JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $E_1$ માટે,$2ae = 4 \implies a(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \implies a = 2\sqrt{3}$.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{b^2}{12} \implies \frac{b^2}{12} = \frac{2}{3} \implies b^2 = 8$.
$E_1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $L_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
$E_2$ માટે,$e^2 = 1 - \frac{A^2}{B^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{A^2}{B^2} = \frac{2}{3} \implies A^2 = \frac{2}{3}B^2$. નાભિલંબની લંબાઈ $L_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(\frac{2}{3}B^2)}{B} = \frac{4B}{3}$.
$L_1 \cdot L_2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે $\implies \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4B}{3} = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies B = 3$. તેથી $A^2 = \frac{2}{3}(3^2) = 6$.
સમીકરણો $E_1: \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$ અને $E_2: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6})x^2 + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})y^2 = 0 \implies -\frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{72}y^2 = 0 \implies y^2 = 6x^2$.
$y^2 = 6x^2$ ને $E_1$ માં મૂકતા: $\frac{x^2}{12} + \frac{6x^2}{8} = 1 \implies \frac{x^2}{12} + \frac{3x^2}{4} = 1 \implies \frac{x^2 + 9x^2}{12} = 1 \implies 10x^2 = 12 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}}$.
તેથી $y^2 = 6(\frac{6}{5}) = \frac{36}{5} \implies y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$.
શિરોબિંદુઓ $(\pm \sqrt{\frac{6}{5}}, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 2|x| \cdot 2|y| = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{6}}{5}$.

(C) ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે જ્યાં $a$ અને $d$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ છે કે $S_3 = a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d = 54$,જેનું સાદું રૂપ $a+d = 18$ થાય છે.
તેથી,$a = 18-d$.
કારણ કે $a$ ધન પૂર્ણાંક છે,$18-d > 0 \Rightarrow d < 18$.
વળી,$S_{20} = \frac{20}{2} [2a + 19d] = 10[2(18-d) + 19d] = 10[36 - 2d + 19d] = 10[36 + 17d]$.
આપેલ છે કે $1600 < 10(36 + 17d) < 1800$,$10$ વડે ભાગતા $160 < 36 + 17d < 180$ મળે છે.
$36$ બાદ કરતા $124 < 17d < 144$ મળે છે.
$17$ વડે ભાગતા $7.29 < d < 8.47$ મળે છે.
કારણ કે $d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $d = 8$.
તેથી $a = 18 - 8 = 10$.
$11$ મું પદ $a_{11} = a + 10d = 10 + 10(8) = 10 + 80 = 90$ થાય.

(D) આપણે $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^3+6 k^2+11 k+5}{(k+3)!}$ ની ગણતરી કરવી છે.
પ્રથમ,અંશને ફરીથી લખતા: $k^3+6 k^2+11 k+5 = (k+1)(k+2)(k+3) - 1$.
આને સરવાળામાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sum_{k=1}^n \left( \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!} - \frac{1}{(k+3)!} \right)$.
પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{(k+3)!} = \frac{1}{k!}$.
તેથી સરવાળો $\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+3)!} \right)$ બને છે.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$\left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{4!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{5!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{6!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+3)!} \right)$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ પદો $\frac{1}{(n+1)!}, \frac{1}{(n+2)!}, \frac{1}{(n+3)!}$ એ $0$ ની નજીક જાય છે.
બાકી રહેલા પદો $\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{10}(x_i-2)=30 \implies \sum x_i - 20 = 30 \implies \sum x_i = 50$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$.
વિચરણ $\sigma_x^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x})^2 = \frac{4}{5} \implies \frac{\sum x_i^2}{10} - 25 = 0.8 \implies \sum x_i^2 = 258$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{10}(x_i-\beta)^2 = 98 \implies \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 98$.
કિંમતો મૂકતા: $258 - 2\beta(50) + 10\beta^2 = 98 \implies 10\beta^2 - 100\beta + 160 = 0 \implies \beta^2 - 10\beta + 16 = 0$.
$(\beta-8)(\beta-2) = 0$. કારણ કે $\beta > 2$,તેથી $\beta = 8$.
ધારો કે $y_i = 2(x_i-1) + 4\beta = 2x_i - 2 + 32 = 2x_i + 30$.
મધ્યક $\mu = 2\bar{x} + 30 = 2(5) + 30 = 40$.
વિચરણ $\sigma^2 = 2^2 \cdot \sigma_x^2 = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$.
તેથી $\frac{\beta\mu}{\sigma^2} = \frac{8 \cdot 40}{16/5} = \frac{320 \cdot 5}{16} = 20 \cdot 5 = 100$.

(B) આપેલ અસમતાઓ સંકર સમતલમાં બે વર્તુળો દર્શાવે છે:
$|z_1 - (8 + 2i)| \leq 1$ એ $A(8, 2)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$|z_2 - (2 - 6i)| \leq 2$ એ $B(2, -6)$ કેન્દ્ર અને $r_2 = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કેન્દ્રો $A(8, 2)$ અને $B(2, -6)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
આ વર્તુળોમાં બે બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $d - r_1 - r_2$ દ્વારા મળે છે.
$|z_1 - z_2|_{\text{min}} = 10 - 1 - 2 = 7$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અચળ $k > 0$ માટે $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x[\frac{k}{x}] = k$ થાય.
આપેલ લક્ષ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \sum_{k=1}^{p} [\frac{k}{x}] = \sum_{k=1}^{p} k = \frac{p(p+1)}{2}$.
તે જ રીતે,$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^2 [\frac{k^2}{x^2}] = k^2$.
તેથી,$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} x^2 \sum_{k=1}^{9} [\frac{k^2}{x^2}] = \sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2 \times 9 + 1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 285$.
અસમતા આ મુજબ બને છે:
$\frac{p(p+1)}{2} - 285 \geq 1$
$\frac{p(p+1)}{2} \geq 286$
$p(p+1) \geq 572$.
$p=23$ માટે,$23 \times 24 = 552 < 572$.
$p=24$ માટે,$24 \times 25 = 600 \geq 572$.
આમ,$p$ ની ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક કિંમત $24$ છે.

(D) શબ્દ $\text{MATHS}$ માં $5$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{M, A, T, H, S\}$. આપણે $6$-અક્ષરી શબ્દ બનાવવો છે જેમાં દરેક અક્ષર ઓછામાં ઓછી બે વાર આવે.
કિસ્સો $1$: $3$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ,દરેક બે વાર આવે.
$5$ માંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_3 = 10$.
$6$ અક્ષરોની ગોઠવણી જ્યાં દરેક બે વાર આવે $= \frac{6!}{2!2!2!} = 90$.
કુલ શબ્દો $= 10 \times 90 = 900$.
કિસ્સો $2$: $2$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ,એક $4$ વાર અને એક $2$ વાર આવે.
$5$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{4!2!} \times 2 = 15 \times 2 = 30$.
કુલ શબ્દો $= 10 \times 30 = 300$.
કિસ્સો $3$: $2$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ,દરેક $3$ વાર આવે.
$5$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $= ^5C_2 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{6!}{3!3!} = 20$.
કુલ શબ્દો $= 10 \times 20 = 200$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 900 + 300 + 200 = 1400$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + (a-5)x + (15-3a) = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ ન હોવા માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (a-5)^2 - 4(2)(15-3a) < 0$
$a^2 - 10a + 25 - 120 + 24a < 0$
$a^2 + 14a - 95 < 0$
$(a+19)(a-5) < 0$
તેથી,$a \in (-19, 5)$,એટલે કે $\alpha = -19$ અને $\beta = 5$.
ગણ $X = \{x \in Z : -19 < x < 5\} = \{-18, -17, \ldots, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.
આપણે $\sum_{x \in X} x^2 = \sum_{x=-18}^{4} x^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) + 0^2 + (1^2 + 2^2 + \ldots + 18^2)$ બરાબર છે.
વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
સરવાળો $= \frac{4(5)(9)}{6} + \frac{18(19)(37)}{6} = 30 + 2109 = 2139$.

