WBJEE 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $N!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(N!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{N}{p^k} \right]$.
અહીં,$N = 1000$ અને $p = 3$ છે.
$E_3(1000!) = \left[ \frac{1000}{3} \right] + \left[ \frac{1000}{9} \right] + \left[ \frac{1000}{27} \right] + \left[ \frac{1000}{81} \right] + \left[ \frac{1000}{243} \right] + \left[ \frac{1000}{729} \right]$.
દરેક પદની ગણતરી:
$333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498$.
તેથી,$n = 498$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x^2 \log _x 27) \cdot \log _9 x = x + 4$
ગુણધર્મ $\log _a b \cdot \log _b c = \log _a c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log _x 27 \cdot \log _9 x = \log _9 27$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 \cdot \log _9 27 = x + 4$ બને છે.
કારણ કે $\log _9 27 = \log _{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log _3 3 = \frac{3}{2}$,તેથી સમીકરણ $x^2 \cdot \frac{3}{2} = x + 4$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 = 2x + 8$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - 2x - 8 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3x^2 - 6x + 4x - 8 = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) + 4(x - 2) = 0$.
આથી $(3x + 4)(x - 2) = 0$,તેથી $x = 2$ અથવા $x = -\frac{4}{3}$.
લઘુગણકનો આધાર $x$ ધન હોવો જોઈએ અને $x \neq 1$,તેથી $x = -\frac{4}{3}$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = 2$.

(A) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સંમેય બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $a, b, c$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$D$ એ પૂર્ણ વર્ગ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$a, b, c$ એકી સંખ્યાઓ હોવાથી,$b^2$ એકી છે અને $4ac$ બેકી છે. તેથી,$D = b^2 - 4ac$ એકી પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $D = (2k + 1)^2$. તો $b^2 - 4ac = (2k + 1)^2$.
આથી $4ac = b^2 - (2k + 1)^2 = (b - 2k - 1)(b + 2k + 1)$.
$b = 2n + 1$ લેતા,$4ac = (2n - 2k)(2n + 2k + 2) = 4(n - k)(n + k + 1)$.
તેથી $ac = (n - k)(n + k + 1)$.
અહીં $(n - k)$ અને $(n + k + 1)$ નો તફાવત $2k + 1$ (એકી) છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $ac$ બેકી થાય.
પરંતુ $a$ અને $c$ એકી હોવાથી તેમનો ગુણાકાર એકી હોવો જોઈએ,જે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,$D$ પૂર્ણ વર્ગ ન હોઈ શકે અને સમીકરણને કોઈ સંમેય બીજ નથી.
આમ,સંમેય બીજની સંખ્યા $0$ છે.

(B) સમીકરણ $P(x) \cdot Q(x) = 0$ નો અર્થ છે કે કાં તો $P(x) = 0$ અથવા $Q(x) = 0$.
$P(x) = ax^2 + bx + c$ માટે વિવેચક $D_1 = b^2 - 4ac$ છે.
$Q(x) = -ax^2 + dx + c$ માટે વિવેચક $D_2 = d^2 - 4(-a)(c) = d^2 + 4ac$ છે.
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા,$D_1 + D_2 = b^2 + d^2$ મળે છે.
$b^2 + d^2 \geq 0$ હોવાથી,$D_1$ અથવા $D_2$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અઋણ હોવું જોઈએ.
આમ,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^2+bx+c$. અહીં $a > 0$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
આપેલ છે કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $\alpha < -2$ અને $\beta > 2$ શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી $x = -1$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ કારણ કે $-1$ એ બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ની વચ્ચે આવે છે (કારણ કે $\alpha < -2 < -1 < 2 < \beta$).
આમ,$f(-1) < 0$.
$x = -1$ ને દ્વિઘાત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ મળે છે.
તેથી,$a - b + c < 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ છે.
$x = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ એ બીજ હોવાથી,$a_0 (e^{i \theta})^n + a_1 (e^{i \theta})^{n-1} + \ldots + a_n = 0$ થાય.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i k \theta} = \cos k \theta + i \sin k \theta$.
કાલ્પનિક ભાગને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta = 0$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $O(0)$,$z_1$ અને $z_2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે જો $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણ $z^2+az+b=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $z_1+z_2 = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $z_1 z_2 = b$ છે.
ઉગમબિંદુ,$z_1$ અને $z_2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તેની શરત $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ છે.
બંને બાજુ $2z_1 z_2$ ઉમેરતા,આપણને $z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2 = 3z_1 z_2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(z_1+z_2)^2 = 3z_1 z_2$ થાય છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-a)^2 = 3b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 3b$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a \neq 0$.
$0$ એ ઉકેલ હોવાથી,$x = 0$ મૂકતા $a(0)^2 + b(0) + c = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
સહગુણકો $a, b, c$ એ $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ ગણમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
સમીકરણ દ્વિઘાત રહે તે માટે,$a$ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$. આ રીતે $a$ માટે $9$ શક્યતાઓ છે.
સહગુણક $b$ એ $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ માંથી કોઈપણ હોઈ શકે છે,તેથી $b$ માટે $10$ શક્યતાઓ છે.
સહગુણક $c$ એ $0$ તરીકે નિશ્ચિત છે,તેથી $c$ માટે માત્ર $1$ શક્યતા છે.
તેથી,આવા કુલ દ્વિઘાત સમીકરણોની સંખ્યા $N = 9 \times 10 \times 1 = 90$ છે.

(D) $n$ ભિન્ન સંખ્યાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
$1, 2, 3, \ldots, k$ અંકો એક બ્લોક તરીકે તે જ ક્રમમાં આવે તે માટે,આપણે આ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $(n - k)$ બાકી રહેલા અંકો અને એક બ્લોક છે,જે કુલ $(n - k + 1)$ એકમો બનાવે છે.
આ $(n - k + 1)$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $(n - k + 1)!$ છે.
તેથી,જરૂરી ઘટનાની સંભાવના $\frac{(n - k + 1)!}{n!}$ છે.

