WBJEE 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A, D) કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 12 \text{ સેકન્ડ}$ આપેલ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો સમય $t = \frac{T}{2} = 6 \text{ સેકન્ડ}$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
સમીકરણ $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g = 32 \text{ ft/sec}^2$:
$0 = u - (32)(6) \Rightarrow u = 192 \text{ ft/sec}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = ut - \frac{1}{2}gt^2$:
$H = (192)(6) - \frac{1}{2}(32)(6)^2 = 1152 - 576 = 576 \text{ ft}$.
આમ,પ્રક્ષેપણનો વેગ $192 \text{ ft/sec}$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $576 \text{ ft}$ છે.
વિકલ્પ $A$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \log (x+1)-\log (x^{2}-1)=\log 2$.
ગુણધર્મ $n \log a = \log (a^n)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\log (x+1)^2 - \log (x^2-1) = \log 2$.
ગુણધર્મ $\log a - \log b = \log (a/b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\log \left( \frac{(x+1)^2}{x^2-1} \right) = \log 2$.
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ હોવાથી,સમીકરણ $\log \left( \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \right) = \log 2$ બને છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\log \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = \log 2$.
તેથી,$\frac{x+1}{x-1} = 2$.
$x+1 = 2(x-1) \Rightarrow x+1 = 2x-2$.
$x = 3$.
લઘુગણક પદો વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$x+1 > 0$ અને $x^2-1 > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x > 1$.
આમ,$x = 3$ એ એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ છે.

(A) બંને બાજુ $\log _{3}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(\log _{3} x)^{2}-\frac{9}{2} \log _{3} x+5 = \log _{3} (3 \sqrt{3}) = \log _{3} (3^{3/2}) = \frac{3}{2}$.
ધારો કે $t = \log _{3} x$. તો સમીકરણ બને છે:
$t^{2} - \frac{9}{2} t + 5 = \frac{3}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2t^{2} - 9t + 10 = 3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2t^{2} - 9t + 7 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2t - 7)(t - 1) = 0$.
આમ,$t = 1$ અથવા $t = \frac{7}{2}$.
$t = 1$ માટે,$\log _{3} x = 1 \Rightarrow x = 3^{1} = 3$.
$t = \frac{7}{2}$ માટે,$\log _{3} x = \frac{7}{2} \Rightarrow x = 3^{7/2} = 27\sqrt{3}$.
બંને બીજ વાસ્તવિક છે. તેથી,સમીકરણને ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ છે $P(x) = ax^{2} + bx + c$ અને $Q(x) = -ax^{2} + dx + c$.
$P(x) = 0$ માટે,વિવેચક $D_{1} = b^{2} - 4ac$ છે.
$Q(x) = 0$ માટે,વિવેચક $D_{2} = d^{2} - 4(-a)(c) = d^{2} + 4ac$ છે.
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા,આપણને $D_{1} + D_{2} = b^{2} + d^{2} \geq 0$ મળે છે.
વિવેચકોનો સરવાળો અ-ઋણ હોવાથી,ઓછામાં ઓછો એક વિવેચક અ-ઋણ હોવો જોઈએ ($D_{1} \geq 0$ અથવા $D_{2} \geq 0$).
જો $D_{1} \geq 0$,તો $P(x)$ ને વાસ્તવિક બીજ છે. જો $D_{2} \geq 0$,તો $Q(x)$ ને વાસ્તવિક બીજ છે.
તેથી,સમીકરણ $P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^{2} + bx + c$ માટે તમામ $x$ માટે $a$ જેવું જ ચિહ્ન ધરાવવા માટે,પરવલય $x$-અક્ષને છેદવો જોઈએ નહીં.
આનો અર્થ એ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવા માટે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ એ $0$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
તેથી,શરત $b^{2} - 4ac < 0$ છે.

(C) ધારો કે $p = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,જ્યાં $|p| = 1$.
તેથી $p^{4} = e^{i4\theta} = \cos(4\theta) + i \sin(4\theta)$.
$p^{4}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $\sin(4\theta)$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $\text{Im}(p^{4}) = 0$,તેથી $\sin(4\theta) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $4\theta = n\pi$ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,અથવા $\theta = \frac{n\pi}{4}$.
$p$ માટે એકમ વર્તુળ પર અલગ કિંમતો મેળવવા માટે,આપણે $\theta \in [0, 2\pi)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\theta$ માટે શક્ય કિંમતો $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{4\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{6\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
આમ,$\theta$ ની $8$ કિંમતો મળે છે,જે $8$ અલગ સંકર સંખ્યાઓ $p$ દર્શાવે છે.

(C) સમીકરણ $z^{2}+pz+q=0$ ના બીજ $z_{1}$ અને $z_{2}$ છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં બિંદુઓ $z_{1}, z_{2}$ અને ઉગમબિંદુ $(0)$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટેની શરત $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2} = z_{1}z_{2} + z_{2}(0) + (0)z_{1}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$ થાય છે.
બંને બાજુ $2z_{1}z_{2}$ ઉમેરતા,આપણને $(z_{1}+z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,$z_{1}+z_{2} = -p$ અને $z_{1}z_{2} = q$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-p)^{2} = 3q$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p^{2} = 3q$.

(B) સંકર સમતલમાં વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $z \bar{z} + \bar{a} z + a \bar{z} + b = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $-a$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{|a|^2 - b}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $z \bar{z} + (2 - 3i) z + (2 + 3i) \bar{z} + 4 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2 - 3i$ અને $b = 4$ મળે છે.
પ્રથમ,$|a|^2 = |2 - 3i|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$ ગણો.
હવે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{|a|^2 - b} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $3 \text{ એકમ}$ છે.

