WBJEE 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $(\log _{5} x)(\log _{x} 3x)(\log _{3x} y) = \log _{x} x^{3}$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\log x}{\log 5} \times \frac{\log 3x}{\log x} \times \frac{\log y}{\log 3x} = 3 \log _{x} x$
बाएँ पक्ष में समान पदों को काटने पर:
$\frac{\log y}{\log 5} = 3(1)$
$\log _{5} y = 3$
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$y = 5^{3} = 125$

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2px^{2} + (2p + q)x + q = 0$ है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
गुणांक $a = 2p$,$b = (2p + q)$,और $c = q$ प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (2p + q)^{2} - 4(2p)(q)$
$D = 4p^{2} + q^{2} + 4pq - 8pq$
$D = 4p^{2} + q^{2} - 4pq$
$D = (2p - q)^{2}$
चूंकि $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,$D$ एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग है।
परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर एक पूर्ण वर्ग है,तो मूल परिमेय होते हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + 1 = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
$c = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^{2} - 4a \geq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^{2} \geq 4a$.
चूंकि $a, b \in \{1, 2, 3\}$ दिया गया है,हम संभावित मानों की जांच करते हैं:
यदि $a = 1$,$b^{2} \geq 4 \implies b \in \{2, 3\}$। युग्म: $(1, 2), (1, 3)$।
यदि $a = 2$,$b^{2} \geq 8 \implies b = 3$। युग्म: $(2, 3)$।
यदि $a = 3$,$b^{2} \geq 12 \implies b$ का कोई मान इस शर्त को संतुष्ट नहीं करता है।
संभावित क्रमित युग्म $(a, b)$ हैं: $(1, 2), (1, 3), (2, 3)$।
अतः,संभावित क्रमित युग्मों की संख्या $3$ है।

(C) माना $y = \frac{x^{2}+2 x+4}{2 x^{2}+4 x+9}$.
$y(2 x^{2}+4 x+9) = x^{2}+2 x+4$.
$2 y x^{2} + 4 y x + 9 y = x^{2} + 2 x + 4$.
$(2 y-1) x^{2} + (4 y-2) x + (9 y-4) = 0$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (4 y-2)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1) [ (2 y-1) - (9 y-4) ] \geq 0$.
$4(2 y-1) (-7 y + 3) \geq 0$.
$(2 y-1) (7 y - 3) \leq 0$.
यह असमिका $\frac{3}{7} \leq y \leq \frac{1}{2}$ के लिए सत्य है।
अतः,$y$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n} \cdot (1-i)^{-2}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \cdot (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \cdot (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i + i^{2}}{1 - i^{2}}\right)^{n} \cdot (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i - 1}{1 + 1}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= i^{n} \cdot (-2i)$
$= -2i^{n+1}$

(D) दिया गया है $z = x + iy$। तब $\frac{z+i}{z-i} = \frac{x + iy + i}{x + iy - i} = \frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{z+i}{z-i} = \frac{[x + i(y+1)][x - i(y-1)]}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1 + 2xi}{x^2 + (y-1)^2}$.
शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$.
अतः $x^2 + y^2 = 1$,जो एक वृत्त का समीकरण है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए $\alpha = e^{i(2\pi/3)}$ और $\beta = e^{-i(2\pi/3)}$.
अतः,$\alpha^{n}+\beta^{n} = e^{i(2n\pi/3)} + e^{-i(2n\pi/3)}$.
यूलर के सूत्र के अनुसार,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$.
इसलिए,$\alpha^{n}+\beta^{n} = 2\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)$.

(C) हमारे पास है,$|z-i|=|z+1|=1$.
माना $z=x+iy$.
तब $|z-i|=1$ $\Rightarrow |x+i(y-1)|=1$ $\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$ $(i)$.
साथ ही,$|z+1|=1$ $\Rightarrow |(x+1)+iy|=1$ $\Rightarrow (x+1)^2+y^2=1$ (ii).
$(i)$ का विस्तार करने पर: $x^2+y^2-2y+1=1 \Rightarrow x^2+y^2=2y$.
(ii) का विस्तार करने पर: $x^2+2x+1+y^2=1 \Rightarrow x^2+y^2=-2x$.
दोनों की तुलना करने पर: $2y=-2x \Rightarrow y=-x$.
$y=-x$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2+(-x-1)^2=1$ $\Rightarrow x^2+x^2+2x+1=1$ $\Rightarrow 2x^2+2x=0$ $\Rightarrow 2x(x+1)=0$.
अतः,$x=0$ या $x=-1$.
यदि $x=0$,तो $y=0$,इसलिए $z=0$.
यदि $x=-1$,तो $y=1$,इसलिए $z=-1+i$.
अतः,सम्मिश्र संख्याएँ $0$ और $-1+i$ हैं।

(B) व्यंजक $(p+1)(p+2)(p+3) \ldots (p+q)$,$(p+1)$ से शुरू होने वाली $q$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है।
हम जानते हैं कि $q$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $q!$ से विभाज्य होता है।
इसे $\frac{(p+q)!}{p!} = q! \times \binom{p+q}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\binom{p+q}{q}$ सभी $p, q \in N$ के लिए एक पूर्णांक है,इसलिए यह व्यंजक हमेशा $q!$ से विभाज्य है।
अतः,वह सबसे बड़ा पूर्णांक जो सभी $p \in N$ के लिए इस गुणनफल को विभाजित करता है,$q!$ है।

(B) $5$ अंकों की संख्या में पहले स्थान (दस हजार के स्थान) पर $0$ नहीं हो सकता है।
पहले स्थान के लिए,हमारे पास $9$ विकल्प हैं (अंक $1$ से $9$)।
शेष $4$ स्थानों के लिए,हमें शेष $9$ उपलब्ध अंकों में से (जिसमें $0$ शामिल है और पहले स्थान पर उपयोग किए गए अंक को छोड़कर) $4$ अंक चुनने हैं।
इन $4$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ${}^{9}P_{4}$ है।
इसलिए,भिन्न अंकों वाली $5$ अंकों की कुल संख्या $9 \times {}^{9}P_{4}$ है।

