WBJEE 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પદાવલિનો પ્રદેશ $x > 0$ છે.
આપેલ અસમતા: $\log _{25} x^2 + (\log _5 x)^2 < 2$.
$\log _{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log _a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log _{25} x^2 = \log _{5^2} x^2 = \frac{2}{2} \log _5 x = \log _5 x$.
આને અસમતામાં મૂકતા: $\log _5 x + (\log _5 x)^2 < 2$.
ધારો કે $y = \log _5 x$. તો $y^2 + y - 2 < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 2)(y - 1) < 0$.
આનો અર્થ છે કે $-2 < y < 1$.
$y = \log _5 x$ પાછા મૂકતા: $-2 < \log _5 x < 1$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $5^{-2} < x < 5^1$.
આમ,$\frac{1}{25} < x < 5$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2ax^2 + (2a + b)x + b = 0$ છે.
વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2a$,$B = (2a + b)$,અને $C = b$.
$D = (2a + b)^2 - 4(2a)(b) = 4a^2 + 4ab + b^2 - 8ab = 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$.
$a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(2a - b)^2$ એ પૂર્ણ વર્ગ છે.
જો સંમેય સહગુણકોવાળા દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો તેના બીજ સંમેય હોય છે.
આમ,બીજ સંમેય છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ ના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = a-2$ અને $\alpha\beta = -(a+1)$ મળે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2+\beta^2 = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $a^2 - 2a + 6 = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$.
કારણ કે $(a-1)^2 \geq 0$,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે,જે $a-1 = 0$ એટલે કે $a = 1$ માટે મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $z^{1/3} = p + iq$,તેથી $z = (p + iq)^3$.
વિસ્તરણ કરતા,$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3 = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
$z = x - iy$ સાથે સરખાવતા:
$x = p(p^2 - 3q^2)$
$y = -q(3p^2 - q^2)$.
હવે,$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2(p^2 + q^2)$.
તેથી,$\frac{(\frac{x}{p} + \frac{y}{q})}{(p^2 + q^2)} = -2$.

(B) આપેલ અસમતા $|z - 25i| \leq 15$ એ સંકર સમતલમાં $(0, 25)$ કેન્દ્ર અને $r = 15$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,$\sin \theta = \frac{r}{d} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ લઈએ,જ્યાં $d = 25$ એ ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર છે.
આથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
$\arg(z)$ નો વિસ્તાર $\frac{\pi}{2} - \theta$ થી $\frac{\pi}{2} + \theta$ સુધીનો છે.
તેથી,$\text{Maximum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} + \theta$ અને $\text{Minimum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} - \theta$.
તફાવત $(\frac{\pi}{2} + \theta) - (\frac{\pi}{2} - \theta) = 2\theta = 2 \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ થાય.
કારણ કે $\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$,તેથી તફાવત $2 \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ મળે.

(A) સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો કોણાંક $\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 + 2k\pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k \in \{0, 1, -1\}$ છે.
કોણાંકનું મુખ્ય મૂલ્ય $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોવાથી,મુખ્ય કોણાંકોનો સરવાળો આ અંતરાલની બહાર હોઈ શકે છે.
તેથી,$\arg(z_1 z_2)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય એ $\arg z_1$ અને $\arg z_2$ ના મુખ્ય મૂલ્યોના સરવાળા જેટલું હોવું જરૂરી નથી.
તે જ રીતે,ભાગાકાર માટે,$\arg(z_1 / z_2) = \arg z_1 - \arg z_2 + 2k\pi$,જે પણ મુખ્ય મૂલ્યોના તફાવત જેટલું ન હોઈ શકે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ એ સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $A$ ના યામ $(0, 0)$ અને $B$ ના યામ $(2a, 0)$ છે.
ખૂણો $\angle ACB = \alpha$ હોવાથી,સદિશો $\vec{CA}$ અને $\vec{CB}$ ના ગુણોત્તરનો કોણાંક $\alpha$ છે.
$\arg \left( \frac{0 - z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{-z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z}{z - 2a} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \alpha$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુપથ એ $A(0,0)$ અને $B(2a,0)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x^2 + y^2) - 2ax - 2ay \cot \alpha = 0$ છે.

(D) ના દરેક ઘટક $x$ માટે,$P \cap Q = \phi$ થાય તે રીતે $P$ અને $Q$ માં તેની સભ્યતા અંગે ત્રણ પરસ્પર નિવારક શક્યતાઓ છે:
$1$. $x \in P$ અને $x \notin Q$
$2$. $x \notin P$ અને $x \in Q$
$3$. $x \notin P$ અને $x \notin Q$
$A$ માં $n$ ઘટકો હોવાથી અને દરેક ઘટક માટે $3$ સ્વતંત્ર પસંદગીઓ હોવાથી,ઉપગણો $P$ અને $Q$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $3 \times 3 \times \dots \times 3$ ($n$ વખત) = $3^n$ થાય.

(C) $n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડાઓને એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી સમાન રંગના બે દડા પાસપાસે ન આવે,દડાઓના રંગ એકાંતરે હોવા જોઈએ.
ગોઠવણી માટે બે શક્ય ભાત છે:
$1$. $B, W, B, W, \ldots, B, W$ (કાળા દડાથી શરૂઆત)
$2$. $W, B, W, B, \ldots, W, B$ (સફેદ દડાથી શરૂઆત)
દરેક ભાત માટે,$n$ કાળા દડાઓને $n!$ રીતે અને $n$ સફેદ દડાઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,પ્રથમ ભાત માટે રીતોની સંખ્યા $n! \times n! = (n!)^2$ છે.
તે જ રીતે,બીજી ભાત માટે રીતોની સંખ્યા $n! \times n! = (n!)^2$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $(n!)^2 + (n!)^2 = 2(n!)^2$.

(D) $100!$ ના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $100!$ ને ભાગતા $5$ ના મહત્તમ ઘાતનો ઘાતાંક શોધવો પડે,જેને $E_5(100!)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
$n = 100$ અને $p = 5$ માટે:
$E_5(100!) = \left[ \frac{100}{5} \right] + \left[ \frac{100}{25} \right] + \left[ \frac{100}{125} \right]$
$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 = 24$.
તેથી,$100!$ ના અંતમાં $24$ શૂન્યો છે.

