WBJEE 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\log _{5} x)(\log _{x} 3x)(\log _{3x} y) = \log _{x} x^{3}$
આધાર પરિવર્તન સૂત્ર $\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log x}{\log 5} \times \frac{\log 3x}{\log x} \times \frac{\log y}{\log 3x} = 3 \log _{x} x$
ડાબી બાજુના સામાન્ય પદોને દૂર કરતા:
$\frac{\log y}{\log 5} = 3(1)$
$\log _{5} y = 3$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$y = 5^{3} = 125$

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2px^{2} + (2p + q)x + q = 0$ છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
સહગુણકો $a = 2p$,$b = (2p + q)$,અને $c = q$ મૂકતા:
$D = (2p + q)^{2} - 4(2p)(q)$
$D = 4p^{2} + q^{2} + 4pq - 8pq$
$D = 4p^{2} + q^{2} - 4pq$
$D = (2p - q)^{2}$
અહીં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$D$ એ એક પૂર્ણાંકનો પૂર્ણ વર્ગ છે.
સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો બીજ સંમેય હોય છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + 1 = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
$c = 1$ મૂકતા,આપણને $b^{2} - 4a \geq 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $b^{2} \geq 4a$.
$a, b \in \{1, 2, 3\}$ આપેલ હોવાથી,આપણે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
જો $a = 1$,$b^{2} \geq 4 \implies b \in \{2, 3\}$. જોડીઓ: $(1, 2), (1, 3)$.
જો $a = 2$,$b^{2} \geq 8 \implies b = 3$. જોડી: $(2, 3)$.
જો $a = 3$,$b^{2} \geq 12 \implies b$ ની કોઈ કિંમત આ શરત સંતોષતી નથી.
શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ એ $(1, 2), (1, 3), (2, 3)$ છે.
આમ,શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $3$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^{2}+2 x+4}{2 x^{2}+4 x+9}$.
$y(2 x^{2}+4 x+9) = x^{2}+2 x+4$.
$2 y x^{2} + 4 y x + 9 y = x^{2} + 2 x + 4$.
$(2 y-1) x^{2} + (4 y-2) x + (9 y-4) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (4 y-2)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1) [ (2 y-1) - (9 y-4) ] \geq 0$.
$4(2 y-1) (-7 y + 3) \geq 0$.
$(2 y-1) (7 y - 3) \leq 0$.
આ અસમતા $\frac{3}{7} \leq y \leq \frac{1}{2}$ માટે સાચી છે.
તેથી,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n} \cdot (1-i)^{-2}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \cdot (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \cdot (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i + i^{2}}{1 - i^{2}}\right)^{n} \cdot (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i - 1}{1 + 1}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= i^{n} \cdot (-2i)$
$= -2i^{n+1}$

(D) આપેલ છે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z+i}{z-i} = \frac{x + iy + i}{x + iy - i} = \frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{z+i}{z-i} = \frac{[x + i(y+1)][x - i(y-1)]}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1 + 2xi}{x^2 + (y-1)^2}$.
શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$.
આથી $x^2 + y^2 = 1$,જે એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
ધારો કે $\alpha = e^{i(2\pi/3)}$ અને $\beta = e^{-i(2\pi/3)}$.
તેથી,$\alpha^{n}+\beta^{n} = e^{i(2n\pi/3)} + e^{-i(2n\pi/3)}$.
ઓઈલરના સૂત્ર મુજબ,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$.
તેથી,$\alpha^{n}+\beta^{n} = 2\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)$.

(C) આપેલ છે કે,$|z-i|=|z+1|=1$.
ધારો કે $z=x+iy$.
તેથી $|z-i|=1$ $\Rightarrow |x+i(y-1)|=1$ $\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$ $(i)$.
તે જ રીતે,$|z+1|=1$ $\Rightarrow |(x+1)+iy|=1$ $\Rightarrow (x+1)^2+y^2=1$ (ii).
$(i)$ નું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+y^2-2y+1=1 \Rightarrow x^2+y^2=2y$.
(ii) નું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+2x+1+y^2=1 \Rightarrow x^2+y^2=-2x$.
બંનેને સરખાવતા: $2y=-2x \Rightarrow y=-x$.
$y=-x$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x^2+(-x-1)^2=1$ $\Rightarrow x^2+x^2+2x+1=1$ $\Rightarrow 2x^2+2x=0$ $\Rightarrow 2x(x+1)=0$.
આમ,$x=0$ અથવા $x=-1$.
જો $x=0$,તો $y=0$,તેથી $z=0$.
જો $x=-1$,તો $y=1$,તેથી $z=-1+i$.
તેથી,સંકર સંખ્યાઓ $0$ અને $-1+i$ છે.

(B) પદાવલિ $(p+1)(p+2)(p+3) \ldots (p+q)$ એ $(p+1)$ થી શરૂ થતી $q$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $q!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આ પદાવલિને $\frac{(p+q)!}{p!} = q! \times \binom{p+q}{q}$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $\binom{p+q}{q}$ એ તમામ $p, q \in N$ માટે પૂર્ણાંક છે,તેથી આ પદાવલિ હંમેશા $q!$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,તમામ $p \in N$ માટે આ ગુણાકારને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા $q!$ છે.

(B) $5$ અંકની સંખ્યામાં પ્રથમ સ્થાને (દસ હજારના સ્થાને) $0$ ન હોઈ શકે.
પ્રથમ સ્થાન માટે,આપણી પાસે $9$ વિકલ્પો છે (અંકો $1$ થી $9$).
બાકીના $4$ સ્થાનો માટે,આપણે બાકીના $9$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે અને પ્રથમ સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાયના) $4$ અંકો પસંદ કરવાના છે.
આ $4$ અંકોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{9}P_{4}$ છે.
તેથી,ભિન્ન અંકો ધરાવતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $9 \times {}^{9}P_{4}$ છે.

