 - p) = \frac{3.15}{15} = 0.21$ મળે છે.
આ સમીકરણ $p - p^2 = 0.21$ અથવા $p^2 - p + 0.21 = 0$ માં ફેરવાય છે.
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$p^2 - 0.7p - 0.3p + 0.21 = 0$
$p(p - 0.7) - 0.3(p - 0.7) = 0$
$(p - 0.7)(p - 0.3) = 0$.
આમ,$p$ ની શક્ય કિંમતો $0.7$ અને $0.3$ છે.

(C) કુલ પાનાની સંખ્યા $600$ છે અને કુલ ભૂલોની સંખ્યા $40$ છે.
પ્રતિ પાના ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા,જેને $\lambda$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\lambda = \frac{40}{600} = \frac{1}{15}$ છે.
પ્રતિ પાના ભૂલોની સંખ્યા $\lambda = \frac{1}{15}$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
એક પાનામાં કોઈ ભૂલ ન હોય તેની સંભાવના $P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} = e^{-1/15}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે યાદચ્છિક રીતે $10$ પાના પસંદ કરી રહ્યા હોવાથી,તમામ $10$ પાનામાં કોઈ ભૂલ ન હોય તેની સંભાવના $(P(X=0))^{10} = (e^{-1/15})^{10} = e^{-10/15} = e^{-2/3}$ થાય.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 3$ આપેલ છે,આપણે $P(|X-3| < 2)$ શોધવાનું છે.
અસમતા $|X-3| < 2$ નો અર્થ છે $-2 < X-3 < 2$,જેનું સાદું રૂપ $1 < X < 5$ થાય છે.
કારણ કે $X$ એ અઋણ પૂર્ણાંક કિંમતો લેતો અસતત રેન્ડમ વેરિએબલ છે,તેથી $X$ ની શક્ય કિંમતો $2, 3, 4$ છે.
આમ,$P(|X-3| < 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P(X=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=4) = \frac{3^4 \cdot e^{-3}}{4!} = \frac{81}{24} e^{-3} = \frac{27}{8} e^{-3}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(|X-3| < 2) = e^{-3} \left( \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( 9 + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( \frac{72+27}{8} \right) = \frac{99}{8 e^3}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,વિચરણ $Var(X) = n \times p \times q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $X \sim B(n_1, 0.5)$,તેથી $p_1 = 0.5$ અને $q_1 = 1 - 0.5 = 0.5$.
વિચરણ $n_1 \times 0.5 \times 0.5 = 6$ છે.
$n_1 \times 0.25 = 6 \Rightarrow n_1 = \frac{6}{0.25} = 24$.
આપેલ છે કે $Y \sim B(n_2, 0.4)$,તેથી $p_2 = 0.4$ અને $q_2 = 1 - 0.4 = 0.6$.
વિચરણ $n_2 \times 0.4 \times 0.6 = 6$ છે.
$n_2 \times 0.24 = 6 \Rightarrow n_2 = \frac{6}{0.24} = 25$.
તેથી,$\sqrt{n_1 + n_2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$.

(C) ધારો કે દિવસોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
ધારો કે $A$ એલાર્મ વાગતા પહેલા જાગી જાય તેની સંભાવના $p = 0.4$ છે.
ધારો કે $A$ એલાર્મ વાગતા પહેલા ન જાગે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = n \cdot p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 7 \times 0.4 = 2.8$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = n \cdot p \cdot q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણ $= 7 \times 0.4 \times 0.6 = 2.8 \times 0.6 = 1.68$.
આમ,મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $2.8$ અને $1.68$ છે.