જો alpha અને beta એ સમીકરણ 2z^2 - 3z - 2i = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $2z^2 - 3z - 2i = 0$ છે. $z$ વડે ભાગતા,આપણને $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,અથવા $z - \fr

Vedclass · Accepted Answer

$441$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $2z^2 - 3z - 2i = 0$ છે. $z$ વડે ભાગતા,આપણને $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,અથવા $z - \frac{i}{z} = \frac{3}{2}$. $\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha - \frac{i}{\alpha} = \frac{3}{2}$ અને $\beta - \frac{i}{\beta} = \frac{3}{2}$ થાય. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha - \frac{i}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{i^2}{\alpha^2} - 2i = \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} - 2i = \frac{9}{4}$. આમ,$\alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{9}{4} + 2i$. તેવી જ રીતે,$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} = \frac{9}{4} + 2i$. પદાવલિ $E = \frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{\alpha^{15}(\alpha^4 + \alpha^{-4}) + \beta^{15}(\beta^4 + \beta^{-4})}{\alpha^{15} + \beta^{15}}$ ધ્યાનમાં લો. નોંધો કે $(\alpha^2 - \alpha^{-2})^2 = \alpha^4 + \alpha^{-4} - 2 = (\frac{9}{4} + 2i)^2 = \frac{81}{16} - 4 + 9i = \frac{17}{16} + 9i$. તેથી,$\alpha^4 + \alpha^{-4} = \frac{17}{16} + 9i + 2 = \frac{49}{16} + 9i$. આને $E$ માં મૂકતા: $E = \frac{(\alpha^{15} + \beta^{15})(\frac{49}{16} + 9i)}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{49}{16} + 9i$. તેથી $\operatorname{Re}(E) = \frac{49}{16}$ અને $\operatorname{Im}(E) = 9$. જરૂરી કિંમત $16 \cdot \operatorname{Re}(E) \cdot \operatorname{Im}(E) = 16 \cdot \frac{49}{16} \cdot 9 = 49 \cdot 9 = 441$ છે.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Similar Questions

જો $z_1$ અને $z_2$ કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો $|z_1 + \sqrt{z_1^2 - z_2^2}| + |z_1 - \sqrt{z_1^2 - z_2^2}|$ ની કિંમત શું થાય?

જો $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$ થાય,તો $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $Z=x+iy$ એક સંકર સંખ્યા હોય,તો સમીકરણ $z^3+\bar{z}=0$ ના ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module