WBJEE 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) पहली गिरावट के लिए लिया गया समय $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
पहली टक्कर के बाद,गेंद $h_1 = e^2 h$ ऊँचाई तक ऊपर जाती है और वापस नीचे आती है,जिसमें लगा समय $t_1 = 2 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = 2e \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
इसी तरह,बाद की उछाल के लिए,लिया गया समय $t_n = 2e^n \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
कुल समय $T$ प्रारंभिक गिरावट और उसके बाद की सभी उछालों का योग है:
$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2e \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2e^2 \sqrt{\frac{2h}{g}} + \dots = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 1 + 2e + 2e^2 + \dots \right)$.
$e < 1$ के लिए ज्यामितीय श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 1 + 2e \frac{1}{1-e} \right) = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
दिया गया है $h = 0.4 \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,और $T = 10 \text{ s}$:
$10 = \sqrt{\frac{2 \times 0.4}{10}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right) = \sqrt{0.08} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
इस समीकरण को हल करने पर $e = \frac{17}{18}$ प्राप्त होता है।

(B) माना गोली का द्रव्यमान $m = 4.2 \times 10^{-2} \text{ kg}$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 9m = 9 \times 4.2 \times 10^{-2} \text{ kg}$ है।
गोली का प्रारंभिक वेग $v = 300 \text{ m/s}$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का संवेग = टक्कर के बाद का संवेग:
$mv = (m + M)V$
$m(300) = (m + 9m)V$
$300m = 10mV$
$V = 30 \text{ m/s}$.
उत्पन्न ऊष्मा गतिज ऊर्जा में हुई हानि के बराबर होती है:
$\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(m + M)V^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times (4.2 \times 10^{-2}) \times (300)^2 - \frac{1}{2} \times (10 \times 4.2 \times 10^{-2}) \times (30)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 4.2 \times 10^{-2} \times (90000 - 10 \times 900)$
$\Delta K = 2.1 \times 10^{-2} \times (90000 - 9000) = 2.1 \times 10^{-2} \times 81000 = 1701 \text{ J}$.
चूंकि $1 \text{ cal} = 4.2 \text{ J}$, कैलोरी में ऊष्मा होगी:
$\text{Heat} = \frac{1701}{4.2} = 405 \text{ cal}$.

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति उस पर कार्य करने वाले कुल बाहरी बल के अनुसार होती है,जिसे समीकरण $F_{ext} = M a_{cm}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $A$ और $B$ पारस्परिक आकर्षण बल के तहत गति कर रहे हैं,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$।
प्रारंभ में,दोनों कण स्थिर हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm, initial} = 0$ है।
चूंकि $F_{ext} = 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग समय के साथ स्थिर रहता है।
इसलिए,किसी भी क्षण द्रव्यमान केंद्र का वेग उसके प्रारंभिक वेग के बराबर यानी $0$ ही रहेगा।

(B) माना उच्चतम बिंदु पर वेग $v$ है। उच्चतम बिंदु पर कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ (नीचे की ओर),स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{R^2}$ (ऊपर की ओर) और तनाव $T$ (नीचे की ओर) हैं।
दिया गया है कि $Mg = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$,इसलिए केंद्र की ओर परिणामी बल $F_{net} = Mg - F_e + T = \frac{M v^2}{R}$ है।
उच्चतम बिंदु पर $T = 0$ है,इसलिए $Mg - \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{M v^2}{R}$।
चूंकि $Mg = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ है,इसलिए $0 = \frac{M v^2}{R}$,जिसका अर्थ है कि $v = 0$।
अब,निम्नतम बिंदु (वेग $v_0$) और उच्चतम बिंदु (वेग $v = 0$) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा = उच्चतम बिंदु पर कुल ऊर्जा।
$\frac{1}{2} M v_0^2 + U_{lowest} = \frac{1}{2} M v^2 + U_{highest}$।
स्थितिज ऊर्जा में गुरुत्वाकर्षण और स्थिर-वैद्युत दोनों घटक शामिल हैं।
$U_{grav} = Mgh$,$U_{elec} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{r}$।
ऊर्जा में परिवर्तन: $\frac{1}{2} M v_0^2 = Mg(2R) + \Delta U_{elec}$।
चूंकि केंद्र से दूरी $R$ स्थिर है,इसलिए वृत्ताकार पथ के दौरान स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,$\frac{1}{2} M v_0^2 = Mg(2R)$।
$v_0^2 = 4gR$।
$v_0 = 2 \sqrt{gR}$।

