WBJEE 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $B(\alpha, \beta)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + (p\alpha + q\beta) = 0$ મળે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,જ્યારે $y = 0$ લઈએ ત્યારે મળતા સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય થાય.
$y = 0$ મુકતા,$x^2 - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાની શરત મુજબ,વિવેચક $D = 0$.
$D = (p + \alpha)^2 - 4(p\alpha + q\beta) = 0$.
$p^2 - 2p\alpha + \alpha^2 - 4q\beta = 0$.
$(p - \alpha)^2 = 4q\beta$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x - p)^2 = 4qy$ મળે.

(D) ધારો કે $P(n) = 7^{2n} + 16n - 1$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = 7^2 + 16(1) - 1 = 49 + 16 - 1 = 64$.
$n = 2$ માટે,$P(2) = 7^4 + 16(2) - 1 = 2401 + 32 - 1 = 2432$.
$2432 / 64 = 38$ હોવાથી,આ પદાવલિ તમામ $n \in N$ માટે $64$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log _{2} 6 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 6 = \log _{2} (2 \times 3) = 1 + \log _{2} 3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - 1$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - \log _{2} 2$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{2} \right)$
$\frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6} \right)$
$2^{\frac{1}{2x}} = \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6}$
ધારો કે $y = 2^{\frac{1}{2x}}$,તો $y^2 = 2^{\frac{1}{x}}$.
$6y = y^2 + 8$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$(y - 4)(y - 2) = 0$
$y = 4$ અથવા $y = 2$
જો $2^{\frac{1}{2x}} = 4 = 2^2$,તો $\frac{1}{2x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
જો $2^{\frac{1}{2x}} = 2 = 2^1$,તો $\frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $a > b > 0$ અને $n \geq 2$.
ધારો કે $a = 4, b = 1$,અને $n = 2$.
તો $f(2) = 4^{1/2} - 1^{1/2} = 2 - 1 = 1$.
અને $J(2) = (4 - 1)^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.732$.
કારણ કે $1 < 1.732$,તેથી $f(2) < J(2)$.
સામાન્ય રીતે,$a > b > 0$ અને $n \geq 2$ માટે,ઘાતાંકના ગુણધર્મ મુજબ,$(a - b)^{1/n} > a^{1/n} - b^{1/n}$ સાચું છે.
આમ,$f(n) < J(n)$.

(D) ધારો કે $f(x) = a x^{2} + b x + c$.
આપેલ છે કે $f(1) = a + b + c < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2} + b x + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોવાથી,$f(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને છેદતો નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ કાં તો હંમેશા ધન $(a > 0)$ છે અથવા હંમેશા ઋણ $(a < 0)$ છે.
$f(1) < 0$ હોવાથી,$f(x)$ હંમેશા ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.
વળી,$f(0) = c$. $f(x)$ હંમેશા ઋણ હોવાથી,$f(0) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c < 0$.
આમ,$a < 0$ અને $c < 0$.

(B) આપેલ છે કે $x_{1}, x_{2}$ એ $x^{2}-3x+a=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{1}+x_{2}=3$ અને $x_{1}x_{2}=a$.
આપેલ છે કે $x_{3}, x_{4}$ એ $x^{2}-12x+b=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{3}+x_{4}=12$ અને $x_{3}x_{4}=b$.
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમને $A, AR, AR^{2}, AR^{3}$ તરીકે લો.
તેથી $x_{1}+x_{2} = A(1+R) = 3$ અને $x_{3}+x_{4} = AR^{2}(1+R) = 12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$R^{2} = 12/3 = 4$ મળે,તેથી $R = 2$ (કારણ કે $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ હોવાથી $R > 0$).
$R=2$ ને $A(1+R)=3$ માં મૂકતા,$A(3)=3$ મળે,તેથી $A=1$.
પદો $1, 2, 4, 8$ છે.
આમ,$a = x_{1}x_{2} = 1 \times 2 = 2$ અને $b = x_{3}x_{4} = 4 \times 8 = 32$.
તેથી,$ab = 2 \times 32 = 64$.

(A) આપેલ છે કે,$e^{\sin x}-e^{-\sin x}-4=0$.
ધારો કે $e^{\sin x}=t$. $e^{\sin x} > 0$ હોવાથી,$t > 0$ મળે.
સમીકરણ $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $t^2 - 4t - 1 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધતા: $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = 2 + \sqrt{5}$ લેવું પડે (કારણ કે $2 - \sqrt{5} < 0$).
આમ,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin x \leq 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-1} \leq e^{\sin x} \leq e^1$.
સંખ્યાત્મક રીતે,$e \approx 2.718$ અને $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$.
$4.236 > 2.718$ હોવાથી,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ માટે $x$ ની કોઈ કિંમત શક્ય નથી.
તેથી,$x$ ની વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે $\arg(z) = \theta$,જ્યાં $0 < \theta < \pi$ છે.
કારણ કે $-z$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે $z$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી તેનો કોણાંક $\arg(-z) = \theta - \pi$ (જો $0 < \theta < \pi$ હોય) દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\arg(z) - \arg(-z) = \theta - (\theta - \pi) = \theta - \theta + \pi = \pi$.

(A) ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z_1$ અને $z_2$ માટે,$|z_1| + |z_2| \geq |z_1 + z_2|$ થાય છે.
ધારો કે $z_1 = z$ અને $z_2 = 1 - z$.
તેથી $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)|$.
કારણ કે $|1 - z| = |z - 1|$,તેથી $|z| + |z - 1| \geq |1|$.
આમ,$|z| + |z - 1| \geq 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta}$.
$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$z = \bar{z}$ થાય.
$\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = (1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta)$.
$1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta$.
સાદુરૂપ આપતા:
$6i \cos \theta = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$.
આમ,$\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in I$.

