ધારો કે એક વક્ર $y=f(x)$ બિંદુઓ $(0,5)$ અને $(\log_e 2, k)$ માંથી પસાર થાય છે. જો વક્ર વિકલ સમીકરણ $2(3+y) e^{2x} dx - (7+e^{2x}) dy = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=y(x)$ અને $\frac{2+\sin x}{y+1}\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\cos x$,જ્યાં $y(0)=1$,તો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$y(1) = \frac{\pi}{2}$ નું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકરણ $e^{2y} (1 + \ln x)dx + \csc y (2 + \cot y)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો વક્ર $y = y(x)$ એ બિંદુ $(\alpha, -\frac{1}{2})$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.