(C) आदर्श गैस का प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 273 + 27 = 300 \ K$ है।
जब तापमान को $6^{\circ} C$ बढ़ाया जाता है,तो अंतिम तापमान $T_{2} = 300 + 6 = 306 \ K$ हो जाता है।
rms वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
अतः,वेग का अनुपात $\frac{v_{rms_{2}}}{v_{rms_{1}}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}} = \sqrt{\frac{306}{300}} = \sqrt{1.02}$ होगा।
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{n} \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{1.02} = (1 + 0.02)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.02) = 1.01$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$v_{rms_{2}} \approx 1.01 \ v_{rms_{1}}$,जो $1 \%$ की वृद्धि दर्शाता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$, बल $F = kt$, जहाँ $k = 1 \ Ns^{-1}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $F = ma$ होता है।
चूँकि $a = \frac{dv}{dt}$, इसलिए $m \frac{dv}{dt} = kt$ होगा।
$m = 1$ और $k = 1$ रखने पर, हमें $\frac{dv}{dt} = t$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर (विरामावस्था से शुरू होने के कारण, $t=0$ पर $v=0$):
$v = \int t \ dt = \frac{t^2}{2}$।
चूँकि $v = \frac{dx}{dt}$, इसलिए $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2}{2}$ होगा।
$t = 6 \ s$ पर विस्थापन $x$ ज्ञात करने के लिए पुनः समाकलन करने पर:
$x = \int_{0}^{6} \frac{t^2}{2} \ dt = \left[ \frac{t^3}{6} \right]_{0}^{6}$।
$x = \frac{6^3}{6} = \frac{216}{6} = 36 \ m$।

(D) मान लीजिए कि केशनली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
प्रारंभ में,नली $p_{0}$ दबाव और $V = lA$ आयतन वाली हवा से भरी है।
जब नली को $x$ लंबाई तक डुबोया जाता है,तो हवा $(l-x)$ लंबाई में संकुचित हो जाती है। मान लीजिए नया दबाव $p^{\prime}$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए: $p_{0}(lA) = p^{\prime}(l-x)A$,जिससे $p^{\prime} = \frac{p_{0}l}{l-x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि केशनली के अंदर और बाहर पानी का स्तर समान है,मेनिस्कस पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $p^{\prime} - p_{0} = \frac{2\gamma}{r}$।
$p^{\prime}$ का मान रखने पर: $\frac{p_{0}l}{l-x} - p_{0} = \frac{2\gamma}{r}$।
$p_{0} \left( \frac{l}{l-x} - 1 \right) = \frac{2\gamma}{r} \implies p_{0} \left( \frac{l - l + x}{l-x} \right) = \frac{2\gamma}{r}$।
$\frac{p_{0}x}{l-x} = \frac{2\gamma}{r} \implies p_{0}xr = 2\gamma l - 2\gamma x$।
$x(p_{0}r + 2\gamma) = 2\gamma l$।
$x = \frac{2\gamma l}{p_{0}r + 2\gamma} = \frac{l}{\frac{p_{0}r}{2\gamma} + 1} = \frac{l}{1 + \frac{p_{0}r}{2\gamma}}$।

(A) बल्क मापांक $k$ को $k = -\frac{p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}$ होता है।
यह दिया गया है कि घनत्व $0.01 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ है।
अतः,$-\frac{\Delta V}{V} = 10^{-4}$ है।
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर: $p = k \times \left( -\frac{\Delta V}{V} \right)$.
$p = k \times 10^{-4} = \frac{k}{10000}$.