(B) $7$ व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनने के तरीके ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
$4$ स्वरों में से $2$ स्वर चुनने के तरीके ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
चुने गए कुल अक्षरों की संख्या $3 + 2 = 5$ है।
इन $5$ अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जहाँ $5! = 120$ है।
अतः,बनने वाले कुल शब्दों की संख्या ${}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2} \times 5! = 35 \times 6 \times 120 = 25200$ है।

(B) माना $a_{n}$ एक $GP$ का सामान्य पद है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक पद अगले दो पदों के योग के बराबर है:
$a_{n} = a_{n+1} + a_{n+2}$
$a r^{n-1} = a r^{n} + a r^{n+1}$
चूँकि पद धनात्मक हैं,$a \neq 0$ और $r > 0$ है। $a r^{n-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = r + r^{2}$
$r^{2} + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि $GP$ में केवल धनात्मक पद हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(B) दिया गया है $(1+x+x^2)^9 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{18} x^{18}$.
$x = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(1+1+1)^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{18} \Rightarrow 3^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{18} \quad (i)$.
$x = -1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(1-1+1)^9 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{18} \Rightarrow 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{18} \quad (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$3^9 + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{18})$.
अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{18} = \frac{3^9 + 1}{2} = \frac{19683 + 1}{2} = \frac{19684}{2} = 9842$.
चूँकि $9842$ एक सम संख्या है,विकल्प $B$ सही है।

(D) माना $f(x) = \sin x(\sin x + \cos x) = \sin^2 x + \sin x \cos x$.
सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\sin 2x - \cos 2x)$.
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$-\sqrt{a^2+b^2} \leq a \sin \theta + b \cos \theta \leq \sqrt{a^2+b^2}$.
$\sin 2x - \cos 2x$ के लिए,$a=1, b=-1$ लेने पर,$-\sqrt{1^2+(-1)^2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{1^2+(-1)^2}$,जो सरल होकर $-\sqrt{2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{2}$ हो जाता है।
$2$ से भाग देने पर,$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
सभी पदों में $\frac{1}{2}$ जोड़ने पर:
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अतः,$\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq f(x) \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
चूंकि $f(x) = k$,इसलिए $k$ का परिसर $\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु को $(p, q)$ पर स्थानांतरित किया जाता है ताकि नए अक्ष पिछले अक्षों के समानांतर हों। रूपांतरण समीकरण $x = x' + p$ और $y = y' + q$ हैं।
इन्हें दिए गए समीकरण $2x^2 + 3xy + 4y^2 + x + 18y + 25 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(x' + p)^2 + 3(x' + p)(y' + q) + 4(y' + q)^2 + (x' + p) + 18(y' + q) + 25 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$2(x'^2 + 2px' + p^2) + 3(x'y' + qx' + py' + pq) + 4(y'^2 + 2qy' + q^2) + x' + p + 18y' + 18q + 25 = 0$
$x'$,$y'$ और अचर पदों को समूहित करने पर:
$2x'^2 + 3x'y' + 4y'^2 + (4p + 3q + 1)x' + (3p + 8q + 18)y' + (2p^2 + 3pq + 4q^2 + p + 18q + 25) = 0$
इसकी तुलना दिए गए रूपांतरित समीकरण $2x^2 + 3xy + 4y^2 = 1$ से करने पर,$x'$ और $y'$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4p + 3q + 1 = 0$ ... $(i)$
$3p + 8q + 18 = 0$ ... (ii)
इन समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$p = 2$ और $q = -3$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $A = (2, -3)$ और $B = (-2, 1)$ हैं,तो $\Delta ABC$ का केंद्रक $G$ होगा:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
यह दिया गया है कि केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए हम $G$ के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
हर को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर:
$2x + 3(y - 2) = 3$.
$2x + 3y - 6 = 3$.
$2x + 3y = 9$.
अतः,बिंदु $C$ का बिंदु पथ $2x + 3y = 9$ है।

(D) बिंदु $P(3,6)$ का रेखा $y=x$ पर प्रतिबिंब बिंदु $Q(6,3)$ है।
बिंदु $Q(6,3)$ का रेखा $y=-x$ पर प्रतिबिंब बिंदु $Q^{\prime}(-3,-6)$ है।
अब,$PQ$ की ढाल $= \frac{3-6}{6-3} = \frac{-3}{3} = -1$ है।
$QQ^{\prime}$ की ढाल $= \frac{-6-3}{-3-6} = \frac{-9}{-9} = 1$ है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $(-1) \times (1) = -1$ है,इसलिए रेखाएं $PQ$ और $QQ^{\prime}$ लंबवत हैं।
अतः,$\Delta PQQ^{\prime}$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $Q$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र उसके कर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
कर्ण $PQ^{\prime}$ है,जिसके अंतिम बिंदु $P(3,6)$ और $Q^{\prime}(-3,-6)$ हैं।
$PQ^{\prime}$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{6+(-6)}{2}\right) = (0,0)$।

