WBJEE 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પ્રથમ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $c_{1} = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બીજા વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $c_{2} = (-3, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 - 26} = \sqrt{9 + 81 - 26} = \sqrt{64} = 8$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $c_{1}c_{2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
અહીં $c_{1}c_{2} = r_{1} + r_{2} = 5 + 8 = 13$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(D) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2-(a-2)x-(a-1)=0$ પરથી,$\alpha+\beta = a-2$ અને $\alpha\beta = 1-a$ મળે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(1-a)$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2+\beta^2 = a^2-4a+4-2+2a = a^2-2a+2$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$\alpha^2+\beta^2 = (a-1)^2+1$ મળે.
સરવાળો ન્યૂનતમ થવા માટે,$(a-1)^2 = 0$ હોવું જોઈએ,જે $a=1$ માટે શક્ય છે.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = a-2$ અને $\alpha\beta = -(a+1)$ મળે છે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$S = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ: $S = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$.
કારણ કે $(a-1)^2 \ge 0$,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $(a-1)^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.

(A) આપેલ છે કે $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$ એ $x^2 + x + 1$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
$\phi(x)$ એ $x^2 + x + 1$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$\phi(\omega) = 0$ થાય.
$\phi(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$.
તે જ રીતે,$\phi(\omega^2) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\omega - \omega^2) g(1) = 0$.
$\omega \neq \omega^2$ હોવાથી,$g(1) = 0$ મળે.
$f(1) + \omega g(1) = 0$ માં $g(1) = 0$ મૂકતા,$f(1) = 0$ મળે.
આમ,$f(1) = 0$ અને $g(1) = 0$ હોવાથી,$f(x)$ અને $g(x)$ બંને $(x-1)$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2b = a+c$.
સમીકરણો $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ અને $2(c+a)x^2 + (b+c)x = 0$ માટે,જો $x=1$ સામાન્ય બીજ હોય,તો તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે કે $a^2, c^2, b^2$ એ $A$.$P$. માં છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{2 z_1}{3 z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે,તેથી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $k \neq 0$ માટે $\frac{z_1}{z_2} = i k$ થાય.
આપણે $\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
અંશ અને છેદને $z_2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\left|\frac{\frac{z_1}{z_2}-1}{\frac{z_1}{z_2}+1}\right| = \left|\frac{i k-1}{i k+1}\right|$.
ભાગાકારનો માનાંક એ માનાંકનો ભાગાકાર હોવાથી:
$\frac{|i k-1|}{|i k+1|} = \frac{\sqrt{(-1)^2 + k^2}}{\sqrt{1^2 + k^2}} = \frac{\sqrt{1+k^2}}{\sqrt{1+k^2}} = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b\omega+c\omega^2|^2 = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$.
આને $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ તરીકે લખી શકાય છે.
જ્યારે $a, b, c$ એ ભિન્ન શૂન્યતર પૂર્ણાંકો હોય,ત્યારે ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે આપણે $\{1, 2, 3\}$ પસંદ કરીએ છીએ.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{2}(1+1+4) = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $|Z_1|=|Z_2|=|Z_3|=1$,તેથી બિંદુઓ $Z_1, Z_2, Z_3$ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એકમ વર્તુળ પર આવેલા છે.
$Z_1+Z_2+Z_3=0$ હોવાથી,$Z_1, Z_2, Z_3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓ માટે,ઉગમબિંદુથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $R=1$ (પરિત્રિજ્યા) છે.
$R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $s = R\sqrt{3}$ થાય.
અહીં,$s = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$s$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^nP_r + r \cdot {}^nP_{r-1} = {}^{n+1}P_r$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
${}^9P_5 + 5 \cdot {}^9P_4 = \frac{9!}{4!} + 5 \cdot \frac{9!}{5!} = \frac{9!}{4!} + \frac{9!}{4!} = 2 \cdot \frac{9!}{4!}$
$= \frac{10!}{5!} = {}^{10}P_5$.
તેથી,$r = 5$.

(C) આપણે નિત્યસમ ${ }^{n} C_{r} + { }^{n} C_{r-1} = { }^{n+1} C_{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ છે:
${ }^{47} C_4 + { }^{51} C_3 + { }^{50} C_3 + { }^{49} C_3 + { }^{48} C_3 + { }^{47} C_3$
નિત્યસમ ${ }^{47} C_4 + { }^{47} C_3 = { }^{48} C_4$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ બને છે:
${ }^{48} C_4 + { }^{48} C_3 + { }^{49} C_3 + { }^{50} C_3 + { }^{51} C_3$
વારંવાર નિત્યસમ લાગુ કરતા:
${ }^{48} C_4 + { }^{48} C_3 = { }^{49} C_4$
${ }^{49} C_4 + { }^{49} C_3 = { }^{50} C_4$
${ }^{50} C_4 + { }^{50} C_3 = { }^{51} C_4$
${ }^{51} C_4 + { }^{51} C_3 = { }^{52} C_4$
આમ,અંતિમ મૂલ્ય ${ }^{52} C_4$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a, a+d, a+2d, \dots, a+(n-1)d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 11$.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $4a + 6d = 56$ છે.
$a = 11$ મૂકતા: $4(11) + 6d = 56$ $\Rightarrow 44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $t_{n-3} + t_{n-2} + t_{n-1} + t_n = 112$ છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો સમાન હોય છે: $t_1 + t_n = t_2 + t_{n-1} = t_3 + t_{n-2} = t_4 + t_{n-3} = k$.
તેથી,$4k = 56 + 112 = 168 \Rightarrow k = 42$.
આમ,$t_1 + t_n = 42$.
$t_1 = 11$ મૂકતા: $11 + t_n = 42 \Rightarrow t_n = 31$.
સૂત્ર $t_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા: $31 = 11 + (n-1)2$.
$20 = (n-1)2$ $\Rightarrow n-1 = 10$ $\Rightarrow n = 11$.

