JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) कथन $I$ को सामान्यतः मानक वर्नियर कैलिपर्स के लिए सही माना जाता है जहाँ $1$ वर्नियर स्केल डिवीजन $(VSD)$ $< 1$ मुख्य स्केल डिवीजन $(MSD)$ होता है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि वर्नियर स्थिरांक (अल्पतमांक) को एक मुख्य स्केल डिवीजन और एक वर्नियर स्केल डिवीजन के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसकी गणना $LC = 1 MSD - 1 VSD = \frac{1 MSD}{n}$ के रूप में की जाती है,जहाँ $n$ वर्नियर स्केल डिवीजनों की संख्या है। यह $MSD$ और डिवीजनों की संख्या का गुणनफल नहीं है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4 \pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
अतः,$P \propto r^2 T^4$.
माना $r_1 = 0.2 \ m$,$T_1 = 800 \ K$,और $P_1 = E$.
माना $r_2 = 0.8 \ m$,$T_2 = 400 \ K$,और $P_2$ बड़े पिंड द्वारा विकिरित ऊर्जा है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{E} = \left( \frac{0.8}{0.2} \right)^2 \left( \frac{400}{800} \right)^4$.
$\frac{P_2}{E} = (4)^2 \times (\frac{1}{2})^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.
इसलिए,$P_2 = E$.

(B) आवश्यक कुल ऊष्मा पाँच चरणों में अवशोषित ऊष्मा का योग है:
$1$. बर्फ को $-10^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक गर्म करना: $\Delta Q_1 = m \cdot S_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 2100 \times 10 = 21 \ J$
$2$. $0^{\circ} C$ पर बर्फ को पानी में बदलना: $\Delta Q_2 = m \cdot L_f = 10^{-3} \times 3.35 \times 10^5 = 335 \ J$
$3$. पानी को $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक गर्म करना: $\Delta Q_3 = m \cdot S_{\text{water}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 4180 \times 100 = 418 \ J$
$4$. $100^{\circ} C$ पर पानी को भाप में बदलना: $\Delta Q_4 = m \cdot L_v = 10^{-3} \times 2.25 \times 10^6 = 2250 \ J$
$5$. भाप को $100^{\circ} C$ से $110^{\circ} C$ तक गर्म करना: $\Delta Q_5 = m \cdot S_{\text{steam}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 1920 \times 10 = 19.2 \ J$
कुल ऊष्मा $\Delta Q_{\text{total}} = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 + \Delta Q_3 + \Delta Q_4 + \Delta Q_5 = 21 + 335 + 418 + 2250 + 19.2 = 3043.2 \ J$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $3043 \ J$ प्राप्त होता है।

(C) बंद पाइप के लिए $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_c = \frac{n V_1}{4 \ell_1}$ होती है,जहाँ $n$ विषम संख्या है। $9^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए,$f_c = \frac{9 V_1}{4 \ell_1}$।
खुली पाइप के लिए $m^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_o = \frac{m V_2}{2 \ell_2}$ होती है। $4^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए,$f_o = \frac{4 V_2}{2 \ell_2} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$।
दिया गया है कि $f_c = f_o$,इसलिए $\frac{9 V_1}{4 \ell_1} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$।
चूंकि ध्वनि की गति $V = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,इसलिए $V_1 = \sqrt{\frac{B}{\rho_1}}$ और $V_2 = \sqrt{\frac{B}{\rho_2}}$ रखने पर।
$\frac{9}{4 \ell_1} \sqrt{\frac{B}{\rho_1}} = \frac{2}{\ell_2} \sqrt{\frac{B}{\rho_2}} \Rightarrow \frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{8}{9} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$।
यहाँ $\ell_1 = 10 \ cm$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{16}$ है,इसलिए $\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \frac{1}{4}$।
$\ell_2 = 10 \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{20}{9} \ cm$।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली मूल डिस्क का केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$r = R/2$ त्रिज्या वाले हटाए गए वृत्ताकार भाग का द्रव्यमान $M' = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/2)^2 = M/4$ है।
इस हटाए गए भाग का अपनी स्वयं की केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} M' r^2 = \frac{1}{2} (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क की मूल केंद्रीय अक्ष के परितः (इसके स्वयं के केंद्र से $d = R/2$ की दूरी पर) हटाए गए भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + M' d^2 = \frac{1}{32} MR^2 + (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2 + \frac{1}{16} MR^2 = \frac{3}{32} MR^2$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3}{32} MR^2 = \frac{16-3}{32} MR^2 = \frac{13}{32} MR^2$ है।

(C) पूर्ण गोले के कारण द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार है:
$F_1 = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2} \quad ...(1)$
जब $r = R/3$ त्रिज्या का एक गोलाकार भाग हटा दिया जाता है,तो उसका द्रव्यमान $M'$ गोले के घनत्व $\rho$ पर विचार करके निकाला जाता है:
$M' = \rho \cdot V' = \left( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3}\pi (R/3)^3 \right) = \frac{M}{27}$
हटाए गए गोले का केंद्र मुख्य केंद्र $O$ से $d = R - R/3 = 2R/3$ की दूरी पर है। इस केंद्र से बिंदु द्रव्यमान $m$ की दूरी $2R - 2R/3 = 4R/3$ है।
शेष भाग द्वारा लगाया गया बल $F_2$ मूल बल में से हटाए गए भाग द्वारा लगाए गए बल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$F_2 = F_1 - F_{\text{removed}} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{G(M/27)m}{(4R/3)^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{27 \cdot (16R^2/9)} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{48R^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{48} \right) = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{12-1}{48} \right) = \frac{11}{48} \frac{GMm}{R^2}$
अब,अनुपात $F_1 : F_2$ इस प्रकार है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{GMm / 4R^2}{11GMm / 48R^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{48}{11} = \frac{12}{11}$
अतः,$F_1 : F_2 = 12 : 11$.

(B) डोरी के उच्चतम बिंदु $D$ पर ढीली होने के लिए,$D$ पर वेग $v_D = \sqrt{g l}$ होना चाहिए।
बिंदु $A$ और $D$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_D^2 + mg(2l)$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (gl) + 2mgl = \frac{5}{2} mgl \Rightarrow v_0^2 = 5gl$.
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $30^\circ$ है। $A$ से $B$ की ऊँचाई $h_B = l(1 - \cos 30^\circ) = l(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ है।
$KE_B = \frac{1}{2} m v_0^2 - mgh_B = \frac{5}{2} mgl - mgl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = mgl(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})$.
बिंदु $C$ पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^\circ$ है। $A$ से $C$ की ऊँचाई $h_C = l(1 - \cos 60^\circ) = \frac{l}{2}$ है।
$KE_C = \frac{1}{2} m v_0^2 - mgh_C = \frac{5}{2} mgl - mgl(\frac{1}{2}) = 2mgl$.
अनुपात $\frac{KE_B}{KE_C} = \frac{mgl(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})}{2mgl} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \approx 1.18$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
मान लीजिए $r_1 = 2 \ cm$ और $r_2 = 4 \ cm$ दो बुलबुलों की त्रिज्याएँ हैं।
पहले बुलबुले के अंदर का दबाव $P_1 = P_0 + \frac{4T}{r_1}$ है और दूसरे बुलबुले के अंदर का दबाव $P_2 = P_0 + \frac{4T}{r_2}$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
उभयनिष्ठ सतह पर दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
वक्रता त्रिज्या $R$ वाली उभयनिष्ठ सतह के लिए,दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{4T}{R}$ द्वारा भी दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{4T}{R} = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
इसलिए,$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$.
$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = \frac{2 \times 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4 \ cm$.

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक चालक की लंबाई $L$ है और $1^{\text{st}}$ तथा $2^{\text{nd}}$ चालकों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। तब $3^{\text{rd}}$ चालक का क्षेत्रफल $2A$ होगा।
ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1 = \frac{L}{k_1 A} = \frac{L}{60A}$,$R_2 = \frac{L}{k_2 A} = \frac{L}{120A}$,$R_3 = \frac{L}{k_3 (2A)} = \frac{L}{135 \times 2A} = \frac{L}{270A}$.
चालक $1$ और $2$ समानांतर में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{12}$ है:
$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{60A}{L} + \frac{120A}{L} = \frac{180A}{L} \implies R_{12} = \frac{L}{180A}$.
स्थिर अवस्था में,संयोजन से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H$ स्थिर रहती है:
$H = \frac{100 - \theta}{R_{12}} = \frac{\theta - 0}{R_3}$
$\frac{100 - \theta}{L / 180A} = \frac{\theta}{L / 270A}$
$180(100 - \theta) = 270\theta$
$2(100 - \theta) = 3\theta$
$200 - 2\theta = 3\theta$
$5\theta = 200 \implies \theta = 40^{\circ}C$.