(D) ધારો કે દડાઓની સંખ્યા $n = 5$ છે અને બોક્સની સંખ્યા $k = 3$ છે.
દડાઓ અલગ-અલગ છે અને બોક્સ પણ અલગ-અલગ છે,તેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$5$ અલગ દડાઓને $3$ અલગ બોક્સમાં મૂકવાની કુલ રીતો $3^5 = 243$ છે.
કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે તેવી રીતોની સંખ્યા = $3^5 - \binom{3}{1} 2^5 + \binom{3}{2} 1^5 = 243 - 3(32) + 3(1) = 243 - 96 + 3 = 150$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1$ અને દ્વિતીય પદ $a_2$ છે. પદો ધન હોવાથી,$a_1 > 0$ અને $a_2 > 0$.
$A.P.$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1$. તેથી,$a_n = a_1 + (n - 1)(a_2 - a_1)$.
$G.P.$ માટે,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{a_2}{a_1}$. તેથી,$b_n = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{n-1}$.
$n = 3$ માટે,$a_3 = a_1 + 2(a_2 - a_1) = 2a_2 - a_1$.
$n = 3$ માટે,$b_3 = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 = \frac{a_2^2}{a_1}$.
$b_3 - a_3 = \frac{a_2^2}{a_1} - (2a_2 - a_1) = \frac{a_2^2 - 2a_1a_2 + a_1^2}{a_1} = \frac{(a_2 - a_1)^2}{a_1}$.
$a_1 > 0$ અને $(a_2 - a_1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$b_3 \ge a_3$. જો $a_1 \neq a_2$ હોય,તો $b_3 > a_3$. આમ,બધા $n > 2$ માટે $b_n > a_n$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a_r - a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ (જ્યાં $K$ અચળ છે).
પદોને ભાગતા,આપણને $\frac{a_r}{a_r a_{r+1}} - \frac{a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a_{r+1}} - \frac{1}{a_r} = K$ થાય છે.
ક્રમિક પદોના વ્યસ્તનો તફાવત અચળ હોવાથી,શ્રેણી $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ એ $A$.$P$. છે.
તેથી,શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ $H$.$P$. માં છે.

(C) $(bc + ca + ab)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ: $\frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} (bc)^{n_1} (ca)^{n_2} (ab)^{n_3} = \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} a^{n_2+n_3} b^{n_1+n_3} c^{n_1+n_2}$,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 10$.
આપણને $a^{10} b^7 c^3$ નો સહગુણક જોઈએ છે. ઘાતની સરખામણી કરતા:
$n_2 + n_3 = 10$
$n_1 + n_3 = 7$
$n_1 + n_2 = 3$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(n_1 + n_2 + n_3) = 20$,જે $n_1 + n_2 + n_3 = 10$ સાથે સુસંગત છે.
$n_1, n_2, n_3$ માટે ઉકેલતા:
$n_1 + n_2 + n_3 = 10$ અને $n_2 + n_3 = 10$ પરથી,આપણને $n_1 = 0$ મળે છે.
$n_1 = 0$ ને $n_1 + n_2 = 3$ માં મૂકતા,આપણને $n_2 = 3$ મળે છે.
$n_2 = 3$ ને $n_2 + n_3 = 10$ માં મૂકતા,આપણને $n_3 = 7$ મળે છે.
સહગુણક $\frac{10!}{0! 3! 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(1+x+x^2+x^3)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{15} x^{15}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x+x^2+x^3) = (1+x)(1+x^2)$.
તેથી,$f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
સરવાળો $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k} = a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10} + a_{12} - a_{14}$ મેળવવા માટે,$x = i$ મૂકતા:
$f(i) = (1+i+i^2+i^3)^5 = (1+i-1-i)^5 = 0^5 = 0$.
$f(i) = a_0 + a_1 i - a_2 - a_3 i + a_4 + a_5 i - a_6 - a_7 i + a_8 + \dots$.
વાસ્તવિક ભાગને $0$ સાથે સરખાવતા:
$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10} + a_{12} - a_{14} = 0$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=0}^n (2n+1-2r) ^nC_r$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = (2n+1) \sum_{r=0}^n {^nC_r} - 2 \sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r}$..
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = (2n+1) \cdot 2^n - 2 \cdot (n \cdot 2^{n-1}) = (2n+1) \cdot 2^n - n \cdot 2^n = (2n+1-n) \cdot 2^n = (n+1) \cdot 2^n$.
વળી,જો $f(x) = x^{n+1}$ હોય,તો $f'(x) = (n+1)x^n$,તેથી $f'(2) = (n+1)2^n$.
આમ,વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે $E = \cos^2 \phi + \cos^2(\theta + \phi) - 2 \cos \theta \cos \phi \cos(\theta + \phi)$.
નિત્યસમ $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 2\phi}{2} + \frac{1 + \cos 2(\theta + \phi)}{2} - \cos \theta [\cos(2\phi + \theta) + \cos \theta]$
$E = 1 + \frac{1}{2} [\cos 2\phi + \cos(2\phi + 2\theta)] - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \cos(2\phi + \theta) \cos \theta - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$E = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
પરિણામ $\sin^2 \theta$ હોવાથી,આ પદાવલિ $\phi$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ એ સામાન્ય તફાવત $\theta$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\alpha_{i+1} - \alpha_i = \theta$.
શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_i = \sec \alpha_i \sec \alpha_{i+1} = \frac{1}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}}$ છે.
આપણે લખી શકીએ કે $T_i = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin(\alpha_{i+1} - \alpha_i)}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}} = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{n-1} T_i = \operatorname{cosec} \theta \sum_{i=1}^{n-1} (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $S = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$.
$k(\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \operatorname{cosec} \theta$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan 2 \theta + \tan 3 \theta = 0$.
કારણ કે $3 \theta = \theta + 2 \theta$,તેથી $\tan 3 \theta = \tan (\theta + 2 \theta) = \frac{\tan \theta + \tan 2 \theta}{1 - \tan \theta \cdot \tan 2 \theta}$.
$\tan \theta + \tan 2 \theta = -\tan 3 \theta$ અને $\tan \theta \cdot \tan 2 \theta = k$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 3 \theta = \frac{-\tan 3 \theta}{1 - k}$.
$\tan 3 \theta \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $\tan 3 \theta$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{-1}{1 - k}$.
$1 - k = -1$.
$k = 2$.

(A) આપેલ છે: $\sin A = \sin^2 B$ અને $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$.
$A$ અને $B$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin A, \sin B, \cos A, \cos B > 0$.
બીજા સમીકરણમાં $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ અને $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$ મૂકતા:
$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$.
$\sin^2 B = \sin A$ મૂકતા:
$2 - 2 \sin^2 A = 3(1 - \sin A) = 3 - 3 \sin A$.
$2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$.
$(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$.
તેથી,$\sin A = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin A = 1$.
$A$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin A = 1$ નો અર્થ $A = \frac{\pi}{2}$ થાય,જે લઘુકોણ નથી.
તેથી,$\sin A = \frac{1}{2}$,જે $A = \frac{\pi}{6}$ આપે છે.
પછી $\sin^2 B = \sin A = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ($B$ લઘુકોણ હોવાથી).
તેથી,$B = \frac{\pi}{4}$.
ઉકેલ $(A, B) = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ છે.

(D) ધારો કે $G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્ર એ મધ્યગાઓનું છેદબિંદુ છે. મધ્યગાઓના સમીકરણો $x+y=5$ અને $x=4$ આપેલ છે. $x=4$ ને $x+y=5$ માં મૂકતા,$4+y=5$,તેથી $y=1$. આમ,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(4, 1)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2)$ અને $D = (\alpha, \beta)$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગા $AD$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G = \left(\frac{2\alpha + 1}{3}, \frac{2\beta + 2}{3}\right) = (4, 1)$.
યામોને સરખાવતા:
$\frac{2\alpha + 1}{3} = 4 \implies 2\alpha + 1 = 12 \implies 2\alpha = 11 \implies \alpha = \frac{11}{2}$.
$\frac{2\beta + 2}{3} = 1 \implies 2\beta + 2 = 3 \implies 2\beta = 1 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$BC$ નું મધ્યબિંદુ $D$ એ $\left(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી $AB = AC$,એટલે કે $AB^2 = AC^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 7)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 14y + 49$.
$8y - 6x = 43$ મળે છે.

