JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે ($r > 1$ કારણ કે પદો વધતા ક્રમમાં છે).
$a_3 a_5 = (ar^2)(ar^4) = a^2 r^6 = 729 \Rightarrow ar^3 = 27 \dots (i)$
$a_2 + a_4 = ar + ar^3 = \frac{111}{4} \dots (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$ar + 27 = \frac{111}{4} \Rightarrow ar = \frac{111}{4} - 27 = \frac{111 - 108}{4} = \frac{3}{4} \dots (iii)$
$(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^3}{ar} = \frac{27}{3/4}$ $\Rightarrow r^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$ $\Rightarrow r = 6$ (કારણ કે પદો ધન છે).
$(iii)$ પરથી,$a(6) = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
હવે,$24(a_1 + a_2 + a_3) = 24(a + ar + ar^2) = 24a(1 + r + r^2)$.
$= 24 \times \frac{1}{8} (1 + 6 + 36) = 3(43) = 129$.

(D) આપેલ પરવલયો રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ પરના સ્પર્શકો રેખા $y = x$ ને સમાંતર હોવા જોઈએ,તેથી સ્પર્શકોનો ઢાળ $1$ છે.
પરવલય $y = x^2 + 2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x = 1$,જે $x = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$x = \frac{1}{2}$ ને $y = x^2 + 2$ માં મૂકતા,આપણને $y = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $B = (\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$. સંમિતિ દ્વારા,બિંદુ $A = (\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$.
અંતર $AB = \sqrt{(\frac{9}{4} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - \frac{9}{4})^2} = \sqrt{(\frac{7}{4})^2 + (-\frac{7}{4})^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{98}{16}} = \frac{7 \sqrt{2}}{4}$.
સૌથી નાના વર્તુળનો વ્યાસ એ અંતર $AB$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{AB}{2} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$.

(A) ધારો કે $P(W_{1}) = x$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $5! = 120$ હોવાથી,સંભાવનાઓનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{120} P(W_{i}) = 1$ થાય.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $x + 2x + 2^{2}x + \dots + 2^{119}x = 1$.
$\frac{x(2^{120}-1)}{2-1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2^{120}-1}$.
હવે,$CDBEA$ શબ્દનો ક્રમ શોધીએ:
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$B$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$CA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$CB$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$CDA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
$CDBAE$: $1$.
$CDBEA$: $1$.
કુલ ક્રમ $n = 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 + 1 = 64$.
આમ,$P(W_{64}) = 2^{63} P(W_{1}) = \frac{2^{63}}{2^{120}-1}$.
$\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 63$ અને $\beta = 120$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 63 + 120 = 183$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $PS_1 \cdot PS_2 = b^2 + \frac{b^2}{a^2}x_1^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $PS_1 \cdot PS_2 = 32$ અને $P(4, 2\sqrt{3})$,તેથી $b^2 + \frac{b^2}{a^2}(16) = 32 \Rightarrow b^2(\frac{a^2+16}{a^2}) = 32$.
બિંદુ $P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = \frac{12a^2}{16-a^2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$a^2 = 8$ અને $b^2 = 12$ મળે છે.
$p = 2b = 4\sqrt{3} \Rightarrow p^2 = 48$.
$q = \frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2} \Rightarrow q^2 = 72$.
$p^2 + q^2 = 48 + 72 = 120$.

(D) $7$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 9,000,000$ છે.
કોઈપણ $7$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7$ માટે,પ્રથમ $6$ અંકોનો સરવાળો $S$ બેકી અથવા એકી હોઈ શકે છે.
જો $S$ બેકી હોય,તો $d_7$ બેકી $(0, 2, 4, 6, 8)$ હોવો જોઈએ ($5$ વિકલ્પો).
જો $S$ એકી હોય,તો $d_7$ એકી $(1, 3, 5, 7, 9)$ હોવો જોઈએ ($5$ વિકલ્પો).
આમ,અંકોનો સરવાળો બેકી હોય તેવી $7$ અંકની સંખ્યાઓ $= \frac{9,000,000}{2} = 4,500,000$ છે.
આ કિંમત $m \cdot n \cdot 10^n = 9 \cdot 5 \cdot 10^5$ સ્વરૂપે છે.
તેથી $m=9$ અને $n=5$ મળે છે.
આમ,$m+n = 9+5 = 14$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(4,6), B(-1,5), C(0,0)$ અને $D(k, 3k)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{5-6}{-1-4} = \frac{1}{5}$ અને $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{5-0}{-1-0} = -5$ છે.
$m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ હોવાથી,$\angle ABC = 90^\circ$ થાય.
તેથી,$AC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે. વ્યાસ $AC$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-4)(x-0) + (y-6)(y-0) = 0$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ છે.
બિંદુ $D(k, 3k)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$k^2 + (3k)^2 - 4k - 6(3k) = 0$.
$10k^2 - 22k = 0 \implies k = \frac{11}{5}$ (કારણ કે $k \neq 0$).
વર્તુળનું કેન્દ્ર $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(2, 3)$ છે. ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2-0)^2 + (3-0)^2 = 13$ છે.
તેથી,$10k + r^2 = 10(\frac{11}{5}) + 13 = 22 + 13 = 35$.

(D) આપેલ મધ્યક $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$ હોવાથી,$1+3+a+7+b = 25$,એટલે કે $a+b = 14$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\overline{x})^2 = 10$ હોવાથી,$\frac{1^2+3^2+a^2+7^2+b^2}{5} - 25 = 10$,તેથી $1+9+a^2+49+b^2 = 175$,જે $a^2+b^2 = 116$ આપે છે.
$a+b=14$ અને $a^2+b^2=116$ પરથી,$(a+b)^2 - 2ab = 116$ $\Rightarrow 196 - 2ab = 116$ $\Rightarrow ab = 40$.
$a$ અને $b$ એ $t^2 - 14t + 40 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $(t-10)(t-4) = 0$. $a > b$ હોવાથી,$a=10$ અને $b=4$.
નવા અવલોકનો $y_n = n+x_n$ એ $2, 5, 13, 11, 9$ છે.
નવો મધ્યક $\overline{y} = \frac{2+5+13+11+9}{5} = 8$.
નવું વિચરણ $\frac{2^2+5^2+13^2+11^2+9^2}{5} - 8^2 = \frac{400}{5} - 64 = 80 - 64 = 16$.

(A) આપેલ રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $x(3 \lambda+1)+y(7 \lambda+2)=17 \lambda+5$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x+2y-5) + \lambda(3x+7y-17) = 0$ મળે છે.
આ રેખાઓ $x+2y-5=0$ અને $3x+7y-17=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$P(1, 2)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી સૌથી દૂર રહેલી રેખા $L$ એ $OP$ ને લંબ હોય છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = 2$ છે,તેથી રેખા $L$ નો ઢાળ $m_L = -\frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $x+2y-5=0$ છે.
બિંદુ $Q(3, 6)$ થી રેખા $L$ નું અંતર $d = \frac{|3+12-5|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ છે.
તેથી,$d^2 = 20$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x(x+2)(12-k)=2$.
ધારો કે $\lambda = 12-k$. સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,$k \neq 12$,તેથી $\lambda \neq 0$.
સમીકરણ $\lambda(x^2+2x) = 2$ અથવા $\lambda x^2 + 2\lambda x - 2 = 0$ બને છે.
સમાન બીજ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$.
$(2\lambda)^2 - 4(\lambda)(-2) = 0$.
$4\lambda^2 + 8\lambda = 0$.
$4\lambda(\lambda + 2) = 0$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda = -2$.
કિંમત મૂકતા,$12-k = -2$,જે $k = 14$ આપે છે.
બિંદુ $(k, \frac{k}{2}) = (14, 7)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
$d = \frac{|3(14) + 4(7) + 5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|42 + 28 + 5|}{5} = \frac{75}{5} = 15$.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $1 + 12 + 9 = 22$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા જોઈએ.
બિંદુઓ $O, P_1, \ldots, P_{12}$ રેખા $L_1$ પર સમરેખ છે,અને $O, Q_1, \ldots, Q_9$ રેખા $L_2$ પર સમરેખ છે.
$22$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{22}{3} = 1540$ છે.
આપણે સમરેખ બિંદુઓ વાળા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે:
$1$. $L_1$ પરના $3$ બિંદુઓ: $\binom{13}{3} = 286$.
$2$. $L_2$ પરના $3$ બિંદુઓ: $\binom{10}{3} = 120$.
કુલ ત્રિકોણ = $1540 - 286 - 120 = 1134$.

(A) $z_1, z_2, z_3$ શિરોબિંદુઓ અને મધ્યકેન્દ્ર $z_0$ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ થાય.
મધ્યકેન્દ્ર $z_0 = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ હોવાથી,$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$ મળે.
આપણે $\sum_{k=1}^3 (z_k - z_0)^2 = (z_1 - z_0)^2 + (z_2 - z_0)^2 + (z_3 - z_0)^2$ ની કિંમત શોધવી છે.
વિસ્તરણ કરતા,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 2z_0(z_1 + z_2 + z_3) + 3z_0^2$ મળે.
$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$ મૂકતા,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 6z_0^2 + 3z_0^2 = (z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 3z_0^2$ મળે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$ હોવાથી,પરિણામ $3z_0^2 - 3z_0^2 = 0$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(4-\sqrt{3}) \sin x - 2 \sqrt{3} \cos^2 x = -\frac{4}{1+\sqrt{3}}$
$RHS$ નું સંમેયીકરણ કરતા: $-\frac{4(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = 2 - 2\sqrt{3}$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$2\sqrt{3} \sin^2 x + (4-\sqrt{3}) \sin x - 2 = 0$
$(2 \sin x - 1)(\sqrt{3} \sin x + 2) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ મળે.
$x \in [-2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ અંતરાલમાં $\sin x = \frac{1}{2}$ ના ઉકેલો: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(D) આપેલ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે,તેથી $ae = 2$. $e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$a(\frac{1}{2}) = 2 \implies a = 4$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,તેથી $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
લંબવૃત્તીયને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ એ સહાયક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ છે,તેથી $C: x^2 + y^2 = 16$.
બાજુ $QR$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને $(0, -b) = (0, -2\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,રેખા $QR$ એ $y = -2\sqrt{3}$ છે.
$QR$ ની લંબાઈ $4$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ પર $P$ નો $y$-યામ $y_P$ છે. ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = y_P - (-2\sqrt{3}) = y_P + 2\sqrt{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times (y_P + 2\sqrt{3}) = 2(y_P + 2\sqrt{3})$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $y_P$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ પર મહત્તમ $y$-યામ $4$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= 2(4 + 2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3} = 4(2 + \sqrt{3})$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે,જ્યાં $4a=8 \Rightarrow a=2$. પરવલયના બિંદુ $(at^2, 2at)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
ઢાળ $m$ નો ઉપયોગ કરીને,અભિલંબ $y = mx - 4m - 2m^3$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+12y+35=0$ છે,જેને $x^2+(y+6)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. કેન્દ્ર $C(0, -6)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
વક્રો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ કેન્દ્ર $C$ થી પરવલય સુધીનું અંતર ઓછા ત્રિજ્યા $r$ છે.
$C(0, -6)$ થી પરવલય પરનો અભિલંબ $-6 = m(0) - 4m - 2m^3$ નું પાલન કરે છે,તેથી $2m^3 + 4m - 6 = 0$,જે $m^3 + 2m - 3 = 0$ માં પરિણમે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$m=1$ એ ઉકેલ છે. આમ,$(m-1)(m^2+m+3)=0$. $m^2+m+3=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,તેથી $m=1$.
પરવલય પરનું બિંદુ $P$ જ્યાં અભિલંબ $C$ માંથી પસાર થાય છે તે $(2, -4)$ છે.
અંતર $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $PC - r = 2\sqrt{2} - 1$ છે.

