ધારો કે f(x) એક વાસ્તવિક વિકલનીય વિધેય છે જેથ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1=2f'(0)$,તેથી $f'(0)=\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$2525$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1=2f'(0)$,તેથી $f'(0)=\frac{1}{2}$.મૂળ સમીકરણમાં $y=0$ લેતા,આપણને $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ મળે છે.$f(0)=1$ અને $f'(0)=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ થાય છે.આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ મળે છે.$f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1)=0+C$,તેથી $C=0$.આમ,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)=e^{x/2}$.હવે,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} 	imes \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

Similar Questions

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ નું પાલન કરે છે. તો $f(\ln 5)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x y + 2^y \cdot 2^x}{2^x + 2^{x+y} \log_e 2}$ અને $y(0) = 0$ હોય,તો $y = 1$ માટે $x$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?

વિકલ સમીકરણ $y dx + (1 + x^2) \tan^{-1} x dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જે વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy}{x^2 + 1}$ નું સમાધાન કરે છે,તેનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y\,dx + (x + x^2y)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module