WBJEE 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $x+\log _{10}\left(1+2^{x}\right)=x \log _{10} 5+\log _{10} 6$
પદોને ગોઠવતા:
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x \log _{10} 10 + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10} 5^{x} - \log _{10} 10^{x} + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10}\left(\frac{5^{x} \cdot 6}{10^{x}}\right)$
બંને બાજુ એન્ટિલોગ લેતા:
$1+2^{x} = \frac{5^{x} \cdot 6}{2^{x} \cdot 5^{x}}$
$1+2^{x} = \frac{6}{2^{x}}$
ધારો કે $2^{x} = t$. તેથી $1+t = \frac{6}{t}$
$t + t^{2} = 6$
$t^{2} + t - 6 = 0$
$(t+3)(t-2) = 0$
કારણ કે $t = 2^{x} > 0$,તેથી $t = 2$.
$2^{x} = 2^{1} \Rightarrow x = 1$.

(B) $0 \leq p \leq 1$ અને $a, b > 0$ આપેલ છે.
વિધેય $f(x) = x^p$ ધ્યાનમાં લો.
$0 \leq p \leq 1$ હોવાથી,$x > 0$ માટે વિધેય $f(x) = x^p$ એ અંતર્મુખ (concave) વિધેય છે.
અંતર્મુખ વિધેયના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ $a, b > 0$ અને $0 < p < 1$ માટે,$(a+b)^p \leq a^p + b^p$ થાય.
આથી $I(p) \leq J(p)$ મળે છે.
$p=0$ માટે,$I(0) = (a+b)^0 = 1$ અને $J(0) = a^0 + b^0 = 1 + 1 = 2$,તેથી $1 \leq 2$.
$p=1$ માટે,$I(1) = a+b$ અને $J(1) = a+b$,તેથી $a+b \leq a+b$.
આમ,તમામ $0 \leq p \leq 1$ માટે $I(p) \leq J(p)$ સાચું છે.

(A) બે દ્વિઘાત સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:
$x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ અને $x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$.
ધારો કે $D_{1}$ અને $D_{2}$ એ અનુક્રમે આ સમીકરણોના વિવેચક છે.
$D_{1} = b_{1}^{2} - 4c_{1}$
$D_{2} = b_{2}^{2} - 4c_{2}$
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 4(c_{1} + c_{2})$
આપેલ છે કે $b_{1}b_{2} = 2(c_{1} + c_{2})$,તેથી $4(c_{1} + c_{2}) = 2b_{1}b_{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 2b_{1}b_{2}$
$D_{1} + D_{2} = (b_{1} - b_{2})^{2}$
તમામ વાસ્તવિક $b_{1}, b_{2}$ માટે $(b_{1} - b_{2})^{2} \geq 0$ હોવાથી,$D_{1} + D_{2} \geq 0$ થાય.
જો બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સરવાળો અ-ઋણ હોય,તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા અ-ઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,$D_{1}$ અથવા $D_{2}$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $\geq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $x^{2}-cx+d=0$ ના બીજ $\alpha^{4}$ અને $\beta^{4}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta=-a, \alpha\beta=b$ ...$(i)$
$\alpha^{4}+\beta^{4}=c, \alpha^{4}\beta^{4}=d$ ...$(ii)$
$(ii)$ પરથી,$c = \alpha^{4}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}-2(\alpha\beta)^{2} = ((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)^{2}-2(\alpha\beta)^{2}$.
$(i)$ મુકતા: $c = (a^{2}-2b)^{2}-2b^{2} = a^{4}+4b^{2}-4a^{2}b-2b^{2} = a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$.
આમ,$2b^{2}-c = 2b^{2}-(a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}) = 4a^{2}b-a^{4} = a^{2}(4b-a^{2})$.
આપેલ છે કે $a^{2}>4b$,તેથી $4b-a^{2} < 0$,એટલે કે $2b^{2}-c < 0$.
સમીકરણ $x^{2}-4bx+(2b^{2}-c)=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $2b^{2}-c < 0$ છે.
બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવાથી,એક બીજ ધન અને બીજું બીજ ઋણ હશે.

(D) ધારો કે $w = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}$.
$w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, આપણે $w + \bar{w}$ ની ગણતરી કરીએ.
$w + \bar{w} = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} + \frac{\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}}{\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}}$
$= \frac{(z_{1}+z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2})(z_{1}-z_{2})}{(z_{1}-z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2})}$
$= \frac{(z_{1}\bar{z}_{1} - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - z_{2}\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}z_{1} - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - \bar{z}_{2}z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^2}$
કારણ કે $|z_{1}| = |z_{2}|$, તેથી $z_{1}\bar{z}_{1} = z_{2}\bar{z}_{2} = |z_{1}|^2 = |z_{2}|^2$.
આ કિંમત મૂકતા, અંશ શૂન્ય થાય છે:
$|z_{1}|^2 - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - |z_{2}|^2 + |z_{1}|^2 - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - |z_{2}|^2$
$= 2|z_{1}|^2 - 2|z_{2}|^2 = 0$.
તેથી $w + \bar{w} = 0$, જે દર્શાવે છે કે $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(B) આપેલ છે કે $Z_{r} = \sin \frac{2 \pi r}{11} - i \cos \frac{2 \pi r}{11}$.
આને $Z_{r} = -i (\cos \frac{2 \pi r}{11} + i \sin \frac{2 \pi r}{11})$ તરીકે લખી શકાય.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$Z_{r} = -i e^{i \frac{2 \pi r}{11}}$ મળે.
હવે,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \sum_{r=0}^{10} (e^{i \frac{2 \pi}{11}})^{r}$.
આ એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં $11$ પદો છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{11}} \neq 1$ છે.
એકમનાં $n$ મૂળનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{n-1} e^{i \frac{2 \pi r}{n}} = 0$ થાય છે,જ્યાં $n > 1$.
તેથી,$\sum_{r=0}^{10} e^{i \frac{2 \pi r}{11}} = 0$.
આમ,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \times 0 = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $z_{1}, z_{2}$ અને $z_{3}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય,તો $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}z_{3}-z_{3}z_{1}=0$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}=1$,તેથી $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=z_{1}z_{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$.
જો આપણે ઉગમબિંદુને ત્રીજા બિંદુ $z_{3}=0$ તરીકે લઈએ,તો શરત $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}(0)-0(z_{1})=0$ બને છે,જે $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$ માં પરિણમે છે.
આ સમબાજુ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,ઉગમબિંદુ અને $z_{1}$ તથા $z_{2}$ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(B) દરેક વિદ્યાર્થી અન્ય દરેક વિદ્યાર્થીને કાર્ડ મોકલે છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક જોડી $(A, B)$ માટે,વિદ્યાર્થી $A$ એ $B$ ને કાર્ડ મોકલે છે અને વિદ્યાર્થી $B$ એ $A$ ને કાર્ડ મોકલે છે.
આ એક ક્રમચય (permutation) નો પ્રશ્ન છે જ્યાં આપણે $20$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને ચોક્કસ ક્રમમાં ગોઠવવાના છે (મોકલનાર અને મેળવનાર).
$20$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને ગોઠવવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 20$ અને $r = 2$ છે,તેથી કાર્ડની સંખ્યા ${}^{20}P_{2} = 20 \times 19 = 380$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આ ${}^{20}C_{2} \times 2! = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} \times 2 = 380$ ની બરાબર છે.

