WBJEE 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપાત કિરણનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ છે.
$x$-અક્ષ પર આપાત બિંદુ $A$ શોધો ($y=0$ મૂકતા): $x + \sqrt{3}(0) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. તેથી,$A = (\sqrt{3}, 0)$.
આપાત કિરણ પર એક બિંદુ $B$ લો,દા.ત.,$x=0$ $\Rightarrow \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ $\Rightarrow y=1$. તેથી,$B = (0, 1)$.
પરાવર્તિત કિરણ $A(\sqrt{3}, 0)$ અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષે $B(0, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $B'(0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
પરાવર્તિત કિરણ $AB'$ નો ઢાળ $m = \frac{-1 - 0}{0 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$ છે.
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-6x-2=0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$x^{n}-6x^{n-1}-2x^{n-2}=0$
$\Rightarrow x^{n}-2x^{n-2}=6x^{n-1}$
$x = \alpha$ અને $x = \beta$ માટે:
$\alpha^{n}-2\alpha^{n-2}=6\alpha^{n-1}$
$\beta^{n}-2\beta^{n-2}=6\beta^{n-1}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^{n}-\beta^{n})-2(\alpha^{n-2}-\beta^{n-2})=6(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})$
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$a_{n}-2a_{n-2}=6a_{n-1}$
$n=10$ માટે:
$a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$
તેથી,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{2a_{9}} = \frac{6a_{9}}{2a_{9}} = 3$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6^{x}+8^{x}=10^{x}$
બંને બાજુ $10^{x}$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{6}{10}\right)^{x}+\left(\frac{8}{10}\right)^{x}=1$
$\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=1$
ધારો કે $f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$.
અહીં $\frac{3}{5} < 1$ અને $\frac{4}{5} < 1$ હોવાથી,બંને વિધેયો $\left(\frac{3}{5}\right)^{x}$ અને $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$ એ ચુસ્ત ઘટતા વિધેયો છે.
તેથી,તેમનો સરવાળો $f(x)$ પણ એક ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
ચુસ્ત ઘટતું વિધેય વધુમાં વધુ એક વાર $1$ કિંમત ધારણ કરી શકે.
અવલોકન કરતા,$x=2$ માટે,$\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2} = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
આમ,$x=2$ એ અનન્ય ઉકેલ છે.
તેથી,સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \{(z, w) \mid |z| = |w|\}$ અને $B = \{(z, w) \mid z^2 = w^2\}$.
કોઈપણ $(z, w) \in B$ માટે,$z^2 = w^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $z^2 - w^2 = 0$,તેથી $(z - w)(z + w) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $z = w$ અથવા $z = -w$.
જો $z = w$ હોય,તો $|z| = |w|$,તેથી $(z, w) \in A$.
જો $z = -w$ હોય,તો $|z| = |-w| = |w|$,તેથી $(z, w) \in A$.
આમ,$B$ નો દરેક ઘટક $A$ નો પણ ઘટક છે,જેનો અર્થ છે કે $B \subseteq A$.
જો કે,$(z, w) = (1, i)$ ધ્યાનમાં લો. અહીં $|z| = |1| = 1$ અને $|w| = |i| = 1$,તેથી $|z| = |w|$,એટલે કે $(1, i) \in A$.
પરંતુ $z^2 = 1^2 = 1$ અને $w^2 = i^2 = -1$,તેથી $z^2 \neq w^2$,એટલે કે $(1, i) \notin B$.
જેમ કે $A$ માં એવા ઘટકો છે જે $B$ માં નથી,તેથી $B \subset A$ એ સાચો સંબંધ છે.

(D) ધારો કે $z = e^{i \theta}$,જ્યાં $\theta \in \mathbb{R}$ અને $\theta \neq n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$.
$w = \frac{z}{1-z^2}$ લો.
$z = e^{i \theta}$ મૂકતા:
$w = \frac{e^{i \theta}}{1 - e^{i 2 \theta}}$
અંશ અને છેદને $e^{i \theta}$ વડે ભાગતા:
$w = \frac{1}{e^{-i \theta} - e^{i \theta}}$
$e^{-i \theta} - e^{i \theta} = -2i \sin \theta$ હોવાથી,
$w = \frac{1}{-2i \sin \theta} = \frac{i}{2 \sin \theta}$.
અહીં $w$ નો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
તેથી,$w$ નો બિંદુપથ $y$-અક્ષ છે.

(B) આપેલ છે કે $|z|-2=0 \implies |z|=2$. આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે,તેથી $x^2+y^2=4$.
વળી,$|z+i|-|z-1|=0 \implies |z+i|=|z-1|$.
ધારો કે $z=x+iy$. તો $|x+i(y+1)|=|x-1+iy|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+(y+1)^2=(x-1)^2+y^2$.
$x^2+y^2+2y+1=x^2-2x+1+y^2$.
$2y=-2x \implies y=-x$.
$y=-x$ ને $x^2+y^2=4$ માં મૂકતા:
$x^2+(-x)^2=4 \implies 2x^2=4 \implies x^2=2 \implies x=\pm\sqrt{2}$.
જો $x=\sqrt{2}$ હોય,તો $y=-\sqrt{2}$,તેથી $z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-i)$.
જો $x=-\sqrt{2}$ હોય,તો $y=\sqrt{2}$,તેથી $z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}=\sqrt{2}(-1+i)$.
આમ,$z$ ની શક્ય કિંમતો $\sqrt{2}(1-i)$ અને $\sqrt{2}(-1+i)$ છે.

(A) આપણે સરવાળા $S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 99!$ નો એકમનો અંક શોધવો છે.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની ગણતરી કરીએ:
$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
કોઈપણ $n \ge 5$ માટે,$n!$ માં $5$ અને $2$ અવયવો હોય છે,તેથી $n!$ નો અંત $0$ થી થાય છે.
આમ,તમામ $n \ge 5$ માટે,$n!$ નો એકમનો અંક $0$ છે.
સરવાળો $S = 1! + 2! + 3! + 4! + (5! + 6! + \ldots + 99!)$ છે.
$S$ નો એકમનો અંક $(1! + 2! + 3! + 4!) + (0 + 0 + \ldots + 0)$ નો એકમનો અંક છે.
$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$.
$33$ નો એકમનો અંક $3$ છે.

(C) '$EQUATION$' શબ્દમાં $8$ અલગ અક્ષરો છે: $5$ સ્વર $(E, U, A, I, O)$ અને $3$ વ્યંજન $(Q, T, N)$.
આપણે $5$ માંથી $3$ સ્વર અને $3$ માંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો = $^5C_3 \times ^3C_2 = 10 \times 3 = 30$.
બધા $3$ સ્વરો સાથે હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $3$ સ્વરોને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે $1$ સ્વરનો બ્લોક અને $2$ વ્યંજન છે,એટલે કે કુલ $3$ એકમોની ગોઠવણી કરવાની છે.
આ $3$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો = $3! = 6$.
સ્વરના બ્લોકની અંદર,$3$ સ્વરોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $30 \times 6 \times 6 = 1080$.