(D) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{1+3+5+\ldots+(2r-1)}{r!}$ છે.
પ્રથમ $r$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $r^2$ હોવાથી,$T_r = \frac{r^2}{r!} = \frac{r}{(r-1)!}$ મળે.
આપણે $r$ ને $(r-1+1)$ તરીકે લખી શકીએ,તેથી $T_r = \frac{r-1+1}{(r-1)!} = \frac{r-1}{(r-1)!} + \frac{1}{(r-1)!} = \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!}$ ($r \ge 2$ માટે).
સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{\infty} T_r = T_1 + \sum_{r=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!} \right)$.
$S = 1 + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!} + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-1)!}$.
$S = 1 + (\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) + (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) = 1 + e + (e-1) = 2e$.

(B) આપેલ છે $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$.
ધારો કે $S_1 = a_0+a_1+a_2+\ldots+a_{20} = (1+1+1)^{10} = 3^{10} = 59049$.
ધારો કે $S_2 = a_0-a_1+a_2-\ldots+a_{20} = (1-1+1)^{10} = 1^{10} = 1$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા: $S_1 - S_2 = 2(a_1+a_3+\ldots+a_{19}) = 59049 - 1 = 59048$.
તેથી,$a_1+a_3+\ldots+a_{19} = 29524$.
$a_2$ શોધવા માટે,આપણે $(1+x+x^2)^{10} = (1+(x+x^2))^{10} = 1 + 10(x+x^2) + \binom{10}{2}(x+x^2)^2 + \ldots$ નું વિસ્તરણ કરીએ.
$x^2$ નો સહગુણક $a_2 = 10(1) + \binom{10}{2}(1)^2 = 10 + 45 = 55$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $29524 - 11(55) = 121k$.
$29524 - 605 = 28919$.
$k = \frac{28919}{121} = 239$.

(C) ધારો કે $P = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$.
અહીં સ્વરૂપ $1^{\infty}$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow a} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$P = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\tan x}{x} - 1\right) \frac{1}{x^2}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - x}{x^3}}$.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - x}{x^3}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3/3}{x^3}} = e^{1/3}$.
આમ,$\log_e p = \log_e (e^{1/3}) = \frac{1}{3}$.
તેથી,$96 \log_e p = 96 \times \frac{1}{3} = 32$.

(A) અતિવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓ $(4,2)$ અને $(8,2)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $C = (6,2)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4$ છે,તેથી $ae = 2$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-6)^2}{a^2} - \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b^2 = 4 - a^2$.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 - y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા,કેન્દ્ર $(\frac{\alpha}{6}, \frac{\beta}{2}) = (6,2)$ મળે છે,તેથી $\alpha = 36$ અને $\beta = 4$.
સમીકરણ $3(x-6)^2 - (y-2)^2 = 104 - \gamma$ બને છે.
અતિવલયના ગુણધર્મો મુજબ,$104 - \gamma = 3$ લેતા $\gamma = 101$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 36 + 4 + 101 = 141$.

(C) ગણ $A$ એ $a_1 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 5$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. $2025$ મું પદ $T_{2025} = 1 + (2025 - 1) \times 5 = 10121$ છે.
ગણ $B$ એ $a_2 = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 7$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. $2025$ મું પદ $T'_{2025} = 9 + (2025 - 1) \times 7 = 14177$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં બંનેમાં સામાન્ય પદો છે. પ્રથમ સામાન્ય પદ $16$ છે. $A \cap B$ નો સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(5, 7) = 35$ છે.
$A \cap B$ નું સામાન્ય પદ $T_n = 16 + (n - 1) \times 35$ છે.
આપણે $T_n \leq 10121$ ની જરૂર છે.
$16 + (n - 1) \times 35 \leq 10121$ $\Rightarrow n - 1 \leq 288.71$ $\Rightarrow n \leq 289.71$.
આમ,$289$ સામાન્ય પદો છે.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$n(A \cup B) = 2025 + 2025 - 289 = 3761$ મળે છે.

(D) $(x+y)^{2n-3}$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $(2n-3+1) = 2n-2$ છે.
તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ અને $y=1$ મૂકવાથી મળે છે,જે $2^{2n-3}$ છે.
તમામ સહગુણકોની સરેરાશ $\frac{2^{2n-3}}{2n-2} = 16$ છે.
આનું સાદું રૂપ $2^{2n-3} = 16(2n-2) = 2^4 \times 2(n-1) = 2^5(n-1)$ થાય છે.
$n=5$ માટે,$2^{2(5)-3} = 2^7 = 128$ અને $2^5(5-1) = 32 \times 4 = 128$. તેથી,$n=5$.
બિંદુ $P$ એ $(2(5)-1, 5^2-4(5)) = (9, 5)$ છે.
બિંદુ $P(9, 5)$ નું રેખા $x+y-8=0$ થી અંતર $d = \frac{|9+5-8|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.

(A) $16$ $(4+2+10)$ વ્યક્તિઓમાંથી $12$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_{12} = ^{16}C_4 = 1820$ છે.
આપણને ઓછામાં ઓછા $3$ એન્જિનિયરો અને ઓછામાં ઓછા $1$ ડોક્ટરની જરૂર છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$1)$ $3$ એન્જિનિયરો,$1$ ડોક્ટર,$8$ પ્રોફેસરો: $^4C_3 \times ^2C_1 \times ^{10}C_8 = 360$.
$2)$ $3$ એન્જિનિયરો,$2$ ડોક્ટરો,$7$ પ્રોફેસરો: $^4C_3 \times ^2C_2 \times ^{10}C_7 = 480$.
$3)$ $4$ એન્જિનિયરો,$1$ ડોક્ટર,$7$ પ્રોફેસરો: $^4C_4 \times ^2C_1 \times ^{10}C_7 = 240$.
$4)$ $4$ એન્જિનિયરો,$2$ ડોક્ટરો,$6$ પ્રોફેસરો: $^4C_4 \times ^2C_2 \times ^{10}C_6 = 210$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $360 + 480 + 240 + 210 = 1290$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{1290}{1820} = \frac{129}{182}$.

(A) ધારો કે $x-1 = h$. જેમ $x \rightarrow 1^{+}$,તેમ $h \rightarrow 0^{+}$.
સીમામાં કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6+\lambda \cos h) - \mu \sin h}{h^3} = -1$.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \dots$ અને $\sin h = h - \frac{h^3}{3!} + \dots$,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6 + \lambda(1 - \frac{h^2}{2})) - \mu(h - \frac{h^3}{6})}{h^3} = -1$.
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(6 + \lambda - \mu)h + (\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2})h^3}{h^3} = -1$.
સીમાનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $-1$ હોય તે માટે,$h$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$6 + \lambda - \mu = 0 \implies \mu - \lambda = 6$.
$h^3$ નો સહગુણક $-1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2} = -1 \implies \mu - 3\lambda = -6$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $\mu - \lambda = 6$ અને $\mu - 3\lambda = -6$.
બાદબાકી કરતા: $2\lambda = 12 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ ને $\mu - \lambda = 6$ માં મૂકતા,$\mu = 12$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + \mu = 6 + 12 = 18$.

(B) શ્રેણી $1, 3, 5^2, 7, 9^2, 11, 13^2, \ldots$ $40$ પદો સુધી છે.
આને બે શ્રેણીમાં વિભાજિત કરી શકાય:
શ્રેણી $1$: $1, 5^2, 9^2, \ldots$ ($20$ પદો) જ્યાં $r$-મું પદ $(4r-3)^2$ છે.
શ્રેણી $2$: $3, 7, 11, \ldots$ ($20$ પદો) જ્યાં $r$-મું પદ $(4r-1)$ છે.
સરવાળો $= \sum_{r=1}^{20} (4r-3)^2 + \sum_{r=1}^{20} (4r-1)$
$= \sum_{r=1}^{20} (16r^2 - 24r + 9 + 4r - 1)$
$= \sum_{r=1}^{20} (16r^2 - 20r + 8)$
$= 16 \sum_{r=1}^{20} r^2 - 20 \sum_{r=1}^{20} r + 8 \sum_{r=1}^{20} 1$
$= 16 \left( \frac{20 \times 21 \times 41}{6} \right) - 20 \left( \frac{20 \times 21}{2} \right) + 8(20)$
$= 16(2870) - 20(210) + 160$
$= 45920 - 4200 + 160 = 41880$.

(C) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^n C_r (2^{1/3})^{n-r} (3^{-1/3})^r$ છે.
શરૂઆતથી $15^{\text{th}}$ પદ $T_{15} = {}^n C_{14} (2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}$ છે.
અંતથી $15^{\text{th}}$ પદ એ શરૂઆતથી $(n-14)^{\text{th}}$ પદ છે,જે $T'_{15} = {}^n C_{n-14} (2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_{15}}{T'_{15}} = \frac{1}{6}$ અને ${}^n C_{14} = {}^n C_{n-14}$ હોવાથી:
$\frac{(2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}}{(2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}} = \frac{1}{6}$
$(6^{1/3})^{n-28} = 6^{-1}$
$\frac{n-28}{3} = -1 \Rightarrow n = 25$.
તેથી,${}^{25} C_3 = \frac{25 \times 24 \times 23}{6} = 2300$.

(D) નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(2-2)^2 + (5 - (-3))^2} = 8$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{4}{5}$ આપેલ છે,તેથી $2ae = 8$ એટલે કે $ae = 4$.
$e = \frac{4}{5}$ મૂકતા,$a \times \frac{4}{5} = 4$,તેથી $a = 5$ મળે.
ઉપવલય માટે,$a^2 = b^2 + (ae)^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા ($a > b$ માટે):
$5^2 = b^2 + 4^2$ $\Rightarrow 25 = b^2 + 16$ $\Rightarrow b^2 = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+4x-n=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $x^2+4x+4 = n+4$ મળે,જે $(x+2)^2 = n+4$ માં પરિણમે છે.
બીજ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$n+4$ એક પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $k^2$ હોવી જોઈએ,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
આપેલ છે કે $20 \leq n \leq 100$,તેથી $24 \leq n+4 \leq 104$.
આમ,$24 \leq k^2 \leq 104$.
આ રેન્જમાં શક્ય પૂર્ણવર્ગો $k^2$ એ $25, 36, 49, 64, 81, 100$ છે.
તદનુસાર,$n = k^2 - 4$ લેતા $n \in \{21, 32, 45, 60, 77, 96\}$ મળે છે.
આમ,$n$ ના $6$ ભિન્ન મૂલ્યો શક્ય છે.

(A) આપેલ છે $10 \sin^4 \theta + 15 \cos^4 \theta = 6$.
ધારો કે $\sin^2 \theta = t$,તો $\cos^2 \theta = 1 - t$.
સમીકરણ $10t^2 + 15(1 - t)^2 = 6$ બને છે.
$10t^2 + 15(1 - 2t + t^2) = 6$.
$10t^2 + 15 - 30t + 15t^2 = 6$.
$25t^2 - 30t + 9 = 0$.
$(5t - 3)^2 = 0$,તેથી $t = \frac{3}{5}$.
આમ,$\sin^2 \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
હવે,$\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{5}{3}$ અને $\sec^2 \theta = \frac{5}{2}$.
પદાવલિ $\frac{27 \operatorname{cosec}^6 \theta + 8 \sec^6 \theta}{16 \sec^8 \theta} = \frac{27(\frac{5}{3})^3 + 8(\frac{5}{2})^3}{16(\frac{5}{2})^4}$.
$= \frac{27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}}{16 \times \frac{625}{16}} = \frac{125 + 125}{625} = \frac{250}{625} = \frac{2}{5}$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
ગણ $A$ માટે, $|(x - 2) + i(y - 1)| = 3$, જે સૂચવે છે કે $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.
ગણ $B$ માટે, $\operatorname{Re}((x + iy) - i(x + iy)) = \operatorname{Re}((x + y) + i(y - x)) = x + y = 2$.
$A$ ના સમીકરણમાં $y = 2 - x$ મૂકતા:
$(x - 2)^2 + (2 - x - 1)^2 = 9$
$(x - 2)^2 + (1 - x)^2 = 9$
$x^2 - 4x + 4 + 1 - 2x + x^2 = 9$
$2x^2 - 6x - 4 = 0 \implies x^2 - 3x - 2 = 0$.
બીજ $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ છે.
કારણ કે $y = 2 - x$, બિંદુઓ $z_1 = x_1 + iy_1$ અને $z_2 = x_2 + iy_2$ છે.
$|z|^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (2 - x)^2 = 2x^2 - 4x + 4$.
$x^2 = 3x + 2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $|z|^2 = 2(3x + 2) - 4x + 4 = 2x + 8$ મળે છે.
સરવાળો $= (2x_1 + 8) + (2x_2 + 8) = 2(x_1 + x_2) + 16$.
કારણ કે $x_1 + x_2 = 3$, સરવાળો $= 2(3) + 16 = 22$.