(A) $20$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$20$ માંથી $4$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $17$ છે (જેમ કે $(1,2,3,4), (2,3,4,5), \ldots, (17,18,19,20)$).
$4$ બિન-ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો એ કુલ પસંદગીઓમાંથી ક્રમિક પસંદગીઓની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
$\text{જરૂરી પસંદગીઓ} = {}^{20}C_{4} - 17$
$\text{જરૂરી પસંદગીઓ} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} - 17$
$\text{જરૂરી પસંદગીઓ} = 4845 - 17 = 4828$
વિકલ્પોની ગણતરી કરતા: $284 \times 17 = 4828$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણે $2n$ વસ્તુઓમાંથી $n$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની છે,જ્યાં $n$ વસ્તુઓ સમાન છે અને $n$ વસ્તુઓ ભિન્ન છે.
ધારો કે $k$ એ પસંદ કરેલી ભિન્ન વસ્તુઓની સંખ્યા છે,જ્યાં $0 \le k \le n$.
તો બાકીની $(n-k)$ વસ્તુઓ $n$ સમાન વસ્તુઓમાંથી પસંદ કરવી પડશે.
સમાન વસ્તુઓ હોવાથી,તેમને પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
આમ,$k=0$ થી $n$ માટે,ભિન્ન વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{k}$ છે.
કુલ રીતોનો સરવાળો: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^{n}$.

(D) પ્રથમ સમૂહ $(a, 2b)$ માટે સામાન્ય તફાવત $d_1 = \frac{2b-a}{n+1}$ છે.
$m^{th}$ સમાંતર મધ્યક $A_m = a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right)$ છે.
બીજા સમૂહ $(2a, b)$ માટે સામાન્ય તફાવત $d_2 = \frac{b-2a}{n+1}$ છે.
$m^{th}$ સમાંતર મધ્યક $A'_m = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$ છે.
બંને મધ્યકોને સરખાવતા: $a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right) = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $m(b+a) = a(n+1)$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{m}{n+1-m}$.

(A) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,મહત્તમ સહગુણક મધ્યમ પદમાં હોય છે. $n$ બેકી હોવાથી,મહત્તમ સહગુણક $T_{n/2+1}$ પદમાં હોય છે.
$(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં મહત્તમ પદ $T_{r+1}$ માટે,શરત $\frac{n-r+1}{r} x \ge 1$ અને $\frac{n-r+1}{r+1} x \le 1$ છે.
મહત્તમ પદ એ મહત્તમ સહગુણક વાળું પદ હોય તે માટે,આપણે $r = n/2$ લઈએ છીએ.
અસમતા $\frac{n-r+1}{r} x > 1$ અને $\frac{n-r+1}{r+1} x < 1$ માં $r = n/2$ મૂકતા:
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2} x > 1$ $\Rightarrow \frac{n+2}{n} x > 1$ $\Rightarrow x > \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n - n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow \frac{n/2 + 1}{n/2 + 1} x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{n+2}{n}$.
આમ,શરત $\frac{n}{n+2} < x < \frac{n+2}{n}$ છે.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(101)^{100}-1$ ને $(1+100)^{100}-1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+100)^{100}-1 = \left(1 + {}^{100}C_{1}(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}\right) - 1$.
કારણ કે ${}^{100}C_{1} = 100$,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$100(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}$.
$= 10^{4} + {}^{100}C_{2}(10^{4}) + {}^{100}C_{3}(10^{6}) + \dots + 10^{200}$.
$= 10^{4} \left(1 + {}^{100}C_{2} + {}^{100}C_{3}(10^{2}) + \dots + 10^{196}\right)$.
આમ,આ પદાવલિ $10^{4}$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: ${}^{n}C_{r} + 2 \cdot {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
વચ્ચેના પદને વિભાજિત કરતા:
$= {}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= ({}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1}) + ({}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2})$
$= {}^{n+1}C_{r+1} + {}^{n+1}C_{r+2}$
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= {}^{n+2}C_{r+2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = n \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{4}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2 n \pi \pm \alpha$ છે:
$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
આમ,$\theta = \frac{n \pi}{4}$ અથવા $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(D) આપેલ બિંદુ $P(1,5)$.
રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1,5)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(5,1)$ છે.
રેખા $y=-x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $Q(5,1)$ નું પ્રતિબિંબ $R(-1,-5)$ છે.
રેખાઓ $y=x$ અને $y=-x$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ખૂણો $\angle PQR = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\Delta PQR$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના કર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $= \left(\frac{1+(-1)}{2}, \frac{5+(-5)}{2}\right) = (0,0)$.

(B) બાજુઓની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
$BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle ABC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને $AB:BC = 10:5 = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $P$ એ $AC$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{2(1) + 1(-1)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-7)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$
બિંદુ $B(5, 1)$ અને $P(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} - 5}(x - 5)$
$y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5)$
$7y - 7 = x - 5$
$7y = x + 2$

(A) રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{-3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 5y = 15$ થાય છે.
રેખા $PQ$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $5x + 3y = \lambda$ સ્વરૂપનું છે.
$P$ ના યામ $(\frac{\lambda}{5}, 0)$ અને $Q$ ના યામ $(0, \frac{\lambda}{3})$ છે.
$A(5,0)$ અને $Q(0, \frac{\lambda}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખા $AQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{\lambda/3} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{x}{5} + \frac{3y}{\lambda} = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5})$.
$B(0,-3)$ અને $P(\frac{\lambda}{5}, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BP$ નું સમીકરણ $\frac{x}{\lambda/5} + \frac{y}{-3} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{5x}{\lambda} - \frac{y}{3} = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$.
$\frac{1}{\lambda}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5}) = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$
$5x(1 - \frac{x}{5}) = 3y(\frac{y}{3} + 1)$
$5x - x^{2} = y^{2} + 3y$
$x^{2} + y^{2} - 5x + 3y = 0$.

(A) $P(h, k)$ માંથી પસાર થતી અને $X$-અક્ષને સમાંતર રેખા $y=k$ છે.
$y=k$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $B(k, k)$ છે.
$y=k$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ $C(2-k, k)$ છે.
$y=x$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ $A(1, 1)$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| = h^2$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{2} |1(k-k) + k(k-1) + (2-k)(1-k)| = h^2$
$\frac{1}{2} |0 + k^2 - k + 2 - 2k - k + k^2| = h^2$
$\frac{1}{2} |2k^2 - 4k + 2| = h^2$
$|k^2 - 2k + 1| = h^2$
$(k-1)^2 = h^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$k-1 = \pm h$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$y-1 = \pm x$ મળે.
આમ,$x = y-1$ અથવા $x = -(y-1)$.