(B) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$.
પ્રથમ પદ $a = t_1 = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 8$.
બે પદોનો સરવાળો $S_2 = 3(2)^2 + 5(2) = 12 + 10 = 22$.
બીજું પદ $t_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14$.
સામાન્ય તફાવત $d = t_2 - t_1 = 14 - 8 = 6$.
$m$મું પદ $t_m = a + (m - 1)d = 164$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $8 + (m - 1)6 = 164$.
$6(m - 1) = 156$.
$m - 1 = 26$.
$m = 27$.

(A) $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{3n}C_r (x)^{3n-r} \left(\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right)^r = {}^{3n}C_r (x)^{3n-3r} (\sin(1/n))^r$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $3n - 3r = 0$,એટલે કે $r = n$.
આમ,$a_n = {}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n$.
આપણે $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં ${}^{3n}P_n = \frac{(3n)!}{(2n)!}$ હોવાથી,$\frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n} = \frac{{}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n \cdot n! \cdot (2n)!}{(3n)!} = (\sin(1/n))^n$.
જ્યારે $n \to \infty$,ત્યારે $\sin(1/n) \approx 1/n$.
તેથી,$\lim_{n \to \infty} (\sin(1/n))^n = \lim_{n \to \infty} (1/n)^n = 0$.

(B) આપેલ વિસ્તરણ: $(1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{12}x^{12}$
ધારો કે $f(x) = (1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{12}x^{12}$.
$x=1$ મૂકતા:
$f(1) = (1+1-2)^6 = 0^6 = 0$.
તેથી,$0 = 1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}$ $(i)$
$x=-1$ મૂકતા:
$f(-1) = (1-1-2(-1)^2)^6 = (-2)^6 = 64$.
તેથી,$64 = 1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12}$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$0+64 = (1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}) + (1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12})$
$64 = 2 + 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$62 = 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12} = 31$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + \sec \theta) = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta}$.
વળી,$\tan \frac{\theta}{2} (1 + \sec \theta) = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
આનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા,$f_n(x) = \tan \frac{x}{2} (1 + \sec x) (1 + \sec 2x) \dots (1 + \sec 2^n x) = \tan 2^n x$.
$x = \frac{\pi}{16}$ માટે:
$f_2\left(\frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(2^2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\theta+\phi) = \frac{3}{5}$,જ્યાં $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan (\theta+\phi) = \frac{4}{3}$.
આપેલ છે કે $\sin (\theta-\phi) = \frac{5}{13}$,તેથી $\tan (\theta-\phi) = \frac{5}{12}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\theta = (\theta+\phi) + (\theta-\phi)$.
તેથી,$\tan (2\theta) = \tan ((\theta+\phi) + (\theta-\phi)) = \frac{\tan (\theta+\phi) + \tan (\theta-\phi)}{1 - \tan (\theta+\phi) \tan (\theta-\phi)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan (2\theta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{16+5}{12}}{1 - \frac{20}{36}} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{16}{36}} = \frac{21}{12} \times \frac{36}{16} = \frac{21 \times 3}{16} = \frac{63}{16}$.
આમ,$\cot (2\theta) = \frac{1}{\tan (2\theta)} = \frac{16}{63}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+4+3 \cos (ax+b)=2x$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^2-2x+1) + 3 + 3 \cos (ax+b) = 0$ મળે.
આથી $(x-1)^2 + 3(1 + \cos (ax+b)) = 0$ થાય.
$(x-1)^2 \geq 0$ અને $1 + \cos (ax+b) \geq 0$ હોવાથી,બંને પદો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$x = 1$ અને $\cos (ax+b) = -1$ મળે.
આથી $ax+b = (2n+1)\pi$ થાય.
$x=1$ મૂકતા,$a+b = (2n+1)\pi$ મળે.
$0 \leq a, b \leq 3$ હોવાથી,$0 \leq a+b \leq 6$ થાય.
તેથી,$a+b = \pi$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan (\pi \tan x) = \cot (\pi \cot x)$
નિત્યસમ $\cot \theta = \tan (\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (\pi \tan x) = \tan (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$
આથી $\pi \tan x = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$ મળે,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
મુખ્ય કિસ્સો $n=0$ લેતા:
$\pi \tan x = \frac{\pi}{2} - \pi \cot x$
$\tan x + \cot x = \frac{1}{2}$
$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{\sin 2x} = \frac{1}{2}$
$\sin 2x = 4$
$\sin 2x$ ની કિંમત $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોવાથી,$\sin 2x = 4$ શક્ય નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\phi$ છે.

(A) ધારો કે $t = \sin^2 x$. કારણ કે $\sin x \in [-1, 1]$,તેથી $t \in [0, 1]$.
સમીકરણ $t^2 - (p+2)t - (p+3) = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$t^2 - (p+2)t - (p+3) = (t - (p+3))(t + 1) = 0$.
આમ,બીજ $t = p+3$ અથવા $t = -1$ છે.
કારણ કે $t = \sin^2 x$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ,આપણે $t = -1$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$0 \leq p+3 \leq 1$ હોવું જોઈએ.
બધા પદોમાંથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $-3 \leq p \leq -2$ મળે છે.
આમ,$p \in [-3, -2]$.

(C) ધારો કે છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(ax + 2by + 3b) + \lambda(bx - 2ay - 3a) = 0$ છે.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણને $(a + \lambda b)x + (2b - 2a\lambda)y + (3b - 3a\lambda) = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $a + \lambda b = 0$,જે $\lambda = -\frac{a}{b}$ આપે છે.
$\lambda = -\frac{a}{b}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ax + 2by + 3b) - \frac{a}{b}(bx - 2ay - 3a) = 0$
$ax + 2by + 3b - ax + \frac{2a^2}{b}y + \frac{3a^2}{b} = 0$
$(2b + \frac{2a^2}{b})y = -(\frac{3a^2}{b} + 3b)$
$2(a^2 + b^2)y = -3(a^2 + b^2)$
$(a, b) \neq (0, 0)$ હોવાથી,$a^2 + b^2 \neq 0$,તેથી $y = -\frac{3}{2}$.
આ $x$-અક્ષની નીચે $\frac{3}{2}$ અંતરે આવેલી $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે.