(C) ધારો કે $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ એ $4$ પ્રશ્નોને ફાળવેલ ગુણ છે.
આપણને સમીકરણ આપેલ છે: $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10$,જ્યાં $x_{i} \geq 2$ દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે.
ધારો કે $y_{i} = x_{i} - 2$. કારણ કે $x_{i} \geq 2$,તેથી $y_{i} \geq 0$.
સમીકરણમાં $x_{i} = y_{i} + 2$ મૂકતા:
$(y_{1} + 2) + (y_{2} + 2) + (y_{3} + 2) + (y_{4} + 2) = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + 8 = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = 2$.
અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 2$ અને $r = 4$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{2+4-1}{4-1} = \binom{5}{3} = 10$.

(A) આપેલ સંબંધ $h(p) = \frac{1}{2}\{h(p+1) + h(p-1)\}$ ને $2h(p) = h(p+1) + h(p-1)$ તરીકે લખી શકાય,જે દર્શાવે છે કે $h(p+1) - h(p) = h(p) - h(p-1)$.
આથી,શ્રેણી $h(0), h(1), \ldots, h(100)$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તો $h(n) = h(0) + nd$.
$h(100) = 20$ અને $h(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા,$20 = 5 + 100d$.
$100d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{100} = 0.15$.
તેથી,$h(1) = h(0) + d = 5 + 0.15 = 5.15$.

(C) કારણ કે $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right), \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right), \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right)$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી: $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right) + \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right) = 2 \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right)$
$\log \left(\frac{5 c}{7 b}\right) = \log \left(\frac{49 b^2}{25 c^2}\right)$
$\frac{5 c}{7 b} = \frac{49 b^2}{25 c^2}$ $\Rightarrow 5 c = 7 b$ $\Rightarrow c = \frac{7}{5} b$
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$. તેથી $a = \frac{5}{7} b$.
બાજુઓ $\frac{5}{7} b, b, \frac{7}{5} b$ છે.
બધી બાજુઓ અસમાન હોવાથી,તે વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{3} \log _{b} a+\frac{3}{5} \log _{c} b+\frac{5}{2} \log _{a} c=3$.
ધારો કે $x = \frac{2}{3} \log _{b} a$,$y = \frac{3}{5} \log _{c} b$,અને $z = \frac{5}{2} \log _{a} c$.
અહીં $x \cdot y \cdot z = (\frac{2}{3} \log _{b} a) \cdot (\frac{3}{5} \log _{c} b) \cdot (\frac{5}{2} \log _{a} c) = 1$ થાય છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ,જો $x+y+z=3$ અને $xyz=1$ હોય,તો $x=y=z=1$ થાય.
તેથી,$\frac{2}{3} \log _{b} a = 1 \Rightarrow \log _{b} a = \frac{3}{2}$.
$b=9$ મૂકતા,$\log _{9} a = \frac{3}{2}$.
તેથી,$a = 9^{3/2} = 27$.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = (1+x)^{2016}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$ અને $n = 2017$ પદો છે.
સરવાળો $S = A \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{\frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}} \cdot (1+x) = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1+x)^{2017}$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(1+x)^{2017} = \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i$.
તેથી,$\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = \left( \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i \right) - x^{2017} = \sum_{i=0}^{2016} {}^{2017}C_i x^i$.
$x^{17}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $a_{17} = {}^{2017}C_{17} = \frac{2017!}{17! (2017-17)!} = \frac{2017!}{17! 2000!}$.

(B) ધારો કે $x = 7^{7^{...7}}$ ($22$ વખત $7$). આપણે $x \pmod{48}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
નોંધો કે $7^2 = 49 \equiv 1 \pmod{48}$.
$7$ નો ઘાતાંક $7^{7^{...7}}$ ($21$ વખત $7$) છે,જે સ્પષ્ટપણે એકી સંખ્યા છે,તેથી ઘાતાંકને $2k+1$ તરીકે લઈએ.
તેથી $7^{2k+1} = 7 \times (7^2)^k = 7 \times (49)^k$.
$49 \equiv 1 \pmod{48}$ હોવાથી,$49^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{48}$.
તેથી,$7 \times (49)^k \equiv 7 \times 1 \equiv 7 \pmod{48}$.
શેષ $7$ છે.

(C) $(bc + ca + ab)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{6!}{p! q! r!} (bc)^{p} (ca)^{q} (ab)^{r} = \frac{6!}{p! q! r!} a^{q+r} b^{p+r} c^{p+q}$ છે.
આપણે $a^{3} b^{4} c^{5}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$q + r = 3$
$p + r = 4$
$p + q = 5$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(p + q + r) = 12$,તેથી $p + q + r = 6$.
દરેક સમીકરણને સરવાળામાંથી બાદ કરતા:
$p = 3, q = 2, r = 1$
સહગુણક $\frac{6!}{3! 2! 1!} = 60$ થાય.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$B(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ અને $C(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(a \cos \theta)(-b \sin \theta) - (a \cos \theta)(b \sin \theta)| = ab |\sin \theta \cos \theta| = \frac{ab}{2} |\sin 2\theta|$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \frac{ab}{2} |\sin 2\theta| = ab |\sin 2\theta|$.
$|\sin 2\theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $\theta = \pi / 4$ માટે મળે છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $ab$ છે જ્યારે $\theta = \pi / 4$.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $OA = 2$ અને કેન્દ્ર $O$ એ $(0,0)$ છે.
$MA$ સ્પર્શક હોવાથી,$\angle OAM = 90^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAM$ માં,કર્ણ $OM = 4$ અને બાજુ $OA = 2$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$MA = \sqrt{OM^{2} - OA^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
ચતુષ્કોણ $MAOB$ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણો,$\triangle OAM$ અને $\triangle OBM$ નો બનેલો છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $MAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle OAM)$.
Area $(\triangle OAM) = \frac{1}{2} \times OA \times MA = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
આમ,ચતુષ્કોણ $MAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $B = (2\alpha, 0)$.
$A = (0, 4)$ હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\alpha, 2)$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{0-4}{2\alpha-0} = -\frac{2}{\alpha}$ છે.
$AB$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{MR} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
$M(\alpha, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{\alpha}{2}$ ઢાળવાળી રેખા $MR$ નું સમીકરણ $y-2 = \frac{\alpha}{2}(x-\alpha)$ છે.
$R$ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકતા: $y-2 = \frac{\alpha}{2}(0-\alpha) \Rightarrow y = 2 - \frac{\alpha^{2}}{2}$.
તેથી,$R = (0, 2 - \frac{\alpha^{2}}{2})$.
ધારો કે $P(x, y)$ એ $MR$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $x = \frac{\alpha+0}{2} = \frac{\alpha}{2}$ અને $y = \frac{2 + (2 - \alpha^{2}/2)}{2} = 2 - \frac{\alpha^{2}}{4}$.
$x = \frac{\alpha}{2}$ પરથી,$\alpha = 2x$ મળે.
$y$ ના સમીકરણમાં $\alpha = 2x$ મૂકતા: $y = 2 - \frac{(2x)^{2}}{4} = 2 - x^{2}$.
આમ,$y+x^{2}=2$.