(B) $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
$4$ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
પસંદ કરેલા કુલ અક્ષરો $3 + 2 = 5$ છે.
આ $5$ અક્ષરોને તેમની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,જ્યાં $5! = 120$.
તેથી,બનતા કુલ શબ્દોની સંખ્યા ${}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2} \times 5! = 35 \times 6 \times 120 = 25200$ છે.

(B) ધારો કે $a_{n}$ એ $GP$ નું સામાન્ય પદ છે,જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$a_{n} = a_{n+1} + a_{n+2}$
$a r^{n-1} = a r^{n} + a r^{n+1}$
પદો ધન હોવાથી,$a \neq 0$ અને $r > 0$. $a r^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^{2}$
$r^{2} + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$GP$ ના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(B) આપેલ છે $(1+x+x^2)^9 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{18} x^{18}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને મળે $(1+1+1)^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{18} \Rightarrow 3^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{18} \quad (i)$.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને મળે $(1-1+1)^9 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{18} \Rightarrow 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{18} \quad (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$3^9 + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{18})$.
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{18} = \frac{3^9 + 1}{2} = \frac{19683 + 1}{2} = \frac{19684}{2} = 9842$.
$9842$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \sin x(\sin x + \cos x) = \sin^2 x + \sin x \cos x$.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\sin 2x - \cos 2x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$-\sqrt{a^2+b^2} \leq a \sin \theta + b \cos \theta \leq \sqrt{a^2+b^2}$.
$\sin 2x - \cos 2x$ માટે,$a=1, b=-1$ લેતા,$-\sqrt{1^2+(-1)^2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{1^2+(-1)^2}$,જેનું સાદું રૂપ $-\sqrt{2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{2}$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
બધા પદોમાં $\frac{1}{2}$ ઉમેરતા:
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આમ,$\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq f(x) \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
$f(x) = k$ હોવાથી,$k$ નો વિસ્તાર $\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુને $(p, q)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે જેથી નવી અક્ષો મૂળ અક્ષોને સમાંતર રહે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + p$ અને $y = y' + q$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy + 4y^2 + x + 18y + 25 = 0$ માં મૂકતા:
$2(x' + p)^2 + 3(x' + p)(y' + q) + 4(y' + q)^2 + (x' + p) + 18(y' + q) + 25 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(x'^2 + 2px' + p^2) + 3(x'y' + qx' + py' + pq) + 4(y'^2 + 2qy' + q^2) + x' + p + 18y' + 18q + 25 = 0$
$x'$,$y'$ અને અચળ પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$2x'^2 + 3x'y' + 4y'^2 + (4p + 3q + 1)x' + (3p + 8q + 18)y' + (2p^2 + 3pq + 4q^2 + p + 18q + 25) = 0$
આને આપેલ રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + 3xy + 4y^2 = 1$ સાથે સરખાવતા,$x'$ અને $y'$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4p + 3q + 1 = 0$ ... $(i)$
$3p + 8q + 18 = 0$ ... (ii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$p = 2$ અને $q = -3$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$A = (2, -3)$ અને $B = (-2, 1)$ હોવાથી,$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $G$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
છેદ દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા:
$2x + 3(y - 2) = 3$.
$2x + 3y - 6 = 3$.
$2x + 3y = 9$.
આમ,બિંદુ $C$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.

(D) બિંદુ $P(3,6)$ નું રેખા $y=x$ પર પ્રતિબિંબ બિંદુ $Q(6,3)$ આપે છે.
બિંદુ $Q(6,3)$ નું રેખા $y=-x$ પર પ્રતિબિંબ બિંદુ $Q^{\prime}(-3,-6)$ આપે છે.
હવે,$PQ$ નો ઢાળ $= \frac{3-6}{6-3} = \frac{-3}{3} = -1$.
$QQ^{\prime}$ નો ઢાળ $= \frac{-6-3}{-3-6} = \frac{-9}{-9} = 1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $(-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $PQ$ અને $QQ^{\prime}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\Delta PQQ^{\prime}$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ $PQ^{\prime}$ છે,જેના અંત્યબિંદુઓ $P(3,6)$ અને $Q^{\prime}(-3,-6)$ છે.
$PQ^{\prime}$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{6+(-6)}{2}\right) = (0,0)$.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $7x - 9y + 10 = 0$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. તેથી,$7h - 9k + 10 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{9k - 10}{7}$.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નું લંબ અંતર $d_{1} = \frac{|3h + 4k - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3h + 4k - 5|}{5}$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $12x + 5y - 7 = 0$ નું લંબ અંતર $d_{2} = \frac{|12h + 5k - 7|}{\sqrt{12^{2} + 5^{2}}} = \frac{|12h + 5k - 7|}{13}$ છે.
$h = \frac{9k - 10}{7}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$3h + 4k - 5 = 3(\frac{9k - 10}{7}) + 4k - 5 = \frac{55k - 65}{7} = \frac{5(11k - 13)}{7}$.
તેથી,$d_{1} = \frac{|11k - 13|}{7}$.
$12h + 5k - 7 = 12(\frac{9k - 10}{7}) + 5k - 7 = \frac{143k - 169}{7} = \frac{13(11k - 13)}{7}$.
તેથી,$d_{2} = \frac{|11k - 13|}{7}$.
આમ,$d_{1} = d_{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$.
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2, f=-3, c=9$ મળે.
કેન્દ્ર $B = (-g, -f) = (2, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $A(1, 1)$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}$.
પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ એ બીજા વર્તુળની જીવા હોવાથી,બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
$R = \sqrt{AB^{2}+r^{2}} = \sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2^{2}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ અને $2x^{2}+2y^{2}=32$ છે.
બીજા સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા,$x^{2}+y^{2}=16$ મળે છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(x^{2}+y^{2}-4x-4y) - (x^{2}+y^{2}-16) = 0$.
આથી $-4x-4y+16=0$,એટલે કે $x+y=4$ મળે છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે. વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,2)$ થી રેખા $x+y-4=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2+2-4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = 0$ છે.
આમ,સામાન્ય જીવા એ પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. તેથી,ઉગમબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2x-2y-2=0$ છે.
જેને $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,કેન્દ્ર $(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $O(-1, 1)$ થી મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ નું અંતર $OP = \sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}$ છે.
જીવા $AB$ કેન્દ્ર આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\triangle OAP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OAP = 45^{\circ}$.
$\triangle OAP$ માં,$\sin 45^{\circ} = \frac{OP}{OA}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}{4}$.
$(h+1)^{2}+(k-1)^{2} = 2$.
વિસ્તરણ કરતા,$h^{2}+2h+1+k^{2}-2k+1 = 2$.
$h^{2}+k^{2}+2h-2k = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}+2x-2y=0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2 x y+y^{2}-5 x+5 y-5=0$ છે.
આને $(x+y)^{2} = 5x - 5y + 5$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$ અને $Y = x-y+1$.
આ સમીકરણ $X^{2} = 5Y$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
$(ax+by+c)^2 = k(bx-ay+d)$ સ્વરૂપના પરવલયની અક્ષ $ax+by+c=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$x+y=0$ એ પરવલયની અક્ષ છે.