(D) વર્તુળ $C: x^2 + (y-1)^2 = 2$ છે. $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + (y-1)(y_1-1) = 2$ છે. તેને $x+y=3$ સાથે સરખાવતા,$P = (1, 2)$ મળે છે.
$P$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ હોવાથી,રેખા $x+y=3$ ના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ અને $R$ ના યામ $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ અને $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ મળે છે.
તેથી,$x_1y_1 = 2$,$x_2y_2 = \frac{20}{9}$,અને $x_3y_3 = \frac{8}{9}$.
પરિણામે,$9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3) = 9(2 + \frac{28}{9}) = 46$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}\right)$ છે.
આને $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}\right)$ તરીકે લખી શકાય.
$\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ મળે છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n (\tan^{-1}(2k+1) - \tan^{-1}(2k-1))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)$.
જ્યારે $n \to \infty$,ત્યારે $S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
નોંધો કે $\tan^{-1}(1/2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1/2)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(2)$ છે,જે $\tan^{-1}(1/2)$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ છે કે $\omega_1 = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta) + i(\sin \theta + 4 \cos \theta)$ અને $\omega_2 = (\sin \theta + 4 \cos \theta) + i(8 \sin \theta + 7 \cos \theta)$.
ધારો કે $x = 8 \sin \theta + 7 \cos \theta$ અને $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$.
તેથી $\omega_1 = x + iy$ અને $\omega_2 = y + ix$.
ગુણાકાર $\omega_1 \omega_2 = (x + iy)(y + ix) = xy + ix^2 + iy^2 + i^2yx = xy + i(x^2 + y^2) - xy = i(x^2 + y^2)$.
આમ,$\alpha = 0$ અને $\beta = x^2 + y^2$.
$\beta = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 65 \sin^2 \theta + 65 \cos^2 \theta + 120 \sin \theta \cos \theta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$.
તેથી $\alpha + \beta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$,મહત્તમ કિંમત $p = 125$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $q = 5$.
તેથી $p + q = 125 + 5 = 130$.

(B) શિરોબિંદુ $V$ એ ઉગમબિંદુથી $y=x$ રેખા પર $\sqrt{2}$ અંતરે છે,તેથી $V = (1, 1)$.
નાભિ $S$ એ ઉગમબિંદુથી $y=x$ રેખા પર $2\sqrt{2}$ અંતરે છે,તેથી $S = (2, 2)$.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
નિયામિકા એ અક્ષ $y=x$ ને લંબ છે અને બિંદુ $Z$ માંથી પસાર થાય છે જ્યાં $V$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $S=(2,2)$ અને $V=(1,1)$ હોવાથી,$Z = (0,0)$ થાય.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(1, k)$ નું નાભિ $S(2, 2)$ થી અંતર એ $P$ નું નિયામિકા $x+y=0$ થી અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = \sqrt{(1-2)^2 + (k-2)^2} = \sqrt{1 + (k-2)^2}$.
$PM = \frac{|1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|1+k|}{\sqrt{2}}$.
$PS^2 = PM^2$ લેતા:
$1 + (k-2)^2 = \frac{(1+k)^2}{2}$
$2(1 + k^2 - 4k + 4) = 1 + k^2 + 2k$
$2k^2 - 8k + 10 = 1 + k^2 + 2k$
$k^2 - 10k + 9 = 0$
$(k-1)(k-9) = 0$.
આમ,$k=1$ અથવા $k=9$. $k=1$ એ શિરોબિંદુ દર્શાવે છે,તેથી બીજી શક્ય કિંમત $k=9$ છે.

(C) અતિવલય પરના બિંદુ $P(x, y)$ ના નાભિ અંતરોનો સરવાળો $2ex = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$ છે.
$x = 4$ આપેલ હોવાથી,$2e(4) = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $e = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$\frac{5}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{2}{3}a^2$.
બિંદુ $P(4, 3)$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1$.
$b^2 = \frac{2}{3}a^2$ મૂકતા: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{(2/3)a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^2} - \frac{27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32 - 27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow 2a^2 = 5$ $\Rightarrow a^2 = \frac{5}{2}$.
તેથી $b^2 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(5/3)}{\sqrt{5/2}} = \frac{10}{3} \times \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$.
$l^2 = \frac{4 \times 10}{9} = \frac{40}{9} \Rightarrow 9l^2 = 40$.
નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $m = e^2x^2 - a^2 = \frac{5}{3}(16) - \frac{5}{2} = \frac{80}{3} - \frac{5}{2} = \frac{160 - 15}{6} = \frac{145}{6}$.
આમ,$6m = 145$.
અંતે,$9l^2 + 6m = 40 + 145 = 185$.

(C) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{4r}{4+3r^2+r^4}$ છે.
છેદનું અવયવીકરણ કરતા: $r^4+3r^2+4 = (r^2+r+2)(r^2-r+2)$.
તેથી,$T_r = 2 \left( \frac{1}{r^2-r+2} - \frac{1}{r^2+r+2} \right)$.
ધારો કે $f(r) = \frac{1}{r^2-r+2}$,તો $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+2}$.
સરવાળો $S_{20} = 2(f(1) - f(21)) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{422} \right) = \frac{420}{422} = \frac{210}{211}$.
અહીં $m = 210$ અને $n = 211$,તેથી $m+n = 421$.

(A) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \binom{15}{r}$ છે.
નિત્યસમ $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 15 \binom{14}{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (r-1+1) \binom{14}{r-1}$.
$S = 15 \left[ \sum_{r=1}^{15} (r-1) \binom{14}{r-1} + \sum_{r=1}^{15} \binom{14}{r-1} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \sum_{r=2}^{15} \binom{13}{r-2} + 2^{14} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \right] = 15 \cdot 2^{13} (14 + 2) = 15 \cdot 2^{13} \cdot 16$.
$S = (3 \cdot 5) \cdot 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
$2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$ સાથે સરખાવતા,$m=17, n=1, k=1$ મળે.
આમ,$m+n+k = 17+1+1 = 19$.

(B) રેખા $y = mx + p$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $p^2 = a^2m^2 + b^2$ છે. અહીં $a^2 = 16, b^2 = 9, m = 1$,તેથી $p^2 = 16(1)^2 + 9 = 25$,જે $p = \pm 5$ આપે છે.
સ્પર્શ બિંદુઓ $\left( \mp \frac{a^2m}{p}, \pm \frac{b^2}{p} \right)$ દ્વારા મળે છે. $p = 5$ માટે,$A = \left( -\frac{16}{5}, \frac{9}{5} \right)$. $p = -5$ માટે,$B = \left( \frac{16}{5}, -\frac{9}{5} \right)$.
રેખા $y = x$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{9} = 1$ ને છેદે છે,તેથી $x^2(\frac{9+16}{144}) = 1$,$x^2 = \frac{144}{25}$,$x = \pm \frac{12}{5}$. આમ $C = \left( \frac{12}{5}, \frac{12}{5} \right)$ અને $D = \left( -\frac{12}{5}, -\frac{12}{5} \right)$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે રેખાઓ $y = x + 5$ અને $y = x - 5$ સમાંતર છે,અને રેખા $y = x$ એ કેન્દ્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $2 \times \text{Area}(\triangle ABC)$ તરીકે ગણી શકાય.
યામ $A(-\frac{16}{5}, \frac{9}{5})$,$B(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})$,$C(\frac{12}{5}, \frac{12}{5})$ નો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $24$ મળે છે.

(D) ધારો કે ગણ $A$ ના ઘટકો $(a-d, a, a+d)$ છે. સરવાળો $3a = 36$ છે,તેથી $a = 12$. ગુણાકાર $p = a(a^2 - d^2) = 12(144 - d^2)$ છે.
ધારો કે ગણ $B$ ના ઘટકો $(b-D, b, b+D)$ છે. સરવાળો $3b = 36$ છે,તેથી $b = 12$. ગુણાકાર $q = b(b^2 - D^2) = 12(144 - D^2)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{p+q}{p-q} = \frac{19}{5}$. યોગ-વિયોગ પ્રમાણના નિયમ મુજબ,$\frac{p}{q} = \frac{19+5}{19-5} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$.
$p$ અને $q$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{12(144-d^2)}{12(144-D^2)} = \frac{12}{7}$.
$D = d+3$ હોવાથી,$D^2 = (d+3)^2 = d^2 + 6d + 9$.
$\frac{144-d^2}{144-(d^2+6d+9)} = \frac{12}{7} \implies \frac{144-d^2}{135-d^2-6d} = \frac{12}{7}$.
$7(144-d^2) = 12(135-d^2-6d) \implies 1008 - 7d^2 = 1620 - 12d^2 - 72d$.
$5d^2 + 72d - 612 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $d$ શોધતા: $d = \frac{-72 \pm 132}{10}$.
$d > 0$ હોવાથી,$d = 6$. તેથી $D = 6+3 = 9$.
$p - q = 12(D^2 - d^2) = 12(81 - 36) = 12(45) = 540$.

(B) ધારો કે નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનું અંતર $2c$ છે. વર્તુળ $C$ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને નાભિઓ $(\pm c, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = c$ છે.
બિંદુ $P$ એ વર્તુળ $C$ પર હોવાથી,અંતર $OP = c$ થાય. વળી,$F_1$ અને $F_2$ વર્તુળ પર હોવાથી,ખૂણો $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ થાય કારણ કે $F_1F_2$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ધારો કે $PF_1 = x$ અને $PF_2 = y$. બિંદુ $P$ ઉપવલય પર હોવાથી,ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $x + y = 2a = 17$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $PF_1F_2$ માં,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} xy = 30$ છે,તેથી $xy = 60$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $\triangle PF_1F_2$ માં,$x^2 + y^2 = (F_1F_2)^2 = (2c)^2 = 4c^2$ થાય.
આમ,$(2a)^2 = 4c^2 + 2xy$,જે આપણને $17^2 = 4c^2 + 2(60)$ આપે છે.
$289 = 4c^2 + 120$.
$4c^2 = 169$.
$2c = \sqrt{169} = 13$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = 13$ છે.

(A) આપેલ અવલોકનો: $2, 3, 3, 4, 5, 7, a, b$. કુલ અવલોકનો $n = 8$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+3+4+5+7+a+b}{8} = 4 \implies 24 + a + b = 32 \implies a + b = 8$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{2} \implies \sigma^2 = 2$.
વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$2 = \frac{4+9+9+16+25+49+a^2+b^2}{8} - 16$.
$18 = \frac{112 + a^2 + b^2}{8} \implies a^2 + b^2 = 32$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 64 = 32 + 2ab \implies ab = 16$.
તેથી $a=4, b=4$.
અવલોકનો $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7$ છે. બહુલક $4$ છે.
બહુલક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{|2-4| + |3-4| + |3-4| + |4-4| + |4-4| + |4-4| + |5-4| + |7-4|}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ હોવાથી,પદ $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ એ $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
આપણે $n$ શોધવાનું છે જેથી $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$.
આ $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ છે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,ધારો કે $n=3m$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,તેથી $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ નો ગુણક નથી).
જો $n = 3m+1$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,તેથી $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી).
જો $n = 3m+2$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,તેથી $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.
$11 = 3(3) + 2$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.