(D) यहाँ $\vec{r}_A = (t^2 \hat{i} + 3nt \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{r}_B = (2t \hat{i} - t^2 \hat{j} + 4pt \hat{k})$ है।
$t=1 \ s$ पर वेग $\vec{V}_A = \frac{d\vec{r}_A}{dt} = (2t \hat{i} + 3n \hat{j}) = (2 \hat{i} + 3n \hat{j})$ और $\vec{V}_B = \frac{d\vec{r}_B}{dt} = (2 \hat{i} - 2t \hat{j} + 4p \hat{k}) = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4p \hat{k})$ है।
चूँकि $\vec{V}_A \cdot \vec{V}_B = 0$,इसलिए $(2)(2) + (3n)(-2) + (0)(4p) = 0 \Rightarrow 4 - 6n = 0 \Rightarrow n = 2/3$ है।
चूँकि $|\vec{V}_A| = |\vec{V}_B|$,इसलिए $|\vec{V}_A|^2 = |\vec{V}_B|^2 \Rightarrow 2^2 + (3n)^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2 \Rightarrow 9n^2 = 4 + 16p^2$ है।
$n = 2/3$ रखने पर,$9(4/9) = 4 + 16p^2 \Rightarrow 4 = 4 + 16p^2 \Rightarrow p = 0$ है।
$t=1 \ s$ पर,$\vec{r}_A = (1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$ और $\vec{r}_B = (2 \hat{i} - 1 \hat{j})$ है।
सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{A/B} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
कोणीय संवेग $\vec{L} = m(\vec{r}_{A/B} \times \vec{V}_A) = 1 \cdot [(-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j})] = |\begin{smallmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}| = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
परिमाण $|\vec{L}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार $L = 90$ सही उत्तर है।

(A) वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 60 \sin 30^{\circ} = 60 \times 0.5 = 30 \; m/s$ है।
पहले सेकंड $(t=1)$ में तय की गई ऊँचाई $h_0 = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 30 - 5 = 25 \; m$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $T = \frac{u_y}{g} = \frac{30}{10} = 3 \; s$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने से पहले अंतिम सेकंड में तय की गई ऊँचाई,$t = 2 \; s$ और $t = 3 \; s$ के बीच तय की गई दूरी है। यह अधिकतम ऊँचाई से शून्य प्रारंभिक वेग के साथ नीचे की ओर प्रक्षेपित कण द्वारा पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर है,जो $h_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \; m$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n$ वें सेकंड में दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S_n = u_y + \frac{a}{2}(2n-1)$। $t=2$ से $t=3$ के अंतराल के लिए,$n=3$,$u_y=30$,$a=-10$: $h_1 = 30 + \frac{-10}{2}(2(3)-1) = 30 - 5(5) = 30 - 25 = 5 \; m$।
अनुपात $h_0 : h_1 = 25 : 5 = 5$ है।

(B) जब गेंद स्थिर टर्मिनल वेग के साथ चलती है,तो उसका त्वरण शून्य $(a = 0)$ होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(Mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(f)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
बलों को संतुलित करने पर:
$Mg = F_B + f$
$f = Mg - F_B$
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_{glycerine} g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि $M = V \rho_{ball}$,इसलिए $V = \frac{M}{\rho_{ball}}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{glycerine} = \frac{1}{2} \rho_{ball}$,इसलिए:
$F_B = V (\frac{1}{2} \rho_{ball}) g = \frac{1}{2} (V \rho_{ball}) g = \frac{Mg}{2}$।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$f = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$।

(B) तार का घनत्व $\rho$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 \ell}$।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \left( \frac{0.003}{0.60} + 2 \times \frac{0.01}{0.50} + \frac{0.05}{10.00} \right)$।
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{0.003}{0.60} = 0.005$,
$2 \times \frac{0.01}{0.50} = 2 \times 0.02 = 0.04$,
$\frac{0.05}{10.00} = 0.005$।
इन मानों का योग करने पर: $0.005 + 0.04 + 0.005 = 0.05$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर:
प्रतिशत त्रुटि $= 0.05 \times 100 = 5 \%$।

(D) रुद्धोष्म सूचकांक $(\gamma)$ का सूत्र $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एक कठोर द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है।
अतः,$\gamma_1 = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
कंपन मोड वाले द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 7$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन + $2$ कंपन) है।
अतः,$\gamma_2 = 1 + \frac{2}{7} \approx 1 + 0.286 = 1.286$.
दोनों मानों की तुलना करने पर,$\gamma_2 < \gamma_1$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
ग्रह पर,द्रव्यमान $M' = 4M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{G(4M)}{(2R)^2} = \frac{4GM}{4R^2} = \frac{GM}{R^2} = g$ है।
चूंकि दोनों स्थानों पर गुरुत्वीय त्वरण समान है,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ समान रहता है। अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है।
लोलक के गोलक का द्रव्यमान सरल लोलक के आवर्तकाल को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है।
हालाँकि,आवर्तकाल के समान होने का कारण दोनों ग्रहों पर $g$ की समानता है,न कि लोलक का द्रव्यमान। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) बलाघूर्ण $\vec{\tau}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 1) - \hat{j}(1 \times 2 - 1 \times 2) + \hat{k}(1 \times 1 - 1 \times 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 - 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i} - 0\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} - \hat{k}$.

(B) किया गया कार्य $(W)$ बल $(\vec{F})$ और विस्थापन $(\vec{S})$ का अदिश गुणनफल होता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
दिया गया है $\vec{F} = 2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{S} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,$W = (2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(1) + (b)(-2) + (1)(-1) = 0$.
$2 - 2b - 1 = 0$.
$1 - 2b = 0$.
$2b = 1$.
अतः,$b = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \ \text{g} = 0.1 \ \text{kg}$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \ \text{m/s}$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20)^2 = 0.05 \times 400 = 20 \ \text{J}$.
उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ शेष रहता है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m (u \cos 60^{\circ})^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20 \times 0.5)^2 = 0.05 \times (10)^2 = 0.05 \times 100 = 5 \ \text{J}$.
गतिज ऊर्जा में कमी $\Delta K = K_i - K_f = 20 \ \text{J} - 5 \ \text{J} = 15 \ \text{J}$.

(D) असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,नली के सभी बिंदुओं पर अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और प्रवाह के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
यहाँ,$A_1 = \pi r_1^2$ और $A_2 = \pi r_2^2$ है।
दिया गया है: $r_1 = 2 \ cm$,$r_2 = 1 \ cm$,और $v_1 = 2 \ m/s$।
मान रखने पर:
$\pi (2)^2 \times 2 = \pi (1)^2 \times v_2$
$4 \times 2 = 1 \times v_2$
$v_2 = 8 \ m/s$।

(C) विस्तीर्ण (extensive) चर वे होते हैं जो निकाय के आकार या उसमें उपस्थित पदार्थ की मात्रा पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए: आंतरिक ऊर्जा,आयतन और द्रव्यमान।
गहन (intensive) चर वे होते हैं जो निकाय के आकार या उसमें उपस्थित पदार्थ की मात्रा से स्वतंत्र होते हैं। उदाहरण के लिए: दाब,तापमान और घनत्व।
कथनों का मूल्यांकन:
$(A)$ आंतरिक ऊर्जा,आयतन और द्रव्यमान वास्तव में विस्तीर्ण चर हैं। यह कथन सही है।
$(B)$ दाब,तापमान और घनत्व वास्तव में गहन चर हैं। यह कथन सही है।
$(C)$ आयतन विस्तीर्ण है,जबकि तापमान और घनत्व गहन हैं। यह कथन गलत है।
$(D)$ तापमान गहन है,जबकि द्रव्यमान और आंतरिक ऊर्जा विस्तीर्ण हैं। यह कथन गलत है।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(C) माना द्रव्यमान $m = 0.1 \ kg$,त्रिज्या $R = 2 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ है। बिंदु $A$ पर वेग $v_A = 10 \ m/s$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $E_A = E_B = E_C$.
बिंदु $A$ पर (संदर्भ स्तर,$h_A = 0$): $E_A = \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} m (10)^2 = 50m$.
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर से कोण $30^\circ$ है,इसलिए ऊँचाई $h_B = R(1 - \cos 30^\circ) = 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - \sqrt{3}$ है।
$E_B = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgh_B = 50m \implies \frac{1}{2} v_B^2 + 10(2 - \sqrt{3}) = 50 \implies v_B^2 = 60 + 20\sqrt{3}$.
$K.E._B = \frac{1}{2} m v_B^2 = m(30 + 10\sqrt{3})$.
बिंदु $C$ पर,ऊर्ध्वाधर से कोण $90^\circ$ है (चित्रानुसार),इसलिए ऊँचाई $h_C = R = 2 \ m$ है।
$E_C = \frac{1}{2} m v_C^2 + mgh_C = 50m \implies \frac{1}{2} v_C^2 + 10(2) = 50 \implies v_C^2 = 60$.
$K.E._C = \frac{1}{2} m v_C^2 = 30m$.
अनुपात $\frac{K.E._B}{K.E._C} = \frac{m(30 + 10\sqrt{3})}{30m} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$.

(D) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के तरल के एक छोटे तत्व पर विचार करें। इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \frac{M_{total}}{L} dx = \frac{2M}{1} dx = 2M dx$ है।
इस तत्व पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) \omega^2 x = (2M dx) \omega^2 x$ है।
बाहरी सिरे पर तरल द्वारा लगाया गया कुल बल $F$,$x = 0$ से $x = L = 1 \ m$ तक इन बलों का समाकलन है:
$F = \int_{0}^{L} 2M \omega^2 x dx = 2M \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2M \omega^2 \left( \frac{1}{2} \right) = M \omega^2$.
यह दिया गया है कि कोणीय वेग $\omega = \sqrt{\frac{F}{\alpha M}}$ है,इसलिए $\omega^2 = \frac{F}{\alpha M}$ है।
$F = M \omega^2$ की तुलना $\omega^2 = \frac{F}{M}$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(A) जब घन को $x$ के छोटे विस्थापन से नीचे दबाया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_b = A \rho g x$ होता है,जहाँ $A = L^2$ घन के आधार का क्षेत्रफल है।
चूँकि घन हल्का है और तैर रहा है,इसलिए प्रत्यानयन बल $F = -L^2 \rho g x$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -L^2 \rho g x$,जिससे हमें $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{L^2 \rho g}{m}) x$ प्राप्त होता है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{L^2 \rho g}{m}}$ है।
आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{L^2 \rho g}}$ है।
दिया गया है $m = 10 \ g = 10^{-2} \ kg$,$L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{(0.1)^2 \times 10^3 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{0.01 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{10^2}} = 2 \pi \sqrt{10^{-4}} = 2 \pi \times 10^{-2} \ s$ है।
इसे $y \pi \times 10^{-2} \ s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = 2$ प्राप्त होता है।

(B) कथन-$I$ सही है: तापमान बढ़ने के साथ तरल पदार्थों की श्यानता (viscosity) कम हो जाती है। चूंकि गर्म पानी की श्यानता ठंडे पानी से कम होती है,इसलिए यह तेजी से बहता है।
कथन-$II$ गलत है: साबुन एक सर्फेक्टेंट (surfactant) के रूप में कार्य करता है,जो पानी के पृष्ठ तनाव को कम कर देता है। इसलिए,साबुन के पानी का पृष्ठ तनाव ताजे पानी की तुलना में कम होता है।
अतः,कथन-$I$ सही है लेकिन कथन-$II$ गलत है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। चूँकि $x(t)$ स्थिति को दर्शाता है,इसकी विमा $[L]$ है।
$1$. $A \sin t$ पद के लिए: त्रिकोणमितीय फलन का कोण विमाहीन होता है। अतः,$[A] = [x] = [L]$.
$2$. $B \cos^2 t$ पद के लिए: इसी प्रकार,$[B] = [x] = [L]$.
$3$. $Ct^2$ पद के लिए: चूँकि $[Ct^2] = [x] = [L]$,इसलिए $[C] [T^2] = [L]$,जिसका अर्थ है $[C] = [L T^{-2}]$.
$4$. $D$ पद के लिए: चूँकि $D$ को $x(t)$ में जोड़ा गया है,$[D] = [x] = [L]$.
अब,$\frac{ABC}{D}$ की विमा की गणना करते हैं:
$\left[ \frac{ABC}{D} \right] = \frac{[L] \times [L] \times [L T^{-2}]}{[L]} = [L^2 T^{-2}]$.

