JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}-\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4}}{\sin x}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(2 \cos ^2 x+3 \cos x) - (\cos ^2 x+\sin x+4)}{\sin x (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\cos ^2 x+3 \cos x - \sin x - 4}{\sin x (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
$\cos ^2 x + 3 \cos x - 4 = (\cos x - 1)(\cos x + 4)$ હોવાથી:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x + 4) - \sin x}{\sin x (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
$\cos x - 1 = -2 \sin ^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{-2 \sin ^2 \frac{x}{2}(\cos x + 4) - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
અંશ અને છેદને $2 \sin \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{-\sin \frac{x}{2}(\cos x + 4) - \cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} (\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}+\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4})}$
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\sin \frac{x}{2} \rightarrow 0$,$\cos \frac{x}{2} \rightarrow 1$,$\cos x \rightarrow 1$:
$L = \frac{-(0)(5) - 1}{1 (\sqrt{5} + \sqrt{5})} = -\frac{1}{2 \sqrt{5}}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $a^2 - e^2x_1^2$ છે.
આપેલ બિંદુ $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ માટે,ગુણાકાર $a^2 - e^2(\sqrt{3})^2 = a^2 - 3e^2 = \frac{7}{4}$ છે.
તેથી,$4a^2 = 7 + 12e^2$.
બિંદુ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4b^2} = 1$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4a^2(1 - e^2)} = 1$.
$4a^2(1 - e^2)$ વડે ગુણતા,$12(1 - e^2) + 1 = 4a^2(1 - e^2)$.
$4a^2 = 7 + 12e^2$ મૂકતા,$13 - 12e^2 = (7 + 12e^2)(1 - e^2)$.
$13 - 12e^2 = 7 - 7e^2 + 12e^2 - 12e^4$.
$12e^4 - 17e^2 + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e^2$ શોધતા: $e^2 = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{24} = \frac{17 \pm 1}{24}$.
તેથી,$e_1^2 = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ અને $e_2^2 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $e_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
તફાવત $|e_1 - e_2| = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$.

(A) પ્રારંભિક મધ્યક $\overline{x} = 5.5$ અને $n = 10$ માટે,પ્રારંભિક સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 5.5 \times 10 = 55$ છે.
આપેલ છે $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 371$.
સરવાળામાં સુધારો: $(\sum x_i)_{\text{new}} = 55 - (4 + 5) + (6 + 8) = 60$.
વર્ગોના સરવાળામાં સુધારો: $(\sum x_i^2)_{\text{new}} = 371 - (4^2 + 5^2) + (6^2 + 8^2) = 430$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$.
$\sigma^2 = \frac{430}{10} - (\frac{60}{10})^2 = 43 - 36 = 7$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1+4+4} = 3$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. રેખા $2x-3y+5=0$ ની સાપેક્ષે $(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{h-1}{2} = \frac{k+2}{-3} = \frac{-2(2(1)-3(-2)+5)}{2^2+(-3)^2} = \frac{-2(2+6+5)}{13} = -2$.
આમ,$h-1 = -4 \Rightarrow h = -3$ અને $k+2 = 6 \Rightarrow k = 4$. તેથી,$O = (-3, 4)$.
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x+3)^2+(y-4)^2 = 3^2 = 9$ છે.
બિંદુ $A$ એ $C$ પર એવી રીતે છે કે $OA$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને $A$ એ $O$ ની જમણી બાજુએ છે. $O=(-3, 4)$ અને $r=3$ હોવાથી,$A = (-3+3, 4) = (0, 4)$ મળે.
ચાપ $AB$ ની લંબાઈ પરિમિતિના $1/6$ ભાગ જેટલી છે,તેથી કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = \frac{1}{6} \times 2\pi = \frac{\pi}{3}$ થાય.
$B(\alpha, \beta)$ એ $C$ પર છે અને $\beta < 4$ હોવાથી,$B$ એ સમક્ષિતિજ રેખા $y=4$ ની નીચે છે. તેથી,$\beta = 4 - 3\sin(\pi/3) = 4 - 3\sqrt{3}/2$ અને $\alpha = -3 + 3\cos(\pi/3) = -3 + 1.5 = -1.5$ મળે.
તેથી $\beta - \sqrt{3}\alpha = (4 - 3\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(-1.5) = 4 - 1.5\sqrt{3} + 1.5\sqrt{3} = 4$.

(B) $(1+x)^{n+4}$ ના $5^{\text{th}}$,$6^{\text{th}}$ અને $7^{\text{th}}$ પદના સહગુણકો $^{n+4}C_4$,$^{n+4}C_5$ અને $^{n+4}C_6$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2 \times ^{n+4}C_5 = ^{n+4}C_4 + ^{n+4}C_6$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$n^2 - 13n + 30 = 0$ મળે છે.
$n=3$ અથવા $n=10$ મળે,પરંતુ $n \neq 10$ હોવાથી $n=3$ લેતા.
તેથી,$(1+x)^7$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક $^{7}C_3 = 35$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x^2-9x+11)^2-(x^2-9x+20)=3$
ધારો કે $t = x^2-9x$.
સમીકરણમાં $t$ મૂકતા: $(t+11)^2 - (t+20) = 3$
$t^2 + 22t + 121 - t - 20 - 3 = 0$
$t^2 + 21t + 98 = 0$
$(t+14)(t+7) = 0$
તેથી,$t = -7$ અથવા $t = -14$.
કિસ્સો $1$: $x^2-9x = -7 \Rightarrow x^2-9x+7 = 0$. બીજ $x = \frac{9 \pm \sqrt{81-28}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{53}}{2}$ (અસંમેય) છે.
કિસ્સો $2$: $x^2-9x = -14 \Rightarrow x^2-9x+14 = 0$.
$(x-7)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 7, 2$ (સંમેય).
સંમેય બીજનો ગુણાકાર $7 \times 2 = 14$ છે.

(D) ધારો કે $P = (1, 2)$ અને $Q = \left(\frac{57}{13}, \frac{-40}{13}\right)$. રેખા $2x - 3y + \lambda = 0$ એ રેખાખંડ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે:
$M = \left(\frac{1 + \frac{57}{13}}{2}, \frac{2 - \frac{40}{13}}{2}\right) = \left(\frac{35}{13}, \frac{-7}{13}\right)$.
$M$ એ રેખા $2x - 3y + \lambda = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$2\left(\frac{35}{13}\right) - 3\left(\frac{-7}{13}\right) + \lambda = 0$
$\frac{70}{13} + \frac{21}{13} + \lambda = 0$ $\Rightarrow 7 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -7$.
ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & -4 & -\alpha \\ 8 & -11 & -33 \\ 2 & -3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
$\lambda = -7$ મૂકતા:
$3(77 - 99) + 4(-56 + 66) - \alpha(-24 + 22) = 0$
$-66 + 40 + 2\alpha = 0$ $\Rightarrow 2\alpha = 26$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
તેથી,$|\alpha \lambda| = |13 \times (-7)| = 91$.

(C) $3$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $999 - 99 = 900$ છે.
કોઈ સંખ્યા $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તો તે $\text{lcm}(2, 3) = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$6$ વડે વિભાજ્ય $3$-અંકની સંખ્યાઓ $\frac{900}{6} = 150$ છે.
કોઈ સંખ્યા $4$ અને $9$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તો તે $\text{lcm}(4, 9) = 36$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$36$ વડે વિભાજ્ય $3$-અંકની સંખ્યાઓ $\frac{900}{36} = 25$ છે.
$36$ વડે વિભાજ્ય દરેક સંખ્યા $6$ વડે પણ વિભાજ્ય હોવાથી,$2$ અને $3$ વડે વિભાજ્ય પરંતુ $4$ અને $9$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $150 - 25 = 125$ છે.

(A) ધારો કે $S = \{p_1, p_2, \ldots, p_{10}\}$. ગણ $P$ એ $S$ ના ભિન્ન ઘટકોના ગુણાકારોનો બનેલો છે. ગણ $A = S \cup P$ માં $S$ ના $k$ ભિન્ન ઘટકોના તમામ ગુણાકારોનો સમાવેશ થાય છે,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 10$.
નિશ્ચિત $x \in S$ માટે,આપણે $y \in A$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેથી $x$ એ $y$ ને ભાગે.
જો $y = p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k}$ હોય,તો $x$ એ $y$ ને ત્યારે જ ભાગે જો $x \in \{p_{i_1}, \ldots, p_{i_k}\}$ હોય.
નિશ્ચિત $x = p_j$ માટે,આવા ગુણાકારો $y$ ની સંખ્યા એ $S$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા છે જેમાં $p_j$ નો સમાવેશ થાય છે.
$S$ માં $10$ ઘટકો હોવાથી,ચોક્કસ ઘટક $p_j$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $2^{10-1} = 2^9 = 512$ છે.
$x \in S$ માટે $10$ વિકલ્પો હોવાથી,ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની કુલ સંખ્યા $10 \times 512 = 5120$ છે.

(A) આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે.
અહીં,$T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$ અને $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ અને મધ્યબિંદુ $(3, 1)$ માટે:
$\frac{3x}{25} + \frac{1y}{16} - 1 = \frac{3^2}{25} + \frac{1^2}{16} - 1$.
$\frac{3x}{25} + \frac{y}{16} = \frac{9}{25} + \frac{1}{16}$.
$400$ વડે ગુણતા:
$16(3x) + 25(y) = 16(9) + 25(1)$.
$48x + 25y = 144 + 25$.
$48x + 25y = 169$.

(C) ગણ $A$ માટે: $\log_{(2/\pi)}|\sin x| + \log_{(2/\pi)}|\cos x| = 2$
$\Rightarrow \log_{(2/\pi)}|\sin x \cos x| = 2$
$\Rightarrow |\sin x \cos x| = (2/\pi)^2 = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\frac{1}{2} \sin 2x| = 4/\pi^2$
$\Rightarrow |\sin 2x| = 8/\pi^2$
અહીં $8/\pi^2 < 1$ હોવાથી,$(0, \pi) - \{\pi/2\}$ માં $4$ ઉકેલો મળે છે.
ગણ $B$ માટે: ધારો કે $t = \sqrt{x} \geq 0$. સમીકરણ $t(t - 4) - 3|t - 2| + 6 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: $0 \leq t < 2$. $|t - 2| = 2 - t$.
$t^2 - 4t - 3(2 - t) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - t = 0$ $\Rightarrow t = 0, 1$. તેથી $x = 0, 1$.
કિસ્સો $2$: $t \geq 2$. $|t - 2| = t - 2$.
$t^2 - 4t - 3(t - 2) + 6 = 0$ $\Rightarrow t^2 - 7t + 12 = 0$ $\Rightarrow t = 3, 4$. તેથી $x = 9, 16$.
ગણ $B = \{0, 1, 9, 16\}$,તેથી $n(B) = 4$.
$A$ અને $B$ અલગ હોવાથી,$n(A \cup B) = 4 + 4 = 8$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x + y = 11$,$L_2: x + 2y = 16$,અને $L_3: 2x + 3y = 29$ છે.
આપણને બિંદુ $\left(\frac{11}{2}, \alpha\right)$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{11}{2}$.
રેખાઓના સમીકરણોમાં $x = \frac{11}{2}$ મૂકતા:
$L_1$ માટે: $\frac{11}{2} + y = 11 \implies y = 5.5 = \frac{11}{2}$.
$L_2$ માટે: $\frac{11}{2} + 2y = 16 \implies 2y = 10.5 \implies y = 5.25 = \frac{21}{4}$.
$L_3$ માટે: $2\left(\frac{11}{2}\right) + 3y = 29 \implies 11 + 3y = 29 \implies 3y = 18 \implies y = 6$.
આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશમાં $x = \frac{11}{2}$ આગળ,$\alpha$ ની રેન્જ સીમા રેખાઓ સાથેના છેદબિંદુઓ વચ્ચે છે. ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha_{\min} = \frac{11}{2}$ અને મહત્તમ કિંમત $\alpha_{\max} = 6$ છે.
તેથી ગુણાકાર $\alpha_{\min} \cdot \alpha_{\max} = \frac{11}{2} \times 6 = 33$ થાય.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_{40} = 1030$ માટે: $\frac{40}{2}[2a + 39d] = 1030 \implies 2a + 39d = 51.5$ $(1)$
$S_{12} = 57$ માટે: $\frac{12}{2}[2a + 11d] = 57 \implies 2a + 11d = 9.5$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $28d = 42 \implies d = 1.5$
$d = 1.5$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $2a + 11(1.5) = 9.5 \implies 2a = -7 \implies a = -3.5$
હવે,$S_{30} - S_{10} = 20a + 390d = 20(-3.5) + 390(1.5) = -70 + 585 = 515$.