(B) मान लीजिए $(h, k)$ रेखा $7x - 9y + 10 = 0$ पर कोई बिंदु है। अतः,$7h - 9k + 10 = 0$,जिसका अर्थ है $h = \frac{9k - 10}{7}$।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी $d_{1} = \frac{|3h + 4k - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3h + 4k - 5|}{5}$ है।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $12x + 5y - 7 = 0$ की लंबवत दूरी $d_{2} = \frac{|12h + 5k - 7|}{\sqrt{12^{2} + 5^{2}}} = \frac{|12h + 5k - 7|}{13}$ है।
$h = \frac{9k - 10}{7}$ को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$3h + 4k - 5 = 3(\frac{9k - 10}{7}) + 4k - 5 = \frac{55k - 65}{7} = \frac{5(11k - 13)}{7}$।
अतः,$d_{1} = \frac{|11k - 13|}{7}$।
$12h + 5k - 7 = 12(\frac{9k - 10}{7}) + 5k - 7 = \frac{143k - 169}{7} = \frac{13(11k - 13)}{7}$।
अतः,$d_{2} = \frac{|11k - 13|}{7}$।
इस प्रकार,$d_{1} = d_{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$.
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2, f=-3, c=9$ प्राप्त होता है।
केंद्र $B = (-g, -f) = (2, 3)$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$.
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $A(1, 1)$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}$.
चूंकि पहले वृत्त का व्यास दूसरे वृत्त की जीवा है,इसलिए दूसरे वृत्त की त्रिज्या $R$,केंद्रों के बीच की दूरी और पहले वृत्त की त्रिज्या द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
$R = \sqrt{AB^{2}+r^{2}} = \sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2^{2}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ और $2x^{2}+2y^{2}=32$ हैं।
दूसरे समीकरण को सरल करने पर,$x^{2}+y^{2}=16$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होता है: $(x^{2}+y^{2}-4x-4y) - (x^{2}+y^{2}-16) = 0$.
यह $-4x-4y+16=0$,अर्थात $x+y=4$ हो जाता है।
माना मूलबिंदु $O(0,0)$ है। वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ मूलबिंदु से होकर गुजरता है।
प्रथम वृत्त का केंद्र $C(2,2)$ है और त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$ है।
केंद्र $C(2,2)$ से रेखा $x+y-4=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2+2-4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = 0$ है।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा प्रथम वृत्त का व्यास है।
वृत्त का व्यास परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु पर समकोण अंतरित करता है। इसलिए,मूलबिंदु पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2x-2y-2=0$ है।
इसे $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $(-1, 1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
माना $P(h, k)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
केंद्र $O(-1, 1)$ से मध्य-बिंदु $P(h, k)$ की दूरी $OP = \sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}$ है।
चूंकि जीवा $AB$ केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाती है,$\triangle OAP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OAP = 45^{\circ}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\sin 45^{\circ} = \frac{OP}{OA}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}{4}$।
$(h+1)^{2}+(k-1)^{2} = 2$।
विस्तार करने पर,$h^{2}+2h+1+k^{2}-2k+1 = 2$।
$h^{2}+k^{2}+2h-2k = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}+2x-2y=0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}+2 x y+y^{2}-5 x+5 y-5=0$ है।
इसे $(x+y)^{2} = 5x - 5y + 5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$ और $Y = x-y+1$ है।
यह समीकरण $X^{2} = 5Y$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
$(ax+by+c)^2 = k(bx-ay+d)$ के रूप वाले परवलय का अक्ष $ax+by+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x+y=0$ परवलय का अक्ष है।

(C) शांकव का दिया गया समीकरण $x^{2}-6x+4y+1=0$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2}-6x+9)-9+4y+1=0$
$(x-3)^{2}+4y-8=0$
$(x-3)^{2}=-4(y-2)$।
यह $(x-h)^{2}=-4a(y-k)$ के रूप का परवलय है,जहाँ $(h,k)=(3,2)$ और $4a=4$,इसलिए $a=1$ है।
इस परवलय की नाभि $(h, k-a)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $(3, 2-1) = (3,1)$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^{2}$ है,जिसे $x - ty + at^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ के बिंदु $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{ay}{\tan \theta} = 2a^{2}$ है,जो सरल होकर $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ हो जाता है।
दोनों समीकरणों $x - ty + at^{2} = 0$ और $x \cos \theta + y \cot \theta - 2a = 0$ की तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta} = \frac{at^{2}}{-2a}$।
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta}$ से,हमें $t = -\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = -\operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
$SB$ की ढाल $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ है।
$S^{\prime}B$ की ढाल $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ है।
चूँकि $\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ है,ढालों का गुणनफल $-1$ होगा,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2 e^2} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $a^2(1 - e^2) = a^2 e^2$ प्राप्त होता है।
$1 - e^2 = e^2$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}$.
चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$ होती है,इसलिए $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ के लिए,$a^{2}=9$ और $b^{2}=5$ है,अतः $a=3$ और $b=\sqrt{5}$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{2}{3}, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं।
नाभिलंब के सिरे $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(2)}{9} + \frac{y(5/3)}{5} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ या $2x + 3y = 9$ हो जाता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(\frac{9}{2}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
चारों स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है। चतुर्भुज का क्षेत्रफल $4 \times \text{Area}(\Delta OAB) = 4 \times (\frac{1}{2} \times OA \times OB) = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = 27 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $M$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। मान लीजिए $\angle MAB = \theta$,तो $\angle MBA = 2\theta$ होगा।
$A(-1, 0)$ और $B(2, 0)$ के निर्देशांकों से,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{k}{h - (-1)} = \frac{k}{h+1}$
$\tan(\pi - 2\theta) = \frac{k}{h-2} \implies -\tan 2\theta = \frac{k}{h-2} \implies \tan 2\theta = \frac{k}{2-h}$
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{k}{2-h} = \frac{2(\frac{k}{h+1})}{1 - (\frac{k}{h+1})^2}$
$\frac{k}{2-h} = \frac{2k(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
मान लीजिए $k \neq 0$,तो $k$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2-h} = \frac{2(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
$(h+1)^2 - k^2 = 2(h+1)(2-h)$
$h^2 + 2h + 1 - k^2 = 2(2h - h^2 + 2 - h) = 2(-h^2 + h + 2) = -2h^2 + 2h + 4$
$3h^2 - k^2 = 3$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