(D) ધારો કે $m = 6a$ અને $n = 6b$. $m < n$ હોવાથી $a < b$ મળે.
$m$ અને $n$ એ $2$-અંકી સંખ્યાઓ હોવાથી,$10 \leq 6a \leq 99$ અને $10 \leq 6b \leq 99$,જેનો અર્થ છે કે $2 \leq a < b \leq 16$.
વળી,$\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ હોવાથી $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ થાય.
આપણે એવી જોડીઓ $(a, b)$ ગણીએ જ્યાં $2 \leq a < b \leq 16$ અને $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ હોય:
કુલ જોડીઓની સંખ્યા = $7 + 9 + 6 + 9 + 3 + 8 + 4 + 5 + 2 + 5 + 1 + 3 + 1 + 1 = 64$.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\tan u}{u} = 1$,$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$,$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\tan^{-1} u}{u} = 1$,અને $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$.
આપેલ પદાવલિ: $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} \frac{\tan \left(5 x^{1 / 3}\right)}{5 x^{1 / 3}} \cdot \frac{5 x^{1 / 3}}{\left(\tan ^{-1} 3 x^{1 / 2}\right)^2} \cdot \frac{\ln(1+3 x^2)}{3 x^2} \cdot \frac{3 x^2}{e^{5 x^{4 / 3}}-1}$.
અહીં $\left(\tan ^{-1} 3 x^{1 / 2}\right)^2 = 9x$ અને $e^{5 x^{4 / 3}}-1 = 5 x^{4 / 3}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = 1 \cdot \frac{5 x^{1 / 3}}{9x} \cdot 1 \cdot \frac{3 x^2}{5 x^{4 / 3}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $N = ((64)^{64})^{64}$.
$N = (64)^{64 \times 64} = (64)^{4096}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 7 \times 9 + 1$,તેથી $64 \equiv 1 \pmod{7}$.
તેથી,$N = (64)^{4096} \equiv (1)^{4096} \pmod{7}$.
$N \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,જ્યારે $N$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ મળે છે.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિથી અંતર અને નિયામિકાથી લંબ અંતર સમાન હોય છે.
આપેલ નાભિ $S = (-2, 1)$ અને નિયામિકા $L: 2x + y + 2 = 0$.
પરવલયનું સમીકરણ $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{2x + y + 2}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right)^2$ છે.
$5[(x + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2x + y + 2)^2$.
$x = -2$ માટે બિંદુઓના કોટિ શોધવા,સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$5[(-2 + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2(-2) + y + 2)^2$.
$5(y - 1)^2 = (y - 2)^2$.
$5(y^2 - 2y + 1) = y^2 - 4y + 4$.
$5y^2 - 10y + 5 = y^2 - 4y + 4$.
$4y^2 - 6y + 1 = 0$.
આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. કોટિઓનો સરવાળો એ બીજનો સરવાળો છે,જે $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ થાય.

(B) પસંદ કરવાના કુલ ખેલાડીઓ = $10$.
આપેલ છે: $1$ બેટ્સમેન (કેપ્ટન) અને $1$ બોલર (વાઇસ-કેપ્ટન) પહેલેથી જ પસંદ થયેલ છે.
બાકી રહેલા ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના = $10 - 2 = 8$.
બાકી રહેલ જૂથ: $6$ બેટ્સમેન અને $5$ બોલર.
શરતો: કુલ ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન અને $4$ બોલર.
$1$ બેટ્સમેન અને $1$ બોલર પહેલેથી જ હોવાથી,આપણે બાકીના $8$ સ્થાન માટે ઓછામાં ઓછા $3$ વધુ બેટ્સમેન અને $3$ વધુ બોલરની જરૂર છે.
$6$ બેટ્સમેન અને $5$ બોલરમાંથી $8$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $5$ બેટ્સમેન અને $3$ બોલર: ${}^6C_5 \times {}^5C_3 = 6 \times 10 = 60$.
કિસ્સો $2$: $4$ બેટ્સમેન અને $4$ બોલર: ${}^6C_4 \times {}^5C_4 = 15 \times 5 = 75$.
કિસ્સો $3$: $3$ બેટ્સમેન અને $5$ બોલર: ${}^6C_3 \times {}^5C_5 = 20 \times 1 = 20$.
કુલ રીતો = $60 + 75 + 20 = 155$.

(D) આપેલ છે $x = 3 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 3 \left( \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} \right)$.
ગોઠવતા,$x(1 - \sqrt{3} \tan \theta) = 3 \tan \theta + 3\sqrt{3}$ $\Rightarrow x - 3\sqrt{3} = \tan \theta (3 + \sqrt{3}x)$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \dots (1)$.
આપેલ છે $y = 2 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left( \frac{\tan \theta + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3} \tan \theta + 1}{\sqrt{3} - \tan \theta} \right)$.
ગોઠવતા,$y(\sqrt{3} - \tan \theta) = 2\sqrt{3} \tan \theta + 2 \dots (2)$.
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$y \left( \sqrt{3} - \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = 2\sqrt{3} \left( \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) + 2$.
$y \left( \frac{3\sqrt{3} + 3x - x + 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = \frac{2\sqrt{3}x - 18 + 6 + 2\sqrt{3}x}{3 + \sqrt{3}x}$.
$y(2x + 6\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}x - 12 \Rightarrow 2xy + 6\sqrt{3}y = 4\sqrt{3}x - 12$.
$2$ વડે ભાગતા: $xy - 2\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}y + 6 = 0$.
$xy + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -2\sqrt{3}$,$\beta = 3\sqrt{3}$,$\gamma = 6$ મળે.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 + (6)^2 = 12 + 27 + 36 = 75$.

(C) વર્તુળ $C_1$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે અને તે બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $A(-3, -3)$ છે.
$C_1$ નું સમીકરણ $(x+3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$ છે.
$C_2$ નું કેન્દ્ર $B(1, 3)$ છે. ધારો કે $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$AB = r_1 + r_2$. તેથી,$2\sqrt{13} = 3 + r_2$,જે આપણને $r_2 = 2\sqrt{13} - 3$ આપે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $r_1 : r_2 = 3 : (2\sqrt{13} - 3)$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{r_1 x_B + r_2 x_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(1) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{3 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{12 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} - 3$.
$\beta = \frac{r_1 y_B + r_2 y_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(3) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{9 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{18 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}} - 3$.
હવે,$\beta - \alpha = (\frac{9}{\sqrt{13}} - 3) - (\frac{6}{\sqrt{13}} - 3) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$(\beta - \alpha)^2 = (\frac{3}{\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{13}$.
અહીં,$m = 9$ અને $n = 13$ છે. $\operatorname{gcd}(9, 13) = 1$ હોવાથી,$m + n = 9 + 13 = 22$.

(C) $(S1)$ માટે: ધારો કે $z = x+iy$. $|z|=1$ હોવાથી,$x^2+y^2=1$. $\frac{z-i}{z+i}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે તેનો અર્થ એ કે $\frac{z-i}{z+i} = \frac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2i(z+\bar{z}) = 0$ મળે,એટલે કે $x=0$. $|z|=1$ હોવાથી $y^2=1$,તેથી $z = \pm i$. પરંતુ $z \neq -i$ હોવાથી,માત્ર $z=i$ શક્ય છે. તેથી,$(S1)$ ખોટું છે.
$(S2)$ માટે: ધારો કે $w = \frac{z-1}{z+1}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે તેનો અર્થ $w + \bar{w} = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2|z|^2 - 2 = 0$ મળે,એટલે કે $|z|^2 = 1$. જે આપેલ શરત $|z|=1$ નું પાલન કરે છે. તેથી,$(S2)$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે $n = 100$,ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 40$,ખોટું પ્રમાણિત વિચલન $s = 5.1$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો $\sum x_i = 100 \times 40 = 4000$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $\sum x_i' = 4000 - 50 + 40 = 3990$.
સાચો મધ્યક $\mu = \frac{3990}{100} = 39.9$.
ખોટું વિચરણ $s^2 = (5.1)^2 = 26.01$.
$s^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 40^2$.
$\sum x_i^2 = 100(26.01 + 1600) = 100(1626.01) = 162601$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો $\sum x_i'^2 = 162601 - 50^2 + 40^2 = 162601 - 2500 + 1600 = 161701$.
સાચું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{161701}{100} - (39.9)^2 = 1617.01 - 1592.01 = 25$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$10(\mu + \sigma) = 10(39.9 + 5) = 10(44.9) = 449$.

(D) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
આપેલ છે કે $a-2, ar-7, ar^2-9, ar^3-5$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર શ્રેણી માટે $2B = A+C$ અને $2C = B+D$ થાય.
$2(ar-7) = (a-2) + (ar^2-9) \implies a(r-1)^2 = -3 \dots(i)$
$2(ar^2-9) = (ar-7) + (ar^3-5) \implies ar(r-1)^2 = -6 \dots(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,$r = 2$ મળે.
$r=2$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$a = -3$ મળે.
પદો $x_1 = -3, x_2 = -6, x_3 = -12, x_4 = -24$ છે.
ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 = 5184$ થાય.
$\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4) = \frac{5184}{24} = 216$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 2(2\mu + 5) - \lambda(3\mu + 4) + 3(15 - 8) = 0$
$4\mu + 10 - 3\lambda\mu - 4\lambda + 21 = 0 \Rightarrow 4\mu - 3\lambda\mu - 4\lambda + 31 = 0 \dots (1)$
હવે,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0$ લેતા:
$2(18 - 35) - \lambda(27 - 28) + 5(15 - 8) = 0$
$2(-17) - \lambda(-1) + 5(7) = 0 \Rightarrow -34 + \lambda + 35 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$4\mu - 3(-1)\mu - 4(-1) + 31 = 0$
$4\mu + 3\mu + 4 + 31 = 0 \Rightarrow 7\mu = -35 \Rightarrow \mu = -5$
તેથી,$\lambda^2 + \mu^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.

(C) ધારો કે $B_I, B_{II}, B_{III}$ એ અનુક્રમે થેલી $I$,થેલી $II$ અને થેલી $III$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_I) = P(B_{II}) = P(B_{III}) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $G$ એ લીલો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$p = P(B_I | R) = \frac{P(B_I)P(R|B_I)}{P(B_I)P(R|B_I) + P(B_{II})P(R|B_{II}) + P(B_{III})P(R|B_{III})}$
$p = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}} = \frac{3}{3+4+5} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તે જ રીતે,લીલા દડા માટે:
$q = P(B_{III} | G) = \frac{P(B_{III})P(G|B_{III})}{P(B_I)P(G|B_I) + P(B_{II})P(G|B_{II}) + P(B_{III})P(G|B_{III})}$
$q = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10}} = \frac{4}{5+3+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{1/4} + \frac{1}{1/3} = 4 + 3 = 7$.

(A) વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદમાં રહેલા વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિઓ ધન હોવી જોઈએ.
$1) \ x + |x| > 0$
જો $x \leq 0$ હોય,તો $x + |x| = 0$ થાય,જે છેદને શૂન્ય બનાવે છે. તેથી,$x > 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$x \in (0, \infty)$.
$2) \ 10 + 3x - x^2 > 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 - 3x - 10 < 0$ મળે છે.
$(x - 5)(x + 2) < 0$.
આ અસમતા $x \in (-2, 5)$ માટે સાચી છે.
$x \in (0, \infty)$ અને $x \in (-2, 5)$ નો છેદ લેતા,આપણને પ્રદેશ $(a, b) = (0, 5)$ મળે છે.
તેથી,$a = 0$ અને $b = 5$.
માગેલ કિંમત: $(1+a)^2 + b^2 = (1+0)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$.