(B) ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
ધારો કે $A = (\alpha, -\alpha)$ અને $B = (\beta, \beta)$.
તેથી,મધ્યબિંદુ $(h, k) = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\beta-\alpha}{2}\right)$.
માટે,$\alpha+\beta = 2h$ અને $\beta-\alpha = 2k$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2} + (-\alpha)^{2}} \sqrt{\beta^{2} + \beta^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^{2}} \sqrt{2\beta^{2}} = |\alpha\beta| = C$.
આમ,$\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\beta+\alpha)^{2} - (\beta-\alpha)^{2} = 4\alpha\beta$.
તેથી,$4\alpha\beta = (2h)^{2} - (2k)^{2} = 4(h^{2}-k^{2})$,જે સૂચવે છે કે $\alpha\beta = h^{2}-k^{2}$.
આ કિંમત $\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$ માં મૂકતા,આપણને $(h^{2}-k^{2})^{2} = C^{2}$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^{2}-y^{2})^{2} = C^{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O(x_0, y_0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $P(x_0 + r \cos \theta, y_0 + r \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $Q$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(a, b)$ છે.
ધારો કે $R(h, k)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{x_0 + r \cos \theta + a}{2}$ અને $k = \frac{y_0 + r \sin \theta + b}{2}$.
આ સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$2h - (x_0 + a) = r \cos \theta$
$2k - (y_0 + b) = r \sin \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(2h - (x_0 + a))^2 + (2k - (y_0 + b))^2 = r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$4(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + 4(k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = r^2$
$(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + (k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = (\frac{r}{2})^2$
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{x_0 + a}{2}, \frac{y_0 + b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\frac{r}{2}$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = x$ છે,જે $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$ થાય.
પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે,બિંદુ $(h, k)$ માંથી ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ દોરવાની શરત $h > 2a$ છે.
અહીં,બિંદુ $(d, 0)$ છે,તેથી $h = d$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d > 2 \times \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$d > \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $6y = 2a^3x^2 + 3a^2x - 12a$ છે.
$2a^3$ વડે ભાગતા,$x^2 + \frac{3}{2a}x = \frac{6y + 12a}{2a^3}$ મળે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x + \frac{3}{4a})^2 = \frac{48y + 105a}{16a^3}$ મળે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ માટે $h = -\frac{3}{4a}$ અને $k = -\frac{35a}{16}$ થાય.
$h = -\frac{3}{4a}$ પરથી $a = -\frac{3}{4h}$ મળે.
$k$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \frac{105}{64h}$ મળે.
તેથી,બિંદુપથ $xy = \frac{105}{64}$ છે.

(C) બે ઉપવલયોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વક્રના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_1: x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20=0$ અને $S_2: 2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15=0$ છે.
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20) + \lambda(2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15) = 0$
$(1+2\lambda)x^{2} + (2+\lambda)y^{2} - (6+10\lambda)x - (12+6\lambda)y + (20+15\lambda) = 0$
આ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે,$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ:
$1+2\lambda = 2+\lambda \Rightarrow \lambda = 1$
સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 35 = 0$
$x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + \frac{35}{3} = 0$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{g}{2}, -\frac{f}{2}\right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $2g = -\frac{16}{3}$ અને $2f = -6$ છે.
કેન્દ્ર $= \left(\frac{16/3}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(\frac{8}{3}, 3\right)$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^{2}+2y^{2}=4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=4$,તેથી $a=2$ મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નું સહાયક વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ ને અનુરૂપ સહાયક વર્તુળ પરના બિંદુના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$ અને $a=2$,તેથી યામ $(2 \cos 60^{\circ}, 2 \sin 60^{\circ})$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(2 \times \frac{1}{2}, 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે ચલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. ધારો કે બે આપેલા વર્તુળોના કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ છે અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ચલ વર્તુળ બે આપેલા વર્તુળોને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય છે:
$OO_1 = r + r_1$
$OO_2 = r + r_2$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$OO_2 - OO_1 = (r + r_2) - (r + r_1) = r_2 - r_1$
અહીં $r_1$ અને $r_2$ અચળ હોવાથી,બિંદુ $O$ નું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $O_1$ અને $O_2$ થી અંતરનો તફાવત અચળ રહે છે. વ્યાખ્યા મુજબ,આ અતિવલયનો બિંદુપથ છે.

(C) સૌ પ્રથમ આપણે સાઈન વિધેયની અંદરના લક્ષની કિંમત શોધીએ:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \dots) - x - 1 - \frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{6} + \dots}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x}{6} + \dots) = 0$
વિધેય $\sin(u)$ એ $u=0$ આગળ સતત હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I = \sin(L) = \sin(0) = 0$

(C) આપણે $1^{\infty}$ સ્વરૂપના લક્ષની કિંમત $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)(f(x)-1)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવીએ છીએ.
અહીં $f(x) = \frac{3x-1}{3x+1}$ અને $g(x) = 4x$ છે.
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} 4x \left( \frac{3x-1}{3x+1} - 1 \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} 4x \left( \frac{3x-1 - (3x+1)}{3x+1} \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} 4x \left( \frac{-2}{3x+1} \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-8x}{3x+1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-8}{3 + 1/x} = -\frac{8}{3}$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $e^{-8/3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(A \cap C) \cup (B \cap C^{\prime}) = \phi$.
બે ગણોનો યોગગણ ખાલી ગણ $\phi$ હોવાથી,દરેક ગણ ખાલી હોવો જોઈએ.
તેથી,$A \cap C = \phi$ અને $B \cap C^{\prime} = \phi$.
$B \cap C^{\prime} = \phi$ પરથી,આપણને $B \subseteq C$ મળે છે.
$A \cap C = \phi$ અને $B \subseteq C$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $A \cap B = \phi$.

(D) વિધેય $f$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય કહેવાય જો દરેક $x$ માટે $f(x+T) = f(x)$ હોય.
સરવાળા $f+g$ ને આવર્તી બનાવવા માટે,એક એવો અચળાંક $T > 0$ હોવો જોઈએ કે જેથી $(f+g)(x+T) = (f+g)(x)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$.
જો $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ એ સંમેય સંખ્યા હોય,ધારો કે $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{p}{q}$ જ્યાં $p, q \in \mathbb{Z}^{+}$,તો $qT_{1} = pT_{2} = T$ થાય.
આ કિસ્સામાં,$f(x+T) = f(x)$ અને $g(x+T) = g(x)$ હોવાથી,$(f+g)(x+T) = f(x) + g(x)$ થાય છે.
આમ,જો તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોય તો $f+g$ એ આવર્તી વિધેય છે.

(A) ધારો કે સમતલના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a, b, c$ છે. તેથી,બિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, r, r^2)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = r \Rightarrow b = 3r$
$\frac{c}{3} = r^2 \Rightarrow c = 3r^2$
સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ મળે છે.
સમતલ $(5, 5, -12)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી:
$\frac{5}{3} + \frac{5}{3r} - \frac{12}{3r^2} = 1$
$3r^2$ વડે ગુણતા,આપણને $5r^2 + 5r - 12 = 3r^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2r^2 + 5r - 12 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2r - 3)(r + 4) = 0$.
આમ,$r = \frac{3}{2}$ અથવા $r = -4$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ છે.
$P(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ છે.
જ્યાં અભિલંબ $x$-અક્ષને મળે છે તે બિંદુ $G$ શોધવા માટે,$Y = 0$ મૂકતા:
$-y = -\frac{dx}{dy}(X - x) \implies y \frac{dy}{dx} = X - x \implies X = x + y \frac{dy}{dx}$.
બિંદુ $G$ એ $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ છે.
ઉગમબિંદુથી $G$ નું અંતર $|x + y \frac{dy}{dx}|$ છે. આપેલ છે કે આ અંતર $P$ ના $x$-યામ કરતા બમણું છે:
$x + y \frac{dy}{dx} = 2x \implies y \frac{dy}{dx} = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int x \, dx \implies \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \implies y^2 - x^2 = 2C$.
આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.