(C) આપેલ છે કે $\sin x+\sin ^2 x=1$,તેથી $\sin x=1-\sin ^2 x=\cos ^2 x$.
$\sin x=\cos ^2 x$ હોવાથી,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos ^2 x}{\cos x} = \cos x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2\cos ^{12} x + 6\cos ^{10} x + 6\cos ^8 x + 2\cos ^6 x$
$= 2(\cos ^{12} x + 3\cos ^{10} x + 3\cos ^8 x + \cos ^6 x)$
$= 2(\cos ^4 x + \cos ^2 x)^3$
$\cos ^4 x + \cos ^2 x = \sin ^2 x + \sin x = 1$ હોવાથી,જવાબ $2(1)^3 = 2$ મળે.

(D) રેખા $x+y=1$ એ $x$-અક્ષને $A(1, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 1)$ પર છેદે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$\triangle AMN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{9} \times \triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$.
ભૂમિતિ ઉકેલતા $\lambda = 2$ અને $\lambda = 1/2$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $= 2 + 1/2 = 5/2$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}$ અને $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$.
અહીં $\frac{x(5/2)}{9}+\frac{y(1/2)}{4} = \frac{(5/2)^2}{9}+\frac{(1/2)^2}{4}$
$\Rightarrow \frac{5x}{18}+\frac{y}{8} = \frac{25}{36}+\frac{1}{16} = \frac{100+9}{144} = \frac{109}{144}$
$144$ વડે ગુણતા:
$8(5x) + 18(y) = 109$
$40x + 18y = 109$
સરખાવતા,$\alpha = 40$ અને $\beta = 18$.
તેથી,$\alpha + \beta = 40 + 18 = 58$.

(B) $KANPUR$ શબ્દના અક્ષરો $A, K, N, P, R, U$ છે (મૂળાક્ષર ક્રમમાં).
કુલ અક્ષરો = $6$. કુલ ક્રમચયો = $6! = 720$.
શબ્દો જે નીચેના અક્ષરોથી શરૂ થાય છે:
$A$: $5! = 120$
$K$: $5! = 120$
$N$: $5! = 120$
કુલ સરવાળો = $360$.
$P$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$PA$: $4! = 24$
$PK$: $4! = 24$
$PN$: $4! = 24$
કુલ સરવાળો = $432$.
$PR$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$PRA$: $3! = 6$ (કુલ $438$)
$PRK$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, N, U$ છે. શબ્દો:
$PRKAUN$ $(439^{th})$
$PRKANU$ $(440^{th})$
આમ,$440^{th}$ શબ્દ $PRKANU$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. વર્તુળ $A(4, 2)$ અને $B(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $AB$ નો લંબદ્વિભાજક કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થશે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M(\frac{4+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (2, 2)$ છે.
$A$ અને $B$ ના $y$-યામ સમાન હોવાથી,$AB$ એક આડી રેખા છે. તેનો લંબદ્વિભાજક શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
તેથી,કેન્દ્રનો $x$-યામ $h = 2$ છે.
કેન્દ્ર $3x + 2y + 2 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$x = 2$ મૂકતા:
$3(2) + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 6 + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 2k = -8$ $\Rightarrow k = -4$.
આમ,કેન્દ્ર $O(2, -4)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $O(2, -4)$ થી $A(4, 2)$ સુધીનું અંતર છે:
$r^2 = (4 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $N(1, 2)$ છે. કેન્દ્ર $O(2, -4)$ થી $N(1, 2)$ સુધીનું અંતર $ON$ છે:
$ON^2 = (1 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = (-1)^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
જીવાની લંબાઈ $2 \sqrt{r^2 - ON^2} = 2 \sqrt{40 - 37} = 2 \sqrt{3}$ છે.

(A) આપણે $7^{103} \pmod{23}$ શોધવાની જરૂર છે.
ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(7, 23) = 1$ હોવાથી,$7^{22} \equiv 1 \pmod{23}$ થાય.
હવે,ઘાત $103$ ને $22$ વડે ભાગતા: $103 = 22 \times 4 + 15$.
તેથી,$7^{103} = (7^{22})^4 \times 7^{15} \equiv 1^4 \times 7^{15} \equiv 7^{15} \pmod{23}$.
$7$ ની ઘાત $\pmod{23}$ ગણતા:
$7^1 \equiv 7 \pmod{23}$
$7^2 = 49 \equiv 3 \pmod{23}$
$7^3 = 7 \times 3 = 21 \equiv -2 \pmod{23}$
$7^6 = (-2)^2 = 4 \pmod{23}$
$7^{12} = 4^2 = 16 \equiv -7 \pmod{23}$
$7^{15} = 7^{12} \times 7^3 \equiv (-7) \times (-2) = 14 \pmod{23}$.
આમ,શેષ $14$ મળે છે.

(C) ધારો કે $L = \lim _{t \rightarrow 0}\left(\int_0^1(3 x+5)^t d x\right)^{\frac{1}{t}}$. આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{t \to 0} f(t)^{g(t)} = e^{\lim_{t \to 0} g(t)(f(t)-1)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left( \int_0^1 (3x+5)^t dx - 1 \right)}$.
સંકલન કરતા: $\int_0^1 (3x+5)^t dx = \left[ \frac{(3x+5)^{t+1}}{3(t+1)} \right]_0^1 = \frac{8^{t+1} - 5^{t+1}}{3(t+1)}$.
તેથી,$L = e^{\lim_{t \to 0} \frac{8^{t+1} - 5^{t+1} - 3(t+1)}{3t(t+1)}}$.
$t \to 0$ માટે $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{8 \ln 8 - 5 \ln 5 - 3}{3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{64}{5e} \left( \frac{8}{5} \right)^{2/3}$ મળે છે.
$\frac{\alpha}{5e} \left( \frac{8}{5} \right)^{2/3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 64$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S = a_1 + (a_5 + a_{10} + \ldots + a_{2020}) + a_{2024} = 2233$ છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે,એટલે કે $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
અહીં,$n = 2024$. કૌંસમાંના પદો $a_{5k}$ છે જ્યાં $k=1$ થી $404$.
નોંધો કે $a_5 + a_{2020} = a_1 + a_{2024}$,$a_{10} + a_{2015} = a_1 + a_{2024}$,વગેરે.
શ્રેણી $5, 10, \ldots, 2020$ માં $404$ પદો છે.
આ પદોની જોડી બનાવતા,આપણને $202$ જોડી મળે છે,જે દરેક $(a_1 + a_{2024})$ જેટલી છે.
બહારના પદો $a_1$ અને $a_{2024}$ ને ઉમેરતા,કુલ સરવાળો $203(a_1 + a_{2024}) = 2233$ થાય.
આમ,$(a_1 + a_{2024}) = \frac{2233}{203} = 11$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{2024} = \frac{2024}{2}(a_1 + a_{2024}) = 1012 \times 11 = 11132$ થાય.