(B) सरल आवर्त गति कर रहे कण की चाल $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $v^2 = \omega^2 (a^2 - x^2)$।
दिए गए दो मामलों के लिए:
$v_1^2 = \omega^2 (a^2 - x_1^2) \implies 13^2 = \omega^2 (a^2 - 3^2) \implies 169 = \omega^2 (a^2 - 9) \quad (1)$
$v_2^2 = \omega^2 (a^2 - x_2^2) \implies 12^2 = \omega^2 (a^2 - 5^2) \implies 144 = \omega^2 (a^2 - 25) \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से घटाने पर:
$169 - 144 = \omega^2 (a^2 - 9 - a^2 + 25)$
$25 = \omega^2 (16)$
$\omega^2 = \frac{25}{16} \implies \omega = \frac{5}{4} \ rad/s$।
आवृत्ति $f$ कोणीय आवृत्ति से $\omega = 2 \pi f$ द्वारा संबंधित है।
इसलिए,$f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{5/4}{2 \pi} = \frac{5}{8 \pi} \ Hz$।

(D) माना प्रारंभिक लंबाई $L_{0}$ और प्रारंभिक चौड़ाई $B_{0}$ है। प्रारंभिक क्षेत्रफल $S_{0} = L_{0} B_{0}$ है।
जब तापमान में $\Delta t$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L_{t}$ और नई चौड़ाई $B_{t}$ इस प्रकार दी जाती हैं:
$L_{t} = L_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)$
$B_{t} = B_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$
नया क्षेत्रफल $S_{t}$ है:
$S_{t} = L_{t} \times B_{t} = L_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t) \times B_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$
$S_{t} = L_{0} B_{0} (1 + \alpha_{1} \Delta t + \alpha_{2} \Delta t + \alpha_{1} \alpha_{2} (\Delta t)^{2})$
चूंकि $\alpha_{1} \Delta t \ll 1$ और $\alpha_{2} \Delta t \ll 1$,इसलिए $\alpha_{1} \alpha_{2} (\Delta t)^{2}$ पद नगण्य है।
$S_{t} \approx S_{0} (1 + (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \Delta t)$
इसे पृष्ठीय प्रसार के मानक सूत्र $S_{t} = S_{0} (1 + \beta \Delta t)$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $\beta$ पृष्ठीय प्रसार गुणांक है:
$\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2}$

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{3}{2}R$ होती है। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_{v} \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$\Delta T = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{nR}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{3}{2} (p_f V_f - p_i V_i) = \frac{3}{2} (4 p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = \frac{3}{2} (3 p_{0} V_{0}) = \frac{9}{2} p_{0} V_{0}$।
किया गया कार्य $W$,$p-V$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है: $W = \frac{1}{2} (p_i + p_f) (V_f - V_i) = \frac{1}{2} (p_{0} + 2 p_{0}) (2 V_{0} - V_{0}) = \frac{1}{2} (3 p_{0}) (V_{0}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0}$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
$\Delta Q = \frac{9}{2} p_{0} V_{0} + \frac{3}{2} p_{0} V_{0} = \frac{12}{2} p_{0} V_{0} = 6 p_{0} V_{0}$।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ संबंध से,यह स्पष्ट है कि ध्वनि का वेग निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \sqrt{T}$।
(ii) $v = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$ संबंध से,यदि घनत्व $\rho$ को स्थिर रखा जाए,तो ध्वनि का वेग दबाव $p$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \sqrt{p}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,व्युत्पन्न संबंधों के आधार पर $B$ और $C$ दोनों भौतिक रूप से सही कथन हैं।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी की आवृत्ति का सूत्र $v = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है,$L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu = \frac{M}{L}$ है।
सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर:
$v = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{TL}{M}} = \frac{n}{2} \sqrt{\frac{T}{ML}}$.
अतः,सही सूत्र $v = \frac{n}{2} \sqrt{\frac{T}{ML}}$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
बहुत कम आवृत्तियों $(\omega \to 0)$ पर,धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C}$ बहुत अधिक होता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बहुत अधिक हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ घटता जाता है जब तक कि यह अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ पर शून्य न हो जाए। इस बिंदु पर,$Z = R$ होता है,जो कि न्यूनतम मान है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\omega_0$ से आगे बढ़ती है,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ प्रभावी हो जाता है,और पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ फिर से बढ़ने लगता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है और फिर बढ़ती है।