(C) ધારો કે $S = 5 + \frac{1}{7}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
આપેલ છે કે $S = 7$.
બંને બાજુ $\frac{1}{7}$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{7}S = \frac{1}{7}(5) + \frac{1}{7^2}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^3}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{7}S = 5 + [\frac{1}{7}(5 + \alpha - 5) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha - (5 + \alpha)) + \dots \infty]$.
$\frac{6}{7}S = 5 + [\frac{\alpha}{7} + \frac{\alpha}{7^2} + \frac{\alpha}{7^3} + \dots \infty]$.
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{\alpha}{7}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{7}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{\alpha/7}{1 - 1/7} = \frac{\alpha}{6}$.
તેથી,$\frac{6}{7}S = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
$S = 7$ હોવાથી,$\frac{6}{7}(7) = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
$6 = 5 + \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow 1 = \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow \alpha = 6$.

(B) $(1+x)^m$ ના વિસ્તરણમાં $r^{\text{th}}$ પદ $T_r = {}^{m}C_{r-1} x^{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણ માટે:
$30^{\text{th}}$ પદ $T_{30} = {}^{2n-1}C_{29} x^{29}$ છે,તેથી $A = {}^{2n-1}C_{29}$.
$12^{\text{th}}$ પદ $T_{12} = {}^{2n-1}C_{11} x^{11}$ છે,તેથી $B = {}^{2n-1}C_{11}$.
આપેલ છે કે $2A = 5B$,તેથી $2({}^{2n-1}C_{29}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{2n-1}C_{29} = {}^{2n-1}C_{2n-30}$.
તેથી,$2({}^{2n-1}C_{2n-30}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$.
$n=21$ મુકતા,$2n-1 = 41$.
$2({}^{41}C_{29}) = 5({}^{41}C_{11})$.
$2 \times \frac{41!}{12! 29!} = 5 \times \frac{41!}{11! 30!} \implies \frac{2}{12} = \frac{5}{30} \implies \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ,$n = 21$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપણે કુલ $4$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની છે,જેથી $5$ વિદ્યાર્થીઓ સમૂહ $A$ માંથી અને $3$ વિદ્યાર્થીઓ સમૂહ $B$ માંથી હોય.
ધારો કે $x_1, y_1$ એ સમૂહ $A$ માંથી પસંદ કરેલા છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા છે,અને $x_2, y_2$ એ સમૂહ $B$ માંથી પસંદ કરેલા છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા છે.
આપણને મળે છે $x_1 + y_1 = 5$ અને $x_2 + y_2 = 3$,જ્યાં $x_1 + x_2 = 4$ અને $y_1 + y_2 = 4$.
શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $I$: $x_1=2, y_1=3$ (સમૂહ $A$ માંથી) અને $x_2=2, y_2=1$ (સમૂહ $B$ માંથી): $\binom{7}{2} \binom{3}{3} \times \binom{6}{2} \binom{5}{1} = 21 \times 1 \times 15 \times 5 = 1575$.
કિસ્સો $II$: $x_1=3, y_1=2$ (સમૂહ $A$ માંથી) અને $x_2=1, y_2=2$ (સમૂહ $B$ માંથી): $\binom{7}{3} \binom{3}{2} \times \binom{6}{1} \binom{5}{2} = 35 \times 3 \times 6 \times 10 = 6300$.
કિસ્સો $III$: $x_1=4, y_1=1$ (સમૂહ $A$ માંથી) અને $x_2=0, y_2=3$ (સમૂહ $B$ માંથી): $\binom{7}{4} \binom{3}{1} \times \binom{6}{0} \binom{5}{3} = 35 \times 3 \times 1 \times 10 = 1050$.
કુલ રીતો $= 1575 + 6300 + 1050 = 8925$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
ધારો કે $g(x) = \min \{|x-3|, |x+2|\}$.
આપણે $y = f(x)$ અને $y = g(x)$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
$x < -2$ માટે,$f(x) > 0$ અને $g(x) = |x-3| = 3-x$. $x^2+3x+2 = 3-x$ ઉકેલતા $x^2+4x-1 = 0$ મળે,તેથી $x = -2 \pm \sqrt{5}$. $x < -2$ હોવાથી,$x = -2-\sqrt{5}$ એક ઉકેલ છે.
$-2 \le x < 0.5$ માટે,$g(x) = |x+2| = x+2$. $x^2+3x+2 = x+2$ ઉકેલતા $x^2+2x = 0$ મળે,તેથી $x=0$ અથવા $x=-2$. બંને અંતરાલમાં છે.
$x \ge 0.5$ માટે,$g(x) = |x-3|$. પરવલય $f(x)$ વધતું વિધેય છે અને $g(x)$ ઘટે છે અથવા વધે છે,પરંતુ $f(x)$ ખૂબ ઝડપથી વધે છે,તેથી કોઈ વધારાના ઉકેલો નથી.
ઉકેલો $x = -2-\sqrt{5}$,$x = -2$,અને $x = 0$ છે. આમ,કુલ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) પરવલયની અક્ષ નિયામિકા $x + 2y = 0$ ને લંબ છે અને શિરોબિંદુ $V \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અક્ષનો ઢાળ $2$ છે. અક્ષનું સમીકરણ $y - 3 = 2 \left(x - \frac{3}{2}\right)$ છે,જે $y = 2x$ માં પરિણમે છે.
નિયામિકાનો લંબપાદ એ $x + 2y = 0$ અને $y = 2x$ નું છેદબિંદુ છે,જે $(0, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ $S$ અને નિયામિકાના લંબપાદ $(0, 0)$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_S + 0}{2} = \frac{3}{2}$ અને $\frac{y_S + 0}{2} = 3$ મળે,તેથી નાભિ $S(3, 6)$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$PS^2 = PM^2$,જ્યાં $P(x, y)$ પરવલય પરનું બિંદુ છે:
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = \left(\frac{x + 2y}{\sqrt{5}}\right)^2$
$5(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36) = x^2 + 4y^2 + 4xy$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 30x - 60y + 225 = 0$
$\alpha = 4, \beta = 1, \gamma = 4$ સરખાવતા,$\alpha + \beta + \gamma = 4 + 1 + 4 = 9$ મળે.

(D) $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 15\sqrt{2}$ અને $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ છે.
$e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ પરથી,આપણને $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ મળે છે,તેથી $b^2 = \frac{3}{2}a^2$.
નાભિલંબના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{2(\frac{3}{2}a^2)}{a} = 15\sqrt{2} \implies 3a = 15\sqrt{2} \implies a = 5\sqrt{2}$.
તેથી $b^2 = \frac{3}{2}(50) = 75$,એટલે કે $b = 5\sqrt{3}$.
$H_1$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 10\sqrt{2}$ છે.
$H_2: \frac{y^2}{B^2}-\frac{x^2}{A^2}=1$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ છે.
મુખ્ય અક્ષોનો ગુણાકાર $(2a)(2B) = 100\sqrt{10}$ છે.
$(10\sqrt{2})(2B) = 100\sqrt{10} \implies 20\sqrt{2}B = 100\sqrt{10} \implies B = 5\sqrt{5}$.
$\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{2A^2}{5\sqrt{5}} = 12\sqrt{5} \implies 2A^2 = 60(5) = 300 \implies A^2 = 150$ મળે છે.
$H_2$ માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{A^2}{B^2} = 1 + \frac{150}{125} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$ છે.
તેથી,$25e_2^2 = 25 \times \frac{11}{5} = 55$.

(D) $5$-અંકી સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ ધારો. સંખ્યા $> 50000$ હોવાથી,$d_1 \in \{5, 6, 7\}$.
આપેલ છે કે $d_1 + d_5 \le 8$.
કિસ્સો $1$: $d_1 = 5$. તો $5 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2, 3\}$. $d_5$ માટે $4$ વિકલ્પો છે.
$d_2, d_3, d_4$ માટે $8$ વિકલ્પો છે. તેથી,$4 \times 8^3 = 2048$.
કિસ્સો $2$: $d_1 = 6$. તો $6 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2\}$. $d_5$ માટે $3$ વિકલ્પો છે. કુલ $= 3 \times 512 = 1536$.
કિસ્સો $3$: $d_1 = 7$. તો $7 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1\}$. $d_5$ માટે $2$ વિકલ્પો છે. કુલ $= 2 \times 512 = 1024$.
સરવાળો: $2048 + 1536 + 1024 = 4608$.
સંખ્યા $50000$ થી મોટી હોવી જોઈએ,તેથી $50000$ ને બાદ કરતા,કુલ સંખ્યા $4608 - 1 = 4607$ થાય.

(A) પરવલય $y^2=4ax$ છે જ્યાં $a=1$. ધારો કે $A$ ના યામ $(t_1^2, 2t_1)$ અને $C$ ના યામ $(t_2^2, 2t_2)$ છે. $AD$ અને $BC$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$A$ અને $D$ નો $x$-યામ સમાન છે,અને $B$ અને $C$ નો $x$-યામ સમાન છે. તેથી,$D$ એ $(t_1^2, -2t_1)$ અને $B$ એ $(t_2^2, -2t_2)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ નાભિ $S(1,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,બિંદુઓ $A, S, C$ સમરેખ છે. નાભિમાંથી પસાર થતી જીવા માટે $t_1 t_2 = -1$,તેથી $t_2 = -\frac{1}{t_1}$.
યામ $A(t_1^2, 2t_1)$ અને $C(\frac{1}{t_1^2}, -\frac{2}{t_1})$ છે.
$AC$ ની લંબાઈ $\sqrt{(t_1^2 - \frac{1}{t_1^2})^2 + (2t_1 + \frac{2}{t_1})^2} = \frac{25}{4}$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$(t_1 + \frac{1}{t_1})^2 = \frac{25}{4}$ મળે છે.
તેથી,$t_1 + \frac{1}{t_1} = \frac{5}{2}$,જે $t_1 = 2$ અથવા $t_1 = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$t_1 = 2$ લેતા,$A(4, 4)$ અને $D(4, -4)$ મળે છે. પછી $t_2 = -\frac{1}{2}$,તેથી $C(\frac{1}{4}, -1)$ અને $B(\frac{1}{4}, 1)$ મળે છે.
સમાંતર બાજુઓ $AD = 8$ અને $BC = 2$ છે. સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $x$-યામનો તફાવત છે: $h = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (AD + BC) \times h = \frac{1}{2} (8 + 2) \times \frac{15}{4} = \frac{75}{4}$.

(C) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $i^k$ નું મૂલ્ય માત્ર ચાર કિંમતોમાંથી એક હોઈ શકે: $\{i, -1, -i, 1\}$.
$k_1$ અને $k_2$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$(i^{k_1}, i^{k_2})$ માટે કુલ $4 \times 4 = 16$ શક્ય જોડ મળે.
આપણે $i^{k_1} + i^{k_2} \neq 0$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $1 - P(i^{k_1} + i^{k_2} = 0)$ ને સમાન છે.
શરત $i^{k_1} + i^{k_2} = 0$ નો અર્થ છે $i^{k_1} = -i^{k_2}$.
આ શરતનું પાલન કરતી શક્ય જોડ: $(i, -i), (-i, i), (1, -1), (-1, 1)$ છે.
આવી $4$ પ્રતિકૂળ સ્થિતિઓ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $16 - 4 = 12$ છે.
સંભાવના $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ થાય.

