WBJEE 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $f(x) = x^2+px-q^2$.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $1 > 0$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha < 2$ અને બીજું બીજ $\beta > 2$ છે,તેથી $x=2$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(2) < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં $x=2$ મૂકતા:
$f(2) = (2)^2 + p(2) - q^2 < 0$
$4 + 2p - q^2 < 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચોરસ $ABCD$ માં,જ્યાં શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2, z_3, z_4$ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,સદિશ $\vec{BC}$ એ સદિશ $\vec{BA}$ ને $90^\circ$ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવાથી મળે છે.
તેથી,$\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2} = i$ મળે છે.
આથી $z_3-z_2 = i(z_1-z_2)$ થાય.
સાદુરૂપ આપતા $z_3 = i z_1 + (1-i) z_2$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $a = \alpha + i\beta$ અને $z = x + iy$.
આપેલ સમીકરણ $\bar{a}z + a\bar{z} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\alpha - i\beta)(x + iy) + (\alpha + i\beta)(x - iy) = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$2(\alpha x + \beta y) = 0$ એટલે કે $\alpha x + \beta y = 0$ મળે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે જેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{\alpha}{\beta}$ છે.
વાસ્તવિક અક્ષ ($x$-અક્ષ) માં પ્રતિબિંબ લેતા,નવો ઢાળ $m_2 = -m_1 = \frac{\alpha}{\beta}$ થાય.
પ્રતિબિંબિત રેખાનું સમીકરણ $\alpha x - \beta y = 0$ છે.
$x = \frac{z+\bar{z}}{2}$ અને $y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ મૂકતા,$\alpha(\frac{z+\bar{z}}{2}) - \beta(\frac{z-\bar{z}}{2i}) = 0$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$(\alpha + i\beta)z + (\alpha - i\beta)\bar{z} = 0$ એટલે કે $az + \bar{a}\bar{z} = 0$ મળે.

(D) આપેલ છે: $\left|\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right|=1$
અંશ અને છેદને $z_2$ વડે ભાગતા ($z_2 \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\left|\frac{z_1/z_2 + 1}{z_1/z_2 - 1}\right| = 1$
ધારો કે $w = \frac{z_1}{z_2}$. તો $|w+1| = |w-1|$.
આ સમીકરણ એવા બિંદુઓ $w$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે જે સંકર સમતલમાં $-1$ અને $1$ થી સમાન અંતરે છે.
બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ એ તેમને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.
બિંદુઓ વાસ્તવિક અક્ષ પર $(-1, 0)$ અને $(1, 0)$ છે. આ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક એ કાલ્પનિક અક્ષ છે.
તેથી,$w = \frac{z_1}{z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવું જોઈએ (એટલે કે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ત્રણ રિંગ્સ માટે કુલ શક્ય સંયોજનોની સંખ્યા $15^3 = 3375$ છે.
લોક ખોલવા માટે માત્ર $1$ જ સાચું સંયોજન છે.
તેથી,નિષ્ફળ પ્રયાસોની સંખ્યા $N = 15^3 - 1$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$N = (15 - 1)(15^2 + 15 \times 1 + 1^2) = 14 \times (225 + 15 + 1) = 14 \times 241$ મળે.
$14 = 2 \times 7$ હોવાથી,$N = 2 \times 7 \times 241$ થાય.
અહીં,$2$,$7$,અને $241$ એ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આમ,$N$ એ ત્રણ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.

(A) ધારો કે $|P| = k$. તો $Q$ માં $k+1$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
નિશ્ચિત $k$ માટે,$P$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n}C_k$ છે.
$Q$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n}C_{k+1}$ છે.
$P$ અને $Q$ સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $k=0$ થી $n-1$ સુધીના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$\sum_{k=0}^{n-1} (^{n}C_k \cdot ^{n}C_{k+1})$
નિત્યસમ $^{n}C_k = ^{n}C_{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=0}^{n-1} (^{n}C_{n-k} \cdot ^{n}C_{k+1})$
આ $(1+x)^n \cdot (1+x)^n = (1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n+1}$ નો સહગુણક છે,જે $^{2n}C_{n+1}$ છે.
નોંધો કે $^{2n}C_{n+1} = ^{2n}C_{2n-(n+1)} = ^{2n}C_{n-1}$.

(D) '$VERTICAL$' શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે,જેમાં $3$ સ્વરો $(E, I, A)$ અને $5$ વ્યંજનો $(V, R, T, C, L)$ છે.
સ્વરોનો ક્રમ બદલાવો ન જોઈએ,તેથી આપણે $3$ સ્વરની જગ્યાઓને સમાન ગણીએ છીએ.
કુલ $8$ અક્ષરોની ગોઠવણી $8!$ થાય.
$3$ સ્વરોને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય,પરંતુ તેમનો ક્રમ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે કુલ ગોઠવણીને $3!$ વડે ભાગીએ છીએ.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{8!}{3!} = 6720$ છે.

(D) $n$ વસ્તુઓને $n$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $n^n$ છે.
દરેક વ્યક્તિને કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ મળી શકે છે.
દરેક વ્યક્તિને બરાબર એક વસ્તુ મળે તેવી રીતોની સંખ્યા $n$ વસ્તુઓના $n$ ના ક્રમચયો જેટલી છે,જે $n!$ છે.
જો દરેક વ્યક્તિને બરાબર એક વસ્તુ મળે,તો કોઈ પણ વ્યક્તિ વસ્તુ વગરની રહેતી નથી.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિને કોઈ વસ્તુ ન મળે તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી દરેકને એક વસ્તુ મળે તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= n^n - n!$.