(A, C) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$C(-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ અને $B(a(\cos \alpha - \sin \alpha), a(\sin \alpha + \cos \alpha))$ છે.
પ્રથમ વિકર્ણ $O(0,0)$ અને $B$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$ છે.
સમીકરણ: $y(\cos \alpha - \sin \alpha) = x(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
બીજો વિકર્ણ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ છે.
સમીકરણ: $y(\cos \alpha + \sin \alpha) + x(\cos \alpha - \sin \alpha) = a$.

(B) ધારો કે રેખા $A(1, 5)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{y-5}{x-1} = m$ છે.
ધારો કે રેખા $5x - y - 4 = 0$ ને $P_1(x_1, y_1)$ પર અને $3x + 4y - 4 = 0$ ને $P_2(x_2, y_2)$ પર છેદે છે.
$(1, 5)$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P_1 = (1+r\cos\theta, 5+r\sin\theta)$ અને $P_2 = (1-r\cos\theta, 5-r\sin\theta)$ થાય.
$P_1$ ને $5x - y - 4 = 0$ માં મૂકતા: $5(1+r\cos\theta) - (5+r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta}$.
$P_2$ ને $3x + 4y - 4 = 0$ માં મૂકતા: $3(1-r\cos\theta) + 4(5-r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$r$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta} = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$12\cos\theta + 16\sin\theta = 95\cos\theta - 19\sin\theta$ $\Rightarrow 35\sin\theta = 83\cos\theta$ $\Rightarrow \tan\theta = \frac{83}{35}$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \Rightarrow 83x - 35y + 92 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે છેદબિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. જીવાઓ કાટખૂણે છેદતી હોવાથી,આપણે $AB$ ને $x$-અક્ષ પર અને $CD$ ને $y$-અક્ષ પર લઈ શકીએ.
આપેલ છે કે $AP = 2$,$PB = 6$,$CP = 3$,અને $PD = 4$,તેથી અંત્યબિંદુઓના યામ $A(-2, 0)$,$B(6, 0)$,$C(0, 3)$,અને $D(0, -4)$ થશે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે.
$AB$ નો લંબદ્વિભાજક $x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$ છે.
$CD$ નો લંબદ્વિભાજક $y = \frac{3 - 4}{2} = -0.5$ છે.
આમ,કેન્દ્ર $O(2, -0.5)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $O(2, -0.5)$ થી $A(-2, 0)$ સુધીનું અંતર છે:
$r^2 = (2 - (-2))^2 + (-0.5 - 0)^2 = 4^2 + (-0.5)^2 = 16 + 0.25 = 16.25 = \frac{65}{4}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ એકમ.

(B) ધારો કે વર્તુળોનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ છે.
આ વર્તુળો $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,$a^2+2fa+d=0 \quad \ldots(2)$ અને $a^2-2fa+d=0 \quad \ldots(3)$ મળે.
$(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા,$f=0$ અને $d=-a^2$ મળે છે.
આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા,$x^2+y^2+2gx-a^2=0 \quad \ldots(4)$ મળે.
રેખા $y=mx+c$ આ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, 0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+a^2}$ જેટલું થાય.
તેથી,$\frac{|-mg+c|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{g^2+a^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(c-mg)^2 = (1+m^2)(g^2+a^2)$.
વિસ્તરણ કરતા,$g^2 + 2mcg + a^2(1+m^2) - c^2 = 0$.
ધારો કે $g_1$ અને $g_2$ આ સમીકરણના બીજ છે.
તેથી બીજનો ગુણાકાર $g_1g_2 = a^2(1+m^2)-c^2 \quad \ldots(5)$ થાય.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x-a^2=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x-a^2=0$ છે.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદવા માટે,$2g_1g_2 = -2a^2$,એટલે કે $g_1g_2 = -a^2 \quad \ldots(6)$.
$(5)$ અને $(6)$ પરથી,$-a^2 = a^2(1+m^2) - c^2$.
તેથી,$c^2 = a^2(2+m^2)$.

(A) $\triangle OAB$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે અને $O$ શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે,તેથી પરવલયની ધરી ($x$-અક્ષ) $\angle AOB$ ને દુભાગે છે.
આમ,$OA$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખા $OA$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે.
$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ને પરવલય $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4ax \Rightarrow \frac{x^2}{3} = 4ax$.
બિંદુ $A$ માટે $x \neq 0$ હોવાથી,$x = 12a$.
તેથી $y = \frac{12a}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}a$.
બિંદુ $A$ એ $(12a, 4\sqrt{3}a)$ છે.
$AB$ એ $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી,લંબાઈ $AB = 2y_A = 2(4\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.
$\triangle OAB$ સમબાજુ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $8\sqrt{3}a$ છે.

(C) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો છે. રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(0, m)$ અને $B(n, 0)$ છે.
રેખાખંડની લંબાઈ $AB = \sqrt{m^2 + n^2} = a + b$ છે,તેથી $m^2 + n^2 = (a + b)^2$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $a$ અને $b$ લંબાઈના ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,$P$ એ $AB$ ને $b : a$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે (કારણ કે $AP = a$ અને $PB = b$).
તેથી,$h = \frac{b(0) + a(n)}{a + b} = \frac{an}{a + b} \Rightarrow n = \frac{(a + b)h}{a}$.
અને $k = \frac{b(m) + a(0)}{a + b} = \frac{bm}{a + b} \Rightarrow m = \frac{(a + b)k}{b}$.
આ કિંમતોને $m^2 + n^2 = (a + b)^2$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{(a + b)k}{b}\right)^2 + \left(\frac{(a + b)h}{a}\right)^2 = (a + b)^2$.
$(a + b)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{k^2}{b^2} + \frac{h^2}{a^2} = 1$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય છે.

(B) ધારો કે નાભિ $F(0, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = 4$ છે. ધારો કે લઘુ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(h, k)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,નાભિથી બિંદુ $B$ નું અંતર એ $B$ થી નિયામિકાના અંતરના $e$ ગણું છે.
$BF = e \cdot BM$
$BF = \sqrt{h^2 + k^2}$ અને $BM = |4 - h|$.
તેથી,$\sqrt{h^2 + k^2} = e(4 - h)$.
ઉપવલય માટે,કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae$ છે અને કેન્દ્રથી નિયામિકાનું અંતર $a/e$ છે. નાભિ $(0,0)$ પર છે અને નિયામિકા $x=4$ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર $a/e - ae = 4$ છે.
લઘુ અક્ષના અંત્યબિંદુ માટે,કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae$ છે,તેથી $h = -ae$ અને $k = b$.
$a/e - ae = 4$ પરથી,આપણને $a(1 - e^2) = 4e$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $b^2/a = 4e$,તેથી $b^2 = 4ae$.
$h = -ae$ અને $k = b$ મૂકતા,આપણને $k^2 = 4(-h) = -4h$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = -4x$ મળે છે,જે એક પરવલય છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે.
સમાંતર જીવાઓનો ઢાળ $m = 2$ છે.
અતિવલયના વ્યાસનું સમીકરણ $y = \frac{b^2}{a^2 m} x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{9}{4 \times 2} x = \frac{9}{8} x$.
તેથી,$8y = 9x$ અથવા $9x - 8y = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ લખી શકાય.
આપણે લક્ષ $L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{1 - \cos(a(x - \alpha)(x - \beta))}{(x - \beta)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \beta)^2}$.
$(\frac{a(x - \alpha)}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \beta} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \times \frac{a^2(x - \alpha)^2}{4}$.
જેમ $x \rightarrow \beta$,તેમ કૌંસમાં રહેલું પદ $1$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,$L = 2 \times 1^2 \times \frac{a^2(\beta - \alpha)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{2}$.