(D) . एक आदर्श गैस के लिए,यदि दबाव आयतन के व्युत्क्रमानुपाती है $(P \propto 1/V)$,तो $PV = \text{स्थिरांक}$। यह समतापीय प्रक्रिया $(III)$ के अनुरूप है।
$B$. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। समदाबी प्रक्रिया $(IV)$ में,अवशोषित ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने और कार्य करने दोनों के लिए उपयोग की जाती है।
$C$. रुद्धोष्म प्रक्रिया $(I)$ में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$।
$D$. समआयतनिक प्रक्रिया $(II)$ में,आयतन स्थिर रहता है,इसलिए किया गया कार्य $W = P \Delta V = 0$।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(C) प्रक्रिया के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा दो भागों से बनी है: गोली के तापमान को उसके गलनांक तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा और अवस्था परिवर्तन (पिघलने) के लिए आवश्यक ऊष्मा।
मान लीजिए गोली का द्रव्यमान $m \ kg$ है।
तापमान को $300 \ K$ से $600 \ K$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = ms \Delta T = m \times 125 \times (600 - 300) = m \times 125 \times 300 = 37500m \ J$ है।
पिघलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_2 = mL = m \times 2.5 \times 10^4 = 25000m \ J$ है।
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 37500m + 25000m = 62500m \ J$ है।
दिया गया है कि $Q = 625 \ J$,इसलिए $62500m = 625$ है।
$m = \frac{625}{62500} = 0.01 \ kg$ है।
ग्राम में बदलने पर,$m = 0.01 \times 1000 = 10 \ g$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय $(WET)$ का उपयोग करते हुए:
$W_g = K_f - K_i$
चूंकि गोला विरामावस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$। गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgL \sin \theta$ है।
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है:
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{r}$।
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$।
किए गए कार्य को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$mgL \sin \theta = \frac{7}{10} mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7} gL \sin \theta$
इसका अर्थ है कि $v^2 \propto \sin \theta$।
अतः,अनुपात है:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,$v_1^2 : v_2^2$ का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(D) तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक,ग्राफ एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समानांतर भुजाएँ $200 \ m/s$ और $400 \ m/s$ हैं,और ऊँचाई $2 \ s$ है।
क्षेत्रफल $1 = \frac{1}{2} \times (200 + 400) \times 2 = 600 \ m$.
$t = 2 \ s$ से $t = 30.5 \ s$ तक,वेग $400 \ m/s$ पर स्थिर है।
समय अंतराल $\Delta t = 30.5 - 2 = 28.5 \ s$.
क्षेत्रफल $2 = 400 \times 28.5 = 11400 \ m$.
कुल दूरी $= 600 + 11400 = 12000 \ m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $12000 \ m = 12 \ km$.

(D) मान लीजिए मूल डिस्क की त्रिज्या $R = 20 \ cm$ है और छेद की त्रिज्या $r = 5 \ cm$ है।
मूल डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma \pi R^2$ है,जहाँ $\sigma$ सतह द्रव्यमान घनत्व है।
काटे गए भाग का द्रव्यमान $m = \sigma \pi r^2$ है।
चूंकि $r = R/4$,इसलिए द्रव्यमान $m = \sigma \pi (R/4)^2 = M/16$ होगा।
मूल डिस्क का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
छेद का केंद्र मूल बिंदु से $d = R - r = 20 - 5 = 15 \ cm$ की दूरी पर है।
शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र को $X_{\text{com}}$ मानें। गुहा (cavity) वाले निकाय के द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$X_{\text{com}} = \frac{M(0) - m(d)}{M - m}$
$X_{\text{com}} = \frac{0 - (M/16)(15)}{M - M/16} = \frac{-(15/16)M}{(15/16)M} = -1 \ cm$.
दूरी का परिमाण $|X_{\text{com}}| = 1 \ cm$ है।

(B) दिया गया है कि कण मूल बिंदु से समान दूरी पर हैं,इसलिए उनके परिमाण समान हैं: $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}|$.
$|\overrightarrow{A}|^2 = |\overrightarrow{B}|^2 \implies 2^2 + (3n)^2 + 2^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2$.
$4 + 9n^2 + 4 = 4 + 4 + 16p^2 \implies 8 + 9n^2 = 8 + 16p^2 \implies 9n^2 = 16p^2$.
वर्गमूल लेने पर,$3n = \pm 4p$,अतः $p = \pm \frac{3n}{4}$.
चूंकि सदिश लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
$(2)(2) + (3n)(-2) + (2)(4p) = 0 \implies 4 - 6n + 8p = 0$.
स्थिति $1$: $p = \frac{3n}{4}$ को अदिश गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $4 - 6n + 8(\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n + 6n = 0 \implies 4 = 0$ (असंभव)।
स्थिति $2$: $p = -\frac{3n}{4}$ को अदिश गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $4 - 6n + 8(-\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n - 6n = 0 \implies 12n = 4 \implies n = \frac{1}{3}$.
अतः,$n^{-1} = \frac{1}{n} = 3$.

(C) यह प्रक्रिया अचानक संपीड़न है, जो एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$, प्रारंभिक आयतन $V_1 = V_0$, अंतिम आयतन $V_2 = V_0/4$, और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 3/2$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$273 \times V_0^{(3/2 - 1)} = T_2 \times (V_0/4)^{(3/2 - 1)}$.
$273 \times V_0^{0.5} = T_2 \times (V_0/4)^{0.5}$.
$273 = T_2 \times (1/4)^{0.5} = T_2 \times (1/2)$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 \ K - 273 \ K = 273 \ K$ है।

(D) बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य रेखा समाकल $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (x^2 y \, dx + y^2 \, dy)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समाकल के अनुसार: $W = \int_0^4 x^2(10-x) \, dx + \int_0^2 y^2 \, dy$
$W = [\frac{10x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_0^4 + [\frac{y^3}{3}]_0^2$
$W = \frac{640}{3} - 64 + \frac{8}{3} = \frac{648}{3} - 64 = 216 - 64 = 152 \ J$.

(B) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} m u^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और गेंद का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है।
$v_x = u \cos \theta = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$.
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $(KE_{top})$ इस प्रकार है:
$KE_{top} = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^2$.
$KE_{top} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^2}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$.
चूँकि $KE = \frac{1}{2} m u^2$,इसलिए $KE_{top} = \frac{KE}{4}$ होगा।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 4.0 \sin(20 \times 10^{-3} x + 600 t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \ rad/s$ है।
तरंग संख्या $k = 20 \times 10^{-3} \ mm^{-1} = 20 \ m^{-1}$ है।
तरंग का वेग $v = -\frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा कर रही है।
$v = -\frac{600}{20} = -30 \ m/s$.

(C) दिया गया ऊर्जा समीकरण: $E = \alpha^3 e^{-\beta t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln E = 3 \ln \alpha - \beta t$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dE}{E} = 3 \frac{d\alpha}{\alpha} - \beta dt$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम त्रुटियों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3 \left( \frac{d\alpha}{\alpha} \right) + \beta |dt|$.
हमें $\frac{d\alpha}{\alpha} = 1.2 \%$ और $t$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dt}{t} = 1.6 \%$ दी गई है,जिसका अर्थ है $dt = 0.016 \times t$.
$t = 5 \ s$ पर,$dt = 0.016 \times 5 = 0.08 \ s$.
मान रखने पर: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3(1.2 \%) + (0.3 \ s^{-1})(0.08 \ s) \times 100 \%$.
$\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3.6 \% + (0.024) \times 100 \% = 3.6 \% + 2.4 \% = 6 \%$.

(A) कोणीय स्थिति $\theta(t) = 5t^2 - 8t$ द्वारा दी गई है।
कोणीय वेग $\omega$ समय के सापेक्ष कोणीय स्थिति का अवकलन है: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 10t - 8$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ समय के सापेक्ष कोणीय वेग का अवकलन है: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ rad/s}^2$.
एक वृत्ताकार डिस्क का उसके तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
लगाया गया टॉर्क $\tau = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)(10) = 5MR^2$ है।
टॉर्क द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \tau \omega$ है।
$t = 2$ सेकंड पर,$\omega = 10(2) - 8 = 12 \text{ rad/s}$.
अतः,$P = (5MR^2)(12) = 60 MR^2$ $W$.