(C) આપેલ શંકુનું સમીકરણ $x^{2}-6x+4y+1=0$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2}-6x+9)-9+4y+1=0$
$(x-3)^{2}+4y-8=0$
$(x-3)^{2}=-4(y-2)$.
આ $(x-h)^{2}=-4a(y-k)$ સ્વરૂપનું પરવલય છે,જ્યાં $(h,k)=(3,2)$ અને $4a=4$,તેથી $a=1$.
આ પરવલયનું નાભિ $(h, k-a)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3, 2-1) = (3,1)$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ ના બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^{2}$ છે,જેને $x - ty + at^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલય $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{ay}{\tan \theta} = 2a^{2}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ થાય છે.
બંને સમીકરણો $x - ty + at^{2} = 0$ અને $x \cos \theta + y \cot \theta - 2a = 0$ ની સરખામણી કરતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta} = \frac{at^{2}}{-2a}$.
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta}$ પરથી,$t = -\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = -\operatorname{cosec} \theta$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$ છે.
નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$SB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ છે.
$S^{\prime}B$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ છે.
$\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2 e^2} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^2(1 - e^2) = a^2 e^2$ મળે છે.
$1 - e^2 = e^2$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$ હોવાથી,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ માટે,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=5$ છે,તેથી $a=3$ અને $b=\sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{2}{3}, 0) = (\pm 2, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P(2, \frac{5}{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2)}{9} + \frac{y(5/3)}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ એટલે કે $2x + 3y = 9$ થાય.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A(\frac{9}{2}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, 3)$ માં છેદે છે.
ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ બંને અક્ષોની સાપેક્ષ સંમિત છે. ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $4 \times \text{Area}(\Delta OAB) = 4 \times (\frac{1}{2} \times OA \times OB) = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = 27 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(D) ધારો કે બિંદુ $M$ ના યામ $(h, k)$ છે. ધારો કે $\angle MAB = \theta$,તો $\angle MBA = 2\theta$ થાય.
$A(-1, 0)$ અને $B(2, 0)$ ના યામ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\tan \theta = \frac{k}{h - (-1)} = \frac{k}{h+1}$
$\tan(\pi - 2\theta) = \frac{k}{h-2} \implies -\tan 2\theta = \frac{k}{h-2} \implies \tan 2\theta = \frac{k}{2-h}$
નિત્યસમ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{k}{2-h} = \frac{2(\frac{k}{h+1})}{1 - (\frac{k}{h+1})^2}$
$\frac{k}{2-h} = \frac{2k(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
ધારો કે $k \neq 0$,તો $k$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2-h} = \frac{2(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
$(h+1)^2 - k^2 = 2(h+1)(2-h)$
$h^2 + 2h + 1 - k^2 = 2(2h - h^2 + 2 - h) = 2(-h^2 + h + 2) = -2h^2 + 2h + 4$
$3h^2 - k^2 = 3$
આ એક અતિવલયનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^{2}-y^{2}+1=0$ છે,જેને $y^{2}-x^{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=1$ અને $b^{2}=1$ મળે,તેથી $a=1$ અને $b=1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1+\frac{1}{1}} = \sqrt{2}$.
નાભિઓ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{2})$ છે.
આ નાભિઓને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{0+0}{2}, \frac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}) = (0,0)$.
વ્યાસની લંબાઈ $(0, \sqrt{2})$ અને $(0, -\sqrt{2})$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $2\sqrt{2}$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ એટલે કે $x^{2}+y^{2}=2$ થાય.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે. નાભિ $S$ એ $(ae, 0)$ છે.
રેખા $bx-ay=0$ છે. નાભિ $S(ae, 0)$ માંથી રેખા $bx-ay=0$ પરના લંબ $SP$ ની લંબાઈ:
$SP = \left| \frac{b(ae) - a(0)}{\sqrt{b^{2}+(-a)^{2}}} \right| = \frac{abe}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}$.
$b^{2} = a^{2}(e^{2}-1)$ હોવાથી,$a^{2}+b^{2} = a^{2}e^{2}$,તેથી $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = ae$.
આમ,$SP = \frac{abe}{ae} = b$.
અંતર $CS = ae$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta SPC$ માં,$CP^{2} = CS^{2} - SP^{2}$.
$CP^{2} = (ae)^{2} - b^{2} = a^{2}e^{2} - b^{2} = a^{2}(1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) - b^{2} = a^{2} + b^{2} - b^{2} = a^{2}$.
તેથી,$CP = a$.
$SP$ અને $CP$ બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $SP \times CP = b \times a = ab$ થાય.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-3 f(2 x)+f(4 x)}{x^{2}}$.
લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f^{\prime}(x)-6 f^{\prime}(2 x)+4 f^{\prime}(4 x)}{2 x}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-3 f^{\prime}(2 x)+2 f^{\prime}(4 x)}{x}$
ફરીથી $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)-3 f^{\prime \prime}(2 x) \cdot 2+2 f^{\prime \prime}(4 x) \cdot 4}{1}$
$L = f^{\prime \prime}(0)-6 f^{\prime \prime}(0)+8 f^{\prime \prime}(0)$
$L = k-6 k+8 k = 3 k$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1)$.
ધારો કે $h = \frac{1}{n}$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $h \rightarrow 0$.
તેથી $f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^h - 1}{h}$.
આ $x=0$ આગળ $a^x$ ના વિકલનનું પ્રમાણિત લક્ષ છે,જે $\ln(x)$ છે.
આમ,$f(x) = \ln(x)$.
હવે,$f(xy) = \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) = f(x) + f(y)$.