(A) પરવલય $y^2=12x$ માટે,$4a=12$,તેથી $a=3$. નાભિ $S$ એ $(3,0)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(3t^2, 6t)$ અને $Q$ ના યામ $(3/t^2, -6/t)$ છે જ્યાં $t_1 t_2 = -1$.
નિયામિકા $x=-3$ થી બિંદુ $(3t^2, 6t)$ નું અંતર $SP = 3t^2+3$ છે.
તે જ રીતે,$SQ = 3/t^2+3$.
આપેલ છે કે $(SP)(SQ) = (3t^2+3)(3/t^2+3) = 9(t^2+1)(1/t^2+1) = 9\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{4}$.
$\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{36} = \frac{49}{12}$.
$t^2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t^2 = 3/4$ અથવા $t^2 = 4/3$ મળે છે.
$t^2 = 3/4$ લેતા,આપણને $P = (9/4, 3\sqrt{3})$ અને $Q = (4, -4\sqrt{3})$ મળે છે.
$PQ$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-9/4)(x-4) + (y-3\sqrt{3})(y+4\sqrt{3}) = 0$.
$x^2 - (25/4)x + 9 + y^2 + \sqrt{3}y - 36 = 0$.
$x^2 + y^2 - (25/4)x + \sqrt{3}y - 27 = 0$.
$64$ વડે ગુણતા: $64x^2 + 64y^2 - 400x + 64\sqrt{3}y - 1728 = 0$.
$64x^2 + 64y^2 - \alpha x - 64\sqrt{3}y = \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 400$ અને $\beta = -1728$ મળે છે (અથવા ચિહ્નો ગોઠવતા,$\beta - \alpha = 1328$).

(B) $50!$ ને $3^n$ વડે ભાગી શકાય તે માટે સૌથી મોટી ઘાત $n$ શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
અહીં,$m = 50$ અને $p = 3$ છે.
$n = \left[ \frac{50}{3} \right] + \left[ \frac{50}{3^2} \right] + \left[ \frac{50}{3^3} \right] + \left[ \frac{50}{3^4} \right]$
$n = 16 + 5 + 1 + 0$
$n = 22$.
આમ,સૌથી મોટી $n$ ની કિંમત $22$ છે.

(C) આપેલ છે કે નાભિ $ae = \sqrt{10}$ અને નિયામિકા $\frac{a}{e} = \frac{9}{\sqrt{10}}$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$a^2 = \sqrt{10} \times \frac{9}{\sqrt{10}} = 9$,તેથી $a = 3$.
ત્યારબાદ $e = \frac{\sqrt{10}}{a} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = (ae)^2 - a^2$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 10 - 9 = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$.
હવે,$9(e^2 + l) = 9\left(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{10}{9} + \frac{2}{3}\right) = 10 + 6 = 16$.

(C) આપણે $0, 1, 2$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $10$ પદોની શ્રેણી બનાવવાની છે જેમાં બરાબર પાંચ $1$,ત્રણ $2$ અને બાકીના બે $0$ $(10 - 5 - 3 = 2)$ હોય.
આ મલ્ટિસેટના ક્રમચયનો પ્રશ્ન છે.
$5$ એકડા,$3$ બગડા અને $2$ શૂન્યની ગોઠવણી કરવાની રીતો:
$\text{શ્રેણીઓની સંખ્યા} = \frac{10!}{5! \times 3! \times 2!}$
ગણતરી:
$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 6 \times 2} = 2520$.

(A) ધારો કે પદાવલિ $E = \left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ છે.
સૂત્ર $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$ મળે.
બીજા પદ માટે,$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 1 + x^{-1/2}$ મળે.
તેથી,$E = \left(x^{1/3}-x^{-1/2}\right)^{10}$ થાય.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$.
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$.
તેથી,પદ ${}^{10}C_4 (-1)^4 = 210$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + (2 - \sqrt{6}) \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - \sqrt{6} \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
$2 \cos \theta (\sqrt{2} \cos \theta + 1) - \sqrt{3} (\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
$(2 \cos \theta - \sqrt{3})(\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
$1) \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2) \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta \in [-2 \pi, 2 \pi]$ માટે:
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,ઉકેલો $\theta = \pm \frac{\pi}{6}, \pm \frac{11 \pi}{6}$ ($4$ ઉકેલો) છે.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,ઉકેલો $\theta = \pm \frac{3 \pi}{4}, \pm \frac{5 \pi}{4}$ ($4$ ઉકેલો) છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $= 4 + 4 = 8$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1 = a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $12$ એકી ક્રમના પદોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{12} a_{2k-1} = a_1 + a_3 + \ldots + a_{23} = -\frac{72}{5} a$ છે.
આ એક $A.P.$ છે જેમાં $12$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $2d$ છે.
સરવાળો $\frac{12}{2} [2a + (12-1)(2d)] = 6(2a + 22d) = 12a + 132d$ થાય.
આપેલ કિંમત સાથે સરખાવતા: $12a + 132d = -\frac{72}{5} a$.
$5$ વડે ગુણતા: $60a + 660d = -72a$,જેનું સાદું રૂપ $132a = -660d$ એટલે કે $a = -5d$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{n} a_k = 0$,એટલે કે $\frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = 0$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$2a + (n-1)d = 0$.
$a = -5d$ મૂકતા: $2(-5d) + (n-1)d = 0$.
$-10d + nd - d = 0 \Rightarrow (n-11)d = 0$.
$a_1 \neq 0$ હોવાથી,$d \neq 0$,તેથી $n - 11 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 11$.

(A) આપેલ છે $\frac{2+k^2z}{k+\overline{z}}=kz$. $|z|=1$ હોવાથી,$\overline{z} = \frac{1}{z}$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{2+k^2z}{k+\frac{1}{z}} = kz$ મળે.
$\frac{z(2+k^2z)}{kz+1} = kz \implies 2+k^2z = k^2z+k$.
તેથી $k=2$ મળે.
બિંદુ $k+ik^2 = 2+4i$ છે.
વર્તુળ $|z-(1+2i)|=1$ નું કેન્દ્ર $C(1,2)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $P(2,4)$ થી કેન્દ્ર $C(1,2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
વર્તુળથી મહત્તમ અંતર $d+r = \sqrt{5}+1$ થાય.

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,જ્યારે $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે અંશ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ.
$\lim _{x \rightarrow 0} (x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}) = 0 + (\gamma-1)(1) = \gamma-1$ હોવાથી,$\gamma-1 = 0$ લેતા $\gamma = 1$ મળે.
હવે પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\alpha x + O(x^3)) + 0(e^{x^2}-1)}{(2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5)) - \beta x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{(2-\beta)x - \frac{4}{3}x^3} = 3$ બને છે.
લક્ષ શૂન્યતર હોય તે માટે,છેદમાં $x$ ની ઘાત અંશ જેટલી જ હોવી જોઈએ. તેથી,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $2-\beta = 0$,જે $\beta = 2$ આપે છે.
હવે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{-\frac{4}{3}x^3} = -\frac{3\alpha}{4} = 3$ છે.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,$\alpha = -4$ મળે છે.
અંતે,$\beta + \gamma - \alpha = 2 + 1 - (-4) = 7$.