(C) ધારો કે પદો $a_1, a_1+r, a_1+2r, \ldots, a_1+(n-1)r$ છે.
તેમના વર્ગોનો મધ્યક $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)^2$ છે.
તેમના મધ્યકનો વર્ગ $\left(\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)\right)^2$ છે.
આ તફાવત એ સમાંતર શ્રેણીનું વિચરણ (variance) છે,જે $\sigma^2 = \frac{r^2(n^2-1)}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ માટે $2b = a + c$ હોવાથી:
$2 \log _9(3^{1-x}+2) = 1 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
ગુણધર્મ $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log _3(3^{1-x}+2) = \log _3 3 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
$\log _3(3^{1-x}+2) = \log _3(3(4 \cdot 3^x-1))$
$3^{1-x}+2 = 12 \cdot 3^x - 3$
ધારો કે $3^x = t$. તેથી $\frac{3}{t} + 2 = 12t - 3$
$3 + 2t = 12t^2 - 3t$
$12t^2 - 5t - 3 = 0$
$(4t - 3)(3t + 1) = 0$
$t = 3^x > 0$ હોવાથી,$t = \frac{3}{4}$.
$3^x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2^k \cdot 3^k} + \frac{1}{2^{k+1} \cdot 3^k}\right)$ છે.
દરેક કૌંસમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા: $\frac{1}{2^k \cdot 3^k} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{6^k} \cdot \frac{3}{2}$.
આમ,સરવાળો $\frac{3}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{6^k}$ થાય છે.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$,આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{6}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{6}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1-1/6} = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}$ થાય.
તેથી,કુલ કિંમત $\frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2b)^2 - 4ac < 0 \implies 4b^2 < 4ac \implies b^2 < ac$.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$b < \sqrt{ac}$ મળે.
$1$. જો $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં હોય,તો $2b = a + c$. $b < \sqrt{ac}$ હોવાથી,$a + c < 2\sqrt{ac}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 < 0$,જે અશક્ય છે. તેથી,$a, b, c$ એ $A$.$P$. માં ન હોઈ શકે.
$2$. જો $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં હોય,તો $b^2 = ac$. પરંતુ આપણી પાસે $b^2 < ac$ છે,તેથી $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં ન હોઈ શકે.
$3$. જો $a, b, c$ એ $H$.$P$. માં હોય,તો $b = \frac{2ac}{a+c}$. $a, c > 0$ હોવાથી,$A$.$M$. $\geq$ $G$.$M$. મુજબ,$\frac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}$ મળે,તેથી $b = \frac{2ac}{a+c} \leq \sqrt{ac}$. જો $a \neq c$ હોય તો $b < \sqrt{ac}$ ની શરત સંતોષાય છે. તેથી,$a, b, c$ એ $H$.$P$. માં હોઈ શકે છે.

(B) સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ માટે:
$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}$
ધારો કે $x_1 = \frac{a_1}{a_2}, x_2 = \frac{a_2}{a_3}, \ldots, x_n = \frac{a_n}{a_1}$.
તેથી,ગુણાકાર $x_1 x_2 \ldots x_n = \frac{a_1}{a_2} \times \frac{a_2}{a_3} \times \ldots \times \frac{a_n}{a_1} = 1$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
$\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{1} = 1$
તેથી,$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1} \geq n$.
ન્યૂનતમ કિંમત $n$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ હોય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $r^2 \cos^2 \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r^2 \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)^2 = 2$
$r^2 \left( \frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right)^2 = 2$
$r^2 \frac{1}{4} (\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta)^2 = 2$
$(r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta)^2 = 8$
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ હોવાથી:
$(x + \sqrt{3} y)^2 = 8$
$(x + \sqrt{3} y)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 0$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x + \sqrt{3} y - 2\sqrt{2})(x + \sqrt{3} y + 2\sqrt{2}) = 0$
આ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ મૂકતા,આપણને $\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta}$ મળે છે.
આથી $6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
ગોઠવતા $6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$ મળે છે.
$x = \cos \theta$ લેતા,$6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = 0$ મળે છે.
તેથી,$(2 \cos \theta - 1)$ એક અવયવ છે.
$6x^3 + x^2 - 1$ ને $(2x - 1)$ વડે ભાગતા $3x^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.
$3x^2 + 2x + 1$ નો વિવેચક $D = 4 - 12 = -8 < 0$ છે,તેથી અહીં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(a, 1)$,$B(1, b)$,અને $D(-1, d)$ છે. $AD$ એ $y=2x$ ને સમાંતર હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $2$ છે. તેથી,$\frac{d-1}{-1-a} = 2$ $\Rightarrow d-1 = -2-2a$ $\Rightarrow d = -1-2a$. $AB$ એ $AD$ ને લંબ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે. તેથી,$\frac{b-1}{1-a} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2b-2 = a-1$ $\Rightarrow b = \frac{a+1}{2}$. $ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન છે. $BD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{1-1}{2}, \frac{b+d}{2}) = (0, \frac{b+d}{2})$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{a+x_c}{2}, \frac{1+y_c}{2})$. આને સરખાવતા,આપણને $x_c = -a$ અને $y_c = b+d-1 = \frac{a+1}{2} - 1 - 2a - 1 = \frac{-3a-3}{2}$ મળે છે. આમ,$C$ એ $(-a, \frac{-3(a+1)}{2})$ છે. વિકલ્પો તપાસતા,કોઈ પણ વાસ્તવિક $a$ માટે આપેલા યામ આ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાતા નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $4a^2 + 12ab + 9b^2 - c^2 = 0$ છે.
આને $(2a + 3b)^2 - c^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(2a + 3b - c)(2a + 3b + c) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $2a + 3b - c = 0$ અથવા $2a + 3b + c = 0$,જેને $c = \pm(2a + 3b)$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા,$ax + by \pm(2a + 3b) = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$a(x \pm 2) + b(y \pm 3) = 0$ મળે.
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સત્ય હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $x \pm 2 = 0$ અને $y \pm 3 = 0$.
આમ,રેખાઓ $(2, 3)$ અથવા $(-2, -3)$ બિંદુએ સંગામી છે.