(B) ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + 2$ અને $y = y' + 3$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0$ માં મૂકતા:
$(x' + 2)^{2} + (y' + 3)^{2} - 4(x' + 2) - 6(y' + 3) + 9 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x'^{2} + 4x' + 4) + (y'^{2} + 6y' + 9) - 4x' - 8 - 6y' - 18 + 9 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$x'^{2} + y'^{2} + (4x' - 4x') + (6y' - 6y') + (4 + 9 - 8 - 18 + 9) = 0$
$x'^{2} + y'^{2} - 4 = 0$
તેથી,નવું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 4$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9 \sin^{2} \alpha + 13 \cos^{2} \alpha = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2 \sin \alpha$ મળે છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું બિંદુ છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ હોવાથી,$\triangle PAC$ માં $\sin \alpha = \frac{r}{PC}$ થાય.
તેથી,$PC = \frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha} = 2$.
$PC^{2} = 4 \Rightarrow (h+2)^{2} + (k-3)^{2} = 4$.
સાદુરૂપ આપતા,$h^{2}+k^{2}+4h-6k+9 = 0$.
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0$ છે.
કેન્દ્ર $A(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$B(1, 7)$ આગળનો સ્પર્શક $y=7$ છે.
$D(4, -2)$ આગળનો સ્પર્શક $3x-4y-20=0$ છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $C(16, 7)$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 15 \times 5) = 75 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_{1}(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-(-12)} = 5 \text{ એકમ}$ છે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $C_{2}(2, -3)$ છે.
કેન્દ્ર $C_{2}$ થી જીવા (જે પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે) નું લંબ અંતર $d = \sqrt{(2 - (-2))^{2} + (-3 - (-3))^{2}} = 4$ છે.
વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $R$ માટે,$R^{2} = d^{2} + r_{1}^{2} = 4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$.
તેથી,$R = \sqrt{41} \text{ એકમ}$.

(C) ધારો કે $M$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $A(0, 3)$ અને $AM = 2AB$,જેનો અર્થ છે કે $B$ એ રેખાખંડ $AM$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$B$ ના યામ $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+3}{2}\right)$ થશે.
$B$ એ વર્તુળ $x^{2}+4x+(y-3)^{2}=0$ પર આવેલું હોવાથી,$B$ ના યામ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 4\left(\frac{x}{2}\right) + \left(\frac{y+3}{2} - 3\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \left(\frac{y-3}{2}\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \frac{y^{2}-6y+9}{4} = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$x^{2} + 8x + y^{2} - 6y + 9 = 0$
આમ,$M$ નો બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0$ છે.

(D) $PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$P(at^{2}, 2at)$ માટે $Q$ ના યામ $(\frac{a}{t^{2}}, \frac{-2a}{t})$ થશે.
$QR$ નો ઢાળ = $\frac{2ar - (-2a/t)}{ar^{2} - a/t^{2}} = \frac{2a(r + 1/t)}{a(r - 1/t)(r + 1/t)} = \frac{2}{r - 1/t} = \frac{2t}{rt - 1}$.
$PK$ નો ઢાળ = $\frac{2at - 0}{at^{2} - 2a} = \frac{2at}{a(t^{2} - 2)} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
$PK \parallel QR$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય:
$\frac{2t}{rt - 1} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
$t \neq 0$ લેતા,$rt - 1 = t^{2} - 2$.
$rt = t^{2} - 1$.
$r = \frac{t^{2} - 1}{t}$.

(C) $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $R$ થી રેખા $PQ$ નું અંતર મહત્તમ હોય.
ધારો કે $R$ એ $(t^{2}, 2t)$ છે. રેખા $PQ$ એ $P(4, -4)$ અને $Q(9, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - 6 = 2(x - 9) \Rightarrow 2x - y - 12 = 0$ છે.
$R(t^{2}, 2t)$ થી $2x - y - 12 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|2t^{2} - 2t - 12|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|2(t^{2} - t - 6)|}{\sqrt{5}} = \frac{2|t - 3||t + 2|}{\sqrt{5}}$ છે.
$R$ એ $P$ અને $Q$ વચ્ચેના ચાપ પર હોવા માટે,પેરામીટર $t$ એ $-2$ અને $3$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
ધારો કે $f(t) = t^{2} - t - 6$. અંતરને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f'(t) = 2t - 1 = 0$ સેટ કરીને $f(t)$ નો નિર્ણાયક બિંદુ શોધીએ છીએ,જે $t = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$t = \frac{1}{2}$ પર,$R$ ના યામ $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, 2\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(t_{1}^{2}, 2t_{1})$ અને $(t_{2}^{2}, 2t_{2})$ છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}{2}, t_{1}+t_{2})$ છે.
પરવલય $y^{2}=4x$ ની ધરી $x$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $y=0$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
તેથી,$r = |t_{1}+t_{2}|$,જેનો અર્થ છે કે $t_{1}+t_{2} = \pm r$.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{2t_{2}-2t_{1}}{t_{2}^{2}-t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}+t_{2}}$ છે.
$t_{1}+t_{2} = \pm r$ મૂકતા,આપણને ઢાળ $m = \pm \frac{2}{r}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પરવલયો $y = x^{2}$ અને $y = -(x-2)^{2}$ છે.
$y = x^{2}$ નો સ્પર્શક $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ છે.
આ રેખા $y = -(x-2)^{2}$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેને $(y-0) = -1(x-2)^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ $y = a(x-h)^{2} + k$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c = k - \frac{m^{2}}{4a}$ છે.
અહીં,$a = -1, h = 2, k = 0$. તેથી,$c = 0 - \frac{m^{2}}{4(-1)} = \frac{m^{2}}{4}$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{m^{2}}{4} = \frac{m^{2}}{4}$ $\Rightarrow \frac{m^{2}}{2} = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
$m = 0$ માટે,સ્પર્શક $y = 0$ છે.
$m$ ની માત્ર એક જ કિંમત હોવાથી,માત્ર $1$ સામાન્ય સ્પર્શક મળે છે.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરનું બિંદુ $P(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = 3\cos\theta$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ ને $Q$ માં મળે છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 3\cos\theta$ મૂકતા:
$(3\cos\theta)^{2} + y^{2} = 9$ $\Rightarrow 9\cos^{2}\theta + y^{2} = 9$ $\Rightarrow y^{2} = 9\sin^{2}\theta$.
$P$ અને $Q$ એ $X$-અક્ષની એક જ બાજુએ હોવાથી,$Q = (3\cos\theta, 3\sin\theta)$ મળે.
$PQ$ પરનું બિંદુ $R(h, k)$ એવું છે કે $\frac{PR}{RQ} = \frac{1}{2}$. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1(3\cos\theta) + 2(3\cos\theta)}{3} = 3\cos\theta$
$k = \frac{1(3\sin\theta) + 2(2\sin\theta)}{3} = \frac{7\sin\theta}{3}$
તેથી,$\cos\theta = \frac{h}{3}$ અને $\sin\theta = \frac{3k}{7}$.
નિત્યસમ $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{h}{3})^{2} + (\frac{3k}{7})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{h^{2}}{9} + \frac{9k^{2}}{49} = 1$.
આમ,$R$ નો બિંદુપથ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{9y^{2}}{49} = 1$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+9y^{2}=9$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=1$,તેથી $a=3$ અને $b=1$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{e} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3}$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{h}$ એ $e_{e}$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $e_{h} = \frac{3}{\sqrt{8}}$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{h} = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$e_{h}^{2} = 1+\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}$.
આમ,$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}-1 = \frac{1}{8}$.
તેથી,ગુણોત્તર $a^{2}:b^{2} = 8:1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2 a_{1} = 2 \sin \theta$ છે,તેથી $a_{1} = \sin \theta$.
ઉપવલય $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ માટે,$12$ વડે ભાગતા $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ મળે.
અહીં,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 3$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,તેથી $3 = 4(1 - e^{2})$,જે $e^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ આપે છે,એટલે કે $e = \frac{1}{2}$.
ઉપવલયનું નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 2 \times \frac{1}{2}, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય ઉપવલય સાથે સહકેન્દ્રી હોવાથી,તેનું નાભિ $(\pm 1, 0)$ છે.
અતિવલય માટે,$a_{1} e_{1} = 1$. $a_{1} = \sin \theta$ મૂકતા,$e_{1} = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ મળે.
હવે,$b_{1}^{2} = a_{1}^{2}(e_{1}^{2} - 1) = a_{1}^{2} e_{1}^{2} - a_{1}^{2} = 1 - \sin^{2} \theta = \cos^{2} \theta$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ છે,જે $\frac{x^{2}}{\sin^{2} \theta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} \theta} = 1$ બને છે.
આથી $x^{2} \operatorname{cosec}^{2} \theta - y^{2} \sec^{2} \theta = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = 3x^{10} - 7x^{8} + 5x^{6} - 21x^{3} + 3x^{2} - 7$.
આપણે લક્ષ $L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{h^{3} + 3h}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \cdot \frac{-h}{h(h^{2} + 3)} \right)$.
કારણ કે $f'(1) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h}$,તેથી:
$L = f'(1) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{h^{2} + 3}$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x) = 30x^{9} - 56x^{7} + 30x^{5} - 63x^{2} + 6x$ શોધો.
$x = 1$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f'(1) = 30 - 56 + 30 - 63 + 6 = -53$.
હવે આ કિંમત લક્ષમાં મુકતા:
$L = (-53) \cdot \left( \frac{-1}{0^{2} + 3} \right) = (-53) \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{53}{3}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી સફળ થાય છે. $X_1, X_2, X_3$ એ અનુક્રમે પરીક્ષા $I, II, III$ માં પાસ થવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(X_1) = p$,$P(X_2) = q$,અને $P(X_3) = 1/2$.
વિદ્યાર્થી સફળ થાય છે જો $(X_1 \cap X_2)$ અથવા $(X_1 \cap X_3)$ થાય.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X) = P(X_1 \cap X_2) + P(X_1 \cap X_3) - P(X_1 \cap X_2 \cap X_3)$.
પરીક્ષાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી:
$P(X) = p \cdot q + p \cdot (1/2) - p \cdot q \cdot (1/2)$.
$P(X) = 1/2$ આપેલ છે:
$1/2 = pq + p/2 - pq/2$.
$1/2 = p/2 + pq/2$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$1 = p + pq$.
$1 = p(1+q)$.