(D) ઇમારતમાં $12$ માળ છે.
જેથી વ્યક્તિઓ લિફ્ટમાં પ્રવેશે છે,તેઓ ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર (જ્યાંથી તેઓ પ્રવેશ્યા હતા) સિવાયના માળ પર બહાર નીકળશે.
આમ $12 - 1 = 11$ શક્ય માળ બાકી રહે છે.
જો કે,લિફ્ટ બીજા માળ પર અટકતી નથી,તેથી તેમના બહાર નીકળવા માટે ઉપલબ્ધ માળની સંખ્યા $11 - 1 = 10$ છે.
કારણ કે $3$ વ્યક્તિઓ અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળે છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $10$ માળમાંથી $3$ માળની ક્રમચય દ્વારા મળે છે:
$^{10}P_{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

(B) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના $m$-ઘટકવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $\binom{n}{m}$ છે.
ચોક્કસ ઘટક $a_{4}$ ધરાવતા $m$-ઘટકવાળા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $(n-1)$ ઘટકોમાંથી $(m-1)$ ઘટકો પસંદ કરવા જેટલી છે,જે $\binom{n-1}{m-1}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$\binom{n}{m} = k \times \binom{n-1}{m-1}$.
નિત્યસમ $\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} = k \binom{n-1}{m-1}$.
બંને બાજુ $\binom{n-1}{m-1}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{n}{m} = k \Rightarrow n = mk$.

(B) ધારો કે $S_i$ એ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે જેમણે ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $S_i = 2^{n-i}$.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા એ $1$ થી $n$ સુધીના તમામ $i$ માટે ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો સરવાળો છે.
ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $= \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} 2^{n-i}$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^0$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.
આપેલ છે કે ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $2047$ છે,તેથી $2^n - 1 = 2047$.
$2^n = 2048$.
$2048 = 2^{11}$ હોવાથી,આપણને $n = 11$ મળે છે.

(A) $\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$x+y \geq 2\sqrt{xy}$ થાય.
ધારો કે $x = \frac{6a}{5b}$ અને $y = \frac{10b}{3a}$.
તેથી,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a}}$.
વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a} = \frac{60}{15} = 4$.
તેથી,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{4} = 4$.
આમ,ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $4$ છે.

(A) આપણને $I(n) = n^n$ અને $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ આપેલ છે.
$n$ ધન પૂર્ણાંકો $1, 3, 5, \ldots, (2n - 1)$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)}{n} > \sqrt[n]{1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)}$
પ્રથમ $n$ એકી પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $n^2$ છે,તેથી $\frac{n^2}{n} > (J(n))^{1/n}$.
આનું સાદું રૂપ $n > (J(n))^{1/n}$ થાય છે.
બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,આપણને $n^n > J(n)$ મળે છે.
આમ,$I(n) > J(n)$.

(B) આપેલ શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_{r} = r \frac{c_{r}}{c_{r-1}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c_{r} = {}^{15}C_{r} = \frac{15!}{r!(15-r)!}$ અને $c_{r-1} = {}^{15}C_{r-1} = \frac{15!}{(r-1)!(16-r)!}$.
તેથી,$\frac{c_{r}}{c_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$.
આને સામાન્ય પદમાં મૂકતા,આપણને $T_{r} = r \times \frac{16-r}{r} = 16-r$ મળે છે.
સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$ છે.
આ પ્રથમ $15$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ થાય છે.

(B) આપેલ સમાંતર રેખાઓ $4x + 2y - 9 = 0$ અને $2x + y + 6 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2x + y = \frac{9}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
બીજું સમીકરણ $2x + y = -6$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $y = mx$ છે. આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$P$ માટે: $2x + mx = \frac{9}{2} \Rightarrow x_P = \frac{9}{2(2+m)}$,$y_P = \frac{9m}{2(2+m)}$.
$Q$ માટે: $2x + mx = -6 \Rightarrow x_Q = \frac{-6}{2+m}$,$y_Q = \frac{-6m}{2+m}$.
બિંદુ $O(0,0)$ દ્વારા $PQ$ નું વિભાજન ગુણોત્તર $\frac{OP}{OQ} = \frac{|x_P|}{|x_Q|} = \frac{9/2(2+m)}{6/(2+m)} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,બિંદુ $O$ એ $PQ$ નું $3: 4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(D) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=2$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$r \left( \cos \theta \cdot \frac{1}{2} + \sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2$
$2$ વડે ગુણતા:
$r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta = 4$
રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + \sqrt{3} y = 4$
આ $x$ અને $y$ માં એક સુરેખ સમીકરણ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આપેલ છે કે અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = -1$ છે,તેથી $b = -1 - a$.
રેખા $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
$b = -(1 + a)$ મૂકતા,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1 + a} = 1$ મળે.
$4(1 + a) - 3a = a(1 + a) \Rightarrow 4 + 4a - 3a = a + a^2$.
$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ અથવા $a = -2$.
જો $a = 2$ હોય,તો $b = -1 - 2 = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ થાય.
જો $a = -2$ હોય,તો $b = -1 - (-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ થાય.

(B) ધારો કે $m = \frac{x}{y}$. સમીકરણો $m^{2}+2m+a=0$ અને $am^{2}+2m+1=0$ બને છે.
તેમની પાસે સામાન્ય રેખા હોવાથી,તેઓ સામાન્ય ઉકેલ $m$ ધરાવે છે.
સામાન્ય ઉકેલની શરત મુજબ: $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}) = (a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{2}$.
અહીં,$(1 \cdot 2 - a \cdot 2)(2 \cdot 1 - a \cdot 2) = (1 \cdot 1 - a \cdot a)^{2}$.
$4(1-a)^{2} = (1-a)^{2}(1+a)^{2}$.
$a \neq 1$ હોવાથી,$4 = (1+a)^{2} \Rightarrow 1+a = \pm 2$.
જો $1+a=-2$,તો $a=-3$.
$a=-3$ માટે,સમીકરણો $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ અને $-3x^{2}+2xy+y^{2}=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x+3y)(x-y)=0$ અને $-(3x+y)(x-y)=0$.
સામાન્ય રેખા $x-y=0$ છે.
બાકીની બે રેખાઓ $x+3y=0$ અને $3x+y=0$ છે.