(B) બિંદુ $A(x, y, z)$ એ $xy$-સમતલમાં હોવાથી,$z = 0$ થાય. તેથી,$A = (x, y, 0)$.
આપેલ છે કે $AP^2 = AQ^2 = AR^2$.
$AR^2 = x^2 + y^2 + (0 - 1)^2 = x^2 + y^2 + 1$.
$AP^2 = x^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$.
$AQ^2 = (x - 2)^2 + y^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$.
$AP^2 = AR^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 6y = 12 \implies y = 2$.
$AQ^2 = AR^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 4x = 12 \implies x = 3$.
તેથી,$A = (3, 2, 0)$.
હવે,$A(3, 2, 0)$,$B(1, 4, -1)$ અને $C(2, 0, -2)$ સાથે $\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (3 - 1)^2 + (2 - 4)^2 + (0 - (-1))^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$.
$AC^2 = (3 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies AC = 3$.
$BC^2 = (1 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (-1 - (-2))^2 = (-1)^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
અહીં $AB = AC = 3$ અને $AB^2 + AC^2 = 9 + 9 = 18 = BC^2$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$.
અહીં $\frac{9}{2} \neq \frac{9\sqrt{2}}{2}$ હોવાથી,$(S2)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $(S1)$ સાચું છે.

(D) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષની નીચે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(a, -r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y + r)^2 = r^2$ છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + y^2 - 2ax + 2ry + a^2 = 0$ થાય છે.
આને $x^2 + y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2a$,$\beta = 2r$,અને $\gamma = a^2$ મળે છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પર $b$ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે. સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,$y^2 + \beta y + \gamma = 0$ મળે છે. જેના બીજ $y_1, y_2$ છે અને $|y_1 - y_2| = b$.
બીજના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|y_1 - y_2| = \sqrt{\beta^2 - 4\gamma} = b$,તેથી $b^2 = \beta^2 - 4\gamma$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(2a, b^2)$ એ $(\alpha, \beta^2 - 4\gamma)$ બરાબર છે.

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $2a_{n+2} - 5a_{n+1} + 3a_n = 0$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $2x^2 - 5x + 3 = 0$ છે,જેના અવયવો $(2x - 3)(x - 1) = 0$ થાય છે.
તેથી,બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{3}{2}$ છે.
સામાન્ય પદ $a_n = A(1)^n + B(\frac{3}{2})^n = A + B(\frac{3}{2})^n$ છે.
પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરતા:
$n = 0$ માટે: $A + B = 0 \Rightarrow A = -B$.
$n = 1$ માટે: $A + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow -B + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 1, A = -1$.
તેથી,$a_n = (\frac{3}{2})^n - 1$.
હવે,$\sum_{k=1}^{100} a_k = \sum_{k=1}^{100} ((\frac{3}{2})^k - 1) = \sum_{k=1}^{100} (\frac{3}{2})^k - \sum_{k=1}^{100} 1$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{\frac{3}{2}((\frac{3}{2})^{100} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1)$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{k=1}^{100} a_k = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1) - 100 = 3a_{100} - 100$.

(B) આપેલ છે $T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ અને $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$.
$A.P.$ નો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ છે.
આપેલ છે $20 \sum_{r=1}^{25} T_r = 13 \Rightarrow 20 \times \frac{25}{2}(a + T_{25}) = 13$.
$250(a + \frac{1}{20}) = 13$ $\Rightarrow a + \frac{1}{20} = \frac{13}{250}$ $\Rightarrow a = \frac{13}{250} - \frac{1}{20} = \frac{26-25}{500} = \frac{1}{500}$.
$a$ ની કિંમત $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$ માં મૂકતા,$\frac{1}{500} + 24d = \frac{25}{500}$ $\Rightarrow 24d = \frac{24}{500}$ $\Rightarrow d = \frac{1}{500}$.
$T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ $\Rightarrow \frac{1}{500} + \frac{m-1}{500} = \frac{20}{500}$ $\Rightarrow m-1 = 19$ $\Rightarrow m = 20$.
આપણે $5m \sum_{r=m}^{2m} T_r = 100 \sum_{r=20}^{40} T_r$ શોધવાનું છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2}(T_{first} + T_{last}) = \frac{40-20+1}{2}(T_{20} + T_{40}) = \frac{21}{2}(a+19d + a+39d) = \frac{21}{2}(2a+58d) = 21(a+29d)$.
$21(\frac{1}{500} + \frac{29}{500}) = 21(\frac{30}{500}) = 21(\frac{3}{50}) = \frac{63}{50} = 1.26$.
$100 \times 1.26 = 126$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2+|2x-3|-4=0$.
કિસ્સો $I$: $x \geq \frac{3}{2}$.
સમીકરણ $x^2 + 2x - 3 - 4 = 0$ બને છે,જે $x^2 + 2x - 7 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
$x \geq \frac{3}{2}$ હોવાથી,આપણે $x = 2\sqrt{2} - 1$ સ્વીકારીએ છીએ.
કિસ્સો $II$: $x < \frac{3}{2}$.
સમીકરણ $x^2 - (2x - 3) - 4 = 0$ બને છે,જે $x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
$x < \frac{3}{2}$ હોવાથી,આપણે $x = 1 + \sqrt{2}$ અને $x = 1 - \sqrt{2}$ બંને સ્વીકારીએ છીએ.
બીજો $2\sqrt{2}-1$,$1+\sqrt{2}$,અને $1-\sqrt{2}$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $= (2\sqrt{2}-1)^2 + (1+\sqrt{2})^2 + (1-\sqrt{2})^2$.
$= (8 - 4\sqrt{2} + 1) + (1 + 2\sqrt{2} + 2) + (1 - 2\sqrt{2} + 2)$.
$= 9 - 4\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 15 - 4\sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે ${}^nC_{r-1} = 28$,${}^nC_r = 56$,અને ${}^nC_{r+1} = 70$.
ગુણધર્મ $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$.
તે જ રીતે,$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{70}{56} = \frac{5}{4}$.
$4(n-r) = 5(r+1)$ $\Rightarrow 4n - 4r = 5r + 5$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5$ (ii).
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $4(3r-1) = 9r+5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3$.
તેથી $n = 3(3)-1 = 8$.
$C$ ના યામ $(3(3)-8, 3^2-8-1) = (1, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{4 \cos t + 2 \sin t + 1}{3} \Rightarrow 3x - 1 = 4 \cos t + 2 \sin t$.
$y = \frac{4 \sin t - 2 \cos t + 0}{3} \Rightarrow 3y = 4 \sin t - 2 \cos t$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x-1)^2 + (3y)^2 = (4 \cos t + 2 \sin t)^2 + (4 \sin t - 2 \cos t)^2$.
$= 16 \cos^2 t + 4 \sin^2 t + 16 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 20(\cos^2 t + \sin^2 t) = 20$.
આમ,$\alpha = 20$.

(D) આપેલ છે $z_1 = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}i$. માનાંક $|z_1| = \sqrt{11}$ છે.
આપેલ છે $\sqrt{3}|z_2| = |z_1|$,તેથી $|z_2| = \sqrt{\frac{11}{3}}$.
આપેલ છે $\arg(z_2) - \arg(z_1) = \frac{\pi}{6}$,તેથી $\angle AOB = \frac{\pi}{6}$.
$\triangle ABO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |z_1| |z_2| \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{4\sqrt{3}}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$AB^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{3}$.
અહીં $|z_2| = AB$ હોવાથી,$\triangle ABO$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
ત્રીજો ખૂણો $\angle ABO = \frac{2\pi}{3}$ હોવાથી,તે ગુરુકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ છે $\alpha = 1 + \sum_{r=1}^6 (-3)^{r-1} \binom{12}{2r-1}$.
$(1 + \sqrt{3}i)^{12}$ અને $(1 - \sqrt{3}i)^{12}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે કે સરવાળો $0$ થાય છે.
તેથી,$\alpha = 1$.
રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$ બને છે.
બિંદુ $(12, \sqrt{3})$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{|12 - 3 + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{10}{2} = 5$ છે.

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a_1 = 3$ અને અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b_1 = 2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
બધા ઉપવલયો $E_i$ સમાન ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ધરાવતા હોવાથી,$e^2 = 1 - \frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{5}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{4}{9}$,અથવા $b_i = \frac{2}{3}a_i$.
પ્રશ્ન મુજબ $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ $(2b_i)$ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ $(2a_{i+1})$ છે,તેથી $2b_i = 2a_{i+1}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{i+1} = b_i$.
$b_i = \frac{2}{3}a_i$ મૂકતા,આપણને $a_{i+1} = \frac{2}{3}a_i$ મળે છે. આ અર્ધ-ગુરુ અક્ષો માટે સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A_i = \pi a_i b_i = \pi a_i (\frac{2}{3}a_i) = \frac{2\pi}{3} a_i^2$ છે.
$a_i$ એ $\frac{2}{3}$ ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી હોવાથી,$a_i^2$ એ $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આમ,$A_i$ એ પ્રથમ પદ $A_1 = \pi(3)(2) = 6\pi$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = \frac{4}{9}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{A_1}{1 - R} = \frac{6\pi}{1 - 4/9} = \frac{6\pi}{5/9} = \frac{54\pi}{5}$ છે.
તેથી,$\frac{5}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{5}{\pi} \times \frac{54\pi}{5} = 54$.

(A) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}$ છે.
અહીં $|\vec{OA}| = 2$ અને $|\vec{OB}| = 2$ હોવાથી,$\angle AOB$ નો ખૂણા દુભાજક એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે જેની દિશા $\vec{OA} + \vec{OB} = (\sqrt{3} + 1)\hat{i} + (1 + \sqrt{3})\hat{j}$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $C(a, 1 - a)$ નું રેખા $x - y = 0$ થી અંતર $d = \frac{|a - (1 - a)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{9}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $|2a - 1| = 9$.
આથી,$2a - 1 = 9 \Rightarrow a = 5$,અથવા $2a - 1 = -9 \Rightarrow a = -4$.
$a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $5 + (-4) = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0$ છે. \\
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{(3-2 i)^2 - 4(1)(-(2 i-2))}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{9 - 4 - 12i + 8i - 8}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{-3 - 4i}}{2}$ \\
કારણ કે $-3-4i = 1^2 + (2i)^2 - 2(1)(2i) = (1-2i)^2$,તેથી: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm (1-2 i)}{2}$ \\
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3-2i + 1-2i}{2} = \frac{4-4i}{2} = 2-2i$. અહીં $\alpha=2, \beta=-2$. \\
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3-2i - (1-2i)}{2} = \frac{2}{2} = 1+0i$. અહીં $\gamma=1, \delta=0$. \\
આમ,$\alpha \gamma + \beta \delta = (2)(1) + (-2)(0) = 2+0 = 2$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ અને મધ્યબિંદુ $(\sqrt{2}, 4/3)$ માટે,જીવાનું સમીકરણ:
$\frac{x(\sqrt{2})}{9}+\frac{y(4/3)}{4} = \frac{2}{9}+\frac{4}{9} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{2}x+3y=6 \Rightarrow y = \frac{6-\sqrt{2}x}{3}$.
આ કિંમત ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4x^2 + 9\left(\frac{6-\sqrt{2}x}{3}\right)^2 = 36$
$6x^2 - 12\sqrt{2}x = 0 \Rightarrow x=0, 2\sqrt{2}$.
તેથી $y=2, 2/3$.
જીવાની લંબાઈ = $\sqrt{(2\sqrt{2}-0)^2 + (2/3-2)^2} = \sqrt{8 + 16/9} = \sqrt{88/9} = \frac{2\sqrt{22}}{3}$.
તેથી $\alpha = 22$.