(B) ધારો કે $y = \lim _{x \rightarrow 0} (\sin x)^{2 \tan x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln y = \lim _{x \rightarrow 0} 2 \tan x \ln(\sin x)$.
આ $0 \times (-\infty)$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે. આપણે તેને આ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:
$\ln y = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\sin x)}{\cot x}$.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln y = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\csc^2 x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x / \sin x}{-1 / \sin^2 x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} (-\cos x \sin x)$.
$\ln y = 2 \times (-1 \times 0) = 0$.
કારણ કે $\ln y = 0$,તેથી $y = e^0 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $n$ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x}$ છે.
તેથી,અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}$ થાય.
જ્યારે અવલોકન $x_{q}$ ને $x_{q}^{\prime}$ દ્વારા બદલવામાં આવે,ત્યારે અવલોકનોનો નવો સરવાળો:
$\sum x_{new} = \sum x - x_{q} + x_{q}^{\prime} = n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{x}^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x}^{\prime} = \frac{\sum x_{new}}{n} = \frac{n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}}{n}$.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં કુલ દિવસોની સંખ્યા $365$ હોય છે.
બિન-લીપ વર્ષમાં $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે ($52 \times 7 = 364$ દિવસ).
આમ,બિન-લીપ વર્ષમાં હંમેશા $52$ રવિવાર હોય છે.
બાકી રહેલો $1$ દિવસ રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર અથવા શનિવાર હોઈ શકે છે.
આ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી,માત્ર $1$ પરિણામ રવિવાર છે.
$\therefore$ કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{7}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = \int_{-1}^{x} |t| dt$.
જ્યારે $x \geq 0$ હોય,ત્યારે આપણે સંકલનને $t = 0$ આગળ વિભાજિત કરી શકીએ:
$f(x) = \int_{-1}^{0} |t| dt + \int_{0}^{x} |t| dt$.
$t \in [-1, 0]$ માટે,$|t| = -t$ અને $t \in [0, x]$ માટે,$|t| = t$.
તેથી,$f(x) = \int_{-1}^{0} (-t) dt + \int_{0}^{x} t dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$f(x) = -\left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{0}^{x}$.
$f(x) = -\left( 0 - \frac{(-1)^{2}}{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} - 0 \right)$.
$f(x) = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}(1 + x^{2})$.

(D) દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x^2 \geq 0$ થાય.
$\therefore (x, x) \in P$.
તેથી,$P$ એ સ્વવાચક છે.
હવે,ધારો કે $(x, y) \in P$.
$\Rightarrow xy \geq 0$.
$\Rightarrow yx \geq 0$.
$\therefore (y, x) \in P$.
તેથી,$P$ એ સંમિત છે.
ફરીથી,ધ્યાનમાં લો કે $(-1, 0) \in P$ કારણ કે $(-1)(0) = 0 \geq 0$,અને $(0, 2) \in P$ કારણ કે $(0)(2) = 0 \geq 0$.
પરંતુ,$(-1, 2) \notin P$ કારણ કે $(-1)(2) = -2 < 0$.
તેથી,$P$ એ પરંપરિત નથી.
આમ,સંબંધ $P$ એ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(B) આપણી પાસે $x \rho y \iff x-y \in \{0\} \cup \mathbb{I}$ છે,જ્યાં $\mathbb{I}$ એ અસંમેય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in R$ માટે,$x-x = 0$. કારણ કે $0$ એ શૂન્ય છે,તેથી $(x, x) \in \rho$. આમ,$\rho$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in \rho$,તો $x-y$ એ $0$ અથવા અસંમેય છે. તો $y-x = -(x-y)$ પણ $0$ અથવા અસંમેય જ થાય. તેથી,$(y, x) \in \rho$. આમ,$\rho$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $x = 2, y = \sqrt{3}, z = 4$ લો.
$(x, y) = (2, \sqrt{3}) \in \rho$ કારણ કે $2-\sqrt{3}$ અસંમેય છે.
$(y, z) = (\sqrt{3}, 4) \in \rho$ કારણ કે $\sqrt{3}-4$ અસંમેય છે.
પરંતુ,$(x, z) = (2, 4) \notin \rho$ કારણ કે $2-4 = -2$,જે સંમેય સંખ્યા છે (શૂન્ય કે અસંમેય નથી).
તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(C) આપેલ છે કે $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ અને $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)\}$.
$R \cup S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કારણ કે $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R \cup S$,તેથી તે સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: કારણ કે $(1, 2) \in R \cup S \implies (2, 1) \in R \cup S$ અને $(1, 3) \in R \cup S \implies (3, 1) \in R \cup S$,તેથી તે સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: આપણી પાસે $(2, 1) \in R \cup S$ અને $(1, 3) \in R \cup S$ છે. જો તે પરંપરિત હોત,તો $(2, 3)$ એ $R \cup S$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ,$(2, 3) \notin R \cup S$. તેથી,તે પરંપરિત નથી.
આમ,$R \cup S$ એ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(C) સ્વવાચકતા માટે: કોઈપણ $a \in R$ માટે,આપણી પાસે $1 + a^2 > 0$ છે. તેથી,$(a, a) \in \rho$. આમ,$\rho$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે: જો $(a, b) \in \rho$ હોય,તો $1 + ab > 0$. કારણ કે $ab = ba$,આપણી પાસે $1 + ba > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in \rho$. આમ,$\rho$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: $a = 1$,$b = -0.5$,અને $c = -9$ લો.
$(a, b)$ તપાસો: $1 + (1)(-0.5) = 0.5 > 0$,તેથી $(1, -0.5) \in \rho$.
$(b, c)$ તપાસો: $1 + (-0.5)(-9) = 1 + 4.5 = 5.5 > 0$,તેથી $(-0.5, -9) \in \rho$.
$(a, c)$ તપાસો: $1 + (1)(-9) = 1 - 9 = -8 < 0$,તેથી $(1, -9) \notin \rho$.
કારણ કે $(1, -0.5) \in \rho$ અને $(-0.5, -9) \in \rho$ છે પરંતુ $(1, -9) \notin \rho$ છે,તેથી આ સંબંધ પરંપરિત નથી.
તેથી,$\rho$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \frac{2(2+1)}{2} \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{3(3+1)}{2} \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણને મળે છે:
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) શ્રેણિક $A$ લંબકોણીય છે જો $A^T A = I$ હોય.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A^T A| = |I|$ મળે છે.
$|A^T| = |A|$ હોવાથી,$|A|^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 1$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,દરેક લંબકોણીય શ્રેણિક એ બિન-શૂન્ય નિશ્ચાયક ધરાવતો શ્રેણિક છે.
આમ,$Q \subseteq P$.
કારણ કે એવા ઘણા બિન-શૂન્ય નિશ્ચાયક ધરાવતા શ્રેણિકો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે લંબકોણીય નથી (દા.ત.,$1$ કે $-1$ સિવાયના ઘટકો ધરાવતો કોઈપણ વિકર્ણ શ્રેણિક),તેથી $Q$ એ $P$ નો ઉચિત ઉપગણ છે.