(C) दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^{2}-y^{2}+1=0$ है,जिसे $y^{2}-x^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक रूप $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=1$ और $b^{2}=1$ प्राप्त होता है,अतः $a=1$ और $b=1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1+\frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{2})$ हैं।
इन नाभियों को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
वृत्त का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{0+0}{2}, \frac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}) = (0,0)$।
व्यास की लंबाई $(0, \sqrt{2})$ और $(0, -\sqrt{2})$ के बीच की दूरी है,जो $2\sqrt{2}$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$ वाले वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ अर्थात $x^{2}+y^{2}=2$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। नाभि $S$ बिंदु $(ae, 0)$ है।
रेखा $bx-ay=0$ है। नाभि $S(ae, 0)$ से रेखा $bx-ay=0$ पर लंब $SP$ की लंबाई:
$SP = \left| \frac{b(ae) - a(0)}{\sqrt{b^{2}+(-a)^{2}}} \right| = \frac{abe}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}$.
चूँकि $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1)$,इसलिए $a^{2}+b^{2} = a^{2}e^{2}$,अतः $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = ae$.
इस प्रकार,$SP = \frac{abe}{ae} = b$.
दूरी $CS = ae$ है। समकोण त्रिभुज $\Delta SPC$ में,$CP^{2} = CS^{2} - SP^{2}$.
$CP^{2} = (ae)^{2} - b^{2} = a^{2}e^{2} - b^{2} = a^{2}(1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) - b^{2} = a^{2} + b^{2} - b^{2} = a^{2}$.
इसलिए,$CP = a$.
$SP$ और $CP$ भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल $SP \times CP = b \times a = ab$ है।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-3 f(2 x)+f(4 x)}{x^{2}}$ है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f^{\prime}(x)-6 f^{\prime}(2 x)+4 f^{\prime}(4 x)}{2 x}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-3 f^{\prime}(2 x)+2 f^{\prime}(4 x)}{x}$
पुनः $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)-3 f^{\prime \prime}(2 x) \cdot 2+2 f^{\prime \prime}(4 x) \cdot 4}{1}$
$L = f^{\prime \prime}(0)-6 f^{\prime \prime}(0)+8 f^{\prime \prime}(0)$
$L = k-6 k+8 k = 3 k$.

(B) दिया गया है $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1)$.
माना $h = \frac{1}{n}$. जैसे $n \rightarrow \infty$,वैसे $h \rightarrow 0$.
तब $f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^h - 1}{h}$.
यह $x=0$ पर $a^x$ के अवकलन की मानक सीमा परिभाषा है,जो $\ln(x)$ है।
अतः,$f(x) = \ln(x)$.
अब,$f(xy) = \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) = f(x) + f(y)$.

(B) माना $y = \lim _{x \rightarrow 0} (\sin x)^{2 \tan x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \lim _{x \rightarrow 0} 2 \tan x \ln(\sin x)$.
यह $0 \times (-\infty)$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
$\ln y = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(\sin x)}{\cot x}$.
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$\ln y = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\csc^2 x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x / \sin x}{-1 / \sin^2 x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} (-\cos x \sin x)$.
$\ln y = 2 \times (-1 \times 0) = 0$.
चूंकि $\ln y = 0$,इसलिए $y = e^0 = 1$.

(D) दिया गया है कि $n$ प्रेक्षणों का माध्य $\bar{x}$ है।
अतः,प्रेक्षणों का योग $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}$ है।
जब प्रेक्षण $x_{q}$ को $x_{q}^{\prime}$ से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो प्रेक्षणों का नया योग:
$\sum x_{new} = \sum x - x_{q} + x_{q}^{\prime} = n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}$ होगा।
नया माध्य $\bar{x}^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$\bar{x}^{\prime} = \frac{\sum x_{new}}{n} = \frac{n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}}{n}$.

(B) एक गैर-लीप वर्ष में कुल दिनों की संख्या $365$ होती है।
एक गैर-लीप वर्ष में $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है ($52 \times 7 = 364$ दिन)।
अतः,एक गैर-लीप वर्ष में हमेशा $52$ रविवार होते हैं।
शेष $1$ दिन रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार या शनिवार में से कोई भी हो सकता है।
इन $7$ संभावित परिणामों में से,केवल $1$ परिणाम रविवार है।
$\therefore$ कुल परिणामों की संख्या $= 7$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{7}$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \int_{-1}^{x} |t| dt$.
चूंकि $x \geq 0$ है,हम समाकलन को $t = 0$ पर विभाजित कर सकते हैं:
$f(x) = \int_{-1}^{0} |t| dt + \int_{0}^{x} |t| dt$.
$t \in [-1, 0]$ के लिए,$|t| = -t$ और $t \in [0, x]$ के लिए,$|t| = t$.
अतः,$f(x) = \int_{-1}^{0} (-t) dt + \int_{0}^{x} t dt$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$f(x) = -\left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{0}^{x}$.
$f(x) = -\left( 0 - \frac{(-1)^{2}}{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} - 0 \right)$.
$f(x) = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}(1 + x^{2})$.