(B) આપેલ છે કે $P_n = \alpha^n + \beta^n$. આપણે જોઈએ છીએ કે $P_{10} = P_9 + P_8$ $(123 = 76 + 47)$.
આ સૂચવે છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ ના બીજ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 1$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -1$ છે.
આપણે $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ શોધવાનું છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ છે.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-1} = -1$ છે.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-1)x + (-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x - 1 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 3\sqrt{2}$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{18}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
નાભિઓ $S(ae, 0) = (3, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0) = (-3, 0)$ છે.
ધારો કે $P = (3\sqrt{2} \cos \theta, 3 \sin \theta)$.
નાભિ અંતર $SP = a - ex = 3\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}(3\sqrt{2} \cos \theta) = 3\sqrt{2} - 3 \cos \theta$ અને $S^{\prime}P = a + ex = 3\sqrt{2} + 3 \cos \theta$.
તેથી $SP \cdot S^{\prime}P = (3\sqrt{2} - 3 \cos \theta)(3\sqrt{2} + 3 \cos \theta) = 18 - 9 \cos^2 \theta$.
$0 \le \cos^2 \theta \le 1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $18 - 9(1) = 9$ (જ્યારે $\cos^2 \theta = 1$) અને મહત્તમ કિંમત $18 - 9(0) = 18$ (જ્યારે $\cos^2 \theta = 0$) મળે.
આમ,$\min(SP \cdot S^{\prime}P) + \max(SP \cdot S^{\prime}P) = 9 + 18 = 27$.

(A) પરવલય $y^2=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $S$ એ $(1, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ એ $(t^2, 2t)$ છે. નાભિ જીવા $PS$ નો ઢાળ $\frac{2t-0}{t^2-1} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
$2t = \sqrt{3}(t^2-1) \Rightarrow \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ મળે છે.
$P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
આમ,$P = ((\sqrt{3})^2, 2\sqrt{3}) = (3, 2\sqrt{3})$.
વ્યાસ $PS$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે,જ્યાં $P=(3, 2\sqrt{3})$ અને $S=(1, 0)$.
$(x-3)(x-1) + (y-2\sqrt{3})(y-0) = 0$.
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, \alpha)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી $x=0$ લેતા:
$3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,તેથી $y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \Rightarrow (y-\sqrt{3})^2 = 0$.
આમ,$\alpha = \sqrt{3}$.
તેથી $5\alpha^2 = 5(\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15$.

(A) રેખાઓ $x+y=3$ અને $x-y=3$ એ $(3, 0)$ માં છેદે છે. આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y=0$ અને $x=3$ છે. વર્તુળો બંને રેખાઓને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો ખૂણાના દ્વિભાજક $y=0$ પર હોવા જોઈએ. ધારો કે કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(a, 0)$ થી રેખા $x+y-3=0$ નું લંબ અંતર છે,તેથી $r = \frac{|a+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{2}}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ છે.
વર્તુળ $(-9, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(-9-a)^2 + 4^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ મળે.
$2((a+9)^2 + 16) = (a-3)^2$
$2(a^2 + 18a + 81 + 16) = a^2 - 6a + 9$
$2a^2 + 36a + 194 = a^2 - 6a + 9$
$a^2 + 42a + 185 = 0$
$(a+37)(a+5) = 0$
આમ,$a = -37$ અથવા $a = -5$.
$a = -37$ માટે,$r_1 = \frac{|-37-3|}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$,તેથી $r_1^2 = 800$.
$a = -5$ માટે,$r_2 = \frac{|-5-3|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,તેથી $r_2^2 = 32$.
ત્રિજ્યાઓના વર્ગોનો તફાવત $|800 - 32| = 768$ થાય.

(A) ધારો કે પદોની સંખ્યા $n = 2k$ છે. પદો $a_1, a_2, \ldots, a_{2k}$ છે.
બેકી પદોનો સરવાળો: $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2k} = 30$.
એકી પદોનો સરવાળો: $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2k-1} = 24$.
બંને સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \ldots + (a_{2k} - a_{2k-1}) = 30 - 24 = 6$.
દરેક તફાવત સામાન્ય તફાવત $d$ હોવાથી,આપણને $k \times d = 6$ મળે,તેથી $n \times d = 2k \times d = 12$.
છેલ્લું પદ પ્રથમ પદ કરતા $\frac{21}{2}$ વધારે છે,તેથી $a_n - a_1 = (n-1)d = \frac{21}{2}$.
$nd = 12$ મૂકતા: $12 - d = \frac{21}{2} \Rightarrow d = 12 - 10.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.
$nd = 12$ હોવાથી,$n \times \frac{3}{2} = 12 \Rightarrow n = 8$.
એકી પદોના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] = 24$ જ્યાં $k=4$ અને $d=1.5$.
$4a_1 + 12d = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 12(1.5) = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 18 = 24$ $\Rightarrow 4a_1 = 6$ $\Rightarrow a_1 = 1.5$.
શ્રેણી: $1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12$.
પૂર્ણાંક પદો $3, 6, 9, 12$ છે. આવા $4$ પદો છે.

(C) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = 2b + 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જ્યાં $a, b \in \{1, 2, \ldots, 10\}$.
$R$ ના ઘટકો: $R = \{(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)\}$.
આપણે $k$ ક્રમયુક્ત જોડીઓની શ્રેણી શોધી રહ્યા છીએ $(x_1, x_2), (x_2, x_3), \ldots, (x_k, x_{k+1})$ જેથી દરેક જોડી $R$ માં હોય.
સંબંધ $a_i = 2a_{i+1} + 1$ પરથી.
છેલ્લી જોડી $(a_k, a_{k+1})$ થી શરૂ કરીને:
જો $a_{k+1} = 1$,તો $a_k = 2(1) + 1 = 3$.
જો $a_k = 3$,તો $a_{k-1} = 2(3) + 1 = 7$.
જો $a_{k-1} = 7$,તો $a_{k-2} = 2(7) + 1 = 15$,જે $A$ માં નથી.
તેથી,શ્રેણી $(7, 3), (3, 1)$ હોઈ શકે છે,જેમાં $k = 2$ જોડીઓ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3$ છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
આપેલ છે કે $2b = \frac{1}{4}(2ae)$,તેથી $b = \frac{ae}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$.
$\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $e^2 = 1 - \left(\frac{e}{4}\right)^2$.
$e^2 = 1 - \frac{e^2}{16}$.
$e^2 + \frac{e^2}{16} = 1$.
$\frac{17e^2}{16} = 1$.
$e^2 = \frac{16}{17}$.
આમ,$e = \frac{4}{\sqrt{17}}$.

(A) ધારો કે $x = \operatorname{cosec} \theta$. સમીકરણ $\sqrt{3}x^2 - 2(\sqrt{3}-1)x - 4 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^2 + 16\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}$
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{16+8\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm (2\sqrt{3}+2)}{2\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $1$: $x = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{2}{\sqrt{3}} \implies \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતરાલ $\theta \in [-\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$ માં,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ ના $3$ ઉકેલો છે અને $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ના $3$ ઉકેલો છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $3 + 3 = 6$.