(A) આપણી પાસે છે,$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1[1 - (-\cos \theta)(\cos \theta)] - \cos \theta[-\cos \theta - (-\cos \theta)] + 0[\cos^2 \theta + 1]$
$|A| = 1[1 + \cos^2 \theta] - \cos \theta[0] + 0$
$|A| = 1 + \cos^2 \theta$
હવે,આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \cos \theta \leq 1$.
તેથી,$0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$.
દરેક ભાગમાં $1$ ઉમેરતા,આપણને $1 \leq 1 + \cos^2 \theta \leq 2$ મળે છે.
આમ,$1 \leq |A| \leq 2$.
તેથી,$|A|$ નું મૂલ્ય સંવૃત અંતરાલ $[1, 2]$ માં છે.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $D_1 + D_2 = 0$ છે.
આપણી પાસે $D_1 = \left|\begin{array}{ccc}a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1\end{array}\right|$ છે.
$D_2$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા,આપણને મળે છે $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}a+1 & a-1 & (-1)^{n+2} a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1} b \\ c-1 & c+1 & (-1)^{n} c\end{array}\right|$.
હવે,$D_2$ ના પ્રથમ અને ત્રીજા સ્તંભને બે વાર અદલાબદલી કરતા (અથવા સ્તંભોને ગોઠવતા) જેથી તે $D_1$ ના માળખા સાથે મેળ ખાય:
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}(-1)^{n+2} a & a+1 & a-1 \\ (-1)^{n+1} b & b+1 & b-1 \\ (-1)^{n} c & c-1 & c+1\end{array}\right|$.
$D_1$ અને $D_2$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}a(1 + (-1)^{n+2}) & a+1 & a-1 \\ b(-1 + (-1)^{n+1}) & b+1 & b-1 \\ c(1 + (-1)^{n}) & c-1 & c+1\end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય તે માટે,પ્રથમ સ્તંભ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$1 + (-1)^{n+2} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+2} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $n+2$ એકી છે,તેથી $n$ એકી છે.
$-1 + (-1)^{n+1} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $n+1$ બેકી છે,તેથી $n$ એકી છે.
$1 + (-1)^{n} = 0 \Rightarrow (-1)^{n} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $n$ એકી છે.
આમ,$n$ કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
આપેલ છે કે $\det(AB) = 0$,તેથી $\det(A) \cdot \det(B) = 0$.
$\det(A) = (x+2)^2 - 9x = x^2 + 4x + 4 - 9x = x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ ગણીએ.
$\det(B) = x(x+2) - 0 = x(x+2)$ ગણીએ.
આમ,સમીકરણ $(x-1)(x-4) \cdot x(x+2) = 0$ બને છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $x-1=0, x-4=0, x=0, x+2=0$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલો $x = 1, 4, 0, -2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ એ સમપરિમાણ સંહતિ $AX = 0$ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{bmatrix}$ છે.
ઉકેલના પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = |A|$ શોધીએ છીએ.
$D = \begin{vmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{vmatrix}$
$D = 8((-8)(-8) - (3)(5)) - (-3)((5)(-8) - (3)(3)) + (-5)((5)(5) - (-8)(3))$
$D = 8(64 - 15) + 3(-40 - 9) - 5(25 + 24)$
$D = 8(49) + 3(-49) - 5(49)$
$D = 49(8 - 3 - 5) = 49(0) = 0$.
નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવાથી,આ સમપરિમાણ સમીકરણોની સંહતિને અનંત શૂન્યેતર ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\left(\frac{x-1}{x-2}\right) \left(\frac{x+1}{x+2}\right)}\right]=\frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$
અંશ અને છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)} = 1$
$\frac{(x^2+x-2)+(x^2-x-2)}{(x^2-4)-(x^2-1)} = 1$
$\frac{2x^2-4}{-3} = 1$
$2x^2-4 = -3$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ એ એક-એક વિધેય છે જે $\forall x, y \in R$ માટે $f(x) f(y) = f(x+y)$ નું પાલન કરે છે.
આ વિધેય સમીકરણ ઘાતાંકીય વિધેય $f(x) = a^x$ દ્વારા સંતોષાય છે,જ્યાં $a > 0, a \neq 1$.
કારણ કે $f(x), f(y), f(z)$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $(f(y))^2 = f(x) \cdot f(z)$.
$f(x) = a^x$ મુકતા,આપણને $(a^y)^2 = a^x \cdot a^z$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $a^{2y} = a^{x+z}$ થાય છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $2y = x+z$ મળે છે.
આ શરત દર્શાવે છે કે $x, y, z$ એ $A$.$P$. માં છે.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ છે.
$y=0$ લેતા,આપણને $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $f(0)=1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}=f^{\prime}(x-y)$ મળે છે.
$x=0$ લેતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(0)}{f(y)}=f^{\prime}(-y)$ મળે છે.
કારણ કે $f^{\prime}(0)=p$,તેથી $f^{\prime}(-y) = \frac{p}{f(y)}$.
મૂળ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f(x) \cdot (-\frac{f^{\prime}(y)}{(f(y))^2}) = f^{\prime}(x-y) \cdot (-1)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{f(x) f^{\prime}(y)}{(f(y))^2} = f^{\prime}(x-y)$ થાય છે.
$y=0$ માટે,$\frac{f(x) f^{\prime}(0)}{(f(0))^2} = f^{\prime}(x)$,તેથી $f^{\prime}(x) = p f(x)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = e^{px}$ છે.
તેથી $f^{\prime}(x) = p e^{px}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(5) = q$,તેથી $p e^{5p} = q$,એટલે કે $e^{5p} = \frac{q}{p}$.
આપણે $f^{\prime}(-5) = p e^{-5p} = \frac{p}{e^{5p}} = \frac{p}{q/p} = \frac{p^2}{q}$ મેળવવાનું છે.