(B) બે વ્યાસ $x-y=0$ અને $x+y=1$ નું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x-y) + (x+y) = 0 + 1$ $\Rightarrow 2x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ને $x-y=0$ માં મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $R$ એ કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$R = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x - 3$ છે. ઢાળ $m = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^\circ$.
બિંદુ $X(\sqrt{3}, 0)$ થી $r$ અંતરે રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$ અને $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ કિંમતોને પરવલય $y^2 = x + 2$ માં મૂકતા:
$(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 = (\sqrt{3} + \frac{r}{2}) + 2$
$3r^2 - 2r - 4(\sqrt{3} + 2) = 0$.
સમીકરણના બીજ $r_1$ અને $r_2$ એ $XP$ અને $XQ$ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $r_1 r_2 = \frac{-4(\sqrt{3} + 2)}{3}$.
તેથી,$XP \cdot XQ = |r_1 r_2| = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{3}$.

(C) પરવલયોના સમીકરણો $y^2=4ax$ અને $x^2=4by$ છે.
$y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
$x^2=4by$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx+2b+\frac{b}{m^2}$ છે.
સામાન્ય અભિલંબ માટે,સમીકરણો સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $-2am-am^3 = 2b+\frac{b}{m^2}$.
$m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $-2am^3-am^5 = 2bm^2+b$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$am^5+2am^3+2bm^2+b=0$ મળે છે.
આ $m$ માં $5$ ઘાતનું બહુપદી સમીકરણ હોવાથી,$m$ માટે વધુમાં વધુ $5$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે.
તેથી,સામાન્ય અભિલંબની મહત્તમ સંખ્યા $5$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ([- \pi^2] x^2) - x^2 \tan ([- \pi^2])}{\sin ^2 x}$.
કારણ કે $\pi^2 \approx 9.87$,તેથી મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $[-\pi^2] = [-9.87] = -10$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ બને છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (-10 x^2) - x^2 \tan (-10)}{\sin ^2 x}$.
$\tan (- \theta) = - \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\tan (10 x^2) + x^2 \tan 10}{\sin ^2 x}$.
લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (kx^2)}{x^2} = k$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{x^2} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{\tan (10 x^2)}{x^2} + \tan 10}{\frac{\sin ^2 x}{x^2}}$.
$= \frac{-10 + \tan 10}{1} = \tan 10 - 10$.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાના દિવસ બરાબર છે.
આ વધારાના દિવસ માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{ \text{રવિવાર}, \text{સોમવાર}, \text{મંગળવાર}, \text{બુધવાર}, \text{ગુરુવાર}, \text{શુક્રવાર}, \text{શનિવાર} \}$ છે.
આ વધારાના દિવસ માટે $7$ શક્ય પરિણામો છે.
ધારો કે $A$ એ $53$ રવિવાર હોવાની ઘટના છે અને $B$ એ $53$ શનિવાર હોવાની ઘટના છે.
જો વધારાનો દિવસ રવિવાર હોય તો વર્ષમાં $53$ રવિવાર હશે,તેથી $P(A) = \frac{1}{7}$.
જો વધારાનો દિવસ શનિવાર હોય તો વર્ષમાં $53$ શનિવાર હશે,તેથી $P(B) = \frac{1}{7}$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$53$ રવિવાર અથવા $53$ શનિવાર હોવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ છે.

(C) કુલ પસંદગીના પ્રકારો $^{10}C_3 = 120$ છે.
ઘટના $A$: ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ હોય. આ માટે $3$ અને $\{4, 5, \ldots, 10\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડે,જે $^7C_2 = 21$ રીતે થાય.
ઘટના $B$: મહત્તમ સંખ્યા $7$ હોય. આ માટે $7$ અને $\{1, 2, \ldots, 6\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડે,જે $^6C_2 = 15$ રીતે થાય.
ઘટના $A \cap B$: ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ હોય. આ માટે $3, 7$ અને $\{4, 5, 6\}$ માંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવી પડે,જે $^3C_1 = 3$ રીતે થાય.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $21 + 15 - 3 = 33$ છે.
સંભાવના $\frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ છે.

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $2^{4n} - 15n - 1$ છે.
$2^4 = 16$ હોવાથી,આપણે $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 15)^n = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(15) + {}^{n}C_{2}(15)^2 + \dots + {}^{n}C_{n}(15)^n$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2^{4n} - 15n - 1 = (1 + 15n + {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n) - 15n - 1$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા,$1$ અને $15n$ ઉડી જશે:
$2^{4n} - 15n - 1 = {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + {}^{n}C_{3} \cdot 15^3 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n$.
$15^2 = 225$ સામાન્ય કાઢતા:
$2^{4n} - 15n - 1 = 225 \cdot ({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3} \cdot 15 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^{n-2})$.
આમ,આ પદાવલિ $n \ge 2$ માટે $225$ વડે વિભાજ્ય છે. $n=1$ માટે,પદાવલિ $2^4 - 15(1) - 1 = 0$ થાય છે,જે $225$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] \neq 0$ થાય.
સદિશો $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ અને $(2\lambda - 1)c$ અસમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય ન હોય:
$[(a + 2b + 3c), (\lambda b + 4c), (2\lambda - 1)c] \neq 0$.
અદિશ ત્રિગુણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 2b + 3c) \cdot [(\lambda b + 4c) \times (2\lambda - 1)c] \neq 0$
$(a + 2b + 3c) \cdot [\lambda(2\lambda - 1)(b \times c)] \neq 0$
$a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$,$b \cdot (b \times c) = 0$,અને $c \cdot (b \times c) = 0$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ ધારણ કરે છે:
$\lambda(2\lambda - 1)[a, b, c] \neq 0$.
આપેલ છે કે $[a, b, c] \neq 0$,તેથી અસમતલીયતા માટેની શરત $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \neq 0$ અને $\lambda \neq \frac{1}{2}$.
આમ,સદિશો $\lambda = 0$ અને $\lambda = \frac{1}{2}$ સિવાયની $\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે અસમતલીય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450 = \frac{p(t) - 900}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
પ્રારંભિક શરત $p(0) = 850$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln |850 - 900| = \frac{1}{2}(0) + C \implies C = \ln 50$.
આમ,સમીકરણ છે: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
જ્યારે $p(t) = 0$ હોય ત્યારે $t$ શોધવા માટે: $\ln |0 - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
$\ln 900 - \ln 50 = \frac{1}{2} t$.
$\ln \left( \frac{900}{50} \right) = \frac{1}{2} t$.
$\ln 18 = \frac{1}{2} t$.
$t = 2 \ln 18$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.
વિકલન કરતા $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ મળે.
કારણ કે $x=-1$ અને $x=2$ એ અંતિમ બિંદુઓ છે,તેથી $f^{\prime}(-1)=0$ અને $f^{\prime}(2)=0$ થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$.
$\beta=-\frac{1}{2}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$.
આમ,$\alpha=2$ અને $\beta=-\frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) બિંદુઓ $P(\cos \alpha, \sin \beta)$,$Q(\sin \alpha, \cos \beta)$ અને $R(0,0)$ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} \cos \alpha & \sin \beta & 1 \\ \sin \alpha & \cos \beta & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right|$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \frac{1}{2} [1 \cdot (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)]$
$\Delta = \frac{1}{2} \cos(\alpha + \beta)$
આપેલ છે કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$.
કારણ કે $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\cos(\alpha + \beta) \neq 0$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\Delta \neq 0$.
તેથી,બિંદુઓ $P, Q, R$ અસમરેખ છે.