(B) આપેલ માહિતી: $6, 4, a, 8, b, 12, 10, 13$. અવલોકનોની સંખ્યા $N = 8$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{6+4+a+8+b+12+10+13}{8} = 9$.
$53 + a + b = 72 \Rightarrow a + b = 19$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = 9.25 = \frac{37}{4}$.
$\frac{36+16+a^2+64+b^2+144+100+169}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{529 + a^2 + b^2}{8} = 81 + 9.25 = 90.25$.
$529 + a^2 + b^2 = 722 \Rightarrow a^2 + b^2 = 193$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,$19^2 = 193 + 2ab$.
$361 = 193 + 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 168$ $\Rightarrow ab = 84$.
તેથી,$a + b + ab = 19 + 84 = 103$.

(A) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x+a \cos 4 x-b}{x^4}$ સીમિત છે.
$\cos \theta$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\left(1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} - \dots\right) + a\left(1 - \frac{(4x)^2}{2} + \frac{(4x)^4}{24} - \dots\right) - b}{x^4}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + a - b) - x^2(2 + 8a) + x^4(\frac{2}{3} + \frac{32}{3}a) + \dots}{x^4}$
સીમા સીમિત હોવા માટે,$x^0$ અને $x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$1 + a - b = 0 \implies b = 1 + a$
$2 + 8a = 0 \implies a = -\frac{1}{4}$
$b$ માટે $a$ ની કિંમત મૂકતા: $b = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
તેથી,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે $S = \sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.
$= \sum_{r=0}^{10} \left( 10 - \frac{1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.
$= 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} - 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} \left( \frac{1}{10^{r+1}} \right)$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$S = 10(2^{11}-1) - 10((\frac{11}{10})^{11} - 1)$.
$S = 10 \cdot 2^{11} - 10 - 10 \cdot \frac{11^{11}}{10^{11}} + 10$.
$S = \frac{20^{11} - 11^{11}}{10^{10}}$.
સરખામણી કરતા,$\alpha = 20$.

(D) ધારો કે હાર $R_1, R_2, R_3$ માં ખાનાઓની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1=3, n_2=3, n_3=2$ છે. કુલ ખાના $n=8$.
આપણે $5$ ભિન્ન અક્ષરોને $8$ ખાનામાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે કોઈ પણ હાર ખાલી ન રહે.
$8$ ખાનામાં $5$ અક્ષરો ગોઠવવાની કુલ રીતો $P(8, 5) = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ છે.
ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ એ એવી રીતોના ગણ છે જેમાં અનુક્રમે હાર $R_1, R_2, R_3$ ખાલી છે.
આપણે $Total - |S_1 \cup S_2 \cup S_3|$ શોધવાનું છે.
$|S_1|$: $R_1$ ખાલી છે,તેથી $5$ અક્ષરોને $8-3=5$ ખાનામાં ગોઠવતા: $P(5, 5) = 120$.
$|S_2|$: $R_2$ ખાલી છે,તેથી $5$ અક્ષરોને $8-3=5$ ખાનામાં ગોઠવતા: $P(5, 5) = 120$.
$|S_3|$: $R_3$ ખાલી છે,તેથી $5$ અક્ષરોને $8-2=6$ ખાનામાં ગોઠવતા: $P(6, 5) = 720$.
$|S_1 \cap S_2|$: $R_1, R_2$ ખાલી,$5$ અક્ષરો $2$ ખાનામાં: $0$ રીતો.
$|S_1 \cap S_3|$: $R_1, R_3$ ખાલી,$5$ અક્ષરો $3$ ખાનામાં: $0$ રીતો.
$|S_2 \cap S_3|$: $R_2, R_3$ ખાલી,$5$ અક્ષરો $3$ ખાનામાં: $0$ રીતો.
$|S_1 \cap S_2 \cap S_3|$: બધી હાર ખાલી: $0$ રીતો.
અપવર્જન-સમાવેશના સિદ્ધાંત મુજબ:
$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| = (|S_1| + |S_2| + |S_3|) - (|S_1 \cap S_2| + |S_1 \cap S_3| + |S_2 \cap S_3|) + |S_1 \cap S_2 \cap S_3| = (120 + 120 + 720) - 0 = 960$.
જરૂરી રીતો = $6720 - 960 = 5760$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે. તેને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ મળે. નાભિ $S$ એ $(4, 0)$ છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ છે. આપેલ છે કે $P = (1, -4)$,તેથી $2at_1 = -4$ $\Rightarrow 2(4)t_1 = -4$ $\Rightarrow t_1 = -\frac{1}{2}$.
$PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,તેના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = -1$ થાય. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = 2$.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ છે.
ધારો કે નાભિ $S(4, 0)$ એ જીવા $PQ$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$4 = \frac{m(16) + n(1)}{m+n}$
$4m + 4n = 16m + n$
$3n = 12m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$.
અહીં $\operatorname{gcd}(1, 4) = 1$,તેથી $m=1$ અને $n=4$.
તેથી,$m^2+n^2 = 1^2+4^2 = 17$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $x + by + c = 0$ છે,જેને $\frac{x}{-c} + \frac{y}{-c/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અંતઃખંડો $a = -c$ અને $b' = -c/b$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |a \cdot b'| = \frac{1}{2} |(-c) \cdot (-c/b)| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{b}| = 48$ છે.
તેથી,$|\frac{c^2}{b}| = 96$.
ઉગમબિંદુમાંથી રેખા $L$ પરનો લંબ ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આ લંબનો ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $-1/b$ છે. લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,$(1) \cdot (-1/b) = -1$,જે આપણને $b = 1$ આપે છે.
$b = 1$ ને $|\frac{c^2}{b}| = 96$ માં મૂકતા,આપણને $|c^2| = 96$ મળે છે,તેથી $c^2 = 96$.
તેથી,$b^2 + c^2 = 1^2 + 96 = 97$.

(B) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{4r}{1+4r^4}$ છે.
નિત્યસમ $1+4r^4 = (1+2r^2-2r)(1+2r^2+2r)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = \frac{(2r^2+2r+1)-(2r^2-2r+1)}{(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)}$
$T_r = \frac{1}{2r^2-2r+1} - \frac{1}{2r^2+2r+1}$.
$r=1$ માટે,$T_1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{5}$.
$r=2$ માટે,$T_2 = \frac{1}{5} - \frac{1}{13}$.
$r=10$ સુધી ચાલુ રાખતા,$T_{10} = \frac{1}{181} - \frac{1}{221}$.
સરવાળો $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 1 - \frac{1}{221} = \frac{220}{221}$.
અહીં $S_{10} = \frac{m}{n}$ હોવાથી,$m=220$ અને $n=221$.
$\operatorname{gcd}(220, 221) = 1$ હોવાથી,$m+n = 220+221 = 441$.