(D) ગણ $A$ માં $8$ થી નાની બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,તેથી $A = \{2, 4, 6\}$.
$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
ગણ $B$ માં $7$ થી નાની અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તેથી $B = \{2, 3, 5\}$.
$B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 3$ છે.
$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A) \times n(B)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2^{3 \times 3} = 2^9$ મળે છે.

(B) વિધેય $f(x)$ ને આવર્ત વિધેય કહેવાય જો કોઈ ધન અચળાંક $T$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(x+T) = f(x)$ થાય.
$f(x) = x + \sin 2x$ માટે:
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$,કારણ કે $x$ એ સતત વધતું વિધેય છે અને $\sin 2x$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે સીમિત છે. તેથી,કોઈપણ $T > 0$ માટે $f(x+T) = x + T + \sin(2(x+T)) = x + \sin 2x$ શક્ય નથી. તેથી,$x + \sin 2x$ એ આવર્ત વિધેય નથી.
$g(x) = \cos (\sqrt{x}+1)$ માટે:
જેમ $x$ વધે છે,તેમ દલીલ $\sqrt{x}+1$ વધે છે,પરંતુ દલીલના બદલાવનો દર ઘટે છે. વિધેય આવર્ત હોવા માટે,કિંમતો નિયમિત અંતરાલે પુનરાવર્તિત થવી જોઈએ. $\cos (\sqrt{x}+1)$ ના ક્રમિક શૂન્યો વચ્ચેનું અંતર અચળ ન હોવાથી,તે આવર્ત વિધેય નથી.
આમ,વિધાન $B$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $r \cos \theta = 2a \sin^2 \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$,અને $r^2 = x^2 + y^2$.
આપેલ સમીકરણને $r^2$ વડે ગુણતા:
$r^3 \cos \theta = 2a (r \sin \theta)^2$.
$r^2 (r \cos \theta) = 2a (r \sin \theta)^2$
$(x^2 + y^2)x = 2a y^2$
$x^3 + xy^2 = 2a y^2$
$x^3 = 2a y^2 - xy^2$
$x^3 = y^2(2a - x)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 2^x + 5^x - 3^x - 4^x = 0$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x=0$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $2^0 + 5^0 = 1 + 1 = 2$ અને $3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$.
તે જ રીતે,$x=1$ પણ ઉકેલ છે કારણ કે $2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7$ અને $3^1 + 4^1 = 3 + 4 = 7$.
અન્ય ઉકેલો તપાસવા માટે,$g(x) = 5^x - 4^x$ અને $h(x) = 3^x - 2^x$ લો. સમીકરણ $g(x) = h(x)$ છે.
મીન વેલ્યુ થિયરમનો ઉપયોગ કરીને અથવા વિકલનનું વિશ્લેષણ કરીને,તે સાબિત કરી શકાય છે કે ત્યાં બરાબર બે વાસ્તવિક ઉકેલો છે,$x=0$ અને $x=1$.
જેથી $x=0$ એ શૂન્ય ઉકેલ હોવાથી,માત્ર એક શૂન્યતર વાસ્તવિક ઉકેલ $x=1$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ મળે છે.
જ્યાં વક્ર $y$-અક્ષને છેદે છે ત્યાં $x = 0$,તેથી $y = b e^0 = b$.
$(0, b)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = -\frac{b}{a}$ છે.
$(0, b)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ થાય છે.
આ રેખા $L$ નું સમીકરણ છે,તેથી $L$ એ $\Gamma$ ને $(0, b)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
કારણ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $e^{-x/a} > 0$,તેથી $y = b e^{-x/a}$ ક્યારેય $0$ થતું નથી. આમ,$\Gamma$ ક્યારેય $x$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $A$ અને $D$ બંને ગાણિતિક રીતે સાચા છે.

(A) સમીકરણ $|\vec{r}-\vec{a}| - |\vec{r}-\vec{b}| = c$ એ અતિવલયની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે જ્યાં $A$ અને $B$ એ નાભિઓ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = |\vec{a}-\vec{b}|$ છે.
શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ) $2a = c$ છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\text{નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર}}{\text{શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર}} = \frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{c}$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$.
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} [t^2]_4^{f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{[f(x)]^2 - 16}{x-1}$.
કારણ કે $f(1) = 4$,આ પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} ([f(x)]^2 - 16)}{\frac{d}{dx} (x-1)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 f(x) f^{\prime}(x)}{1}$.
$f(1) = 4$ અને $f^{\prime}(1) = 2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$L = 2 \times f(1) \times f^{\prime}(1) = 2 \times 4 \times 2 = 16$.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{r=1}^{n} (2r)^k$ છે.
આપણે તેને $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{2r}{n}\right)^k$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
રીમાન સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = (2x)^k$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{1} (2x)^k dx = 2^k \int_{0}^{1} x^k dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$L = 2^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{0}^{1} = 2^k \left( \frac{1}{k+1} - 0 \right) = \frac{2^k}{k+1}$.