(A-D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के मॉडल के अनुसार:
$v_{n} \propto \frac{1}{n}$
$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$
$r_{n} \propto n^{2}$
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{E_{n} r_{n}}{E_{1} r_{1}} \propto \frac{(1/n^{2}) \cdot n^{2}}{1} = 1$. यह एक स्थिरांक है,इसलिए ढाल $0$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{r_{n} v_{n}}{r_{1} v_{1}} \propto \frac{n^{2} \cdot (1/n)}{1} = n$. यह $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{r_{n}}{r_{1}} = n^{2}$. दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \left(\frac{r_{n}}{r_{1}}\right) = 2 \ln(n)$. यह $2$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{r_{n}}{E_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n^{2}} = n^{4}$. अतः,$\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}} = n^{4}$. प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \left(\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}}\right) = 4 \ln(n)$. यह $4$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
बोहर के मॉडल के अनुसार सभी विकल्प $A, B, C$ और $D$ गणितीय रूप से सही हैं।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 5 + 2}{10} = \frac{17}{10} \ \mu F^{-1}$
$C_{eq} = \frac{10}{17} \ \mu F$
श्रेणीक्रम संयोजन में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है:
$Q = C_{eq} \times V = \left( \frac{10}{17} \ \mu F \right) \times 10 \ V = \frac{100}{17} \ \mu C$
$2.0 \ \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_2$ है:
$V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{100/17 \ \mu C}{2 \ \mu F} = \frac{50}{17} \ V$

(D) एक चतुष्फलक में $4$ शीर्ष और $6$ किनारे होते हैं। मान लीजिए कि धारा शीर्ष $1$ पर प्रवेश करती है और शीर्ष $2$ से बाहर निकलती है।
$1$ और $2$ के बीच $r$ प्रतिरोध का एक सीधा तार है।
अन्य दो शीर्षों ($3$ और $4$) के माध्यम से $1$ से $2$ तक दो रास्ते हैं:
पथ $1$: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ (श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधक,कुल $2r$)
पथ $2$: $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ (श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधक,कुल $2r$)
ये दोनों पथ एक-दूसरे के समानांतर हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $R_p = r$।
अंत में,यह $R_p$,$1$ और $2$ के बीच के सीधे तार (जिसका प्रतिरोध भी $r$ है) के साथ समानांतर में है।
इसलिए,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_p} + \frac{1}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{r}{2}$।

(C) दिए गए परिपथ के लिए,$R$ और $X$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R^{\prime}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R^{\prime}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{X} = \frac{R+X}{RX} \implies R^{\prime} = \frac{RX}{R+X}$
परिपथ में कुल धारा $i$:
$i = \frac{E}{R + R^{\prime}} = \frac{E}{R + \frac{RX}{R+X}} = \frac{E(R+X)}{R^2 + 2RX}$
प्रतिरोध $X$ के सिरों पर वोल्टेज $V_X$,$R^{\prime}$ के सिरों पर वोल्टेज के बराबर होता है:
$V_X = i R^{\prime} = \left( \frac{E(R+X)}{R^2 + 2RX} \right) \left( \frac{RX}{R+X} \right) = \frac{ERX}{R^2 + 2RX} = \frac{EX}{R + 2X}$
प्रतिरोध $X$ में व्यय होने वाली शक्ति $P_X$:
$P_X = \frac{V_X^2}{X} = \frac{(EX)^2}{X(R+2X)^2} = \frac{E^2 X}{(R+2X)^2}$
$P_X$ को $X$ में छोटे परिवर्तनों से स्वतंत्र होने के लिए,हम $\frac{dP_X}{dX} = 0$ रखते हैं:
$\frac{dP_X}{dX} = E^2 \left[ \frac{(R+2X)^2(1) - X(2)(R+2X)(2)}{(R+2X)^4} \right] = 0$
$(R+2X) - 4X = 0$
$R - 2X = 0 \implies X = \frac{R}{2}$