(A) આપેલ પદાવલિને $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સરવાળાને $\sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{n \sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}} \right) = \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(1+\frac{4 r}{n})^{3 / 2}} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
આ રીમાન સરવાળો છે જે નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+4x)^{3/2}}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $z = 1+4x$,તો $dz = 4dx$,તેથી $dx = \frac{dz}{4}$.
જ્યારે $x=0, z=1$ અને જ્યારે $x=1, z=5$.
સંકલન $\frac{1}{4} \int_{1}^{5} z^{-3/2} dz = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^{-1/2}}{-1/2} \right]_{1}^{5} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{z}} \right]_{1}^{5}$ થશે.
$= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \frac{5-\sqrt{5}}{10}$.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$t_{n} = \tan^{-1} \frac{1}{2n^2}$ મળે.
આને $t_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{4n^2} = \tan^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ તરીકે લખી શકાય.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ મળે.
સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1} 1$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા,$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(B) સામ્ય સંબંધ હોવા માટે,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2\}$ નું વિશ્લેષણ:
- સ્વવાચકતા: $S$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in R$ માટે $(x, x) \in S$ હોવું જોઈએ. આ માટે $x = x + 1$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $0 = 1$,જે વિરોધાભાસ છે. તેથી,$S$ સ્વવાચક નથી.
- સંમિતતા: $S$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in S$,તો $(y, x) \in S$ હોવું જોઈએ. જો $(x, y) \in S$,તો $y = x + 1$. $(y, x) \in S$ માટે,આપણને $x = y + 1$ જોઈએ. $y$ ની કિંમત મૂકતા,$x = (x + 1) + 1 = x + 2$ મળે,જે અશક્ય છે. તેથી,$S$ સંમિત નથી.
- $S$ સ્વવાચક કે સંમિત ન હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ નથી.
$2$. $T = \{(x, y) : (x - y) \in \mathbb{Z}\}$ નું વિશ્લેષણ:
- સ્વવાચકતા: $(x - x) = 0$,જે પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(x, x) \in T$.
- સંમિતતા: જો $(x, y) \in T$,તો $(x - y) = k$ જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$. તો $(y - x) = -k$,જે પણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(y, x) \in T$.
- પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in T$ અને $(y, z) \in T$,તો $(x - y) = k_1$ અને $(y - z) = k_2$ જ્યાં $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(x - z) = k_1 + k_2$,જે પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(x, z) \in T$.
- $T$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,$T$ એ $R$ પર સામ્ય સંબંધ છે પરંતુ $S$ નથી.

(C) ધારો કે આપેલા સમીકરણો છે:
$(0\,1\,2) M = (1\,0\,0)$ --- $(i)$
$(3\,4\,5) M = (0\,1\,0)$ --- $(ii)$
આપણે $(6\,7\,8) M$ શોધવા માંગીએ છીએ.
હાર સદિશો $(0\,1\,2)$ અને $(3\,4\,5)$ ના સુરેખ સંયોજનને ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $x(0\,1\,2) + y(3\,4\,5) = (6\,7\,8)$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$3y = 6 \Rightarrow y = 2$
$x + 4y = 7 \Rightarrow x + 8 = 7 \Rightarrow x = -1$
$2x + 5y = 2(-1) + 5(2) = -2 + 10 = 8$. આ ત્રીજા ઘટક સાથે મેળ ખાય છે.
આમ, $(6\,7\,8) = -1(0\,1\,2) + 2(3\,4\,5)$.
જમણી બાજુ $M$ વડે ગુણતા:
$(6\,7\,8) M = -1((0\,1\,2) M) + 2((3\,4\,5) M)$
$(6\,7\,8) M = -1(1\,0\,0) + 2(0\,1\,0)$
$(6\,7\,8) M = (-1\,0\,0) + (0\,2\,0) = (-1\,2\,0)$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ વિસંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\top} = -A$ અને $B^{\top} = -B$ થાય.
આપેલ છે કે $AB = BA$.
આપણે પદાવલિ $E = A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$A^{\top} = -A$ મૂકતા,$E = A^{2} B^{2} (-AB)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ મળે.
ગુણધર્મ $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$ અને $(XY)^{\top} = Y^{\top} X^{\top}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) ((B^{-1})^{\top} A^{\top})$.
કારણ કે $(B^{-1})^{\top} = (B^{\top})^{-1} = (-B)^{-1} = -B^{-1}$,આ કિંમત મૂકતા:
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (-B^{-1} (-A))$.
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (B^{-1} A)$.
$AB = BA$ હોવાથી,$A^{-1} B = B A^{-1}$ અને $A B^{-1} = B^{-1} A$ થાય.
$E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1} B^{-1} A)$.
$E = -A^{2} B^{2} B^{-1} A^{-1} B^{-1} A$.
$E = -A^{2} B (B B^{-1}) A^{-1} B^{-1} A$.
$E = -A^{2} B (I) A^{-1} B^{-1} A$.
$E = -A^{2} (B A^{-1}) B^{-1} A$.
$B A^{-1} = A^{-1} B$ હોવાથી:
$E = -A^{2} A^{-1} B B^{-1} A$.
$E = -A (I) (I) A = -A^{2}$.

(C) લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \cos t-\lambda & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\lambda) [(\cos t - \lambda)^2 - (-\sin^2 t)] = 0$.
$(1-\lambda) [\cos^2 t - 2\lambda \cos t + \lambda^2 + \sin^2 t] = 0$.
કારણ કે $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,તેથી:
$(1-\lambda) [\lambda^2 - 2\lambda \cos t + 1] = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^3 + \lambda^2(1 + 2\cos t) - \lambda(2\cos t + 1) + 1 = 0$.
ત્રિઘાત સમીકરણ $a\lambda^3 + b\lambda^2 + c\lambda + d = 0$ ના બીજનો સરવાળો $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -b/a$ થાય છે.
અહીં,$\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -\frac{1 + 2\cos t}{-1} = 1 + 2\cos t$.
આપેલ છે કે $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$,તેથી:
$1 + 2\cos t = 1 + \sqrt{2} \Rightarrow 2\cos t = \sqrt{2} \Rightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$-\pi \leq t < \pi$ માટે,$\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નું સમાધાન કરતા $t$ ના મૂલ્યો $t = \frac{\pi}{4}$ અને $t = -\frac{\pi}{4}$ છે.