(D) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય.
$(a, a)$ સ્વરૂપના $n$ ઘટકો સંબંધમાં હોવા જ જોઈએ.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A$ માં કુલ $n^2$ ક્રમયુક્ત જોડ હોય છે.
$n$ વિકર્ણ ઘટકો $(a, a)$ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણી પાસે પસંદગી માટે $n^2 - n$ જોડ બાકી રહે છે.
આ દરેક $n^2 - n$ જોડ માટે સંબંધમાં સમાવેશ કરવો કે નહીં તે માટે $2$ વિકલ્પો છે.
તેથી,સ્વવાચક સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n^2 - n}$ થાય.

(A) શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ વિસંમિત હોવા માટે,તેણે તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} = -a_{ji}$ અને તમામ $i$ માટે $a_{ii} = 0$ શરતનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
$1$. વિકર્ણના ઘટકો $a_{ii}$ શૂન્ય હોવા જોઈએ. $n$ વિકર્ણ ઘટકો માટે માત્ર $1$ વિકલ્પ છે.
$2$. વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો માટે,આપણે ફક્ત એવા ઘટકો $a_{ij}$ પસંદ કરવાના છે જ્યાં $i < j$. એકવાર આ પસંદ થઈ જાય,પછી $a_{ji}$ ઘટકો આપમેળે $a_{ji} = -a_{ij}$ તરીકે નક્કી થઈ જાય છે.
$3$. $i < j$ હોય તેવી જોડીઓની સંખ્યા $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
$4$. આ $\frac{n(n-1)}{2}$ સ્થાનોમાંથી દરેકને $3$ મૂલ્યો: $\{0, 1, -1\}$ માંથી કોઈપણ એક વડે ભરી શકાય છે.
$5$. તેથી,આવા વિસંમિત શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $3^{\frac{n(n-1)}{2}}$ છે.

(B) શ્રેણિક $A$ લંબકોણીય હોવા માટે,તેની હાર પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો હોવા જોઈએ. ધારો કે હાર $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3$ છે.
$1$. $\vec{r}_1 = (0, a, a)$ માટે,$|\vec{r}_1|^2 = 0^2 + a^2 + a^2 = 2a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $\vec{r}_2 = (2b, b, -b)$ માટે,$|\vec{r}_2|^2 = (2b)^2 + b^2 + (-b)^2 = 4b^2 + b^2 + b^2 = 6b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
$3$. $\vec{r}_3 = (c, -c, c)$ માટે,$|\vec{r}_3|^2 = c^2 + (-c)^2 + c^2 = 3c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
લંબકોણીયતા ચકાસતા: $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0(2b) + a(b) + a(-b) = ab - ab = 0$.
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_3 = 0(c) + a(-c) + a(c) = -ac + ac = 0$.
$\vec{r}_2 \cdot \vec{r}_3 = 2b(c) + b(-c) + (-b)(c) = 2bc - bc - bc = 0$.
આમ,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $\text{adj } A \cdot A = |A| I$ સાચો છે,અને $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં $|A| = 6$ અને $n = 3$ આપેલ છે,તેથી $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$ થાય.
હવે,$\text{adj } A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|\text{adj } A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \\ -1 & k & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - k) - (-2)(0 - (-1)) + 4(4k - (-1))$
$= 1(-k) + 2(1) + 4(4k + 1)$
$= -k + 2 + 16k + 4$
$= 15k + 6$.
બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$15k + 6 = 36$
$15k = 30$
$k = 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $M$ માટે,$\operatorname{adj}(M) = |M| M^{-1}$ થાય છે.
ધારો કે $M = Q^{-1} B P^{-1}$.
તેથી $\operatorname{adj}(M) = |Q^{-1} B P^{-1}| (Q^{-1} B P^{-1})^{-1}$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો $|XY| = |X||Y|$ અને $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|Q^{-1} B P^{-1}| = |Q^{-1}| |B| |P^{-1}| = \frac{1}{|Q|} |B| \frac{1}{|P|}$.
કારણ કે $|P| = 1$ અને $|Q| = 1$ છે,તેથી $|Q^{-1} B P^{-1}| = |B|$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિકની ગણતરી કરતા: $(Q^{-1} B P^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} B^{-1} (Q^{-1})^{-1} = P B^{-1} Q$.
આ કિંમતોને એડજોઈન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = |B| P B^{-1} Q$.
કારણ કે $\operatorname{adj} B = |B| B^{-1} = A$ છે,તેથી આપણે $|B| B^{-1}$ ની જગ્યાએ $A$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = P A Q$.