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोध का मान $R = 1 k\Omega = 1000 \Omega$ है। यह परिपथ एक लैडर नेटवर्क है। मान लीजिए कि सबसे दाईं ओर के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध $X$ में धारा $I_4 = 1 mA$ है। इससे जुड़े क्षैतिज प्रतिरोध में भी $1 mA$ धारा प्रवाहित होगी।
$X$ के ऊपर नोड पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,$X$ के बाईं ओर के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा $I_v = 1 mA + 1 mA = 2 mA$ होगी।
बाईं ओर बढ़ते हुए,अगले क्षैतिज प्रतिरोध में धारा $I_h = 1 mA + 2 mA = 3 mA$ होगी।
अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा $I_v = 3 mA + 2 mA = 5 mA$ होगी।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
- अगले क्षैतिज प्रतिरोध में धारा: $I_h = 3 mA + 5 mA = 8 mA$।
- अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा: $I_v = 8 mA + 5 mA = 13 mA$।
- पहले क्षैतिज प्रतिरोध में धारा: $I_h = 8 mA + 13 mA = 21 mA$।
- पहले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा: $I_v = 21 mA + 13 mA = 34 mA$।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर पहले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध पर वोल्टेज है: $V_{AB} = I_{v1} \times R = 34 mA \times 1 k\Omega = 34 V$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ विद्युत धारा है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $\theta$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
चूंकि दोनों गैल्वेनोमीटर के लिए विद्युत धारा $I$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ और फेरों की संख्या $N$ समान है,इसलिए टॉर्क का अनुपात केवल कुंडलियों के क्षेत्रफल के अनुपात पर निर्भर करता है।
पहली कुंडली के लिए ($a$ भुजा वाला वर्ग): $A_1 = a^2$.
दूसरी कुंडली के लिए ($r = \frac{a}{\sqrt{\pi}}$ त्रिज्या वाला वृत्त): $A_2 = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{a^2}{\pi} \right) = a^2$.
चूंकि $A_1 = A_2$ है,इसलिए दोनों कुंडलियों द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क समान है।
अतः,पहली कुंडली द्वारा अनुभव किए गए टॉर्क और दूसरी कुंडली द्वारा अनुभव किए गए टॉर्क का अनुपात $1: 1$ है।

(B) $1$. सबसे पहले,परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें। $1 \text{ k}\Omega$ और $2 \text{ k}\Omega$ के प्रतिरोधक $3 \text{ k}\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega + 3 \text{ k}\Omega = 6 \text{ k}\Omega = 6000 \ \Omega$ है।
$2$. परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{6000 \ \Omega} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.5 \text{ mA}$ है।
$3$. $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $V_{AB} = I \times R_{1k} = 0.5 \text{ mA} \times 1 \text{ k}\Omega = 0.5 \text{ V}$ है। अतः,$V_A - V_B = 0.5 \text{ V}$ है।
$4$. $A$ के सापेक्ष बिंदु $C$ पर विभव संधारित्रों के लिए वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं और उनसे कोई $DC$ धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए विभव $V_C$ उनकी धारिता के अनुपात द्वारा निर्धारित होता है। $V_A - V_C = V_{AD} \times \frac{C_2}{C_1 + C_2}$,जहाँ $V_{AD} = I \times (1 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega) = 0.5 \text{ mA} \times 3 \text{ k}\Omega = 1.5 \text{ V}$ है।
$5$. $V_A - V_C = 1.5 \text{ V} \times \frac{2 \mu\text{F}}{1 \mu\text{F} + 2 \mu\text{F}} = 1.5 \times \frac{2}{3} = 1.0 \text{ V}$ है।
$6$. अब,$V_{BC} = V_B - V_C = (V_A - V_C) - (V_A - V_B) = 1.0 \text{ V} - 0.5 \text{ V} = 0.5 \text{ V}$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
इससे पता चलता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$।
दिया गया है:
$\lambda_1 = 0.4 \times 10^{-10} \ m$
$E_1 = 1.0 \ keV$
$\lambda_2 = 1.0 \times 10^{-10} \ m$
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{0.4 \times 10^{-10}}{1.0 \times 10^{-10}} = \sqrt{\frac{E_2}{1.0 \ keV}}$
$0.4 = \sqrt{E_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$E_2 = (0.4)^2 = 0.16 \ keV$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$h v = W + e V$,जहाँ $W$ कार्य फलन है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $V$ निरोधी विभव है।
आवृत्ति $v_{1}$ के लिए: $h v_{1} = W + e V_{1}$ --- $(i)$
आवृत्ति $v_{2}$ के लिए: $h v_{2} = W + e V_{2}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से $h = \frac{W + e V_{1}}{v_{1}}$ प्राप्त करके इसे समीकरण (ii) में रखने पर:
$(\frac{W + e V_{1}}{v_{1}}) v_{2} = W + e V_{2}$
$W v_{2} + e V_{1} v_{2} = W v_{1} + e V_{2} v_{1}$
$e(V_{1} v_{2} - V_{2} v_{1}) = W v_{1} - W v_{2}$
$e(V_{1} v_{2} - V_{2} v_{1}) = -W(v_{2} - v_{1})$
$e = \frac{W(v_{2} - v_{1})}{V_{2} v_{1} - V_{1} v_{2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना कुल आवेश $Q = 0.8 \text{ C}$ है।
माना $Q_{1} = q$,तो $Q_{2} = Q - q = (0.8 - q)$ होगा।
दो आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} = \frac{k q (0.8 - q)}{r^{2}}$
बल $F$ को अधिकतम होने के लिए,$q$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन शून्य होना चाहिए:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^{2}} \frac{d}{dq} (0.8q - q^{2}) = 0$
$0.8 - 2q = 0$
$2q = 0.8$
$q = 0.4 \text{ C}$
अतः,$Q_{1} = 0.4 \text{ C}$ और $Q_{2} = 0.8 - 0.4 = 0.4 \text{ C}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बल तब अधिकतम होता है जब $Q_{1} = Q_{2} = 0.4 \text{ C}$ हो।