(D) $\text{GARDEN}$ શબ્દમાં $6$ અલગ અક્ષરો છે: $\{G, A, R, D, E, N\}$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 6! = 720$.
શબ્દમાં સ્વરો $\{A, E\}$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,સ્વરો $A$ અને $E$ બે સાપેક્ષ ક્રમમાં આવી શકે છે: $(A, E)$ અથવા $(E, A)$.
માત્ર બે સ્વરો હોવાથી,આ બંને ક્રમ સમાન રીતે સંભવિત છે.
આમ,સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $(A, E)$ હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.
સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $\text{NOT}$ (ન) હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{alphabetical order}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.

(C) $a_n = \frac{n^2 + 5n + 6}{4} = \frac{(n+2)(n+3)}{4}$
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{4}{(k+2)(k+3)}$
$S_n = 4 \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$
તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) \right]$
$S_n = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) = 4 \left( \frac{n+3-3}{3(n+3)} \right) = \frac{4n}{3(n+3)}$
$n = 2025$ માટે:
$S_{2025} = \frac{4 \times 2025}{3(2025+3)} = \frac{4 \times 2025}{3 \times 2028} = \frac{4 \times 2025}{6084}$
$507 S_{2025} = 507 \times \frac{4 \times 2025}{3 \times 2028} = 675$

(C) ધારો કે $T_r = \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$T_r = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right) \right]$.
$r=1$ થી $13$ સુધીનો સરવાળો ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right] = 2 [1 - (2 - \sqrt{3})] = 2\sqrt{3} - 2$.
અહીં $a = 2$ અને $b = -2$ મળે છે.
તેથી,$a^2 + b^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8$.

(C) ધારો કે બે સમાન બાજુઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$-x+2y=4$ અને $x+y=4$ સમીકરણો પરથી,આપણને $m_1 = \frac{1}{2}$ અને $m_2 = -1$ મળે છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ અને પ્રથમ બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો,ત્રીજી બાજુ અને બીજી બાજુ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right| = \left| \frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2} \right|$.
કિંમતો મૂકતા,$\left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right| = \left| \frac{m + 1}{1 - m} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{1 - m} \implies m^2 = -1$ (કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{m - 1} \implies m^2 - 6m - 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$ થાય છે.

(A) $(a+b)^{12}$ માં $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ ના સહગુણકો $^{12}C_{r-1}, ^{12}C_r, ^{12}C_{r+1}$ છે.
તેઓ $G.P.$ માં હોવાથી,$(^{12}C_r)^2 = (^{12}C_{r-1}) \times (^{12}C_{r+1})$.
ગુણધર્મ $\frac{^{n}C_k}{^{n}C_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{^{12}C_r}{^{12}C_{r-1}} = \frac{13-r}{r}$ અને $\frac{^{12}C_{r+1}}{^{12}C_r} = \frac{12-r}{r+1}$ મળે.
ગુણોત્તર સરખાવતા: $\frac{13-r}{r} = \frac{12-r}{r+1} \implies (13-r)(r+1) = r(12-r)$.
$12r + 13 = 12r \implies 13 = 0$,જે અશક્ય છે.
આમ,$r$ નું કોઈ મૂલ્ય શક્ય નથી,તેથી $p = 0$.
$(3^{1/4} + 4^{1/3})^{12}$ માટે,સામાન્ય પદ $T_{k+1} = ^{12}C_k (3^{1/4})^{12-k} (4^{1/3})^k$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$(12-k)$ એ $4$ વડે અને $k$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $k=0$ અને $k=12$ છે.
$k=0$ માટે: $T_1 = 27$.
$k=12$ માટે: $T_{13} = 256$.
સરવાળો $q = 27 + 256 = 283$.
તેથી,$p+q = 0 + 283 = 283$.

(D) આપેલ સમીકરણો: $x^2+y^2-8x=0$ $(1)$ અને $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ $(2)$.
$(2)$ પરથી,$4x^2-9y^2=36 \Rightarrow 9y^2=4x^2-36$.
$(1)$ માંથી $y^2=8x-x^2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $4x^2-9(8x-x^2)=36$.
$4x^2-72x+9x^2=36 \Rightarrow 13x^2-72x-36=0$.
$(13x+6)(x-6)=0$,તેથી $x=6$ અથવા $x=-\frac{6}{13}$.
$x=6$ માટે,$y^2=8(6)-6^2=48-36=12$,તેથી $y=\pm\sqrt{12}$.
આમ,$A=(6, \sqrt{12})$ અને $B=(6, -\sqrt{12})$.
ધારો કે $P=(\alpha, \beta)$ એ $2x-3y+4=0$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $2\alpha-3\beta+4=0$.
$\triangle PAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ એ $h=\frac{6+6+\alpha}{3} = \frac{12+\alpha}{3}$ અને $k=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{12}+\beta}{3} = \frac{\beta}{3}$ છે.
તેથી $\alpha=3h-12$ અને $\beta=3k$.
$2\alpha-3\beta+4=0$ માં મૂકતા: $2(3h-12)-3(3k)+4=0$.
$6h-24-9k+4=0 \Rightarrow 6h-9k=20$.
મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $6x-9y=20$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x, y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}$ અને $x \in \{2, 3, \dots, 9\}$. આપણે $x+y+z=15$ ની જરૂર છે. સંખ્યા $212$ અને $999$ ની વચ્ચે હોવાથી,આપણે $x$ માટેના કિસ્સાઓ તપાસીએ:
$1$. જો $x=2$,તો $y+z=13$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4)$. કુલ = $6$.
$2$. જો $x=3$,તો $y+z=12$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(3,9), (4,8), (5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3)$. કુલ = $7$.
$3$. જો $x=4$,તો $y+z=11$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2)$. કુલ = $8$.
$4$. જો $x=5$,તો $y+z=10$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)$. કુલ = $9$.
$5$. જો $x=6$,તો $y+z=9$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)$. કુલ = $10$.
$6$. જો $x=7$,તો $y+z=8$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)$. કુલ = $9$.
$7$. જો $x=8$,તો $y+z=7$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)$. કુલ = $8$.
$8$. જો $x=9$,તો $y+z=6$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ છે: $(0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)$. કુલ = $7$.
સરવાળો: $6+7+8+9+10+9+8+7 = 64$.

(B) સરવાળાની અંદરનું પદ $\frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \tan(2\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{x}{2^{r+1}}$.
આમ,પદ $\tan(2 \cdot \frac{x}{2^{r+1}}) = \tan(x/2^r)$ છે.
સરવાળાની ગણતરી કરતા $f(x) = x$ મળે છે.
લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{f(x)}}{x - f(x)}$ માટે,જો $f(x) = x$ હોય,તો તે $1$ થાય છે.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n-2) \times 180^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $A.P.$ માં છે,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6^{\circ}$ છે.
$A.P.$ નો સરવાળો $\frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = (n-2) \times 180^{\circ}$ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $a + (n-1)d = 219^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $a = 219^{\circ} - 6(n-1) = 225^{\circ} - 6n$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{2}[2(225 - 6n) + (n-1)6] = (n-2)180$
$n[222 - 3n] = 180n - 360$
$3n^2 - 42n - 360 = 0$
$3$ વડે ભાગતા: $n^2 - 14n - 120 = 0$
$(n - 20)(n + 6) = 0$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 20$.

(D) પરવલય $y^2=4x$ છે જેનું નાભિ $S(1,0)$ છે.
રેખા $x+y+4=0$ ની સાપેક્ષે પરવલયનું પ્રતિબિંબ લેતા,નવા પરવલયનું નાભિ $S'(-4,-5)$ મળે છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d=4$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $5$ છે.
ક્ષેત્રફળ $a = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$.
તેથી,$a+d = 10+4 = 14$.

(B) રેખા $AB$ એ $x+y=1$ છે. $AB$ નો ઢાળ $-1$ છે. $AB$ ને લંબ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા (કારણ કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $y=x$ રેખા પર છે) $y=x$ છે.
$y=x$ ને $x^2+y^2=4$ સાથે ઉકેલતા,આપણને $2x^2=4$ મળે છે,તેથી $x^2=2$,$x=\pm \sqrt{2}$. આમ,$C=(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અને $D=(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.
જીવા $CD$ ની લંબાઈ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2r = 2(2) = 4$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $d = \frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{4-\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{14}$ છે.
કારણ કે $CD$ એ $AB$ ને લંબ છે,ચતુષ્કોણ $ADBC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણ}_1 \times \text{વિકર્ણ}_2 = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 4 = 2\sqrt{14}$ થાય.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના બિંદુઓ નાભિ અને નિયામિકાથી સમાન અંતરે હોય છે.
પ્રથમ પરવલય માટે: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = y^2 \implies (x - 4)^2 = 6y - 9$.
બીજા પરવલય માટે: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = x^2 \implies (y - 3)^2 = 8x - 16$.
છેદબિંદુઓ માટે $x^2 = y^2$ હોવાથી $y = x$ મળે છે.
$y = x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - 4)^2 + (x - 3)^2 = x^2 \implies x^2 - 14x + 25 = 0$.
અહીં $x_1 + x_2 = 14$ અને $x_1 x_2 = 25$ છે.
$(AB)^2 = 2(x_1 - x_2)^2 = 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] = 2[196 - 100] = 2(96) = 192$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધો:
$1$) $7x-6y+3=0$ અને $x+2y-31=0$ એ $A(9, 11)$ માં છેદે છે.
$2$) $7x-6y+3=0$ અને $9x-2y-19=0$ એ $B(3, 4)$ માં છેદે છે.
$3$) $x+2y-31=0$ અને $9x-2y-19=0$ એ $C(5, 13)$ માં છેદે છે.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{9+3+5}{3}, \frac{11+4+13}{3}\right) = \left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $3x+6y-53=0$ માં $G\left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ નું પ્રતિબિંબ છે. પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ છે.
અહીં,$a=3, b=6, c=-53, x_1=\frac{17}{3}, y_1=\frac{28}{3}$.
$\frac{h-17/3}{3} = \frac{k-28/3}{6} = -2\frac{3(17/3)+6(28/3)-53}{3^2+6^2} = -2\frac{17+56-53}{45} = -\frac{8}{9}$.
$h = 3, k = 4$.
તેથી,$h^2+k^2+hk = 3^2+4^2+(3)(4) = 37$.

(B) ધારો કે અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \in \{1, 2, 3\}$ છે જેથી $\sum_{i=1}^{7} x_i = 11$ થાય.
ધારો કે $n_1, n_2, n_3$ એ અનુક્રમે $1, 2$ અને $3$ અંકો કેટલી વાર આવે છે તે દર્શાવે છે.
તો $n_1 + n_2 + n_3 = 7$ અને $1n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 11$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $n_2 + 2n_3 = 4$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $n_3 = 0$,તો $n_2 = 4$ અને $n_1 = 3$. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{3!4!0!} = 35$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_3 = 1$,તો $n_2 = 2$ અને $n_1 = 4$. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{4!2!1!} = 105$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $n_3 = 2$,તો $n_2 = 0$ અને $n_1 = 5$. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{5!0!2!} = 21$ છે.
$P$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $= 35 + 105 + 21 = 161$ થાય.

(A) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,ઘાતાંકો $\frac{n-r}{3}$ અને $\frac{r}{12}$ બંને પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $12$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી $r \in \{0, 12, 24, \dots, 12k\}$.
વધુમાં,$n-r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $r$ એ $12$ નો ગુણક હોવાથી,તે $3$ નો પણ ગુણક છે,જે સૂચવે છે કે $n$ પણ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
અહીં $183$ પૂર્ણાંક પદો છે,તેથી $r$ ની કિંમતો $0, 12, 24, \dots, 12 \times 182$ થશે.
$r$ ની મહત્તમ કિંમત $12 \times 182 = 2184$ છે.
$r \le n$ હોવાથી,$183$ પદો મેળવવા માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $n = 2184$ છે.

