જો sum_{r=1}^{30} frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયો

Vedclass · Accepted Answer

$465$

Vedclass · Answer

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ મળે.તેથી,પદ $r(31-r) {}^{30}C_r$ બને છે.$r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$ હોવાથી,સરવાળો $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ થાય.$k = r-1$ લેતા,$r = k+1$. જ્યારે $r$,$1$ થી $30$ જાય,ત્યારે $k$,$0$ થી $29$ જાય.$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.તેથી,$\alpha = 465$.

જો $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\frac{C_1}{2} + \frac{C_3}{4} + \frac{C_5}{6} + \dots$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_n$ એ દ્વિપદી સહગુણકો છે. તો $\sum_{k=0}^n a_k \cdot C_k =$

$(1 + x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં છેલ્લા આઠ સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \binom{20}{3} + \dots + \binom{20}{10}$ નો સરવાળો શું થાય?

જો $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module