(C) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-5 - 0}{0 - 7} = \frac{5}{7}$ છે.
$PQ \perp AB$ હોવાથી,રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = -\frac{7}{5}$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{7}{5}(x - a)$ છે,જે $7x + 5y = 7a$ થાય છે.
$Q(0, b)$ એ $PQ$ પર હોવાથી,$5b = 7a$,તેથી $b = \frac{7a}{5}$.
$R(h, k)$ એ $AQ$ અને $BP$ નું છેદબિંદુ છે.
$A(7, 0)$ અને $Q(0, b)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{7} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$B(0, -5)$ અને $P(a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BP$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{-5} = 1$ છે.
$R(h, k)$ બંને રેખાઓ પર હોવાથી:
$(1)$ $\frac{h}{7} + \frac{k}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{7} + \frac{5k}{7a} = 1$ $\Rightarrow ah + 5k = 7a$ $\Rightarrow a(7 - h) = 5k$ $\Rightarrow a = \frac{5k}{7 - h}$.
$(2)$ $\frac{h}{a} - \frac{k}{5} = 1$ $\Rightarrow 5h - ak = 5a$ $\Rightarrow 5h = a(k + 5)$ $\Rightarrow a = \frac{5h}{k + 5}$.
$a$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{5k}{7 - h} = \frac{5h}{k + 5}$ $\Rightarrow k(k + 5) = h(7 - h)$ $\Rightarrow k^2 + 5k = 7h - h^2$.
ગોઠવતા $h^2 + k^2 - 7h + 5k = 0$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 7x + 5y = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે જ્યાં $a > 0$ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષની ધન બાજુ પર છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{17}$ હોવાથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - a)^{2} + y^{2} = 17$ મળે.
વર્તુળ $(0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(0 - a)^{2} + 1^{2} = 17$
$a^{2} + 1 = 17$
$a^{2} = 16$
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે.
$a = 4$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - 4)^{2} + y^{2} = 17$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} = 17$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 1 = 0$.

(B) પરવલય $y^{2}=4ax$ નું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે.
શિરોબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = x \tan \alpha$ છે.
આ રેખા અને પરવલયનું છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે,$y = x \tan \alpha$ ને $y^{2}=4ax$ માં મૂકતા:
$(x \tan \alpha)^{2} = 4ax$
$x^{2} \tan^{2} \alpha = 4ax$
$P$ એ ઉગમબિંદુ નથી,તેથી $x \neq 0$,એટલે કે $x \tan^{2} \alpha = 4a$,જે આપણને $x = 4a \cot^{2} \alpha$ આપે છે.
તેથી $y = (4a \cot^{2} \alpha) \tan \alpha = 4a \cot \alpha$.
આમ,$P$ ના યામ $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ છે.
જીવા $OP$ ની લંબાઈ એ $(0,0)$ થી $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ સુધીનું અંતર છે:
$OP = \sqrt{(4a \cot^{2} \alpha)^{2} + (4a \cot \alpha)^{2}}$
$OP = \sqrt{16a^{2} \cot^{4} \alpha + 16a^{2} \cot^{2} \alpha}$
$OP = 4a \cot \alpha \sqrt{\cot^{2} \alpha + 1}$
$OP = 4a \cot \alpha \operatorname{cosec} \alpha$ (કારણ કે $0 < \alpha < 90^{\circ}$,$\cot \alpha > 0$ અને $\operatorname{cosec} \alpha > 0$).

(D) પરવલયના નાભિલંબ અને શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર $a$ છે,જ્યાં $4a$ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે.
આપેલ સમીકરણો $x+y-8=0$ અને $x+y-12=0$ છે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $a = \frac{|-8 - (-12)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ થાય.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
લંબાઈ $= 4 \times (2 \sqrt{2}) = 8 \sqrt{2} \text{ એકમ}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ પરવલય પર હોવાથી,$1 = a(1)^2 + b(1) + c$,તેથી $a + b + c = 1$ ...$(1)$.
બિંદુ $(-1,0)$ પરવલય પર હોવાથી,$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$,તેથી $a - b + c = 0$ ...$(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$2b = 1$,તેથી $b = \frac{1}{2}$.
$b = \frac{1}{2}$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$a + c = \frac{1}{2}$ ...$(3)$.
કોઈપણ બિંદુ $(x,y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $2a(1) + b = 2a + b$ છે.
રેખા $y=x$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી $2a + b = 1$.
$b = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$2a + \frac{1}{2} = 1$,તેથી $2a = \frac{1}{2}$,એટલે કે $a = \frac{1}{4}$.
$(3)$ પરથી,$c = \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
આમ,$a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે.
તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=25$ અને $b^{2}=9$ મળે,તેથી $a=5$ અને $b=3$.
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $B(0, 3)$ અને $B^{\prime}(0, -3)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ એ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ છે.
આમ,$S(4, 0)$ અને $S^{\prime}(-4, 0)$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $SBS^{\prime}B^{\prime}$ ના વિકર્ણો $SS^{\prime}$ અને $BB^{\prime}$ છે.
વિકર્ણ $SS^{\prime}$ ની લંબાઈ $= 4 - (-4) = 8$.
વિકર્ણ $BB^{\prime}$ ની લંબાઈ $= 3 - (-3) = 6$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણોનો ગુણાકાર} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
સ્પર્શક અને નિયામિકા વચ્ચેનો ભાગ નાભિ પર $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે,જે ઉપવલયનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે.