(D) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(1 - (-3)) + 1(-3 - (-2)) + 9(-2 - 1)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(4) + 1(-1) + 9(-3)| = \frac{1}{2} |16 - 1 - 27| = \frac{1}{2} |-12| = 6$ ચોરસ એકમ.
ત્રિકોણ $ABC$ માં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માટે,જ્યાં $D$ એ $BC$ પર,$E$ એ $CA$ પર અને $F$ એ $AB$ પર છે,તેનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ $ABC$ ના ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોય છે.
$\text{Maximum Area} = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ ચોરસ એકમ.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $(1-a)x^2 + 2(a-3)x + 9 = 0$ ના બીજ ધન હોવા માટેની શરતો:
$1$. વિવેચક $D \geq 0$:
$D = [2(a-3)]^2 - 4(1-a)(9) \geq 0$
$a^2 + 3a \geq 0 \implies a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$
$2$. બીજનો સરવાળો $> 0$:
$-\frac{b}{a} = \frac{2(a-3)}{a-1} > 0 \implies a \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$3$. બીજનો ગુણાકાર $> 0$:
$\frac{c}{a} = \frac{9}{1-a} > 0 \implies a < 1$
બધી શરતોનો છેદગણ લેતા:
$a \in (-\infty, -3] \cup [0, 1)$
$(-\infty, -\alpha] \cup [\beta, \gamma)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 1$ મળે.
તેથી,$2\alpha + \beta + \gamma = 2(3) + 0 + 1 = 7$.

(C) સમીકરણ $x^2+\sqrt{3}x-16=0$ માટે,$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$P_n+\sqrt{3}P_{n-1}-16P_{n-2}=0$ મળે.
$n=25$ માટે,$P_{25}+\sqrt{3}P_{24}=16P_{23}$ મળે.
તેથી,$\frac{P_{25}+\sqrt{3}P_{24}}{2P_{23}} = \frac{16P_{23}}{2P_{23}} = 8$.
સમીકરણ $x^2+3x-1=0$ માટે,$\gamma^2-1=-3\gamma$ અને $\delta^2-1=-3\delta$ મળે.
તેથી $Q_{25}-Q_{23} = \gamma^{23}(\gamma^2-1)+\delta^{23}(\delta^2-1) = -3(\gamma^{24}+\delta^{24}) = -3Q_{24}$.
તેથી,$\frac{Q_{25}-Q_{23}}{Q_{24}} = -3$.
અંતે,$8-3=5$.

(D) $(2+\sqrt{3})^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = { }^8 C_r (2)^{8-r} (\sqrt{3})^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$r$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
સંમેય પદોનો સરવાળો:
$S = { }^8 C_0 (2)^8 + { }^8 C_2 (2)^6 (\sqrt{3})^2 + { }^8 C_4 (2)^4 (\sqrt{3})^4 + { }^8 C_6 (2)^2 (\sqrt{3})^6 + { }^8 C_8 (\sqrt{3})^8$
$S = 1 \cdot 256 + 28 \cdot 64 \cdot 3 + 70 \cdot 16 \cdot 9 + 28 \cdot 4 \cdot 27 + 1 \cdot 81$
$S = 256 + 5376 + 10080 + 3024 + 81$
$S = 18817$

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
$P(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\sqrt{5} + r \cos \theta, \sqrt{5} + r \sin \theta)$ તરીકે લઈ શકાય.
આને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$25(\sqrt{5} + r \cos \theta)^2 + 36(\sqrt{5} + r \sin \theta)^2 = 900$
સાદુરૂપ આપતા:
$r^2(25 \cos^2 \theta + 36 \sin^2 \theta) + 2\sqrt{5}r(25 \cos \theta + 36 \sin \theta) - 595 = 0$
અહીં,$|r| = PA, PB$. ગુણાકાર $PA \cdot PB = \frac{595}{25 + 11 \sin^2 \theta}$ છે.
આ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin^2 \theta = 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $AB$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી $y = \sqrt{5}$.
ઉપવલયમાં $y = \sqrt{5}$ મૂકતા: $\frac{x^2}{36} + \frac{5}{25} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{144}{5}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{12}{\sqrt{5}}$.
બિંદુઓ $A(-\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ અને $B(\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ છે.
$PA^2 = (\frac{17}{\sqrt{5}})^2 = \frac{289}{5}$ અને $PB^2 = (-\frac{7}{\sqrt{5}})^2 = \frac{49}{5}$.
$PA^2 + PB^2 = \frac{338}{5}$.
તેથી,$5(PA^2 + PB^2) = 338$.

(A) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે.
પ્રથમ ક્રમનો તફાવત સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,સામાન્ય પદ $T_n$ એ $T_n = an^2 + bn + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત પદાવલિ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો ઉપયોગ કરીને:
$T_1 = a + b + c = 1$
$T_2 = 4a + 2b + c = 3$
$T_3 = 9a + 3b + c = 11$
સમીકરણો બાદ કરતા:
$(T_2 - T_1) \implies 3a + b = 2$
$(T_3 - T_2) \implies 5a + b = 8$
આ પરિણામો બાદ કરતા: $2a = 6 \implies a = 3$.
$3a+b=2$ માં $a=3$ મુકતા,$9+b=2 \implies b = -7$.
$a+b+c=1$ માં $a=3, b=-7$ મુકતા,$3-7+c=1 \implies c = 5$.
આમ,સામાન્ય પદ $T_n = 3n^2 - 7n + 5$ છે.
$20$ પદોનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{20} (3n^2 - 7n + 5) = 3 \sum_{n=1}^{20} n^2 - 7 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 5$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= 3 \left( \frac{20(21)(41)}{6} \right) - 7 \left( \frac{20(21)}{2} \right) + 5(20)$
$= 3(2870) - 7(210) + 100$
$= 8610 - 1470 + 100 = 7240$.

(C) આપેલ પદ $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$ છે.
સરવાળાને બે ભાગમાં વહેંચતા:
$\sum_{r=1}^9 \frac{r}{2^r} {}^9C_r + 3 \sum_{r=1}^9 \frac{1}{2^r} {}^9C_r$.
નિત્યસમ $r \cdot {}^nC_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ ભાગ:
$\frac{9}{2} \sum_{r=1}^9 {}^8C_{r-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r-1} = \frac{9}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)^8 = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9$.
બીજો ભાગ:
$3 \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right)^9 - 1 \right] = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$6 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
સરખામણી કરતા $\alpha = 6$ અને $\beta = 3$ મળે છે.
તેથી,$(\alpha + \beta)^2 = (6 + 3)^2 = 81$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x + 3 \tan x = \pi$ છે.
આને $\tan x = \frac{\pi}{3} - \frac{2x}{3}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $x \in [-2\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં $y = \tan x$ અને $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ ના આલેખ દોરીએ છીએ.
$y = \tan x$ વિધેયને $x = \pm \frac{\pi}{2}$ અને $x = \pm \frac{3\pi}{2}$ પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) છે.
રેખા $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ નો ઢાળ ઋણ છે અને તે $(0, \frac{\pi}{3})$ માંથી પસાર થાય છે.
$\tan x$ ના આલેખ અને સીધી રેખાના છેદબિંદુઓનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપેલ પ્રદેશમાં $5$ છેદબિંદુઓ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ધન યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખા $y = x$ છે.
$L_1: 2x + y + 6 = 0$ અને $L_2: 4x + 2y - p = 0$ (અથવા $2x + y - \frac{p}{2} = 0$).
$L_1$ અને $L_2$ નો ઢાળ $m = -2$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાંતર રેખાઓ છે.
રેખા $y = x$ એ $L_1$ ને $A$ માં અને $L_2$ ને $B$ માં છેદે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AMB$ માં,રેખા $y = x$ (ઢાળ $m_1 = 1$) અને રેખા $L_2$ (ઢાળ $m_2 = -2$) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-2)}{1 + (1)(-2)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
$\triangle AMB$ માં,$\tan \theta = \frac{AM}{BM}$.
તેથી,$\frac{AM}{BM} = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{z^2+3i}{z-2+i} = 2+3i$
બંને બાજુ $(z-2+i)$ વડે ગુણતા: $z^2+3i = (2+3i)(z-2+i)$
$z^2+3i = 2z - 4 + 2i + 3iz - 6i - 3$
$z^2 - z(2+3i) + 7 + 7i = 0$
ધારો કે $z_1$ અને $z_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે. વીએટાના સૂત્રો મુજબ,$z_1+z_2 = 2+3i$ અને $z_1z_2 = 7+7i$.
આપણે $z^2$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $z_1^2 + z_2^2$ છે.
$z_1^2 + z_2^2 = (z_1+z_2)^2 - 2z_1z_2$
$z_1^2 + z_2^2 = (2+3i)^2 - 2(7+7i)$
$z_1^2 + z_2^2 = (4 - 9 + 12i) - 14 - 14i$
$z_1^2 + z_2^2 = -19 - 2i$