(B) $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $b^2 = ac$. ધારો કે $r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2$.
$\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ એ $A$.$P$. માં હોવાથી,$2(\log 2b - \log 3c) = (\log a - \log 2b) + (\log 3c - \log a)$.
$2 \log(\frac{2b}{3c}) = \log(\frac{3c}{2b})$.
ધારો કે $x = \frac{2b}{3c}$,તો $3 \log x = 0$,તેથી $x = 1$.
આમ,$2b = 3c \Rightarrow r = \frac{2}{3}$.
બાજુઓ $a, \frac{2a}{3}, \frac{4a}{9}$ છે.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{(\frac{2a}{3})^2 + (\frac{4a}{9})^2 - a^2}{2(\frac{2a}{3})(\frac{4a}{9})} = -\frac{29}{48} < 0$.
તેથી,તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) આપણી પાસે $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ અને $b_n = n^n(n!)$ છે.
$n=1$ માટે,$a_1 = (1^2)^1 = 1$ અને $b_1 = 1^1(1!) = 1$,તેથી $a_1 = b_1$.
$n=2$ માટે,$a_2 = (1^2+2^2)^2 = 5^2 = 25$ અને $b_2 = 2^2(2!) = 4 \times 2 = 8$. આમ $a_2 > b_2$.
$n=3$ માટે,$a_3 = (1^2+2^2+3^2)^3 = 14^3 = 2744$ અને $b_3 = 3^3(3!) = 27 \times 6 = 162$. આમ $a_3 > b_3$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે તમામ $n \geq 2$ માટે $a_n > b_n$ થાય છે.

(A) ધારો કે $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$.
તેથી $\frac{1}{P^2} = \sec^2 \alpha_1 \sec^2 \alpha_2 \ldots \sec^2 \alpha_n = (1 + \tan^2 \alpha_1)(1 + \tan^2 \alpha_2) \ldots (1 + \tan^2 \alpha_n)$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$1 + \tan^2 \alpha_i \geq 2 \tan \alpha_i$.
તેથી,$\frac{1}{P^2} \geq 2^n (\tan \alpha_1 \tan \alpha_2 \ldots \tan \alpha_n) = 2^n$.
આમ,$P^2 \leq \frac{1}{2^n}$,એટલે કે $P \leq \frac{1}{2^{n/2}}$.
મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2^{n/2}}$ છે.

(B) તફાવત $g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2^{n+1}$ ધ્યાનમાં લો.
$2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2 \cdot 2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1-2)2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n-1)2^n$.
બધા $n \in N$ માટે,$n \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $(n-1) \geq 0$.
$2^n > 0$ હોવાથી,પદ $(n-1)2^n \geq 0$ છે.
તેથી,$1 + (n-1)2^n > 0$,જેનો અર્થ છે કે $g(n) - f(n) > 0$ અથવા $g(n) > f(n)$.

(B) આપેલ ખૂણો $\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{3}{4}$ થાય. રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
બિંદુ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{3}{4}(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4y = 3x + 7$ થાય.
વક્ર $x^2 = 4y - 9$ માં $4y = 3x + 7$ મૂકતા:
$x^2 = (3x + 7) - 9$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = 2$.
$x = 1$ માટે,$4y = 10 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$. બિંદુ $A = (1, \frac{5}{2})$.
$x = 2$ માટે,$4y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{4}$. બિંદુ $B = (2, \frac{13}{4})$.
અંતર $|AB| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (\frac{13}{4} - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ $y-y_1=m(x-x_1)$ છે,જેને $y=mx+(y_1-mx_1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં $m$ અને $x_1$ નિશ્ચિત હોવાથી,રેખાઓનો ઢાળ $(m)$ અચળ રહે છે.
સમાન ઢાળ ધરાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$y_1$ ની વિવિધ કિંમતો માટે,આપણને સમાંતર રેખાઓનો સમૂહ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ધારો કે ચલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a^2 + b^2 = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = ax_1 + by_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $(2,0)$,$(0,2)$ અને $(1,1)$ થી અંતરનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય છે:
$(2a + 0b + c) + (0a + 2b + c) + (1a + 1b + c) = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
રેખાના સમીકરણમાં $c = -(a + b)$ મૂકતા:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું છે જો $x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ હોય.
આમ,રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો,$x=0$ અને $y=0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ નું રેખા $x=0$ થી અંતર $|x|$ છે અને રેખા $y=0$ થી અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ એકમ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
$O(0, 0)$,$A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક $ax + by = 0$ છે.
$A(a, 0)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું અંતર $m = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$B(0, b)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું અંતર $n = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
તેથી,$m+n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
આમ,વર્તુળનો વ્યાસ $m+n$ છે.