(B) ધારો કે $I = 4 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x^2}+\sqrt{1+x^2}} dx - 3 \ln \sqrt{3}$.
સંકલિતનું સંમેયીકરણ કરતા:
$I = 4 \int_0^1 \frac{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{1+x^2}}{(3+x^2)-(1+x^2)} dx - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 4 \int_0^1 \frac{\sqrt{3+x^2}-\sqrt{1+x^2}}{2} dx - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 2 \int_0^1 \sqrt{3+x^2} dx - 2 \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx - \frac{3}{2} \ln 3$
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2+x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{3+x^2} + \frac{3}{2}\ln(x+\sqrt{3+x^2}) \right]_0^1 - 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right]_0^1 - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = \left[ x\sqrt{3+x^2} + 3\ln(x+\sqrt{3+x^2}) \right]_0^1 - \left[ x\sqrt{1+x^2} + \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right]_0^1 - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = (1\sqrt{4} + 3\ln(1+2) - (0 + 3\ln\sqrt{3})) - (1\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) - (0 + \ln 1)) - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = (2 + 3\ln 3 - \frac{3}{2}\ln 3) - (\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})) - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 2 + \frac{3}{2}\ln 3 - \sqrt{2} - \ln(1+\sqrt{2}) - \frac{3}{2} \ln 3$
$I = 2 - \sqrt{2} - \ln(1+\sqrt{2})$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-15-2) - \hat{j}(10-3) + \hat{k}(4+9) = -17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $(\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b} = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{c} \times \vec{b}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$,તેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b}$ ની કિંમત મૂકતા,$(-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
તેથી,$\vec{d} = \vec{b} \times \vec{c} = (-18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}) - (-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) = -\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$.
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (-\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}) = (2)(-1) + (-3)(4) + (1)(-1) = -2 - 12 - 1 = -15$.
તેથી,$|\vec{a} \cdot \vec{d}| = |-15| = 15$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$
તેનું વિસ્તરણ કરતા: $A^3 - 2A^2 - 4A + 4I = O$
તેથી,$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$
હવે,$A^4$ શોધવા માટે $A$ વડે ગુણતા:
$A^4 = 2A^3 + 4A^2 - 4A$
$A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^4 = 2(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 4A$
$A^4 = 4A^2 + 8A - 8I + 4A^2 - 4A = 8A^2 + 4A - 8I$
હવે,$A^5$ શોધવા માટે ફરીથી $A$ વડે ગુણતા:
$A^5 = 8A^3 + 4A^2 - 8A$
ફરીથી $A^3 = 2A^2 + 4A - 4I$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^5 = 8(2A^2 + 4A - 4I) + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 16A^2 + 32A - 32I + 4A^2 - 8A$
$A^5 = 20A^2 + 24A - 32I$
$A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 20, \beta = 24, \gamma = -32$ મળે છે
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 20 + 24 - 32 = 12$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (2 \sec^2 x)y = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 \sec^2 x$ અને $Q(x) = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int 2 \sec^2 x dx} = e^{2 \tan x}$.
ઉકેલ $y \cdot e^{2 \tan x} = \int (2 \sec^2 x + 3 \tan x \sec^2 x) e^{2 \tan x} dx$ છે.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$. સંકલન $\int (2 + 3u) e^{2u} du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (2 + 3u) e^{2u} du = (2 + 3u) \frac{e^{2u}}{2} - \int 3 \frac{e^{2u}}{2} du = (1 + \frac{3}{2}u) e^{2u} - \frac{3}{4} e^{2u} + C = (\frac{3}{2}u + \frac{1}{4}) e^{2u} + C$.
તેથી,$y \cdot e^{2 \tan x} = (\frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4}) e^{2 \tan x} + C$.
$e^{2 \tan x}$ વડે ભાગતા,$y = \frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4} + C e^{-2 \tan x}$ મળે છે.
$y(0) = \frac{5}{4}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{5}{4} = 0 + \frac{1}{4} + C \implies C = 1$.
આમ,$y(x) = \frac{3}{2} \tan x + \frac{1}{4} + e^{-2 \tan x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{4} + e^{-2} = \frac{7}{4} + e^{-2}$.
તેથી,$12(y(\frac{\pi}{4}) - e^{-2}) = 12(\frac{7}{4}) = 21$.

(C) આપેલ છે કે $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} + \cos^{-1} \frac{x}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$,તેથી $y = \cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{2} + \cos^{-1} \frac{x}{2}\right)$.
સૂત્ર $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}$.
$y = \frac{x}{4} - \sqrt{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{4 - x^2}{4}} = \frac{x - \sqrt{3(4 - x^2)}}{4}$.
$4y = x - \sqrt{3(4 - x^2)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(4y - x)^2 = 3(4 - x^2)$.
$16y^2 + x^2 - 8xy = 12 - 3x^2$.
$4x^2 + 16y^2 - 8xy = 12$.
$4$ વડે ભાગતા:
$x^2 + 4y^2 - 2xy = 3$.
આને $x^2 - 2xy + y^2 + 3y^2 = 3$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$(x - y)^2 + 3y^2 = 3$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A|=5$. અહીં $|k A| = k^n |A|$ જ્યાં $n=3$ અને $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
$|2 \operatorname{adj}(3 A \operatorname{adj}(2 A))| = 2^3 |\operatorname{adj}(3 A \operatorname{adj}(2 A))|$
$= 2^3 |3 A \operatorname{adj}(2 A)|^2$
$= 2^3 \cdot (3^3 |A \operatorname{adj}(2 A)|)^2 = 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot |\operatorname{adj}(2 A)|^2$
$= 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot (|2 A|^2)^2 = 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot (2^3 |A|)^4$
$= 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot 2^{12} \cdot |A|^4 = 2^{15} \cdot 3^6 \cdot |A|^6$
$|A|=5$ મૂકતા,આપણને $2^{15} \cdot 3^6 \cdot 5^6 = 2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 5^\gamma$ મળે છે.
આમ,$\alpha=15, \beta=6, \gamma=6$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 15+6+6 = 27$.

(A) ધારો કે રેખા $L_1 = \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=p$. તેથી $A = (2p+1, 3p+2, 4p+3)$.
ધારો કે રેખા $L_2 = \frac{x-6}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-1}=q$. તેથી $B = (q+6, q, 4-q)$.
બિંદુઓ $P(4,1,0)$,$A$ અને $B$ સમરેખ છે. $PA$ ના દિકગુણોત્તર $(2p+1-4, 3p+2-1, 4p+3-0) = (2p-3, 3p+1, 4p+3)$ છે.
$AB$ ના દિકગુણોત્તર $(q+6-(2p+1), q-(3p+2), 4-q-(4p+3)) = (q-2p+5, q-3p-2, -q-4p+1)$ છે.
$P, A, B$ સમરેખ હોવાથી,$PA$ અને $AB$ ના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં છે:
$\frac{2p-3}{q-2p+5} = \frac{3p+1}{q-3p-2} = \frac{4p+3}{-q-4p+1} = k$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $p=-1$ અને $q=3$ મળે છે.
$p=-1$ ને $A$ માં મૂકતા,$A(-1, -1, -1)$ મળે છે.
$q=3$ ને $B$ માં મૂકતા,$B(9, 3, 1)$ મળે છે.
હવે,નિશ્ચાયકની કિંમત:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 9 & 3 & 1\end{array}\right| = 1(-1 - (-3)) - 0 + 1(-3 - (-9)) = 1(2) + 1(6) = 8$.

(D) આપેલ છે $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. શરત $0 \leq x^2 + 2y \leq 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{x^2}{2} \leq y \leq 2 - \frac{x^2}{2}$.
દરેક $x \in A$ માટે,આપણે શરતનું પાલન કરતા $y \in A$ શોધીએ છીએ:
જો $x = -3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$. જોડી: $(-3, -3)$.
જો $x = -2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$. જોડી: $(-2, -2), (-2, -1), (-2, 0)$.
જો $x = -1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$. જોડી: $(-1, 0), (-1, 1)$.
જો $x = 0, x^2 = 0$: $0 \leq y \leq 2 \Rightarrow y = 0, 1, 2$. જોડી: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$.
જો $x = 1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$. જોડી: $(1, 0), (1, 1)$.
જો $x = 2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$. જોડી: $(2, -2), (2, -1), (2, 0)$.
જો $x = 3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$. જોડી: $(3, -3)$.
ગણ $R = \{(-3, -3), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -3)\}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા,$l = 15$.
$R$ ને સ્વવાચક બનાવવા માટે,તેમાં દરેક $a \in A$ માટે $(a, a)$ હોવું જોઈએ. ખૂટતા ઘટકો $(-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ છે.
આમ,$m = 3$ ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે.
તેથી,$l + m = 15 + 3 = 18$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \log_e\left(\frac{2x-3}{5+4x}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{4+3x}{2-x}\right)$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1) \frac{2x-3}{5+4x} > 0$
$2) -1 \leq \frac{4+3x}{2-x} \leq 1$
શરત $(1)$ ઉકેલતા:
$\frac{2x-3}{5+4x} > 0 \Rightarrow x \in \left(-\infty, -\frac{5}{4}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right)$.
શરત $(2)$ ઉકેલતા:
$-1 \leq \frac{4+3x}{2-x} \leq 1$
$\Rightarrow \frac{4+3x}{2-x} + 1 \geq 0$ અને $\frac{4+3x}{2-x} - 1 \leq 0$
$\Rightarrow \frac{6+2x}{2-x} \geq 0$ અને $\frac{2+4x}{2-x} \leq 0$
$\Rightarrow x \in [-3, -1/2]$.
બંને શરતોનો છેદગણ લેતા:
$x \in [-3, -5/4)$.
આમ,$\alpha = -3$ અને $\beta = -5/4$.
તેથી,$\alpha^2 + 4\beta = (-3)^2 + 4(-5/4) = 9 - 5 = 4$.

(A) આપેલ છે કે $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભ $(C_3)$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$y(x) = (\cos x + 1) \times (27 \times 1 - 28 \times 1) = (\cos x + 1) \times (-1) = -\cos x - 1$.
હવે,વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-\cos x - 1) = \sin x$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
તેથી,$\frac{d^2 y}{dx^2} + y = \cos x + (-\cos x - 1) = -1$.

(B) આપેલ છે કે $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$g(x) = 1 - xg(x)$.
તેથી $g(x)(1+x) = 1$,એટલે કે $g(x) = \frac{1}{1+x}$.
હવે $g(x)$ ની કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x \cdot \frac{1}{1+x} = 2 \sec x$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\tan x dx} = \cos x$.
સમીકરણનો ઉકેલ $y \cos x = \int 2 \sec x \cdot \cos x dx + C = \int 2 dx + C = 2x + C$ છે.
$y(0) = 0$ હોવાથી,$C = 0$ મળે છે.
તેથી $y = 2x \sec x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{3}$.

(D) ધારો કે $3-x^2 = t^2$. તેથી $-2x dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = -t dt$.
વળી,$x^2 = 3-t^2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int (3-t^2) \cdot t \cdot (-t dt) + C$
$f(x) = \int (t^4 - 3t^2) dt + C$
$f(x) = \frac{t^5}{5} - t^3 + C$
$t = \sqrt{3-x^2}$ પાછા મૂકતા:
$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2} + C$
આપેલ છે કે $5f(\sqrt{2}) = -4$,તેથી $f(\sqrt{2})$ શોધીએ:
$f(\sqrt{2}) = \frac{(3-2)^{5/2}}{5} - (3-2)^{3/2} + C = \frac{1}{5} - 1 + C = -\frac{4}{5} + C$.
$5f(\sqrt{2}) = -4$ હોવાથી,$5(-\frac{4}{5} + C) = -4$,જે આપણને $-4 + 5C = -4$ આપે છે,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2}$.
હવે,$f(1)$ શોધીએ:
$f(1) = \frac{(3-1)^{5/2}}{5} - (3-1)^{3/2} = \frac{2^{5/2}}{5} - 2^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(\frac{4}{5} - 2) = \sqrt{2}(\frac{4-10}{5}) = -\frac{6\sqrt{2}}{5}$.