(B) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$.
સંકલનની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\frac{1}{2} \int f(x) (2 \sin x \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \int f(x) \sin 2x \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \int \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{b^2 - a^2} \int \tan 2x \, dx$.
$\tan 2x$ નું સંકલન કરતા: $\frac{1}{b^2 - a^2} \cdot \frac{\log |\sec 2x|}{2} + c = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\sec 2x| + c$.
કારણ કે $\sec 2x = \frac{1}{\cos 2x}$,આ $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\frac{1}{\cos 2x}| + c$ થાય છે.
આને જમણી બાજુ $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x \log x + x - 3$.
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x + 1 = 1 + \log x + 1 = \log x + 2$.
$x \in (1, 3)$ માટે,$\log x > 0$,તેથી $f'(x) = \log x + 2 > 2 > 0$.
આમ,$f(x)$ એ $(1, 3)$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
$f(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 3 = -2$.
$f(3) = 3 \log 3 + 3 - 3 = 3 \log 3 > 0$.
$f(1) < 0$ અને $f(3) > 0$ હોવાથી અને $f(x)$ સતત અને વધતું વિધેય હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(1, 3)$ માં બરાબર એક ઉકેલ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$.
પ્રથમ ચરણમાં,$\sin x$ એ વધતું વિધેય છે.
કારણ કે $31^{\circ} > 30^{\circ}$,તેથી $\sin 31^{\circ} > \sin 30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\sin 31^{\circ} > 0.5$.

(C) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in R$ માટે,$x - x = 0$. શૂન્ય માન્ય હોવાથી,$x \rho x$ સત્ય છે. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $x \rho y$ હોય,તો $x - y$ શૂન્ય અથવા અસંમેય છે. $y - x = -(x - y)$ હોવાથી,જો $x - y$ શૂન્ય હોય,તો $y - x$ પણ શૂન્ય થાય. જો $x - y$ અસંમેય હોય,તો $y - x$ પણ અસંમેય થાય. તેથી,$y \rho x$ સત્ય છે. $\rho$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $x = 1 + \sqrt{2}$,$y = 1$,અને $z = \sqrt{2}$. અહીં $x - y = \sqrt{2}$ (અસંમેય) અને $y - z = 1 - \sqrt{2}$ (અસંમેય). પરંતુ $x - z = 1$ (સંમેય,જે શૂન્ય નથી). તેથી $x \rho y$ અને $y \rho z$ સત્ય છે,પરંતુ $x \rho z$ સત્ય નથી. તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(D) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર સંબંધ $\rho$ એ $x \rho y \iff x > |y|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક ગુણધર્મ માટે:
ચકાસો કે શું તમામ $x \in R$ માટે $x \rho x$ સાચું છે.
$x \rho x \iff x > |x|$.
આ તમામ $x \leq 0$ માટે ખોટું છે (દા.ત.,જો $x = -1$ હોય,તો $-1 > |-1| = 1$ ખોટું છે).
તેથી,$\rho$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત ગુણધર્મ માટે:
ચકાસો કે શું $x \rho y \implies y \rho x$ સાચું છે.
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho x \implies y > |x|$.
જો આપણે $x = 2$ અને $y = 1$ લઈએ,તો $2 > |1|$ સાચું છે,પરંતુ $1 > |2|$ ખોટું છે.
તેથી,$\rho$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત ગુણધર્મ માટે:
ચકાસો કે શું $x \rho y$ અને $y \rho z \implies x \rho z$ સાચું છે.
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho z \implies y > |z|$.
કારણ કે $y > |z|$,આપણી પાસે $|y| \geq y > |z|$ છે,તેથી $|y| > |z|$.
કારણ કે $x > |y|$ અને $|y| > |z|$,અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મ મુજબ,$x > |z|$.
તેથી,$x \rho z$ સાચું છે.
તેથી,$\rho$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $x > |y|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $\rho$ એ પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે સંમિત નથી.