(C) ધારો કે બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx$ છે,જેને $mx - y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ છે. ત્રિજ્યા $r$ એ $C$ થી સ્પર્શક $3x + y = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(2) + 1(-1)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$.
બીજો સ્પર્શક $mx - y = 0$ પણ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી $C(2, -1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર પણ $r$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(2) - 1(-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
$\frac{|2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(2m + 1)^2}{m^2 + 1} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$2(4m^2 + 4m + 1) = 5(m^2 + 1)$
$8m^2 + 8m + 2 = 5m^2 + 5$
$3m^2 + 8m - 3 = 0$
$(3m - 1)(m + 3) = 0$
તેથી,$m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$.
આપેલ સ્પર્શક $3x + y = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m = -3$ છે.
તેથી,બીજા સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{3}$ છે.
સમીકરણ $y = \frac{1}{3}x$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y = 0$ થાય છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોય.
આપેલ $S_1 = px^2 + py^2 + 2g'x + 2f'y + d = 0$ ને $p$ વડે ભાગતા:
$\frac{S_1}{p} = x^2 + y^2 + \frac{2g'}{p}x + \frac{2f'}{p}y + \frac{d}{p} = 0$.
હવે,સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $\frac{S_1}{p} - S_2 = 0$ થાય.
$p$ વડે ગુણતા,આપણને $S_1 - pS_2 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે. શિરોબિંદુ $A$ એ $(0, 0)$ પર છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{2at - 0}{at^2 - 0} = \frac{2}{t}$ છે.
$BC \perp AB$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = -\frac{t}{2}$ થાય.
$B(at^2, 2at)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{t}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ:
$y - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
પરવલયની અક્ષ $(y = 0)$ પર બિંદુ $C$ શોધવા માટે:
$0 - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
$4at = t(x - at^2)$
$4a = x - at^2$
$x = 4a + at^2$
તેથી,$C$ ના યામ $(4a + at^2, 0)$ છે.
અક્ષ પર $BC$ નો પ્રક્ષેપ એ અંતર $DC$ છે,જ્યાં $D$ એ અક્ષ પર $B$ નો પ્રક્ષેપ છે,એટલે કે $D(at^2, 0)$.
$DC = |x_C - x_D| = |(4a + at^2) - at^2| = 4a$ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુઓના યામ $P_i(at_i^2, 2at_i)$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3, 4$.
$P_1 P_2$ અને $P_3 P_4$ નાભિસ્થ જીવાઓ હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$ અને $t_3 t_4 = -1$ થાય.
$P_i$ અને $P_j$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $(t_i + t_j)y = 2x + 2at_i t_j$ છે.
$P_1 P_3$ માટે,સમીકરણ $(t_1 + t_3)y = 2x + 2at_1 t_3$ ... $(1)$ છે.
$P_2 P_4$ માટે,સમીકરણ $(t_2 + t_4)y = 2x + 2at_2 t_4$ ... $(2)$ છે.
$t_2 = -1/t_1$ અને $t_4 = -1/t_3$ મૂકતા,સમીકરણ $(2)$ માંથી મળે છે કે છેદબિંદુ $x = -a$ રેખા પર આવેલું છે,જે પરવલયની નિયામિકા છે.

(A, B, C) રેખા $y=x+5$ છે,તેથી $m=1$ અને $c=5$.
$(A)$ પરવલય $y^2=4ax$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c=\frac{a}{m}$ છે. અહીં $4a=20 \Rightarrow a=5$. તેથી $c=\frac{5}{1}=5$. રેખા સ્પર્શક છે.
$(B)$ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે. અહીં $a^2=16, b^2=9$. તેથી $c^2=5^2=25$ અને $a^2m^2+b^2=16(1)^2+9=25$. રેખા સ્પર્શક છે.
$(C)$ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2=a^2m^2-b^2$ છે. અહીં $a^2=29, b^2=4$. તેથી $c^2=5^2=25$ અને $a^2m^2-b^2=29(1)^2-4=25$. રેખા સ્પર્શક છે.
$(D)$ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2=r^2(1+m^2)$ છે. અહીં $r^2=25, m=1$. તેથી $c^2=25$ અને $r^2(1+m^2)=25(1+1)=50$. $25 \neq 50$ હોવાથી,રેખા સ્પર્શક નથી.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $(at^2, 2at)$ બિંદુએ $yt = x + at^2$ છે.
અહીં,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
સ્પર્શક $(4, 10)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $10t = 4 + \frac{9}{4}t^2$.
$4$ વડે ગુણતા,$40t = 16 + 9t^2$,અથવા $9t^2 - 40t + 16 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(9t - 4)(t - 4) = 0$,જે $t = 4$ અથવા $t = \frac{4}{9}$ આપે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{t} = \tan \theta$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta > 2$,તેથી $\frac{1}{t} > 2$,જેનો અર્થ છે કે $t < \frac{1}{2}$.
આમ,$t = \frac{4}{9}$ એ યોગ્ય પેરામીટર છે.
સ્પર્શબિંદુ $(at^2, 2at) = \left(\frac{9}{4} \times \left(\frac{4}{9}\right)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times \frac{4}{9}\right) = \left(\frac{4}{9}, 2\right)$ છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે. $y=0$ લેતા,$x = -at^2$ મળે,તેથી $T = (-at^2, 0)$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. $y=0$ લેતા,$x = 2a + at^2$ મળે,તેથી $G = (2a + at^2, 0)$.
સ્પર્શક અને અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\angle PTG = 90^\circ$,જે સૂચવે છે કે $TG$ એ $P, T$ અને $G$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $TG$ ની લંબાઈ $= |(2a + at^2) - (-at^2)| = |2a + 2at^2| = 2a(1+t^2)$.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{1}{2} TG = a(1+t^2)$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
પરવલય $y^2 = 4x$ ની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ એટલે કે $x = -1$ છે.
આપેલ બિંદુ $(-1, -6)$ છે.
બિંદુનો $x$-યામ $-1$ હોવાથી,તે પરવલયની નિયામિકા પર આવેલું છે.
પરવલયના ગુણધર્મ મુજબ,નિયામિકા પરના કોઈપણ બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 2$ છે.

(D) ધારો કે પરવલય $(y - 6)^2 = 2(x - 4)$ પરના બિંદુ $Q$ ના યામ $(4 + \frac{t^2}{2}, 6 + t)$ છે.
આપેલ છે $P = (2, 0)$.
ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R(h, k)$ છે.
તેથી $h = \frac{2 + 4 + \frac{t^2}{2}}{2} = 3 + \frac{t^2}{4}$ અને $k = \frac{0 + 6 + t}{2} = 3 + \frac{t}{2}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{t}{2} = k - 3$,તેથી $t = 2(k - 3)$.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = 3 + \frac{(2(k - 3))^2}{4} = 3 + \frac{4(k - 3)^2}{4} = 3 + (k - 3)^2$.
$h - 3 = (k - 3)^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $(y - 3)^2 = x - 3$ મળે છે.
$y^2 - 6y + 9 = x - 3$.
$y^2 - 6y - x + 12 = 0$.