(B) ધારો કે $\frac{1}{\sqrt{x}} = \alpha$,જ્યાં $x > 0$.
સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$(9\alpha^2 - 9\alpha + 2)(2\alpha^2 - 7\alpha + 3) = 0$.
દ્વિઘાત પદોના અવયવ પાડતા:
$(3\alpha - 1)(3\alpha - 2)(2\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$.
આથી $\alpha$ ના મૂલ્યો $\alpha = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 3$ મળે છે.
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{x}}$ હોવાથી,$\sqrt{x} = \frac{1}{\alpha}$,તેથી $x = \frac{1}{\alpha^2}$.
દરેક $\alpha$ માટે $x$ ની કિંમત શોધતા:
$\alpha = \frac{1}{3}$ માટે,$x = 9$.
$\alpha = \frac{2}{3}$ માટે,$x = \frac{9}{4}$.
$\alpha = \frac{1}{2}$ માટે,$x = 4$.
$\alpha = 3$ માટે,$x = \frac{1}{9}$.
આ તમામ $x$ ની કિંમતો ધન છે અને $x > 0$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ છે.
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $A$ નો બીજો સ્તંભ $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ મળે છે. તેથી,$a_{12} = 0, a_{22} = 0, a_{32} = 1$.
$A \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ પરથી,બીજી હારનું સમીકરણ $4a_{21} + a_{22} + 3a_{23} = 1$ છે. $a_{22} = 0$ હોવાથી,$4a_{21} + 3a_{23} = 1$ (સમીકરણ $1$).
$A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ પરથી,બીજી હારનું સમીકરણ $2a_{21} + a_{22} + 2a_{23} = 0$ છે. $a_{22} = 0$ હોવાથી,$2a_{21} + 2a_{23} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a_{21} = -a_{23}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $4(-a_{23}) + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -4a_{23} + 3a_{23} = 1 \Rightarrow -a_{23} = 1 \Rightarrow a_{23} = -1$.

(B) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{p}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{q}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a_1} = (2, 1, -3)$,$\vec{p} = (1, 2, -3)$,$\vec{a_2} = (-1, -3, -5)$,અને $\vec{q} = (2, 4, -5)$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ છે.
આગળ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3, -4, -2)$.
ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = (-3, -4, -2) \cdot (2, -1, 0) = -6 + 4 + 0 = -2$.
તેથી,$d = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
લઘુત્તમ અંતરનો વર્ગ $d^2 = \frac{4}{5}$ થાય.
અહીં $m=4$ અને $n=5$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$m+n = 4+5 = 9$.

(A) ધારો કે $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x) \cos x \sin x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} dx$.
$I_2$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:
$I_2 = \frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$.
ધારો કે $t = \tan^2 x$,તેથી $dt = 2 \tan x \sec^2 x dx$,એટલે કે $\tan x \sec^2 x dx = \frac{dt}{2}$.
જ્યારે $x \to 0, t \to 0$ અને જ્યારે $x \to \frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$I_2 = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{dt/2}{t^2+1} = \frac{\pi}{8} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

(D) કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે અને $\vec{c} \perp \vec{b}$,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{c} = \lambda (\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(1) + (3)(-1) = 3 + 2 - 3 = 2$ ગણો.
આમ,$\vec{c} = \lambda (11 \vec{a} - 2 \vec{b}) = \lambda (11(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})) = \lambda (5\hat{i} + 20\hat{j} + 35\hat{k}) = 5\lambda (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 5$,તેથી $5\lambda (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}) = 5$.
$5\lambda (1 + 8 + 21) = 5 \implies 30\lambda = 1 \implies \lambda = \frac{1}{30}$.
તેથી,$\vec{c} = \frac{1}{6} (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
$|\vec{c}| = \frac{1}{6} \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \frac{1}{6} \sqrt{1 + 16 + 49} = \frac{\sqrt{66}}{6} = \sqrt{\frac{66}{36}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$.

(D) આપેલ છે કે $I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$.
આ બીટા વિધેય $B(m, n)$ ની વ્યાખ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I(m, n) = I(m+1, n) + I(m, n+1)$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$I(9, 14) + I(10, 13) = \int_0^1 x^{9-1}(1-x)^{14-1} dx + \int_0^1 x^{10-1}(1-x)^{13-1} dx$
$= \int_0^1 x^8(1-x)^{13} dx + \int_0^1 x^9(1-x)^{12} dx$
$= \int_0^1 x^8(1-x)^{12} [(1-x) + x] dx$
$= \int_0^1 x^8(1-x)^{12} (1) dx$
$= \int_0^1 x^{9-1}(1-x)^{13-1} dx$
$= I(9, 13)$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{2^{x+2} + 16}{2^{2x+1} + 2^{x+4} + 32} = \frac{2}{2^x + 4}$.
$f(4-x) = \frac{2^x}{2(2^x + 4)}$ મળે છે.
તેથી $f(x) + f(4-x) = \frac{1}{2}$.
કુલ $59$ પદો છે,જેમાં $29$ જોડીઓનો સરવાળો $\frac{1}{2}$ થાય છે અને મધ્યમ પદ $f(2) = \frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S = 29 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{59}{4}$.
માટે $8 \cdot S = 8 \cdot \frac{59}{4} = 118$.

(B) ધારો કે $M$ એ $B(1,2,3)$ માંથી રેખા $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{BM} = (3\lambda+6-1)\hat{i} + (2\lambda+7-2)\hat{j} + (-2\lambda+7-3)\hat{k} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda+5)\hat{j} + (-2\lambda+4)\hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{BM}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{BM} \cdot \vec{v} = 0$.
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0 \implies 17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{BM} = (3(-1)+5)\hat{i} + (2(-1)+5)\hat{j} + (-2(-1)+4)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
વેધ $BM$ ની લંબાઈ $= |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 = 21$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ છે.
તેને ગોઠવતા,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ મળે.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^2}y = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{x}{1+x^2}dx} = e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y\sqrt{1+x^2} = \int \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int 5x^2 dx = \frac{5x^3}{3} + C$.
$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0\sqrt{1+0} = \frac{5(0)^3}{3} + C$,તેથી $C=0$.
આમ,$y = \frac{5x^3}{3\sqrt{1+x^2}}$.
$x=\sqrt{3}$ માટે,$y(\sqrt{3}) = \frac{5(\sqrt{3})^3}{3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}} = \frac{5(3\sqrt{3})}{3\sqrt{4}} = \frac{15\sqrt{3}}{3(2)} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

(B) ધારો કે $P(S_5)$ એ બે પાસા પર $5$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના છે: $P(S_5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
ધારો કે $P(S_8)$ એ બે પાસા પર $8$ નો સરવાળો મેળવવાની સંભાવના છે: $P(S_8) = \frac{5}{36}$.
$A$ જીતે તેની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી દ્વારા મળે છે:
$P(A) = \frac{P(S_5)}{1 - (1 - P(S_5)) \cdot (1 - P(S_8))} = \frac{1/9}{1 - (8/9 \cdot 31/36)} = \frac{9}{19}$.

(C) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(t, t)$,$(t, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,$(0, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,અને $(0, t)$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ $t$ છે અને ઊંચાઈ $(9 - \frac{11}{3}t^2 - t)$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A(t) = t \cdot (9 - \frac{11}{3}t^2 - t) = 9t - t^2 - \frac{11}{3}t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dt} = 9 - 2t - 11t^2$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $11t^2 + 2t - 9 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $11t^2 + 11t - 9t - 9 = 0 \Rightarrow 11t(t + 1) - 9(t + 1) = 0 \Rightarrow (11t - 9)(t + 1) = 0$.
કારણ કે $x \geq 0$,તેથી $t = \frac{9}{11}$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A(\frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{11}{3} \cdot (\frac{9}{11})^2 - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{27}{11} - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{99 - 36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot \frac{63}{11} = \frac{567}{121}$ છે.

(C) આપેલ પ્રદેશ $x^2+4x+2 \leq y \leq |x+2|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $u = x+2$,તો $x = u-2$. પ્રદેશ $(u-2)^2 + 4(u-2) + 2 \leq y \leq |u|$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $u^2-2 \leq y \leq |u|$ થાય છે.
છેદબિંદુઓ માટે $u^2-2 = |u|$.
$u \geq 0$ માટે,$u^2-u-2 = 0 \Rightarrow (u-2)(u+1) = 0 \Rightarrow u = 2$.
$u < 0$ માટે,$u^2+u-2 = 0 \Rightarrow (u+2)(u-1) = 0 \Rightarrow u = -2$.
આમ,છેદબિંદુઓ $u = \pm 2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_{-2}^{2} (|u| - (u^2-2)) \, du$ છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{2} (u - u^2 + 2) \, du$ થશે.
$= 2 \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} + 2u \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( 6 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{18-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{20}{3}$.

(D) બિંદુ $(-1,2,1)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$
તેથી,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(2\lambda-1, 3\lambda+2, 4\lambda+1)$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{1}=\mu$
તેથી,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(3\mu-2, 2\mu+3, \mu+4)$ છે.
છેદબિંદુ $P$ માટે,યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$2\lambda-1 = 3\mu-2 \implies 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$3\lambda+2 = 2\mu+3 \implies 3\lambda - 2\mu = 1$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા:
$4\lambda - 6\mu = -2$
$9\lambda - 6\mu = 3$
બાદબાકી કરતા $5\lambda = 5$ મળે,તેથી $\lambda = 1$.
$(i)$ માં $\lambda = 1$ મૂકતા,$2(1) - 3\mu = -1 \implies 3\mu = 3 \implies \mu = 1$.
$z$-યામ માટે ચકાસણી: $4(1)+1 = 5$ અને $1+4 = 5$. બંને સમાન હોવાથી,છેદબિંદુ $P$ એ $(1, 5, 5)$ છે.
બિંદુ $Q(4, -5, 1)$ થી $P(1, 5, 5)$ નું અંતર:
$PQ = \sqrt{(4-1)^2 + (-5-5)^2 + (1-5)^2}$
$PQ = \sqrt{3^2 + (-10)^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{9 + 100 + 16} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 5 & \lambda & 3 \\ 100 & -47 & \mu \end{vmatrix} = 2(\lambda\mu + 141) + 1(5\mu - 300) + 1(-235 - 100\lambda) = 0$ ગણીએ.
સાદું રૂપ આપતા,$2\lambda\mu + 282 + 5\mu - 300 - 235 - 100\lambda = 0$,જે $2\lambda\mu + 5\mu - 100\lambda = 253$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
આગળ,આપણે $\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{vmatrix} = 0$ ગણીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(212\lambda + 564) + 1(1060 - 1200) + 4(-235 - 100\lambda) = 0$.
$424\lambda + 1128 - 140 - 940 - 400\lambda = 0$.
$24\lambda + 48 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(-2)\mu + 5\mu - 100(-2) = 253$.
$-4\mu + 5\mu + 200 = 253 \Rightarrow \mu = 53$.
છેલ્લે,$\mu - 2\lambda = 53 - 2(-2) = 53 + 4 = 57$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$.
$x=0$ મુકતા,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \frac{3}{2}$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$4(x+2) f(x) + 2(x+2)^2 f'(x) - 6(x+2) = 10(x+2) f(x)$.
$2(x+2)$ વડે ભાગતા:
$2 f(x) + (x+2) f'(x) - 3 = 5 f(x)$.
$(x+2) f'(x) - 3 f(x) = 3$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{df}{dx} - \frac{3}{x+2} f = \frac{3}{x+2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{3}{x+2} dx} = (x+2)^{-3}$.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx} [f(x) (x+2)^{-3}] = 3(x+2)^{-4}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x) (x+2)^{-3} = -(x+2)^{-3} + C$.
$f(x) = -1 + C(x+2)^3$.
$f(0) = \frac{3}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3}{2} = -1 + 8C \implies C = \frac{5}{16}$.
તેથી,$f(x) = \frac{5}{16}(x+2)^3 - 1$.
$f(2) = \frac{5}{16}(4)^3 - 1 = 20 - 1 = 19$.