(A) વિધેય $f(x) = \log_2 \log_4 \log_6(3 + 4x - x^2)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે નીચે મુજબની શરતો મેળવીએ:
$\log_4 \log_6(3 + 4x - x^2) > 0 \implies \log_6(3 + 4x - x^2) > 1 \implies 3 + 4x - x^2 > 6$
$x^2 - 4x + 3 < 0 \implies (x - 1)(x - 3) < 0 \implies x \in (1, 3)$.
આમ,$a = 1$ અને $b = 3$,તેથી $b - a = 2$.
આપણે $\int_0^2 [x^2] dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $[x^2] = k$ જ્યારે $k \le x^2 < k+1$,એટલે કે $\sqrt{k} \le x < \sqrt{k+1}$,આપણે સંકલનનું વિભાજન કરીએ:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$
$I = 0 + 1(\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.
$p - \sqrt{q} - \sqrt{r}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 5, q = 2, r = 3$ મળે છે.
તેથી,$p + q + r = 5 + 2 + 3 = 10$.

(C) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1+ax)^{1/x} = e^a$.
બીજું,$f(0) = 1+b$.
ત્રીજું,$f(0^+)$ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે છેદ $x=0$ આગળ શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $(0+c)^{1/3}-2 = 0 \implies c = 8$.
$f(0^+)$ માટે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}(x+4)^{-1/2}}{\frac{1}{3}(x+c)^{-2/3}} = \frac{1/4}{1/3 \cdot (8)^{-2/3}} = 3$.
સીમાઓને સરખાવતા: $e^a = 1+b = 3$.
આમ,$b = 2$ અને $c = 8$.
તેથી $e^2bc$ ની ગણતરી કરતા $3 \cdot 2 \cdot 8 = 48$ મળે છે.

(C) રેખા $L_1$ નું સમીકરણ જે $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $z$-અક્ષને સમાંતર છે તે $\frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$ છે.
રેખા $L_2$ નું સમીકરણ જે $(\lambda, 5, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે તે $\frac{x-\lambda}{0} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{0}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $SD = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (1, 2, 3)$,$\vec{b_1} = (0, 0, 1)$,$\vec{a_2} = (\lambda, 5, 6)$,$\vec{b_2} = (0, 1, 0)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 3, 3)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -\hat{i}$.
$SD = \frac{|(\lambda-1, 3, 3) \cdot (-1, 0, 0)|}{|-1|} = |-(\lambda-1)| = |\lambda-1| = 3$.
તેથી,$\lambda-1 = 3$ અથવા $\lambda-1 = -3$,એટલે કે $\lambda = 4$ અથવા $\lambda = -2$.
આપેલ છે કે $\lambda_2 < \lambda_1$,તેથી $\lambda_1 = 4$ અને $\lambda_2 = -2$.
બિંદુ $P(4, -2, 7)$ છે. રેખા $L_1$ એ $(1, 2, z)$ સ્વરૂપની છે.
$P(4, -2, 7)$ થી $L_1$ પરનું લંબ અંતરનો વર્ગ એ $L_1$ પરના બિંદુ $(1, 2, 7)$ થી અંતર છે.
$PQ^2 = (4-1)^2 + (-2-2)^2 + (7-7)^2 = 3^2 + (-4)^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \hat{d} = \vec{b} \times \hat{d}$,તેથી $(\vec{a} - \vec{b}) \times \hat{d} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{d}$ એ $\vec{a} - \vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{a} - \vec{b} = (1-3)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\hat{d}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{d} = \pm \frac{-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3}$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ હોવાથી,$(\lambda \hat{j} + \mu \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,એટલે કે $\lambda + \mu = 0$,જેનો અર્થ છે $\mu = -\lambda$.
તેથી,$\vec{c} = \lambda(\hat{j} - \hat{k})$.
$\vec{c} \cdot \hat{d} = 1$ હોવાથી,$\lambda(\hat{j} - \hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{3}(-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 1$.
$\pm \frac{\lambda}{3}(-1 - 2) = 1 \Rightarrow \mp \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \mp 1$.
બંને કિસ્સામાં,$\lambda^2 = 1$ અને $\mu^2 = \lambda^2 = 1$.
આપણે $|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9 \lambda^2 |\hat{d}|^2 + \mu^2 |\vec{c}|^2 + 6 \lambda \mu (\hat{d} \cdot \vec{c})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$|\hat{d}|^2 = 1$,$|\vec{c}|^2 = \lambda^2 + \mu^2 = 2\lambda^2 = 2$,અને $\hat{d} \cdot \vec{c} = 1$ હોવાથી:
$|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9(1)(1) + (1)(2) + 6(\lambda)(-\lambda)(1) = 9 + 2 - 6\lambda^2 = 11 - 6(1) = 5$.

(A) આપણે $y = \max \{| x |, x | x - 2 |\}$,$x$-અક્ષ,$x = -2$ અને $x = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$f(x) = |x|$ અને $g(x) = x|x-2|$ લો.
$x \in [-2, 0]$ માટે,$f(x) = -x$ અને $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$. આ અંતરાલમાં $f(x) \ge g(x)$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\int_{-2}^{0} (-x) dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-2) = 2$ છે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$f(x) = x$ અને $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$. અહીં $f(x) \ge g(x)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{2} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = 2$ છે.
$x \in [2, 3]$ માટે,$f(x) = x$ અને $g(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$. અહીં $f(x) \ge g(x)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{2}^{3} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{3} = \frac{9}{2} - 2 = 2.5$ છે.
$x \in [3, 4]$ માટે,$g(x) = x^2 - 2x$ અને $f(x) = x$. અહીં $g(x) \ge f(x)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{4} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{3}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - (9 - 9) = \frac{16}{3}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $2 + 2 + 2.5 + 5.33 = 11.83 \approx 12$.

(D) વિધેય $f(x) = ||x+2|-2|x||$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે તે બિંદુઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરની અભિવ્યક્તિ ચિહ્ન બદલે છે,જે $x = -2$,$x = 0$ અને $|x+2| = 2|x|$ છે.
$|x+2| = 2|x|$ ઉકેલતા:
કિસ્સો $1$: $x \geq 0 \implies x+2 = 2x \implies x = 2$.
કિસ્સો $2$: $-2 \leq x < 0 \implies x+2 = -2x \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$.
કિસ્સો $3$: $x < -2 \implies -(x+2) = -2x \implies -x-2 = -2x \implies x = 2$ (પ્રદેશમાં નથી).
આમ,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, -2/3, 0, 2$ છે.
આલેખ દોરીને અથવા $f(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફારોનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે જોઈએ છીએ કે:
- $x = -2/3$ પર,$f(x) = 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
- $x = 0$ પર,$f(x) = 2$,જે સ્થાનિક મહત્તમ છે.
- $x = 2$ પર,$f(x) = 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
- $x = -2$ પર,$f(x) = 4$,જે સ્થાનિક મહત્તમ છે.
તેથી,સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ $x = -2/3$ અને $x = 2$ છે,તેથી $m = 2$.
સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ $x = -2$ અને $x = 0$ છે,તેથી $n = 2$.
આમ,$m+n = 2+2 = 4$.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા અનુક્રમે $x, y, z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ છે.
આપેલ છે કે $\beta = \frac{\alpha}{2}$ અને $\gamma = \frac{\alpha}{2}$.
રેખાના દિકકોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$.
$\cos^2 \alpha + 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^2 \alpha + 2(\frac{1 + \cos \alpha}{2}) = 1$.
$\cos^2 \alpha + 1 + \cos \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha + \cos \alpha = 0$.
$\cos \alpha(\cos \alpha + 1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha = 0$ અથવા $\cos \alpha = -1$.
જો $\cos \alpha = 0$ હોય,તો $\alpha = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\beta = \frac{\pi}{4}$.
જો $\cos \alpha = -1$ હોય,તો $\alpha = \pi$,તેથી $\beta = \frac{\pi}{2}$.
$\beta$ માટેના શક્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{4}$ અને $\frac{\pi}{2}$ છે.
$\beta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{4}$ થાય.

(A) આપેલ ગણ $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ $x R y \iff y = \max \{x, 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$R$ ના ઘટકોની ગણતરી:
$x = -2$ માટે,$y = \max \{-2, 1\} = 1 \implies (-2, 1) \in R$.
$x = -1$ માટે,$y = \max \{-1, 1\} = 1 \implies (-1, 1) \in R$.
$x = 0$ માટે,$y = \max \{0, 1\} = 1 \implies (0, 1) \in R$.
$x = 1$ માટે,$y = \max \{1, 1\} = 1 \implies (1, 1) \in R$.
$x = 2$ માટે,$y = \max \{2, 1\} = 2 \implies (2, 2) \in R$.
$x = 3$ માટે,$y = \max \{3, 1\} = 3 \implies (3, 3) \in R$.
તેથી,$R = \{(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$.
આમ,$l = 6$.
$R$ સ્વવાચક બને તે માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. હાલમાં,$R$ માં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ છે. આપણે $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી,$m = 3$.
$R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. $R$ માં રહેલી જોડીઓ $(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)$ છે.
સંમિતતા માટે $(1, -2), (1, -1), (1, 0)$ ઉમેરવા પડે. તેથી,$n = 3$.
તેથી,$l + m + n = 6 + 3 + 3 = 12$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{8 x \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{8(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{8(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{8x + 8\pi - 8x}{4 \cos^2 x + \sin^2 x} \, dx = 8\pi \int_0^\pi \frac{dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
વિધેય $\pi/2$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$2I = 8\pi \times 2 \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{4 \cos^2 x + \sin^2 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = 8\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + \tan^2 x}$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$. જ્યારે $x \to 0, t \to 0$ અને જ્યારે $x \to \pi/2, t \to \infty$.
$I = 8\pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + t^2} = 8\pi \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \right]_0^\infty$.
$I = 4\pi \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = 2\pi^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$
પગલું $1$: $x = 3$ મૂકતા:
$f(3) + 3f(8) = 12$ --- (સમીકરણ $1$)
પગલું $2$: $x = 8$ મૂકતા:
$f(8) + 3f(3) = 32$ --- (સમીકરણ $2$)
પગલું $3$: સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$4(f(3) + f(8)) = 44$
પગલું $4$: $4$ વડે ભાગતા:
$f(3) + f(8) = 11$

(B) આપેલ પ્રદેશ $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આ બે અસમતાઓ સૂચવે છે: $y \geq |x-y|$ અને $y \leq 4 \sqrt{x}$.
$y \geq |x-y|$ પરથી,આપણને $-y \leq x-y \leq y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x \geq 0$ અને $x \leq 2y$,અથવા $y \geq \frac{x}{2}$ થાય છે.
$y \leq 4 \sqrt{x}$ પરથી,આપણને $y^2 \leq 16x$ મળે છે (જ્યાં $y \geq 0$).
$y = \frac{x}{2}$ અને $y = 4 \sqrt{x}$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\frac{x}{2} = 4 \sqrt{x} \Rightarrow x = 8 \sqrt{x} \Rightarrow x^2 = 64x \Rightarrow x(x-64) = 0$ લઈએ.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 64$ પર છે.
$x \in [0, 64]$ માટે,વક્ર $y = 4 \sqrt{x}$ એ રેખા $y = \frac{x}{2}$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^{64} (4 \sqrt{x} - \frac{x}{2}) dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64} = \left[ \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64}$.
$= \frac{8}{3} (64)^{3/2} - \frac{64^2}{4} = \frac{8}{3} (512) - \frac{4096}{4} = \frac{4096}{3} - 1024 = \frac{4096 - 3072}{3} = \frac{1024}{3}$.