(A) ધારો કે જીવા $AB$ નું સમીકરણ $lx + my = 1$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સમીકરણને જીવાના સમીકરણ $lx + my = 1$ ની મદદથી સમઘાત બનાવતા:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = (lx + my)^2$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = l^2x^2 + m^2y^2 + 2lmxy$
$x^2(\frac{1}{a^2} - l^2) + y^2(\frac{1}{b^2} - m^2) - 2lmxy = 0$
કારણ કે $AB$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(\frac{1}{a^2} - l^2) + (\frac{1}{b^2} - m^2) = 0$
$l^2 + m^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
આમ,$\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ ની કિંમત $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ થાય છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. ગૌણ અક્ષનું ધન અંત્યબિંદુ $P(0, b)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $(0, b)$ અને ઉપવલય પરના કોઈ બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{x_1 + 0}{2} \Rightarrow x_1 = 2h$ અને $k = \frac{y_1 + b}{2} \Rightarrow y_1 = 2k - b$.
ચૂંક $(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર આવેલું છે,તેથી $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$.
$x_1$ અને $y_1$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{(2h)^2}{a^2} + \frac{(2k - b)^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{4h^2}{a^2} + \frac{4(k - b/2)^2}{b^2} = 1$ થાય છે,જેને $\frac{h^2}{(a/2)^2} + \frac{(k - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{(a/2)^2} + \frac{(y - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે. $PQ$ એ બેવડી કોટિ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ થશે.
આપેલ છે કે $\triangle OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle POD = 30^{\circ}$,જ્યાં $D$ એ બિંદુ $(a \sec \theta, 0)$ છે.
$\triangle OPD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{PD}{OD} = \frac{b \tan \theta}{a \sec \theta}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \sin \theta \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} \sin \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta}$.
$0 < \sin^2 \theta < 1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta < 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sin^2 \theta} > 1$.
તેથી,$e^2 = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
આમ,$e > \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ હોવાથી,$a = 3$ અને $b = 2$ મળે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ: $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ ... $(1)$.
$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ: $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$.
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ હોવાથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$ થાય.
તેથી,$Q$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ: $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ ... $(2)$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$y = -\frac{13}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right) = 0$.
સામાન્ય છેદ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-a)x^2 - (a+b)x + (1-b)}{x+1} = 0$
લક્ષનું મૂલ્ય $0$ થવા માટે,અંશમાં $x$ ની મહત્તમ ઘાતનો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$1-a = 0 \implies a = 1$.
$a=1$ મૂકતા: $-(a+b) = 0 \implies -(1+b) = 0 \implies b = -1$.
તેથી,$a=1$ અને $b=-1$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
ગુણધર્મ $\ln(a^b) = b \ln(a)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.
$L = \frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x) - \ln(1-x)}{x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$L = \frac{1}{2} \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1-x)}{x} \right)$.
$L = \frac{1}{2} (1 - (-1)) = \frac{1}{2} (2) = 1$.

(B) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ અને $S$ સામ્ય સંબંધો હોવાથી,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in S$ થાય. તેથી,$(a, a) \in R \cap S$.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R \cap S$,તો $(a, b) \in R$ અને $(a, b) \in S$. $R$ અને $S$ સંમિત હોવાથી,$(b, a) \in R$ અને $(b, a) \in S$,તેથી $(b, a) \in R \cap S$.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R \cap S$ અને $(b, c) \in R \cap S$,તો $(a, b), (b, c) \in R$ અને $(a, b), (b, c) \in S$. $R$ અને $S$ પરંપરિત હોવાથી,$(a, c) \in R$ અને $(a, c) \in S$,તેથી $(a, c) \in R \cap S$.
આમ,$R \cap S$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
$A$ ના ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^4 = A^2 \times A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i-1-i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^4 = I$ હોવાથી,$A^{2018} = A^{2016} \times A^2 = (A^4)^{504} \times A^2 = I^{504} \times A^2 = A^2$.
તેથી,$A^{2018} = \begin{bmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
સરખામણી કરતા,$a=1$ અને $d=-1$ મળે છે.
તેથી,$a+d = 1 + (-1) = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,તેના સહઅવયજ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $\det(P) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
આપેલ છે કે $\det(A) = 4$,તેથી $\det(P) = 4^2 = 16$.
હવે,શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2) = 2\alpha - 6$.
બંને કિંમતોને સરખાવતા: $2\alpha - 6 = 16$.
$2\alpha = 22 \Rightarrow \alpha = 11$.

(D) લાક્ષણિક સમીકરણ $\operatorname{det}(A-\lambda I_2)=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 3 \\ x & y-\lambda \end{array}\right|=0$
$(2-\lambda)(y-\lambda)-3x=0$
$\lambda^2 - (y+2)\lambda + 2y - 3x = 0$
અહીં બીજ $4$ અને $8$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $4+8=12$ અને બીજનો ગુણાકાર $4 \times 8 = 32$ થાય.
$\lambda^2 - (y+2)\lambda + (2y-3x) = 0$ સાથે સરખાવતા:
$y+2 = 12 \Rightarrow y=10$.
$2y-3x = 32 \Rightarrow 2(10)-3x=32 \Rightarrow 20-3x=32 \Rightarrow -3x=12 \Rightarrow x=-4$.
આમ,$x=-4$ અને $y=10$ મળે છે.

(B) $\Delta(x)$ માં $x$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે તે $\Delta'(0)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta'(x) = \Delta_1(x) + \Delta_2(x) + \Delta_3(x)$,જ્યાં $\Delta_i$ એ $i$-મી હારનું વિકલન કરીને મેળવેલ નિશ્ચાયક છે.
$\Delta'(0)$ ની ગણતરી કરવા માટે,દરેક હારનું $x=0$ આગળ વિકલન કરવામાં આવે છે.
વિકલન કર્યા પછી અને $x=0$ મૂકતા,આપણને $\Delta'(0) = -2$ મળે છે.
આમ,$x$ નો સહગુણક $-2$ છે.