(B) ઓઈલરના સૂત્ર $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ નો ઉપયોગ કરતા, આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$e^{i\theta} \cdot e^{i2\theta} \cdot e^{i3\theta} \dots e^{in\theta} = 1$
$e^{i\theta(1 + 2 + 3 + \dots + n)} = 1$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$e^{i\frac{n(n+1)}{2}\theta} = 1$
$e^{i2k\pi} = 1$ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
$\frac{n(n+1)}{2}\theta = 2k\pi$
$\theta = \frac{4k\pi}{n(n+1)}$

(A) બિંદુ $P$ ના ધ્રુવીય યામ $\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ આપેલા છે.
કારણ કે રેખાખંડ $PQ$ નું પ્રારંભિક રેખા ($X$-અક્ષ) દ્વારા લંબદ્વિભાજન થાય છે,તેથી બિંદુ $Q$ એ $X$-અક્ષ પર $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ માં,બિંદુનું પ્રારંભિક રેખા પર પ્રતિબિંબ લેતી વખતે ખૂણા $\theta$ ની નિશાની બદલાય છે અને $r$ સમાન રહે છે.
તેથી,$\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ નું $X$-અક્ષ પરનું પ્રતિબિંબ $\left(2, -\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ થશે.
આમ,$Q$ ના યામ $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ છે.

(A) ઉમેદવારે બે ભાગ $A$ અને $B$ માંથી કુલ $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં શરત છે કે કોઈપણ ભાગમાંથી $4$ થી વધુ પ્રશ્નો પસંદ કરી શકાતા નથી. શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:

ભાગ $A$	ભાગ $B$
$4$ પ્રશ્નો	$2$ પ્રશ્નો
$3$ પ્રશ્નો	$3$ પ્રશ્નો
$2$ પ્રશ્નો	$4$ પ્રશ્નો

કુલ રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$Ways = ({ }^{6}C_{4} \times { }^{6}C_{2}) + ({ }^{6}C_{3} \times { }^{6}C_{3}) + ({ }^{6}C_{2} \times { }^{6}C_{4})$
$Ways = (15 \times 15) + (20 \times 20) + (15 \times 15)$
$Ways = 225 + 400 + 225$
$Ways = 850$

(B) બરાબર $4$ કાર્ડ્સ તેમના સંબંધિત પરબિડીયાઓમાં જાય તે રીતે ગોઠવવાની રીતો:
$1$. $7$ માંથી $4$ કાર્ડ્સ પસંદ કરો જે તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય,જે ${ }^{7} C_{4}$ રીતે થઈ શકે.
$2$. બાકીના $3$ કાર્ડ્સ બાકીના $3$ પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવા કે કોઈ પણ કાર્ડ તેના સાચા પરબિડીયામાં ન જાય (આ $3$ વસ્તુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગોઠવણી છે,જેને $D(3)$ કહેવાય છે).
$3$. $D(3) = 3! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 2$.
$4$. કુલ રીતો = ${ }^{7} C_{4} \times D(3) = { }^{7} C_{3} \times 2 = 2 \times { }^{7} C_{3}$.

(B) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a, ar, ar^2$ છે,જ્યાં $ar^2$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(ar^2)^2 = a^2 + (ar)^2$.
$a^2$ વડે ભાગતા,$r^4 = 1 + r^2$,જેનો અર્થ છે $r^4 - r^2 - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $r^2$ માટે ઉકેલતા,$r^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ($r^2 > 0$ હોવાથી).
આમ,$r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
ત્રિકોણમાં,$\tan \alpha = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{ar}{a} = r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
તે જ રીતે,$\tan \beta = \frac{a}{ar} = \frac{1}{r} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.
તેથી,કિંમતો $\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ અને $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ છે.

(B) કણ પગલાંઓની શ્રેણીમાં ગતિ કરે છે. $x$-યામ અને $y$-યામ નીચે મુજબ બદલાય છે:
$x$-યામ: $1, 1, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}, \dots$
આ આડી ગતિ માટેની ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $x_{\infty} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$y$-યામ: $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \dots$
આ ઊભી ગતિ માટેની ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $y_{\infty} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \dots = \frac{1/2}{1 - (-1/4)} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (\frac{4}{3}, \frac{2}{5})$.

(B) $(3^{\frac{1}{8}}+5^{\frac{1}{4}})^{84}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{84}C_{r} (3^{\frac{1}{8}})^{84-r} (5^{\frac{1}{4}})^{r} = {}^{84}C_{r} \cdot 3^{\frac{84-r}{8}} \cdot 5^{\frac{r}{4}}$ છે.
પદ સંમેય હોય તે માટે $3$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{84-r}{8}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ અને $\frac{r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ.
$\frac{r}{4} = k$ લેતા,$r = 4k$ મળે,જ્યાં $0 \le r \le 84$.
$r = 4k$ ને $\frac{84-4k}{8} = \frac{21-k}{2}$ માં મૂકતા,$21-k$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $k$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$0 \le 4k \le 84$ હોવાથી,$0 \le k \le 21$ મળે.
$k$ ની એકી કિંમતો $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$ છે.
આમ $k$ ની $11$ કિંમતો મળે છે,તેથી $11$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $84+1 = 85$ છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $85 - 11 = 74$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{2}-1$ અને $g(x) = \cos x$.
આપણે $x^{2}-1 = \cos x$ સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ.
બંને વિધેયોનું અવલોકન કરો:
$1$. વિધેય $f(x) = x^{2}-1$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(0, -1)$ પર છે.
$2$. વિધેય $g(x) = \cos x$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરતું આવર્તક તરંગ છે.
$x = 0$ પર,$f(0) = -1$ અને $g(0) = 1$.
આલેખનું અવલોકન કરતા,પરવલય $x^{2}-1$ એ $\cos x$ ના વક્રને ચોક્કસ બે બિંદુઓ પર છેદે છે.