(D) રેખાઓ $x+2y-9=0$,$3x+5y-5=0$ અને $ax+by-1=0$ સંગામી હોવાની શરત એ છે કે તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -9 \\ 3 & 5 & -5 \\ a & b & -1\end{array}\right|=0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(-10 + 45) - b(-5 + 27) + (-1)(5 - 6) = 0$
$35a - 22b + 1 = 0$
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે બિંદુ $(a, b)$ એ સમીકરણ $35x - 22y + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તેથી,રેખા $35x - 22y + 1 = 0$ એ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ના યામ $(0,4)$ અને $B$ ના યામ $(2t, 0)$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $L$ એ $\left(\frac{0+2t}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (t, 2)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{0-4}{2t-0} = -\frac{2}{t}$ છે.
$AB$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = \frac{t}{2}$ છે.
$L(t, 2)$ માંથી પસાર થતા લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{t}{2}(x - t)$ છે.
$M$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y - 2 = \frac{t}{2}(0 - t) \Rightarrow y = 2 - \frac{t^2}{2} = \frac{4-t^2}{2}$.
તેથી,$M$ એ $\left(0, \frac{4-t^2}{2}\right)$ છે.
ધારો કે $N(h, k)$ એ $LM$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $h = \frac{t+0}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$.
$k = \frac{2 + \frac{4-t^2}{2}}{2} = \frac{4+4-t^2}{4} = \frac{8-t^2}{4} = 2 - \frac{t^2}{4}$.
$k$ ના સમીકરણમાં $t = 2h$ મૂકતા: $k = 2 - \frac{(2h)^2}{4} = 2 - \frac{4h^2}{4} = 2 - h^2$.
આમ,$N(x, y)$ નો બિંદુપથ $y = 2 - x^2$ છે,જે એક પરવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$ છે.
નિત્યસમ $\sin ^2 y = 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા.
આથી $\sin y = \pm \cos x$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\sin y = \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.
તેનો વ્યાપક ઉકેલ $y = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - x)$ છે,જે $\pm 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: $\sin y = -\cos x = \sin(x - \frac{\pi}{2})$.
તેનો વ્યાપક ઉકેલ $y = n\pi + (-1)^n(x - \frac{\pi}{2})$ છે,જે પણ $\pm 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
$n$ એ કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે,તેથી આવી અનંત રેખાઓ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 12x$ છે,તેથી $4a = 12$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$. નાભિ $(3, 0)$ છે.
આપાત કિરણ નાભિ $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan(\tan^{-1} \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$ છે.
આપાત કિરણનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{3}{4}(x - 3)$ અથવા $x = \frac{4y}{3} + 3$ છે.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 12x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 12(\frac{4y}{3} + 3) = 16y + 36$.
$y^2 - 16y - 36 = 0$.
$(y - 18)(y + 2) = 0$.
કિરણ પ્રથમ ચરણમાં જતું હોવાથી,આપણે $y = 18$ લઈશું.
પરવલયનો ગુણધર્મ છે કે નાભિમાંથી પસાર થતું કોઈપણ કિરણ પરવલયની અક્ષને સમાંતર પરાવર્તિત થાય છે.
પરવલય $y^2 = 12x$ ની અક્ષ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
આમ,પરાવર્તિત કિરણ એ $y$-યામ $18$ ધરાવતા બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા છે.
તેથી પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y = 18$ છે.

(D) પરવલય $x^2=8y$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $Q$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે. કારણ કે $Q$ પરવલય પર છે,તેથી $x_1^2 = 8y_1$.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,$P$ એ $OQ$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$h = \frac{1 \cdot x_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{x_1}{4} \Rightarrow x_1 = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{y_1}{4} \Rightarrow y_1 = 4k$
આ કિંમતોને પરવલયના સમીકરણ $x_1^2 = 8y_1$ માં મૂકતા:
$(4h)^2 = 8(4k)$
$16h^2 = 32k$
$h^2 = 2k$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2 = 2y$ મળે છે.

(B) ધારો કે નાભિઓ $F_1 = (ae, 0)$ અને $F_2 = (-ae, 0)$ છે અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B = (0, b)$ છે.
રેખાઓ $BF_1$ અને $BF_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\frac{ae}{b} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આથી,$b = ae\sqrt{3}$.
સંબંધ $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^2 = 1 - \frac{3a^2e^2}{a^2} = 1 - 3e^2$.
$4e^2 = 1 \Rightarrow e = \frac{1}{2}$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $T$ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા: $x = \frac{a}{\cos \theta}$. તેથી,$OT = \frac{a}{\cos \theta}$.
$y$-અંતઃખંડ $T_1$ મેળવવા માટે,$x = 0$ લેતા: $y = \frac{b}{\sin \theta}$. તેથી,$OT_1 = \frac{b}{\sin \theta}$.
ગુણાકાર $(OT)(OT_1) = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $\frac{2ab}{\sin 2\theta}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2ab$ થાય.

(A) નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ વાળા અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં $ae = 2$ અને $b^2 = 4 - a^2$ છે.
બિંદુ $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ મૂકતા,$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ મળે છે.
ઉકેલતા $a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ મળે છે.
તેથી સમીકરણ $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\sqrt{2}}{1} - \frac{y\sqrt{3}}{3} = 1$ થાય.
જેનું સાદું રૂપ $y = x\sqrt{6} - \sqrt{3}$ છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
અહીં $a=2$ અને $b=3$ છે,તેથી $a^2+b^2 = 4+9 = 13$.
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ આગળનો અભિલંબ: $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ --- $(1)$
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ હોવાથી,$\sec \phi = \csc \theta$ અને $\tan \phi = \cot \theta$ થાય.
$B(2 \csc \theta, 3 \cot \theta)$ આગળનો અભિલંબ: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ --- $(2)$
છેદબિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $\sin \theta$ વડે અને $(2)$ ને $\cos \theta$ વડે ગુણીને $x$ નો લોપ કરતા:
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \cos \theta = 13 \sin \theta$
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \sin \theta = 13 \cos \theta$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$.
$\theta \neq \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$(\cos \theta - \sin \theta)$ વડે ભાગતા:
$3y = -13 \implies y = -\frac{13}{3}$.
આમ,$\beta = -\frac{13}{3}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left\{x-\left(\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots\left(x-a_n\right)\right)^{1/n}\right\}$.
$n$-th મૂળની અંદરના પદમાંથી $x$ સામાન્ય લેતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ x - x \left( \left(1-\frac{a_1}{x}\right)\left(1-\frac{a_2}{x}\right) \ldots\left(1-\frac{a_n}{x}\right) \right)^{1/n} \right\}$.
દ્વિપદી અંદાજ $(1-u)^k \approx 1-ku$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x \left\{ 1 - \left(1-\frac{a_1}{nx}\right)\left(1-\frac{a_2}{nx}\right) \ldots\left(1-\frac{a_n}{nx}\right) \right\}$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા અને $O(1/x)$ સુધીના પદો રાખતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x \left\{ 1 - \left( 1 - \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{nx} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \right\}$.
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{nx} \right) = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}$.

(A) ધારો કે $\theta = \angle APB$. યામ $A(0, a)$,$B(0, b)$,અને $P(x, 0)$ છે.
$\triangle APB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2(PA)(PB) \cos \theta$
$(a - b)^2 = (x^2 + a^2) + (x^2 + b^2) - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$a^2 - 2ab + b^2 = 2x^2 + a^2 + b^2 - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta = 2x^2 + 2ab$
$\cos \theta = \frac{x^2 + ab}{\sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2}}$
$\theta$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\cos \theta$ ને ન્યૂનતમ કરીએ છીએ. ગણતરી કરતા $x^2 = ab$ મળે છે.