(B) ધારો કે $X$ એ $5 \times 1$ કક્ષાનો સ્તંભ સદિશ છે જ્યાં બધા ઘટકો $1$ છે,એટલે કે $X = [1, 1, 1, 1, 1]^T$.
આપેલ છે કે $P$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો $1$ છે,જેને આપણે $PX = X$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $P$ એ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે,તેથી $P^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
બંને બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $P^{-1}(PX) = P^{-1}X$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(P^{-1}P)X = P^{-1}X$ થાય છે,જે $IX = P^{-1}X$ છે.
આમ,$P^{-1}X = X$.
આ સૂચવે છે કે $P^{-1}$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો પણ $1$ છે.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha = a-d, \beta = a, \gamma = a+d$ છે. બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = 3a = 0$ હોવાથી $a = 0$ મળે,એટલે કે $\beta = 0$.
$\beta = 0$ ને સમીકરણમાં મૂકતા $r=0$ મળે,પરંતુ આપેલ છે કે $r \neq 0$.
આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય છે. $\beta=0$ અને $\alpha+\gamma=0$ લેતા,શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha & 0 & -\alpha \\ 0 & -\alpha & \alpha \\ -\alpha & \alpha & 0 \end{bmatrix}$ બને છે.
આ શ્રેણિકનો રેન્ક $2$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ છે.
અહીં $A$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક (upper triangular matrix) હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ તેના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર થાય છે.
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$.
આપેલ છે કે $|A|^2 = 25$,તેથી:
$(25\alpha)^2 = 25$.
$625\alpha^2 = 25$.
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _a b & \log _a c \\ \log _b a & 1 & \log _b c \\ \log _c a & \log _c b & 1\end{array}\right|$ છે.
$\log _x y = \frac{\ln y}{\ln x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઘટકોને આ રીતે લખી શકીએ:
$\log _a b = \frac{\ln b}{\ln a}$,$\log _a c = \frac{\ln c}{\ln a}$,$\log _b a = \frac{\ln a}{\ln b}$,$\log _b c = \frac{\ln c}{\ln b}$,$\log _c a = \frac{\ln a}{\ln c}$,$\log _c b = \frac{\ln b}{\ln c}$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{\ln b}{\ln a} & \frac{\ln c}{\ln a} \\ \frac{\ln a}{\ln b} & 1 & \frac{\ln c}{\ln b} \\ \frac{\ln a}{\ln c} & \frac{\ln b}{\ln c} & 1\end{array}\right|$.
$R_1$ માંથી $\frac{1}{\ln a}$,$R_2$ માંથી $\frac{1}{\ln b}$,અને $R_3$ માંથી $\frac{1}{\ln c}$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{1}{\ln a \ln b \ln c} \left|\begin{array}{ccc}\ln a & \ln b & \ln c \\ \ln a & \ln b & \ln c \\ \ln a & \ln b & \ln c\end{array}\right|$.
ત્રણેય હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) $f(\theta)$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીએ:
$f(\theta) = 1(1 + \sin \theta \cos \theta) - \cos \theta(-\sin \theta - \cos \theta) - 1(-\sin^2 \theta + 1)$
$f(\theta) = 1 + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 1$
$f(\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \sin 2\theta + 1$
કારણ કે $-1 \le \sin 2\theta \le 1$,તેથી $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[1-1, 1+1] = [0, 2]$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $A = 2$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $B = 0$ છે.
તેથી,$(A, B) = (2, 0)$.

(C) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 \pi$ છે અને દરેક પદની મહત્તમ કિંમત $\pi$ હોઈ શકે,તેથી દરેક પદ $\pi$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos ^{-1} \alpha = \pi$,$\cos ^{-1} \beta = \pi$,અને $\cos ^{-1} \gamma = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha = \cos(\pi) = -1$,$\beta = \cos(\pi) = -1$,અને $\gamma = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આપણે પદાવલિ $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ ની ગણતરી કરીએ.
$\alpha = -1$,$\beta = -1$,અને $\gamma = -1$ મૂકતા:
$(-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) = (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2) = 2 + 2 + 2 = 6$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$\sin(\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x)) = \sin(\cos ^{-1} x)$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્ર વાપરતા:
$x \sqrt{1-(1-x)^2} + (1-x) \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.
$x \sqrt{2x-x^2} + (1-x) \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.
$x \sqrt{x(2-x)} = \sqrt{1-x^2} - (1-x) \sqrt{1-x^2} = x \sqrt{1-x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2(2x-x^2) = x^2(1-x^2)$.
$2x^3 - x^4 = x^2 - x^4$.
$2x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(2x-1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1/2$.
$x=0$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. $\cos^{-1}(0) = \pi/2$. (સાચું)
$x=1/2$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(1/2) + \sin^{-1}(1/2) = \pi/6 + \pi/6 = \pi/3$. $\cos^{-1}(1/2) = \pi/3$. (સાચું)
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $g(f(x)) = |\sin x|$ અને $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
ચાલો વિકલ્પ $A$ ચકાસીએ: $f(x) = \sin ^2 x$ અને $g(x) = \sqrt{x}$.
તો $g(f(x)) = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$. આ પ્રથમ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
ત્યારબાદ,$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$. આ બીજી શરત સાથે પણ મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$.
પ્રથમ,$f(f(x))$ શોધો:
$f(f(x)) = f\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) = \frac{3\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 4}{2\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 3}$
$= \frac{3(3x - 4) - 4(2x - 3)}{2(3x - 4) - 3(2x - 3)} = \frac{9x - 12 - 8x + 12}{6x - 8 - 6x + 9} = \frac{x}{1} = x$.
હવે,$f(f(f(x)))$ શોધો:
$f(f(f(x))) = f(f(f(x))) = f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ છે.
$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ મળે છે,જે હંમેશા સત્ય છે.
ધારો કે $f(0) = c$. તો $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$.
$y=0$ મૂકતા,આપણને $f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}\right) - 2c$.
કારણ કે $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,ધારો કે $f'(0) = a$.
વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
વિધેય સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f(x)$ એ $f(x) = ax+c$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય હોવું જોઈએ.
$f(x) = ax+c$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c$.
આ બધા $x, y$ માટે સાચું છે. તેથી,$f(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = u x^2 + v x + w$.
$f(x+y) = f(x) + f(y) + x y$ હોવાથી,આપણે $f$ માટેનું પદ મૂકીએ:
$u(x+y)^2 + v(x+y) + w = (u x^2 + v x + w) + (u y^2 + v y + w) + x y$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$u(x^2 + 2 x y + y^2) + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
$u x^2 + 2 u x y + u y^2 + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
બંને બાજુ $x y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $2 u = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u = \frac{1}{2}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $w = 2 w$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $w = 0$.
આપેલ છે કે $u + v + w = 3$,તેથી $u = \frac{1}{2}$ અને $w = 0$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} + v + 0 = 3 \implies v = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} x$.
$f(1)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(D) વિધેય $f(x) = x - [x]$ ને અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in Z$ માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ ચકાસીએ:
$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x]) = n - (n - 1) = 1$.
$\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x]) = n - n = 0$.
કારણ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ પર ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન નથી,તેથી વિધેય તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓનો ગણ $Z$ છે.