(D) ધારો કે $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ છે. તેથી $n$-મું પદ $a_n = ar^{n-1}$ છે.
લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log a_n = \log a + (n-1) \log r$.
ધારો કે $A = \log a$ અને $D = \log r$. તેથી $\log a_n = A + (n-1)D$.
નિશ્ચાયક આ મુજબ બને છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} A+(n-1)D & A+nD & A+(n+1)D \\ A+(n+2)D & A+(n+3)D & A+(n+4)D \\ A+(n+5)D & A+(n+6)D & A+(n+7)D \end{array}\right|$
હવે હાર પર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ કરતા:
$R_2 - R_1 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
$R_3 - R_2 = \begin{bmatrix} 3D & 3D & 3D \end{bmatrix}$
અહીં બે હાર ($R_2$ અને $R_3$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a b & a c \\ a b & b^{2}+10 & b c \\ a c & b c & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a(a^{2}+10) & a^2 b & a^2 c \\ ab^2 & b(b^{2}+10) & b^2 c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^{2}+10)\end{array}\right|$.
$C_1, C_2, C_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left|\begin{array}{ccc}a^{2}+10 & a^{2} & a^{2} \\ b^{2} & b^{2}+10 & b^{2} \\ c^{2} & c^{2} & c^{2}+10\end{array}\right|$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b^2 & b^2+10 & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2+10\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ b^2 & 10 & 0 \\ c^2 & 0 & 10\end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+10) \times (10 \times 10) = 100(a^2+b^2+c^2+10)$.
આમ,નિશ્ચાયક $100$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 3x+2 & 2x-1 \\ 2x-1 & 4x & 3x+1 \\ 7x-2 & 17x+6 & 12x-1\end{array}\right| = 0$.
હારની પ્રક્રિયા $R_{3} \rightarrow R_{3} - 3R_{1} - 2R_{2}$ લાગુ કરતા:
ત્રીજી હારના ઘટકો માટે:
$R_{3,1} = (7x-2) - 3(x) - 2(2x-1) = 7x - 2 - 3x - 4x + 2 = 0$.
$R_{3,2} = (17x+6) - 3(3x+2) - 2(4x) = 17x + 6 - 9x - 6 - 8x = 0$.
$R_{3,3} = (12x-1) - 3(2x-1) - 2(3x+1) = 12x - 1 - 6x + 3 - 6x - 2 = 0$.
ત્રીજી હારના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $x$ ની તમામ કિંમતો માટે $0$ થાય છે.
તેથી,આ સમીકરણ $x$ ની અનંત કિંમતો માટે સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq 5$.
મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x$ માટે,$0$ અને $x$ ની વચ્ચે એક એવું $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) - f(0) = f^{\prime}(c)(x - 0)$.
$f(0) = 0$ હોવાથી,આપણને $f(x) = f^{\prime}(c) \cdot x$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$f(1) = f^{\prime}(c) \cdot 1 = f^{\prime}(c)$.
$|f^{\prime}(c)| \leq 5$ હોવાથી,$|f(1)| \leq 5$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{0}^{1} -5 \, dx \leq \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \, dx \leq \int_{0}^{1} 5 \, dx$
$-5 \leq f(1) - f(0) \leq 5$
$f(0) = 0$ હોવાથી,આપણને $-5 \leq f(1) \leq 5$ મળે છે.
આમ,$f(1) \in [-5, 5]$.

(B) સ્થિર બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $f(c) = c$ લઈએ.
$1 + \sqrt{c} = c$
$\sqrt{c} = c - 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા ($c \geq 1$ માટે):
$c = (c - 1)^2$
$c = c^2 - 2c + 1$
$c^2 - 3c + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
$c \geq 1$ હોવાથી,આપણે કિંમતો તપાસીએ:
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 \geq 1$ (માન્ય)
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382 < 1$ (અમાન્ય)
આમ,$[1, \infty)$ પ્રદેશમાં માત્ર એક જ સ્થિર બિંદુ છે.

(C) ધારો કે $g(x) = f_{2}(x) - f_{1}(x) = 2 + \ln x - x$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $g(x) = 0$ ઉકેલીએ છીએ.
વિકલન $g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$ છે.
$x \in (0, 1)$ માટે $g'(x) > 0$ અને $x > 1$ માટે $g'(x) < 0$ છે.
આમ,$g(x)$ ને $x = 1$ પર સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $g(1) = 2 + \ln(1) - 1 = 1 > 0$ છે.
જેમ $x \to 0^{+}$,$g(x) \to -\infty$. $g(1) > 0$ હોવાથી,$(0, 1)$ માં એક બીજ છે.
જેમ $x \to \infty$,$g(x) \to -\infty$. $g(1) > 0$ હોવાથી,$(1, \infty)$ માં એક બીજ છે.
$x = e^{2}$ પર મૂલ્ય લેતા,$g(e^{2}) = 2 + \ln(e^{2}) - e^{2} = 4 - e^{2} < 0$.
$g(1) > 0$ અને $g(e^{2}) < 0$ હોવાથી,બીજું બીજ $(1, e^{2})$ માં આવેલું છે.
ચોક્કસ રીતે,$g(e) = 3 - e > 0$ હોવાથી,બીજ $(e, e^{2})$ માં છે.

(B) ગણ $A = \{-1, 0, 1\}$ એ $3$ સભ્યો ધરાવતો શાંત ગણ છે,એટલે કે $n(A) = 3$.
ગણ $T$ માં $3 \times 3$ કક્ષાના તમામ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકોનો સમાવેશ થાય છે. ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકોનો સમૂહ $O(3)$ એ અનંત ગણ છે.
ગણ $U$ માં $3 \times 3$ કક્ષાના તમામ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકોનો સમાવેશ થાય છે,જે જનરલ લીનિયર ગ્રુપ $GL(3, \mathbb{R})$ છે. આ પણ એક અનંત ગણ છે.
બે ગણો વચ્ચે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે જો તેમની કાર્ડિનાલિટી સમાન હોય.
અહીં $n(A) = 3$ છે અને $T$ તથા $U$ બંને અનંત ગણ હોવાથી,$n(A) \neq n(T)$ અને $n(A) \neq n(U)$ થાય.
તેથી,$A$ અને $T$ વચ્ચે અથવા $A$ અને $U$ વચ્ચે કોઈ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) આપેલ છે: $2f(x) + 3f(-x) = 15 - 4x$ ...$(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકતા:
$2f(-x) + 3f(x) = 15 + 4x$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4f(x) + 6f(-x) = 30 - 8x$ ...$(3)$
$6f(x) + 9f(-x) = 45 + 12x$ ...$(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$5f(x) = 15 + 20x$
$f(x) = 3 + 4x$
તેથી,$f(2) = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11$.

(A, D) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ 2, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$-1 \leq x \leq 0$ માટે,$F(x) = \int_{-1}^{x} 0 \, dt = 0$.
$0 < x \leq 1$ માટે,$F(x) = \int_{-1}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} 2 \, dt = 0 + [2t]_{0}^{x} = 2x$.
તેથી,$F(x) = \begin{cases} 0, & -1 \leq x \leq 0 \\ 2x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$\lim_{x \to 0^-} F(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 2(0) = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^+} F(x) = F(0) = 0$,તેથી $F(x)$ એ $[-1, 1]$ માં સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસતા:
ડાબી બાજુનું વિકલન $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
જમણી બાજુનું વિકલન $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{F(0+h) - F(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(0+h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
કારણ કે $LHD \neq RHD$,તેથી $x = 0$ આગળ $F'(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી. આમ,વિકલ્પ $A$ અને $D$ સાચા છે.

(A) વિકલન $df$ એ $df = f'(x) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log_{e}(1 + e^{10x}) - \tan^{-1}(e^{5x})]$
$f'(x) = \frac{1}{1 + e^{10x}} \cdot (10e^{10x}) - \frac{1}{1 + (e^{5x})^2} \cdot (5e^{5x})$
$f'(x) = \frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} - \frac{5e^{5x}}{1 + e^{10x}}$
$x = 0$ આગળ,$e^{10(0)} = e^0 = 1$ અને $e^{5(0)} = e^0 = 1$.
$f'(0) = \frac{10(1)}{1 + 1} - \frac{5(1)}{1 + 1} = \frac{10}{2} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
હવે,$dx = 0.2$ માટે વિકલન ગણો:
$df = f'(0) \cdot dx = 2.5 \cdot 0.2 = 0.5$.