(D) प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x^2 \geq 0$ होता है।
$\therefore (x, x) \in P$.
अतः,$P$ स्वतुल्य है।
अब,मान लीजिए $(x, y) \in P$.
$\Rightarrow xy \geq 0$.
$\Rightarrow yx \geq 0$.
$\therefore (y, x) \in P$.
अतः,$P$ सममित है।
पुनः,विचार करें कि $(-1, 0) \in P$ क्योंकि $(-1)(0) = 0 \geq 0$,और $(0, 2) \in P$ क्योंकि $(0)(2) = 0 \geq 0$ है।
हालाँकि,$(-1, 2) \notin P$ क्योंकि $(-1)(2) = -2 < 0$ है।
इसलिए,$P$ संक्रामक नहीं है।
इस प्रकार,संबंध $P$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(B) हमारे पास $x \rho y \iff x-y \in \{0\} \cup \mathbb{I}$ है,जहाँ $\mathbb{I}$ अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in R$ के लिए,$x-x = 0$ है। चूँकि $0$ शून्य है,इसलिए $(x, x) \in \rho$ है। अतः,$\rho$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in \rho$,तो $x-y$ शून्य या अपरिमेय है। तब $y-x = -(x-y)$ भी शून्य या अपरिमेय ही होगा। अतः,$(y, x) \in \rho$ है। इसलिए,$\rho$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $x = 2, y = \sqrt{3}, z = 4$ लें।
$(x, y) = (2, \sqrt{3}) \in \rho$ क्योंकि $2-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।
$(y, z) = (\sqrt{3}, 4) \in \rho$ क्योंकि $\sqrt{3}-4$ अपरिमेय है।
हालाँकि,$(x, z) = (2, 4) \notin \rho$ क्योंकि $2-4 = -2$,जो एक परिमेय संख्या है (शून्य या अपरिमेय नहीं)।
इसलिए,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(C) दिया गया है कि $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ और $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)\}$.
$R \cup S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\}$.
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R \cup S$,इसलिए यह स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: चूंकि $(1, 2) \in R \cup S \implies (2, 1) \in R \cup S$ और $(1, 3) \in R \cup S \implies (3, 1) \in R \cup S$,इसलिए यह सममित है।
$3$. संक्रामकता: हमारे पास $(2, 1) \in R \cup S$ और $(1, 3) \in R \cup S$ है। यदि यह संक्रामक होता,तो $(2, 3)$ को $R \cup S$ में होना चाहिए था। हालाँकि,$(2, 3) \notin R \cup S$ है। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R \cup S$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(C) स्वतुल्यता के लिए: किसी भी $a \in R$ के लिए,हमारे पास $1 + a^2 > 0$ है। अतः,$(a, a) \in \rho$। इसलिए,$\rho$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए: यदि $(a, b) \in \rho$ है,तो $1 + ab > 0$। चूँकि $ab = ba$,हमारे पास $1 + ba > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in \rho$। इसलिए,$\rho$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: $a = 1$,$b = -0.5$,और $c = -9$ लें।
$(a, b)$ की जाँच करें: $1 + (1)(-0.5) = 0.5 > 0$,इसलिए $(1, -0.5) \in \rho$।
$(b, c)$ की जाँच करें: $1 + (-0.5)(-9) = 1 + 4.5 = 5.5 > 0$,इसलिए $(-0.5, -9) \in \rho$।
$(a, c)$ की जाँच करें: $1 + (1)(-9) = 1 - 9 = -8 < 0$,इसलिए $(1, -9) \notin \rho$।
चूँकि $(1, -0.5) \in \rho$ और $(-0.5, -9) \in \rho$ है लेकिन $(1, -9) \notin \rho$ है,इसलिए यह संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः,$\rho$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \frac{2(2+1)}{2} \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{3(3+1)}{2} \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इस पैटर्न का अवलोकन करने पर,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) एक आव्यूह $A$ लांबिक (orthogonal) होता है यदि $A^T A = I$ हो।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $|A^T A| = |I|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A^T| = |A|$,हमारे पास $|A|^2 = 1$ है,जिसका अर्थ है कि $|A| = \pm 1$।
चूंकि $|A| \neq 0$,प्रत्येक लांबिक आव्यूह एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह होता है।
अतः,$Q \subseteq P$।
चूंकि ऐसे कई व्युत्क्रमणीय आव्यूह मौजूद हैं जो लांबिक नहीं हैं (उदाहरण के लिए,$1$ या $-1$ के अलावा अन्य प्रविष्टियों वाला कोई भी विकर्ण आव्यूह),इसलिए $Q$,$P$ का एक उचित उपसमुच्चय है।

(A) हमारे पास है,$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1[1 - (-\cos \theta)(\cos \theta)] - \cos \theta[-\cos \theta - (-\cos \theta)] + 0[\cos^2 \theta + 1]$
$|A| = 1[1 + \cos^2 \theta] - \cos \theta[0] + 0$
$|A| = 1 + \cos^2 \theta$
अब,हम जानते हैं कि $-1 \leq \cos \theta \leq 1$.
इसलिए,$0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \leq 1 + \cos^2 \theta \leq 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 \leq |A| \leq 2$.
इसलिए,$|A|$ का मान संवृत अंतराल $[1, 2]$ में स्थित है।

(D) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है।
हमारे पास $D_1 = \left|\begin{array}{ccc}a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1\end{array}\right|$ है।
$D_2$ का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}a+1 & a-1 & (-1)^{n+2} a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1} b \\ c-1 & c+1 & (-1)^{n} c\end{array}\right|$।
अब,$D_2$ के पहले और तीसरे स्तंभ को दो बार आपस में बदलने पर (या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने पर) ताकि यह $D_1$ की संरचना से मेल खाए:
$D_2 = \left|\begin{array}{ccc}(-1)^{n+2} a & a+1 & a-1 \\ (-1)^{n+1} b & b+1 & b-1 \\ (-1)^{n} c & c-1 & c+1\end{array}\right|$।
$D_1$ और $D_2$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}a(1 + (-1)^{n+2}) & a+1 & a-1 \\ b(-1 + (-1)^{n+1}) & b+1 & b-1 \\ c(1 + (-1)^{n}) & c-1 & c+1\end{array}\right| = 0$।
सारणिक के शून्य होने के लिए,पहला स्तंभ शून्य होना चाहिए।
$1 + (-1)^{n+2} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+2} = -1$,जिसका अर्थ है कि $n+2$ विषम है,इसलिए $n$ विषम है।
$-1 + (-1)^{n+1} = 0 \Rightarrow (-1)^{n+1} = 1$,जिसका अर्थ है कि $n+1$ सम है,इसलिए $n$ विषम है।
$1 + (-1)^{n} = 0 \Rightarrow (-1)^{n} = -1$,जिसका अर्थ है कि $n$ विषम है।
अतः,$n$ कोई भी विषम पूर्णांक है।

(B) हम जानते हैं कि $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ होता है।
दिया गया है कि $\det(AB) = 0$,इसलिए $\det(A) \cdot \det(B) = 0$ होगा।
$\det(A) = (x+2)^2 - 9x = x^2 + 4x + 4 - 9x = x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ की गणना करें।
$\det(B) = x(x+2) - 0 = x(x+2)$ की गणना करें।
इस प्रकार,समीकरण $(x-1)(x-4) \cdot x(x+2) = 0$ बन जाता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-1=0, x-4=0, x=0, x+2=0$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $x = 1, 4, 0, -2$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण निकाय एक समघात निकाय $AX = 0$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{bmatrix}$ है।
हलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = |A|$ ज्ञात करते हैं।
$D = \begin{vmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{vmatrix}$
$D = 8((-8)(-8) - (3)(5)) - (-3)((5)(-8) - (3)(3)) + (-5)((5)(5) - (-8)(3))$
$D = 8(64 - 15) + 3(-40 - 9) - 5(25 + 24)$
$D = 8(49) + 3(-49) - 5(49)$
$D = 49(8 - 3 - 5) = 49(0) = 0$.
चूँकि सारणिक $D = 0$ है,इसलिए इस समघात समीकरण निकाय के अनंत शून्येतर हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\left(\frac{x-1}{x-2}\right) \left(\frac{x+1}{x+2}\right)}\right]=\frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$
अंश और हर को सरल करने पर:
$\frac{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)} = 1$
$\frac{(x^2+x-2)+(x^2-x-2)}{(x^2-4)-(x^2-1)} = 1$
$\frac{2x^2-4}{-3} = 1$
$2x^2-4 = -3$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ एक एकैकी फलन है जो $\forall x, y \in R$ के लिए $f(x) f(y) = f(x+y)$ को संतुष्ट करता है।
यह कार्यात्मक समीकरण घातांकीय फलन $f(x) = a^x$ द्वारा संतुष्ट होता है,जहाँ $a > 0, a \neq 1$ है।
चूंकि $f(x), f(y), f(z)$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए $(f(y))^2 = f(x) \cdot f(z)$ होगा।
$f(x) = a^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^y)^2 = a^x \cdot a^z$ प्राप्त होता है।
यह $a^{2y} = a^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $2y = x+z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y, z$ $A$.$P$. में हैं।