(B) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં $AB = AC = 15$ અને $BC = 10$ છે,જ્યાં $P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AP$ એ પાયા $BC$ પરનો વેધ હોવાથી,$BP = PC = 5$ થાય.
$\Delta ABP$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times BC \times AP = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{2} = 50 \sqrt{2}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{15 + 15 + 10}{2} = 20$.
ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{50 \sqrt{2}}{20} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
$O$ એ અંતઃવૃતનું કેન્દ્ર હોવાથી અને $P$ એ $BC$ પરનું સ્પર્શબિંદુ હોવાથી,$OP$ નું અંતર અંતઃત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$OP = \frac{5}{\sqrt{2}}$ એકમ.

(B) આપણે પદ $(A \setminus B) \setminus C$ નું મૂલ્યાંકન કરીએ:
ગણના તફાવતની વ્યાખ્યા મુજબ,$A \setminus B = A \cap B'$.
તેથી,$(A \setminus B) \setminus C = (A \cap B') \cap C'$.
છેદના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A \cap (B' \cap C')$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$B' \cap C' = (B \cup C)'$.
તેથી,$(A \setminus B) \setminus C = A \cap (B \cup C)' = A \setminus (B \cup C)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલિત યામ $(x, y) = (a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ લો.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ અને $\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$.
$(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$.
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a \sin \theta \cos \theta$.
$a \sin \theta \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a \cos \theta} + \frac{y}{a \sin \theta} = 1$ મળે છે.
$x$-અંતઃખંડ $a \cos \theta$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $a \sin \theta$ છે.
અંતઃખંડિત ભાગની લંબાઈ $\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$ છે.
જેમ કે $a$ અચળ છે,તેથી અંતઃખંડિત ભાગની લંબાઈ અચળ છે.

(D) આપેલ છે કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
સમીકરણ $\frac{x^2}{f(a^2+5a+3)} + \frac{y^2}{f(a+15)} = 1$ એ $y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે તે માટે,$y^2$ પદનો છેદ એ $x^2$ પદના છેદ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
તેથી,$f(a+15) > f(a^2+5a+3)$.
કારણ કે $f$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,$f(x_1) > f(x_2)$ નો અર્થ છે કે $x_1 < x_2$.
તેથી,$a+15 < a^2+5a+3$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a^2+4a-12 > 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(a+6)(a-2) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $a < -6$ અથવા $a > 2$ મળે છે.
આમ,$a$ માટેનો અંતરાલ $(-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ છે.

(A) નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે.
$E_1 = \{(1, 1)\} \implies p_1 = \frac{1}{36}$.
$E_4 = \{(1, 4), (2, 2), (4, 1)\} \implies p_4 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
$E_{10} = \{(2, 5), (5, 2)\} \implies p_{10} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $p_1 = \frac{1}{36} \approx 0.0277$,$p_{10} = \frac{2}{36} \approx 0.0555$,$p_4 = \frac{3}{36} \approx 0.0833$.
આમ,$p_1 < p_{10} < p_4$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12} \dots (1)$
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = \frac{1}{2}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{2}$,તેથી $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) + P(B) - \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \implies P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$P(A)$ અને $P(B)$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (P(A)+P(B))x + P(A)P(B) = 0$ ના બીજ છે.
$x^2 - \frac{7}{12}x + \frac{1}{12} = 0 \implies 12x^2 - 7x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \implies 4x(3x - 1) - 1(3x - 1) = 0 \implies (4x - 1)(3x - 1) = 0$.
આમ,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.
તેથી,સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{3}$ અને $P(B) = \frac{1}{4}$ છે (અથવા તેનાથી ઉલટું).

(B) આપેલ છે $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = 3^{2(1)+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$.
કારણ કે $35 = 5 \times 7$,$P(1)$ એ અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $5$ અને $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$n = 1$ માટે $P(n)$ ને ભાગતો ઓછામાં ઓછો એક અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
કોઈપણ $n \in N$ માટે,$P(n) > 1$,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$1$ કરતા મોટી દરેક પૂર્ણાંક સંખ્યાને ઓછામાં ઓછો એક અવિભાજ્ય અવયવ હોય છે.
તેથી,એવો અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે $P(n)$ ને ભાગે છે.

(C) ધારો કે $y_n = \log^n x$. તો $y_n = \log(y_{n-1})$,જ્યાં $y_1 = \log x$,$y_2 = \log(\log x)$,વગેરે.
ચેઈન રૂલ મુજબ,$\frac{dy_n}{dx} = \frac{d}{dx}(\log y_{n-1}) = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{dy_{n-1}}{dx}$.
આને વિસ્તૃત કરતા,$\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{1}{y_{n-2}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{y_1} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1} y_{n-2} \dots y_1 x}$.
$y_k = \log^k x$ મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x}$.
તેથી,$x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x \frac{dy}{dx} = 1$.

(A) કોઈપણ $x$ માટે શિરોલંબ જીવાની લંબાઈ $L(x) = 2y = 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ છે.
સરેરાશ લંબાઈ $A_L = \frac{1}{2a-a} \int_a^{2a} L(x) dx = \frac{1}{a} \int_a^{2a} 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2} dx$ દ્વારા મળે છે.
$A_L = \frac{2b}{a^2} \int_a^{2a} \sqrt{x^2-a^2} dx$.
સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ નો ઉપયોગ કરીને,$a$ થી $2a$ સુધી ગણતરી કરતા:
$A_L = \frac{2b}{a^2} [\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})]_a^{2a}$.
$x=2a$ માટે: $a^2\sqrt{3} - \frac{a^2}{2}\ln(a(2+\sqrt{3}))$.
$x=a$ માટે: $- \frac{a^2}{2}\ln(a)$.
બાદબાકી કરતા: $A_L = b[2\sqrt{3}-\ln(2+\sqrt{3})]$.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+2h+h^2)-f(2)}{f(1+h-h^2)-f(1)}$.
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(2+2h+h^2) \cdot (2+2h)}{f^{\prime}(1+h-h^2) \cdot (1-2h)}$.
હવે,$h=0$ મુકતા:
$L = \frac{f^{\prime}(2) \cdot 2}{f^{\prime}(1) \cdot 1}$.
$f^{\prime}(2)=6$ અને $f^{\prime}(1)=4$ આપેલ હોવાથી:
$L = \frac{6 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{12}{4} = 3$.