(A) માનાંક વિધેયને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત વિધેય તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે:
$f(x)= \begin{cases} 1-2x, & \text{જો } x \leq \frac{1}{2} \\ 2x-1, & \text{જો } x > \frac{1}{2} \end{cases}$
$x=\frac{1}{2}$ આગળ સાતત્ય તપાસો:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (1-2x) = 1-2(\frac{1}{2}) = 0$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (2x-1) = 2(\frac{1}{2})-1 = 0$.
વિધેયનું મૂલ્ય: $f(\frac{1}{2}) = |1-2(\frac{1}{2})| = 0$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,વિધેય $x=\frac{1}{2}$ આગળ સતત છે.
$x=\frac{1}{2}$ આગળ વિકલનીયતા તપાસો:
ડાબી બાજુનું વિકલિત: $f'(x) = \frac{d}{dx}(1-2x) = -2$ જ્યારે $x < \frac{1}{2}$.
જમણી બાજુનું વિકલિત: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$ જ્યારે $x > \frac{1}{2}$.
ડાબી બાજુનું વિકલિત $(-2)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(2)$ સમાન ન હોવાથી,વિધેય $x=\frac{1}{2}$ આગળ વિકલનીય નથી.

(A) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સૌ પ્રથમ $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$\text{LHL} = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 3x + a) = 1 + 3 + a = 4 + a$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 1^+} (bx + 2) = b + 2$.
$\text{LHL} = \text{RHL}$ હોવાથી,$4 + a = b + 2$,જેનો અર્થ થાય છે $b - a = 2$ (સમીકરણ $1$).
વિકલનીયતા માટે,$x = 1$ આગળ $\text{LHD} = \text{RHD}$ હોવું જોઈએ.
$\text{LHD} = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + a) = 2x + 3$. $x = 1$ આગળ,$\text{LHD} = 2(1) + 3 = 5$.
$\text{RHD} = \frac{d}{dx}(bx + 2) = b$.
આમ,$b = 5$.
સમીકરણ $1$ માં $b = 5$ મૂકતા: $5 - a = 2 \Rightarrow a = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3x + 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 1)(x - 2) = 0$ મળે છે.
આમ,બીજ $\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ છે.
તેથી,$f(x) = |x - 1| + |x - 2|$.
અંતરાલ $x \in [1, 2]$ માટે,$x - 1 \ge 0$ અને $x - 2 \le 0$ થાય.
તેથી,$f(x) = (x - 1) - (x - 2) = x - 1 - x + 2 = 1$.
કારણ કે $f(x) = 1$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ પર અચળ વિધેય છે,તેથી તે અંતરાલ $[1, 2]$ ના દરેક બિંદુએ વિકલનીય છે.
આમ,$[1, 2]$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા કે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી તે $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1$ જો $x \in \mathbb{Q}$ અને $f(x) = 0$ જો $x \notin \mathbb{Q}$.
આપેલ છે કે $g(x) = 0$ જો $x \in \mathbb{Q}$ અને $g(x) = 1$ જો $x \notin \mathbb{Q}$.
વિધેય $h(x) = f(x) + g(x)$ ધ્યાનમાં લો.
કોઈપણ $x \in [0,1]$ માટે,જો $x$ સંમેય હોય,તો $h(x) = f(x) + g(x) = 1 + 0 = 1$.
જો $x$ અસંમેય હોય,તો $h(x) = f(x) + g(x) = 0 + 1 = 1$.
આમ,$h(x) = 1$ એ તમામ $x \in [0,1]$ માટે અચળ વિધેય છે.
અચળ વિધેય તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય હોય છે.
તેથી,$f+g$ એ $x = \frac{2}{3}$ પર સતત છે.
કારણ કે $f$ અને $g$ એ ડિરિચલેટ-પ્રકારના વિધેયો છે,તેઓ $[0,1]$ ના દરેક બિંદુએ અસતત છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $f$ એ $g$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(x) = g^{-1}(x)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિવિધેયનું વિકલન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f^{\prime}(x) = \frac{1}{g^{\prime}(f(x))}$.
આપેલ છે કે $g^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^n}$,તેથી $g^{\prime}(x)$ ના પદમાં $x$ ની જગ્યાએ $f(x)$ મૂકતા:
$g^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1+\{f(x)\}^n}$.
હવે,આ કિંમત $f^{\prime}(x)$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+\{f(x)\}^n}} = 1+\{f(x)\}^n$.