(D) कण $X$-अक्ष के अनुदिश $u$ के स्थिर वेग से गति करता है, इसलिए $x = ut$, जिसका अर्थ है $t = x/u$।
$Y$-अक्ष के अनुदिश, कण पर बल $F = eE$ है, इसलिए त्वरण $a_y = \frac{eE}{m}$ है।
$Y$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2 = \left( \frac{eE}{2mu^2} \right) x^2$ है।
यह $x^2 = 4ay$ के रूप वाले परवलय का समीकरण है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 = \left( \frac{2mu^2}{eE} \right) y$।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ के साथ तुलना करने पर, हमें $4a = \frac{2mu^2}{eE}$ प्राप्त होता है।
अतः, फोकस दूरी $a = \frac{2mu^2}{4eE} = \frac{mu^2}{2eE}$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए विद्युत फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन के किसी भी एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}}$ होगा।

(B) $I$ धारा वहन करने वाले $L$ लंबाई के एक सीमित तार खंड के लिए,उसके लंब समद्विभाजक पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,बायो-सावर्ट नियम के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2})$
$L$ लंबाई के खंड के लिए,$\sin \theta_{1} = \sin \theta_{2} = \frac{L/2}{\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}}}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \cdot \frac{L}{\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}}}$.
चूंकि $r >> L$,हर में $\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}} \approx r$ लिया जा सकता है।
अतः,$B \approx \frac{\mu_{0} I L}{4 \pi r^{2}}$.
इस प्रकार,चुंबकीय क्षेत्र $\frac{1}{r^{2}}$ के अनुपात में घटता है।

(C) तीसरे तार पर कोई शुद्ध चुंबकीय बल कार्य न करे,इसके लिए पहले और दूसरे तार द्वारा तीसरे तार की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पहले और दूसरे तार में धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए उनके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उनके बीच के क्षेत्र में एक ही दिशा में होंगे और उनके बाहर के क्षेत्रों में विपरीत दिशाओं में होंगे।
मान लीजिए कि तीसरा तार पहले तार से $x$ दूरी पर रखा गया है। यदि इसे दोनों तारों के बीच के क्षेत्र के बाहर (छोटी धारा,यानी $1 \ A$ वाले तार की ओर) रखा जाता है,तो क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाणों की तुलना करने पर:
$B_1 = B_2$
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (0.1 + x)}$
दिए गए मान $I_1 = 1 \ A$ और $I_2 = 2 \ A$ रखने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{0.1 + x}$
$0.1 + x = 2x$
$x = 0.1 \ m$
इस प्रकार,तीसरा तार पहले तार से $0.1 \ m$ की दूरी पर,दूसरे तार से दूर रखा गया है।

(A) दिया गया है:
प्रोटॉन का वेग $v = 10^{6} \ m/s$,$Y$-अक्ष के अनुदिश।
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \times 10^{4} \ V/m$,ऋणात्मक $X$-अक्ष के अनुदिश।
विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m} = 10^{8} \ C/kg$।
चूंकि प्रोटॉन एकसमान वेग से गति कर रहा है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है। अतः,चुंबकीय बल विद्युत बल को संतुलित करता है:
$qE = qvB$
$B = \frac{E}{v} = \frac{2 \times 10^{4}}{10^{6}} = 2 \times 10^{-2} \ T$
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो प्रोटॉन चुंबकीय बल के कारण वृत्ताकार पथ में गति करता है,जो अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{(e/m)B}$
$R = \frac{10^{6}}{10^{8} \times 2 \times 10^{-2}}$
$R = \frac{10^{6}}{2 \times 10^{6}} = 0.5 \ m$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $0.5 \ m$ है।