(B) ગણ $X$ પરનો સંબંધ $\rho$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in \rho$ અને $(b, c) \in \rho$ હોય તો $(a, c) \in \rho$ થાય.
બે પરંપરિત સંબંધો $\rho_1$ અને $\rho_2$ નો છેદગણ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $(a, b) \in \rho_1 \cap \rho_2$ અને $(b, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $(a, b) \in \rho_1$ અને $(b, c) \in \rho_1$,અને $\rho_1$ પરંપરિત હોવાથી $(a, c) \in \rho_1$.
તે જ રીતે,$(a, b) \in \rho_2$ અને $(b, c) \in \rho_2$,અને $\rho_2$ પરંપરિત હોવાથી $(a, c) \in \rho_2$.
તેથી,$(a, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$.
આમ,બે પરંપરિત સંબંધોનો છેદગણ હંમેશા પરંપરિત સંબંધ હોય છે.

(D) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. $R^{-1}$ માટે: $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,$R^{-1}$ પણ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત થાય છે. તેથી,$R^{-1}$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
$2$. $R \cap R^1$ માટે: બે સામ્ય સંબંધોનો છેદગણ હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોય છે.
$3$. $R \cup R^1$ માટે: બે સામ્ય સંબંધોનો યોગગણ હંમેશા પરંપરિત હોવો જરૂરી નથી,તેથી તે હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોતો નથી.
આમ,$R^{-1}$ અને $R \cap R^1$ બંને સામ્ય સંબંધો છે.

(A) આપેલ છે કે $B = PAP^{-1}$,તેથી $BP = PA$ લખી શકાય.
શ્રેણિકોની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
ગુણાકાર કરતા:
ડાબી બાજુ: $\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
જમણી બાજુ: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને $x = 1$ અને $y = x$ મળે છે.
તેથી,$x = 1$ અને $y = 1$.

(A) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીએ:
$\operatorname{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 7 & 11 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 4 & 11 \\ 5 & 8 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$
$= 2(56 - 44) - 0 + 3(16 - 35)$
$= 2(12) + 3(-19)$
$= 24 - 57$
$= -33$
કારણ કે $-33 = 11 \times (-3)$,તેથી $\operatorname{det} A$ ની કિંમત $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) શ્રેણિક $M_r$ નો નિશ્ચાયક આ રીતે મળે છે: $\det(M_r) = r(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r-1)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે: $\det(M_r) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
આપણે આ સરવાળો શોધવાનો છે: $\sum_{r=1}^{2008} \det(M_r) = \sum_{r=1}^{2008} (2r - 1)$.
આ પ્રથમ $2008$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જેનું સૂત્ર $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ છે.
$n = 2008$ માટે,સરવાળો $(2008)^2$ થાય છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array}\right|$ છે.
આને બે નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{array}\right| \times \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}\right|$.
બંને નિશ્ચાયકો વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,તેથી $D = \{(1-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-1)\}^2 = (1-\alpha)^2(\alpha-\beta)^2(\beta-1)^2$.
કારણ કે $\alpha+\beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$,તેથી $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = b^2/a^2 - 4c/a = (b^2-4ac)/a^2$.
વળી,$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta = 1 + b/a + c/a = (a+b+c)/a$.
આમ,$D = \{(1-\alpha)(1-\beta)\}^2 (\alpha-\beta)^2 = \left(\frac{a+b+c}{a}\right)^2 \left(\frac{b^2-4ac}{a^2}\right) = (b^2-4ac) \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = b^2-4ac$ મળે છે.

(A) કારણ કે $A$ અને $B$ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકો છે,તેથી $AA^{\top} = I$ અને $BB^{\top} = I$ થાય.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(A^{\top}) = 1$ અને $\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(B^{\top}) = 1$ મળે.
$\operatorname{det}(A^{\top}) = \operatorname{det}(A)$ હોવાથી,$(\operatorname{det}(A))^2 = 1$ અને $(\operatorname{det}(B))^2 = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{det}(A) = \pm 1$ અને $\operatorname{det}(B) = \pm 1$.
આપેલ છે કે $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$,તેથી $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$.
હવે,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{-1}B))$ ધ્યાનમાં લો.
$A$ ઓર્થોગોનલ હોવાથી,$A^{-1} = A^{\top}$ થાય. તેથી,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{\top}B))$.
આપણે $A+B = A(I + A^{\top}B) = A(B^{\top}B + A^{\top}B) = A(B^{\top} + A^{\top})B$ લખી શકીએ.
નિશ્ચાયક લેતા: $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B^{\top} + A^{\top}) \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) \operatorname{det}((A+B)^{\top})$.
$\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$ હોવાથી,$\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) = -(\operatorname{det}(B))^2 = -1$ થાય.
આમ,$\operatorname{det}(A+B) = -1 \cdot \operatorname{det}(A+B)$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \operatorname{det}(A+B) = 0$,તેથી $\operatorname{det}(A+B) = 0$.
તેથી,$A+B$ એ સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ અંતરાલ $x \in (-2 \pi, 0)$ છે.
જેમ $x$ ડાબી બાજુથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $x^3$ ઋણ બાજુથી $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,$\frac{1}{x^3}$ એ $-\infty$ ની નજીક પહોંચે છે.
વિધેય $f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^3}\right)$ એ તેનો ચલ $\frac{1}{x^3}$ જ્યારે $-\infty$ ની નજીક પહોંચે ત્યારે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી આ વિધેય $0$ ના કોઈપણ સામીપ્યમાં અસંખ્ય વાર $x$-અક્ષને છેદશે.
આમ,વિધેય $(-2 \pi, 0)$ અંતરાલમાં અનંત વાર ચિહ્ન બદલે છે.