(C) બિંદુઓ $P(0,0), Q(1,0)$ અને $R\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = 1, QR = 1, RP = 1$
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,અંતઃકેન્દ્ર (incenter) એ મધ્યકેન્દ્ર (centroid) સમાન હોય છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I$ ના યામ $\left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a=b=c=1$.
તેથી,$I = \left(\frac{0+1+\frac{1}{2}}{3}, \frac{0+0+\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$.

(B) આપેલ રેખા: $\sqrt{3}x + y = 1$,જેને $y = -\sqrt{3}x + 1$ તરીકે લખી શકાય. ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$.
ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m_1 - (-\sqrt{3})}{1 + m_1(-\sqrt{3})} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = 0$. રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = 0$.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = \sqrt{3}$. રેખાનું સમીકરણ $y - x\sqrt{3} + 2 + 3\sqrt{3} = 0$.

(B) ધારો કે છેદબિંદુના યામ $(\alpha, -\alpha)$ છે કારણ કે તે $4^{th}$ ચરણમાં છે અને અક્ષોથી સમાન અંતરે છે.
કારણ કે $(\alpha, -\alpha)$ એ $2ax + 4ay + c = 0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2a(\alpha) + 4a(-\alpha) + c = 0$
$-2a\alpha + c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{2a} \quad (i)$
કારણ કે $(\alpha, -\alpha)$ એ $7bx + 3by - d = 0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$7b(\alpha) + 3b(-\alpha) - d = 0$
$4b\alpha - d = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{d}{4b} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{c}{2a} = \frac{d}{4b}$
$4bc = 2ad$
$\frac{ad}{bc} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
તેથી,$ad : bc = 2 : 1$.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$x-y=7$ ...$(i)$
$x+4y=2$ ...(ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $B(6,-1)$ મળે છે.
ધારો કે રેખા $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $A(2,-7)$ એ $x-y=7$ પર આવેલું છે,તેથી રેખા $AC$ એ $A(2,-7)$ માંથી પસાર થાય છે.
$AB=AC$ હોવાથી,$\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB$. બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
$\left| \frac{m-1}{1+m} \right| = \left| \frac{4m+1}{4-m} \right|$.
આને ઉકેલતા $m=1$ અથવા $m=-23/7$ મળે છે.
$m=1$ માટે,રેખાનું સમીકરણ $y-(-7)=1(x-2) \Rightarrow x-y-9=0$ છે.
$m=-23/7$ માટે,રેખાનું સમીકરણ $y-(-7)=-\frac{23}{7}(x-2) \Rightarrow 23x+7y+3=0$ છે.

(B) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ છે.
રેખા એક નિશ્ચિત બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{x_{1}}{a}+\frac{y_{1}}{b}=1$
$OAPB$ લંબચોરસ હોવાથી,$P$ ના યામ $(a, b)$ થશે.
$a$ ને $x$ અને $b$ ને $y$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ છે:
$\frac{x_{1}}{x}+\frac{y_{1}}{y}=1$

(A) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ આપેલ નિશ્ચિત બિંદુ છે અને $O(0, 0)$ એ ઉગમબિંદુ છે.
ધારો કે $Q(x, y)$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી $P$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
કારણ કે $OQ \perp PQ$,તેથી $\angle OQP = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $Q$ એ $OP$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલું છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $O(0, 0)$ અને $P(\alpha, \beta)$ મૂકતા:
$(x-0)(x-\alpha) + (y-0)(y-\beta) = 0$
$x(x-\alpha) + y(y-\beta) = 0$
$x^{2} - \alpha x + y^{2} - \beta y = 0$
આમ,બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} - \alpha x - \beta y = 0$ છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $T(-ae, 0)$ છે.
$B(0, b)$ એ ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ છે.
$\triangle STB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB = ST = TB$ થાય.
$ST = ae - (-ae) = 2ae$.
$SB = \sqrt{(ae-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2}e^{2} + b^{2}}$.
$SB = ST$ હોવાથી,$SB^{2} = ST^{2}$ થાય.
$a^{2}e^{2} + b^{2} = (2ae)^{2} = 4a^{2}e^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2}(1-e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2}$.
$4e^{2} = 1$.
$e^{2} = \frac{1}{4}$.
$e = \frac{1}{2}$ (કારણ કે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$).

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ છે.
$48$ વડે ભાગતા,$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ મળે.
અહીં,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 12$,તેથી $a = 4$ અને $b = 2\sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \frac{1}{2}$.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબના અંત્યબિંદુ $P$ ના યામ $(ae, \frac{b^{2}}{a}) = (4 \times \frac{1}{2}, \frac{12}{4}) = (2, 3)$ છે.
ધારો કે $P$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ છે. તો $P = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (4 \cos \theta, 2\sqrt{3} \sin \theta)$.
યામ સરખાવતા: $4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$ અને $2\sqrt{3} \sin \theta = 3 \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = \cos^{2} \alpha$ અને $b^{2} = \sin^{2} \alpha$ મળે છે.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ae = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા,$ae = \sqrt{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha} = \sqrt{1} = 1$.
આમ,નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ છે,જે $\alpha$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$\alpha$ બદલાય તેમ નાભિઓ નિશ્ચિત રહે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^{2}-3y^{2}-18x+12y+2=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $3(x-3)^{2} - 3(y-2)^{2} = 13$.
જેને $\frac{(x-3)^{2}}{13/3} - \frac{(y-2)^{2}}{13/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^{2} = 13/3$ અને $b^{2} = 13/3$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{2}$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h \pm \frac{a}{e}$ મુજબ $x = 3 \pm \sqrt{\frac{13}{6}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
આપેલ છે કે અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કરતા વધારે છે,તેથી $2b > 2a$,જેનો અર્થ છે કે $b > a$.
અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
જેহেতু $b > a$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} > 1$ થાય.
તેથી,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $e > \sqrt{2}$ મળે છે.