(D) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(x_0, y_0)$ છે. $P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_0}{2} + y y_0 = 1$ છે.
આ સ્પર્શકના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $y=0$ અને $x=0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે.
$y=0$ માટે,$x = \frac{2}{x_0}$. $x=0$ માટે,$y = \frac{1}{y_0}$.
ધારો કે કપાયેલા ભાગનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. તેથી $h = \frac{1}{x_0}$ અને $k = \frac{1}{2 y_0}$.
આથી $x_0 = \frac{1}{h}$ અને $y_0 = \frac{1}{2 k}$ મળે.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ એ ઉપવલય $\frac{x_0^2}{2} + y_0^2 = 1$ પર આવેલું છે,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{(1/h)^2}{2} + (1/2k)^2 = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે ચલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ચલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{h^{2}+k^{2}} = r + a \implies h^{2}+k^{2} = (r+a)^{2} \quad (1)$
તે $x^{2}+y^{2}=4ax$ (જેનું કેન્દ્ર $(2a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $2a$ છે) ને પણ બહારથી સ્પર્શે છે:
$\sqrt{(h-2a)^{2}+k^{2}} = r + 2a \implies (h-2a)^{2}+k^{2} = (r+2a)^{2} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(h-2a)^{2} - h^{2} = (r+2a)^{2} - (r+a)^{2}$
$-4ah + 4a^{2} = 2ar + 3a^{2}$
$r = \frac{a-4h}{2}$
$r$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$h^{2}+k^{2} = (\frac{3a-4h}{2})^{2}$
$12h^{2} - 4k^{2} - 24ah + 9a^{2} = 0$
આમ,બિંદુપથ $12x^{2}-4y^{2}-24ax+9a^{2}=0$ છે,જે અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે. $PQ$ એ દ્વિ-કોટિ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(x_1, -y_1)$ થશે.
$\Delta OPQ$ સમબાજુ હોવાથી અને $M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$\angle POM = 30^{\circ}$ થાય.
$\Delta OMP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{y_1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $x_1 = \sqrt{3} y_1$.
$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{3y_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$.
આથી $y_1^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} \right) = 1$. $y_1^2 > 0$ હોવાથી,$3b^2 > a^2$ એટલે કે $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$,એટલે કે $e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)$.
આ $\infty - \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
પદોને જોડતા,આપણને મળે છે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)-\ln x}{(x-1) \ln x}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે. $L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x \ln x + x - 1}{x}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x \ln x + x - 1}$.
ફરીથી $L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\ln x + x \cdot \frac{1}{x} + 1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\ln x + 1 + 1} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$.

(C) આપણને $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ આપેલ છે.
$x = 0$ ની નજીક $\sin x$ અને $\cos x$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
આ કિંમતોને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{3} x \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) - \left(1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6))\right)$
$f(x) = \frac{1}{3} x^2 - \frac{x^4}{18} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
$f(x) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) x^2 + (\frac{1}{24} - \frac{1}{18}) x^4 + O(x^6)$
$f(x) = -\frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{72} x^4 + O(x^6)$
હવે,લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{72} x^4 + O(x^6)}{x^k}$ ધ્યાનમાં લો.
જો $k < 2$ હોય,તો લક્ષ $\pm \infty$ થાય છે.
જો $k = 2$ હોય,તો લક્ષ $-\frac{1}{6} \neq 0$ થાય છે.
જો $k > 2$ હોય,તો લક્ષ $0$ થાય છે.
આમ,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $k$ જેના માટે લક્ષ શૂન્યતર છે તે $k = 2$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow 0} (1+ax)^{1/x} = e^a$.
આનો ઉપયોગ કરીને,$\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+cx}{1-cx}\right)^{1/x} = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (1+cx)^{1/x}}{\lim _{x \rightarrow 0} (1-cx)^{1/x}} = \frac{e^c}{e^{-c}} = e^{2c}$.
આપેલ છે કે $e^{2c} = 4$.
હવે,આપણે $\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+2cx}{1-2cx}\right)^{1/x} = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (1+2cx)^{1/x}}{\lim _{x \rightarrow 0} (1-2cx)^{1/x}} = \frac{e^{2c}}{e^{-2c}} = e^{4c}$ શોધવાની જરૂર છે.
કારણ કે $e^{2c} = 4$,તેથી $e^{4c} = (e^{2c})^2 = 4^2 = 16$.

(B) પગલું $1$. $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખો:
$2\sin^2 x - a\sin x + 2a - 8 = 0$
પગલું $2$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\sin x$ માટે ઉકેલો:
$\sin x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16(a - 4)}}{4} = \frac{a \pm (a - 8)}{4}$
આથી,$\sin x = \frac{a - 4}{2}$ અથવા $\sin x = 2$ (જે શક્ય નથી).
પગલું $3$. $-1 \leq \sin x \leq 1$ હોવાથી:
$-1 \leq \frac{a - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq a - 4 \leq 2$
$2 \leq a \leq 6$.
તેથી,$a \in [2, 6]$.

(C) વિધેય $f(x) = \sin(px) + \cos(qx)$ ત્યારે જ આવર્ત હોય જો તેના બે ઘટકોના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોય.
$\sin x$ નો આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi$ છે.
$\cos(ax)$ નો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{2\pi}{|a|}$ છે (જ્યાં $a \neq 0$).
સરવાળો આવર્ત હોવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2}$ સંમેય સંખ્યા હોવો જોઈએ.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{2\pi / |a|} = |a|$.
આમ,$|a|$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી,$a$ સંમેય સંખ્યા છે.

(A) આપેલ છે: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = n \log \left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1 - (y/b)^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2 - y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$ $\Rightarrow -\frac{b}{\sqrt{b^2 - y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2 - y^2}} = \frac{n}{x} \Rightarrow -x y_1 = n \sqrt{b^2 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2 - y^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^2 (2 y_1 y_2) + 2x y_1^2 = n^2 (-2 y y_1)$.
$2 y_1$ વડે ભાગતા ($y_1 \neq 0$ ધારીને):
$x^2 y_2 + x y_1 = -n^2 y \Rightarrow x^2 y_2 + x y_1 + n^2 y = 0$.

(B) આપેલ છે $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 12$.
વિકલન લેતા,આપણને $f'(x) = 13x^{12} + 11x^{10} + 9x^{8} + 7x^{6} + 5x^{4} + 3x^{2} + 1$ મળે છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^{2n} \ge 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ અને જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$f(x)$ સતત અને ચુસ્ત વધતું હોવાથી,તે $x$-અક્ષને બરાબર એક વાર છેદશે.
તેથી,$f(x) = 0$ ને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયો $E_1: x^{2} + 2y^{2} = a^{2}$ અને $E_2: 2x^{2} + y^{2} = a^{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધતા: $x^{2} + 2(a^{2} - 2x^{2}) = a^{2} \implies 3x^{2} = a^{2} \implies x = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{a}{\sqrt{3}}$ માટે,$y = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{a/\sqrt{3}} (y_1 - y_2) dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય $\frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) સંકલન $\int_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} \frac{dx}{1+x} = [\log(1+x)]_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} = \log(1+\frac{1}{k+\alpha}) - \log(1+\frac{1}{k+\beta})$ દ્વારા મળે છે.
$k=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો લેતા,$\sum_{k=1}^{n} (\log(\frac{k+\alpha+1}{k+\alpha}) - \log(\frac{k+\beta+1}{k+\beta}))$ મળે છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $(\log(\frac{2+\alpha}{1+\alpha}) - \log(\frac{2+\beta}{1+\beta})) + (\log(\frac{3+\alpha}{2+\alpha}) - \log(\frac{3+\beta}{2+\beta})) + \dots + (\log(\frac{n+\alpha+1}{n+\alpha}) - \log(\frac{n+\beta+1}{n+\beta}))$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,પદો $\log(\frac{n+\alpha+1}{n+\alpha}) \rightarrow \log(1) = 0$ અને $\log(\frac{n+\beta+1}{n+\beta}) \rightarrow \log(1) = 0$ થાય છે.
બાકી રહેલા પદો $\log(\frac{1+\beta}{1+\alpha})$ છે.