(A) વિધેય $f(x) = \log_7(1 - \log_4(x^2 - 9x + 18))$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$1 - \log_4(x^2 - 9x + 18) > 0$ અને $x^2 - 9x + 18 > 0$ હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $x^2 - 9x + 18 > 0$ ઉકેલો.
$(x - 3)(x - 6) > 0 \implies x \in (-\infty, 3) \cup (6, \infty)$.
પગલું $2$: $1 - \log_4(x^2 - 9x + 18) > 0$ ઉકેલો.
$\log_4(x^2 - 9x + 18) < 1 \implies x^2 - 9x + 18 < 4^1$.
$x^2 - 9x + 14 < 0 \implies (x - 2)(x - 7) < 0 \implies x \in (2, 7)$.
પગલું $3$: બંને શરતોનો છેદગણ શોધો.
$x \in ((-\infty, 3) \cup (6, \infty)) \cap (2, 7) = (2, 3) \cup (6, 7)$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (2, 3)$ અને $(\gamma, \delta) = (6, 7)$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 + 3 + 6 + 7 = 18$.

(D) બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)3^{-x} = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)3^{-x} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots$.
તેથી $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$ અને $r=\frac{1}{3}$ છે,તેથી $\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.
આમ $S = \frac{9}{4}$. કારણ કે $kS = 1$,તેથી $k = \frac{4}{9}$.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k(1)3^0 = k = \frac{4}{9}$.
$P(X=1) = k(2)3^{-1} = \frac{2k}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{27}$.
$P(X=2) = k(3)3^{-2} = \frac{3k}{9} = \frac{k}{3} = \frac{4}{27}$.
$P(X \geq 3) = 1 - (\frac{4}{9} + \frac{8}{27} + \frac{4}{27}) = 1 - (\frac{12+8+4}{27}) = 1 - \frac{24}{27} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ છે.
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3(\sec^2 x)y = \sec^2 x$ બને છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3\sec^2 x$ અને $Q(x) = \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3\sec^2 x dx} = e^{3\tan x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot e^{3\tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3\tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = 3\tan x$,તો $du = 3\sec^2 x dx$,તેથી $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3\tan x} = \int e^u \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3}e^{3\tan x} + C$.
$y(0) = \frac{1}{3} + e^3$ આપેલ છે,$x=0$ માટે $\tan(0)=0$,તેથી $y(0) \cdot e^0 = \frac{1}{3}e^0 + C \Rightarrow \frac{1}{3} + e^3 = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = e^3$.
આમ,$y \cdot e^{3\tan x} = \frac{1}{3}e^{3\tan x} + e^3$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot e^3 = \frac{1}{3}e^3 + e^3 = \frac{4}{3}e^3$.
તેથી,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{4}{3}$.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-2}{3} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (\lambda+4, 4, 3\lambda+2)$ છે.
અંતર રેખા $\frac{x-9}{2} = \frac{y-13}{3} = \frac{z-17}{6}$ ની દિશામાં માપવામાં આવે છે,તેથી સદિશ $\vec{PQ}$ એ સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સદિશ $\vec{PQ} = Q - P = (\lambda+4-7, 4-10, 3\lambda+2-11) = (\lambda-3, -6, 3\lambda-9)$.
$\vec{PQ}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{\lambda-3}{2} = \frac{-6}{3} = \frac{3\lambda-9}{6}$.
$\frac{\lambda-3}{2} = -2$ પરથી,આપણને $\lambda-3 = -4$ મળે છે,તેથી $\lambda = -1$.
$Q$ ના યામમાં $\lambda = -1$ મૂકતા,આપણને $Q = (-1+4, 4, 3(-1)+2) = (3, 4, -1)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-7)^2 + (4-10)^2 + (-1-11)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(A) આપેલ છે કે $|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -1$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $\lambda(10 - (-6)) - 2(8 - 42) + 3(-4 - 35) = -1$.
$16\lambda - 2(-34) + 3(-39) = -1 \Rightarrow 16\lambda + 68 - 117 = -1 \Rightarrow 16\lambda = 48 \Rightarrow \lambda = 3$.
આપણને $B^{-1} = \operatorname{adj}(A \cdot \operatorname{adj}(A^2))$ આપેલ છે.
ધારો કે $C = A \cdot \operatorname{adj}(A^2)$.
$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A|I$ હોવાથી,$A^2 \cdot \operatorname{adj}(A^2) = |A^2|I = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
તેથી,$C = A^{-1}$.
પછી $B^{-1} = \operatorname{adj}(A^{-1})$.
ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(A^{-1}) = (A^{-1})^{-1} / |A^{-1}| = A / (1/|A|) = |A|A$ નો ઉપયોગ કરતા.
$|A| = -1$ હોવાથી,$B^{-1} = -A$,તેથી $B = -A^{-1}$.
આપણે $|\lambda B + I| = |3B + I| = |-3A^{-1} + I|$ શોધવાનું છે.
$|-3A^{-1} + I| = |A^{-1}(-3I + A)| = |A^{-1}| \cdot |A - 3I| = \frac{1}{|A|} |A - 3I| = -|A - 3I|$.
$A - 3I = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & -1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|A - 3I| = 0(2 + 6) - 2(-4 - 42) + 3(-4 - 14) = 0 - 2(-46) + 3(-18) = 92 - 54 = 38$.
તેથી,$|3B + I| = -38$.
વિકલ્પોના સંદર્ભમાં માનાંક લેતા,જવાબ $38$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{d}$,તેથી $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{d} = \lambda(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (3-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (3-2)\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ગણતા.
તેથી,$\overrightarrow{d} = \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = 4$,તેથી $(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 4$.
$\lambda(1 - 4 + 1) = 4 \Rightarrow -2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -2$.
આમ,$\overrightarrow{d} = -2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 4) - \hat{j}(-2 - (-2)) + \hat{k}(4 - (-4)) = -8\hat{i} + 8\hat{k}$.
તેથી $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d}|^2 = (-8)^2 + 0^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ અને $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$.
આપણે $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{2-3x}{1-x}\right) = \frac{2\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+3}{5\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+2}$
અંશ અને છેદને $(1-x)$ વડે ગુણતા:
$(f \circ g)(x) = \frac{2(2-3x) + 3(1-x)}{5(2-3x) + 2(1-x)} = \frac{4-6x+3-3x}{10-15x+2-2x} = \frac{7-9x}{12-17x}$.
હવે,અંતરાલ $[2, 4]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત મેળવીએ:
$(f \circ g)(2) = \frac{7-9(2)}{12-17(2)} = \frac{7-18}{12-34} = \frac{-11}{-22} = \frac{1}{2}$.
$(f \circ g)(4) = \frac{7-9(4)}{12-17(4)} = \frac{7-36}{12-68} = \frac{-29}{-56} = \frac{29}{56}$.
વિધેય અંતરાલ $[2, 4]$ માં એકવિધ હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $[\alpha, \beta] = [\frac{1}{2}, \frac{29}{56}]$ થશે.
અહીં,$\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = \frac{29}{56}$.
તેથી $\beta - \alpha = \frac{29}{56} - \frac{1}{2} = \frac{29-28}{56} = \frac{1}{56}$.
આમ,$\frac{1}{\beta-\alpha} = 56$.

(C) આપેલ ગણ:
$A: x^2 + y^2 = 25$
$B: x^2 + 9y^2 = 144$
$C: \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x^2 + y^2 \leq 4\}$
$D = A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે $A$ અને $B$ ના સમીકરણો ઉકેલીએ:
$x^2 = 25 - y^2$
$B$ માં કિંમત મૂકતા: $(25 - y^2) + 9y^2 = 144$
$8y^2 = 119 \Rightarrow y^2 = \frac{119}{8} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{119}{8}}$
$x^2 = 25 - \frac{119}{8} = \frac{200 - 119}{8} = \frac{81}{8} \Rightarrow x = \pm \frac{9}{2\sqrt{2}}$
આમ,$D$ માં $4$ બિંદુઓ છે: $\left(\pm \frac{9}{2\sqrt{2}}, \pm \sqrt{\frac{119}{8}}\right)$. તેથી,$|D| = 4$.
હવે,$C$ ના ઘટકો શોધો જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$ અને $x^2 + y^2 \leq 4$:
શક્ય પૂર્ણાંક જોડીઓ $(x, y)$ છે:
$(0, 0), (0, 1), (0, -1), (0, 2), (0, -2), (1, 0), (-1, 0), (2, 0), (-2, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.
આ ગણતરી કરતા,આપણને $|C| = 13$ મળે છે.
$D$ થી $C$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = |C| = 13$ અને $r = |D| = 4$.
વિધેયોની સંખ્યા $= 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 17160$.

(B) રેખાઓ $L_1: \frac{x-3}{3}=\frac{y-\alpha}{-1}=\frac{z-3}{1}$ અને $L_2: \frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-\beta}{4}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(3, \alpha, 3)$ અને $B(-3, -7, \beta)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{p} = (3, -1, 1)$ અને $\vec{q} = (-3, 2, 4)$ છે.
સદિશ $\vec{BA} = (3 - (-3))\hat{i} + (\alpha - (-7))\hat{j} + (3 - \beta)\hat{k} = 6\hat{i} + (\alpha+7)\hat{j} + (3-\beta)\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{BA} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|} = 3\sqrt{30}$.
$|6(-6) + (\alpha+7)(-15) + (3-\beta)(3)| = 270$.
$|-36 - 15\alpha - 105 + 9 - 3\beta| = 270$.
$|-15\alpha - 3\beta - 132| = 270$.
ધન મૂલ્ય માટે,$15\alpha + 3\beta + 132 = 270$ લેતા,$15\alpha + 3\beta = 138$ એટલે કે $5\alpha + \beta = 46$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = -2 + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt + e^x (e^{-x} f(x)) = -2 + (f(x) - (1 - 2x)) + f(x) = 2f(x) + 2x - 3$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} - 2y = 2x - 3$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = (2x - 3) e^{-2x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y e^{-2x} = \int (2x - 3) e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$.
$y = -\frac{2x-3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + 1 + C e^{2x}$.
$f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$ હોવાથી,$1 = -0 + 1 + C e^0 \Rightarrow C = 0$.
આમ,$f(x) = 1 - x$.
$y = 1 - x$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એ $(0,0), (1,0), (0,1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

(B) રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માટે,સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ છે.
રેખા $L$ ની દિશા $\vec{b} = (3, 2, -2)$ છે. લંબ હોવાથી,$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = 0$.
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$ $\Rightarrow 17\lambda + 17 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
તેથી,લંબપાદ $Q(3, 5, 9)$ મળે છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $Q$ થી $2\sqrt{17}$ અંતરે છે. રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{17}}(3, 2, -2)$ છે.
$A, B = Q \pm 2\sqrt{17}\hat{u} = (3, 5, 9) \pm 2(3, 2, -2)$.
તેથી $A(9, 9, 5)$ અને $B(-3, 1, 13)$ મળે.
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (9)(-3) + (9)(1) + (5)(13) = -27 + 9 + 65 = 47$.

(B) આપેલ છે કે $f(2x) - f(x) = x$. $x$ ને $\frac{x}{2}, \frac{x}{4}, \dots, \frac{x}{2^n}$ વડે બદલતા:
$f(x) - f(\frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$
$f(\frac{x}{2}) - f(\frac{x}{4}) = \frac{x}{4}$
$f(\frac{x}{4}) - f(\frac{x}{8}) = \frac{x}{8}$
$f(\frac{x}{2^{n-1}}) - f(\frac{x}{2^n}) = \frac{x}{2^n}$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$f(x) - f(\frac{x}{2^n}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x}{2^k} = x(1 - (\frac{1}{2})^n)$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા:
$G(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} (f(x) - f(\frac{x}{2^n})) = x$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{10} G(r^2) = \sum_{r=1}^{10} r^2 = 385$.