(C) સંબંધ $a^2-4ab+3b^2=0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $a \ p \ a$ છે કે નહીં. $b=a$ મૂકતા,આપણને $a^2-4a(a)+3a^2 = a^2-4a^2+3a^2 = 0$ મળે છે. $0=0$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ચકાસો કે $a \ p \ b \implies b \ p \ a$. જો $a^2-4ab+3b^2=0$,તો $(a-b)(a-3b)=0$,તેથી $a=b$ અથવા $a=3b$. જો $a=3b$ હોય,તો $b=a/3$. સંમિતતા માટે,આપણને $b^2-4ba+3a^2=0$ ની જરૂર છે. $a=3b$ મૂકતા,આપણને $b^2-4b(3b)+3(3b)^2 = b^2-12b^2+27b^2 = 16b^2 \neq 0$ મળે છે (સિવાય કે $b=0$). આમ,તે સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ચકાસો કે $a \ p \ b$ અને $b \ p \ c \implies a \ p \ c$. જો $a=3b$ અને $b=3c$ હોય,તો $a=9c$. $a \ p \ c$ માટે,આપણને $a^2-4ac+3c^2=0$ ની જરૂર છે. $a=9c$ મૂકતા,આપણને $(9c)^2-4(9c)c+3c^2 = 81c^2-36c^2+3c^2 = 48c^2 \neq 0$ મળે છે. આમ,તે પરંપરિત નથી.
તેથી,સંબંધ માત્ર સ્વવાચક છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$x p x$ એટલે કે $x-x+\sqrt{2} = \sqrt{2}$. કારણ કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $x p x$ બધા $x$ માટે સત્ય છે. આમ,$p$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $x p y$ હોય,તો $x-y+\sqrt{2}$ અસંમેય છે. સંમિતતા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $y p x$ સાચું છે,એટલે કે $y-x+\sqrt{2}$ અસંમેય છે. ધારો કે $x=\sqrt{2}$ અને $y=0$. તો $x-y+\sqrt{2} = \sqrt{2}-0+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (અસંમેય). પરંતુ $y-x+\sqrt{2} = 0-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 0$ (સંમેય). તેથી,સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $x p y$ અને $y p z$ હોય,તો $x-y+\sqrt{2} = i_1$ અને $y-z+\sqrt{2} = i_2$,જ્યાં $i_1, i_2$ અસંમેય છે. આનો સરવાળો કરતા,$x-z+2\sqrt{2} = i_1+i_2$. આનાથી એ સાબિત થતું નથી કે $x-z+\sqrt{2}$ અસંમેય છે. તેથી,સંબંધ પરંપરિત નથી. આમ,આપેલ સંબંધ માત્ર સ્વવાચક છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$.
$n = 100$ માટે,$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos 100 \theta & -\sin 100 \theta \\ \sin 100 \theta & \cos 100 \theta \end{bmatrix}$.
અહીં $\theta = \frac{2 \pi}{7}$ હોવાથી,$100 \theta = \frac{200 \pi}{7}$.
આપણે લખી શકીએ કે $\frac{200 \pi}{7} = \frac{196 \pi + 4 \pi}{7} = 28 \pi + \frac{4 \pi}{7}$.
$\cos(28 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(28 \pi + \alpha) = \sin \alpha$ હોવાથી,$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos \frac{4 \pi}{7} & -\sin \frac{4 \pi}{7} \\ \sin \frac{4 \pi}{7} & \cos \frac{4 \pi}{7} \end{bmatrix} = A^2$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે $A$ સંમિત છે કે વિસંમિત. પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = A$. કારણ કે $A^T = A$,તેથી $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
હવે,આપણે $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ ની ગણતરી કરીએ.
આમ,$A^2 = I$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \\ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \\ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix}$ છે.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $x^k, y^k, z^k$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (xyz)^k \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$ નું મૂલ્ય $(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$ છે.
તેથી,$\Delta = (xyz)^k (x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$.
આપણે $(xy+yz+zx) = xyz \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\Delta = (xyz)^k (xyz) (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = (xyz)^{k+1} (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$.
આને આપેલ પદાવલિ $(x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $(xyz)^{k+1} = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k+1 = 0$,તેથી $k = -1$.

(A) ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$. આપેલ સમીકરણ $P \cdot A \cdot Q = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
ડાબી બાજુ $P^{-1}$ અને જમણી બાજુ $Q^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A = P^{-1} \cdot I \cdot Q^{-1} = P^{-1} \cdot Q^{-1}$ મળે છે.
પ્રથમ,$P^{-1}$ શોધો: $\det(P) = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$. તેથી,$P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.
આગળ,$Q^{-1}$ શોધો: $\det(Q) = (-3)(-3) - (2)(5) = 9 - 10 = -1$. તેથી,$Q^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A = P^{-1} \cdot Q^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(3) + (-1)(5) & (2)(2) + (-1)(3) \\ (-3)(3) + (2)(5) & (-3)(2) + (2)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-5 & 4-3 \\ -9+10 & -6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) અહીં આપણને શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ આપેલ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix}$.
આપણે દરેક વિકલ્પ માટે શ્રેણિક ગુણાકાર $AX$ કરીને ચકાસણી કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$AX = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(4) + (-1)(2) + (0)(1) \\ (0)(4) + (1)(2) + (-1)(1) \\ (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 2 + 0 \\ 0 + 2 - 1 \\ 4 + 2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix} = B$.
આમ,સાચો શ્રેણિક $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે. સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 - x C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a_1(1-x^2) & a_1 x+b_1 & c_1 \\ a_2(1-x^2) & a_2 x+b_2 & c_2 \\ a_3(1-x^2) & a_3 x+b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $(1-x^2)$ સામાન્ય લેતા:
$(1-x^2) \begin{vmatrix} a_1 & a_1 x+b_1 & c_1 \\ a_2 & a_2 x+b_2 & c_2 \\ a_3 & a_3 x+b_2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
આમ,$(1-x^2) \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ મળે છે.
આથી,કાં તો $x^2 = 1$ અથવા $a_i, b_i, c_i$ દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી શરત $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \cos x(x^3 - 2x^2) - x(2 \sin x - 2x \tan x) + 1(2x \sin x - x^3 \tan x)$.
$f(x) = (x^3 - 2x^2) \cos x - 2x \sin x + 2x^2 \tan x + 2x \sin x - x^3 \tan x$.
$f(x) = (x^3 - 2x^2) \cos x + 2x^2 \tan x - x^3 \tan x$.
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x^3 - 2x^2) \cos x + 2x^2 \tan x - x^3 \tan x}{x^2}$ શોધવાનું છે.
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( (x - 2) \cos x + 2 \tan x - x \tan x \right)$.
$x = 0$ મૂકતા:
$= (0 - 2) \cos(0) + 2 \tan(0) - 0 \cdot \tan(0) = -2(1) + 0 - 0 = -2$.

(C) ધારો કે $u = \log_e x$. તો પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$y = \tan^{-1}\left[\frac{\log_e e - \log_e x^2}{\log_e e + \log_e x^2}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-6u}\right]$
$y = \tan^{-1}\left[\frac{1-2u}{1+2u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-3(2u)}\right]$
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ અને $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1}(2u)) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1}(2u))$
$y = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 3$
અહીં $y$ અચળ હોવાથી,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
તેથી,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ થાય.