(B) આપેલ છે $y=\sin ^{-1}\left(\frac{5 x+12 \sqrt{1-x^{2}}}{13}\right)$.
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $\sqrt{1-x^2} = \sin \theta$.
વળી,ધારો કે $\sin \alpha = \frac{5}{13}$,તો $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.
આ કિંમતો $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \sin^{-1}(\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta)$
$y = \sin^{-1}(\sin(\alpha + \theta)) = \alpha + \theta$
$y = \sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \cos^{-1}(x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા $y_1 \sqrt{1-x^2} = -1$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y_1^2 (1-x^2) = 1$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y_1 y_2 (1-x^2) + y_1^2 (-2x) = 0$
$2y_1$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $y_1 \neq 0$):
$y_2(1-x^2) - x y_1 = 0$.
આને $a(1-x^2)y_2 + bxy_1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$ અને $b=-1$ મળે છે.
તેથી,$(a, b) = (1, -1)$.

(B) આપેલ વક્ર $y^{2}=2x^{3}$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 6x^{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{y}$.
બિંદુ $P(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = \frac{3h^{2}}{k}$ છે.
આપેલ રેખા $4x=3y$ છે,એટલે કે $y=\frac{4}{3}x$,જેનો ઢાળ $m_{2} = \frac{4}{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,$m_{1} \times m_{2} = -1$.
તેથી,$\left(\frac{3h^{2}}{k}\right) \times \left(\frac{4}{3}\right) = -1 \Rightarrow \frac{4h^{2}}{k} = -1 \Rightarrow k = -4h^{2}$.
બિંદુ $P(h, k)$ વક્ર પર હોવાથી,$k^{2} = 2h^{3}$.
$k = -4h^{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-4h^{2})^{2} = 2h^{3} \Rightarrow 16h^{4} = 2h^{3}$.
આનાથી $2h^{3}(8h - 1) = 0$ મળે,તેથી $h=0$ અથવા $h=\frac{1}{8}$.
જો $h=0$ હોય,તો $k=0$ થાય. જોકે,$(0,0)$ આગળ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત છે (વક્રને ત્યાં અણી છે),તેથી સ્પર્શક પ્રમાણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.
જો $h=\frac{1}{8}$ હોય,તો $k = -4(\frac{1}{8})^{2} = -4(\frac{1}{64}) = -\frac{1}{16}$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)$ છે.

(C) ધારો કે અંતિમ વેગ $v$ છે. કણ $B$ માટે,$v = f't$,તેથી $t = \frac{v}{f'}$. કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}f't^2 = \frac{1}{2}f'\left(\frac{v}{f'}\right)^2 = \frac{v^2}{2f'}$.
કણ $A$ માટે,$v = f(t+m)$,તેથી $t+m = \frac{v}{f}$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{v}{f} - m$. કાપેલું અંતર $s+n = \frac{1}{2}f(t+m)^2 = \frac{1}{2}f\left(\frac{v}{f}\right)^2 = \frac{v^2}{2f}$.
વેગના સમીકરણો પરથી: $f't = f(t+m) \implies t(f'-f) = fm \implies t = \frac{fm}{f'-f}$.
$t$ ની કિંમત વેગના સમીકરણ $v = f't$ માં મૂકતા: $v = \frac{f'fm}{f'-f}$.
હવે,$n = (s+n) - s = \frac{v^2}{2f} - \frac{v^2}{2f'} = \frac{v^2}{2} \left(\frac{f'-f}{ff'}\right)$.
$v^2 = \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2$ મૂકતા:
$n = \frac{1}{2} \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2 \left(\frac{f'-f}{ff'}\right) = \frac{1}{2} \frac{(ff')^2 m^2}{(f'-f)^2} \cdot \frac{f'-f}{ff'} = \frac{ff'm^2}{2(f'-f)}$.
ગોઠવતા મળે છે: $(f'-f)n = \frac{1}{2}ff'm^2$.

(B) ધારો કે $r = 10 \ m$ એ વર્તુળાકાર ટ્રેકની ત્રિજ્યા છે.
ટ્રેક પર માણસની ઝડપ $v = r \frac{d\theta}{dt} = 10 \ m/sec$ છે.
$r = 10 \ m$ હોવાથી,$10 \frac{d\theta}{dt} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d\theta}{dt} = 1 \ rad/sec$.
ધારો કે $P$ થી $\theta$ કોણીય અંતરે દીવાલ પર પડછાયાનું સ્થાન $y$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{y}{r}$,તેથી $y = r \tan \theta$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dt} = r \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$ મળે છે.
$\theta = 60^{\circ}$ પર,$\sec(60^{\circ}) = 2$ છે,તેથી $\sec^2(60^{\circ}) = 4$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dy}{dt} = 10 \times 4 \times 1 = 40 \ m/sec$.
આમ,પડછાયાની ઝડપ $40 \ m/sec$ છે.

(C) આપેલ છે કે $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે $g(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) - \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot 2 - \frac{f(x)}{x} \cdot 1$
$g'(x) = \frac{f(2x)}{x} - \frac{f(x)}{x}$
આપેલ છે કે $f(2x) = f(x)$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$g'(x) = \frac{f(x) - f(x)}{x} = 0$
બધા $x > 0$ માટે $g'(x) = 0$ હોવાથી,વિધેય $g(x)$ એ અચળ વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x) = |x^{2} - 1|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપણે વિધેયના આલેખને જોઈને અથવા બિંદુઓની ચકાસણી કરીને તેનું વર્તન સમજી શકીએ છીએ.
$x = \pm 1$ આગળ,$f(x) = |(\pm 1)^{2} - 1| = |1 - 1| = 0$ થાય છે. નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) \geq 0$ છે. આમ,$x = \pm 1$ આગળ $f(x) = 0$ એ વિધેયનું નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ પણ છે.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = |0^{2} - 1| = |-1| = 1$ થાય છે. $x = 0$ ની નજીકની કિંમતો માટે,જેમ કે $x = 0.1$ અથવા $x = -0.1$,$f(0.1) = |(0.1)^{2} - 1| = |0.01 - 1| = 0.99$ મળે છે. કારણ કે $f(0) = 1 > 0.99$,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમનું બિંદુ છે.
તેથી,$f$ ને $x = \pm 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln x$ અંતરાલ $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ પર છે.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2x} = \frac{2x - (1+x^2)}{2x(1+x^2)} = \frac{-(x-1)^2}{2x(1+x^2)}$.
અહીં $-(x-1)^2 \leq 0$ અને $2x(1+x^2) > 0$ હોવાથી,$f'(x) \leq 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ આપેલ અંતરાલ પર ઘટતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત ડાબી બાજુના અંત્યબિંદુ $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર મળે છે:
$f_{\max} = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \ln 3$.
ન્યૂનતમ કિંમત જમણી બાજુના અંત્યબિંદુ $x = \sqrt{3}$ પર મળે છે:
$f_{\min} = f(\sqrt{3}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4} \ln 3$.