(B) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$a-a = 0$. શૂન્ય માન્ય હોવાથી,દરેક $a$ માટે $a \rho a$ સત્ય છે. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $a \rho b$ હોય,તો $a-b = 0$ અથવા $a-b$ અસંમેય છે. જો $a-b=0$,તો $b-a=0$. જો $a-b$ અસંમેય હોય,તો $b-a = -(a-b)$ પણ અસંમેય થાય. તેથી,$b \rho a$ સત્ય છે. આમ,$\rho$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $a = 2 + \sqrt{2}$,$b = 2$,અને $c = \sqrt{2}$.
અહીં $a-b = (2+\sqrt{2}) - 2 = \sqrt{2}$ (અસંમેય),તેથી $a \rho b$.
અને $b-c = 2 - \sqrt{2}$ (અસંમેય),તેથી $b \rho c$.
પરંતુ,$a-c = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$ (સંમેય અને શૂન્યતર),તેથી $a \rho c$ અસત્ય છે.
તેથી,$\rho$ પરંપરિત નથી.

(B) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. છેદગણ: જો $\rho_{1}$ અને $\rho_{2}$ સામ્ય સંબંધો હોય,તો $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ હંમેશા સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય છે. તેથી,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
$2$. યોગગણ: યોગગણ $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ હંમેશા સ્વવાચક અને સંમિત હોય છે,પરંતુ તે પરંપરિત હોવો જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $S = \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $\rho_{1} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ અને $\rho_{2} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$. તો $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ માં $(1,2)$ અને $(2,3)$ છે,પરંતુ $(1,3)$ નથી,તેથી તે પરંપરિત નથી.
તેથી,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ એ સામ્ય સંબંધ છે,પરંતુ $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોતો નથી.

(C) શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 12 & 24 & 5 \\ x & 6 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 12(6 \times 3 - 2 \times (-2)) - 24(x \times 3 - 2 \times (-1)) + 5(x \times (-2) - 6 \times (-1))$
$|A| = 12(18 + 4) - 24(3x + 2) + 5(-2x + 6)$
$|A| = 12(22) - 72x - 48 - 10x + 30$
$|A| = 264 - 82x - 18$
$|A| = 246 - 82x$
$|A| = 0$ લેતા:
$246 - 82x = 0$
$82x = 246$
$x = \frac{246}{82} = 3$
તેથી,$x$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ છે.
આપેલ છે કે $\det(A) = 1$,તેથી સમીકરણ $\lambda^2 - (a+d)\lambda + 1 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય કરતા નાનો $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = [-(a+d)]^2 - 4(1)(1) = (a+d)^2 - 4$ છે.
$D < 0$ લેતા,આપણને $(a+d)^2 - 4 < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(a+d)^2 < 4$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરીએ કારણ કે તેમાં સૌથી વધુ શૂન્ય છે:
$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3-t & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3-t & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3-t & 1 \\ -1 & 3-t \end{vmatrix}$
$\det(A) = 1 \cdot ((3-t)(1) - (0)(-1))$
$\det(A) = 3-t$
આપેલ છે કે $\det(A) = 5$,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવીએ:
$3-t = 5$
$-t = 5 - 3$
$-t = 2$
$t = -2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c^{2}+a c \\ a^{2}+a b & b^{2} & c a \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_1$ માંથી $a$,$C_2$ માંથી $b$ અને $C_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & c+a \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 2b & b+c & c\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 0 & c & c-a\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = abc \cdot (-2b) \cdot \left|\begin{array}{cc}c & c+a \\ c & c-a\end{array}\right| = -2ab^2c \cdot (c^2 - ac - c^2 - ac) = -2ab^2c \cdot (-2ac) = 4a^2b^2c^2$.
$k a^2b^2c^2$ સાથે સરખાવતા,$k = 4$ મળે છે.

(C) $f(x) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ: $\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1} \geq 0$.
$2$. છેદમાં $\sqrt{x}$ હોવાથી $x > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$3$. $\sqrt{x+1}$ માટે $x+1 \geq 0$ એટલે કે $x \geq -1$ હોવું જોઈએ.
આ બધી શરતોને જોડતા,આપણને $x > 0$ મળે છે.
હવે,અસમતા ઉકેલો: $\frac{1}{\sqrt{x}} \geq \sqrt{x+1}$.
$x > 0$ હોવાથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{x} \geq x+1$.
$1 \geq x^2 + x \implies x^2 + x - 1 \leq 0$.
$x^2 + x - 1 = 0$ ના બીજ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી $x^2 + x - 1 \leq 0$ માટે $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$.
આને $x > 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x \in \left(0, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$ મળે છે.

(A) $f \circ g(x) = f(g(x)) = \sqrt{x - 3\sqrt{x} + 2}$ માટે,પ્રદેશ $S$ મેળવવા $x \ge 0$ અને $x - 3\sqrt{x} + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ.
$u = \sqrt{x}$ લેતા,$(u-1)(u-2) \ge 0$ મળે,જેનો ઉકેલ $u \le 1$ અથવા $u \ge 2$ છે.
તેથી $S = [0, 1] \cup [4, \infty)$.
$g \circ f(x) = g(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ માટે,પ્રદેશ $T$ મેળવવા $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ હોવું જોઈએ.
આથી $x \le 1$ અથવા $x \ge 2$,એટલે કે $T = (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.
હવે,$S \cap T = [0, 1] \cup [4, \infty)$.