(D) આપેલ સંબંધ $\rho = \{(x, y) \in N \times N : 2x + y = 41\}$ છે.
$1$. સ્વવાચક: જો $\rho$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $x \in N$ માટે $(x, x) \in \rho$ થાય. આથી $2x + x = 41 \Rightarrow 3x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{3} \notin N$. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $\rho$ સંમિત હોય,તો જો $(x, y) \in \rho$ હોય,તો $(y, x) \in \rho$ થવું જોઈએ. જો $(x, y) = (1, 39) \in \rho$ (કારણ કે $2(1) + 39 = 41$),તો $(y, x) = (39, 1)$ થવું જોઈએ. પરંતુ $2(39) + 1 = 79 \neq 41$. તેથી,$(39, 1) \notin \rho$. આમ,$\rho$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in \rho$ અને $(y, z) \in \rho$ હોય,તો $(x, z) \in \rho$ થવું જોઈએ. ધારો કે $x=11, y=19, z=3$. અહીં $(11, 19) \in \rho$ અને $(19, 3) \in \rho$ છે. પરંતુ $(11, 3) \notin \rho$ કારણ કે $2(11) + 3 = 25 \neq 41$. તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & \sin \frac{\pi}{4} \\ -\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$.
આ એક પરિભ્રમણ શ્રેણિક (rotation matrix) $R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$A^n = R_{n\theta} = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ થાય.
આપણે $A^n = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ જોઈએ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(n\theta) = 1$ અને $\sin(n\theta) = 0$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $n\theta = 2k\pi$ હોય,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા,આપણને $n \cdot \frac{\pi}{4} = 2k\pi$ મળે છે.
તેથી,$n = 8k$.
સૌથી નાના ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$k = 1$ લેતા,આપણને $n = 8$ મળે છે.

(A) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ ના ઘટકો માટેની શરતો:
$a_{ij} = 0$ જો $i = j$
$a_{ij} = 1$ જો $i > j$
$a_{ij} = -1$ જો $i < j$
શ્રેણિક $A$ ની રચના કરતા:
$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધો:
$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = -A$
કારણ કે $A^T = -A$,તેથી શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 0(0 - (-1)) - (-1)(0 - (-1)) + (-1)(1 - 0)$
$|A| = 0 + 1(1) - 1(1) = 1 - 1 = 0$
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ હોવાથી,શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) છે અને તેથી તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(A) પ્રથમ,$A$ નું મૂલ્ય શોધો:
$A = -1(1 - (-12)) - 7(2 - (-9)) + 0 = -1(13) - 7(11) = -13 - 77 = -90$.
હવે,ધારો કે $B = \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 5 \\ -7 & -1 & 25 \\ -21 & -3 & -15\end{array}\right|$.
$C_3$ માંથી $5$ અને $R_3$ માંથી $3$ સામાન્ય લેતા:
$B = 5 \times 3 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ -7 & -1 & -1\end{array}\right| = 15 \left|\begin{array}{ccc}13 & -11 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right|$ ($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ નો ઉપયોગ કરતા).
$R_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$B = 15 \times (-6) \left|\begin{array}{cc}13 & -11 \\ -7 & -1\end{array}\right| = -90 \times (-13 - 77) = -90 \times (-90) = 8100$.
કારણ કે $A = -90$,તેથી $A^2 = (-90)^2 = 8100$.
તેથી,$B = A^2$.

(C) આપેલ છે કે,$a_{r}=(\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi)^{1 / 9} = e^{\frac{2 r \pi i}{9}}$.
હવે,નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} e^{\frac{2 \pi i}{9}} & e^{\frac{4 \pi i}{9}} & e^{\frac{6 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{8 \pi i}{9}} & e^{\frac{10 \pi i}{9}} & e^{\frac{12 \pi i}{9}} \\ e^{\frac{14 \pi i}{9}} & e^{\frac{16 \pi i}{9}} & e^{\frac{18 \pi i}{9}} \end{array}\right|$ છે.
અહીં નોંધો કે હાર $R_{2}$ ના ઘટકો અને હાર $R_{1}$ ના ઘટકોનો ગુણોત્તર $e^{\frac{6 \pi i}{9}} = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ છે.
ખાસ કરીને,$a_{4} = a_{1} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,$a_{5} = a_{2} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$,અને $a_{6} = a_{3} \cdot e^{\frac{6 \pi i}{9}}$.
કારણ કે હાર $R_{2}$ એ હાર $R_{1}$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી આ હાર રેખીય રીતે આધારિત છે.
તેથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) બહુપદી $f(x)$ નું અચળ પદ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} (1+0)^{a} & (2+0)^{b} & 1 \\ 1 & (1+0)^{a} & (2+0)^{b} \\ (2+0)^{b} & 1 & (1+0)^{a} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2^{b} & 1 \\ 1 & 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 & 1 \end{array}\right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(0) = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 1 & 1 \end{array}\right| - 2^{b} \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 2^{b} \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right| + 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2^{b} & 1 \end{array}\right|$.
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$f(0) = 1(1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - (2^{b})^{2}) + 1(1 - 2^{b})$.
$f(0) = (1 - 2^{b}) - 2^{b}(1 - 2^{2b}) + (1 - 2^{b})$.
$f(0) = 1 - 2^{b} - 2^{b} + 2^{3b} + 1 - 2^{b}$.
$f(0) = 2 - 3 \cdot 2^{b} + 2^{3b}$.

(D) આપણી પાસે છે,$S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} 2r & x & n(n+1) \\ 6r^{2}-1 & y & n^{2}(2n+3) \\ 4r^{3}-2nr & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયક પર સરવાળો $\sum_{r=1}^{n}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sum_{r=1}^{n} S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} 2 \sum_{r=1}^{n} r & x & n(n+1) \\ \sum_{r=1}^{n} (6r^{2}-1) & y & n^{2}(2n+3) \\ \sum_{r=1}^{n} (4r^{3}-2nr) & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum r = \frac{n(n+1)}{2}$,$\sum r^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum r^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ નો ઉપયોગ કરીને,પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોની ગણતરી કરીએ:
$C_{11} = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
$C_{21} = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = n(n+1)(2n+1) - n = n(2n^{2}+3n+1-1) = n^{2}(2n+3)$.
$C_{31} = 4 \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} - 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n^{2}(n+1)^{2} - n^{2}(n+1) = n^{2}(n+1)(n+1-1) = n^{3}(n+1)$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sum_{r=1}^{n} S_{r} = \left|\begin{array}{ccc} n(n+1) & x & n(n+1) \\ n^{2}(2n+3) & y & n^{2}(2n+3) \\ n^{3}(n+1) & z & n^{3}(n+1) \end{array}\right|$.
સ્તંભ $C_{1}$ અને સ્તંભ $C_{3}$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,સરવાળો $0$ છે,જે $x, y, z$ અને $n$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 2c & c\end{array}\right|=0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$
$bc + ab = 2ac$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $AP$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ એ $HP$ માં છે.