(B) રોલના પ્રમેય માટે વિધેય $f(x)$ એ સંવૃત અંતરાલ $[a, b]$ પર વ્યાખ્યાયિત,$[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જરૂરી છે.
અહીં,પ્રદેશ $D = [0, 1] \cup [2, 4]$ એ એક જ સંવૃત અંતરાલ નથી. તે બે અલગ-અલગ સંવૃત અંતરાલોનો યોગગણ છે.
રોલનું પ્રમેય લાગુ કરવા માટે,પ્રદેશ એક જ જોડાયેલ સંવૃત અંતરાલ $[a, b]$ હોવો જોઈએ.
કારણ કે પ્રદેશ $D$ અસતત છે,તેથી $f$ માટે $D$ માં રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2 x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$.
ધારો કે $t = a + b \cos x$. તેથી $dt = -b \sin x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$.
વળી,$t = a + b \cos x$ પરથી,$\cos x = \frac{t-a}{b}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 (\frac{t-a}{b})}{t^2} \cdot (-\frac{dt}{b}) = -\frac{2}{b^2} \int \frac{t-a}{t^2} \, dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} \int (\frac{1}{t} - \frac{a}{t^2}) \, dt$.
$I = -\frac{2}{b^2} [\ln |t| + \frac{a}{t}] + c$.
$t = a + b \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{2}{b^2} [\ln |a + b \cos x| + \frac{a}{a + b \cos x}] + c$.
આપેલ પદાવલિ $\alpha [\log _{e}|a+b \cos x|+\frac{a}{a+b \cos x}]+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -\frac{2}{b^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સંકલન $\int_{\log _{e} 2}^{x} \frac{1}{e^{t}-1} dt = \log _{e} \frac{3}{2}$ છે.
ધારો કે $u = e^{t}-1$,તેથી $du = e^{t} dt$,જેનો અર્થ છે કે $dt = \frac{du}{u+1}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int \frac{1}{u(u+1)} du = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}) du = \log _{e} |u| - \log _{e} |u+1| = \log _{e} |\frac{u}{u+1}|$ મળે છે.
$u = e^{t}-1$ મૂકતા,સંકલન $[\log _{e} |\frac{e^{t}-1}{e^{t}}|]_{\log _{e} 2}^{x} = [\log _{e} |1-e^{-t}|]_{\log _{e} 2}^{x}$ બને છે.
સીમાઓ મૂકતા: $\log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (1-e^{-\log _{e} 2}) = \log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (1-\frac{1}{2}) = \log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (\frac{1}{2}) = \log _{e} \frac{3}{2}$.
આમ,$\log _{e} (\frac{1-e^{-x}}{1/2}) = \log _{e} \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2(1-e^{-x}) = \frac{3}{2}$.
$1-e^{-x} = \frac{3}{4} \implies e^{-x} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$-x = \log _{e} (\frac{1}{4}) = -\log _{e} 4$.
તેથી,$x = \log _{e} 4$.

(C) ધારો કે $I = \int_{a-1}^{a} \frac{e^{-t}}{t-a-1} dt$.
$u = t - a + 1$ આદેશ લેતા,$t = u + a - 1$ અને $dt = du$ મળે.
જ્યારે $t = a-1$ ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $t = a$ ત્યારે $u = 1$ થાય.
આથી,$I = \int_{0}^{1} \frac{e^{-(u+a-1)}}{u-2} du$.
આ સંકલનનું સાદું રૂપ આપતા $-b e^{-a}$ મળે છે.

(C, D) $I_{1}=\int_{-2}^{2} \frac{dx}{4+x^{2}}$ માટે,સંકલ્ય ધન છે,તેથી $I_{1} > 0$ થાય.
જો આપણે $x=\frac{1}{t}$ આદેશ લઈએ,તો $dx = -\frac{1}{t^{2}} dt$ થાય. સીમાઓ $x=-2$ થી $t=-1/2$ અને $x=2$ થી $t=1/2$ માં બદલાય છે.
$I_{1} = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{-dt/t^{2}}{4+1/t^{2}} = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{-dt}{4t^{2}+1}$. સંકલ્ય ધન હોવાથી સંકલન ધન હોવું જોઈએ,પરંતુ આ આદેશથી ઋણ કિંમત મળે છે,જે $t=0$ આગળ $1/t$ ની અસતતતાને કારણે ખોટું છે. તેથી,આ શક્ય નથી.
$I_{2}=\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} dx$ માટે,જો આપણે $x=\operatorname{cosec} \theta$ લઈએ,તો $\operatorname{cosec} \theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ થાય. $x \in (0, 1)$ હોવાથી,$x$ નો વિસ્તાર $\operatorname{cosec} \theta$ ના વિસ્તાર સાથે મળતો નથી. તેથી,આ શક્ય નથી.
આમ,વિકલ્પો $C$ અને $D$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{1}^{3} \frac{|x-1|}{|x-2|+|x-3|} d x$.
$x \in [1, 3]$ હોવાથી,$|x-1| = x-1$ થાય.
$x \in [1, 2]$ માટે,$|x-2| = 2-x$ અને $|x-3| = 3-x$ થાય.
$x \in [2, 3]$ માટે,$|x-2| = x-2$ અને $|x-3| = 3-x$ થાય.
તેથી,$I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{(2-x)+(3-x)} d x + \int_{2}^{3} \frac{x-1}{(x-2)+(3-x)} d x$.
$I = \int_{1}^{2} \frac{x-1}{5-2x} d x + \int_{2}^{3} (x-1) d x$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$u = 5-2x$ લેતા,$du = -2 dx$,તેથી $dx = -\frac{1}{2} du$. જ્યારે $x=1, u=3$; જ્યારે $x=2, u=1$.
$\int_{1}^{2} \frac{x-1}{5-2x} d x = \int_{3}^{1} \frac{\frac{5-u}{2}-1}{u} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{3-u}{u} du = \frac{1}{4} [3 \ln |u| - u]_{1}^{3} = \frac{1}{4} (3 \ln 3 - 2) = \frac{3}{4} \ln 3 - \frac{1}{2}$.
બીજા સંકલન માટે,$\int_{2}^{3} (x-1) d x = [\frac{x^2}{2} - x]_{2}^{3} = (\frac{9}{2} - 3) - (2 - 2) = \frac{3}{2}$.
તેથી,$I = (\frac{3}{4} \ln 3 - \frac{1}{2}) + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{4} \ln 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sqrt{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2} d x$.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 - 2 = (a-b)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ મળે.
તેથી,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right| d x$.
માનાંકની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1}$.
તેથી,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.
અહીં વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.
$x \in [0, 1/2]$ માટે,$x^2-1 < 0$,તેથી $|\frac{4x}{x^2-1}| = -\frac{4x}{x^2-1} = \frac{4x}{1-x^2}$.
$I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \frac{4x}{1-x^2} d x = 4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{2x}{1-x^2} d x$.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$.
$I = 4 [-\ln|1-x^2|]_{0}^{1/2} = 4 [-\ln(3/4) + \ln(1)] = 4 \ln(4/3)$.