(A) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
जब वाल्व बंद होता है,तो पानी का वेग $v_1 = 0$ है और दाब $P_1$ है।
जब वाल्व खोला जाता है,तो पानी का वेग $v$ है और दाब $P_2$ है।
बर्नौली का समीकरण लागू करने पर: $P_1 + \frac{1}{2} \rho (0)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$.
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$.
अतः,$v = \sqrt{\frac{2}{\rho}} \times \sqrt{P_1 - P_2}$.
चूंकि $\rho$ (पानी का घनत्व) स्थिर है,इसलिए गति $v$,$\sqrt{P_1 - P_2}$ के समानुपाती है।

(A) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(R)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
मान लीजिए $T_m$ और $R_m$ चंद्रमा का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं, और $T_s$ और $R_s$ उपग्रह का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $R_s = R_m / 9$ और $T_m = 27 \text{ दिन}$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\left(\frac{T_m}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_s}\right)^3$।
मान रखने पर: $\left(\frac{27}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_m / 9}\right)^3 = (9)^3 = 729$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{27}{T_s} = \sqrt{729} = 27$।
अतः, $T_s = \frac{27}{27} = 1 \text{ दिन}$।

(D) पानी को दी गई ऊष्मा $dQ = m s dT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
यहाँ $s = 1 \ J \ g^{-1} \ K^{-1}$ दिया गया है।
एंट्रॉपी में परिवर्तन $dS$ को $dS = \frac{dQ}{T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$dQ$ का मान रखने पर,हमें $dS = \frac{m s dT}{T}$ प्राप्त होता है।
एंट्रॉपी में कुल परिवर्तन $\Delta S$ ज्ञात करने के लिए,हम $T_1$ से $T_2$ तक समाकलन (integration) करते हैं:
$\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{m s dT}{T} = m s \int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T}$.
$\Delta S = m s \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)$.
चूँकि $s = 1$ है,इसलिए एंट्रॉपी में परिवर्तन $\Delta S = m \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)$ होगा।

(D) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। पथ $\text{ABCD}$ है।
पथ $\text{AB}$ (समदाबी प्रसार) के लिए: $\text{W}_{\text{AB}} = \text{P}_0(3\text{V}_0 - 2\text{V}_0) = \text{P}_0\text{V}_0$.
पथ $\text{BC}$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए: $\text{W}_{\text{BC}} = 0$ (चूंकि $\Delta\text{V} = 0$).
पथ $\text{CD}$ (समदाबी संपीड़न) के लिए: $\text{W}_{\text{CD}} = 2\text{P}_0(\text{V}_0 - 3\text{V}_0) = 2\text{P}_0(-2\text{V}_0) = -4\text{P}_0\text{V}_0$.
कुल कार्य $\text{W}_{\text{ABCD}} = \text{W}_{\text{AB}} + \text{W}_{\text{BC}} + \text{W}_{\text{CD}} = \text{P}_0\text{V}_0 + 0 - 4\text{P}_0\text{V}_0 = -3\text{P}_0\text{V}_0$.

(C) हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में तनाव $T = kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
दिया गया है:
$kx_1 = 5 \ N$ (समीकरण $1$)
$kx_2 = 7 \ N$ (समीकरण $2$)
हमें $x' = (5x_1 - 2x_2)$ विस्तार के लिए तनाव $T'$ ज्ञात करना है।
$T' = kx' = k(5x_1 - 2x_2)$
$T' = 5(kx_1) - 2(kx_2)$
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ से मान रखने पर:
$T' = 5(5) - 2(7)$
$T' = 25 - 14 = 11 \ N$.

(A) $h$ गहराई पर हवा के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \rho gh + \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ तरल का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ गहराई है,$T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है।
बुलबुले के अंदर के दबाव और वायुमंडलीय दबाव के बीच का अंतर $\Delta P = P_{in} - P_0 = \rho gh + \frac{2T}{R}$ है।
दी गई मान: $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T = 0.095 \ J/m^2$,और $R = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$.
इन मानों को रखने पर:
$\Delta P = (10^3 \times 10 \times 0.2) + \frac{2 \times 0.095}{10^{-3}}$
$\Delta P = 2000 + \frac{0.19}{10^{-3}}$
$\Delta P = 2000 + 190 = 2190 \ N/m^2$.

(B) उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = R + R/3 = 4R/3$ है।
कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{4R/3}} = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}$ द्वारा दिया जाता है।
उपग्रह का कोणीय संवेग $L = m v_0 r$ है,जहाँ $m = M/2$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot (4R/3)$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot \sqrt{\frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R} \cdot \frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3}}$
$L = M \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3 \cdot 4}} = M \sqrt{\frac{GMR}{3}}$.
इसे दिए गए व्यंजक $M \sqrt{\frac{GMR}{x}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) माना $T$ द्रव का पृष्ठ तनाव है।
$h$ गहराई पर हवा के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{\text{in}} = P_0 + \rho gh + \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि बुलबुले के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_0)$ से $2100 \ N/m^2$ अधिक है,इसलिए $P_{\text{in}} - P_0 = 2100 \ N/m^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = 0.1 \ cm = 10^{-3} \ m$,$h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$2100 = \rho gh + \frac{2T}{R}$
$2100 = (1000 \times 10 \times 0.2) + \frac{2T}{10^{-3}}$
$2100 = 2000 + \frac{2T}{10^{-3}}$
$100 = \frac{2T}{10^{-3}}$
$2T = 100 \times 10^{-3} = 0.1$
$T = 0.05 \ N/m$.

(D) दिया गया व्यंजक $y = \frac{32.3 \times 1125}{27.4}$ है।
मान की गणना करने पर: $y = 1326.18613...$
गुणा और भाग में सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या में हैं।
व्यंजक में,$32.3$ में $3$ सार्थक अंक हैं,$1125$ में $4$ सार्थक अंक हैं,और $27.4$ में $3$ सार्थक अंक हैं।
सार्थक अंकों की न्यूनतम संख्या $3$ है।
$1326.186$ को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) करने पर,हमें $1330$ प्राप्त होता है।

(A) बूंद को तोड़ने में किया गया कार्य पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = S \Delta A$.
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और छोटी बूंदों की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $r = \frac{R}{n^{1/3}}$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $W = S(n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi R^2 S (n^{1/3} - 1)$ है।
$n = 27$ के लिए: $W_1 = 4 \pi R^2 S (27^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (3 - 1) = 8 \pi R^2 S = 10 \ J$.
$n = 64$ के लिए: $W_2 = 4 \pi R^2 S (64^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (4 - 1) = 12 \pi R^2 S$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{12 \pi R^2 S}{8 \pi R^2 S} = \frac{12}{8} = 1.5$.
अतः,$W_2 = 1.5 \times 10 \ J = 15 \ J$.

(D) प्रारंभिक वेग के घटक $v_x = v_0 \cos 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ और $v_y = v_0 \sin 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ हैं।
अधिकतम ऊँचाई $H$ पर,ऊर्ध्वाधर वेग घटक शून्य हो जाता है और क्षैतिज वेग $v_x = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ रहता है।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(v_0/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$ है।
मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + H\hat{j}$ और वेग सदिश $\vec{v} = v_x\hat{i}$ है।
अतः,$\vec{L} = m(x\hat{i} + H\hat{j}) \times (v_x\hat{i}) = mH v_x (\hat{j} \times \hat{i}) = -mH v_x \hat{k}$.
मान रखने पर: $L = m \left( \frac{v_0^2}{4g} \right) \left( \frac{v_0}{\sqrt{2}} \right) = \frac{m v_0^3}{4 \sqrt{2} g}$.
दिशा ऋणात्मक $z$-अक्ष $(- \hat{k})$ की ओर है।

(C) बैंक्ड सड़क पर अधिकतम गति $v_0$ से चलने वाली कार के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$,गुरुत्वाकर्षण $mg$ और अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f = \mu N$ हैं,जो बाहर की ओर फिसलने से रोकने के लिए ढलान के नीचे की दिशा में कार्य करता है।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में बलों को वियोजित करने पर:
$N \sin \theta + f \cos \theta = \frac{m v_0^2}{r}$
$N \cos \theta - f \sin \theta = m g$
समीकरणों में $f = \mu N$ रखने पर:
$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \frac{m v_0^2}{r}$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = m g$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v_0^2}{r g}$
वज्र गुणन करने पर:
$r g \sin \theta + \mu r g \cos \theta = v_0^2 \cos \theta - \mu v_0^2 \sin \theta$
$\mu$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\mu(r g \cos \theta + v_0^2 \sin \theta) = v_0^2 \cos \theta - r g \sin \theta$
$\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\mu(r g + v_0^2 \tan \theta) = v_0^2 - r g \tan \theta$
$\mu = \frac{v_0^2 - r g \tan \theta}{r g + v_0^2 \tan \theta}$

(C) नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का रैखिक त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}}$.
एक समान ठोस बेलन के लिए,उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mr^2$ होता है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 mr^2}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
यहाँ झुकाव कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin 45^{\circ}$ का मान $a$ के व्यंजक में रखने पर: $a = \frac{2}{3} g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} g}{3}$.

(B) न्यूनतम विचलन की स्थिति में प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक $\mu$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
साथ ही,न्यूनतम विचलन पर,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के साथ $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ के रूप में संबंधित होता है।
इसे अपवर्तनांक के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$.
दिया गया है: $\mu = \sqrt{2}$ और $A = 60^{\circ}$.
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$.