(B) આપેલ છે કે $\phi(x) = f(x) + f(2a - x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(2a - x)$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે તમામ $x \in [0, a]$ માટે $f^{\prime \prime}(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$x \in [0, a]$ માટે,આપણી પાસે $x < 2a - x$ છે.
કારણ કે $f^{\prime}(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી $x < 2a - x$ નો અર્થ છે કે $f^{\prime}(x) < f^{\prime}(2a - x)$.
તેથી,તમામ $x \in [0, a]$ માટે $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(2a - x) < 0$ થાય છે.
કારણ કે $[0, a]$ પર $\phi^{\prime}(x) < 0$ છે,તેથી $\phi(x)$ એ $[0, a]$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
આપેલ છે કે $f(1) = f(-1)$,તેથી $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a + b + c = a - b + c$ મળે,એટલે કે $2b = 0$,તેથી $b = 0$.
આમ,$f(x) = ax^2 + c$.
તેનું વિકલન $f^{\prime}(x) = 2ax$ થાય.
$p, q, r$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2q = p + r$ થાય.
બંને બાજુ $2a$ વડે ગુણતા,$2a(2q) = 2a(p + r)$,એટલે કે $2(2aq) = 2ap + 2ar$.
$f^{\prime}(x) = 2ax$ મૂકતા,$2f^{\prime}(q) = f^{\prime}(p) + f^{\prime}(r)$ મળે.
આ શરત દર્શાવે છે કે $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C, D) અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ પર વિધેય $f(x) = x^3$ આપેલ છે.
$1$. અંતિમ બિંદુઓ માટે ચકાસણી: $f'(x) = 3x^2$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 0$ મળે છે. કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $f'(x) \ge 0$ છે,તેથી વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. આમ,$x = 0$ આગળ કોઈ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કે મહત્તમ મૂલ્ય નથી. નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = -1$ આગળ $(f(-1) = -1)$ અને નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $x = 1$ આગળ $(f(1) = 1)$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $B$ ખોટા છે.
$2$. સાતત્ય: વિધેય $f(x) = x^3$ એ બહુપદી વિધેય છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે,જેમાં $[-1, 1]$ અંતરાલનો પણ સમાવેશ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$3$. સીમિતતા: વિધેય $f(x)$ એ સંવૃત અંતરાલ $[-1, 1]$ પર સતત હોવાથી,'એક્સટ્રીમ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ તે સીમિત છે. ખાસ કરીને,તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $-1 \le f(x) \le 1$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
આમ,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.

(B) કારણ કે $p(x)$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે,તેથી તેના વિકલિત $p^{\prime}(x)$ ના બીજ $x=1$ અને $x=3$ હોવા જોઈએ. આમ,$p^{\prime}(x) = a(x-1)(x-3)$ જ્યાં $a \neq 0$ એક અચળાંક છે.
$p^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $p(x) = a(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + b$ મળે છે.
$p(1) = 6$ નો ઉપયોગ કરતા: $a(\frac{1}{3} - 2 + 3) + b = 6 \implies \frac{4a}{3} + b = 6 \implies 4a + 3b = 18$.
$p(3) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $a(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + b = 2 \implies a(9 - 18 + 9) + b = 2 \implies b = 2$.
$b = 2$ ને $4a + 3b = 18$ માં મૂકતા,આપણને $4a + 6 = 18 \implies 4a = 12 \implies a = 3$ મળે છે.
આમ,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$x=0$ આગળ કિંમત શોધતા,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$.

(C) સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 2)(x + 1) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 6$ શોધીએ.
$x = -1$ માટે,$f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 2$ માટે,$f''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
તેથી,વિધેયને એક સ્થાનિક મહત્તમ અને એક સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x \in (0, 5]$ માટે,એક એવો $c \in (0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ થાય.
આપેલ છે કે $f(0) = 0$,તેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ મળે.
માનાંક લેતા,$|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ થાય.
કારણ કે $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ છે,તેથી $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ થાય.
આમ,$\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$.
અહીં $x \in [0, 5]$ હોવાથી,$\frac{x}{5}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{5}{5} = 1$ છે.
તેથી,$[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે $|f(x)| \leq 1$ થાય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 2 + (x - 1)^{2/3}$ અંતરાલ $[0, 2]$ પર છે.
પ્રથમ,આપણે સાતત્ય ચકાસીએ: વિધેય $(x - 1)^{2/3}$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે,તેથી $f(x)$ એ $[0, 2]$ પર સતત છે.
આગળ,આપણે વિકલનીયતા ચકાસીએ: $f'(x) = \frac{2}{3}(x - 1)^{-1/3} = \frac{2}{3(x - 1)^{1/3}}$.
$x = 1$ આગળ,$f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે છેદ શૂન્ય થાય છે. આમ,$f$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી,જે અંતરાલ $(0, 2)$ માં આવે છે.
કારણ કે $f$ એ $(0, 2)$ માં વિકલનીય નથી,તેથી રોલનું પ્રમેય $[0, 2]$ પર લાગુ પડતું નથી.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો ચકાસતા: $f(0) = 2 + (0 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$ અને $f(2) = 2 + (2 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$. આમ,$f(0) = f(2)$.
તેથી,વિધાન '$f$ એ $(0, 2)$ માં વિકલનીય નથી' સાચું છે,'$f$ એ $[0, 2]$ માં સતત છે' સાચું છે,'$f(0) = f(2)$' સાચું છે,અને 'રોલનું પ્રમેય $[0, 2]$ પર લાગુ પડે છે' એ વિધાન ખોટું છે.

(C) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,જો વિધેય $f$ એ $[2, 4]$ પર સતત હોય અને $(2, 4)$ પર વિકલનીય હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (2, 4)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ થાય.
આપેલ છે કે તમામ $x \in [2, 4]$ માટે $f^{\prime}(x) \geq 6$,તેથી $f^{\prime}(c) \geq 6$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{f(4) - (-4)}{2} \geq 6$.
$f(4) + 4 \geq 12$.
$f(4) \geq 8$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin(\pi/2 - x)}{4+3 \cos(\pi/2 - x)}\right) d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left[ \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x} \right) d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log(1) d x = \int_0^{\pi / 2} 0 d x = 0$.
તેથી,$I = 0$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3+|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચી શકીએ: $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3}{x^2+2|x|+1} dx + \int_{-1}^1 \frac{|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x^3}{x^2+2|x|+1}$. કારણ કે $f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2+2|-x|+1} = -\frac{x^3}{x^2+2|x|+1} = -f(x)$,આ વિધેય અયુગ્મ (odd) છે. તેથી,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$.
હવે,બીજા ભાગ $I_2 = \int_{-1}^1 \frac{|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$ ને ધ્યાનમાં લો. કારણ કે સંકલ્ય એક યુગ્મ (even) વિધેય છે,$I_2 = 2 \int_0^1 \frac{x+1}{x^2+2x+1} dx$.
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા: $I_2 = 2 \int_0^1 \frac{x+1}{(x+1)^2} dx = 2 \int_0^1 \frac{1}{x+1} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I_2 = 2 [\ln |x+1|]_0^1 = 2 (\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$.
આમ,$I = 0 + 2 \ln 2 = 2 \ln 2$.