(C) આપેલ વિધેયો $F(x)=e^{x}$ અને $G(x)=e^{-x}$ છે.
આપણે $H(x) = G(F(x))$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
$F(x)$ ને $G(x)$ માં મૂકતા,આપણને $H(x) = G(e^{x}) = e^{-(e^{x})}$ મળે છે.
હવે,સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $H(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dH}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-e^{x}}) = e^{-e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-e^{x}) = e^{-e^{x}} \cdot (-e^{x}) = -e^{x} \cdot e^{-e^{x}}$.
$x=0$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,વિકલનમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left. \frac{dH}{dx} \right|_{x=0} = -e^{0} \cdot e^{-e^{0}} = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 19$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 13x^{12} + 11x^{10} + 9x^{8} + 7x^{6} + 5x^{4} + 3x^{2} + 1$.
$f'(x)$ માં $x$ ના તમામ ઘાતાંક બેકી છે અને સહગુણકો ધન હોવાથી,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f'(x) \geq 1$ થાય.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું વિધેય $x$-અક્ષને વધુમાં વધુ એક વાર છેદી શકે છે.
તેથી,$f(x) = 0$ ને એકથી વધુ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{5} \log_{3} x$.
આધાર બદલવાના સૂત્ર $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\ln(\log_{3} x)}{\ln 5} = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 3})}{\ln 5} = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)}{\ln 5}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx} [\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)] = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$.
હવે,$x = e$ મૂકતા:
$f^{\prime}(e) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln e} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{\ln 5 \cdot 1 \cdot e} = \frac{1}{e \ln 5}$.
કારણ કે $\ln 5 = \log_{e} 5$,તેથી $f^{\prime}(e) = \frac{1}{e \log_{e} 5}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $y=e^{m \sin^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d y}{d x}=e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^{2}}}$ મળે.
આથી $\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=m e^{m \sin^{-1} x} = m y$ થાય.
હવે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x} \left( \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} (m y)$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} (-2 x) \frac{d y}{d x} = m \frac{d y}{d x}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} = m y$ ની કિંમત મૂકતા:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m(m y) = m^{2} y$.
તેથી,$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - m^{2} y = 0$.
આપેલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - k y = 0$ સાથે સરખાવતા,$k = m^{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$.
અંતરાલ $[0, 1]$ પર રોલના પ્રમેય મુજબ,$f(0)=f(1)=0$ હોવાથી,ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d \in (0, 1)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime}(d)=0$ થાય.
હવે,આપણી પાસે $f^{\prime}(0)=0$ અને $f^{\prime}(d)=0$ છે જ્યાં $d \in (0, 1)$.
અંતરાલ $[0, d]$ પર વિધેય $f^{\prime}(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,$f^{\prime}(0)=f^{\prime}(d)=0$ હોવાથી,ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c \in (0, d)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય.
આમ,કોઈક $c \in R$ માટે $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^{n}$.
વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = n x^{n-1}$ મળે છે.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણ $f^{\prime}(\alpha+\beta) = f^{\prime}(\alpha) + f^{\prime}(\beta)$ માં મૂકતા:
$n(\alpha+\beta)^{n-1} = n\alpha^{n-1} + n\beta^{n-1}$.
જો $n \neq 0$ હોય,તો $n$ વડે ભાગતા:
$(\alpha+\beta)^{n-1} = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1}$.
જો $n=1$ લઈએ,તો $(\alpha+\beta)^{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} \Rightarrow 1 = 1 + 1$,જે $1 = 2$ થાય છે (ખોટું).
જો $n=2$ લઈએ,તો $(\alpha+\beta)^{2-1} = \alpha^{2-1} + \beta^{2-1} \Rightarrow \alpha+\beta = \alpha+\beta$ (સાચું).
જો $n=0$ લઈએ,તો $f(x) = x^{0} = 1$,તેથી $f^{\prime}(x) = 0$. આમ $0 = 0 + 0$ (સાચું).
પરંતુ,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$n=2$ એ આ પ્રકારના પ્રશ્ન માટે પ્રમાણિત ઉકેલ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^{2}+2ax+b$ છે.
$x=\alpha$ આગળ બિંદુ $P(\alpha, \alpha^{2}+2a\alpha+b)$ છે.
$x=\beta$ આગળ બિંદુ $Q(\beta, \beta^{2}+2a\beta+b)$ છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m_{chord} = \frac{(\beta^{2}+2a\beta+b) - (\alpha^{2}+2a\alpha+b)}{\beta-\alpha}$ છે.
$m_{chord} = \frac{(\beta^{2}-\alpha^{2}) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \frac{(\beta-\alpha)(\beta+\alpha) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \alpha+\beta+2a$.
કોઈપણ બિંદુ $x$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{tangent} = \frac{dy}{dx} = 2x+2a$ છે.
જીવા સ્પર્શકને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$2x+2a = \alpha+\beta+2a$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2x = \alpha+\beta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$.