(B) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}\right)$.
આપેલ છે કે $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,ધારો કે $x = \sin \theta$. તેથી $\theta = \sin ^{-1} x$.
કારણ કે $-\frac{1}{2} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$ મળે.
$x = \sin \theta$ ને પદમાં મૂકતા:
$y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ મળે.
$\sin ^{-1}$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી અને $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ આ વિસ્તારમાં હોવાથી,$\sin ^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{6})) = \theta + \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,$y = \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$.
$\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}$ થાય.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (3)(2) + (-1)(1) + (0)(-\lambda) = 6 - 1 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$,તેથી $\frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{10(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{4 \times 7} = \frac{5}{28}$.
$\frac{5}{2(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{28} \Rightarrow 5 + \lambda^2 = 14 \Rightarrow \lambda^2 = 9 \Rightarrow \lambda = 3$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
હવે,$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,જ્યાં $\vec{v}_1 \parallel \overrightarrow{u}$ અને $\vec{v}_2 \perp \overrightarrow{u}$.
કારણ કે $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ થાય.
$|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$.
આમ,$|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 = 14$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}) e^x+(\sqrt{|x|-x}) e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,$x$ ને $-x$ વડે બદલતા:
$I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|-x|-(-x)}) e^{-x}+(\sqrt{|-x|-(-x)}) e^{-(-x)}}{e^{-x}+e^{-(-x)}} dx$
$I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|+x}) e^{-x}+(\sqrt{|x|+x}) e^x}{e^{-x}+e^x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}) e^x + (\sqrt{|x|-x}) e^{-x} + (1+\sqrt{|x|+x}) e^{-x} + (\sqrt{|x|+x}) e^x}{e^x+e^{-x}} dx$
$2I = \int_{-1}^1 \frac{(1+\sqrt{|x|-x}+\sqrt{|x|+x})(e^x+e^{-x})}{e^x+e^{-x}} dx$
$2I = \int_{-1}^1 (1+\sqrt{|x|-x}+\sqrt{|x|+x}) dx$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$2I = 2 \int_0^1 (1+\sqrt{x-x}+\sqrt{x+x}) dx = 2 \int_0^1 (1+0+\sqrt{2x}) dx$.
$I = \int_0^1 (1+\sqrt{2}x^{1/2}) dx = [x + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1$
$I = 1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(B) $10$ માંથી $2$ પેન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\frac{^7C_2}{45} = \frac{21}{45}$	$\frac{^7C_1 \times ^3C_1}{45} = \frac{21}{45}$	$\frac{^3C_2}{45} = \frac{3}{45}$

મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{21}{45} + 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+6}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$.
અપેક્ષા $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{21}{45} + 1^2 \times \frac{21}{45} + 2^2 \times \frac{3}{45} = \frac{21+12}{45} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{11}{15} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{11}{15} - \frac{9}{25} = \frac{55-27}{75} = \frac{28}{75}$.

(A) આ પ્રદેશ $y = 4\sqrt{x}$ અને $y = |x-5|$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$x \geq 5$ માટે,$4\sqrt{x} = x-5 \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0 \Rightarrow (x-25)(x-1) = 0$. $x \geq 5$ હોવાથી,$x = 25$. $x=25$ પર,$y=20$.
$x < 5$ માટે,$4\sqrt{x} = 5-x \Rightarrow 16x = x^2 - 10x + 25 \Rightarrow x^2 - 26x + 25 = 0$. $x < 5$ હોવાથી,$x = 1$. $x=1$ પર,$y=4$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_1^{25} 4\sqrt{x} \, dx - x=1$ અને $x=25$ વચ્ચે $y=|x-5|$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.
$y=|x-5|$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બે ત્રિકોણ ધરાવે છે: એક શિરોબિંદુઓ $(1,4), (5,0), (1,0)$ વાળો અને બીજો $(5,0), (25,20), (25,0)$ વાળો.
પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (5-1) \times 4 = 8$.
બીજા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (25-5) \times 20 = 200$.
$A = \int_1^{25} 4x^{1/2} \, dx - (8 + 200) = \left[ \frac{4x^{3/2}}{3/2} \right]_1^{25} - 208 = \frac{8}{3}(125 - 1) - 208 = \frac{8}{3}(124) - 208 = \frac{992 - 624}{3} = \frac{368}{3}$.
આમ,$3A = 368$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A$ એ લંબકોણીય શ્રેણિક હોવાથી,$A^T A = I$,જેનો અર્થ છે કે $A^T = A^{-1}$.
આપેલ છે કે $A^2 = A^T$,તેથી $A^2 = A^{-1}$.
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3 = I$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $B = (A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ ને ધ્યાનમાં લો.
ઘનનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A + I)^3 = A^3 + 3A^2 + 3A + I$.
$(A - I)^3 = A^3 - 3A^2 + 3A - I$.
આ બંને પદાવલિઓનો સરવાળો કરતા:
$(A + I)^3 + (A - I)^3 = (A^3 + 3A^2 + 3A + I) + (A^3 - 3A^2 + 3A - I) = 2A^3 + 6A$.
આને $B$ માં મૂકતા:
$B = (2A^3 + 6A) - 6A = 2A^3$.
$A^3 = I$ હોવાથી,$B = 2I = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2 + 2 + 2 = 6$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \max \{x, x^3, x^5, \dots, x^{21}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x \in (-1, 1)$ માટે,જો $x > 0$ હોય તો મહત્તમ કિંમત $x$ છે અને જો $x < 0$ હોય તો $x^{21}$ છે.
$|x| > 1$ માટે,જો $x > 1$ હોય તો મહત્તમ કિંમત $x$ છે અને જો $x < -1$ હોય તો $x^{21}$ છે.
આમ,વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} x^{21}, & x < -1 \\ x, & -1 \leq x < 0 \\ x^{21}, & 0 \leq x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$
સાતત્ય તપાસતા:
$x = -1$ આગળ: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = (-1)^{21} = -1$ અને $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1$. તેથી,$f(x)$ એ $x = -1$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^{21} = 0$. તેથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 1$ આગળ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^{21} = 1$ અને $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$. તેથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત છે.
કારણ કે $f(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી $n = 0$.
વિકલનીયતા તપાસતા:
$f'(x) = \begin{cases} 21x^{20}, & x < -1 \\ 1, & -1 < x < 0 \\ 21x^{20}, & 0 < x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ આગળ: $f'(-1^-) = 21(-1)^{20} = 21$ અને $f'(-1^+) = 1$. $21 \neq 1$ હોવાથી,તે વિકલનીય નથી.
$x = 0$ આગળ: $f'(0^-) = 1$ અને $f'(0^+) = 21(0)^{20} = 0$. $1 \neq 0$ હોવાથી,તે વિકલનીય નથી.
$x = 1$ આગળ: $f'(1^-) = 21(1)^{20} = 21$ and $f'(1^+) = 1$. $21 \neq 1$ હોવાથી,તે વિકલનીય નથી.
આમ,$m = 3$.
તેથી,$m + n = 3 + 0 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 18x^2 - 90ax + 108a^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$18(x^2 - 5ax + 6a^2) = 0$
$18(x - 2a)(x - 3a) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2a$ અને $x = 3a$ છે.
$f''(x) = 36x - 90a$ હોવાથી,આપણે બિંદુઓની પ્રકૃતિ તપાસીએ:
$f''(2a) = 36(2a) - 90a = -18a < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ $x_1 = 2a$ પર).
$f''(3a) = 36(3a) - 90a = 18a > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x_2 = 3a$ પર).
આપેલ છે કે $x_1x_2 = 54$,તેથી $(2a)(3a) = 54$,એટલે કે $6a^2 = 54$,જે $a^2 = 9$ આપે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 3$ મળે.
તેથી $x_1 = 2(3) = 6$ અને $x_2 = 3(3) = 9$.
અંતે,$a + x_1 + x_2 = 3 + 6 + 9 = 18$.

(A) આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$. આ $1^\infty$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow 0} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x)-1) \cdot \frac{3}{x}} = e^{3 f'(2)} = e^{3 \cdot 4} = e^{12}$.
તેથી,$\alpha = 12$.
હવે,વક્રના સમીકરણમાં $\alpha = 12$ મૂકતા:
$y = 4x^3 - 4x^2 - 4(12-7)x - 12 = 4x^3 - 4x^2 - 20x - 12$.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$4(x^3 - x^2 - 5x - 3) = 0$.
બીજ ચકાસતા,$x = -1$ એ એક બીજ છે: $(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$.
$(x+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x+1)(x^2 - 2x - 3) = 0$ મળે છે,જેનું અવયવીકરણ $(x+1)^2(x-3) = 0$ થાય છે.
બીજ $x = -1$ (પુનરાવર્તિત) અને $x = 3$ છે.
આમ,વક્ર $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે.

(B) સંબંધ $R$ એ $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ પર $2x - y \in \{0, 1\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $1$: $2x - y = 0 \implies y = 2x$.
$x = -1$ માટે $y = -2$; $x = 0$ માટે $y = 0$; $x = 1$ માટે $y = 2$.
જોડ: $(-1, -2), (0, 0), (1, 2)$.
કિસ્સો $2$: $2x - y = 1 \implies y = 2x - 1$.
$x = -1$ માટે $y = -3$; $x = 0$ માટે $y = -1$; $x = 1$ માટે $y = 1$; $x = 2$ માટે $y = 3$.
જોડ: $(-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)$.
આમ,$R = \{(-1, -2), (0, 0), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)\}$.
ઘટકોની સંખ્યા $l = 7$.
$R$ સ્વવાચક બને તે માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. હાલમાં,ફક્ત $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ હાજર છે. આપણે $(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી,$m = 5$.
$R$ સંમિત બને તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x)$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ. ઘટકો $(-1, -2), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (2, 3)$ છે. તેમના વ્યસ્ત $(-2, -1), (2, 1), (-3, -1), (-1, 0), (3, 2)$ છે. આમાંથી કોઈ પણ $R$ માં નથી. તેથી,આપણે $5$ ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી,$n = 5$.
તેથી,$l + m + n = 7 + 5 + 5 = 17$.

(C) બે રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_1} + \lambda \overrightarrow{p}$ અને $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_2} + \mu \overrightarrow{q}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})|}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{a_1} = -\hat{i}$,$\overrightarrow{p} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{a_2} = p\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,અને $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16-15) - \hat{j}(12-10) + \hat{k}(9-8) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|((p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})|}{\sqrt{6}} = \frac{|p+1 - 4 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{|p-2|}{\sqrt{6}}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,તેથી $|p-2| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $p-2 = 1$ અથવા $p-2 = -1$.
આમ,$p = 3$ અથવા $p = 1$. $a < b$ હોવાથી,$a = 1$ અને $b = 3$ મળે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 9$ છે,તેથી $b > a$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે જ્યાં $b > a$ હોય,ત્યારે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$ થાય.

(A) $f(x)$ માટે,$\log_3 \log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5)) > 0$ જરૂરી છે.
આથી $\log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5)) > 1$,એટલે કે $8 - \log_2(x^2 + 4x + 5) > 7$.
તેથી,$\log_2(x^2 + 4x + 5) < 1$,જેનો અર્થ છે $x^2 + 4x + 5 < 2$,અથવા $x^2 + 4x + 3 < 0$.
અવયવ પાડતા $(x + 3)(x + 1) < 0$,તેથી $x \in (-3, -1)$. આમ,$\alpha = -3$ અને $\beta = -1$.
$g(x)$ માટે,$-1 \leq \frac{7x + 10}{x - 2} \leq 1$ જરૂરી છે.
$\frac{7x + 10}{x - 2} \leq 1$ ઉકેલતા $x \in [-2, 2)$ મળે છે.
$\frac{7x + 10}{x - 2} \geq -1$ ઉકેલતા $x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty)$ મળે છે.
બંનેનો છેદગણ $x \in [-2, -1]$ છે. આમ,$\gamma = -2$ અને $\delta = -1$.
અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 + 4 + 1 = 15$.