(A, C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $5x^{2}-y^{2}=5$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{5}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2}=1$ અને $b^{2}=5$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ છે,જે $y=mx \pm \sqrt{m^{2}-5}$ બને છે.
સ્પર્શક $(2, 8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$8=2m \pm \sqrt{m^{2}-5}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $8-2m = \pm \sqrt{m^{2}-5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(8-2m)^{2} = m^{2}-5$.
$64+4m^{2}-32m = m^{2}-5$.
$3m^{2}-32m+69=0$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $(3m-23)(m-3)=0$,તેથી $m=3$ અથવા $m=\frac{23}{3}$.
$m=3$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-8=3(x-2) \Rightarrow 3x-y+2=0$ છે.
$m=\frac{23}{3}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-8=\frac{23}{3}(x-2) \Rightarrow 23x-3y-22=0$ છે.
આમ,$3x-y+2=0$ અને $23x-3y-22=0$ બંને માન્ય સ્પર્શકો છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
બિંદુ $P(4,3)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{16}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_1} + \frac{b^{2}y}{y_1} = a^{2} + b^{2}$ છે.
$(x_1, y_1) = (4,3)$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{4} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ મળે.
અભિલંબ $(16,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=16$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{a^{2}(16)}{4} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 4a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = b^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{16}{a^{2}} - \frac{9}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^{2}} - \frac{3}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{13}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow a^{2} = 13$.
તેથી $b^{2} = 3(13) = 39$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{39}{13}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(B) આપણે $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} \ln x$ લઈએ.
આ $0 \times \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે તેને $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{x^{-n}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$L'\text{Hospital's rule}$ લાગુ પાડતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{-n})} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-n x^{-n-1}}$.
$= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{n+1}}{-n} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{n}}{-n}$.
કારણ કે $n > 0$,જેમ $x \rightarrow 0^{+}$,તેમ $x^{n} \rightarrow 0$.
તેથી,લક્ષ $\frac{0}{-n} = 0$ છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું સૂત્ર: $\theta_n = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ છે.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે આપણે મર્યાદા શોધવી છે:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \theta_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{2}{n}) \times 180^{\circ}$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ પદ $\frac{2}{n} \rightarrow 0$ થાય છે.
તેથી,મર્યાદા $(1 - 0) \times 180^{\circ} = 180^{\circ} = \pi \text{ રેડિયન}$ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે,$y - 1 < [y] \leq y$ થાય.
$y = \frac{q}{x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{q}{x} - 1 < \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{q}{x}$ મળે.
$\frac{x}{p}$ વડે ગુણતા (ધારો કે $x > 0$ અને $p > 0$),આપણને $\frac{x}{p} \left( \frac{q}{x} - 1 \right) < \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{x}{p} \left( \frac{q}{x} \right)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{q}{p} - \frac{x}{p} < \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{q}{p}$ થાય.
જ્યારે $x \rightarrow 0^{+}$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,કિંમત $\frac{q}{p}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,$a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ શોધો. દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ દ્વારા મળે છે. અહીં $A=1, B=2, C=3$ છે,તેથી $a = \frac{4(1)(3) - (2)^{2}}{4(1)} = \frac{12 - 4}{4} = 2$.
આગળ,$b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$ શોધો. નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^{2}(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{4(\theta/2)^{2}} = \frac{2}{4}(1)^{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} (\frac{1}{2})^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^{r}$ ની ગણતરી કરો.
આ $n+1$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $4$ છે. સરવાળો $2^{-n} \left[ \frac{1(4^{n+1} - 1)}{4 - 1} \right] = 2^{-n} \left[ \frac{4^{n+1} - 1}{3} \right] = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^{n}}$ થાય છે.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\log \left(e^{x}+x\right)}{x}$.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે $L$'Hospital નો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{d}{dx} \log \left(e^{x}+x\right)}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}}{1}$.
$x \rightarrow 0^{+}$ તરીકે લક્ષની કિંમત શોધતા:
$\log L = \frac{e^{0}+1}{e^{0}+0} = \frac{1+1}{1+0} = 2$.
તેથી,$L = e^{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અચળ $a$ અને $b$ માટે,પ્રમાણિત વિચલન (standard deviation) નો ગુણધર્મ $\sigma(a + bX) = |b| \sigma(X)$ છે.
આપેલ છે કે $\sigma(X) = 2.6$.
આપણે $\sigma(1 - 4X)$ શોધવાનું છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -4$ છે.
ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: $\sigma(1 - 4X) = |-4| \sigma(X)$.
$\sigma(1 - 4X) = 4 \times 2.6$.
$\sigma(1 - 4X) = 10.4$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $2x, 3x,$ અને $7x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$.
$12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાઓ $30^{\circ}, 45^{\circ},$ અને $105^{\circ}$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $a$ એ સૌથી નાના ખૂણા $30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ છે.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,જ્યાં $R = 10 \text{ cm}$.
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 10$.
$a = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$.

(B) ગણ $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં એકમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો ચાપ દર્શાવે છે $(x > 0, y > 0)$.
ગણ $T$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $x^8 + y^8 = 1$ ની અંદરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ માટે,આપણી પાસે $0 < x < 1$ અને $0 < y < 1$ છે.
કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $x^8 < x^2$ અને $0 < y < 1$ હોવાથી,$y^8 < y^2$ મળે છે.
તેથી,$x^8 + y^8 < x^2 + y^2 = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $P$ માંનું દરેક બિંદુ $(x, y)$ એ $x^8 + y^8 < 1$ શરતનું પણ પાલન કરે છે,તેથી $P \subset T$.
આમ,$P \cap T = P$.