(B) આપેલ વક્ર $xy = 1 - 2x$ છે.
સમીકરણને $y = \frac{1 - 2x}{x} = \frac{1}{x} - 2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
બધા $x \neq 0$ માટે $\frac{dy}{dx} < 0$ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ હંમેશા ઋણ હોય છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ ને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રને સ્પર્શતી હોવાથી,તેનો ઢાળ સ્પર્શબિંદુ આગળના વિકલિત જેટલો હોવો જોઈએ,જે ઋણ છે.
તેથી,$-\frac{a}{b} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} > 0$.
આ શરત $\frac{a}{b} > 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $b$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય.
આમ,કાં તો $a > 0, b > 0$ અથવા $a < 0, b < 0$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x - \cos x - Kx + 5$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = \cos x + \sin x - K$ મળે.
વિધેય તમામ $x > 0$ માટે ઘટતું હોવાથી,$f'(x) \leq 0$ થવું જોઈએ.
આથી,$\cos x + \sin x - K \leq 0$,એટલે કે $K \geq \cos x + \sin x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x + \sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$K \geq \cos x + \sin x$ તમામ $x$ માટે સાચું રહે તે માટે,$K$ એ $\cos x + \sin x$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$K \geq \sqrt{2}$.

(B, C) ધારો કે $t$ સમયે પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર $S_1$ છે અને બીજા કણનું સ્થાનાંતર $S_2$ છે.
પ્રથમ કણ માટે: $S_1 = u t$.
બીજા કણ માટે: $S_2 = \frac{1}{2} f t^2$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $D(t) = |S_1 - S_2| = |u t - \frac{1}{2} f t^2|$ છે.
મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $D(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dD}{dt} = u - f t = 0$.
આનાથી $t = \frac{u}{f}$ મળે છે.
$t = \frac{u}{f}$ સમયે,અંતર $D = u(\frac{u}{f}) - \frac{1}{2} f(\frac{u}{f})^2 = \frac{u^2}{f} - \frac{u^2}{2f} = \frac{u^2}{2f}$ છે.
આમ,કણો $t = \frac{u}{f}$ સમયે મહત્તમ અંતરે હશે અને મહત્તમ અંતર $\frac{u^2}{2f}$ છે.
તેથી,વિકલ્પો $B$ અને $C$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $I = \int \cos (\log x) d x$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ થાય છે $x = e^t$.
તેથી,$dx = e^t dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int e^t \cos t dt$ મળે છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} [a \cos(bx) + b \sin(bx)] + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 1$:
$I = \frac{e^t}{1^2 + 1^2} [1 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t] + C$.
$I = \frac{e^t}{2} [\cos t + \sin t] + C$.
$t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$.
આમ,$F(x) = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)]$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}-1}{x^{4}+3 x^{2}+1} d x$.
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1 - 1/x^{2}}{x^{2} + 3 + 1/x^{2}} d x$.
છેદને $(x^{2} + 1/x^{2}) + 3$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{1 - 1/x^{2}}{(x + 1/x)^{2} - 2 + 3} d x$.
$I = \int \frac{1 - 1/x^{2}}{(x + 1/x)^{2} + 1} d x$.
ધારો કે $t = x + 1/x$. તેથી $dt = (1 - 1/x^{2}) d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^{2} + 1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{t^{2} + 1} dt = \tan^{-1}(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \tan^{-1}(t) + C$.
$t = x + 1/x$ પાછા મૂકતા:
$I = \tan^{-1}(x + 1/x) + C$.

(D) આપણી પાસે $I_{1} = \int_{0}^{n} [x] dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k dx = \sum_{k=0}^{n-1} k(k+1-k) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ છે.
હવે,$I_{2} = \int_{0}^{n} \{x\} dx$. કારણ કે $\{x\} = x - [x]$,તેથી $I_{2} = \int_{0}^{n} x dx - \int_{0}^{n} [x] dx$.
$I_{2} = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{n} - I_{1} = \frac{n^2}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 - n^2 + n}{2} = \frac{n}{2}$.
તેથી,$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{100} e^{x-[x]} d x$.
કારણ કે $f(x) = x - [x]$ એ $T = 1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,આપણે ગુણધર્મ $\int_{0}^{nT} f(x) d x = n \int_{0}^{T} f(x) d x$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,$n = 100$ અને $T = 1$ છે,તેથી $I = 100 \int_{0}^{1} e^{x-[x]} d x$.
$0 < x < 1$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = 0$ થાય,તેથી $x - [x] = x$.
આમ,$I = 100 \int_{0}^{1} e^{x} d x$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$I = 100 [e^{x}]_{0}^{1}$.
$I = 100 (e^{1} - e^{0}) = 100 (e - 1)$.

(B) આપેલ છે $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$.
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx$.
$I = \sqrt{2} \int_{0}^{100 \pi} |\sin x| \, dx$.
કારણ કે $|\sin x|$ એ $\pi$ આવર્તમાન ધરાવતું વિધેય છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $I = \sqrt{2} \times 100 \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,$\sin x \geq 0$,તેથી $|\sin x| = \sin x$.
$I = 100 \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.
$I = 100 \sqrt{2} [-\cos x]_{0}^{\pi}$.
$I = 100 \sqrt{2} [-\cos \pi - (-\cos 0)]$.
$I = 100 \sqrt{2} [-(-1) - (-1)]$.
$I = 100 \sqrt{2} [1 + 1] = 100 \sqrt{2} \times 2 = 200 \sqrt{2}$.