(A) ધારો કે $x = t^4$,તેથી $dx = 4t^3 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{t(1+t)} \cdot 4t^3 dt = \int \frac{4t^2}{1+t} dt$.
બહુપદીના ભાગાકાર અથવા ગોઠવણનો ઉપયોગ કરતા:
$\int \frac{4(t^2-1+1)}{t+1} dt = 4 \int (t-1 + \frac{1}{t+1}) dt$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$f(x) = 4(\frac{t^2}{2} - t + \log_e|t+1|) + C = 2t^2 - 4t + 4\log_e(t+1) + C$.
$t = x^{1/4}$ મૂકતા:
$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) + C$.
આપેલ છે કે $f(0) = -6$:
$2(0) - 4(0) + 4\log_e(1) + C = -6 \implies C = -6$.
આમ,$f(x) = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\log_e(1+x^{1/4}) - 6$.
$f(1)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(1) = 2(1) - 4(1) + 4\log_e(2) - 6 = 2 - 4 + 4\log_e 2 - 6 = 4\log_e 2 - 8 = 4(\log_e 2 - 2)$.

(B) આપેલ છે કે $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$[x F(x)]_0^2 - \int_0^2 F(x) dx = 6$
$2 F(2) - 0 - \int_0^2 F(x) dx = 6$.
કારણ કે $F(x) = x f(x)$,તેથી $F(2) = 2 f(2) = 2(1) = 2$.
તેથી,$2(2) - \int_0^2 F(x) dx = 6 \implies \int_0^2 F(x) dx = 4 - 6 = -2$.
હવે,$\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ ધ્યાનમાં લો. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$[x^2 F^{\prime}(x)]_0^2 - \int_0^2 2x F^{\prime}(x) dx = 40$
$4 F^{\prime}(2) - 2 \int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 40$.
આપેલ કિંમત $\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ મૂકતા:
$4 F^{\prime}(2) - 2(6) = 40$
$4 F^{\prime}(2) - 12 = 40
4 F^{\prime}(2) = 52
F^{\prime}(2) = 13$.
અંતે,$F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx = 13 + (-2) = 11$.

(A) કારણ કે $f(x)$ વ્યાપ્ત છે,તેથી $A$ એ $f(x)$ નો વિસ્તાર છે.
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x-2)(x-3)$.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ્સ $x=2$ અને $x=3$ છે.
સીમાઓ અને ક્રિટીકલ પોઈન્ટ્સ પર કિંમત મેળવતા:
$f(0) = 7$
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 7 = 35$
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 7 = 34$.
$f(x)$ એ $[0,3]$ પર સતત હોવાથી,વિસ્તાર $A = [7, 35]$.
$g(x) = \frac{x^{2025}}{x^{2025}+1}$ માટે,$x \in [0, \infty)$ હોવાથી,$x^{2025} \in [0, \infty)$.
તેથી,$g(x) = 1 - \frac{1}{x^{2025}+1}$.
$x=0$ માટે,$g(0) = 0$. જેમ $x \to \infty$,તેમ $g(x) \to 1$.
તેથી,વિસ્તાર $B = [0, 1)$.
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [7, 35] \cup [0, 1)\} = \{0, 7, 8, 9, \dots, 35\}$.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $1 + (35 - 7 + 1) = 30$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sec^{-1}(u)$ એ $|u| \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $u \leq -1$ અથવા $u \geq 1$.
અહીં,$u = 2[x] + 1$.
તેથી,$2[x] + 1 \leq -1$ અથવા $2[x] + 1 \geq 1$.
કિસ્સો $1$: $2[x] + 1 \leq -1 \Rightarrow 2[x] \leq -2 \Rightarrow [x] \leq -1$. આ સૂચવે છે કે $x < 0$.
કિસ્સો $2$: $2[x] + 1 \geq 1 \Rightarrow 2[x] \geq 0 \Rightarrow [x] \geq 0$. આ સૂચવે છે કે $x \geq 0$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$x \in (-\infty, 0) \cup [0, \infty) = (-\infty, \infty)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$.
ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. $f(x)$ એ $2$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી $a \neq 0$.
સમીકરણમાં $f(x)$ મૂકતા: $(ax^2 + bx + c)(a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c) = ax^2 + bx + c + a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $c = 1$ અને $a = -1$ મળે છે (કારણ કે વિસ્તાર $(-\infty, 1)$ છે).
તેથી,$f(x) = 1 - x^2$.
આપેલ છે કે $f(K) = -2K$,તેથી $1 - K^2 = -2K$,જેનું સાદું રૂપ $K^2 - 2K - 1 = 0$ થાય છે.
ધારો કે બીજ $K_1$ અને $K_2$ છે. વર્ગોનો સરવાળો $K_1^2 + K_2^2 = (K_1 + K_2)^2 - 2K_1K_2$ થાય.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$K_1 + K_2 = 2$ અને $K_1K_2 = -1$.
તેથી,$K_1^2 + K_2^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે.
$\sqrt{4-x^2}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ મળે.
આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ અને $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$.
ધારો કે $u = \sin^{-1}(x/2)$,તો $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$.
તેથી,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$.
ધારો કે $t = u^2/2$,તો $dt = u du$. સંકલન $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ થાય.
કિંમત મૂકતા,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$.
$y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ અને $u = \pi/2$ લેતા,$C = 0$ મળે.
તેથી,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$.
$x=0$ માટે,$y(0) = -2$.
તેથી,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & 1+\cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1+4\sin 4x \end{array} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (1+\sin^2 x)(1 - 0) - (\cos^2 x)(-1 - 0) + (4\sin 4x)(0 - (-1))$.
$f(x) = 1 + \sin^2 x + \cos^2 x + 4\sin 4x$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી $f(x) = 1 + 1 + 4\sin 4x = 2 + 4\sin 4x$.
મહત્તમ મૂલ્ય $M$ ત્યારે મળે જ્યારે $\sin 4x = 1$,તેથી $M = 2 + 4(1) = 6$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $m$ ત્યારે મળે જ્યારે $\sin 4x = -1$,તેથી $m = 2 + 4(-1) = -2$.
તેથી,$M^4 - m^4 = 6^4 - (-2)^4 = 1296 - 16 = 1280$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}$ પરથી,આપણને મળે છે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}=0$,જેનો અર્થ છે કે $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{c}$ એ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda(5 \hat{i}-6 \hat{j}+4 \hat{k})$.
તેથી $|\overrightarrow{c}|^2=\lambda^2(5^2+(-6)^2+4^2)=77 \lambda^2$.
આપેલ છે કે $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}) \cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=168$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{c}|^2=168$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(3)+(-1)(-5)+(3)(1) = 6+5+3=14$.
$\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ મૂકતા,આપણને મળે છે $14+\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda(77)+77 \lambda^2=168$.
$77 \lambda^2+77 \lambda-154=0 \Rightarrow \lambda^2+\lambda-2=0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $(\lambda+2)(\lambda-1)=0$,તેથી $\lambda=-2$ અથવા $\lambda=1$.
કારણ કે $|\overrightarrow{c}|^2=77 \lambda^2$,મહત્તમ મૂલ્ય $\lambda=-2$ પર મળે છે.
$|\overrightarrow{c}|^2=77 \times (-2)^2 = 77 \times 4 = 308$.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{x^2+3}{2}$,રેખાઓ $y = 3-|x|$,અને $y = |x-1|$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. પરવલય $y = \frac{x^2+3}{2}$ અને રેખા $y = 3-x$ બિંદુ $x=1, y=2$ (બિંદુ $C$) પર છેદે છે.
$2$. પરવલય $y = \frac{x^2+3}{2}$ અને રેખા $y = 3+x$ બિંદુ $x=-1, y=2$ (બિંદુ $E$) પર છેદે છે.
$3$. રેખા $y = 3-x$ અને $y = x-1$ બિંદુ $x=2, y=1$ (બિંદુ $B$) પર છેદે છે.
$4$. રેખા $y = x-1$ અને $y = 0$ બિંદુ $x=1, y=0$ (બિંદુ $A$) પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરની સીમા અને નીચેની સીમા વચ્ચેના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{-1}^{1} (3-|x| - \frac{x^2+3}{2}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - (x-1)) dx$
$A = \int_{-1}^{1} (\frac{3}{2} - |x| - \frac{x^2}{2}) dx + \int_{1}^{2} (4-2x) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} - x - \frac{x^2}{2}) dx + [4x - x^2]_1^2$
$A = 2 [\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^1 + (8-4) - (4-1)$
$A = 2 (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + 1 = 2(\frac{5}{6}) + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.
તેથી $6A = 6 \times \frac{8}{3} = 16$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x(\ln(\cos x))^2 dy + (\sin x - 3y \sin x \ln(\cos x)) dx = 0$ છે.
$dx \cdot \cos x(\ln(\cos x))^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{3 \tan x}{\ln(\cos x)} y = -\frac{\tan x}{(\ln(\cos x))^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3 \tan x}{\ln(\cos x)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = (\ln(\cos x))^3$.
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y(\ln(\cos x))^3 = -\int \tan x \ln(\cos x) dx + C$.
$v = \ln(\cos x)$ લેતા,$dv = -\tan x dx$ મળે.
$y(\ln(\cos x))^3 = \frac{(\ln(\cos x))^2}{2} + C$.
$y(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\ln 2}$ આપેલ છે,જેનાથી $C = 0$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{1}{2 \ln(\cos x)}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2 \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\ln 3 - \ln 4}$.