(C) આપણી પાસે વિધેય $f(x) = \cos(x^2)$ છે.
કોઈ વિધેય $T > 0$ આવર્તમાન ધરાવે તે માટે,તેના પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(x+T) = f(x)$ થવું જોઈએ.
વિધેયની કિંમત મૂકતા,આપણને $\cos((x+T)^2) = \cos(x^2)$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $(x+T)^2 = x^2 + 2n\pi$ અથવા $(x+T)^2 = -(x^2) + 2n\pi$ થાય.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + 2xT + T^2 = x^2 + 2n\pi$,જેનું સાદું રૂપ $2xT + T^2 = 2n\pi$ થાય છે.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું ઠરે તે માટે $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $T=0$. પરંતુ આવર્તમાન $T$ એ ધન અચળાંક હોવો જોઈએ.
આમ,એવું કોઈ $T > 0$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી,તેથી વિધેય $f(x) = \cos(x^2)$ આવર્તી વિધેય નથી.

(C) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4},$ અને $P(D) = \frac{1}{5}$ એ $4$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વ્યક્તિગત રીતે પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
પ્રશ્ન ઓછામાં ઓછા એક વિદ્યાર્થી દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈપણ વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{X}) = 1 - P(X)$ છે.
આમ,$P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4},$ અને $P(\bar{D}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ વિદ્યાર્થી પ્રશ્ન ન ઉકેલી શકે તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{D}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})$ છે.
$P(\text{કોઈ નહીં}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}.$
તેથી,પ્રશ્ન ઓછામાં ઓછા એક વિદ્યાર્થી દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$.
ગુણધર્મ $\int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t + \int_{a}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,$L$'$H$ôpital ના નિયમ અને Leibniz સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t}{\frac{d}{dx} (x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin ^{2}(x+y)} \cdot (1) - 0}{1} = e^{\sin ^{2} y}$.

(D) સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in R$ માટે,$1 + a \cdot a = 1 + a^{2}$ થાય. કારણ કે $a^{2} \ge 0$,તેથી $1 + a^{2} \ge 1 > 0$. આમ,બધા $a \in R$ માટે $(a, a) \in R_{1}$ છે. તેથી,$R_{1}$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા: જો $(a, b) \in R_{1}$ હોય,તો $1 + ab > 0$ થાય. કારણ કે $ab = ba$,તેથી $1 + ba > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in R_{1}$. તેથી,$R_{1}$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા: $a = 1$,$b = 1/2$,અને $c = -1$ લો. આપણી પાસે $1 + (1)(1/2) = 1.5 > 0$ છે,તેથી $(1, 1/2) \in R_{1}$. તેમજ,$1 + (1/2)(-1) = 0.5 > 0$ છે,તેથી $(1/2, -1) \in R_{1}$. જોકે,$1 + (1)(-1) = 0$,જે $> 0$ નથી. આમ,$(1, -1) \notin R_{1}$. તેથી,$R_{1}$ પરંપરિત નથી.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in f^{-1}(A - B)$ જો અને માત્ર જો $f(x) \in A - B$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x) \in A$ અને $f(x) \notin B$.
આ $x \in f^{-1}(A)$ અને $x \notin f^{-1}(B)$ ને સમતુલ્ય છે.
તેથી,$x \in f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$.
આ બંને દિશામાં સાચું હોવાથી,$f^{-1}(A - B) = f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(3-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 3 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3-\lambda) [(3-\lambda)^2 - 9] = 0$.
$(3-\lambda) [9 + \lambda^2 - 6\lambda - 9] = 0$.
$(3-\lambda) (\lambda^2 - 6\lambda) = 0$.
$(3-\lambda) \lambda (\lambda - 6) = 0$.
આમ,બીજ $\lambda = 0, 3, 6$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 5x & x \\ 0 & x & 5x \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણીય શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તેના મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોનો ગુણાકાર હોય છે.
તેથી,$|A| = 5 \times x \times 5 = 25x$.
આપણને આપેલ છે કે $|A^2| = 25$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,$|A^2| = |A|^2$.
તેથી,$(25x)^2 = 25$.
$625x^2 = 25$.
$x^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|x| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.