(A) આપેલ સંબંધ $\rho = \{(x, y) \in N \times N: 2x + y = 41\}$ છે.
$x, y \in N$ હોવાથી,$x \geq 1$ અને $y \geq 1$ થાય.
$2x + y = 41$ પરથી,$y = 41 - 2x$ મળે.
$y \geq 1$ હોવાથી,$41 - 2x \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $2x \leq 40$,તેથી $x \leq 20$.
આમ,$x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$.
દરેક $x$ માટે,$y = 41 - 2x$. $x$ ની કિંમતો મૂકતા:
જો $x = 1, y = 39$.
જો $x = 20, y = 1$.
તેથી,પ્રદેશ $A = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ અને વિસ્તાર $B = \{1, 3, 5, \dots, 39\}$ છે.
$A$ અને $B$ બંને વિકલ્પ $A$ માં આપેલા ગણના ઉપગણ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^m$,જ્યાં $m \geq 0$ અને $m \in \mathbb{Z}$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f^{\prime}(x) = m x^{m-1}$.
આપેલ શરત $f^{\prime}(a+b) = f^{\prime}(a) + f^{\prime}(b)$ છે.
વિકલન મૂકતા,આપણને મળે છે: $m(a+b)^{m-1} = m a^{m-1} + m b^{m-1}$.
જો $m=0$ હોય,તો $f(x) = 1$,તેથી $f^{\prime}(x) = 0$. સમીકરણ $0 = 0+0$ બને છે,જે સાચું છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે આપણે $m$ માટે બિન-તુચ્છ કિસ્સાઓ વિચારીએ છીએ.
જો $m=1$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 1$. સમીકરણ $1 = 1+1$ બને છે,એટલે કે $1=2$ (ખોટું).
જો $m=2$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 2x$. સમીકરણ $2(a+b) = 2a + 2b$ બને છે,જે $2a+2b = 2a+2b$ માં સરળ બને છે (સાચું).
જો $m=3$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 3x^2$. સમીકરણ $3(a+b)^2 = 3a^2 + 3b^2$ બને છે,જે $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$ માં સરળ બને છે,જેનો અર્થ છે $2ab = 0$. કારણ કે $a, b > 0$,આ ખોટું છે.
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \begin{cases} x+1, & -1 \leq x \leq 0 \\ -x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x=0$ આગળ સાતત્ય તપાસતા:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $x=0$ આગળ અસતત છે.
હવે,$[-1, 1]$ પર $f(x)$ નો વિસ્તાર તપાસીએ:
$x \in [-1, 0]$ માટે,$f(x) = x+1$. વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$x \in (0, 1]$ માટે,$f(x) = -x$. વિસ્તાર $[-1, 0)$ છે.
આ બંનેને જોડતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-1, 0) \cup [0, 1] = [-1, 1]$ મળે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે ($x=0$ આગળ) અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-1$ છે ($x=1$ આગળ).
આમ,$f(x)$ એ $[-1, 1]$ માં અસતત હોવા છતાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(D) વિધેય $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ એ બે વિધેયોનો ગુણાકાર છે: $g(x) = [x^2]$ અને $h(x) = \sin(\pi x)$.
$g(x) = [x^2]$ એ દરેક બિંદુએ અસતત છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,એટલે કે $x = \sqrt{n}$,જ્યાં $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
ગુણાકાર $f(x) = g(x)h(x)$ એ બિંદુ $x_0$ પર સતત રહે તે માટે,જ્યાં $g(x)$ અસતત છે,ત્યાં $h(x_0) = 0$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં,$h(x) = \sin(\pi x) = 0$ જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક હોય.
જો $x^2 = n$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે) અને $x$ પણ પૂર્ણાંક હોય,તો $x = \sqrt{n}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n$ પૂર્ણ વર્ગ છે.
જો $x^2 = n$ હોય પણ $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $\sin(\pi x) \neq 0$ થાય,તેથી વિધેય $f(x)$ આ બિંદુઓ પર અસતત રહે છે.
તેથી,$f(x)$ ફક્ત તે જ બિંદુઓ પર સતત છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય અને $\sin(\pi x) = 0$ હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક હોય.
આપેલા વિકલ્પો સાચા નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $x=1$ આગળ $f(x)$ ની વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત શોધીએ છીએ: $f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
આપેલ છે કે $f(1) = 1$ અને $h \neq 0$ માટે,$f(1+h) = e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h})$.
આ કિંમતોને લક્ષની વ્યાખ્યામાં મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = (1+h)^{10}-1 = 1 + 10h + \dots - 1 = 10h + O(h^2)$:
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + (10h + O(h^2)) + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{10h + O(h^2) + h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} (10 + O(h) + h \sin(\frac{1}{h}))$.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ $\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$ હોવાથી,આપણને $f^{\prime}(1) = 10 + 0 + 0 = 10$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log _e\left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} y_1 = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x} \implies x y_1 = -n \sqrt{b^2-y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2-y^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 x y_1^2 + x^2 \cdot 2 y_1 y_2 = -n^2 \cdot 2 y y_1$.
$2 x y_1$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0, y_1 \neq 0$):
$y_1 + x y_2 = -\frac{n^2 y}{x}$.
$x y_1 + x^2 y_2 + n^2 y = 0$.
$A y_2 + B y_1 + C y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=x^2, B=x, C=n^2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $y = e^{kx}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = ke^{kx} = ky$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} = k^2y$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx} - y) = y\frac{dy}{dx}$
$(k^2y + ky)(ky - y) = y(ky)$
$ky(k+1) \cdot y(k-1) = ky^2$
$k(k^2 - 1)y^2 = ky^2$
અહીં $y = e^{kx} \neq 0$ હોવાથી,આપણે $y^2$ વડે ભાગી શકીએ:
$k(k^2 - 1) = k$
$k^3 - k = k$
$k^3 - 2k = 0$
$k(k^2 - 2) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k^2 = 2$,જે આપણને $k = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ આપે છે.
આમ,$k$ ની ત્રણ ભિન્ન કિંમતો મળે છે.