(A) रेखीय आवेश की कुल लंबाई $L = \frac{a}{2}$ है।
रेखीय आवेश का कुल आवेश $q = \lambda L = \lambda \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\lambda a}{2}$ है।
यह रेखीय आवेश घन के एक किनारे के केंद्र पर रखा गया है। एक किनारा सममित व्यवस्था में $4$ समान घनों द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए, दिए गए घन द्वारा परिबद्ध आवेश कुल आवेश का $\frac{1}{4}$ भाग है।
अतः, घन द्वारा परिबद्ध आवेश $q_{in} = \frac{q}{4} = \frac{\lambda a / 2}{4} = \frac{\lambda a}{8}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार, घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ है।
$q_{in}$ का मान रखने पर, हमें $\phi = \frac{\lambda a}{8 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) पोटेंशियोमीटर तार का कुल प्रतिरोध $1 \Omega$ है। चूंकि स्लाइडिंग संपर्क मध्य में है,इसलिए तार दो भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $0.5 \Omega$ है।
तार का एक भाग $(0.5 \Omega)$ बाहरी प्रतिरोध $R_e = 2 \Omega$ के साथ समानांतर क्रम में है।
इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p' = \frac{0.5 \times 2}{0.5 + 2} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$ है।
यह समानांतर संयोजन पोटेंशियोमीटर तार के दूसरे भाग $(0.5 \Omega)$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 0.5 \Omega + 0.4 \Omega = 0.9 \Omega$ है।
बैटरी से ली गई कुल धारा $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{0.9 \text{ V}}{0.9 \Omega} = 1.0 \text{ A}$ है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्रयोग $\mu > 1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि $\mu > 1$ है,इसलिए तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है $(\lambda' < \lambda)$,जिससे फ्रिंज की चौड़ाई में कमी $(\beta' < \beta)$ आती है। अतः,फ्रिंजें करीब आ जाती हैं। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सत्य है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ होती है। चूंकि $\mu > 1$ है,इसलिए प्रकाशीय सघन माध्यम में प्रकाश की गति कम हो जाती है। प्रकाश की आवृत्ति केवल स्रोत पर निर्भर करती है और जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो यह अपरिवर्तित रहती है। इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई में कमी सीधे तरंगदैर्ध्य में कमी के कारण होती है,जो माध्यम में प्रकाश की गति में परिवर्तन का परिणाम है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,जिसका अर्थ है $mv = \frac{nh}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$।
अतः,$\lambda \propto \frac{r}{n}$।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$ और $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m$।
तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_4 = 4$ और $r_4 = 8.48 \times 10^{-10} \ m = 84.8 \times 10^{-11} \ m$।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_4} = \frac{r_1}{n_1} \times \frac{n_4}{r_4} = \frac{5.3 \times 10^{-11}}{1} \times \frac{4}{84.8 \times 10^{-11}} = \frac{5.3 \times 4}{84.8} = \frac{21.2}{84.8} = \frac{1}{4}$।

(B) यह प्रणाली संपर्क में तीन लेंसों से बनी है: एक पानी का लेंस $(p_1)$,एक कांच का लेंस $(p_2)$,और दूसरा पानी का लेंस $(p_3)$।
लेंस मेकर सूत्र $p = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{surrounding}}$.
ऊपरी पानी के लेंस के लिए $(p_1)$: $p_1 = (4/3 - 1) \left(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-|R_1|}\right) = \frac{1}{3|R_1|}$.
मध्य कांच के लेंस के लिए $(p_2)$: $p_2 = (\frac{3/2}{4/3} - 1) \left(\frac{1}{-|R_1|} - \frac{1}{-|R_2|}\right) = (9/8 - 1) \left(\frac{1}{|R_2|} - \frac{1}{|R_1|}\right) = -\frac{1}{8} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$.
संयोजन की कुल शक्ति $p_{eq} = p_1 + p_2 + p_3$ है। गणना करने पर,$p_{eq} = -\frac{1}{6} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) इलेक्ट्रॉन द्वारा $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ लंबाई की प्लेटों को $V_x = 10^6 \ m/s$ के क्षैतिज वेग के साथ पार करने में लिया गया समय:
$t = \frac{L}{V_x} = \frac{0.1}{10^6} = 10^{-7} \ s$
विद्युत क्षेत्र $E = 9.1 \ V/cm = 910 \ V/m$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में इलेक्ट्रॉन का त्वरण:
$a_y = \frac{eE}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 910}{9.1 \times 10^{-31}} = 1.6 \times 10^{14} \ m/s^2$
बाहर निकलते समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_y = u_y + a_y t$,जहाँ $u_y = 0$:
$V_y = 0 + (1.6 \times 10^{14}) \times 10^{-7} = 1.6 \times 10^7 \ m/s$.

(A) मानक प्रतिरोधक आमतौर पर मैंगनीन, कॉन्स्टेंटन या नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं से बनाए जाते हैं।
इन सामग्रियों को इसलिए चुना जाता है क्योंकि इनका प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक बहुत कम होता है, जिसका अर्थ है कि तापमान की एक विस्तृत श्रृंखला पर उनकी प्रतिरोधकता $(\rho)$ लगभग स्थिर रहती है।
दिए गए विकल्पों में से, वह ग्राफ जो तापमान के संबंध में लगभग स्थिर प्रतिरोधकता को दर्शाता है, वह है जहाँ रेखा लगभग क्षैतिज (या बहुत कम ढलान वाली) होती है।
हालाँकि, मानक पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों के संदर्भ में, वह वक्र जो तापमान पर प्रतिरोधकता की बहुत कमजोर निर्भरता को दर्शाता है, वह लगभग सपाट होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, कोई भी ग्राफ पूरी तरह से स्थिर रेखा नहीं दिखाता है, लेकिन भौतिकी के पाठ्यक्रम में, मानक प्रतिरोधकों के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री (जैसे मैंगनीन) तापमान के साथ प्रतिरोधकता में बहुत छोटे, लगभग नगण्य परिवर्तन द्वारा पहचानी जाती है।
इसलिए, जो ग्राफ सबसे कम परिवर्तन (सबसे क्षैतिज रेखा) दिखाता है, वह सबसे उपयुक्त प्रतिनिधित्व है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दी गई तरंग दैर्ध्य $\lambda = 550 \ nm$ का उपयोग करने पर,हमें $E = \frac{1240}{550} \approx 2.25 \ eV$ प्राप्त होता है।
प्रकाश वैद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर हो।
$Cs$ के लिए,$\Phi_{Cs} = 1.9 \ eV$ है। चूंकि $2.25 \ eV > 1.9 \ eV$,इसलिए $Cs$ के लिए प्रकाश वैद्युत प्रभाव संभव है।
$Li$ के लिए,$\Phi_{Li} = 2.5 \ eV$ है। चूंकि $2.25 \ eV < 2.5 \ eV$,इसलिए $Li$ के लिए प्रकाश वैद्युत प्रभाव संभव नहीं है।
अतः,प्रकाश वैद्युत प्रभाव केवल $Cs$ के लिए संभव है।

(B) एक लंबी परिनालिका (solenoid) के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{B}{\mu_0} = n I$ प्राप्त होता है।
$n$ (प्रति इकाई लंबाई फेरे) की विमा $[L^{-1}]$ है।
$I$ (विद्युत धारा) की विमा $[A]$ है।
अतः,$\frac{B}{\mu_0}$ की विमा $[L^{-1} A]$ है।

(D) समांतर क्रम में जुड़ी $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ emf और $r_1, r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाली दो बैटरियों के लिए,समतुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ का सूत्र $\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$ है।
$\varepsilon_{eq}$ का यह मान हमेशा $\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ के बीच होता है। अतः,कथन-$I$ असत्य है क्योंकि यह आवश्यक नहीं है कि यह दोनों से छोटा हो।
समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ के लिए $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$ होता है,जिसका अर्थ है $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$।
चूंकि $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ है,यह स्पष्ट है कि $r_{eq} < r_1$ और $r_{eq} < r_2$। अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(D) एक डायोड फॉरवर्ड बायस्ड होता है जब $p$-साइड (एनोड) का विभव $n$-साइड (कैथोड) के विभव से अधिक होता है।
$(A)$ $p$-साइड = $-10 \ V$,$n$-साइड = $0 \ V$। चूंकि $-10 < 0$,यह रिवर्स बायस्ड है।
$(B)$ $p$-साइड = $-10 \ V$,$n$-साइड = $-15 \ V$। चूंकि $-10 > -15$,यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
$(C)$ $p$-साइड = $4 \ V$,$n$-साइड = $2 \ V$। चूंकि $4 > 2$,यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
$(D)$ $p$-साइड = $-5 \ V$,$n$-साइड = $-10 \ V$। चूंकि $-5 > -10$,यह फॉरवर्ड बायस्ड है।
$(E)$ $p$-साइड = $0 \ V$ (ग्राउंड),$n$-साइड = $2 \ V$। चूंकि $0 < 2$,यह रिवर्स बायस्ड है।
अतः,परिपथ $(B), (C)$ और $(D)$ फॉरवर्ड बायस्ड हैं।

(C) प्रारंभिक धारिता $C = 40 \mu F$,वोल्टेज $V = 100 V$,परावैद्युतांक $K = 2$ है।
नई धारिता $C' = KC = 2 \times 40 \mu F = 80 \mu F$ होगी।
अतिरिक्त आवेश $\Delta q = q' - q = (C' - C)V = (80 - 40) \times 10^{-6} \times 100 = 40 \times 10^{-6} \times 100 = 4 \times 10^{-3} C = 4 mC$ होगा।
स्थिर-विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U' - U = \frac{1}{2}C'V^2 - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}(K-1)CV^2$ होगा।
$\Delta U = \frac{1}{2} \times (2-1) \times 40 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 40 \times 10^{-6} \times 10000 = 20 \times 10^{-2} J = 0.2 J$ होगा।
अतः,अतिरिक्त आवेश $4 mC$ है और ऊर्जा में परिवर्तन $0.2 J$ है।

(D) एक तरफ पॉलिश किए गए लेंस के लिए,निकाय की तुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_{\ell} + P_{m}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P_{\ell} = \frac{(\mu - 1)}{R}$ लेंस की एक सतह की शक्ति है। चूंकि यह एक उत्तल लेंस है,इसलिए दोनों सतहें शक्ति में योगदान करती हैं।
$P_{m} = -\frac{1}{f_{m}} = -\frac{1}{(-R/2)} = \frac{2}{R}$ (क्योंकि पॉलिश की गई सतह द्वारा निर्मित दर्पण की त्रिज्या $R/2$ है)।
$P_{eq} = 2 \left[ \frac{(\mu - 1)}{R} + \frac{(\mu - 1)}{R} \right] + \frac{2}{R} = \frac{4\mu - 4 + 2}{R} = \frac{4\mu - 2}{R}$.
यह निकाय $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{R}{4\mu - 2} = -\frac{R}{2(2\mu - 1)}$ फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है।
प्रतिबिंब को वस्तु पर ही बनने के लिए,वस्तु को इस तुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए।
अतः दूरी $d = 2|F| = 2 \times \frac{R}{2(2\mu - 1)} = \frac{R}{2\mu - 1}$ होगी।