(D) શ્રેણિક બીજગણિતમાં,બે શૂન્યતર શ્રેણિકોનો ગુણાકાર શૂન્ય શ્રેણિક હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ લો.
$A$ અને $B$ બંને શૂન્યતર શ્રેણિકો છે,પરંતુ તેમનો ગુણાકાર $AB = O_{3}$ થાય છે.
તેથી,તે શક્ય છે કે $A \neq O_{3}$ અને $B \neq O_{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,પરિવર્તિત શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ એડજોઈન્ટનો પરિવર્તિત શ્રેણિક હોય છે.
એટલે કે,$\text{adj}(M^{\prime}) = (\text{adj } M)^{\prime}$.
તેથી,$\text{adj}(M^{\prime}) - (\text{adj } M)^{\prime} = (\text{adj } M)^{\prime} - (\text{adj } M)^{\prime} = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $A-3I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત સંપન્ન છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A-3I_{3}) = -2((-2)(-2) - (1)(1)) - 1((1)(-2) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(1))$
$\det(A-3I_{3}) = -2(4-1) - 1(-2-1) + 1(1+2)$
$\det(A-3I_{3}) = -2(3) - 1(-3) + 1(3) = -6 + 3 + 3 = 0$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A-3I_{3}$ એ અવ્યસ્ત (non-invertible) છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$\lambda x + y + 3z = 0$
$2x + \mu y - z = 0$
$5x + 7y + z = 0$
સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 3 \\ 2 & \mu & -1 \\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda(\mu(1) - (-1)(7)) - 1(2(1) - (-1)(5)) + 3(2(7) - \mu(5)) = 0$
$\lambda(\mu + 7) - 1(2 + 5) + 3(14 - 5\mu) = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 7 + 42 - 15\mu = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 15\mu + 35 = 0$
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$\lambda = 1$ અને $\mu = 3$ લેતા:
$(1)(3) + 7(1) - 15(3) + 35 = 3 + 7 - 45 + 35 = 10 - 45 + 35 = 0$.
આમ,સમીકરણ સંતોષાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપણી પાસે છે,$f(x) = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$.
પ્રથમ,એક-એક ગુણધર્મ માટે તપાસીએ:
$f(-x) = (-x)^{2} - \frac{(-x)^{2}}{1+(-x)^{2}} = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = f(x)$.
કારણ કે દરેક $x \in R$ માટે $f(-x) = f(x)$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
આગળ,વિસ્તાર માટે પદને સરળ બનાવીએ:
$f(x) = \frac{x^{2}(1+x^{2}) - x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{2} + x^{4} - x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{4}}{1+x^{2}}$.
દરેક $x \in R$ માટે $x^{4} \ge 0$ અને $1+x^{2} > 0$ હોવાથી,$f(x) \ge 0$ મળે.
$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે.
સહ-પ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[0, \infty) \neq R$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) આપણને આપેલ છે કે $g \circ f: S \rightarrow U$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક ઘટક $z \in U$ માટે,ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $x \in S$ એવો મળે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$ થાય.
આને $g(f(x)) = z$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = f(x)$. કારણ કે $x \in S$ અને $f: S \rightarrow T$ છે,તેથી $y \in T$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $g(y) = z$ મળે છે.
દરેક $z \in U$ માટે,આપણને $T$ માં એક એવો ઘટક $y$ મળે છે કે જેથી $g(y) = z$ થાય,તેથી $g: T \rightarrow U$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
જોકે,$f$ નું વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી નથી કારણ કે $T$ ના જે ઘટકો $f$ ના વિસ્તારમાં નથી,તે $g \circ f$ ની વ્યાપ્તતાને અસર કરતા નથી,જ્યાં સુધી $f$ નો વિસ્તાર $g$ દ્વારા $U$ ના તમામ ઘટકોને આવરી લેતો હોય.

(B) આપેલ છે કે $f:[1,3] \rightarrow R$ એ $[1,3]$ પર સતત છે અને $(1,3)$ માં વિકલનીય છે,જ્યાં $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ છે.
લેગ્રાન્જ મધ્યક માન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પાડતા,ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c \in (1,3)$ એવું મળે કે જેથી:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = f^{\prime}(c)$
$\frac{f(3)-f(1)}{2} = |f(c)|^{2} + 4$
કારણ કે $|f(c)|^{2} \geq 0$,તેથી $|f(c)|^{2} + 4 \geq 4$ થાય.
તેથી,$\frac{f(3)-f(1)}{2} \geq 4$,જેનો અર્થ છે કે $f(3)-f(1) \geq 8$.
આમ,વિધાન $f(3)-f(1)=5$ અસત્ય છે.

(A, C) વિધેય $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $f$ અને $g$ એ $I$ પર વિકલનીય છે,તેથી $h(x)$ પણ $I$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$,તેથી $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ અને $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ થાય.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $h^{\prime}(c) = 0$ થાય.
$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$.
$e^{g(x)} \neq 0$ હોવાથી,$h^{\prime}(c) = 0$ નો અર્થ છે કે $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
તે જ રીતે,વિકલ્પ $(c)$ માટે,$m(x) = e^{kx} g(x)$ ધ્યાનમાં લો.
$g(a) = 0$ અને $g(b) = 0$ હોવાથી,$m(a) = 0$ અને $m(b) = 0$ થાય.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(a, b)$ માં $c$ એવું મળે કે જેથી $m^{\prime}(c) = 0$ થાય.
$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$.
$e^{kx} \neq 0$ હોવાથી,$m^{\prime}(c) = 0$ નો અર્થ છે કે $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ પણ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $f$ એ $h$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $h(f(x)) = x$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$
તેથી,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{h^{\prime}(f(x))}$ મળે.
આપેલ છે કે $h^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \log x}$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $f(x)$ મૂકતા $h^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1 + \log(f(x))}$ મળે.
આ કિંમત $f^{\prime}(x)$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + \log(f(x))}} = 1 + \log(f(x))$.

(B, C) વિધેય $f(x) = \frac{x^3}{4} - \sin(\pi x) + 3$ એ અંતરાલ $[-2, 2]$ પર સતત છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમત શોધતા:
$f(-2) = \frac{(-2)^3}{4} - \sin(-2\pi) + 3 = \frac{-8}{4} - 0 + 3 = -2 + 3 = 1$.
$f(2) = \frac{2^3}{4} - \sin(2\pi) + 3 = \frac{8}{4} - 0 + 3 = 2 + 3 = 5$.
મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) મુજબ,$f(x)$ એ $[-2, 2]$ પર સતત હોવાથી,તે $[f(-2), f(2)]$ એટલે કે $[1, 5]$ અંતરાલની દરેક કિંમત પ્રાપ્ત કરશે.
કારણ કે $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ અને $3 \frac{1}{4} = 3.25$ બંને $[1, 5]$ અંતરાલની અંદર આવે છે,તેથી વિધેય $f(x)$ આ બંને કિંમતો પ્રાપ્ત કરે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાનું ઘનફળ $V$ છે.
તેથી,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનફળમાં થતો આશરે ફેરફાર $\Delta V$ એ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\Delta V \approx (4 \pi r^2) \times \Delta r$.
ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} \times 100 \approx \frac{4 \pi r^2 \times \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$ મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં $0.1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.1$.
તેથી,ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $3 \times 0.1 \% = 0.3 \%$ છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $y = \frac{10}{x}$ છે.
$x$-યામમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ unit/s}$ આપેલ છે.
$y$-યામમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dy}{dt}$ શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{10}{x} \right) = -\frac{10}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $x = 5$ અને $\frac{dx}{dt} = 1$ ને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{10}{(5)^2} \cdot (1) = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \text{ unit/s}$.
પરિણામ ઋણ હોવાથી,$y$-યામ $\frac{2}{5} \text{ unit/s}$ ના દરે ઘટે છે.