(D) આદેશ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} = \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}$.
આગળ,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) = \frac{d}{dz} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) \cdot \frac{dz}{dx} = \left( -\operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} + \operatorname{cosec} x \frac{d^2 y}{dz^2} \right) \operatorname{cosec} x = \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz}$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dx^2} + \cot x \frac{dy}{dx} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ માં મૂકતા:
$\left( \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} \right) + \cot x (\operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}) + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d^2 y}{dz^2} + 4y = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ ઊંચાઈનું વિધેય: $x(t) = 100t - \frac{25}{2}t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dt} = 100 - 25t$.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે,પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$100 - 25t = 0 \implies t = 4 \text{ s}$.
હવે,તે મહત્તમ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -25$.
અહીં $\frac{d^2x}{dt^2} < 0$ હોવાથી,$t = 4 \text{ s}$ પર વિધેય મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
$t = 4$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x_{\text{max}} = 100(4) - \frac{25}{2}(4)^2 = 400 - \frac{25}{2}(16) = 400 - 200 = 200 \text{ m}$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x + e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = 0$
$e^{\sin x} \cos x = e^{\cos x} \sin x$
$\frac{e^{\sin x}}{e^{\cos x}} = \frac{\sin x}{\cos x}$
$e^{\sin x - \cos x} = \tan x$
$f(x)$ એ $2\pi$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્ત વિધેય હોવાથી,$x$ માટેના ઉકેલો આવર્ત રીતે મળે છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$e^{\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)} = e^0 = 1$ અને $\tan(\pi/4) = 1$ થાય છે. તેથી,$x = \frac{\pi}{4}$ એ એક ક્રિટિકલ પોઈન્ટ છે.
$\sin x$ અને $\cos x$ ની આવર્તતાને કારણે,વિધેય $f(x)$ તેના મૂલ્યો દર $2\pi$ અંતરે પુનરાવર્તિત કરે છે.
તેથી,વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય તમામ પૂર્ણાંક $n$ માટે $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
આવા અનંત બિંદુઓ હોવાથી,વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય અનંત બિંદુઓ પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^{2/3} - x^2$.
અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} - 2x = 2x^{-1/3} - 2x = 2 \left( \frac{1 - x^{4/3}}{x^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 - x^{4/3} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{4/3} = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
વળી,$x = 0$ આગળ $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ ની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x > 1$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x = -1$ આગળ,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $f$ ને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$x = 0$ આગળ,$f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$x = 1$ આગળ,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $f$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
આમ,$f$ એ બે બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ પર મહત્તમ છે.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = [f(x)]^2 + 4$.
$f(x)$ એ $[1, 3]$ પર સતત અને $(1, 3)$ પર વિકલનીય હોવાથી,મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈક $c \in (1, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{f(3)-f(1)}{2}$.
આ કિંમતને આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{f(3)-f(1)}{2} = [f(c)]^2 + 4$.
આથી $f(3)-f(1) = 2[f(c)]^2 + 8$.
કારણ કે $[f(c)]^2 \ge 0$,તેથી $f(3)-f(1) \ge 8$.
આમ,$f(3)-f(1)=5$ શક્ય નથી.

(D) આપણે સંકલ્યને વિભાજિત કરવા માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
અંશને સરખાવતા: $1 = A(x-2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-2)$.
$x = -1$ માટે: $1 = A(-3)(-4) \Rightarrow A = \frac{1}{12}$.
$x = 2$ માટે: $1 = B(3)(-1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.
$x = 3$ માટે: $1 = C(4)(1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}$.
પદવાર સંકલન કરતા: $I = \int \left( \frac{1/12}{x+1} - \frac{1/3}{x-2} + \frac{1/4}{x-3} \right) dx = \frac{1}{12} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{4} \ln|x-3| + c$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{k} \ln \left\{ \frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4} \right\}$ સાથે સરખાવવા માટે,આપણે $\frac{1}{12}$ સામાન્ય લઈએ છીએ:
$I = \frac{1}{12} \left( \ln|x+1| - 4\ln|x-2| + 3\ln|x-3| \right) + c = \frac{1}{12} \ln \left\{ \frac{|x+1||x-3|^3}{|x-2|^4} \right\} + c$.
આમ,આપેલ અભિવ્યક્તિ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \cos(nx) dx$.
$n=1$ માટે: $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$.
$n=2$ માટે: $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \cos 2x dx$. $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right) \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x dx$.
$I_2 = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 4x}{2} dx = 0 + \frac{1}{4} \left[ x + \frac{\sin 4x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8}$.
$n=3$ માટે: $I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \cos 3x dx$. $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$.
$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4} \right) \cos 3x dx = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 3x dx + \frac{3}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos 3x dx$.
$I_3 = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 6x}{2} dx + \frac{3}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos 4x + \cos 2x) dx = \frac{1}{8} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} + 0 + 0 = \frac{\pi}{16}$.
અહીં $I_1 = \frac{\pi}{4}$,$I_2 = \frac{\pi}{8}$,$I_3 = \frac{\pi}{16}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{I_3}{I_2} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$I_1, I_2, I_3, \ldots$ એ $G$.$P$. માં છે.

(C) આપણને સંકલન $I = \int \frac{x^2 \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$ આપેલ છે.
આપણે સંકલ્યને $I = \int \frac{x}{(x \sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{x}{\cos x} \, dx$ તરીકે લખી શકીએ.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = \frac{x}{\cos x}$ અને $dv = \frac{x \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$.
ત્યારે $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \, dx$ મળે.
$I = \int u \, dv = uv - \int v \, du$ સૂત્ર મુજબ,
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} - \int \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \right) \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^2 x \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + c$.
આમ,$f(x) = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$.
$x \in (0, 1/2)$ માટે,આપણી પાસે $0 < x < 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $n \in N, n > 1$ માટે $x^{2n} < x^2$ થાય.
જો $n=1$ હોય,તો $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1} x]_0^{1/2} = \frac{\pi}{6}$.
જો $n > 1$ હોય,તો $x^{2n} < x^2$,તેથી $1 - x^{2n} > 1 - x^2$.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{1 - x^{2n}} > \sqrt{1 - x^2}$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2n}}} < \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
બંને બાજુ $0$ થી $1/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I < \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,તમામ $n \in N$ માટે,$I \leq \frac{\pi}{6}$.