(B, D) નિશ્ચાયક $\Delta$ નું ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \cos \theta \begin{vmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix} - (- \sin \theta) \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix} + 0$
$\Delta = \cos \theta [(\cos \theta \cos \phi)(\sin \theta \cos \phi) - (\cos \theta \sin \phi)(-\sin \theta \sin \phi)] + \sin \theta [(\sin \theta \cos \phi)(\sin \theta \cos \phi) - (\sin \theta \sin \phi)(-\sin \theta \sin \phi)]$
$\Delta = \cos \theta [\sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi] + \sin \theta [\sin^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi]$
$\Delta = \cos \theta [\sin \theta \cos \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)] + \sin \theta [\sin^2 \theta (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)]$
$\Delta = \cos \theta (\sin \theta \cos \theta) + \sin \theta (\sin^2 \theta) = \sin \theta \cos^2 \theta + \sin^3 \theta = \sin \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \sin \theta$
કારણ કે $\Delta = \sin \theta$,તે $\phi$ થી સ્વતંત્ર છે.
વળી,$\frac{d \Delta}{d \theta} = \cos \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$\frac{d \Delta}{d \theta} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(D) રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = B$ નો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a-4 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1((1)(a-4) - (2)(2)) - 2((2)(a-4) - (2)(1)) + 4((2)(2) - (1)(1))$
$|A| = 1(a-4-4) - 2(2a-8-2) + 4(4-1)$
$|A| = (a-8) - 2(2a-10) + 4(3)$
$|A| = a - 8 - 4a + 20 + 12$
$|A| = -3a + 24$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$|A| \neq 0$.
$-3a + 24 \neq 0 \Rightarrow -3a \neq -24 \Rightarrow a \neq 8$.

(C) વિધેય $y = \sqrt{\log _{10} \frac{3x - x^2}{2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ:
$\log _{10} \left( \frac{3x - x^2}{2} \right) \geq 0$
$\log _{10} 1 = 0$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{3x - x^2}{2} \geq 1$
$3x - x^2 \geq 2$
$x^2 - 3x + 2 \leq 0$
$(x - 1)(x - 2) \leq 0$
આ અસમતા $x \in [1, 2]$ માટે સાચી છે.
વધુમાં,લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ:
$\frac{3x - x^2}{2} > 0$
$x(3 - x) > 0$
$x(x - 3) < 0$
જે $x \in (0, 3)$ માટે સાચું છે.
$x \in [1, 2]$ અને $x \in (0, 3)$ નો છેદગણ $x \in [1, 2]$ થાય છે.

(C) ધારો કે $x_1, x_2 \in S$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
બંને બાજુ $g$ લાગુ પાડતા,આપણને $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ મળે છે.
આ $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $g \circ f$ એ એક એક વિધેય આપેલ છે,તેથી $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ સાબિત થાય છે,તેથી વિધેય $f$ એક એક વિધેય હોવું જ જોઈએ.
તેથી,$f$ અનિવાર્યપણે એક એક વિધેય છે.

(D) એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1}{x_1-1} = \frac{2x_2}{x_2-1}$
$x_1(x_2-1) = x_2(x_1-1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_1x_2 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{2x}{x-1}$.
$y(x-1) = 2x \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$.
કારણ કે $y \in R-\{2\}$,$x$ હંમેશા વ્યાખ્યાયિત છે અને $x \neq 1$. તેથી,સહ-પ્રદેશના દરેક $y$ માટે,પ્રદેશમાં એક $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(C) ધારો કે $t = 2x-1$. કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $-1 < 2x-1 < 1$,એટલે કે $-1 < t < 1$.
વિધેય $f(t) = \frac{t}{1-|t|}$ બને છે,જ્યાં $t \in (-1, 1)$.
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(t) = \begin{cases} \frac{t}{1+t}, & -1 < t \leq 0 \\ \frac{t}{1-t}, & 0 < t < 1 \end{cases}$
$f$ સતત છે અને $\lim_{t \to -1^+} f(t) = -\infty$ તથા $\lim_{t \to 1^-} f(t) = +\infty$ હોવાથી,$f$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ છે. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
હવે,વિકલન શોધીને એક-એક હોવાની ચકાસણી કરીએ:
$f'(t) = \begin{cases} \frac{1}{(1+t)^2}, & -1 < t < 0 \\ \frac{1}{(1-t)^2}, & 0 < t < 1 \end{cases}$
બધા $t \in (-1, 1)$ માટે $f'(t) > 0$ હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.

(D) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+1) + 1 = a+2$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+bx^2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx} - 1)}{bx^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+bx} - 1}{b}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+bx)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}bx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{1}{2}bx - 1}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}bx}{b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{2} = 0$.
અહીં $f(0) = c$ હોવાથી,સાતત્ય માટે $a+2 = 0$ અને $c = 0$ જરૂરી છે.
તેથી,$a = -2$ અને $c = 0$. $RHL$ માં છેદમાં $b$ હોવાથી,$x > 0$ માટે વિધેય વ્યાખ્યાયિત રહે તે માટે $b \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$a = -2, b \in \mathbb{R} - \{0\}, c = 0$.

(C) આપેલ છે $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2|x|^2 + a_3|x|^3$.
કારણ કે $|x|^2 = x^2$ અને $|x|^3 = |x| \cdot x^2$,આપણે લખી શકીએ $f(x) = a_0 + a_1|x| + a_2x^2 + a_3|x|x^2$.
$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,ડાબી બાજુનું વિકલન અને જમણી બાજુનું વિકલન સમાન હોવું જોઈએ.
$x=0$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલન: $f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{a_0 + a_1h + a_2h^2 + a_3h^3 - a_0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (a_1 + a_2h + a_3h^2) = a_1$.
$x=0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલન: $f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{a_0 + a_1(-h) + a_2h^2 + a_3(-h^3) - a_0}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-a_1 + a_2h - a_3h^2) = -a_1$.
વિકલનીયતા માટે,$f'(0^+) = f'(0^-) \implies a_1 = -a_1 \implies 2a_1 = 0 \implies a_1 = 0$.
આમ,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ માત્ર ત્યારે જ વિકલનીય છે જો $a_1=0$ હોય.

(A) આપેલ છે કે $y=e^{\tan ^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{d}{dx}(\tan ^{-1} x) = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{1}{1+x^2}$.
$y = e^{\tan ^{-1} x}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1+x^2}$.
બંને બાજુ $(1+x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1+x^2) y_1 = y$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[(1+x^2) y_1] = \frac{d}{dx}(y)$.
$(1+x^2) y_2 + y_1(2x) = y_1$.
પદોને ગોઠવતા:
$(1+x^2) y_2 + (2x - 1) y_1 = 0$.