(C) આપેલ છે $f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2!}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = -\sin x + x$ મળે છે.
$x > 0$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $x > \sin x$,જેનો અર્થ છે કે $x - \sin x > 0$. આમ,$x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
$x < 0$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $x < \sin x$,જેનો અર્થ છે કે $x - \sin x < 0$. આમ,$x < 0$ માટે $f'(x) < 0$ છે.
કારણ કે વિકલિત $f'(x)$ એ $x = 0$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ સમગ્ર પ્રદેશ $R$ પર ન તો વધતું કે ન તો ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ છે.
કિસ્સો $I$: જો $x \geq 0$,તો $|x| = x$. તેથી,$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \tanh(x)$. જેમ $x$,$0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $f(x)$,$0$ થી $1$ સુધી વધે છે.
કિસ્સો $II$: જો $x < 0$,તો $|x| = -x$. તેથી,$f(x) = \frac{e^{-x} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{0}{e^x + e^{-x}} = 0$.
કારણ કે $x < 0$ માટે $f(x) = 0$ અને $f(0) = 0$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી કારણ કે $f(-1) = f(0) = 0$ થાય છે.
વિધેયનો વિસ્તાર $[0, 1)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) પગલું $1$: એક-એક વિધેય માટે ચકાસો।
$f(x) = e^x + e^{-x}$।
અહીં $f(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^x = f(x)$ હોવાથી, આ એક યુગ્મ વિધેય છે।
યુગ્મ વિધેય માટે $f(x_1) = f(x_2)$ નો અર્થ એ નથી કે $x_1 = x_2$ (દા.ત., $f(1) = f(-1)$)।
તેથી, વિધેય એક-એક નથી।
પગલું $2$: વ્યાપ્ત વિધેય માટે ચકાસો।
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in R$ માટે $e^x > 0$।
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા મુજબ, $\frac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1$, જેનો અર્થ છે કે $e^x + e^{-x} \geq 2$।
આમ, $f(x)$ નો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે।
અહીં સહપ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે, તેથી વિસ્તાર $\neq$ સહપ્રદેશ।
તેથી, વિધેય વ્યાપ્ત નથી।
નિષ્કર્ષ: વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, તેથી તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) નથી।

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{x+1}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$f_1(x) = \frac{x}{x+1}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{x}{2x+1}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{x}{3x+1}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$f_n(x) = \frac{x}{nx+1}$.
$x = -2$ માટે મૂલ્ય શોધતા:
$f_n(-2) = \frac{-2}{n(-2)+1} = \frac{2}{2n-1}$.
ગુણાકાર $P = f_1(-2) \cdot f_2(-2) \cdot \ldots \cdot f_n(-2) = \prod_{k=1}^{n} \frac{2}{2k-1} = \frac{2^n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}$.

(A) ધારો કે $g(x) = x \log_e x + x - 2$.
આપણે સમીકરણ $g(x) = 0$ ના બીજ શોધી રહ્યા છીએ.
અંતરાલ $(1, 2)$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $g(x)$ ની કિંમત મેળવો:
$g(1) = 1 \cdot \log_e(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$g(2) = 2 \cdot \log_e(2) + 2 - 2 = 2 \log_e(2) \approx 2(0.693) = 1.386$.
અહીં $g(1) = -1 < 0$ અને $g(2) = 2 \log_e(2) > 0$ છે,અને $g(x)$ એ અંતરાલ $[1, 2]$ પર સતત વિધેય હોવાથી,'Intermediate Value Theorem' મુજબ,$(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક એવું બીજ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(c) = 0$ થાય.

(C) કણનો વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = a \cos (\sqrt{\lambda} t + b) \cdot \sqrt{\lambda}$.
કણ સ્થિર થાય તે માટે વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$v = 0 \Rightarrow a \sqrt{\lambda} \cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$.
અહીં $a \neq 0$ અને $\lambda > 0$ હોવાથી,$\cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$ થાય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખૂણો $\pm \frac{\pi}{2}$ હોય.
ધારો કે બે બિંદુઓ $x_1$ અને $x_2$ છે:
$x_1 = a \sin (\frac{\pi}{2}) = a(1) = a$.
$x_2 = a \sin (-\frac{\pi}{2}) = a(-1) = -a$.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $|x_1 - x_2| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$ થાય.

(B, C) આપેલ પ્રવેગ $f = \frac{dv}{dt} = 6 - \sqrt{1.2t}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v = 0$ છે.
જ્યારે પ્રવેગ $f = 0$ હોય ત્યારે વેગ મહત્તમ હોય છે.
$f = 0$ લેતા,$6 - \sqrt{1.2t} = 0 \Rightarrow \sqrt{1.2t} = 6 \Rightarrow 1.2t = 36 \Rightarrow t = \frac{36}{1.2} = 30 \text{ sec}$.
આમ,સમય $T = 30 \text{ sec}$ છે.
મહત્તમ વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 30$ સુધી પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$v = \int_{0}^{30} (6 - \sqrt{1.2} \cdot t^{1/2}) dt$
$v = [6t - \sqrt{1.2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}]_{0}^{30}$
$v = 6(30) - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot (30)^{3/2}$
$v = 180 - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot 30 \sqrt{30} = 180 - 20 \sqrt{36} = 180 - 20(6) = 180 - 120 = 60 \text{ ft/sec}$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $v = 60 \text{ ft/sec}$ અને સમય $T = 30 \text{ sec}$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ વક્ર $y=f(x)$ પરનું બિંદુ છે અને $C(a, b)$ એ વક્ર પર ન હોય તેવું નિશ્ચિત બિંદુ છે.
$P$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $d^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોય,તો $d^2$ પણ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $d^2$ નું વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d}{dx}(d^2) = 2(x-a) + 2(y-b)\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(x-a) + (y-b)\frac{dy}{dx} = 0$,જેને $\frac{y-b}{x-a} = -\frac{1}{dy/dx}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં,$\frac{y-b}{x-a}$ એ રેખાખંડ $PC$ નો ઢાળ છે અને $\frac{dy}{dx}$ એ $P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાખંડ $PC$ એ $P$ આગળના સ્પર્શકને લંબ છે.

(C) વિધેય $f(x) = |x^2 - 1|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપણે તેના આલેખને જોઈને અથવા તેના નિર્ણાયક બિંદુઓની તપાસ કરીને વિધેયના વર્તનની વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
$1$. વિધેય $f(x) = |x^2 - 1|$ એ તમામ $x \in R$ માટે અ-ઋણ છે.
$2$. $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ,$f(x) = |1^2 - 1| = 0$ થાય છે. તમામ $x$ માટે $f(x) \ge 0$ હોવાથી,બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે જ્યાં ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
$3$. $x = 0$ આગળ,$f(0) = |0^2 - 1| = |-1| = 1$ થાય છે. $0$ ની આસપાસના નાના અંતરાલમાં (દા.ત.,$x \in (-1, 1)$),$f(x) = |x^2 - 1| = 1 - x^2$ થાય છે. આ અંતરાલમાં $x \neq 0$ માટે $1 - x^2 < 1$ હોવાથી,$x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
આમ,$f$ ને $x = \pm 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.