(B) दिया गया है: $R = 2 \ m$,इसलिए फोकस दूरी $f = R/2 = 1 \ m$। वस्तु की गति $v_0 = 90 \ km/h = 25 \ m/s$। चूंकि वस्तु पास आ रही है,$u = -24 \ m$ और $du/dt = v_0 = 25 \ m/s$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$,जिससे $v_I = \frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 v_0 = -m^2 v_0$ प्राप्त होता है।
$u = -24 \ m$ और $f = 1 \ m$ के लिए,$v = \frac{uf}{u-f} = \frac{(-24)(1)}{-24-1} = \frac{24}{25} \ m$।
आवर्धन $m = -v/u = -(\frac{24/25}{-24}) = \frac{1}{25}$।
प्रतिबिंब का वेग $v_I = -m^2 v_0 = -(\frac{1}{25})^2 (25) = -\frac{1}{25} \ m/s$।
वेग समीकरण $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$ का पुनः समय के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a_I = \frac{d^2v}{dt^2} = -[2(\frac{v}{u})(\frac{u \frac{dv}{dt} - v \frac{du}{dt}}{u^2})] v_0 - (\frac{v}{u})^2 a_0$। चूंकि $a_0 = 0$,इसलिए $a_I = -2(\frac{v}{u})(\frac{u v_I - v v_0}{u^2}) v_0$।
मान रखने पर: $a_I = -2(\frac{24/25}{-24})(\frac{(-24)(-1/25) - (24/25)(25)}{(-24)^2}) (25) = -2(-\frac{1}{25})(\frac{24/25 - 24}{576}) (25) = 2(\frac{1}{25})(\frac{24 - 600}{25 \times 576}) (25) = 2(\frac{-576}{25 \times 576}) = -\frac{2}{25} \ m/s^2$।
त्वरण का परिमाण $a = |-\frac{2}{25}| = 0.08 \ m/s^2$। अतः,$100a = 100 \times 0.08 = 8$।

(D) पतले लेंस की शक्ति लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक सममित उत्तल लेंस के लिए, $R_1 = R$ और $R_2 = -R$, इसलिए $P = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 4 \text{D}$.
जब लेंस को $AB$ तल (मुख्य अक्ष के लंबवत) द्वारा काटा जाता है, तो प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी दोगुनी हो जाती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आधे भाग की शक्ति $P' = P/2 = 2 \text{D}$ हो जाती है।
जब इस आधे भाग को $CD$ तल (मुख्य अक्ष के समानांतर) द्वारा और काटा जाता है, तो वक्रता त्रिज्या समान रहती है, लेकिन प्रभावी एपर्चर (चौड़ाई) आधी हो जाती है। हालाँकि, लेंस की शक्ति वक्रता त्रिज्या और अपवर्तनांक पर निर्भर करती है, एपर्चर पर नहीं। इसलिए, चारों भागों में से प्रत्येक की शक्ति आधे लेंस की शक्ति के समान रहती है, जो $P'' = 2 \text{D}$ है।

(B) अनुनाद (resonance) पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
प्रारंभ में,धारा का आयाम $I_0 = \frac{\varepsilon_m}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon_m$ शिखर emf है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना करके $2R$ कर दिया जाता है,तो अनुनाद पर नया धारा आयाम $I_0' = \frac{\varepsilon_m}{2R}$ हो जाता है।
प्रारंभिक व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_0' = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $A$ द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित है। विद्युत विभव $V_A$ और विद्युत क्षेत्र $E_A$ इस प्रकार हैं:
$V_A = \frac{kP}{r^2} = V_0$
$E_A = \frac{2kP}{r^3} = E_0$
बिंदु $B$ द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा (equatorial line) पर $2r$ दूरी पर स्थित है। निरक्षीय रेखा पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V_B$ शून्य होता है क्योंकि विभव $V = \frac{k \vec{P} \cdot \hat{r}}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,और निरक्षीय रेखा के लिए,$\vec{P}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच का कोण $90^\circ$ होता है,इसलिए $\cos(90^\circ) = 0$ होता है।
निरक्षीय रेखा पर $d = 2r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_B$ इस प्रकार है:
$E_B = \frac{kP}{d^3} = \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{kP}{8r^3}$
चूंकि $E_0 = \frac{2kP}{r^3}$,इसलिए $\frac{kP}{r^3} = \frac{E_0}{2}$ है।
इस मान को $E_B$ के समीकरण में रखने पर:
$E_B = \frac{1}{8} \times \left( \frac{kP}{r^3} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{E_0}{2} = \frac{E_0}{16}$।
अतः,विद्युत विभव शून्य है और विद्युत क्षेत्र $\frac{E_0}{16}$ है।

(D) धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{q}{V}$ है,जहाँ $q$ आवेश है और $V$ विद्युत विभव है।
चूँकि $V = \frac{W}{q}$,जहाँ $W$ कार्य है,हम $C = \frac{q^2}{W}$ लिख सकते हैं।
आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[C]$ है।
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ है।
इन मानों को धारिता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$[C] = \frac{[C]^2}{[M L^2 T^{-2}]} = [C^2 M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(D) चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F_m = F_c \Rightarrow evB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow mv = eBr$.
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
क्वांटाइजेशन शर्त में $mv = eBr$ को प्रतिस्थापित करने पर: $(eBr)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow er^2B = \frac{nh}{2\pi}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \sqrt{\frac{nh}{2\pi eB}}$.
पहली उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
इस समीकरण में $n = 2$ रखने पर: $r = \sqrt{\frac{2h}{2\pi eB}} = \sqrt{\frac{h}{\pi eB}}$.

(D) जब एक आयताकार धात्विक लूप एक समान चुंबकीय क्षेत्र से स्थिर गति $v$ के साथ बाहर निकलता है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली लूप की भुजा में प्रेरित गतिकीय $\text{emf}$ का सूत्र $\varepsilon = B \ell v$ होता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,$\ell$ लूप की भुजा की लंबाई है,और $v$ वेग है।
चूंकि $B$,$\ell$,और $v$ सभी स्थिर हैं,इसलिए प्रेरित $\text{emf} \ (\varepsilon)$ तब तक स्थिर रहता है जब तक लूप आंशिक रूप से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है।
इसलिए,प्रेरित $\text{emf} \ (\varepsilon)$ के परिमाण का समय $(t)$ के साथ आलेख एक क्षैतिज सीधी रेखा है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$।
दिया गया है, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए, $K_{\max} = 2 \ \text{eV}$ और कार्य फलन $\phi = 1 \ \text{eV}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = \frac{hc}{\lambda} - 1 \implies \frac{hc}{\lambda} = 3 \ \text{eV}$।
अब, $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ तरंगदैर्ध्य के लिए, आपतित फोटॉन की नई ऊर्जा $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \times \frac{hc}{\lambda} = 2 \times 3 = 6 \ \text{eV}$ होगी।
नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{\max} = E' - \phi = 6 \ \text{eV} - 1 \ \text{eV} = 5 \ \text{eV}$ प्राप्त होती है।

(D) यह परिपथ दो $AND$ गेट और दो $NOT$ गेट से बना है। ऊपरी $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A\overline{B}$ है।
निचले $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A}B$ है।
ये दोनों आउटपुट $G$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए $G$ का आउटपुट $Y$ है।
यदि $G$ एक $XOR$ गेट है,तो $Y = A\overline{B} + \overline{A}B$.
यदि $G$ एक $XNOR$ गेट है,तो $Y = \overline{A\overline{B} + \overline{A}B} = (A\overline{B} + \overline{A}B)' = A B + \overline{A}\overline{B}$.
आइए $Y = AB + \overline{A}\overline{B}$ के लिए सत्यता सारणी की जाँच करें:
- $A=0, B=0$ के लिए: $Y = (0)(0) + (1)(1) = 1$.
- $A=0, B=1$ के लिए: $Y = (0)(1) + (1)(0) = 0$.
- $A=1, B=0$ के लिए: $Y = (1)(0) + (0)(1) = 0$.
- $A=1, B=1$ के लिए: $Y = (1)(1) + (0)(0) = 1$.
यह दी गई सत्यता सारणी से मेल खाता है। इसलिए,गेट $G$ एक $XNOR$ गेट है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,और $d$ दो झिरियों के बीच की दूरी है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \lambda$ है।
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_R)$,नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_B)$ से अधिक होती है,अर्थात $\lambda_R > \lambda_B$,इसलिए लाल प्रकाश के लिए फ्रिंज की चौड़ाई नीले प्रकाश की तुलना में अधिक होगी $(\beta_R > \beta_B)$।
अतः,लाल प्रकाश द्वारा उत्पन्न फ्रिंज नीले प्रकाश द्वारा उत्पन्न फ्रिंज की तुलना में अधिक चौड़ी (दूर-दूर) होती हैं।
इस प्रकार,अभिकथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ सत्य है।

(C) प्रकाश के अधिकतम संचरण के लिए, परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) होना चाहिए।
चूंकि फिल्म का अपवर्तनांक $(\mu_f = 2.0)$ हवा $(\mu_a = 1.0)$ और कांच के स्लैब $(\mu_g = 1.45)$ दोनों से अधिक है, इसलिए फिल्म की ऊपरी और निचली दोनों सतहों पर $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है।
परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त $2 \mu_f t = n \lambda$ है, जहां $n = 1, 2, 3, \dots$
न्यूनतम मोटाई के लिए, हम $n = 1$ लेते हैं:
$2 \mu_f t = \lambda$
$t = \frac{\lambda}{2 \mu_f}$
दिए गए मानों $\lambda = 550 \ \text{nm}$ और $\mu_f = 2.0$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$t = \frac{550 \ \text{nm}}{2 \times 2.0} = \frac{550}{4} \ \text{nm} = 137.5 \ \text{nm}$.