(A) दिया गया फलन समीकरण $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ है।
$y=0$ रखने पर,हमें $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}=f^{\prime}(x-y)$ प्राप्त होता है।
$x=0$ रखने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(0)}{f(y)}=f^{\prime}(-y)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(0)=p$,इसलिए $f^{\prime}(-y) = \frac{p}{f(y)}$ है।
मूल समीकरण का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f(x) \cdot (-\frac{f^{\prime}(y)}{(f(y))^2}) = f^{\prime}(x-y) \cdot (-1)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{f(x) f^{\prime}(y)}{(f(y))^2} = f^{\prime}(x-y)$ हो जाता है।
$y=0$ के लिए,$\frac{f(x) f^{\prime}(0)}{(f(0))^2} = f^{\prime}(x)$,इसलिए $f^{\prime}(x) = p f(x)$ है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका हल $f(x) = e^{px}$ है।
अतः $f^{\prime}(x) = p e^{px}$ है।
दिया गया है कि $f^{\prime}(5) = q$,इसलिए $p e^{5p} = q$,जिसका अर्थ है $e^{5p} = \frac{q}{p}$ है।
हमें $f^{\prime}(-5) = p e^{-5p} = \frac{p}{e^{5p}} = \frac{p}{q/p} = \frac{p^2}{q}$ ज्ञात करना है।

(C) दिए गए फलन $F(x)=e^{x}$ और $G(x)=e^{-x}$ हैं।
हम $H(x) = G(F(x))$ को परिभाषित करते हैं।
$F(x)$ को $G(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $H(x) = G(e^{x}) = e^{-(e^{x})}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $H(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dH}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-e^{x}}) = e^{-e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-e^{x}) = e^{-e^{x}} \cdot (-e^{x}) = -e^{x} \cdot e^{-e^{x}}$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करने के लिए,अवकलज में $x=0$ रखने पर:
$\left. \frac{dH}{dx} \right|_{x=0} = -e^{0} \cdot e^{-e^{0}} = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 19$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 13x^{12} + 11x^{10} + 9x^{8} + 7x^{6} + 5x^{4} + 3x^{2} + 1$.
चूंकि $f'(x)$ में $x$ के सभी घातांक सम हैं और गुणांक धनात्मक हैं,इसलिए सभी वास्तविक $x$ के लिए $f'(x) \geq 1$ है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
इसलिए,$f(x) = 0$ के एक से अधिक वास्तविक मूल नहीं हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \log_{5} \log_{3} x$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\ln(\log_{3} x)}{\ln 5} = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 3})}{\ln 5} = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)}{\ln 5}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx} [\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)] = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$।
अब,$x = e$ रखने पर:
$f^{\prime}(e) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln e} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{\ln 5 \cdot 1 \cdot e} = \frac{1}{e \ln 5}$।
चूँकि $\ln 5 = \log_{e} 5$,इसलिए $f^{\prime}(e) = \frac{1}{e \log_{e} 5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y=e^{m \sin^{-1} x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d y}{d x}=e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=m e^{m \sin^{-1} x} = m y$।
अब पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x} \left( \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} (m y)$।
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} (-2 x) \frac{d y}{d x} = m \frac{d y}{d x}$।
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}$।
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} = m y$ का मान रखने पर:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m(m y) = m^{2} y$।
अतः,$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - m^{2} y = 0$।
दिए गए समीकरण $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - k y = 0$ से तुलना करने पर,$k = m^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है।
अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय के अनुसार,चूंकि $f(0)=f(1)=0$ है,इसलिए कम से कम एक बिंदु $d \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(d)=0$ हो।
अब,हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(d)=0$ है जहाँ $d \in (0, 1)$ है।
अंतराल $[0, d]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(d)=0$ है,इसलिए कम से कम एक बिंदु $c \in (0, d)$ ऐसा मौजूद होना चाहिए कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।
अतः,किसी $c \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^{n}$.
अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = n x^{n-1}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $f^{\prime}(\alpha+\beta) = f^{\prime}(\alpha) + f^{\prime}(\beta)$ में रखने पर:
$n(\alpha+\beta)^{n-1} = n\alpha^{n-1} + n\beta^{n-1}$.
यदि $n \neq 0$ है,तो $n$ से विभाजित करने पर:
$(\alpha+\beta)^{n-1} = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1}$.
यदि $n=1$ है,तो $(\alpha+\beta)^{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} \Rightarrow 1 = 1 + 1$,जो $1 = 2$ है (असत्य)।
यदि $n=2$ है,तो $(\alpha+\beta)^{2-1} = \alpha^{2-1} + \beta^{2-1} \Rightarrow \alpha+\beta = \alpha+\beta$ (सत्य)।
यदि $n=0$ है,तो $f(x) = x^{0} = 1$,इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$। अतः $0 = 0 + 0$ (सत्य)।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,$n=2$ इस प्रकार के प्रश्न के लिए मानक समाधान है।

(D) दिया गया वक्र $y=x^{2}+2ax+b$ है।
$x=\alpha$ पर बिंदु $P(\alpha, \alpha^{2}+2a\alpha+b)$ है।
$x=\beta$ पर बिंदु $Q(\beta, \beta^{2}+2a\beta+b)$ है।
जीवा $PQ$ की ढाल $m_{chord} = \frac{(\beta^{2}+2a\beta+b) - (\alpha^{2}+2a\alpha+b)}{\beta-\alpha}$ है।
$m_{chord} = \frac{(\beta^{2}-\alpha^{2}) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \frac{(\beta-\alpha)(\beta+\alpha) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \alpha+\beta+2a$.
किसी भी बिंदु $x$ पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $m_{tangent} = \frac{dy}{dx} = 2x+2a$ है।
चूंकि जीवा स्पर्शरेखा के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$2x+2a = \alpha+\beta+2a$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $2x = \alpha+\beta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$.