(D) વિધેય $f: S \rightarrow R$ એ $f(A) = \det(A)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $A \in S$ અને $S$ એ $2 \times 2$ ક્રમના તમામ અસામાન્ય શ્રેણિકોનો ગણ છે. જો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય તો તે અસામાન્ય છે. તેથી,$f$ નો વિસ્તાર $R \setminus \{0\}$ છે.
$1$. એક-એક માટે તપાસો: બે શ્રેણિકો $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A_2 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ લો. બંને $A_1, A_2 \in S$ છે કારણ કે $\det(A_1) = 4 \neq 0$ અને $\det(A_2) = 4 \neq 0$. અહીં,$f(A_1) = 2(2) - 0(0) = 4$ અને $f(A_2) = 4(1) - 0(0) = 4$. $f(A_1) = f(A_2)$ છે પરંતુ $A_1 \neq A_2$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત માટે તપાસો: સહપ્રદેશ $R$ છે. કોઈપણ $y = 0 \in R$ માટે,એવો કોઈ શ્રેણિક $A \in S$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(A) = 0$ થાય,કારણ કે $S$ માં ફક્ત અસામાન્ય શ્રેણિકો જ છે (જ્યાં $\det(A) \neq 0$). તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) વિધેય $f(x) = x|x|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત વિધેય તરીકે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & -1 \leq x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
એક-એક હોવા માટે: અંતરાલ $[-1, 1]$ પર $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે (કારણ કે તેનું વિકલન $f'(x) = 2|x| \geq 0$ છે),તેથી તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત હોવા માટે: $x \in [-1, 0)$ માટે $f(x)$ નો વિસ્તાર $(-1, 0]$ છે અને $x \in [0, 1]$ માટે $[0, 1]$ છે. આ બંનેને જોડતા,વિસ્તાર $[-1, 1]$ મળે છે,જે સહ-પ્રદેશ $A$ ની બરાબર છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ છે.

(A) આપેલ છે $y = \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}$.
સહગુણકો શોધતા આપણને $A=4, B=-3, C=1$ મળે છે.
તેથી,$y = 4(x+2)^{-1} - 3(x+1)^{-1} + (x+1)^{-2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરતા:
$y' = -4(x+2)^{-2} + 3(x+1)^{-2} - 2(x+1)^{-3}$.
ફરીથી વિકલન કરતા:
$y'' = 8(x+2)^{-3} - 6(x+1)^{-3} + 6(x+1)^{-4}$.
$y'' = 2\left[\frac{4}{(x+2)^{3}} - \frac{3}{(x+1)^{3}} + \frac{3}{(x+1)^{4}}\right]$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^{2} = x^{3}$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{2y}$.
બિંદુ $(m^{2}, m^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $T_{1} = \frac{3(m^{2})^{2}}{2(m^{3})} = \frac{3m^{4}}{2m^{3}} = \frac{3m}{2}$ છે.
$(m^{2}, m^{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - m^{3} = \frac{3m}{2}(x - m^{2})$ છે,જેનું સાદુરૂપ $3mx - 2y - m^{3} = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(M^{2}, M^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{3M}{2}$ છે. તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $N_{2} = -\frac{2}{3M}$ થાય.
$(M^{2}, M^{3})$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - M^{3} = -\frac{2}{3M}(x - M^{2})$ છે,જેનું સાદુરૂપ $2x + 3My - (3M^{4} + 2M^{2}) = 0$ થાય છે.
સ્પર્શક અને અભિલંબ સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{3m}{2} = \frac{-2}{3M} \Rightarrow 9mM = -4 \Rightarrow mM = -\frac{4}{9}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = b e^{-\frac{x}{a}}$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = b e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) = -\frac{y}{a}$.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_0}{a}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_0 = -\frac{y_0}{a}(x - x_0)$ છે.
$y_0$ વડે ભાગતા: $\frac{y}{y_0} - 1 = -\frac{x}{a} + \frac{x_0}{a}$.
ગોઠવતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{y_0} = 1 + \frac{x_0}{a}$.
આ સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,$y_0 = b$ અને $1 + \frac{x_0}{a} = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = 0$.
$x_0 = 0$ આગળ,$y_0 = b e^0 = b$. આમ,સ્પર્શક બિંદુ $(0, b)$ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને $x = 0$ આગળ છેદે છે,તેથી $y$-અંત:ખંડ પરનો સ્પર્શક $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
ધારો કે $y' = \frac{dy}{dx}$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = y'(X - x)$ છે.
બિંદુ $A$ ($X$-અક્ષ) માટે,$Y = 0$ લેતા: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$. તેથી,$A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$.
બિંદુ $B$ ($Y$-અક્ષ) માટે,$X = 0$ લેતા: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$. તેથી,$B = (0, y - xy')$.
આપેલ છે કે $AP:BP = 3:1$. બિંદુ $P(x, y)$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા જે $AB$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.
વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$.
તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$. વક્ર $xy^3 = 1$ છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: જો $x = 1/8$ હોય,તો $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$. તેથી,વક્ર $(1/8, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $(1, 1)$ આગળ,$y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$. અભિલંબનો ઢાળ $= -\frac{1}{y'} = 3$.
અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^{2} - 3x + 2$ છે.
આપણે $x = 2$ થી $x = 1.99$ માં ફેરફાર થાય ત્યારે $y$ નું વિકલન $dy$ શોધવાનું છે.
અહીં,$x = 2$ અને $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ છે.
વિધેયનું વિકલિત $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{2} - 3x + 2) = 4x - 3$ થાય.
$x = 2$ આગળ,$f'(2) = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$ મળે.
વિકલન $dy$ નું સૂત્ર $dy = f'(x) \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$dy = f'(2) \times (-0.01) = 5 \times (-0.01) = -0.05$.
આમ,$y$ નું વિકલન $-0.05$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$.
એકવિધતા નક્કી કરવા માટે,આપણે વિકલિત મેળવીએ: $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x)$.
કારણ કે $f^{\prime \prime}(x) < 0$,વિધેય $f^{\prime}(x)$ એ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
જો $x < \frac{1}{2}$ હોય,તો $x < 1-x$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(x) > f^{\prime}(1-x)$ કારણ કે $f^{\prime}$ ઘટતું વિધેય છે.
આમ,$x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ માટે $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) > 0$,તેથી $\phi(x)$ એ $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ માં વધતું વિધેય છે.
જો $x > \frac{1}{2}$ હોય,તો $x > 1-x$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(x) < f^{\prime}(1-x)$ કારણ કે $f^{\prime}$ ઘટતું વિધેય છે.
આમ,$x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ માટે $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) < 0$,તેથી $\phi(x)$ એ $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \cos x + x \sin x - 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન મેળવો:
$f'(x) = -\sin x + (1 \cdot \sin x + x \cos x) = x \cos x$.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,$x > 0$ અને $\cos x > 0$ બંને છે.
તેથી,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે $f'(x) = x \cos x > 0$ થાય.
$f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,કોઈપણ $x > 0$ માટે,$f(x) > f(0)$ થાય.
$f(0)$ ની ગણતરી કરો:
$f(0) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.
આમ,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે $f(x) > 0$ થાય.
$\cos x + x \sin x - 1 > 0$
$\cos x + x \sin x > 1$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 - \sqrt{x^2}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{x^2} = |x|$,વિધેયને $f(x) = 1 - |x|$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = 1 - |0| = 1$ થાય છે.
કોઈપણ $x \neq 0$ માટે,$|x| > 0$ હોવાથી,$f(x) = 1 - |x| < 1$ થાય છે.
દરેક $x$ માટે $f(x) \leq f(0)$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$f$ ને $x = 0$ પર મહત્તમ મૂલ્ય (maxima) છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 6x^{2}-18ax+12a^{2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x)=0$ લો:
$6(x^{2}-3ax+2a^{2})=0 \Rightarrow 6(x-a)(x-2a)=0$.
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x=a$ અને $x=2a$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 12x-18a$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સની પ્રકૃતિ તપાસો:
$x=a$ માટે: $f''(a) = 12a-18a = -6a$. $a>0$ હોવાથી,$f''(a) < 0$,તેથી $f(x)$ ને $p=a$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$x=2a$ માટે: $f''(2a) = 12(2a)-18a = 6a$. $a>0$ હોવાથી,$f''(2a) > 0$,તેથી $f(x)$ ને $q=2a$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
શરત $p^{2}=q$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$a^{2} = 2a$.
$a>0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$a = 2$.