(B) વિધેય $f(x) = x(x - 1)(x - 2) \dots (x - 100)$ છે.
આ $101$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
વિધેયના શૂન્યો $x = 0, 1, 2, \dots, 100$ છે.
અગ્ર સહગુણક ધન હોવાથી અને ઘાત એકી હોવાથી,આલેખ $-\infty$ થી શરૂ થઈને $+\infty$ તરફ જાય છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક શૂન્યો $x = k$ અને $x = k+1$ ની વચ્ચે,રોલના પ્રમેય મુજબ ઓછામાં ઓછું એક સ્થાનિક અંતિમબિંદુ (extremum) હોવું જોઈએ.
અહીં $(k, k+1)$ સ્વરૂપના $100$ અંતરાલો છે,જ્યાં $k = 0, 1, \dots, 99$.
દરેક અંતરાલમાં બરાબર એક સ્થાનિક અંતિમબિંદુ છે.
વિધેય $(0, 1)$ માં ધન,$(1, 2)$ માં ઋણ,$(2, 3)$ માં ધન છે,તેથી સ્થાનિક અંતિમબિંદુઓ સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ વચ્ચે બદલાય છે.
અંતરાલો $(0, 1), (1, 2), (2, 3), \dots, (99, 100)$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો $(0, 1), (2, 3), \dots, (98, 99)$ અંતરાલોમાં મળે છે.
આવા અંતરાલોની સંખ્યા $50$ છે (એટલે કે $k = 0, 2, \dots, 98$).
આમ,$50$ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો છે.

(A) ધારો કે $t = \log _e(x+\sqrt{1+x^2})$.
તેથી,$dt = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}) dx = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} dx = \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{(\log _e(x+\sqrt{1+x^2}))^2}{2} + c$.
આને $f(g(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{x^2}{2}$ અને $g(x) = \log _e(x+\sqrt{1+x^2})$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$
કારણ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$,તેથી $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ થાય.
વળી,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$.
$(2n+1)$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,$\cos((2n+1)\pi - \theta) = -\cos \theta$ થાય.
તેથી,$\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$
$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

(D) વિધેય $f(x) = \sin x$ ને ધ્યાનમાં લો. અંતરાલ $[0, \pi/2]$ પર,જોર્ડનની અસમતા મુજબ આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$.
$R > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $-R \sin x \leq -R \frac{2x}{\pi}$ છે.
તેથી,$e^{-R \sin x} \leq e^{-2Rx/\pi}$.
બંને બાજુ $0$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા $\int_0^{\pi/2} e^{-R \sin x} dx \leq \int_0^{\pi/2} e^{-2Rx/\pi} dx = \frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ મળે છે.
જોકે,સંકલન $I(R)$ એ $0$ થી $R$ સુધી વ્યાખ્યાયિત છે. મોટા $R$ માટે,સંકલનનું વર્તન $x=0$ ની નજીકના વિસ્તાર દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે જ્યાં $\sin x \approx x$.
વૃદ્ધિ દરો અને સંકલનની સીમાઓની સરખામણી કરતા,એવું જોવા મળે છે કે સામાન્ય $R > 0$ માટે,$I(R)$ અને પદ $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ ના મૂલ્યો તમામ $R$ માટે સુસંગત અસમતા જાળવતા નથી,જે તેમને સીધી રીતે સરખામણી કરવા યોગ્ય બનાવતા નથી.

(C) પ્રથમ,નોંધો કે $f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{e^{-a}}{1+e^{-a}} = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{1}{e^a+1} = \frac{e^a+1}{e^a+1} = 1$.
ધારો કે $t = f(-a)$,તો $f(a) = 1-t$.
હવે,$l_1 = \int_{t}^{1-t} x g(x(1-x)) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A+B-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$l_1 = \int_{t}^{1-t} (t + (1-t) - x) g((t + (1-t) - x)(1 - (t + (1-t) - x))) dx$
$l_1 = \int_{t}^{1-t} (1-x) g((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{t}^{1-t} (1-x) g(x(1-x)) dx$.
$l_1$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2l_1 = \int_{t}^{1-t} (x + 1 - x) g(x(1-x)) dx = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$.
કારણ કે $l_2 = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$,તેથી $2l_1 = l_2$ મળે છે.
આમ,$\frac{l_2}{l_1} = 2$.

(C) આપેલ અસમતા: $\frac{1}{\sqrt{a}} \int_{1}^{a} (\frac{3}{2} \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx < 4$
પ્રથમ,સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{1}^{a} (\frac{3}{2} x^{1/2} + 1 - x^{-1/2}) dx$
$= [\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + x - \frac{x^{1/2}}{1/2}]_{1}^{a}$
$= [x^{3/2} + x - 2x^{1/2}]_{1}^{a}$
$= (a^{3/2} + a - 2a^{1/2}) - (1^{3/2} + 1 - 2(1)^{1/2})$
$= a^{3/2} + a - 2a^{1/2} - (1 + 1 - 2) = a^{3/2} + a - 2a^{1/2}$
હવે અસમતામાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{a^{1/2}} (a^{3/2} + a - 2a^{1/2}) < 4$
$a + a^{1/2} - 2 < 4$
$a + a^{1/2} - 6 < 0$
ધારો કે $t = a^{1/2}$,જ્યાં $t > 0$:
$t^2 + t - 6 < 0$
$(t + 3)(t - 2) < 0$
$t > 0$ હોવાથી,$t + 3$ હંમેશા ધન છે,તેથી $t - 2 < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $t < 2$.
આમ,$a^{1/2} < 2 \Rightarrow a < 4$.
સંકલન $a > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,અંતરાલ $(0, 4)$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-5t+4}{2+e^t} dt$.
અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે લેબનિઝ ઇન્ટિગ્રલ રૂલનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 5(x^2) + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$f'(x) = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot (2x)$.
$f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2-4)}{2 + e^{x^2}} \cdot (2x)$.
$f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(2x)}{2 + e^{x^2}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0, 1, -1, 2, -2$ મળે છે.
આમ,અંતિમ બિંદુઓ $0, \pm 1, \pm 2$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x = 4 - y^2$ છે,જે ડાબી બાજુ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(4, 0)$ પર છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ:
$0 = 4 - y^2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
આમ,વક્ર $Y$-અક્ષને $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ પર છેદે છે.
વક્ર અને $Y$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશ $X$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{2} x \, dy = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
$= 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right)$.
$= 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે કે $U(x) = \frac{Lx+M}{x^2-2Bx+C}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$U(x)(x^2-2Bx+C) = Lx+M$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$U_1(x^2-2Bx+C) + U(2x-2B) = L$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(2x-2B) + U_1(2x-2B) + U(2) = 0$.
પદને સરળ બનાવતા:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(4x-4B) + 2U = 0$.
આને $PU_2 + QU_1 + RU = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$P = x^2-2Bx+C$,$Q = 4(x-B)$,અને $R = 2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = f'(x)$ અને $Q(x) = f(x) f'(x)$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f'(x) dx} = e^{f(x)}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y e^{f(x)} = \int f(x) f'(x) e^{f(x)} dx + C$.
ધારો કે $t = f(x)$,તો $dt = f'(x) dx$.
$y e^{f(x)} = \int t e^t dt + C = e^t(t-1) + C$.
$t = f(x)$ પાછું મૂકતા,આપણને $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,આ સીમાઓને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 \cdot e^0 = e^0(0-1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + 1$.
$e^{f(x)}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$ મળે છે.
ગોઠવતા $y + 1 = f(x) + e^{-f(x)}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x y^{\prime}+y-e^x=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $x \frac{d y}{d x}+y=e^x$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{d x}(x y)=e^x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int d(x y)=\int e^x d x$
પરિણામ મળે છે: $x y=e^x+C$
પ્રારંભિક શરત $y(a)=b$ નો ઉપયોગ કરતા: $a b=e^a+C \Rightarrow C=a b-e^a$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $x y=e^x+a b-e^a$
તેથી,$y(x)=\frac{e^x+a b-e^a}{x}$
અંતે,લક્ષની કિંમત મેળવતા: $\lim _{x \rightarrow 1} y(x)=\frac{e^1+a b-e^a}{1}=e+a b-e^a$