(B) $T$ આવર્તકાળ ધરાવતા આવર્તી વિધેય $f(x)$ માટે,$T$ લંબાઈના કોઈપણ અંતરાલ પરનું સંકલન અચળ હોય છે.
ધારો કે $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dI}{da} = f(a+T) \cdot \frac{d}{da}(a+T) - f(a) \cdot \frac{d}{da}(a)$
કારણ કે $f(x)$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,તેથી $f(a+T) = f(a)$.
આમ,$\frac{dI}{da} = f(a) - f(a) = 0$.
વિકલન $0$ હોવાથી,$I$ એ $a$ થી સ્વતંત્ર છે અને $I = \int_{0}^{T} f(x) \, dx$ થાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ ધ્યાનમાં લો.
$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ માટે,વિકલિત $f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x (x - \tan x)}{x^2}$.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે $\tan x > x$ હોવાથી,$f'(x) < 0$ થાય,તેથી $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,દરેક $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ માટે $f(\frac{\pi}{3}) \leq f(x) \leq f(\frac{\pi}{4})$ મળે.
કિંમતો ગણતા: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ અને $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.
અસમતાનું સંકલન કરતા: $\int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{3}) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(x) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{4}) dx$.
$\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} (\frac{\pi}{12}) \leq I \leq \frac{2\sqrt{2}}{\pi} (\frac{\pi}{12})$.
$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$.

(C) $\int_{0}^{5} \max \{x^{2}, 6x-8\} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પહેલા $y = x^{2}$ અને $y = 6x-8$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x^{2} = 6x-8$ લેતા,આપણને $x^{2}-6x+8 = 0$ મળે છે,જેના અવયવો $(x-2)(x-4) = 0$ થાય છે. આમ,વક્રો $x = 2$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$x^{2} \ge 6x-8$.
$x \in [2, 4]$ માટે,$6x-8 \ge x^{2}$.
$x \in [4, 5]$ માટે,$x^{2} \ge 6x-8$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ વિભાજિત થશે:
$\int_{0}^{2} x^{2} dx + \int_{2}^{4} (6x-8) dx + \int_{4}^{5} x^{2} dx$
$= \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{2} + \left[ 3x^{2}-8x \right]_{2}^{4} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{4}^{5}$
$= (\frac{8}{3} - 0) + ((48-32) - (12-16)) + (\frac{125}{3} - \frac{64}{3})$
$= \frac{8}{3} + (16 - (-4)) + \frac{61}{3}$
$= \frac{8}{3} + 20 + \frac{61}{3} = \frac{69}{3} + 20 = 23 + 20 = 43$.

(D) વક્રો $y=2x-x^2$,$y=0$ અને $x=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1} (2x-x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.
ધારો કે રેખા $y=mx$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
રેખા $y=mx$ અને $x=1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times m = \frac{m}{2}$ છે.
આને કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા ભાગ સાથે સરખાવતા: $\frac{m}{2} = \frac{1}{3} \implies m = \frac{2}{3}$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=\frac{2}{3}x$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y=4x^{2}$ અને $y=\frac{x^{2}}{9}$ માટે,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$y=4x^{2}$ માટે,$x^{2}=\frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$.
$y=\frac{x^{2}}{9}$ માટે,$x^{2}=9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$.
આ પ્રદેશ $y=0$ થી $y=2$ ની વચ્ચે આવેલો છે અને $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = 2 \int_{0}^{2} \left(3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}\right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2}$
$A = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \text{ ચો. એકમ}$.

(B) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને અક્ષોને યામ અક્ષો તરીકે ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a^{2}}+\frac{y y^{\prime}}{b^{2}}=0$ થાય છે.
આથી $\frac{b^{2}}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{x}$ મળે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ મળે.
$\frac{1}{a^{2}} = -\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x}$ મૂકતા,આપણને $-\frac{y y^{\prime}}{b^{2}x} + \frac{1}{b^{2}}(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ મળે છે.
$b^{2}x$ વડે ગુણતા,$-y y^{\prime} + x(y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^{2}) = 0$ મળે.
આમ,$x y y^{\prime \prime} + x(y^{\prime})^{2} - y y^{\prime} = 0$ એ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d(xy)}{dx} = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$.
ચલ $xy$ અને $x$ ને અલગ કરતા: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
તેથી: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{x^2 / 2}$.
ધારો કે $k = e^C$,તો આપણને મળે: $|f(xy)| = k e^{x^2 / 2}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}$ એ $\vec{\gamma}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $k_{1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=k_{1} \vec{\gamma}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{\beta}=\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}$.
વળી,$\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}$ એ $\vec{\alpha}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $k_{2}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}=k_{2} \vec{\alpha}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{\beta}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
$\vec{\beta}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે $\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\vec{\alpha}(k_{2}+\frac{1}{3})=\vec{\gamma}(\frac{k_{1}}{3}+2)$.
કારણ કે $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\gamma}$ અરેખીય છે,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $k_{2}+\frac{1}{3}=0 \Rightarrow k_{2}=-\frac{1}{3}$ અને $\frac{k_{1}}{3}+2=0 \Rightarrow k_{1}=-6$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $k_{1}=-6$ મૂકતા,આપણને મળે $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=-6 \vec{\gamma}$.
તેથી,$\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}+6 \vec{\gamma}=\overrightarrow{0}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a(\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) + b(\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) + c(\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \overrightarrow{0}$ છે.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{v} = \vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,અને $\vec{w} = \vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$.
આપેલ સમીકરણ $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \overrightarrow{0}$ બને છે.
અહીં $a, b, c$ શૂન્યતર અદિશ હોવાથી,સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સુરેખ રીતે આધારિત છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમતલીય છે.
કોઈપણ ત્રણ સદિશો $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ માટે,તેમના સદિશ ગુણાકારો $\vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,અને $\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$ ત્યારે જ સમતલીય હોય જો $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ પોતે સમતલીય હોય.
તેથી,સદિશો $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ સમતલીય છે.

(B) આપેલ બિંદુ $P(a, b, c)$ છે.
$YZ$-સમતલ પર લંબ $PA$ દોરવામાં આવે છે. તેથી $A$ ના યામ $(0, b, c)$ થાય.
$ZX$-સમતલ પર લંબ $PB$ દોરવામાં આવે છે. તેથી $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ થાય.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે.
સમતલ $O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$ અને $B(a, 0, c)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{OA} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{OB} = a\hat{i} + 0\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc - 0) - \hat{j}(0 - ac) + \hat{k}(0 - ab) = bc\hat{i} + ac\hat{j} - ab\hat{k}$.
આમ,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $bcx + acy - abz = 0$ થાય.

(A) ધારો કે પરિભ્રમણ પછીના સમતલનું સમીકરણ $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ છે.
સમતલ $P_{1}: \ell x+my=0$ અને $P_{2}: z=0$ ની છેદરેખા એ રેખા છે જ્યાં $\ell x+my=0$ અને $z=0$ થાય છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ અને $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ છે.
સમતલ $P_{1}$ અને $P_{3}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.
$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.
$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) \tan^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha$.
$n$ ની કિંમત $P_{3}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઇન $(l, l, l)$ છે કારણ કે તે યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે.
$l^2 + l^2 + l^2 = 1$ હોવાથી,$3l^2 = 1$,જે આપણને $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપે છે (ધન કિંમત લેતા).
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+y+z=9$ પર હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9 \Rightarrow 4r = 4 \Rightarrow r = 1$.
બિંદુ $Q$ એ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \text{ એકમ}$.

(D) પાસા પર બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{2}$ છે અને એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(O) = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ રમત જીતે જો $A$ ને $1^{st}, 5^{th}, 9^{th}, \dots$ વારા પર બેકી સંખ્યા મળે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1 - 1/16} = \frac{8}{15}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
બરાબર $x$ સફળતાની સંભાવના $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ માટે,$P(X=2) = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-2} = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,${}^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$.