(A) આપેલ છે કે $f(0) = f(1) = 0$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime}(c) = 0$ થાય.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $f^{\prime}(0) = 0$.
હવે,અંતરાલ $[0, c]$ પર વિધેય $f^{\prime}(x)$ ને ધ્યાનમાં લો.
$f$ એ બે વાર સતત વિકલનીય હોવાથી,$f^{\prime}$ એ $[0, c]$ પર સતત છે અને $(0, c)$ પર વિકલનીય છે.
વળી,$f^{\prime}(0) = 0$ અને $f^{\prime}(c) = 0$ છે.
અંતરાલ $[0, c]$ પર $f^{\prime}(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,$(0, c)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c_1$ એવું મળે કે જેથી $(f^{\prime})^{\prime}(c_1) = f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ થાય.
આમ,કોઈક $c_1 \in (0, 1)$ માટે $f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ થાય.

(C) ધારો કે $u = f(x) \varphi(x)$. તો,ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$du = (f(x) \varphi^{\prime}(x) + \varphi(x) f^{\prime}(x)) dx$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{du}{(u+1) \sqrt{u-1}}$.
હવે,ધારો કે $u-1 = p^2$,જેનો અર્થ છે કે $u = p^2 + 1$ અને $du = 2p dp$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2p dp}{(p^2 + 1 + 1) \sqrt{p^2}} = \int \frac{2p dp}{(p^2 + 2) p} = \int \frac{2 dp}{p^2 + 2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{p}{\sqrt{2}}) + c = \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{p}{\sqrt{2}}) + c$.
$p = \sqrt{u-1} = \sqrt{f(x) \varphi(x) - 1}$ પાછું મૂકતા:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1} \sqrt{\frac{f(x) \varphi(x) - 1}{2}} + c$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
હવે,આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા: $\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}} = \frac{a}{y}$.
સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{a}{y} dx$ બને છે.
કારણ કે $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$,તેથી સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ થશે.
આનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને મળે છે $a \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} = a \left( \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \right) = a \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi a}{2}$.

(D) ધારો કે $I = \sum_{n=1}^{10} \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$.
પ્રથમ સંકલન પદ ધ્યાનમાં લો: $J_n = \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx$.
ધારો કે $x = -t$,તો $dx = -dt$. જ્યારે $x = -2n-1$,ત્યારે $t = 2n+1$. જ્યારે $x = -2n$,ત્યારે $t = 2n$.
તેથી,$J_n = \int_{2n+1}^{2n} \sin^{27}(-t) (-dt) = \int_{2n}^{2n+1} -\sin^{27} t \, dt = -\int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} t \, dt$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \sum_{n=1}^{10} (-\int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx) + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$.
$I = -\sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx = 0$.

(B) $\int_{0}^{2} [x^{2}] dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંતરાલ $[0, 2]$ ને તે બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $x^{2}$ પૂર્ણાંક હોય: $x^{2} = 1, 2, 3, 4$.
આનાથી આપણને $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ બિંદુઓ મળે છે.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$\int_{0}^{1} [x^{2}] dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} [x^{2}] dx$
$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx$
$= 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + 3[x]_{\sqrt{3}}^{2}$
$= (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$
$= 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(C) આપેલ પદ એ અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $f(x)$ ના નિશ્ચિત સંકલન માટે રીમાન સરવાળો (Riemann sum) છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{j=0}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{j}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$
અહીં,આપણે $\frac{j}{n} = x$ અને $\frac{1}{n} = dx$ લઈએ છીએ.
નિમ્ન સીમા $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{0}{n} = 0$ છે.
ઉર્ધ્વ સીમા $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n} = 1$ છે.
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય $\int_{0}^{1} f(x) dx$ થાય છે.