(C) ધારો કે $S = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}(\cot A) + \tan ^{-1}(\cot ^{3} A) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cot A + \cot ^{3} A}{1 - \cot A \cdot \cot ^{3} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cot A(1 + \cot ^{2} A)}{1 - \cot ^{4} A}\right)$.
કારણ કે $1 - \cot ^{4} A = (1 - \cot ^{2} A)(1 + \cot ^{2} A)$,તેથી પદ આ રીતે સાદું થાય છે:
$\tan ^{-1}\left(\frac{\cot A}{1 - \cot ^{2} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1/\tan A}{1 - 1/\tan ^{2} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{\tan ^{2} A - 1}\right) = -\tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right)$.
હવે,$\frac{1}{2} \tan 2 A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan A}{1 - \tan ^{2} A} = \frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}$.
આમ,$S = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right) = 0$.

(B) $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{|x|-1}{|x|-2} \leq 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = |x|$. તો $\frac{t-1}{t-2} \leq 0$.
$t = |x| \geq 0$ હોવાથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $t=1$ અને $t=2$ છે.
અસમતા $1 \leq t < 2$ માટે સાચી છે.
આમ,$1 \leq |x| < 2$.
પરંતુ મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે,કિસ્સો $1$: $1-|x| \geq 0$ અને $2-|x| > 0 \Rightarrow |x| \leq 1$ અને $|x| < 2$ $\Rightarrow |x| \leq 1$ $\Rightarrow x \in [-1, 1]$.
કિસ્સો $2$: $1-|x| \leq 0$ અને $2-|x| < 0 \Rightarrow |x| \geq 1$ અને $|x| > 2$ $\Rightarrow |x| > 2$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = e^{x}$ અને $g: R \rightarrow R$ જ્યાં $g(x) = x^{2}$.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^{x}) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$(g \circ f)(x) = e^{2x}$ માટે,જો $(g \circ f)(x_{1}) = (g \circ f)(x_{2})$ હોય,તો $e^{2x_{1}} = e^{2x_{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $2x_{1} = 2x_{2}$,તેથી $x_{1} = x_{2}$. આમ,$g \circ f$ એ ઇન્જેક્ટિવ છે.
જોકે,$g \circ f$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી,તેથી $g \circ f$ એ સૂરજેક્ટિવ નથી.
$g(x) = x^{2}$ માટે,$g(-1) = 1$ અને $g(1) = 1$,તેથી $g$ એ ઇન્જેક્ટિવ નથી. ઉપરાંત,$g$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,તેથી $g$ એ સૂરજેક્ટિવ નથી.
તેથી,$g \circ f$ એ ઇન્જેક્ટિવ છે પણ $g$ એ બાયજેક્ટિવ નથી.

(C) આપેલ છે કે,$y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$,$a > 0, a \neq 1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય સ્વરૂપ લેતા,$a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$.
હવે,$a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ ધ્યાનમાં લો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$.
આમ,$x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$.
કારણ કે $a^{y} = e^{y \ln a}$,તેથી $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$.
વ્યાખ્યા $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \sinh(y \ln a)$ મળે છે.
તેથી,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ છે.

(A) વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કેમ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે,તેથી $g(x)$ પણ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a)=0$ અને $f(b)=0$,તેથી $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ અને $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ મળે છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g^{\prime}(c) = 0$ થાય.
હવે,$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ લેતા,આપણને $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ મળે છે.
કેમ કે કોઈપણ $c$ માટે $e^{-c} \neq 0$ છે,તેથી $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ અથવા $f^{\prime}(c) = f(c)$ સાબિત થાય છે.

(B) $f(x)$ સતત હોવા માટે,તે $x = -\frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x = -\frac{\pi}{2}$ આગળ:
$LHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-2 \sin x) = -2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.
$RHL = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (A \sin x + B) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B = -A + B$.
સાતત્ય માટે,$LHL = RHL \implies -A + B = 2$ (સમીકરણ $i$).
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$LHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (A \sin x + B) = A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = A + B$.
$RHL = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
સાતત્ય માટે,$LHL = RHL \implies A + B = 0$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા: $(-A + B) + (A + B) = 2 + 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$.
$B = 1$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા: $A + 1 = 0 \implies A = -1$.
આમ,$f$ એ $A = -1$ અને $B = 1$ માટે સતત છે.

(C) આપેલ છે કે $f_1(x) = e^x$ અને $f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$.
$f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}$ ની બંને બાજુએ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે છે $\ln(f_n(x)) = f_{n-1}(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f_n(x)} \cdot f_n'(x) = f_{n-1}'(x)$
$\Rightarrow f_n'(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}'(x) \quad \dots (i)$
$n=1$ માટે,$f_1'(x) = e^x = f_1(x)$.
$n=2$ માટે,$f_2'(x) = f_2(x) \cdot f_1'(x) = f_2(x) \cdot f_1(x)$.
$n=3$ માટે,$f_3'(x) = f_3(x) \cdot f_2'(x) = f_3(x) \cdot f_2(x) \cdot f_1(x)$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ $n \geq 1$ માટે,$\frac{d}{dx} f_n(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}(x) \cdot \ldots \cdot f_1(x)$.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x = \frac{1}{2} vt$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dt} \right) t$.
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{2 dt}{t} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$2 \int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \implies 2 \ln |t| + C' = \ln |x|$.
આ $\ln |t^2| + C' = \ln |x|$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = c t^2$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
હવે,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v$ શોધો:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (c t^2) = 2ct$.
છેલ્લે,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગ $f$ શોધો:
$f = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2ct) = 2c$.
$2c$ એ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $f$ અચળ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = x^2 - x + 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{2x-1} = \frac{1}{1-2x}$ થાય.
$1$. $x_1 = 0$ માટે,$y_1 = 1$. ઢાળ $m_1 = \frac{1}{1-0} = 1$.
સમીકરણ: $y - 1 = 1(x - 0) \Rightarrow x - y + 1 = 0$ $(i)$.
$2$. $x_2 = -1$ માટે,$y_2 = (-1)^2 - (-1) + 1 = 3$. ઢાળ $m_2 = \frac{1}{1-2(-1)} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણ: $y - 3 = \frac{1}{3}(x + 1) \Rightarrow 3y - 9 = x + 1 \Rightarrow x - 3y + 10 = 0$ (ii).
$3$. $x_3 = 5/2$ માટે,$y_3 = (5/2)^2 - 5/2 + 1 = 19/4$. ઢાળ $m_3 = \frac{1}{1-2(5/2)} = -\frac{1}{4}$.
સમીકરણ: $y - 19/4 = -\frac{1}{4}(x - 5/2) \Rightarrow 2x + 8y - 43 = 0$ (iii).
$(i)$ અને (ii) નો છેદબિંદુ શોધતા: $x - y = -1$ અને $x - 3y = -10$. બાદબાકી કરતા $2y = 9 \Rightarrow y = 9/2$. તેથી $x = 7/2$.
છેદબિંદુ $(7/2, 9/2)$ છે.
આ બિંદુ (iii) માં મૂકતા: $2(7/2) + 8(9/2) - 43 = 7 + 36 - 43 = 0$.
આમ,ત્રણેય અભિલંબ એક જ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે સંગામી છે.