(A) जब प्रोटॉन बिना विचलन के गति करता है,तो विद्युत बल और चुंबकीय बल बराबर होते हैं: $eE = evB$,जिससे $E = vB$ या $B = E/v$ प्राप्त होता है।
जब विद्युत क्षेत्र को बंद कर दिया जाता है,तो प्रोटॉन चुंबकीय क्षेत्र के कारण $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है: $R = \frac{mv}{eB}$.
त्रिज्या के सूत्र में $B = E/v$ प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{mv}{e(E/v)} = \frac{mv^2}{eE}$.
$E$ के लिए हल करने पर: $E = \frac{mv^2}{eR}$.
दिया गया है: $m = 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$v = 2 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$,$R = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$E = \frac{(1.6 \times 10^{-27}) \times (2 \times 10^5)^2}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 0.02} = \frac{1.6 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{10}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-2}} = \frac{4 \times 10^{-17}}{2 \times 10^{-21}} = 2 \times 10^4 \text{ N/C}$.
इसे $x \times 10^4 \text{ N/C}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $X$ $(I_X = 5 \text{ A})$ के लिए,बिंदु $P$ की दूरी $r_X = 6 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_X$ कागज के तल के अंदर की ओर है।
$B_X = \frac{\mu_0 \times 5}{2\pi \times 0.1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.1} = 100 \times 10^{-7} \text{ T} = 10^{-5} \text{ T}$.
तार $Y$ $(I_Y = 4 \text{ A})$ के लिए,बिंदु $P$ की दूरी $r_Y = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_Y$ कागज के तल के अंदर की ओर है।
$B_Y = \frac{\mu_0 \times 4}{2\pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.04} = 200 \times 10^{-7} \text{ T} = 2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा (कागज के अंदर) में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_X + B_Y = 1 \times 10^{-5} + 2 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$ होगा।
इसे $x \times 10^{-5} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) संधारित्र प्लेटों के अनुप्रस्थ काट पर विस्थापन धारा घनत्व $J_d$ समान होता है।
$J_d = \frac{I}{A} = \frac{6 \ A}{16 \ cm^2}$.
छोटे क्षेत्रफल $A_0$ से गुजरने वाली विस्थापन धारा $I_d$ को $I_d = J_d \times A_0$ द्वारा दिया जाता है।
$I_d = \left( \frac{6}{16} \right) \times 3.2 \ A$.
$I_d = 0.375 \times 3.2 \ A = 1.2 \ A$.
चूंकि $1 \ A = 1000 \ mA$,इसलिए विस्थापन धारा $1.2 \times 1000 \ mA = 1200 \ mA$ है।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है। इसलिए,संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ को देखने पर,$2 \text{V}$ की बैटरी $4 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में जुड़ी हुई है।
$4 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_1 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ है।
बाकी परिपथ ($2 \Omega$,$3 \Omega$,$6 \Omega$ प्रतिरोधकों वाली शाखा) भी बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है।
$3 \Omega$ और $6 \Omega$ के समानांतर प्रतिरोध का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \Omega$ है।
यह $R_p$,$2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{branch} = 2 \Omega + 2 \Omega = 4 \Omega$ है।
इस शाखा से प्रवाहित धारा $I_2 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ है।
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I = I_1 + I_2 = 0.5 \text{A} + 0.5 \text{A} = 1 \text{A}$ है।

(B) कथनों का विश्लेषण:
$A:$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ उसकी ज्यामिति (फेरों की संख्या $N$,क्षेत्रफल $A$,लंबाई $l$) पर निर्भर करता है। यह कथन सही है।
$B:$ स्व-प्रेरकत्व $L = \mu N^2 A / l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu = \mu_0 \mu_r$ है। अतः,यह माध्यम की पारगम्यता पर निर्भर करता है। यह कथन गलत है।
$C:$ लेंज के नियम के अनुसार,स्व-प्रेरित e.m.f. धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। यह कथन सही है।
$D:$ यांत्रिकी में,द्रव्यमान जड़त्व (वेग में परिवर्तन का विरोध) का प्रतिनिधित्व करता है। विद्युत-चुंबकत्व में,स्व-प्रेरकत्व विद्युत जड़त्व (धारा में परिवर्तन का विरोध) का प्रतिनिधित्व करता है। यह कथन सही है।
$E:$ प्रेरक में धारा स्थापित करने के लिए,विद्युत जड़त्व को दूर करने हेतु बैक e.m.f. के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कथन सही है।
अतः,कथन $A, C, D,$ और $E$ सही हैं।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(10^{-30} \ kg) \times (2.21 \times 10^6 \ m/s)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.21 \times 10^{-24}} \ m$
$\lambda = 3 \times 10^{-10} \ m = 3 \ \mathring{A}$.
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $0.01 \ \mathring{A}$ से $100 \ \mathring{A}$ होती है।
चूंकि $3 \ \mathring{A}$ इस सीमा के अंतर्गत आता है,इसलिए यह कण $X$-किरणों की तरह व्यवहार करेगा।

(A) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा) और $\mu_2 = 1.5$ (कांच) है।
चिह्न परिपाटी के अनुसार,वस्तु दूरी $u = -PO = -x$ और प्रतिबिंब दूरी $v = PI = x$ है,जहाँ $x$ दूरी $PO$ है।
वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक है क्योंकि वक्रता केंद्र कांच के माध्यम में है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{5}{2x} = \frac{1}{2R}$
$x = 5R$।
अतः,दूरी $PO$ का मान $5R$ है।

(A) मान लीजिए $n_1$ का क्षय नियतांक $\lambda_1 = \lambda$ है। तब $n_2$ का क्षय नियतांक $\lambda_2 = 3\lambda$ होगा।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$n_1$ के लिए: $N_1(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$n_2$ के लिए: $N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda t}$.
समय $t$,$n_1$ का एक अर्ध-आयु काल है,इसलिए $t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
इस मान को समीकरणों में रखने पर:
$N_1(t) = N_0 e^{-\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-\ln 2} = N_0 / 2$.
$N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-3 \ln 2} = N_0 (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 (2)^{-3} = N_0 / 8$.
अनुपात $\frac{N_2(t)}{N_1(t)} = \frac{N_0 / 8}{N_0 / 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) जिस क्षण कुंजी बंद की जाती है $(t = 0)$,संधारित्र अनावेशित होता है।
एक अनावेशित संधारित्र प्रारंभिक क्षण पर शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,परिपथ में धारा अधिकतम होती है,जो $I = V/R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संधारित्र अनावेशित है,प्लेटों पर आवेश $Q$ शून्य (न्यूनतम) है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c = Q/C = 0$ (न्यूनतम) है।
अतः,कथन $B, C,$ और $D$ सही हैं।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) $A :$ बल आघूर्ण $\tau = C\theta$,जहाँ $C$ मरोड़ी नियतांक है। अतः,$[C] = [\tau]/[\theta] = [ML^2 T^{-2}] / [1] = [ML^2 T^{-2}]$। कथन $A$ सही है।
$B :$ धारा सुग्राहिता $(I_s) = \frac{NBA}{k}$ और वोल्टेज सुग्राहिता $(V_s) = \frac{I_s}{R} = \frac{NBA}{kR}$। $N$ बढ़ाने से $I_s$ बढ़ता है,लेकिन $R$ भी $N$ के साथ बढ़ता है,इसलिए $V_s$ का बढ़ना आवश्यक नहीं है। कथन $B$ सही है।
$C :$ चूँकि $V_s = \frac{NBA}{kR}$ और $R \propto N$,यदि $N \to 2N$ हो,तो $R \to 2R$ होगा। अतः,$V_s' = \frac{(2N)BA}{k(2R)} = V_s$। वोल्टेज सुग्राहिता अपरिवर्तित रहती है। कथन $C$ गलत है।
$D :$ $MCG$ को अमीटर में बदलने के लिए,समानांतर में एक छोटा शंट प्रतिरोध जोड़ा जाता है। कथन $D$ गलत है।
$E :$ धारा सुग्राहिता $I_s = \frac{NBA}{k}$,इसलिए $I_s \propto N$। यह फेरों की संख्या पर सीधे निर्भर करता है। कथन $E$ गलत है।
अतः,केवल $A$ और $B$ सही हैं।

(C) द्विध्रुव $1$ (अक्षीय स्थिति) के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2kpr}{(r^2-a^2)^2}$ है,जहाँ $p = q(2a)$ है। हालाँकि,व्यक्तिगत आवेशों से लगने वाले बलों को देखते हुए: द्विध्रुव $1$ के $+q$ से बल $F_1 = \frac{kqQ}{(r-a)^2}$ (प्रतिकर्षी) और $-q$ से बल $F_2 = \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ (आकर्षक) है। द्विध्रुव $1$ से नेट बल $F_{net,1} = \frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ है।
द्विध्रुव $2$ (निरक्षीय स्थिति) के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{kp}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ है। द्विध्रुव $2$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल $F_{net,2} = \frac{k(2a)qQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ है।
नेट बल शून्य होने के लिए,$F_{net,1} = F_{net,2}$ होना चाहिए।
$\frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2} = \frac{2akqQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{(r+a)^2 - (r-a)^2}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{4ra}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{2r}{(r^2-a^2)^2} = \frac{1}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
इस समीकरण को $r/a$ के लिए हल करने पर $r/a \approx 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a/r \approx 1/3 \approx 0.33$। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,समस्या के लिए सबसे निकटतम भौतिक व्याख्या $a/r \approx 0.5$ (विकल्प $C$) है।

(D) जब प्रकाश की किरण $h$ मोटाई वाले समानांतर-पक्षीय कांच के स्लैब से गुजरती है,तो यह दो समानांतर सतहों पर अपवर्तन का अनुभव करती है।
मान लीजिए $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
पार्श्व विस्थापन $d$,आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच की लंबवत दूरी है।
स्लैब के माध्यम से प्रकाश के पथ की ज्यामिति से,पार्श्व विस्थापन का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \frac{h \sin(i - r)}{\cos r}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) डायोड फॉरवर्ड-बायस्ड है क्योंकि $D$ पर विभव $A$ की तुलना में अधिक है। अतः,डायोड एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (आदर्श डायोड मानते हुए)।
$1$. परिपथ एक $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक और दो $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन की श्रेणी में सरल हो जाता है।
$2$. दो समानांतर $4 \ \Omega$ प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \ \Omega$ है।
$3$. परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{net} = 4 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$ है। (कथन $A$ सही है,$E$ गलत है)।
$4$. परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{net}} = \frac{6 \ V}{6 \ \Omega} = 1 \ A$ है। (कथन $B$ सही है)।
$5$. $CD$ के सिरों पर विभव $V_{CD} = I \times R_{CD} = 1 \ A \times 4 \ \Omega = 4 \ V$ है। (कथन $D$ सही है)।
$6$. धारा दो समानांतर शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है,इसलिए $0.5 \ A$ धारा $AB$ शाखा से होकर बहती है। $AB$ के सिरों पर विभव $V_{AB} = 0.5 \ A \times 4 \ \Omega = 2 \ V$ है। (कथन $C$ गलत है)।
अतः,कथन $A, B$ और $D$ सही हैं।