(B) दिया गया वक्र $xy = 1 - 2x$ है।
समीकरण को $y = \frac{1 - 2x}{x} = \frac{1}{x} - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \neq 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} < 0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल हमेशा ऋणात्मक होती है।
रेखा $ax + by + c = 0$ को $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है,इसलिए इसकी ढाल स्पर्श बिंदु पर अवकलज के बराबर होनी चाहिए,जो कि ऋणात्मक है।
अतः,$-\frac{a}{b} < 0$,जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} > 0$।
यह स्थिति $\frac{a}{b} > 0$ तभी सत्य है जब $a$ और $b$ दोनों का चिह्न समान हो।
अतः,या तो $a > 0, b > 0$ या $a < 0, b < 0$।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x - Kx + 5$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \cos x + \sin x - K$ प्राप्त होता है।
फलन के सभी $x > 0$ के लिए ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\cos x + \sin x - K \leq 0$,या $K \geq \cos x + \sin x$।
हम जानते हैं कि $\cos x + \sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ होता है।
इसलिए,$K \geq \cos x + \sin x$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$K$ का मान $\cos x + \sin x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$K \geq \sqrt{2}$।

(B, C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पहले कण का विस्थापन $S_1$ है और दूसरे कण का विस्थापन $S_2$ है।
पहले कण के लिए: $S_1 = u t$.
दूसरे कण के लिए: $S_2 = \frac{1}{2} f t^2$.
उनके बीच की दूरी $D(t) = |S_1 - S_2| = |u t - \frac{1}{2} f t^2|$ है।
सबसे अधिक दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $D(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dD}{dt} = u - f t = 0$.
इससे $t = \frac{u}{f}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{u}{f}$ पर,दूरी $D = u(\frac{u}{f}) - \frac{1}{2} f(\frac{u}{f})^2 = \frac{u^2}{f} - \frac{u^2}{2f} = \frac{u^2}{2f}$ है।
अतः,कण $t = \frac{u}{f}$ पर सबसे अधिक दूरी पर होंगे और अधिकतम दूरी $\frac{u^2}{2f}$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं।

(C) माना $I = \int \cos (\log x) d x$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $x = e^t$।
अतः,$dx = e^t dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int e^t \cos t dt$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} [a \cos(bx) + b \sin(bx)] + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1$ और $b = 1$ है:
$I = \frac{e^t}{1^2 + 1^2} [1 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t] + C$।
$I = \frac{e^t}{2} [\cos t + \sin t] + C$।
$t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$।
अतः,$F(x) = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)]$।

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}-1}{x^{4}+3 x^{2}+1} d x$.
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 - 1/x^{2}}{x^{2} + 3 + 1/x^{2}} d x$.
हर को $(x^{2} + 1/x^{2}) + 3$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{1 - 1/x^{2}}{(x + 1/x)^{2} - 2 + 3} d x$.
$I = \int \frac{1 - 1/x^{2}}{(x + 1/x)^{2} + 1} d x$.
माना $t = x + 1/x$. तब $dt = (1 - 1/x^{2}) d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^{2} + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{t^{2} + 1} dt = \tan^{-1}(t) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \tan^{-1}(t) + C$.
$t = x + 1/x$ वापस रखने पर:
$I = \tan^{-1}(x + 1/x) + C$.

(D) हमारे पास $I_{1} = \int_{0}^{n} [x] dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k dx = \sum_{k=0}^{n-1} k(k+1-k) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ है।
अब,$I_{2} = \int_{0}^{n} \{x\} dx$. चूँकि $\{x\} = x - [x]$,इसलिए $I_{2} = \int_{0}^{n} x dx - \int_{0}^{n} [x] dx$ है।
$I_{2} = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{n} - I_{1} = \frac{n^2}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 - n^2 + n}{2} = \frac{n}{2}$ है।
अतः,$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$।

(C) माना $I = \int_{0}^{100} e^{x-[x]} d x$ है।
चूंकि $f(x) = x - [x]$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है,हम गुणधर्म $\int_{0}^{nT} f(x) d x = n \int_{0}^{T} f(x) d x$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,$n = 100$ और $T = 1$ है,इसलिए $I = 100 \int_{0}^{1} e^{x-[x]} d x$ होगा।
$0 < x < 1$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 0$ होता है,इसलिए $x - [x] = x$ होगा।
अतः,$I = 100 \int_{0}^{1} e^{x} d x$ होगा।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,$I = 100 [e^{x}]_{0}^{1}$ प्राप्त होता है।
$I = 100 (e^{1} - e^{0}) = 100 (e - 1)$।

(B) दिया गया है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$.
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx$.
$I = \sqrt{2} \int_{0}^{100 \pi} |\sin x| \, dx$.
चूंकि $|\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $I = \sqrt{2} \times 100 \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \geq 0$,इसलिए $|\sin x| = \sin x$.
$I = 100 \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.
$I = 100 \sqrt{2} [-\cos x]_{0}^{\pi}$.
$I = 100 \sqrt{2} [-\cos \pi - (-\cos 0)]$.
$I = 100 \sqrt{2} [-(-1) - (-1)]$.
$I = 100 \sqrt{2} [1 + 1] = 100 \sqrt{2} \times 2 = 200 \sqrt{2}$.