(A) ધારો કે $x$ એ સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર છે અને $y$ એ સીડીના ઉપરના છેડાની જમીનથી ઊંચાઈ છે.
સીડીની લંબાઈ $20 \ ft$ આપેલી હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + y^2 = 20^2 = 400$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
અહીં ઉપરનો છેડો $2 \ ft/sec$ ના દરે નીચે તરફ સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -2 \ ft/sec$ લેતા.
જ્યારે $x = 12 \ ft$ હોય,ત્યારે $x^2 + y^2 = 400$ પરથી $y$ શોધીએ:
$12^2 + y^2 = 400$
$144 + y^2 = 400$
$y^2 = 256 \Rightarrow y = 16 \ ft$
હવે,$x = 12$,$y = 16$,અને $\frac{dy}{dt} = -2$ ને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) + 16(-2) = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) - 32 = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) = 32$
$\frac{dx}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \ ft/sec$
આમ,નીચેનો છેડો $\frac{8}{3} \ ft/sec$ ના દરે દીવાલથી દૂર જાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $12 y = x^{3}$ છે.
ધારો કે યામના બદલાવાનો દર $\frac{dy}{dt}$ છે અને અભિસિસના બદલાવાનો દર $\frac{dx}{dt}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે યામના બદલાવાનો દર અભિસિસના દર કરતા વધારે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$.
વક્રના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$12 \frac{dy}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dt} = \frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમતને અસમતા $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt} > \frac{dx}{dt}$ મળે.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} > 0$,તો $\frac{x^{2}}{4} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} > 4$.
આ અસમતા $x^{2} - 4 > 0$ ના અવયવ $(x - 2)(x + 2) > 0$ થાય છે.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ છે.
પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$x > 2$ એ ઉકેલનો એક ભાગ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = -\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right) = \frac{\pi}{x^2} \sin \left(\frac{\pi}{x}\right)$.
વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $\frac{\pi}{x^2} > 0$ હોવાથી,$\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે $2k\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+1)\pi$ હોય.
$\pi$ વડે ભાગતા,$2k < \frac{1}{x} < 2k+1$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,અસમતા બદલાશે: $\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}$.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $\left(\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}\right)$ માં વધતું વિધેય છે.
વિધેય $f(x)$ ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\sin \left(\frac{\pi}{x}\right) < 0$.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે $(2k+1)\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+2)\pi$ હોય.
$\pi$ વડે ભાગતા,$2k+1 < \frac{1}{x} < 2k+2$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{2k+2} < x < \frac{1}{2k+1}$ મળે.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $\left(\frac{1}{2k+2}, \frac{1}{2k+1}\right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(C) વિધેય $g(x) = e^{kx} f(x)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $e^{kx}$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે,તેથી $g(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$,તેથી $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ અને $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ મળે.
કારણ કે $g(a) = g(b) = 0$ અને $g(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે,રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $g'(c) = 0$ થાય.
હવે,$g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$.
કારણ કે $g'(c) = 0$,તેથી $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ મળે.
કારણ કે કોઈપણ $c$ માટે $e^{kc} \neq 0$,તેથી $f'(c) + k f(c) = 0$ થવું જ જોઈએ.
આમ,ઓછામાં ઓછા એક $c \in (a, b)$ માટે $J(c) = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(0)=0$ અને $f(1)=0$. રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછી એક કિંમત $c_1$ એવી મળે કે જેથી $f^{\prime}(c_1)=0$ થાય.
આપણને $f^{\prime}(0)=0$ પણ આપેલ છે.
હવે,અંતરાલ $[0, c_1]$ પર વિધેય $f^{\prime}(x)$ ને ધ્યાનમાં લો.
$f$ એ બે વાર સતત વિકલનીય હોવાથી,$f^{\prime}$ એ $[0, c_1]$ પર સતત છે અને $(0, c_1)$ પર વિકલનીય છે.
આપણી પાસે $f^{\prime}(0)=0$ અને $f^{\prime}(c_1)=0$ છે.
અંતરાલ $[0, c_1]$ પર $f^{\prime}(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,$(0, c_1)$ માં ઓછામાં ઓછી એક કિંમત $c$ એવી મળે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય.
જેથી $(0, c_1) \subset (0, 1)$ હોવાથી,$(0, 1)$ માં કોઈક $c$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c)=0$ થાય.

(A) આપેલ સંકલન: $\int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right) dx = e^{\sin x} f(x) + c$.
સંકલિત પદને સરળ બનાવતા: $\frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \sec x \tan x$.
તેથી સંકલન આ મુજબ થશે: $\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\int [e^{\sin x} \cos x \cdot x - e^{\sin x} \sec x \tan x] dx$.
અહીં નોંધો કે $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} (x - \sec x)] = e^{\sin x} \cos x (x - \sec x) + e^{\sin x} (1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \cos x + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - 1 + 1 - \sec x \tan x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x)$.
આમ,$\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x) dx = e^{\sin x} (x - \sec x) + c$.
આને $e^{\sin x} f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = x - \sec x$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ $(i)$
આદેશ $x = \frac{1}{t}$ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.
જ્યારે $x = 1/2014$,ત્યારે $t = 2014$ અને જ્યારે $x = 2014$,ત્યારે $t = 1/2014$ થાય.
$I = \int_{2014}^{1/2014} \frac{\tan^{-1}(1/t)}{1/t} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} t}{t} dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} x}{x} dx$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x}{x} dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$:
$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\pi/2}{x} dx = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2014}^{2014}$
$2I = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 - \ln(1/2014)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 + \ln 2014) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2014) = \pi \ln 2014$
તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \log 2014$.

(B) ધારો કે $I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $f(x)$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવતું વિધેય છે.
સંકલનનો વિસ્તાર $\frac{\pi}{2}$ થી $\frac{5\pi}{2}$ છે,જેની લંબાઈ $2\pi$ છે.
$I = \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = 4 \int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$.
ધારો કે $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$.
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1}(\cos x)}}{e^{\tan^{-1}(\cos x)} + e^{\tan^{-1}(\sin x)}} dx$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$2J = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$,તેથી $J = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$I = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

(D) આપેલ છે,$M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$.
નિત્યસમ $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$.
ધારો કે $2x = t$,તેથી $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો $N$ માં મૂકતા,$N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{2(\frac{t}{2}+1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt$.
હવે,$M - N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{1}{x+2}$ અને $dv = \cos x dx$ લો. તેથી $du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ અને $v = \sin x$.
$M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
આમ,$M - N = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$.