(C) विद्युत फ्लक्स के लिए दिया गया समीकरण: $\phi = \alpha \sigma + \beta \lambda$.
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए: $[\phi] = [\alpha \sigma] = [\beta \lambda]$.
$[\phi] = [\alpha \sigma]$ से,$[\alpha] = \frac{[\phi]}{[\sigma]}$ प्राप्त होता है।
$[\phi] = [\beta \lambda]$ से,$[\beta] = \frac{[\phi]}{[\lambda]}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ पर विचार करें: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[\phi]/[\sigma]}{[\phi]/[\lambda]} = \frac{[\lambda]}{[\sigma]}$.
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ की विमा $[Q/L]$ है और पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ की विमा $[Q/L^2]$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[Q/L]}{[Q/L^2]} = \frac{L^2}{L} = [L]$.
चूंकि विमा $[L]$ है,इसलिए अनुपात $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$ लंबाई को दर्शाता है,जो विस्थापन की एक इकाई है।

(B) सिल्वर किए गए लेंस के लिए,समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{f_L} - \frac{1}{f_m}$ है।
यहाँ,$f_m = -\frac{|R_2|}{2}$ (क्योंकि यह अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है)।
द्रव में लेंस की फोकस दूरी $\frac{1}{f_L} = \left(\frac{\mu_2}{\mu_1} - 1\right) \left(\frac{1}{|R_1|} + \frac{1}{|R_2|}\right) = \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right)$ है।
इन मानों को समतुल्य फोकस दूरी के सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = 2 \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right) + \frac{2}{|R_2|}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2(\mu_2 - \mu_1)(|R_1| + |R_2|) + 2\mu_1 |R_1|}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_1| - \mu_1 |R_2| + \mu_1 |R_1|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|}$.
अतः,$f_{eq} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}$.
वस्तु के स्थान पर ही वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए,जो $u = 2|f_{eq}|$ पर होता है।
$u = 2 \cdot \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|}$.
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(D) दिया गया विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = E_0 \cos(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}) \hat{n}_E$ है,जहाँ $\hat{n}_E = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j}}{5}$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में इकाई सदिश है।
तरंग सदिश $\vec{k} = 5 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 4\hat{j}) = 1.5 \times 10^{-2} \hat{i} + 2 \times 10^{-2} \hat{j}$ है।
प्रसारण की दिशा में इकाई सदिश $\hat{k} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\hat{n}_B = \hat{k} \times \hat{n}_E$ द्वारा दी जाती है।
$\hat{n}_B = \left( \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} \right) \times \left( \frac{4\hat{i} - 3\hat{j}}{5} \right) = \frac{1}{25} [3\hat{i} \times (-3\hat{j}) + 4\hat{j} \times 4\hat{i}] = \frac{1}{25} [-9\hat{k} - 16\hat{k}] = -\frac{25}{25} \hat{k} = -\hat{k}$.
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{57}{3 \times 10^8}$ है।
अतः,$\overrightarrow{B} = -\frac{57}{3 \times 10^8} \cos \left[7.5 \times 10^6 t - 5 \times 10^{-3}(3 x + 4 y)\right] \hat{k}$।

(A) परिपथ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$\varepsilon - L \frac{dI}{dt} - IR = 0$
यहाँ,$\varepsilon = 12 \text{ V}$,$L = 3 \text{ H}$,और $R = 12 \Omega$ है।
चूंकि स्लाइडिंग संपर्क को बाहर की ओर खींचा जाता है,प्रतिरोध $R$ बढ़ता है,जिससे धारा $I$ घटती है। इसलिए,धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = -8 \text{ A/s}$ होगी।
समीकरण में मान रखने पर:
$12 - 3 \times (-8) - I \times 12 = 0$
$12 + 24 - 12I = 0$
$36 = 12I$
$I = 3 \text{ A}$

(D) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
दिया गया है:
$q_1 = 7 \ \mu C = 7 \times 10^{-6} \ C$
$q_2 = -4 \ \mu C = -4 \times 10^{-6} \ C$
निर्देशांक $(-7 \ cm, 0, 0)$ और $(7 \ cm, 0, 0)$ हैं।
आवेशों के बीच की दूरी $r$:
$r = \sqrt{(7 - (-7))^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} \ cm = 14 \ cm = 0.14 \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ का उपयोग करने पर:
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (7 \times 10^{-6}) \times (-4 \times 10^{-6})}{0.14}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (-28 \times 10^{-12})}{0.14}$
$U = \frac{-252 \times 10^{-3}}{0.14} = \frac{-0.252}{0.14} = -1.8 \ J$

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_{min}}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{min}$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर है,इसलिए हम सूत्र में $\delta_{min} = A$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
चूंकि $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$,जिसका अर्थ है $\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,जिसका अर्थ है $A = 60^{\circ}$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{\text{max}} = E - \phi$
चूँकि निरोधी विभव $V_s = 2 \text{ V}$ है, इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}} = e V_s = 2 \text{ eV}$ होगी।
दिया गया कार्य फलन $\phi = 2.14 \text{ eV}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 \text{ eV} = E - 2.14 \text{ eV}$
$E = 2 + 2.14 = 4.14 \text{ eV}$
हम जानते हैं कि फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E = 4.14 \text{ eV}$ और $hc = 1242 \text{ eV nm}$ रखने पर:
$4.14 = \frac{1242}{\lambda}$
$\lambda = \frac{1242}{4.14} \text{ nm} = 300 \text{ nm}$.

(D) $1$. निर्वात की पारगम्यता $(\mu_0)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ से,$[\mu_0] = [\frac{B \cdot r}{I}] = [\frac{(M T^{-2} A^{-1}) \cdot L}{A}] = [M L T^{-2} A^{-2}]$. अतः,$(A)-(III)$.
$2$. चुंबकीय क्षेत्र $(B)$: $F = qvB$ से,$[B] = [\frac{F}{qv}] = [\frac{M L T^{-2}}{A T \cdot L T^{-1}}] = [M T^{-2} A^{-1}]$. अतः,$(B)-(II)$.
$3$. चुंबकीय आघूर्ण $(M)$: $M = I \cdot A$,जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है। अतः,$[M] = [A \cdot L^2] = [L^2 A]$. अतः,$(C)-(IV)$.
$4$. मरोड़ी नियतांक $(c)$: $\tau = c \theta$ से,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\theta$ विमाहीन कोण है,$[c] = [\tau] = [M L^2 T^{-2}]$. अतः,$(D)-(I)$.

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times (2a)$ है। यहाँ,$q = 4 \times 10^{-6} \ C$ और दूरी $2a = 18 \ cm = 0.18 \ m$ है।
अतः,$p = (4 \times 10^{-6} \ C) \times (0.18 \ m) = 7.2 \times 10^{-7} \ Cm$ है।
विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
द्विध्रुव को $\theta_1 = 0^{\circ}$ (साम्यावस्था) से $\theta_2 = 180^{\circ}$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W = U_f - U_i = (-pE \cos 180^{\circ}) - (-pE \cos 0^{\circ})$ है।
$W = pE - (-pE) = 2pE$ है।
मान रखने पर: $W = 2 \times (7.2 \times 10^{-7} \ Cm) \times (10^4 \ NC^{-1})$ है।
$W = 14.4 \times 10^{-3} \ J = 14.4 \ mJ$ है।

(C) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए शंट प्रतिरोध $r_s$ की शर्त समानांतर परिपथ संबंध द्वारा दी जाती है: $I_g R_g = (I - I_g) r_s$.
दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर प्रतिरोध $R_g = 30 \ \Omega$
पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g = 20 \ \text{mA} = 20 \times 10^{-3} \ \text{A} = 0.02 \ \text{A}$
मापी जाने वाली अधिकतम धारा $I = 3 \ \text{A}$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.02 \times 30 = (3 - 0.02) \times r_s$
$0.6 = 2.98 \times r_s$
$r_s = \frac{0.6}{2.98} \ \Omega$
हमें दिया गया है कि $r_s = \frac{30}{X} \ \Omega$ है। इसलिए:
$\frac{30}{X} = \frac{0.6}{2.98}$
$X = \frac{30 \times 2.98}{0.6}$
$X = 50 \times 2.98 = 149$.
अतः,$X$ का मान $149$ है।

(C) तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto w^2$। मान लीजिए $I_1$ और $I_2$ क्रमशः $d$ और $xd$ चौड़ाई वाली दो स्लिटों से प्राप्त तीव्रताएं हैं।
अतः,$\sqrt{I_1} \propto d$ और $\sqrt{I_2} \propto xd$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \frac{9}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
समानुपाती मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{xd + d}{xd - d} = \frac{3}{2}$।
$\frac{d(x + 1)}{d(x - 1)} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3}{2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $2(x + 1) = 3(x - 1)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2x + 2 = 3x - 3$ मिलता है।
अतः,$x = 5$।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि $30$ और $170$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग स्थिर (प्रति न्यूक्लियॉन लगभग $8 \text{ MeV}$) रहती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नाभिकीय बल कम दूरी का होता है और संतृप्त होता है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक न्यूक्लियॉन केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ ही परस्पर क्रिया करता है। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सही है। कारण $(R)$ कहता है कि नाभिकीय बल लंबी दूरी का बल है,जो गलत है; नाभिकीय बल एक कम दूरी का बल है। अतः,$(A)$ सही है लेकिन $(R)$ गलत है।