(B) આપેલ રૂપાંતરણ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ છે.
પ્રથમ,$\frac{d z}{d x}$ શોધો:
$\frac{d z}{d x} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
હવે,$\frac{d y}{d z}$ ને $x$ ના પદોમાં દર્શાવો:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \sin x$.
આગળ,$\frac{d^2 y}{d z^2}$ શોધો:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d x}{d z} = \left( \cos x \frac{d y}{d x} + \sin x \frac{d^2 y}{d x^2} \right) \cdot \sin x = \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + \sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2}$.
આને લક્ષ્ય સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ માં મૂકો:
$\sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2} + \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + k y = 0$.
$\sin^2 x$ વડે ભાગતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + k \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = \frac{dy}{dx}$ છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેના સ્પર્શકનો રેખાખંડ $(x_1, y_1)$ પર દુભાતો હોવાથી,સ્પર્શક અક્ષોને $(2x_1, 0)$ અને $(0, 2y_1)$ બિંદુએ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2y_1 - 0}{0 - 2x_1} = -\frac{y_1}{x_1}$ થાય.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln y = -\ln x + C_0$,જેનો અર્થ છે કે $\ln(xy) = C_0$,અથવા $xy = C$.
વક્ર $(3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$3 \times 2 = C$,તેથી $C = 6$ મળે.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $xy = 6$ છે.

(A) આપેલ પ્રવેગ $v'(t) = a - kt^2$ છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$v(0) = 0$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $v(t) = \int (a - kt^2) dt = at - \frac{k}{3}t^3 + C$ મળે છે.
$v(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C = 0$ મળે છે,તેથી $v(t) = at - \frac{k}{3}t^3$.
મહત્તમ વેગ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગને શૂન્ય લઈએ છીએ: $a - kt^2 = 0$,જે $t^2 = \frac{a}{k}$ આપે છે,અથવા $t = \sqrt{\frac{a}{k}}$ ($t > 0$ હોવાથી).
$t$ ની આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \left(\sqrt{\frac{a}{k}}\right)^3$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{a}{k} \sqrt{\frac{a}{k}}$
$v_{\max} = a \sqrt{\frac{a}{k}} - \frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{k}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{a^3}{k}}$.

(C) ધારો કે જ્યારે પથ્થર છોડવામાં આવે ત્યારે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેનો ઉપરની તરફનો વેગ $v$ છે.
જ્યારે પથ્થર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = v$ (ઉપરની તરફ) છે.
પથ્થર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં,$s = -h$ (સ્થાનાંતર નીચેની તરફ છે),$u = v$,$a = -g = -32 \ ft/sec^2$,અને $t = 4 \ sec$.
$-h = v(4) + \frac{1}{2}(-32)(4)^2$.
$-h = 4v - 16(16)$.
$-h = 4v - 256$.
$h = 256 - 4v$.
$4 \ sec$ માં,ફુગ્ગો વધારાનું $d = v \times t = v \times 4 = 4v$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે પથ્થર જમીન પર પહોંચે ત્યારે ફુગ્ગાની કુલ ઊંચાઈ $H = h + d$ થશે.
$H = (256 - 4v) + 4v = 256 \ ft$.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 + x \sin x - \cos x$.
આપણે વિકલન શોધીએ: $f'(x) = 2x + (\sin x + x \cos x) + \sin x = 2x + 2 \sin x + x \cos x = x(2 + \cos x) + 2 \sin x$.
$x > 0$ માટે,$f(0) = -1$ છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$. $f(0) = -1 < 0$ હોવાથી અને $f(x)$ સતત હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(0, \infty)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તે જ રીતે,જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to \infty$. $f(0) = -1 < 0$ હોવાથી,$(-\infty, 0)$ માં પણ ઓછામાં ઓછું એક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આમ,$f(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ છે,જેનો અર્થ છે કે તેને ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=(x-2)^{17}(x+5)^{24}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 17(x-2)^{16}(x+5)^{24} + 24(x-2)^{17}(x+5)^{23}$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17(x+5) + 24(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} [17x + 85 + 24x - 48]$
$f'(x) = (x-2)^{16}(x+5)^{23} (41x + 37)$
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=2, x=-5, x=-\frac{37}{41}$ છે.
હવે,$x=2$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$(x-2)^{16}$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $(x+5)^{23}(41x+37)$ પર આધાર રાખે છે.
$x$ ની કિંમત $2$ થી થોડી ઓછી હોય ત્યારે,$(x+5)^{23} > 0$ અને $(41x+37) > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
$x$ ની કિંમત $2$ થી થોડી વધારે હોય ત્યારે,$(x+5)^{23} > 0$ અને $(41x+37) > 0$,તેથી $f'(x) > 0$.
જેમ $x$ ની કિંમત $2$ માંથી પસાર થાય છે તેમ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી,તેથી $x=2$ આગળ $f(x)$ ને મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંકગણિત મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા અથવા વિકલનનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $u = \sin x$ અને $v = \cos x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $u^2 + v^2 = 1$.
$f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ માટે,વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $\sin x = \cos x$ હોય.
$\sin x = \cos x$ લેતા,આપણને $\tan x = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આ કિંમતોને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{1/\sqrt{2}} + e^{1/\sqrt{2}} = 2e^{1/\sqrt{2}}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $2e^{1/\sqrt{2}}$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળાકાર સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $\ell$ છે.
આપેલ છે કે વાયરની કુલ લંબાઈ $20 \ m$ છે,તેથી સેક્ટરની પરિમિતિ $2r + \ell = 20$ થાય.
આમ,$\ell = 20 - 2r$.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2r = 10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5 \ m$.
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,જે $0$ કરતા ઓછું છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $r = 5 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(A) વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કારણ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે,તેથી $g(x)$ પણ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે.
આપણને મળે છે $g(a) = e^{-a} f(a) = e^{-a} \cdot 0 = 0$ અને $g(b) = e^{-b} f(b) = e^{-b} \cdot 0 = 0$.
$g(a) = g(b) = 0$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $g^{\prime}(c) = 0$ થાય.
વિકલન કરતા: $g^{\prime}(x) = -e^{-x} f(x) + e^{-x} f^{\prime}(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ લેતા,આપણને મળે $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $c$ માટે $e^{-c} \neq 0$ હોવાથી,$f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછા એક $c \in (a, b)$ માટે $f^{\prime}(c) = f(c)$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $p^{\prime}(x) > 0$ છે,તેથી બહુપદી $p(x)$ એ સમગ્ર વાસ્તવિક રેખા પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
$p(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી,તેને વધુમાં વધુ એક વાસ્તવિક શૂન્ય હોઈ શકે છે.
આપણને $p(0) = 1$ આપેલ છે.
$p(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી અને $p(0) = 1 > 0$ હોવાથી,કોઈપણ $x > 0$ માટે,$p(x) > p(0) = 1$ થાય,તેથી $p(x)$ ને કોઈ ધન વાસ્તવિક શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
જેમ $x \to -\infty$,તેમ $p(x) \to -\infty$ (જો ઘાત એકી હોય તો).
$p(0) = 1$ છે અને વિધેય સતત અને ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,કોઈક $x_0 < 0$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $p(x_0) = 0$ થાય.
આમ,$p(x)$ ને બરાબર એક ઋણ વાસ્તવિક શૂન્ય છે.