(C) આપણી પાસે $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$ છે.
કારણ કે $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ એ અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ પર ઘટતું વિધેય છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{\pi}{3}$ પર અને મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
અંતરાલની લંબાઈ $\Delta x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$ છે.
મોનોટોનિક વિધેય માટે નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(\text{અંતરાલની લંબાઈ}) \times f(\text{ઉપરની સીમા}) \leq I \leq (\text{અંતરાલની લંબાઈ}) \times f(\text{નીચેની સીમા})$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{12} \times \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}$.
$\frac{\pi}{12} \times \frac{\sqrt{3}/2}{\pi/3} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{1/\sqrt{2}}{\pi/4}$.
$\frac{\pi}{12} \times \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{4}{\pi\sqrt{2}}$.
$\frac{3\sqrt{3}}{24} \leq I \leq \frac{4}{12\sqrt{2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$.

(A) આપેલ છે $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$.
કારણ કે $-1 \leq \cos 3x \leq 1$,તેથી $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ મળે.
$2+x^{2} > 0$ વડે ભાગતા,$\frac{-x^{3}}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3}}{2+x^{2}}$ મળે.
$x \in [0, 1]$ માટે $2+x^{2} > x^{2}$ હોવાથી,$\frac{x^{3}}{2+x^{2}} < \frac{x^{3}}{x^{2}} = x$ થાય.
આમ,$-\int_{0}^{1} x dx < I < \int_{0}^{1} x dx$.
સંકલન કરતા,$-\left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} < I < \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}$.
જેથી $-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$ મળે.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sec ^{2} \left( \frac{r \pi}{4 n} \right)$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f \left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$.
તેથી,સંકલન $\int_{0}^{1} \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right) dx$ થશે.
$\sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ મળે છે.
$0$ થી $1$ ની મર્યાદામાં નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{4}{\pi} \left( \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 \right)$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ અને $\tan 0 = 0$,તેથી કિંમત $\frac{4}{\pi} (1 - 0) = \frac{4}{\pi}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=2ax$ છે,જેને $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=ax$ છે,જ્યાં $a>0$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^{2}=ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2}+ax=2ax$
$x^{2}-ax=0$
$x(x-a)=0$
આમ,$x=0$ અથવા $x=a$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(a, a)$ છે ($X$-અક્ષની ઉપરનો ભાગ ધ્યાનમાં લેતા).
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ $x=0$ થી $x=a$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{a} \sqrt{2ax-x^{2}} dx - \int_{0}^{a} \sqrt{ax} dx$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2}{3} \sqrt{a} (a^{3/2})$
$= \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{2a^{2}}{3}$
$= a^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

(C) આપેલ છે,$y^{2}=2 d(x+\sqrt{d})$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y_{1} = 2d \Rightarrow d = y y_{1}$
$d = y y_{1}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^{2} = 2(y y_{1})(x + \sqrt{y y_{1}})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$y^{2} - 2y y_{1} x = 2y y_{1} \sqrt{y y_{1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = (2y y_{1})^{2} (y y_{1})$
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = 4(y y_{1})^{3}$
અહીં સૌથી મોટું વિકલિત $y_{1}$ (કક્ષા $1$) છે,અને તેની મહત્તમ ઘાત $3$ છે. તેથી,વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^{2}$ છે.
$(1+x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)y = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^{2}}$ અને $Q(x) = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y(IF) = \int Q(x)(IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{4x^{2}}{1+x^{2}}\right)(1+x^{2}) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int 4x^{2} dx + C = \frac{4x^{3}}{3} + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = -1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=0$ અને $y=-1$ મૂકતા:
$-1(1+0^{2}) = \frac{4(0)^{3}}{3} + C \Rightarrow C = -1$.
આમ,$y(1+x^{2}) = \frac{4x^{3}}{3} - 1$.
$x=1$ માટે,$y(1+1^{2}) = \frac{4(1)^{3}}{3} - 1$.
$2y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$y(1) = \frac{1}{6}$.

(C) સદિશ $\vec{\delta}$ એ $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે $\vec{\delta} = \vec{\alpha} + \lambda \vec{\beta}$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા,$\vec{\delta} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$.
$\vec{\delta}$ નો $\vec{\gamma}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{\delta} \cdot \vec{\gamma}}{|\vec{\gamma}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર ગણતા: $\vec{\delta} \cdot \vec{\gamma} = (1+\lambda)(-1) + (1-\lambda)(1) + (1-\lambda)(-1) = -1 - \lambda + 1 - \lambda - 1 + \lambda = -1 - \lambda$.
માન $|\vec{\gamma}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{-1-\lambda}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow -1-\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ની કિંમત $\vec{\delta}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$\vec{\delta} = (1-2)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (1-(-2))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.

(C) કારણ કે $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ અને $\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} = 0$,સદિશ $\vec{\alpha}$ એ $\vec{\beta}$ અને $\vec{\gamma}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{\alpha}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{\alpha} = \lambda(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 1, |\vec{\gamma}| = 1$ છે.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\vec{\alpha}| = |\lambda| |\vec{\beta} \times \vec{\gamma}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{\beta} \times \vec{\gamma}| = |\vec{\beta}| |\vec{\gamma}| \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |\lambda| = 2 \Rightarrow \lambda = \pm 2$.
તેથી,$\vec{\alpha} = \pm 2(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, -11, 4)$ અને $B(2, -3, 1)$ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{2-0} = \frac{y-(-11)}{-3-(-11)} = \frac{z-4}{1-4} = \lambda$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ મળે.
તેથી,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(2\lambda, 8\lambda-11, -3\lambda+4)$ છે.
ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $(1, 8, 4)$ છે. રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(2\lambda-1, 8\lambda-11-8, -3\lambda+4-4) = (2\lambda-1, 8\lambda-19, -3\lambda)$ છે.
$PQ$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,$PQ$ ના દિકગુણોત્તર અને રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, 8, -3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda-1) + 8(8\lambda-19) - 3(-3\lambda) = 0$.
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$.
$77\lambda - 154 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$P$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$x = 2(2) = 4$,$y = 8(2)-11 = 5$,$z = -3(2)+4 = -2$.
આમ,લંબપાદના યામ $(4, 5, -2)$ છે.

(A) $Q(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ છે.
બિંદુ $P$ આ રેખા પર હોવાથી,તેના યામ $P(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ તરીકે લઈ શકાય.
$P$ એ સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ પર હોવાથી,$P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$ મળે છે.
તેથી,$-6\lambda + 6 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,$P(2, 2, 8)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (2 - (-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$ એકમ.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P(X = 0)$ એ એક પણ છાપ ન મળે (એટલે કે બધા કાંટા મળે) તેની સંભાવના છે,જે $q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) \geq 0.9$.
તેથી,$1 - (\frac{1}{2})^n \geq 0.9$.
$1 - 0.9 \geq (\frac{1}{2})^n$.
$0.1 \geq \frac{1}{2^n}$.
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$.
$2^n \geq 10$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n = 4$ માટે,$2^4 = 16 \geq 10$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4$ છે.