(C) અંતરાલ $x \in [10, 19]$ માટે,આપણી પાસે $|\sin x| \leq 1$ અને $1+x^{6} > 10^{6}$ છે.
કારણ કે $x \geq 10$,તેથી $1+x^{6} > 10^{6}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{1+x^{6}} < 10^{-6}$.
તેથી,$|I| = \left| \int_{10}^{19} \frac{\sin x}{1+x^{6}} dx \right| \leq \int_{10}^{19} \frac{|\sin x|}{1+x^{6}} dx$.
કારણ કે $|\sin x| \leq 1$ અને $\frac{1}{1+x^{6}} < 10^{-6}$,તેથી $|I| < \int_{10}^{19} 10^{-6} dx$.
$|I| < 10^{-6} \times (19 - 10) = 9 \times 10^{-6}$.
આમ,$9 \times 10^{-6} < 10^{-5}$ હોવાથી,$|I| < 10^{-5}$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, 1]$ માટે,$0 \leq x^2 \leq 1$ થાય.
કારણ કે $e^x$ એ વધતું વિધેય છે,તેથી $e^0 \leq e^{x^2} \leq e^1$,જેનો અર્થ છે કે $1 \leq e^{x^2} \leq e$.
અંતરાલ $[0, 1]$ પર અસમતાનું સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{1} 1 \, dx \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq \int_{0}^{1} e \, dx$.
સંકલનની ગણતરી કરતા:
$[x]_{0}^{1} \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq [ex]_{0}^{1}$.
$1 \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq e$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય સંવૃત અંતરાલ $[1, e]$ માં આવેલું છે.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1/n}{1+(r/n)^{2}}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$.
તેથી,$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$L = [\tan ^{-1} x]_{0}^{1}$.
$L = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(a-x)}$
આપેલ છે કે $f(x) f(a-x) = 1$,તેથી $f(a-x) = \frac{1}{f(x)}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+\frac{1}{f(x)}} = \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{f(x)+1} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} + \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{1+f(x)}$
$2I = \int_{0}^{a} \frac{1+f(x)}{1+f(x)} dx = \int_{0}^{a} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{a} = a$
$I = \frac{a}{2}$

(A) આપેલ પરવલયો $x = -2y^{2}$ અને $x = 1 - 3y^{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = \pm 1$ હોય,ત્યારે $x = -2(1)^{2} = -2$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી $x = 1 - 3y^{2}$ (જમણી વક્ર) અને $x = -2y^{2}$ (ડાબી વક્ર) દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$= \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$= 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [1 - \frac{1}{3}]$
$= 2 [\frac{2}{3}] = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.
ધારો કે $v = x+y$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $v^{2} (\frac{dv}{dx} - 1) = a^{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $v^{2} \frac{dv}{dx} = v^{2} + a^{2}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} + a^{2}}{v^{2}}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = \int dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\int (1 - \frac{a^{2}}{v^{2} + a^{2}}) dv = x + C'$.
સંકલન કરતા મળે છે: $v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + C'$.
$v = x+y$ મૂકતા: $(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$.
સાદું રૂપ આપતા: $y - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = C'$.
ગોઠવતા: $\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા: $\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$.
$-C' = C$ લેતા,આપણને $\frac{x+y}{a} = \tan(\frac{y+C}{a})$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$.
સમીકરણને $x^{2}(x^{2}-1)$ વડે ભાગતા,તે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ માં મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}y = \frac{1}{x^{2}}$.
અહીં,$P = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$\int P dx = \int \frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$.
અચળાંકો શોધતા: $x^{2}+1 = A(x^{2}-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$.
$x=0$ માટે,$1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x=1$ માટે,$2 = 2B \Rightarrow B = 1$.
$x=-1$ માટે,$2 = 2C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$\int P dx = \int (\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln|\frac{x^{2}-1}{x}|$.
$IF = e^{\ln|\frac{x^{2}-1}{x}|} = \frac{x^{2}-1}{x} = x - \frac{1}{x}$.

(C) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો એક એકમ સદિશ છે,એટલે કે $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2$.
નિત્યસમ $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -1$.
હવે,આપણે તેમના તફાવતનું માન $|\vec{a} - \vec{b}|$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ એકમ.

(B) ધારો કે $x = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$.
તેથી,$x \times \hat{i} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}) \times \hat{i} = -\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}$.
તે જ રીતે,$x \times \hat{j} = \alpha \hat{k} - \gamma \hat{i}$ અને $x \times \hat{k} = -\alpha \hat{j} + \beta \hat{i}$.
હવે,$(x \times \hat{i})^{2} = (x \times \hat{i}) \cdot (x \times \hat{i}) = (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) \cdot (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) = \beta^{2} + \gamma^{2}$.
તે જ રીતે,$(x \times \hat{j})^{2} = \alpha^{2} + \gamma^{2}$ અને $(x \times \hat{k})^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2}$.
આનો સરવાળો કરતા,$(x \times \hat{i})^{2} + (x \times \hat{j})^{2} + (x \times \hat{k})^{2} = (\beta^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \beta^{2}) = 2(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2})$.
કારણ કે $|x|^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}$,તેથી આ પદનું મૂલ્ય $2|x|^{2}$ થાય.

(B) ધારો કે ત્રણ રેખાઓના દિક્-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, -1, 1)$,$\vec{b} = (2, -3, 0)$ અને $\vec{c} = (1, 0, 3)$ છે.
ત્રણેય રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેઓ ત્યારે જ સમતલીય હોય જો તેમના દિક્-સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$.
આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= 1((-3)(3) - (0)(0)) - (-1)((2)(3) - (0)(1)) + 1((2)(0) - (-3)(1))$
$= 1(-9 - 0) + 1(6 - 0) + 1(0 + 3)$
$= -9 + 6 + 3 = 0$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ હોવાથી,ત્રણેય સદિશો સુરેખ રીતે આધારિત છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય રેખાઓ એક જ સમતલમાં આવેલી છે.
તેથી,રેખાઓ સમતલીય છે.

(D) સમતલ $(1, 2, -3)$ અને $(2, -2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. આ બે બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{v} = (2-1)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલ $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ એકમ સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\hat{i}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0-4) + \hat{k}(0-(-4)) = 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = (0, 1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
બિંદુ $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતા અને $(0, 1, 1)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x-1) + 1(y-2) + 1(z+3) = 0$
$y - 2 + z + 3 = 0$
$y + z + 1 = 0$.