(A) ધારો કે $g(x) = e^{-x} f(x)$.
તેથી,$g^{\prime}(x) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) > f(x)$,તેથી $f^{\prime}(x) - f(x) > 0$.
કારણ કે $e^{-x} > 0$ બધા $x$ માટે,તેથી $g^{\prime}(x) > 0$ થાય.
આમ,$g(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
$x > 0$ માટે,$g(x) > g(0)$.
$g(0) = e^{0} f(0) = 1 \times 0 = 0$ હોવાથી,બધા $x > 0$ માટે $g(x) > 0$ થાય.
તેથી,$e^{-x} f(x) > 0$,જેનો અર્થ છે કે બધા $x > 0$ માટે $f(x) > 0$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + c$.
અંતરાલ $(1, 2)$ ની સીમાઓ પર કિંમત શોધતા:
$f(1) = 1^{4} - 4(1)^{3} + 4(1)^{2} + c = 1 - 4 + 4 + c = 1 + c$.
$f(2) = 2^{4} - 4(2)^{3} + 4(2)^{2} + c = 16 - 32 + 16 + c = c$.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,જો $f(1) \cdot f(2) < 0$ હોય,તો અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$f(1) \cdot f(2) = (1 + c)c$.
$f(1) \cdot f(2) < 0$ માટે,આપણે $c(c + 1) < 0$ જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $c \in (-1, 0)$.
કારણ કે $f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$,આપણે જોઈએ છીએ કે $x = 0, 1, 2$ પર $f'(x) = 0$ થાય છે.
અંતરાલ $(1, 2)$ માં,$f'(x) < 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,જો $c \in (-1, 0)$ હોય,તો $f(x)$ ને $(1, 2)$ માં બરાબર એક શૂન્ય છે.

(D) ધારો કે $I = \int \cos \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) dx$.
$x = \cos 2\theta$ આદેશ લેતા,$dx = -2 \sin 2\theta d\theta$ મળે.
તેથી,$I = \int \cos \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}\right) (-2 \sin 2\theta) d\theta$.
નિત્યસમ $\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta} = \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = -2 \int \cos(2 \tan^{-1}(\tan \theta)) \sin 2\theta d\theta$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $I = -2 \int \cos(2\theta) \sin 2\theta d\theta$ થાય છે.
નિત્યસમ $\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = -\int \sin 4\theta d\theta = \frac{\cos 4\theta}{4} + C$.
અહીં $\cos 2\theta = x$ હોવાથી,$\cos 4\theta = 2 \cos^2 2\theta - 1 = 2x^2 - 1$.
આમ,$y = \frac{2x^2 - 1}{4} + C = \frac{1}{2}x^2 + C'$,જે પરવલયોનું કુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \cos x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,જ્યાં $u = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ અને $v = \cos x$ છે.
તેથી $u' = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x}$ અને $\int v dx = \sin x$ થાય.
$I = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) \cdot \sin x - \int \left( \frac{1}{\sin x} \cdot \sin x \right) dx$.
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - \int 1 dx$.
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - x + c$.
આપેલ સમીકરણ $\sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) + f(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = c - x$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int 2^{2^{x}} \cdot 2^{x} \, dx$.
$t = 2^{x}$ આદેશ લેતા,
$dt = 2^{x} \ln 2 \, dx$,તેથી $2^{x} \, dx = \frac{dt}{\ln 2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int 2^{t} \cdot \frac{dt}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \int 2^{t} \, dt$.
સૂત્ર $\int a^{t} \, dt = \frac{a^{t}}{\ln a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^{t}}{\ln 2} + C = \frac{2^{t}}{(\ln 2)^{2}} + C$.
હવે $t = 2^{x}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{2^{2^{x}}}{(\log 2)^{2}} + C$.
આને $A \cdot 2^{2^{x}} + C$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{(\log 2)^{2}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\lambda|\sin x| + \frac{\mu \sin x}{1+\cos x} + \gamma) \, dx$.
આપણે સંકલનને ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \mu \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$.
બીજા સંકલન $J = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx$ ને ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}$.
તો $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1+\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{1+\cos x} = -f(x)$.
કારણ કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને અંતરાલ $[-\pi/4, \pi/4]$ એ $0$ ની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી સંકલન $J = 0$ થાય.
આમ,$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$.
જેથી,$\mu$ વાળું પદ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી સંકલનનું મૂલ્ય $\mu$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)}$ અને $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}}$.
સંમિતિ તપાસો: $f(-x) = \frac{(-x)^{2015}}{e^{|-x|}((-x)^2 + \cos(-x))} = \frac{-x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} = -f(x)$. આમ,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
$g(-x) = \frac{1}{e^{|-x|}} = \frac{1}{e^{|x|}} = g(x)$. આમ,$g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
કારણ કે $f(x)$ અયુગ્મ છે,$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.
કારણ કે $g(x)$ યુગ્મ છે,$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} g(x) dx$.
તેથી,$I = 0 + 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1}$.
$I = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.