(B) આપણે સંકલન $I = \int_0^{1.5} [x^2] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે,જ્યાં $[x^2]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.
અંતરાલ $[0, 1.5]$ ને તે બિંદુઓ પર વિભાજિત કરો જ્યાં $[x^2]$ ની કિંમત બદલાય છે:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} [x^2] dx$
$1$. $0 \le x < 1$ માટે,$0 \le x^2 < 1$,તેથી $[x^2] = 0$.
$\int_0^1 0 dx = 0$
$2$. $1 \le x < \sqrt{2}$ માટે,$1 \le x^2 < 2$,તેથી $[x^2] = 1$.
$\int_1^{\sqrt{2}} 1 dx = [x]_1^{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$
$3$. $\sqrt{2} \le x < 1.5$ માટે,$2 \le x^2 < 2.25$,તેથી $[x^2] = 2$.
$\int_{\sqrt{2}}^{1.5} 2 dx = 2[x]_{\sqrt{2}}^{1.5} = 2(1.5 - \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + (3 - 2\sqrt{2})$
$I = 2 - \sqrt{2}$

(B) ધારો કે $I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(9-x)}+\sqrt{9-x}} d x$
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$
$2I = \int_3^6 1 d x$
$2I = [x]_3^6 = 6-3 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6}$.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને ચકાસો કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે કે નહીં:
$f(-x) = \frac{(-x)+(-x)^3+(-x)^5}{1+(-x)^2+(-x)^4+(-x)^6} = \frac{-x-x^3-x^5}{1+x^2+x^4+x^6} = -\left(\frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6}\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-100}^{100} \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6} dx = 0$.

(B) વિકલનના લેબનીઝ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) = x \sin(2x)$
$g'(x) = \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = x \cdot (-2 \cos x \sin x) = -x \sin(2x)$
આમ,$f'(x) + g'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$.
વિકલન શૂન્ય હોવાથી,$f(x) + g(x) = C$ (અચળ).
$C$ શોધવા માટે,$x = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$f(\frac{\pi}{4}) + g(\frac{\pi}{4}) = \int_0^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt$
કારણ કે $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે:
$C = \int_0^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_0^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x - [x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
$x \in [-3, 0)$ માટે,$x + |x| = x - x = 0$. કારણ કે $\{x\} \ge 0$,તેથી $f(x) = \max \{0, \{x\}\} = \{x\}$.
$x \in [0, 3]$ માટે,$x + |x| = x + x = 2x$. કારણ કે $x \ge 0$ માટે $2x \ge \{x\}$,તેથી $f(x) = 2x$.
હવે,સંકલન ગણીએ:
$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \int_{-3}^0 \{x\} \, dx + \int_0^3 2x \, dx$
$\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = \int_{-3}^0 (x - [x]) \, dx$. $n$ લંબાઈના અંતરાલ પર અપૂર્ણાંક ભાગનું સંકલન $\frac{n}{2}$ હોવાથી,$\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.
આમ,$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $x = \int_0^y \frac{1}{\sqrt{1 + 9t^2}} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{1 + 9y^2}}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ મળે.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + 9y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot (18y) \cdot \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9y}{\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot \sqrt{1 + 9y^2} = 9y$ મળે.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ ની સરખામણી $\frac{d^2y}{dx^2} = ay$ સાથે કરતા,$a = 9$ મળે છે.

(D) ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = k^2 \cos \alpha$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = k^2 \cos \beta$,અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = k^2 \cos \gamma$.
સદિશોના સરવાળાનું માન ધ્યાનમાં લો: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \geq 0$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
કિંમતો મૂકતા: $3k^2 + 2k^2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$.
$2k^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $k > 0$): $\frac{3}{2} + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$.
તેથી,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geq -\frac{3}{2}$.

(D) કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{a}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{a} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\vec{a}| = |\lambda| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આમ,$1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda| = 2$,તેથી $\lambda = \pm 2$.
તેથી,$\vec{a} = \pm 2(\vec{b} \times \vec{c})$.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 |\vec{\beta}|^2 - (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})^2$.
પ્રથમ,$|\vec{\alpha}|^2$ ની ગણતરી કરો:
$|\vec{\alpha}|^2 = 3^2 + 0^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.
આપેલ છે કે $|\vec{\beta}| = \sqrt{5}$,તેથી $|\vec{\beta}|^2 = 5$.
આપેલ છે કે $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3$,તેથી $(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})^2 = 3^2 = 9$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|^2 = (10)(5) - 9 = 50 - 9 = 41$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}| = \sqrt{41}$ છે.

(D) આપણને સંબંધ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = k^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ આપેલ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $k^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$k^2 = (|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta)^2 + (|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^2$
$k^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $k^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ થાય.
$|\vec{a}|=7$ અને $|\vec{b}|=1$ આપેલ હોવાથી,$k^2 = (7)^2 \times (1)^2 = 49$ મળે.
તેથી,$k = 7$.
આ સમીકરણ કોઈપણ $\theta$ માટે સાચું હોવાથી,$\theta$ કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

(D) આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{0}$ છે.
આ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (3, 1, 0)$ છે.
$z$-અક્ષને સમાંતર રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a_2, b_2, c_2) = (0, 0, 1)$ હોય છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખા અને $z$-અક્ષના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(3 \times 0) + (1 \times 0) + (0 \times 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આપેલ રેખા $z$-અક્ષને લંબ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
સૂત્ર $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.5 = 0.3 + P(F) - 0.3 \cdot P(F)$
$0.2 = 0.7 \cdot P(F)$
$P(F) = \frac{0.2}{0.7} = \frac{2}{7}$.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે,$P(E|F) = P(E)$ અને $P(F|E) = P(F)$ થાય.
તેથી,$P(E|F) - P(F|E) = P(E) - P(F) = 0.3 - \frac{2}{7} = \frac{3}{10} - \frac{2}{7} = \frac{21 - 20}{70} = \frac{1}{70}$.