(A) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ છે. તે એકમ સદિશ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 1$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$.
$\vec{r}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
આમ,$x + y = 1 \implies y = 1 - x$.
$\vec{r}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{b} = |\vec{r}||\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,$3x - 4y = \frac{5}{2} \implies 6x - 8y = 5$.
બીજા સમીકરણમાં $y = 1 - x$ મૂકતા: $6x - 8(1 - x) = 5 \implies 6x - 8 + 8x = 5 \implies 14x = 13 \implies x = \frac{13}{14}$.
તેથી $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{13}{14}\hat{i} + \frac{1}{14}\hat{j}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0 \Rightarrow l = -(m+n)$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા: $2(-(m+n))m + 2mn - (-(m+n))n = 0$.
$-2m^2 - 2mn + 2mn + n^2 + mn = 0$.
$-2m^2 + mn + n^2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - mn - n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $2(\frac{m}{n})^2 - (\frac{m}{n}) - 1 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{m}{n}$,તો $2x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow (2x+1)(x-1) = 0$.
તેથી,$\frac{m}{n} = 1$ અથવા $\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $m=n$,તો $l = -2n$. દિકગુણોત્તરો $(-2, 1, 1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $m = -\frac{1}{2}n$,તો $l = -\frac{1}{2}n$. દિકગુણોત્તરો $(-1, -1, 2)$ મળે.
ધારો કે $\vec{a} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$. વિકલ્પો મુજબ,પૂરક ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ છે.

(A) ધારો કે ઘનના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(a,a,0)$,$C(a,a,a)$,$D(0,a,a)$,$E(0,0,a)$,$F(a,0,a)$,અને $G(0,a,0)$ છે.
ઘનના બે વિકર્ણો ધ્યાનમાં લો,ઉદાહરણ તરીકે,$(0,0,0)$ થી $(a,a,a)$ ને જોડતો વિકર્ણ અને $(a,0,0)$ થી $(0,a,a)$ ને જોડતો વિકર્ણ.
પ્રથમ વિકર્ણની દિશામાં સદિશ $\vec{v_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે.
બીજા વિકર્ણની દિશામાં સદિશ $\vec{v_2} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ અને $P_2: x + y + z - 1 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(x + y + z - 1) = 0$
$(2 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (3 + \lambda)z + (5 - \lambda) = 0$.
સમતલને છેદરેખા પર $90^{\circ}$ ફેરવવામાં આવતું હોવાથી,નવું સમતલ મૂળ સમતલ $2x - y + 3z + 5 = 0$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2 + \lambda, -1 + \lambda, 3 + \lambda)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ છે.
પરસ્પર લંબ સમતલો માટે,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$(2 + \lambda)(2) + (-1 + \lambda)(-1) + (3 + \lambda)(3) = 0$
$4 + 2\lambda + 1 - \lambda + 9 + 3\lambda = 0$
$4\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - \frac{7}{2})x + (-1 - \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z + (5 + \frac{7}{2}) = 0$
$-\frac{3}{2}x - \frac{9}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 9y + z - 17 = 0$ મળે છે,એટલે કે $3x + 9y + z = 17$.

(C) ચેસબોર્ડમાં $64$ ચોરસ હોય છે. બે અલગ-અલગ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ છે.
જો બે ચોરસ આડા અથવા ઊભા રીતે પાસપાસે હોય,તો તેમની એક બાજુ સામાન્ય હોય છે.
$8 \times 8$ ના ગ્રીડમાં,$8$ હાર અને $8$ સ્તંભ હોય છે.
દરેક હારમાં પાસપાસેના ચોરસની $7$ જોડી હોય છે,તેથી $8 \times 7 = 56$ આડી જોડીઓ મળે.
દરેક સ્તંભમાં પાસપાસેના ચોરસની $7$ જોડી હોય છે,તેથી $8 \times 7 = 56$ ઊભી જોડીઓ મળે.
કુલ સાનુકૂળ જોડીઓ = $56 + 56 = 112$.
સંભાવના = $\frac{112}{2016} = \frac{1}{18}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે બે પૂર્ણાંકો $r$ અને $s$ ને ગણ $\{1, 2, \ldots, n\}$ માંથી પુનરાવર્તન વગર પસંદ કરવામાં આવે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(r \leq k \mid s \leq k)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{P(r \leq k \cap s \leq k)}{P(s \leq k)}$.
પ્રથમ,$s \leq k$ હોય તેની સંભાવના $P(s \leq k) = \frac{k}{n}$ છે.
ત્યારબાદ,$r \leq k$ અને $s \leq k$ બંને હોય તેની સંભાવના એ ગણ $\{1, 2, \ldots, k\}$ માંથી બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની સંભાવના છે,જે કુલ ગણ $\{1, 2, \ldots, n\}$ માંથી બે ભિન્ન પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારોના સંદર્ભમાં છે.
આથી,$P(r \leq k \cap s \leq k) = \frac{k(k-1)}{n(n-1)}$.
તેથી,શરતી સંભાવના $P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{\frac{k(k-1)}{n(n-1)}}{\frac{k}{n}} = \frac{k(k-1)}{n(n-1)} \times \frac{n}{k} = \frac{k-1}{n-1}$ થાય.

(B) ધારો કે $q = 1-p$ એ કાંટો (tail) મળવાની સંભાવના છે. પ્રથમ છાપ બેકી સંખ્યાના ઉછાળ પર મળે તેનો અર્થ એ છે કે પરિણામોનો ક્રમ $(T, H), (T, T, T, H), (T, T, T, T, T, H), \dots$ છે.
આ ઘટનાની સંભાવના $P = qp + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2$ છે.
$0 < p < 1$ હોવાથી,$0 < q < 1$ થાય,તેથી $|q^2| < 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $P = \frac{a}{1-r} = \frac{qp}{1-q^2}$ છે.
આપેલ છે કે $P = \frac{2}{5}$,તેથી $\frac{qp}{1-q^2} = \frac{2}{5}$.
$q = 1-p$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} = \frac{2}{5}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - (1 - 2p + p^2) = 2p - p^2 = p(2-p)$.
તેથી,$\frac{p(1-p)}{p(2-p)} = \frac{2}{5}$.
$p$ ને દૂર કરતા ($p \neq 0$ હોવાથી),આપણને મળે $\frac{1-p}{2-p} = \frac{2}{5}$.
ક્રોસ ગુણાકાર કરતા: $5(1-p) = 2(2-p) \Rightarrow 5 - 5p = 4 - 2p$.
$1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.