(B) આપણને સમીકરણ $\sec^2(\tan^{-1} \alpha) + \operatorname{cosec}^2(\cot^{-1} \beta) = 36$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2(\tan^{-1} x) = 1 + x^2$ અને $\operatorname{cosec}^2(\cot^{-1} x) = 1 + x^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + \alpha^2) + (1 + \beta^2) = 36$
$\alpha^2 + \beta^2 = 34$.
આપણને $\alpha + \beta = 8$ પણ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha + \beta)^2 = 64
\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 64$.
$\alpha^2 + \beta^2 = 34$ મૂકતા:
$34 + 2\alpha\beta = 64
2\alpha\beta = 30
\alpha\beta = 15$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ શોધવા માટે:
$x^2 - 8x + 15 = 0
(x - 3)(x - 5) = 0$.
$\alpha \leq \beta$ હોવાથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = 5$ મળે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.

(D) આપેલ છે કે $X^{T}AX = 0$ તમામ $X$ માટે,તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોવો જોઈએ. ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $a+b=1$,$-a+c=4$,અને $-b-c=-5 \Rightarrow b+c=5$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a=-1, b=2, c=3$ મળે. તેથી $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$. $\det(A+I) = 1(1+9) + 1(1+6) + 2(-3+2) = 10+7-2 = 15$.
$2(A+I)$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $\det(2(A+I)) = 2^3 \det(A+I) = 8 \times 15 = 120$.
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\det(\operatorname{adj}(2(A+I))) = (120)^{3-1} = 120^2 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
આમ $\alpha=6, \beta=2, \gamma=2$. તેથી,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 36+4+4 = 44$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.
અંશ અને છેદને $2^x$ વડે ગુણતા,આપણને $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ મળે છે.
આને $f(x) = \frac{(2^{2x} + 1) - 2}{2^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{2^{2x} + 1}$ તરીકે લખી શકાય.
એક-એક ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(2^{2x} + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(2^{2x} + 1)^{-2} \cdot (2^{2x} \cdot \ln 2 \cdot 2) = \frac{4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln 2}{(2^{2x} + 1)^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે,આપણે વિસ્તાર મેળવીએ: જેમ $x \rightarrow -\infty$,$2^{2x} \rightarrow 0$,તેથી $f(x) \rightarrow 1 - \frac{2}{0+1} = -1$. જેમ $x \rightarrow \infty$,$2^{2x} \rightarrow \infty$,તેથી $f(x) \rightarrow 1 - 0 = 1$.
$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-1, 1)$ છે.
વિસ્તાર $(-1, 1)$ એ સહ-પ્રદેશ $(-\infty, \infty)$ જેટલો ન હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \cot ^{-1}\left\{\beta+\frac{1+\beta^2}{\alpha-\beta}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\gamma+\frac{1+\gamma^2}{\beta-\gamma}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\alpha+\frac{1+\alpha^2}{\gamma-\alpha}\right\}$ છે.
$\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(1/x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \tan^{-1}\left(\frac{\alpha-\beta}{1+\alpha\beta}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\beta-\gamma}{1+\beta\gamma}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma-\alpha}{1+\gamma\alpha}\right)$.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ સૂત્ર મુજબ:
$S = (\tan^{-1}\alpha - \tan^{-1}\beta) + (\tan^{-1}\beta - \tan^{-1}\gamma) + (\tan^{-1}\gamma - \tan^{-1}\alpha + \pi) = \pi$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x) = 3$.
બંને બાજુને $x^4$ વડે ભાગતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$\frac{x^2 f^{\prime}(x) - 2 x f(x)}{x^4} = \frac{3}{x^4}$
આ ભાગાકારના વિકલન તરીકે લખી શકાય:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x^2} \right) = 3 x^{-4}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\frac{f(x)}{x^2} = \int 3 x^{-4} dx = 3 \left( \frac{x^{-3}}{-3} \right) + C = -\frac{1}{x^3} + C$
$x^2$ વડે ગુણતા:
$f(x) = -\frac{1}{x} + C x^2$
$f(1) = 4$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ મૂકતા:
$4 = -\frac{1}{1} + C(1)^2 \Rightarrow 4 = -1 + C \Rightarrow C = 5$.
તેથી,$f(x) = 5x^2 - \frac{1}{x}$.
હવે,$2f(2)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} = 20 - 0.5 = 19.5$.
$2f(2) = 2 \times 19.5 = 39$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ તેના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$G = \frac{(4\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3\overrightarrow{r}) + (-5\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r}) + (2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r})}{3}$
$G = \frac{(4-5+2)\overrightarrow{p} + (1+1-1)\overrightarrow{q} + (-3+2+2)\overrightarrow{r}}{3} = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબકેન્દ્ર $(O)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ અને પરિકેન્દ્ર $(C)$ સમરેખ છે,અને મધ્યકેન્દ્ર એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$G = \frac{1 \cdot O + 2 \cdot C}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3G = O + 2C$.
આપેલ છે કે $O = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ અને $C = \alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$,તેથી:
$3 \left( \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3} \right) = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4} + 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\frac{3}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r} = \frac{3}{8}\overrightarrow{p} + \frac{3}{8}\overrightarrow{q} + \frac{3}{8}\overrightarrow{r}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = \frac{3}{8}, \beta = \frac{3}{8}, \gamma = \frac{3}{8}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta + 5\gamma = \frac{3}{8} + 2(\frac{3}{8}) + 5(\frac{3}{8}) = \frac{3 + 6 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

(C) વિધેય $f(x) = [x] + |x - 2|$ એ અંતરાલ $-2 < x < 3$ માટે આપેલ છે.
$1$. સાતત્ય: વિધેય $[x]$ એ અંતરાલ $(-2, 3)$ માં તમામ પૂર્ણાંકો $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ આગળ અસતત છે. વિધેય $|x - 2|$ દરેક જગ્યાએ સતત છે. તેથી,$f(x)$ એ $x = -1, 0, 1, 2$ આગળ અસતત છે. આમ,$m = 4$.
$2$. વિકલનીયતા: વિધેય $[x]$ એ તમામ પૂર્ણાંકો $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ આગળ વિકલનીય નથી. વિધેય $|x - 2|$ એ $x = 2$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી,$f(x)$ એ $x = -1, 0, 1, 2$ આગળ વિકલનીય નથી. આમ,$n = 4$.
$3$. ગણતરી: $m + n = 4 + 4 = 8$.

(D) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે નિશ્ચાયક $D = 0$ અને $D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવું જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{vmatrix} = 1(\lambda\mu - 15) - 2(2\mu - 70) - 3(6 - 14\lambda) = 0$
$\lambda\mu - 15 - 4\mu + 140 - 18 + 42\lambda = 0 \Rightarrow \lambda\mu + 42\lambda - 4\mu + 107 = 0$.
હવે,$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & 33 \end{vmatrix} = 1(33\lambda - 15) - 2(66 - 70) + 2(6 - 14\lambda) = 0$
$33\lambda - 15 + 8 + 12 - 28\lambda = 0 \Rightarrow 5\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $D = 0$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-1)\mu + 42(-1) - 4\mu + 107 = 0 \Rightarrow -5\mu + 65 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
આમ,$\lambda + \mu = -1 + 13 = 12$.

(B) $f(x)$ એ $(2, 3)$ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય હોવા માટે,$x \in (2, 3)$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + a \geq 0$.
કારણ કે $f''(x) = -\frac{2}{(x-2)^2} - 2 < 0$,તેથી $f'(x)$ એ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
આમ,$(2, 3)$ પર $f'(x) \geq 0$ નો અર્થ છે કે $f'(3) \geq 0$.
$f'(3) = \frac{2}{3-2} - 2(3) + a = 2 - 6 + a = a - 4 \geq 0$,તેથી $a \geq 4$. ન્યૂનતમ કિંમત $a = 4$ છે.
હવે,$g(x) = (x-1)^3(x+2-4)^2 = (x-1)^3(x-2)^2$.
$g'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2) = (x-1)^2(x-2)[3(x-2) + 2(x-1)]$.
$g'(x) = (x-1)^2(x-2)(3x - 6 + 2x - 2) = (x-1)^2(x-2)(5x - 8)$.
$g(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$g'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $x \neq 1$ માટે $(x-1)^2 > 0$,તેથી $(x-2)(5x-8) < 0$ હોવું જોઈએ.
બીજ $x = 8/5$ અને $x = 2$ છે. અંતરાલ $(8/5, 2)$ છે.
આમ,$b = 8/5$ અને $c = 2$.
$100(a + b - c) = 100(4 + 8/5 - 2) = 100(2 + 1.6) = 100(3.6) = 360$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
પ્રથમ,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times(\hat{i}-2\hat{k})$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2\end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(-6-2) + \hat{k}(0-(-1)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+\hat{k}$.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times\hat{k}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{c}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = \hat{i}(8-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-0) = 8\hat{i}-2\hat{j}$.
હવે,$\overrightarrow{c}-2\hat{j} = (8\hat{i}-2\hat{j}) - 2\hat{j} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ શોધો.
કોઈ સદિશ $\overrightarrow{v}$ નો $\overrightarrow{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{v} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ અને $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$.
પ્રક્ષેપ $= \frac{(8\hat{i}-4\hat{j}) \cdot (3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})}{\sqrt{14}} = \frac{(8)(3) + (-4)(-1) + (0)(2)}{\sqrt{14}} = \frac{24+4}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$. ધારો કે $k = \frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$.
તેથી $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+1 & 1 & b \\ a & 2 & b \\ a & 1 & b+1 \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (a+1)[2(b+1) - b] - 1[a(b+1) - ab] + b[a - 2a]$
$= (a+1)(b+2) - a - ab$
$= ab + 2a + b + 2 - a - ab$
$= a + b + 2$.
$\lambda + \mu a + \nu b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 2, \mu = 1, \nu = 1$ મળે છે.
તેથી,$(\lambda + \mu + \nu)^2 = (2 + 1 + 1)^2 = 4^2 = 16$.

(D) વક્રો $y=e^x$ અને $y=|e^x-1|$ છે.
$x < 0$ માટે,$e^x < 1$,તેથી $|e^x-1| = 1-e^x$.
વક્રો જ્યારે $e^x = 1-e^x$ હોય ત્યારે છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $2e^x = 1$,અથવા $e^x = 1/2$,તેથી $x = \ln(1/2) = -\ln 2$.
ક્ષેત્રફળ $x = -\ln 2$ થી $x = 0$ સુધી વક્રો $y=e^x$ અને $y=1-e^x$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-\ln 2}^{0} [e^x - (1-e^x)] \, dx$
$= \int_{-\ln 2}^{0} (2e^x - 1) \, dx$
$= [2e^x - x]_{-\ln 2}^{0}$
$= (2e^0 - 0) - (2e^{-\ln 2} - (-\ln 2))$
$= (2 - 0) - (2(1/2) + \ln 2)$
$= 2 - (1 + \ln 2)$
$= 1 - \ln 2$.