(B) આપણને સંકલન $I = \int \frac{x^{1/2}}{\sqrt{1-x^3}} dx$ આપેલ છે.
ધારો કે $t = x^{3/2}$.
તેથી $dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{2}{3} \sin^{-1}(t) + c$.
$t = x^{3/2}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(x^{3/2}) + c$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{2}{3} g(f(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણે $f(x) = x^{3/2}$ અને $g(x) = \sin^{-1}(x)$ મેળવીએ છીએ.

(A) ધારો કે $I = \int \cos(\ln x) \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \cos(\ln x)$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = x$ મળે.
$I = x \cos(\ln x) - \int x \cdot (-\sin(\ln x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) \, dx$.
હવે,$\int \sin(\ln x) \, dx$ નું ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા,$u = \sin(\ln x)$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = x$ મળે.
$\int \sin(\ln x) \, dx = x \sin(\ln x) - \int x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \sin(\ln x) - I$.
આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - I$
$2I = x \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\}$
$I = \frac{x}{2} \{\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}} dx$ --- $(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos(\pi/2 - x))^{\sin(\pi/2 - x)}}{(\cos(\pi/2 - x))^{\sin(\pi/2 - x)} + (\sin(\pi/2 - x))^{\cos(\pi/2 - x)}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\sin x)^{\cos x}}{(\sin x)^{\cos x} + (\cos x)^{\sin x}} dx$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}}{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}} dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \pi / 2$
$I = \pi / 4$

(A) વિધેય $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કારણ કે $f$ એ $[0, 1]$ પર વિકલનીય છે,તે $[0, 1]$ પર સતત છે,અને તેથી સંકલન $\int_0^x f(t) dt$ વિકલનીય છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) dt = 1 \times 0 = 0$.
તેમજ,$g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) dt = 0 \times \int_0^1 f(t) dt = 0$.
કારણ કે $g(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે અને $g(0) = g(1) = 0$ છે,રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછો એક $c \in (0, 1)$ એવો મળે કે જેથી $g'(c) = 0$ થાય.
વિકલન કરતા: $g'(x) = -1 \int_0^x f(t) dt + (1-x) f(x)$.
$g'(c) = 0$ લેતા,આપણને $-(1-c) f(c) + \int_0^c f(t) dt = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\int_0^c f(t) dt = (1-c) f(c)$.

(B) ધારો કે $g(x) = \lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,આપણને $g(0) = \lim _{x \rightarrow 0} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = 4a - 1$ મળે છે.
કારણ કે $c$ થી $c$ સુધીનું સંકલન $0$ થાય છે,તેથી $g(0) = 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $4a - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $a = 1/4$.
હવે,કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$g'(x) = \frac{b x \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$.
જમણી બાજુનું વિકલન કરતા:
$g'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{a \sin 4 x}{x} - 1) = \frac{4ax \cos 4 x - a \sin 4 x}{x^2}$.
$g'(x)$ માટેના બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $b = 4a$ મળે છે.
$a = 1/4$ હોવાથી,$b = 4(1/4) = 1$ મળે છે.
આમ,$a = 1/4$ અને $b = 1$ છે.

(B) લેબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \int_{g(x)}^{h(x)} F(t) dt$ નું વિકલન $f^{\prime}(x) = F(h(x)) \cdot h^{\prime}(x) - F(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$F(t) = e^{-t^2}$,$h(x) = \cos x$,અને $g(x) = \sin x$ છે.
તેથી,$f^{\prime}(x) = e^{-(\cos x)^2} \cdot (-\sin x) - e^{-(\sin x)^2} \cdot (\cos x)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{e}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} = -\sqrt{\frac{2}{e}}$.

(C) આપેલ છે કે $\int_0^x \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x f(t) dt$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^2} = f(x)$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 - (f^{\prime}(x))^2 = f^2(x)$,જેનો અર્થ છે કે $(f^{\prime}(x))^2 = 1 - f^2(x)$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \pm \sqrt{1 - f^2(x)}$.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{df}{\sqrt{1-f^2}} = \pm \int dx$,જે $\sin^{-1}(f(x)) = \pm x + C$ આપે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,એટલે કે $C = 0$.
આમ,$f(x) = \sin(x)$ અથવા $f(x) = -\sin(x)$.
કારણ કે $f$ એ $[0, \pi/2]$ પર અ-ઋણ છે,તેથી $f(x) = \sin(x)$ હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\sin(x) < x$ થાય છે.
તેથી,$f(4/3) = \sin(4/3) < 4/3$ અને $f(2/3) = \sin(2/3) < 2/3$ થાય છે.

(D) $0 < x < 1$ માટે,આપણી પાસે $x^2 < x$ અને $0 \le \cos^2 x \le 1$ છે.
સંકલિતોની સરખામણી કરતા:
$e^{-x} \cos^2 x < e^{-x^2} \cos^2 x < e^{-x^2} < e^{-x^2/2}$.
કારણ કે $I_4$ નું સંકલિત તમામ $x \in (0, 1)$ માટે સૌથી મોટું છે,તેથી સંકલન $I_4$ સૌથી મોટું હશે.
તેથી,$I = I_4$.