(C) अंतराल $x \in [10, 19]$ के लिए,हमारे पास $|\sin x| \leq 1$ और $1+x^{6} > 10^{6}$ है।
चूंकि $x \geq 10$,इसलिए $1+x^{6} > 10^{6}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{1+x^{6}} < 10^{-6}$।
अतः,$|I| = \left| \int_{10}^{19} \frac{\sin x}{1+x^{6}} dx \right| \leq \int_{10}^{19} \frac{|\sin x|}{1+x^{6}} dx$.
चूंकि $|\sin x| \leq 1$ और $\frac{1}{1+x^{6}} < 10^{-6}$,इसलिए $|I| < \int_{10}^{19} 10^{-6} dx$.
$|I| < 10^{-6} \times (19 - 10) = 9 \times 10^{-6}$.
इस प्रकार,$9 \times 10^{-6} < 10^{-5}$ होने के कारण,$|I| < 10^{-5}$ सही विकल्प है।

(D) हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए,$0 \leq x^2 \leq 1$ होता है।
चूंकि $e^x$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $e^0 \leq e^{x^2} \leq e^1$,जिसका अर्थ है कि $1 \leq e^{x^2} \leq e$।
अंतराल $[0, 1]$ पर असमिका का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} 1 \, dx \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq \int_{0}^{1} e \, dx$।
समाकलनों की गणना करने पर:
$[x]_{0}^{1} \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq [ex]_{0}^{1}$।
$1 \leq \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \leq e$।
अतः,समाकल का मान संवृत अंतराल $[1, e]$ में स्थित है।

(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ है।
अंश और हर को $n^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1/n}{1+(r/n)^{2}}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$.
समाकल का मान निकालने पर,$L = [\tan ^{-1} x]_{0}^{1}$.
$L = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(C) मान लीजिए $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(a-x)}$
दिया गया है कि $f(x) f(a-x) = 1$,इसलिए $f(a-x) = \frac{1}{f(x)}$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+\frac{1}{f(x)}} = \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{f(x)+1} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} + \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{1+f(x)}$
$2I = \int_{0}^{a} \frac{1+f(x)}{1+f(x)} dx = \int_{0}^{a} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{a} = a$
$I = \frac{a}{2}$

(A) दिए गए परवलय $x = -2y^{2}$ और $x = 1 - 3y^{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
जब $y = \pm 1$ है,तब $x = -2(1)^{2} = -2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $y = -1$ से $y = 1$ तक $x = 1 - 3y^{2}$ (दायां वक्र) और $x = -2y^{2}$ (बायां वक्र) द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$= \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$= 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [1 - \frac{1}{3}]$
$= 2 [\frac{2}{3}] = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.
माना $v = x+y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $v^{2} (\frac{dv}{dx} - 1) = a^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $v^{2} \frac{dv}{dx} = v^{2} + a^{2}$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} + a^{2}}{v^{2}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = \int dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int (1 - \frac{a^{2}}{v^{2} + a^{2}}) dv = x + C'$.
समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + C'$.
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$.
सरल करने पर: $y - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = C'$.
व्यवस्थित करने पर: $\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$.
$-C' = C$ मानने पर,हमें $\frac{x+y}{a} = \tan(\frac{y+C}{a})$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$.
समीकरण को $x^{2}(x^{2}-1)$ से विभाजित करने पर,यह मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}y = \frac{1}{x^{2}}$.
यहाँ,$P = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\int P dx = \int \frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} dx$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए: $\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$.
स्थिरांकों को हल करने पर: $x^{2}+1 = A(x^{2}-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$.
$x=0$ के लिए,$1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x=1$ के लिए,$2 = 2B \Rightarrow B = 1$.
$x=-1$ के लिए,$2 = 2C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$\int P dx = \int (\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln|\frac{x^{2}-1}{x}|$.
$IF = e^{\ln|\frac{x^{2}-1}{x}|} = \frac{x^{2}-1}{x} = x - \frac{1}{x}$.

(C) मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि उनका योग एक इकाई सदिश है,अर्थात $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ का उपयोग करने पर,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ मिलता है।
इसे सरल करने पर $2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -1$ है।
अब,हमें उनके अंतर का परिमाण $|\vec{a} - \vec{b}|$ ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ इकाई है।

(B) माना $x = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$.
तब,$x \times \hat{i} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}) \times \hat{i} = -\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}$.
इसी प्रकार,$x \times \hat{j} = \alpha \hat{k} - \gamma \hat{i}$ और $x \times \hat{k} = -\alpha \hat{j} + \beta \hat{i}$.
अब,$(x \times \hat{i})^{2} = (x \times \hat{i}) \cdot (x \times \hat{i}) = (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) \cdot (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) = \beta^{2} + \gamma^{2}$.
इसी प्रकार,$(x \times \hat{j})^{2} = \alpha^{2} + \gamma^{2}$ और $(x \times \hat{k})^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2}$.
इनका योग करने पर,$(x \times \hat{i})^{2} + (x \times \hat{j})^{2} + (x \times \hat{k})^{2} = (\beta^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \beta^{2}) = 2(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2})$.
चूँकि $|x|^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}$,इसलिए व्यंजक का मान $2|x|^{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि तीन रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, -1, 1)$,$\vec{b} = (2, -3, 0)$ और $\vec{c} = (1, 0, 3)$ हैं।
चूँकि तीनों रेखाएँ मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं,वे समतलीय तभी होंगी यदि उनके दिक्-सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$ हो।
हम इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= 1((-3)(3) - (0)(0)) - (-1)((2)(3) - (0)(1)) + 1((2)(0) - (-3)(1))$
$= 1(-9 - 0) + 1(6 - 0) + 1(0 + 3)$
$= -9 + 6 + 3 = 0$
चूँकि सारणिक का मान $0$ है,तीनों सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं,जिसका अर्थ है कि तीनों रेखाएँ एक ही समतल में स्थित हैं।
अतः,रेखाएँ समतलीय हैं।

(D) समतल $(1, 2, -3)$ और $(2, -2, 1)$ से गुजरता है। इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{v} = (2-1)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $X$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका अभिलंब इकाई सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}$ और $\hat{i}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0-4) + \hat{k}(0-(-4)) = 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = (0, 1, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और $(0, 1, 1)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण:
$0(x-1) + 1(y-2) + 1(z+3) = 0$
$y - 2 + z + 3 = 0$
$y + z + 1 = 0$।