(A) અંતરાલ $[a, b]$ પર સતત વિધેય $f(x)$ ની સરેરાશ કિંમત શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ કિંમત} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$
અહીં,$f(x) = \sin x$,$a = 0$,અને $b = \pi$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઓર્ડિનેટ} = \frac{1}{\pi - 0} \int_0^\pi \sin x dx$
$= \frac{1}{\pi} [-\cos x]_0^\pi$
$= \frac{1}{\pi} [-\cos(\pi) - (-\cos(0))]$
$= \frac{1}{\pi} [-(-1) - (-1)]$
$= \frac{1}{\pi} [1 + 1]$
$= \frac{2}{\pi}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B, D) $T$ આવર્તકાળ ધરાવતા આવર્તી વિધેય $f(x)$ માટે,$T$ લંબાઈના કોઈપણ અંતરાલ પરનું સંકલન અચળ હોય છે,એટલે કે $\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે અને $(A)$ ખોટું છે.
ડિરિચલેટ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ માટે,$f(x+T) = f(x)$ એ કોઈપણ સંમેય $T$ માટે સાચું છે કારણ કે જો $x$ સંમેય હોય,તો $x+T$ સંમેય છે,અને જો $x$ અસંમેય હોય,તો $x+T$ અસંમેય છે. આમ,$f$ એ તમામ સંમેય $T$ માટે આવર્તી છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) - \sin 2x = -f(x) \tan x$
$f^{\prime}(x) + f(x) \tan x = \sin 2x$
આ $\frac{df}{dx} + P(x)f = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
$IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} (f(x) \sec x) = \sin 2x \sec x = 2 \sin x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$f(x) \sec x = \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot \sec 0 = -2 \cos 0 + C \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$.
આમ,$f(x) \sec x = -2 \cos x + 3$,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x$.
હવે,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2 \cos^2 x + 3 \cos x) dx$.
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1 - \cos 2x + 3 \cos x) dx = [-x - \frac{\sin 2x}{2} + 3 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
$= (-\frac{\pi}{2} - 0 + 3) - (0) = 3 - \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે $I_1 = \int_0^n [x] dx$ અને $I_2 = \int_0^n \{x\} dx$.
$I_1 = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx$.
$I_1 = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$.
કારણ કે વિધેય $\{x\}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવે છે,તેથી $I_2 = n \int_0^1 \{x\} dx = n \int_0^1 x dx$.
$I_2 = n \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = n \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{n}{2}$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$ થાય છે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta \quad \dots (1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{2 \pi} (2 \pi - \theta) \sin ^6 (2 \pi - \theta) \cos (2 \pi - \theta) \, d\theta$
કારણ કે $\sin(2 \pi - \theta) = -\sin \theta$ અને $\cos(2 \pi - \theta) = \cos \theta$,તેથી:
$I = \int_0^{2 \pi} (2 \pi - \theta) \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta - \int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta - I$
$2I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
ધારો કે $f(\theta) = \sin ^6 \theta \cos \theta$. તો $f(2 \pi - \theta) = \sin ^6 (2 \pi - \theta) \cos (2 \pi - \theta) = (-\sin \theta)^6 \cos \theta = \sin ^6 \theta \cos \theta = f(\theta)$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય તો:
$I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
ધારો કે $u = \sin \theta$,તો $du = \cos \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0, u = 0$. જ્યારે $\theta = \pi, u = 0$.
$I = 2 \pi \int_0^0 u^6 \, du = 0$.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{x}{\ln|cx|}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln|cx| \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{cx} \cdot c}{(\ln|cx|)^2} = \frac{\ln|cx| - 1}{(\ln|cx|)^2} = \frac{1}{\ln|cx|} - \frac{1}{(\ln|cx|)^2}$.
કારણ કે $y = \frac{x}{\ln|cx|}$,તેથી $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|cx|}$.
આ કિંમતને વિકલનના પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2$.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\phi\left(\frac{x}{y}\right) = -\left(\frac{y}{x}\right)^2 = -\frac{y^2}{x^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $x=\sin \theta$ અને $y=\sin(k \theta)$.
પ્રથમ,$y_1 = \frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{d\theta} = k \cos(k \theta)$ અને $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$.
$y_1 = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{k \cos(k \theta)}{\cos \theta} \implies y_1 \cos \theta = k \cos(k \theta)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{d\theta}{dx} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta}$.
$\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$y_2 \cos^2 \theta - y_1 \sin \theta = -k^2 \sin(k \theta)$.
$1-x^2 = 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ અને $x = \sin \theta$ હોવાથી:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = -k^2 y$.
આને $(1-x^2) y_2 - x y_1 - \alpha y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha y = -k^2 y$ મળે છે,તેથી $\alpha = -k^2$.

(A) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $y = e^{a \sin x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = a \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \cos x$.
સમીકરણ $\log y = a \sin x$ પરથી,આપણે $a = \frac{\log y}{\sin x}$ લખી શકીએ.
'$a$' ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left( \frac{\log y}{\sin x} \right) \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log y \cot x$.
પદોને વિકલ્પો મુજબ ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = y \log y \cot x$,જેને $\frac{dy}{dx} \tan x = y \log y$ અથવા $y \log y = \tan x \frac{dy}{dx}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણન સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે '$a$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{d\Delta}{da} = 3a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{3} \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2\Delta}{da^2} = 6a$
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2\Delta}{da^2} = -\frac{6}{\sqrt{3}} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય સૂચવે છે.
આમ,'$a$' ની કિંમત જેના માટે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણન મહત્તમ છે તે $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) સમાંતરફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $9$ છે, તેથી:
$|[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})]| = 9$
આપણે જાણીએ છીએ કે $[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$.
તેથી, $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$.
હવે, આપણે $\vec{u}' = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$, $\vec{v}' = (\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$, અને $\vec{w}' = (\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\vec{u}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$, $\vec{v}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$, $\vec{w}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$.
ઘનફળ $|[\vec{u}' \vec{v}' \vec{w}']| = |[([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a})]|$.
$= |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^3 [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4|$.
કારણ કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$, તેથી $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4 = (9)^2 = 81$.
તેથી, ઘનફળ $81 \text{ ઘન એકમ}$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલી બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધીએ. રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ અને $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ છે.
રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી,સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0$,એટલે કે $x - 2y + z = 0$.
આને આપેલા સમતલ $ax - 2y + z = k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે અને સમતલ $x - 2y + z = k$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz = D_1$ અને $Ax + By + Cz = D_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$D_1 = 0$,$D_2 = k$,$A = 1, B = -2, C = 1$.
આપેલ છે કે $d = \sqrt{6}$,તેથી $\frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$.
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \sqrt{6} \Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.
$|k| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z - 1 = 0$ આપેલ છે.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ અને $X$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$.
માન શોધતા: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{a}| = 1$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.

(A) $1$. ફુગ્ગાની પ્રારંભિક ગતિ: $u = 0$,$a = 4 \ ft/sec^2$,$t = 5 \ sec$.
$t = 5 \ sec$ પર ફુગ્ગાની ઊંચાઈ: $h_0 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \ ft$.
$t = 5 \ sec$ પર ફુગ્ગાનો વેગ: $v_0 = u + at = 0 + 4 \times 5 = 20 \ ft/sec$.
$2$. પથ્થર ફેંક્યા પછીની ગતિ: પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 20 \ ft/sec$ અને પ્રવેગ $g = -32 \ ft/sec^2$ છે.
પથ્થર જમીન પર પહોંચે તે માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(s = -50 \ ft)$:
$-50 = 20T + \frac{1}{2}(-32)T^2$
$-50 = 20T - 16T^2 \Rightarrow 8T^2 - 10T - 25 = 0$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = 2.5 \ sec = 5/2 \ sec$.
$3$. જ્યારે પથ્થર જમીન પર પહોંચે ત્યારે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ: ફુગ્ગો વધારાના $T = 2.5 \ sec$ માટે $a = 4 \ ft/sec^2$ સાથે ઉપર ચઢવાનું ચાલુ રાખે છે.
$H = h_0 + v_0 T + \frac{1}{2}aT^2 = 50 + 50 + 12.5 = 112.5 \ ft$.