(B) चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ और सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ के बीच का संबंध $\chi = \mu_r - 1$ है।
साथ ही,निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$ सापेक्ष पारगम्यता से $\mu = \mu_r \mu_0$ द्वारा संबंधित है।
अनुचुंबकीय पदार्थ के लिए,$\chi$ छोटा और धनात्मक $(\chi > 0)$ होता है,जिसका अर्थ है $\mu_r > 1$,और इसलिए $\mu > \mu_0$।
प्रतिचुंबकीय पदार्थ के लिए,$\chi$ छोटा और ऋणात्मक $(\chi < 0)$ होता है,जिसका अर्थ है $\mu_r < 1$,और इसलिए $\mu < \mu_0$।
लौह-चुंबकीय पदार्थ के लिए,$\chi$ बहुत बड़ा और धनात्मक $(\chi \gg 1)$ होता है,जिसका अर्थ है $\mu_r \gg 1$,और इसलिए $\mu \gg \mu_0$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(b)$ और $(d)$ दोनों वैज्ञानिक रूप से सही कथन हैं।

(A) रेडॉन-$222$ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3.8 \text{ दिन}$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 19 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n$ इस प्रकार है: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{19}{3.8} = 5$.
शेष मात्रा $N$ सूत्र $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
यहाँ $N_0 = 0.064 \ kg$ और $n = 5$ दिया गया है,इसलिए:
$N = 0.064 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$
$N = 0.064 \times \frac{1}{32}$
$N = 0.002 \ kg$.
अतः,$19$ दिनों के बाद शेष रेडॉन-$222$ की मात्रा $0.002 \ kg$ होगी।

(C) मान लीजिए कि इकाई ऋण आवेश लंब समद्विभाजक पर मध्य-बिंदु से $x$ दूरी पर है। प्रत्येक स्थिर आवेश $+Q$ से इस आवेश की दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
प्रत्येक $+Q$ आवेश द्वारा इकाई ऋण आवेश पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot 1}{r^2} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)}$ है।
आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत इन बलों के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि लंब समद्विभाजक की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं।
शुद्ध प्रत्यानयन बल $F_{\text{net}} = -2F \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ है।
$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = -\frac{2Qx}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
चूंकि $x \ll a$,हम $(x^2 + a^2)^{3/2} \approx a^3$ का अनुमान लगा सकते हैं।
अतः,$F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x = -\left( \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $F = -kx_{eff}$ है,जहाँ $k_{eff} = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3}$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 M a^3}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प गणना की गई आवृत्ति से मेल नहीं खाता है।

(B) बिंदु वस्तु को उत्तल लेंस के फोकस पर रखा गया है।
जब फोकस पर स्थित वस्तु से प्रकाश की किरणें लेंस से होकर गुजरती हैं,तो वे मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
ये समानांतर किरणें लेंस के नीचे क्षैतिज रूप से रखे गए समतल दर्पण पर पड़ती हैं।
समतल दर्पण इन किरणों को उसी पथ पर वापस परावर्तित कर देता है।
ये परावर्तित किरणें,समानांतर होने के कारण,फिर से लेंस से होकर गुजरती हैं और लेंस के फोकस बिंदु पर अभिसरित होती हैं।
इसलिए,अंतिम प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनता है जहाँ वस्तु स्थित है,जो लेंस के केंद्र से $0.1 \ m$ ऊपर है।