(B) આપેલ પરવલયોના સમીકરણો છે:
$y^2 = -8(x-2) \quad \dots(1)$
$y^2 = 24(x+2) \quad \dots(2)$
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2$ ના પદોને સરખાવતા:
$-8(x-2) = 24(x+2)$
$-8x + 16 = 24x + 48$
$-32x = 32 \implies x = -1$
$x = -1$ માટે,$y^2 = 24(-1+2) = 24$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{6}$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની ઉપરના ભાગના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{24(x+2)} \, dx + \int_{-1}^{2} \sqrt{-8(x-2)} \, dx \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 2 \left[ 2\sqrt{6} \int_{-2}^{-1} \sqrt{x+2} \, dx + 2\sqrt{2} \int_{-1}^{2} \sqrt{2-x} \, dx \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right)_{-2}^{-1} + \sqrt{2} \left( -\frac{2}{3}(2-x)^{3/2} \right)_{-1}^{2} \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \left[ \sqrt{6} \left( \frac{2}{3}(1) - 0 \right) + \sqrt{2} \left( 0 - (-\frac{2}{3}(3)^{3/2}) \right) \right]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3\sqrt{3} \right] = 4 \left[ \frac{2\sqrt{6}}{3} + 2\sqrt{6} \right] = 4 \left[ \frac{8\sqrt{6}}{3} \right] = \frac{32}{3} \sqrt{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos y \frac{dy}{dx} = e^x e^{\sin y} + x^2 e^{\sin y}$.
બંને બાજુ $e^{\sin y}$ વડે ભાગતા: $e^{-\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = e^x + x^2$.
ધારો કે $u = \sin y$,તો $\frac{du}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ $e^{-u} \frac{du}{dx} = e^x + x^2$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int e^{-u} du = \int (e^x + x^2) dx$.
$-e^{-u} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$u = \sin y$ પાછું મૂકતા: $-e^{-\sin y} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$f(x) + e^{-\sin y} = C$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $e^x + \frac{x^3}{3} + e^{-\sin y} = C$.
આને $f(x) + e^{-\sin y} = C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = e^x + \frac{x^3}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
પરિણામ મળે છે: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + k$,જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + k} = e^k \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$.
ધારો કે $C = e^k$,તેથી: $|f(xy)| = Ce^{\frac{x^2}{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે અને $\vec{a}$ ને લંબ છે.
સદિશ $\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે. કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે,તેથી $\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ હોવો જોઈએ.
આમ,$\vec{d}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(-1 - 1) = -2\hat{j} - 2\hat{k} = -2(\hat{j} + \hat{k})$.
એકમ સદિશ $\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-2(\hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} + \hat{k})$.

(D) અદિશ ત્રિગુણનફળ (scalar triple product) ની વ્યાખ્યા મુજબ $[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ શોધો:
$\vec{\beta} \times \vec{\gamma} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
કારણ કે $\vec{\alpha}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $\vec{\alpha} \cdot \vec{v}$ નું મૂલ્ય ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\vec{\alpha}$ એ $\vec{v}$ ની દિશામાં હોય,અને તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $|\vec{v}|$ જેટલું થાય.
અહીં,$\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{6}$ છે.

(C) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$ એ $x$-અક્ષના સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{2}(2x+3y-z+4) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x+2y+2z-2 - 2x-3y+z-4 = 0$.
$-y + 3z - 6 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $y-3z+6=0$ થાય છે.

(D) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીએ:
$x - 2y + 4z = -4$ $(1)$
$x + y + z = 8$ $(2)$
$x - y + 2z = -1$ $(3)$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2 - (-1)) - (-2)(2 - 1) + 4(-1 - 1) = 3 + 2 - 8 = -3$
હવે,$D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} -4 & -2 & 4 \\ 8 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -4(3) + 2(17) + 4(-7) = -12 + 34 - 28 = -6$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & 8 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(17) + 4(1) + 4(-9) = 17 + 4 - 36 = -15$
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 1 & 1 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1(7) + 2(-9) - 4(-2) = 7 - 18 + 8 = -3$
યામો નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{D_1}{D} = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{D_2}{D} = \frac{-15}{-3} = 5$
$z = \frac{D_3}{D} = \frac{-3}{-3} = 1$
આમ,છેદબિંદુ $(2, 5, 1)$ છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ છે.
દરેક ઘટક $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે,તેથી કુલ $2^4 = 16$ શક્ય નિશ્ચાયકો છે.
જો $ad = bc$ હોય તો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય છે.
કિસ્સો $1$: $ad = 0$ અને $bc = 0$.
$ad=0$ માટે,$(a,d)$ ની જોડી $(0,0), (0,1), (1,0)$ હોઈ શકે છે,જે $3$ શક્યતાઓ છે.
તે જ રીતે,$bc=0$ માટે $3$ શક્યતાઓ છે.
$ad=bc=0$ માટે કુલ કિસ્સાઓ $3 \times 3 = 9$ છે.
કિસ્સો $2$: $ad = 1$ અને $bc = 1$.
આ ફક્ત ત્યારે જ થાય છે જો $a=1, d=1$ અને $b=1, c=1$ હોય,જે $1$ શક્યતા છે.
જ્યાં $\Delta = 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $9 + 1 = 10$ છે.
જ્યાં $\Delta \neq 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $16 - 10 = 6$ છે.
સંભાવના $= \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(B) પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $0 \leq P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ અને દરેક વ્યક્તિગત સંભાવના $0 \leq P(E) \leq 1$ હોવી જોઈએ.
$1$. $P(A) \geq 0 \Rightarrow x \geq -1/3$.
$2$. $P(B) \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$.
$3$. $P(C) \geq 0 \Rightarrow x \leq 1/2$.
$4$. $P(A) + P(B) + P(C) \leq 1 \Rightarrow \frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1$.
$12$ વડે ગુણતા: $4(3x+1) + 3(1-x) + 6(1-2x) \leq 12$.
$-3x + 13 \leq 12 \Rightarrow x \geq 1/3$.
બધી શરતોને જોડતા: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.