(D) $2$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માં $4$ ઘટકો છે,જે દરેક $0$ અથવા $1$ છે. આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
શ્રેણિક વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક $\det(A) = ad - bc \neq 0$ હોય.
$\det(A) = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $ad = bc$ હોય.
કિસ્સો $1$: $ad = 0$ અને $bc = 0$. આ ત્યારે થાય જ્યારે $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ અને $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ હોય. આવા $3 \times 3 = 9$ શ્રેણિકો છે.
કિસ્સો $2$: $ad = 1$ અને $bc = 1$. આ ત્યારે થાય જ્યારે $(a,d) = (1,1)$ અને $(b,c) = (1,1)$ હોય. આવો $1 \times 1 = 1$ શ્રેણિક છે.
કુલ અ-વ્યસ્ત શ્રેણિકો = $9 + 1 = 10$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકોની સંખ્યા = $16 - 10 = 6$.
સંભાવના $P(E) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(A) આપણે એવા વિધેયો $f: \{1, 2, \ldots, 100\} \rightarrow \{0, 1\}$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં ગણ $\{1, 2, \ldots, 98\}$ માંથી બરાબર એક ઘટક $1$ પર મેપ થાય.
$1$. પ્રથમ,આપણે ગણ $\{1, 2, \ldots, 98\}$ માંથી બરાબર એક ઘટક પસંદ કરીએ છીએ જેને $1$ પર મેપ કરવાનો છે. આ કરવા માટે $\binom{98}{1} = 98$ રીતો છે.
$2$. ગણ $\{1, 2, \ldots, 98\}$ ના બાકીના $97$ ઘટકોને $0$ પર મેપ કરવાના રહેશે. આ માટે માત્ર $1$ રીત છે.
$3$. ઘટક $99$ ને $0$ અથવા $1$ પર મેપ કરી શકાય છે. આ માટે $2$ વિકલ્પો છે.
$4$. ઘટક $100$ ને $0$ અથવા $1$ પર મેપ કરી શકાય છે. આ માટે $2$ વિકલ્પો છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $98 \times 1 \times 2 \times 2 = 392$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4} = \lambda$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$ છે.
$R(5, p, q)$ એ $L$ પર હોવાથી,$2\lambda+1 = 5 \implies \lambda = 2$. તેથી,$R = (5, 5, 8)$.
ધારો કે $T$ એ $Q(7, -2, 5)$ માંથી રેખા $L$ પરનો લંબપાદ છે. ધારો કે $T = (2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$.
સદિશ $\vec{QT} = (2\lambda+1-7, 3\lambda-1+2, 4\lambda-5) = (2\lambda-6, 3\lambda+1, 4\lambda-5)$.
$\vec{QT}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{b} = (2, 3, 4)$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{QT} \cdot \vec{b} = 0$.
$2(2\lambda-6) + 3(3\lambda+1) + 4(4\lambda-5) = 0 \implies 4\lambda - 12 + 9\lambda + 3 + 16\lambda - 20 = 0 \implies 29\lambda = 29 \implies \lambda = 1$.
તેથી,$T = (3, 2, 4)$.
$P$ એ $Q$ નું $L$ માં પ્રતિબિંબ હોવાથી,$T$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QT = TP$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times RT \times (QT + TP) = \frac{1}{2} \times RT \times (2QT) = RT \times QT$.
$QT = \sqrt{(3-7)^2 + (2+2)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+16+1} = \sqrt{33}$.
$RT = \sqrt{(5-3)^2 + (5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{33} \times \sqrt{29} = \sqrt{957}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\sqrt{957})^2 = 957$ થાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$.
$2 \cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} - \frac{4y \sin x}{2 \cos x} = \sin x - 2y \tan x$.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{d y}{d x} + 2y \tan x = \sin x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$.
$I.F.$ વડે ગુણતા: $y \sec^2 x = \int \sin x \sec^2 x \, dx = \int \tan x \sec x \, dx = \sec x + C$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા: $0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$.
તેથી,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $y = \cos x - 2 \cos^2 x$ થાય.
હવે,$y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - 2 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$.
આગળ,$y^{\prime}(x) = -\sin x - 4 \cos x(-\sin x) = -\sin x + 4 \sin x \cos x = -\sin x + 2 \sin 2x$.
$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2$.
છેલ્લે,$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) + y(\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} + 2) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1$.

(A) ધારો કે $2 x^2+5 x+9 = A(x^2+x+1) + B(2x+1) + D$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A=2$,$A+2B=5 \implies 2+2B=5 \implies B=\frac{3}{2}$,અને $A+B+D=9 \implies 2+\frac{3}{2}+D=9 \implies D=\frac{11}{2}$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \frac{2(x^2+x+1) + \frac{3}{2}(2x+1) + \frac{11}{2}}{\sqrt{x^2+x+1}} dx = 2\int \sqrt{x^2+x+1} dx + \frac{3}{2}\int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx + \frac{11}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}$.
સૂત્ર $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2[\frac{x+1/2}{2}\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3/4}{2}\ln|x+1/2+\sqrt{x^2+x+1}|] + 3\sqrt{x^2+x+1} + \frac{11}{2}\ln|x+1/2+\sqrt{x^2+x+1}| + C$.
$= (x+\frac{1}{2})\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3}{4}\ln|...| + 3\sqrt{x^2+x+1} + \frac{11}{2}\ln|...| + C$.
$= x\sqrt{x^2+x+1} + (\frac{1}{2}+3)\sqrt{x^2+x+1} + (\frac{3}{4}+\frac{11}{2})\ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}| + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા: $\alpha = \frac{7}{2}$ અને $\beta = \frac{3}{4} + \frac{22}{4} = \frac{25}{4}$.
$\alpha + 2\beta = \frac{7}{2} + 2(\frac{25}{4}) = \frac{7}{2} + \frac{25}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$.
$f(1-x) = \frac{2^{1-x}}{2^{1-x} + \sqrt{2}} = \frac{2/2^x}{2/2^x + \sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2^x}$ મેળવીએ.
આમ,$f(x) + f(1-x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = \frac{2^x + \sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = 1$.
આપણે $S = \sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{1}{82}\right) + f\left(\frac{2}{82}\right) + \dots + f\left(\frac{81}{82}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદોની જોડી બનાવતા $f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(1 - \frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(\frac{82-k}{82}\right) = 1$.
અહીં $40$ જોડીઓ છે ($k=1$ થી $40$ માટે) અને વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{41}{82}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2^{1/2}}{2^{1/2} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = 40 \times 1 + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$.

(NONE) આપેલ છે $f(x) = (3a+2)x^2 + \left(\frac{a+2}{a-1}\right)x + b$.
$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$ માં $x=y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = 2f(0) + 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $f(0) = -1$.
$f(0) = b$ હોવાથી,$b = -1$.
હવે,$f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 - \frac{2}{7}xy$.
$f(x+y) = A(x+y)^2 + B(x+y) + C$ ના વિસ્તરણમાં $xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$2A = -\frac{2}{7}$,તેથી $A = -\frac{1}{7}$.
$A = 3a+2$ હોવાથી,$3a+2 = -\frac{1}{7} \Rightarrow 3a = -\frac{15}{7} \Rightarrow a = -\frac{5}{7}$.
હવે,$B = \frac{a+2}{a-1} = \frac{-5/7 + 2}{-5/7 - 1} = -\frac{3}{4}$.
આમ,$f(x) = -\frac{1}{7}x^2 - \frac{3}{4}x - 1$.
આપણે $28 \sum_{i=1}^3 |f(i)|$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$f(1) = -\frac{53}{28}$,$f(2) = -\frac{86}{28}$,$f(3) = -\frac{127}{28}$.
$28 \sum_{i=1}^3 |f(i)| = 28 \left( \frac{53}{28} + \frac{86}{28} + \frac{127}{28} \right) = 53 + 86 + 127 = 266$.

(C) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z} \text{ અને } x + y \text{ યુગ્મ છે} \}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in \mathbb{Z}$ માટે,$x + x = 2x$,જે હંમેશા યુગ્મ પૂર્ણાંક છે. તેથી,દરેક $x \in \mathbb{Z}$ માટે $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $x + y$ યુગ્મ છે. $x + y = y + x$ હોવાથી,$y + x$ પણ યુગ્મ થાય. તેથી,$(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $x + y$ યુગ્મ છે અને $y + z$ યુગ્મ છે. બે યુગ્મ સંખ્યાઓનો સરવાળો યુગ્મ હોય છે,તેથી $(x + y) + (y + z) = x + z + 2y$ યુગ્મ થાય. $2y$ યુગ્મ હોવાથી,$x + z$ પણ યુગ્મ થાય. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) ધારો કે $x = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,$y = \sin^{-1} \frac{5}{13}$,અને $z = \sin^{-1} \frac{33}{65}$ છે.
$\tan^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x = \tan^{-1} \frac{3}{4}$,$y = \tan^{-1} \frac{5}{12}$,અને $z = \tan^{-1} \frac{33}{56}$ મળે.
હવે,$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{14/12}{33/48} \right) = \tan^{-1} \frac{56}{33}$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \tan^{-1} \frac{33}{56} \right)$ બને છે.
$\tan^{-1} \frac{33}{56} = \cot^{-1} \frac{56}{33}$ હોવાથી,$\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \cot^{-1} \frac{56}{33} \right)$ મળે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(2\lambda+1, \lambda+2, 3\lambda+1)$ છે.
ધારો કે $P = (4,4,3)$. સદિશ $\vec{PQ} = (2\lambda+1-4, \lambda+2-4, 3\lambda+1-3) = (2\lambda-3, \lambda-2, 3\lambda-2)$ છે.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 1, 3)$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$ થાય.
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda-2) + 3(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda - 6 + \lambda - 2 + 9\lambda - 6 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,લંબપાદ $Q$ એ $(2(1)+1, 1+2, 3(1)+1) = (3, 3, 4)$ છે.
ધારો કે $P$ નું પ્રતિબિંબ $R(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. $Q$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha+4}{2} = 3 \Rightarrow \alpha = 2$.
$\frac{\beta+4}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 2$.
$\frac{\gamma+3}{2} = 4 \Rightarrow \gamma = 5$.
તેથી,પ્રતિબિંબ $(2, 2, 5)$ છે.
માટે,$\alpha+\beta+\gamma = 2+2+5 = 9$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^{-x}} dx$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 96 x^2 \cos^2 x \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} \right) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 96 x^2 \cos^2 x dx$.
$x^2 \cos^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 96 x^2 \cos^2 x dx = 48 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 (1 + \cos 2x) dx$.
$I = 48 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + 48 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos 2x dx$.
$I = 48 \left( \frac{\pi^3}{24} \right) + 48 \left[ x^2 \frac{\sin 2x}{2} - \int 2x \frac{\sin 2x}{2} dx \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = 2\pi^3 + 48 \left[ 0 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x dx \right] = 2\pi^3 - 48 \left[ x \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) - \int -\frac{\cos 2x}{2} dx \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = 2\pi^3 - 48 \left[ -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2\pi^3 - 48 \left[ -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{(-1)}{2} - 0 \right] = 2\pi^3 - 12\pi = \pi(2\pi^2 - 12)$.
$\pi(\alpha \pi^2 + \beta)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 2, \beta = -12$ મળે છે.
તેથી,$(\alpha + \beta)^2 = (2 - 12)^2 = (-10)^2 = 100$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(7+2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x-4)(x-5), & x > 2 \end{cases}$ છે.
$-1 \leq x \leq 2$ માટે,$f(x) = \frac{1}{3}(7+2|x|)$. આ વિધેય $x=0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે,જે $f(0) = \frac{7}{3}$ છે.
$x > 2$ માટે,$f(x) = \frac{11}{18}(x-4)(x-5) = \frac{11}{18}(x^2 - 9x + 20)$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પરવલયનું શિરોબિંદુ શોધીએ: $f'(x) = \frac{11}{18}(2x - 9) = 0 \implies x = \frac{9}{2} = 4.5$.
$x = 4.5$ આગળ કિંમત $f(4.5) = \frac{11}{18}(4.5-4)(4.5-5) = \frac{11}{18}(0.5)(-0.5) = \frac{11}{18} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{11}{72}$ છે.
આમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમતો $\frac{7}{3}$ અને $-\frac{11}{72}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{7}{3} - \frac{11}{72} = \frac{168 - 11}{72} = \frac{157}{72}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{x} t f(t) dt = x^2 f(x)$ જ્યાં $x > 0$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x f(x) = x^2 f'(x) + 2x f(x)$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 f'(x) = x f(x) - 2x f(x) = -x f(x)$.
$x > 0$ હોવાથી,$x^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|f(x)| = -\ln|x| + C = \ln|\frac{k}{x}|$,જ્યાં $C = \ln|k|$.
તેથી,$f(x) = \frac{k}{x}$.
આપેલ છે કે $f(2) = 3$,તેથી $3 = \frac{k}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 6$.
આમ,$f(x) = \frac{6}{x}$.
અંતે,$f(6) = \frac{6}{6} = 1$.