(C) दिया है,त्रिज्या $R=0.05 \ m = 5 \times 10^{-2} \ m$।
अपवर्तनांक $n=1.5$।
क्रांतिक कोण $c$ के लिए,$\sin c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$।
चित्र की ज्यामिति से,जो किरण वक्र सतह पर क्रांतिक कोण $c$ पर आपतित होती है,वह सतह के स्पर्शरेखीय बाहर निकलेगी और बेलन के किनारे से $x$ दूरी पर मेज पर टकराएगी।
त्रिज्या $R$ और दूरी $(R+x)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,केंद्र पर कोण $c$ है।
अतः,$\cos c = \frac{R}{R+x}$।
चूंकि $\sin c = \frac{2}{3}$,इसलिए $\cos c = \sqrt{1 - \sin^2 c} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$।
$\cos c$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{R}{R+x}$।
$\sqrt{5}(R+x) = 3R$।
$x = R \left( \frac{3\sqrt{5}-5}{5} \right)$।
$R = 5 \times 10^{-2} \ m$ रखने पर,$x = (3\sqrt{5}-5) \times 10^{-2} \ m$ प्राप्त होता है।

(D) दर्पण पर सूर्य द्वारा अंतरित कोण $\theta$,सूर्य के व्यास $(D)$ और पृथ्वी तथा सूर्य के बीच की दूरी $(d_{SE})$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सूर्य बहुत अधिक दूरी पर है,इसलिए इसका प्रतिबिंब अवतल दर्पण के फोकस पर बनता है।
कोणीय आकार $\theta = \frac{D}{d_{SE}} = 0.009 \ rad$ है।
फोकल तल पर बनने वाले प्रतिबिंब का व्यास $(d)$,$d = f \times \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ दर्पण की फोकस दूरी है।
फोकस दूरी $f$,वक्रता त्रिज्या $R = 0.4 \ m$ की आधी होती है,इसलिए $f = \frac{R}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ m$ है।
मान रखने पर,हमें $d = 0.2 \ m \times 0.009 = 0.0018 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = 1.8 \times 10^{-3} \ m$।

(D) $p-n$ जंक्शन डायोड एक दिष्टकारी (rectifier) के रूप में कार्य करता है,जो केवल एक दिशा में धारा को प्रवाहित होने देता है।
जब $p$-क्षेत्र को बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से और $n$-क्षेत्र को ऋणात्मक टर्मिनल से जोड़ा जाता है,तो डायोड अग्र अभिनति (forward bias) में होता है,और परिपथ में धारा प्रवाहित होती है।
जब बैटरी की ध्रुवता को उलट दिया जाता है,तो $p$-क्षेत्र ऋणात्मक टर्मिनल से और $n$-क्षेत्र धनात्मक टर्मिनल से जुड़ जाता है। यह पश्च अभिनति (reverse bias) है,जिसमें अवक्षय परत (depletion layer) चौड़ी हो जाती है,और परिपथ में व्यावहारिक रूप से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।

(B) यह परिपथ दो $AND$ गेट, दो $NOT$ गेट और एक $NOR$ गेट से बना है। आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{(A \cdot B) + (\overline{A} \cdot \overline{B})}$ है।
स्थिति $1$: जब $A = 1$ और $B = 1$ है, तो ऊपरी $AND$ गेट का आउटपुट $1 \cdot 1 = 1$ है। निचले $AND$ गेट का आउटपुट $\overline{1} \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$ है। $NOR$ गेट को $1$ और $0$ इनपुट मिलते हैं, इसलिए $Y = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ होगा।
स्थिति $2$: जब $A = 0$ और $B = 0$ है, तो ऊपरी $AND$ गेट का आउटपुट $0 \cdot 0 = 0$ है। निचले $AND$ गेट का आउटपुट $\overline{0} \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$ है। $NOR$ गेट को $0$ और $1$ इनपुट मिलते हैं, इसलिए $Y = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$ होगा।
अतः, आउटपुट $0$ और $0$ हैं।

(A) दो अध्यारोपित सुसंगत प्रकाश पुंजों की परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ पुंजों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi = 1$ (संपोषी व्यतिकरण):
$I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
यहाँ $I_1 = L$ और $I_2 = \frac{L}{4}$ दिया गया है:
$I_{\max} = (\sqrt{L} + \sqrt{\frac{L}{4}})^2 = (\sqrt{L} + \frac{\sqrt{L}}{2})^2 = (\frac{3\sqrt{L}}{2})^2 = \frac{9L}{4}$
न्यूनतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi = -1$ (विनाशी व्यतिकरण):
$I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{L} - \frac{\sqrt{L}}{2})^2 = (\frac{\sqrt{L}}{2})^2 = \frac{L}{4}$
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताएँ क्रमशः $\frac{9L}{4}$ और $\frac{L}{4}$ होंगी।