(C) આપેલ પ્રદેશ અસમતાઓ $x^{2}+y^{2} \leq 1$ અને $x+y \geq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અસમતા $x^{2}+y^{2} \leq 1$ એ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
અસમતા $x+y \geq 1$ એ રેખા $x+y=1$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ અને રેખા $x+y=1$ ના છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચાપ અને $(1, 0)$ તથા $(0, 1)$ ને જોડતી જીવા દ્વારા ઘેરાયેલા વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળાકાર સેક્ટર (પ્રથમ ચરણના ચાપને અનુરૂપ) ના ક્ષેત્રફળમાંથી ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \pi \times (1)^{2} = \frac{\pi}{4}$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

(B) પરવલયો $x = -2y^{2}$ અને $x = 1 - 3y^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
આમ,વક્રો $y = -1$ અને $y = 1$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને $y$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
કારણ કે વિધેય $(1 - y^{2})$ એ યુગ્મ વિધેય છે,આપણે સંકલનને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$A = 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$y' = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = y' + [e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)]$
પ્રથમ વિકલન પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = y' - y$.
આ કિંમત બીજા વિકલનમાં મૂકતા:
$y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
કારણ કે $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$,તેથી:
$y'' = 2y' - y - y$
$y'' - 2y' + 2y = 0$
આમ,વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$ છે.

(B) આપેલ છે $y = \frac{1}{1 + x + \ln x}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{y} = 1 + x + \ln x$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}(x + 1)}{x}$.
હવે વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $x \frac{dy}{dx} = y(y \ln x - 1)$.
અહીં $y \ln x - 1 = y \ln x - y(1 + x + \ln x) = y(\ln x - 1 - x - \ln x) = -y(1 + x)$.
તેથી,$y(y \ln x - 1) = -y^{2}(1 + x)$.
આમ,$x \frac{dy}{dx} = -y^{2}(1 + x)$ સાચું છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x \sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = vx \sin(v) - x$.
$x$ વડે ભાગતા: $\sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = v \sin(v) - 1$.
$v \sin(v) + x \sin(v) \frac{dv}{dx} = v \sin(v) - 1$.
$x \sin(v) \frac{dv}{dx} = -1$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$-\cos(v) = -\log|x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$x = 1$ માટે $v = \frac{y}{x} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}$.
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\log(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$-\cos(v) = -\log x$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{y}{x}) = \log x$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = f^{\prime}(x)$ અને $Q(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$.
ધારો કે $u = f(x)$,તો $du = f^{\prime}(x) dx$. સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u$ બને છે.
આમ,$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
$C = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + 1$.
$e^{f(x)}$ વડે ભાગતા:
$y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$.
પુનઃગોઠવણી કરતા $y + 1 = e^{-f(x)} + f(x)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $ZOX$ સમતલમાં એકમ સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + z \hat{k}$ છે.
તે એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{r}|^2 = x^2 + z^2 = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{\alpha} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{\alpha}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$.
$\vec{r}$ અને $\vec{\alpha}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{\alpha} = |\vec{r}| |\vec{\alpha}| \cos 45^{\circ}$.
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $\vec{\beta} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{\beta}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\vec{r}$ અને $\vec{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{\beta} = |\vec{r}| |\vec{\beta}| \cos 60^{\circ}$.
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow -z = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$z$ ની કિંમત $2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$ માં મૂકતા,$2x - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\vec{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ મળે છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$
ત્રીજા સ્તંભને અલગ કરતા:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \\ b & b^{2} & b^{3} \\ c & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| = 0$
બીજા નિશ્ચાયકમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| = 0$
$(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| = 0$
કારણ કે $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ અસમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય નથી. નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$ ની કિંમત શૂન્ય નથી.
તેથી,$1+abc = 0$,જેનો અર્થ છે કે $abc = -1$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે. બિંદુ $(2, -1, -3)$ મૂકતા,આપણને $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z + 3) = 0$ મળે છે.
સમતલ એ $(3, 2, -4)$ અને $(2, -3, 2)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ આ દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$3a + 2b - 4c = 0$ અને $2a - 3b + 2c = 0$.
અભિલંબ સદિશ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા,$(a, b, c) = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - 12) - j(6 + 8) + k(-9 - 4) = -8i - 14j - 13k$.
અભિલંબ સદિશ $(8, 14, 13)$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ મળે છે.

(B) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\sin \theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$\sin \theta = \frac{|3|}{(5\sqrt{2})(3)} = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{20}$.
ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. તેથી $xy = \frac{1}{20}$,એટલે કે $y = \frac{1}{20x}$.
બંનેમાંથી એક પણ ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1-x)(1-y) = \frac{3}{5}$ છે.
સમીકરણમાં $y = \frac{1}{20x}$ મુકતા:
$(1-x)(1-\frac{1}{20x}) = \frac{3}{5}$
$1 - \frac{1}{20x} - x + \frac{1}{20} = \frac{3}{5}$
$\frac{21}{20} - x - \frac{1}{20x} = \frac{3}{5}$
$20x$ વડે ગુણતા:
$21x - 20x^2 - 1 = 12x$
$20x^2 - 9x + 1 = 0$
$(4x-1)(5x-1) = 0$
આમ,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{5}$.
તેથી,$P(A) = \frac{1}{4}$ અથવા $P(A) = \frac{1}{5}$.

(D) ધારો કે $E$ એ પાસા પર બેકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે. સફળતાની સંભાવના $p = P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$A$ ત્યારે જીતે છે જો $A$ ને $1^{st}$,$5^{th}$,$9^{th}$,... વારામાં બેકી સંખ્યા મળે.
$P(A \text{ wins}) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = p = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{1/2}{1 - 1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) ધારો કે ફાયર કરેલા રાઉન્ડની સંખ્યા $n$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $p = 10 \% = 0.1$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.9$ છે.
$n$ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે આ સંભાવના $50 \%$ થી વધુ હોય,તેથી:
$1 - (0.9)^n > 0.5$
$(0.9)^n < 0.5$
હવે,આપણે $n$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
$n = 6$ માટે,$(0.9)^6 = 0.531441 > 0.5$.
$n = 7$ માટે,$(0.9)^7 = 0.4782969 < 0.5$.
આમ,જરૂરી રાઉન્ડની લઘુત્તમ સંખ્યા $n = 7$ છે.