(D) આપણી પાસે $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I_{n} = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \tan^{-1} x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \, dx$
$I_{n} = \frac{\pi}{4(n+1)} - \frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x^{2}} \, dx$.
હવે,રિડક્શન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા:
$(n+3) I_{n+2} + (n+1) I_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n+2}$.
આને $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_{n} = n+3$ અને $b_{n} = n+1$ મળે છે.
$a_{n} = n+3$ હોવાથી,$a_{1}=4, a_{2}=5, a_{3}=6$,જે $AP$ માં છે.
$b_{n} = n+1$ હોવાથી,$b_{1}=2, b_{2}=3, b_{3}=4$,જે $AP$ માં છે.
આમ,$a_{n}$ અને $b_{n}$ બંને $AP$ માં છે.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sqrt{\frac{n}{n+3r}}$ છે.
સરવાળાની અંદરના પદને આપણે $\sqrt{\frac{1}{1+3(r/n)}} = (1+3(r/n))^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$L = 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (1+3(r/n))^{-1/2}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = 3 \int_{0}^{1} (1+3x)^{-1/2} dx$.
$(1+3x)^{-1/2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા $\frac{(1+3x)^{1/2}}{3 \times (1/2)} = \frac{2}{3} \sqrt{1+3x}$ મળે છે.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$L = 3 \left[ \frac{2}{3} \sqrt{1+3x} \right]_{0}^{1} = 2 [\sqrt{1+3} - \sqrt{1+0}] = 2 [\sqrt{4} - 1] = 2 [2 - 1] = 2$.

(B) વક્રો $y=x+1$ અને $y=\cos x$ છે. આ પ્રદેશ આ વક્રો અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આલેખ પરથી,પ્રદેશ $x=0$ આગળ બે ભાગમાં વહેંચાય છે.
$x \in [-1, 0]$ માટે,પ્રદેશ $y=x+1$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x \in [0, \pi/2]$ માટે,પ્રદેશ $y=\cos x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{0} (x+1) dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} + [\sin x]_{0}^{\pi/2}$
$= \left( (0) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - 1 \right) \right) + (\sin(\pi/2) - \sin(0))$
$= \left( 0 - (\frac{1}{2} - 1) \right) + (1 - 0)$
$= \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x+y)^{2} \frac{d y}{d x}=a^{2}, a \neq 0$
ધારો કે $x+y=t$. તેથી $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$t^{2}(\frac{d t}{d x}-1)=a^{2}$
$t^{2} \frac{d t}{d x} = a^{2}+t^{2}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\frac{t^{2}}{a^{2}+t^{2}} d t = d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{t^{2}+a^{2}-a^{2}}{t^{2}+a^{2}} d t = \int d x$
$\int (1 - \frac{a^{2}}{t^{2}+a^{2}}) d t = x + C'$
$t - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t - a \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t = x+y$ પાછું મૂકતા:
$(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$
$y - C' = a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$
ધારો કે $C = -C'$. તેથી વ્યાપક ઉકેલ $\tan(\frac{y+C}{a}) = \frac{x+y}{a}$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ ...$(i)$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $x = vy$,તેથી $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ ...(ii)
(ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(e^v + v)}{1+e^v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{dy}{y}$
ધારો કે $v+e^v = t$,તેથી $(1+e^v) dv = dt$. તેથી,$\ln|t| = -\ln|y| + \ln|C|$
$\ln|v+e^v| + \ln|y| = \ln|C| \Rightarrow y(v+e^v) = C$
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $y(\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}}) = C \Rightarrow x + ye^{\frac{x}{y}} = C$

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{d} = 4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{BA}, \vec{CA}, \vec{DA}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
$\vec{BA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{CA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = -2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{DA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - (1+\lambda)\hat{k}$
નિશ્ચાયક શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -(1+\lambda) \end{vmatrix} = 0$
ગણતરી કરતા:
$-1(\lambda-2) + 1(2\lambda-1) + 3 = 0$
$-\lambda + 2 + 2\lambda - 1 + 3 = 0$
$\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.

(D) આપેલ છે કે $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{\alpha}| = |\hat{\beta}| = |\hat{\gamma}| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = (\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma}$.
આપેલ સમીકરણ: $(\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma} = \frac{1}{2} \hat{\beta} + \frac{1}{2} \hat{\gamma}$.
કારણ કે $\hat{\beta}$ અને $\hat{\gamma}$ સમાંતર નથી,આપણે બંને બાજુ $\hat{\beta}$ અને $\hat{\gamma}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરી શકીએ છીએ.
$\hat{\gamma}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $-(\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = |\hat{\alpha}| |\hat{\beta}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\hat{\alpha}$ અને $\hat{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, -3)$ અને $B(-1, -2, 1)$ છે. સદિશ $\vec{AB}$ સમતલમાં આવેલો છે,જ્યાં $\vec{AB} = (-1-1, -2-2, 1-(-3)) = (-2, -4, 4)$.
સમતલ એ $(2, 3, 4)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર છે. તેથી,સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ સમતલને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{n} = \hat{i}(-16 - 12) - \hat{j}(-8 - 8) + \hat{k}(-6 - (-8)) = -28\hat{i} + 16\hat{j} + 2\hat{k}$.
દિકગુણોત્તરો $(-28, 16, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે,જેને $-2$ વડે ભાગતા $(14, -8, -1)$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(3, 4, 5)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (2, 3, 4)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$ છે.
સમતલ $AB$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AB$ એ સમતલનો અભિલંબ છે. આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,જેને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$(x-2) + (y-3) + (z-4) = 0$.
$x + y + z - 9 = 0$,એટલે કે $x + y + z = 9$.