(A) કુલ નારંગીની સંખ્યા = $10$. ખામીયુક્ત નારંગીની સંખ્યા = $3$. સારી નારંગીની સંખ્યા = $7$. બે નારંગી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $x$ એ ખામીયુક્ત નારંગીની સંખ્યા છે. $x$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, 1, 2$ છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x_i$	$P(x_i)$
$0$	$\frac{^7C_2}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$
$1$	$\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{^{10}C_2} = \frac{21}{45} = \frac{42}{90}$
$2$	$\frac{^3C_2}{^{10}C_2} = \frac{3}{45} = \frac{6}{90}$

મધ્યક $\mu = E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{42}{90} + 1 \times \frac{42}{90} + 2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 12}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} = 0.6$.
હવે,$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{42}{90} + 1^2 \times \frac{42}{90} + 2^2 \times \frac{6}{90} = \frac{42 + 24}{90} = \frac{66}{90} = \frac{11}{15}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55 - 27}{75} = \frac{28}{75}$.

(B) આ પ્રદેશ $x \in [-3, 3]$ માટે $0 \leq y \leq \min(2|x|+1, x^2+1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_0^3 \min(2x+1, x^2+1) dx$ થશે.
પ્રથમ,$x > 0$ માટે $y = 2x+1$ અને $y = x^2+1$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$x^2+1 = 2x+1 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$.
તેથી,વક્રો $x = 0$ અને $x = 2$ પર છેદે છે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$x^2+1 \leq 2x+1$,તેથી $\min(2x+1, x^2+1) = x^2+1$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$2x+1 \leq x^2+1$,તેથી $\min(2x+1, x^2+1) = 2x+1$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2 \left[ \int_0^2 (x^2+1) dx + \int_2^3 (2x+1) dx \right]$ છે.
$= 2 \left[ \left( \frac{x^3}{3} + x \right)_0^2 + \left( x^2 + x \right)_2^3 \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{8}{3} + 2 \right) + ((9+3) - (4+2)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{14}{3} + 6 \right] = 2 \left[ \frac{32}{3} \right] = \frac{64}{3}$.

(A) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,$S_1$ (સંમિત શ્રેણિકો) માં ઘટકોની સંખ્યા સ્વતંત્ર ઘટકો $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ દ્વારા નક્કી થાય છે. દરેક $5$ કિંમતો લઈ શકે છે,તેથી $n(S_1) = 5^6 = 15625$.
$S_2$ (વિસંમિત શ્રેણિકો) માટે,બધા $i$ માટે $a_{ii}=0$. કારણ કે $0 \notin S$,તેથી $n(S_2) = 0$.
$S_3$ માટે,શરત $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ છે. $S$ માંથી $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$ પસંદ કરવાની રીતો જેમનો સરવાળો $0$ થાય: $(1, 2, -3)$ ના $3! = 6$ ક્રમચયો,$(1, 1, -2)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(-1, -1, 2)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ રીતો = $6+3+3 = 12$. અન્ય $6$ ઘટકો $5$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે,તેથી $n(S_3) = 12 \times 5^6$.
$n(S_1 \cap S_3)$ માટે $A=A^T$ અને $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ જરૂરી છે. વિકર્ણ ઘટકોએ સરવાળાની શરત ($12$ રીતો) સંતોષવી પડે અને બાકીના $3$ ઘટકો $5$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. તેથી $n(S_1 \cap S_3) = 12 \times 5^3$.
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = n(S_1) + n(S_2) + n(S_3) - n(S_1 \cap S_2) - n(S_2 \cap S_3) - n(S_1 \cap S_3) + n(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$.
$S_2$ ખાલી હોવાથી,$S_2$ સાથેના તમામ છેદ $0$ છે.
$n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = 5^6 + 0 + 12 \times 5^6 - 0 - 0 - 12 \times 5^3 + 0 = 13 \times 5^6 - 12 \times 5^3 = 5^3(13 \times 5^3 - 12) = 125(1625 - 12) = 125(1613)$.
તેથી,$\alpha = 1613$.

(C) આપેલ છે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}+\hat{j}$.
$|\vec{d}| = \sqrt{2}$.
$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8 \implies |\vec{c}|^2 + 4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$.
$|\vec{a}|^2 = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}| = x$ લેતા,$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies |\vec{c}| = 2$.
$\vec{d}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$|\vec{d} \times \vec{c}| = |\vec{d}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 2$.
તેથી,$|\vec{d} \times \vec{c}|^2 = 4$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4$.
$|2\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4 \implies 3(\vec{b} \cdot \vec{c})^2 - 20(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 32 = 0$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 4$ અથવા $\frac{8}{3}$ મળે.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{8}{3}$ લેતા,$|10 - 3(\frac{8}{3})| + 4 = 2+4 = 6$.

(D) $0 \leq x \leq 2$ માટે,આપણે $f(x) = \min \{1+x+[x], x+2[x]\}$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
કિસ્સો $1$: $0 \leq x < 1$,ત્યારે $[x] = 0$. તેથી,$f(x) = \min \{1+x, x\} = x$.
કિસ્સો $2$: $1 \leq x < 2$,ત્યારે $[x] = 1$. તેથી,$f(x) = \min \{1+x+1, x+2(1)\} = \min \{x+2, x+2\} = x+2$.
કિસ્સો $3$: $x = 2$ પર,$[x] = 2$. તેથી,$f(2) = \min \{1+2+2, 2+2(2)\} = \min \{5, 6\} = 5$.
આમ,વિધેય નીચે મુજબ છે:
$f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ x+2, & 1 \leq x < 2 \\ 5, & x \geq 2 \end{cases}$
સાતત્ય ચકાસતા:
$x=0$ પર: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$,$f(0) = 0$. સતત છે.
$x=1$ પર: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$. અસતત છે.
$x=2$ પર: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$. અસતત છે.
તેથી,$\alpha = 2$ (બિંદુઓ $x=1, 2$ છે).
વિકલનીયતા ચકાસતા:
$x=0$ પર: $f'(0^-) = 3$,$f'(0^+) = 1$. વિકલનીય નથી.
$x=1$ પર: અસતત હોવાથી,વિકલનીય નથી.
$x=2$ પર: અસતત હોવાથી,વિકલનીય નથી.
તેથી,$\beta = 3$ (બિંદુઓ $x=0, 1, 2$ છે).
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 3 = 5$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $B_1, B_2, B_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ છે.
દરેક થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(A|E_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$P(A|E_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો સફેદ હોય તો તે થેલી $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{6 + 4 + 5} = \frac{4}{15}$

(D) ધારો કે $\vec{a}_{\parallel}$ એ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક છે અને $\vec{a}_{\perp}$ એ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ને લંબ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $\vec{a}_{\parallel} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ અને $\vec{a}_{\perp} = \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp}$,તેથી:
$\vec{a} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$
$\vec{a} = \frac{48-4}{11} \hat{i} + \frac{16-5}{11} \hat{j} + \frac{-16-17}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = \frac{44}{11} \hat{i} + \frac{11}{11} \hat{j} - \frac{33}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$
$\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$,$\beta = 1$,અને $\gamma = -3$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (4)^2 + (1)^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.

(D) આપેલ છે કે $g(x^3) = x^6 + x^7$. ધારો કે $u = x^3$,તેથી $x = u^{1/3}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $g(u) = (u^{1/3})^6 + (u^{1/3})^7 = u^2 + u^{7/3}$ મળે છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$g'(x) = x f(x)$,તેથી $f(x) = \frac{g'(x)}{x}$.
$g(x) = x^2 + x^{7/3}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$g'(x) = 2x + \frac{7}{3}x^{4/3}$ મળે છે.
આમ,$f(x) = \frac{2x + \frac{7}{3}x^{4/3}}{x} = 2 + \frac{7}{3}x^{1/3}$.
હવે,$f(r^3) = 2 + \frac{7}{3}(r^3)^{1/3} = 2 + \frac{7}{3}r$.
આપણે $\sum_{r=1}^{15} f(r^3) = \sum_{r=1}^{15} (2 + \frac{7}{3}r) = \sum_{r=1}^{15} 2 + \frac{7}{3} \sum_{r=1}^{15} r$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= (2 \times 15) + \frac{7}{3} \times \frac{15 \times 16}{2} = 30 + \frac{7}{3} \times 120 = 30 + 7 \times 40 = 30 + 280 = 310$.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P\left(\frac{15}{7}, \frac{32}{7}, 7\right)$ છે અને રેખા $L$ એ $\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{5}=\frac{z+5}{7} = k$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3k-1, 5k-3, 7k-5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = \left(3k-1-\frac{15}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-3-\frac{32}{7}\right)\hat{j} + (7k-5-7)\hat{k} = \left(3k-\frac{22}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-\frac{53}{7}\right)\hat{j} + (7k-12)\hat{k}$ થાય.
રેખા $PQ$ એ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{PQ}$ ના ઘટકો $\vec{v}$ ના ઘટકોના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{3k-\frac{22}{7}}{1} = \frac{5k-\frac{53}{7}}{4} = \frac{7k-12}{7} = \lambda$.
$\frac{7k-12}{7} = \lambda$ પરથી,$7k-12 = 7\lambda \Rightarrow k = \lambda + \frac{12}{7}$ મળે.
$k$ ની કિંમત પ્રથમ સમાનતામાં મૂકતા: $3(\lambda + \frac{12}{7}) - \frac{22}{7} = \lambda \Rightarrow 3\lambda + \frac{36-22}{7} = \lambda \Rightarrow 2\lambda = -2 \Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,$k = -1 + \frac{12}{7} = \frac{5}{7}$.
બિંદુ $Q$ એ $Q(3(\frac{5}{7})-1, 5(\frac{5}{7})-3, 7(\frac{5}{7})-5) = Q(\frac{8}{7}, \frac{4}{7}, 0)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{15}{7}-\frac{8}{7})^2 + (\frac{32}{7}-\frac{4}{7})^2 + (7-0)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \sqrt{1+16+49} = \sqrt{66}$ થાય.
તેથી,અંતરનો વર્ગ $(PQ)^2 = 66$ થાય.

(C) આપેલ વક્રો $x(1+y^2)=1$ અને $y^2=2x$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x = \frac{y^2}{2}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{y^2}{2}(1+y^2) = 1 \Rightarrow y^2 + y^4 = 2 \Rightarrow y^4 + y^2 - 2 = 0$.
ધારો કે $y^2 = t$,તો $t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$.
કારણ કે $y^2 = t \ge 0$,તેથી $t = 1$,એટલે કે $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
$y = \pm 1$ માટે,$x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+y^2} - \frac{y^2}{2} \right) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \tan^{-1}(y) - \frac{y^3}{6} \right]_{-1}^{1}$.
$= \left( \tan^{-1}(1) - \frac{1}{6} \right) - \left( \tan^{-1}(-1) - \frac{(-1)^3}{6} \right)$.
$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} \right)$.
$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $P = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે,તેથી $P^T P = I$ અને $P^T = P^{-1}$.
આપેલ છે કે $B = P A P^T$.
તેથી $C = P^T B^{10} P = P^T (P A P^T)^{10} P = P^T (P A^{10} P^T) P = (P^T P) A^{10} (P^T P) = I A^{10} I = A^{10}$.
આમ,$C$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $A^{10}$ નો ટ્રેસ (trace) છે.
$A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$ માટે,$A^n = \begin{bmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}d + \dots + d^{n-1}) \\ 0 & d^n \end{bmatrix}$.
$A^{10}$ ના વિકર્ણ ઘટકો $a^{10}$ અને $d^{10}$ છે.
અહીં $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $d = 1$.
ટ્રેસ$(A^{10}) = a^{10} + d^{10} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} + 1^{10} = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$.
આપેલ છે કે $\frac{m}{n} = \frac{33}{32}$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(33, 32) = 1$,તેથી $m = 33$ અને $n = 32$.
તેથી,$m + n = 33 + 32 = 65$.