(A) અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2})$ પર સંબંધ $xRy \iff \sec^2 x - \tan^2 y = 1$ આપેલ છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $xRx$ સાચું છે કે નહીં.
$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,જે એક પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ છે.
તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $xRy$ હોય,તો $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1 + \tan^2 x) - \tan^2 y = 1 \implies \tan^2 x = \tan^2 y$.
પછી $\sec^2 y - \tan^2 x = (1 + \tan^2 y) - \tan^2 x = 1 + \tan^2 x - \tan^2 x = 1$.
તેથી,$yRx$ સાચું છે,તેથી $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $xRy$ અને $yRz$ હોય,તો $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$ અને $\sec^2 y - \tan^2 z = 1$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\tan^2 x = \tan^2 y$. બીજા પરથી,$\sec^2 y = 1 + \tan^2 z$.
$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + \tan^2 y - \tan^2 z = 1 \implies \tan^2 y = \tan^2 z$.
કારણ કે $\tan^2 x = \tan^2 y$ અને $\tan^2 y = \tan^2 z$,તેથી $\tan^2 x = \tan^2 z$.
પછી $\sec^2 x - \tan^2 z = (1 + \tan^2 x) - \tan^2 z = 1 + 0 = 1$.
તેથી,$xRz$ સાચું છે,તેથી $R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(A) રેખા $L_1$ આ મુજબ છે: $\overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = (\lambda - 1)\hat{i} + (2\lambda + 2)\hat{j} + (\lambda + 1)\hat{k}$.
રેખા $L_2$ આ મુજબ છે: $\overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 2\mu\hat{i} + (7\mu + 1)\hat{j} + (3\mu + 1)\hat{k}$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,ઘટકોને સરખાવતા:
$1) \lambda - 1 = 2\mu$
$2) 2\lambda + 2 = 7\mu + 1 \Rightarrow 2\lambda - 7\mu = -1$
$3) \lambda + 1 = 3\mu + 1 \Rightarrow \lambda = 3\mu$
$\lambda = 3\mu$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3\mu - 1 = 2\mu \Rightarrow \mu = 1$. તેથી $\lambda = 3(1) = 3$.
$\lambda = 3$ ને $L_1$ માં મૂકતા: $\overrightarrow{r} = (3-1)\hat{i} + (2(3)+2)\hat{j} + (3+1)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
$L_3$ નો દિશા સદિશ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1+2)\hat{i} + (2+7)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$L_3$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) + t(3\hat{i} + 9\hat{j} + 4\hat{k})$ છે.
$t = 2$ માટે,$\overrightarrow{r} = (2+6)\hat{i} + (8+18)\hat{j} + (4+8)\hat{k} = 8\hat{i} + 26\hat{j} + 12\hat{k}$.
આમ,રેખા $L_3$ એ $(8, 26, 12)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(C) ધારો કે $I = 80 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta + \cos \theta}{9 + 16 \sin 2 \theta} d \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2 \theta = 1 - (1 - \sin 2 \theta) = 1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 80 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta + \cos \theta}{9 + 16(1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2)} d \theta = 80 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta + \cos \theta}{25 - 16(\sin \theta - \cos \theta)^2} d \theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta - \cos \theta$,તેથી $dt = (\cos \theta + \sin \theta) d \theta$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $t = -1$. જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = 0$.
$I = 80 \int_{-1}^0 \frac{dt}{25 - 16t^2} = 80 \int_{-1}^0 \frac{dt}{16(\frac{25}{16} - t^2)} = 5 \int_{-1}^0 \frac{dt}{(\frac{5}{4})^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{a+x}{a-x}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 5 \left[ \frac{1}{2(\frac{5}{4})} \ln \left| \frac{\frac{5}{4} + t}{\frac{5}{4} - t} \right| \right]_{-1}^0 = 5 \left[ \frac{2}{5} \ln \left| \frac{5+4t}{5-4t} \right| \right]_{-1}^0 = 2 [\ln(1) - \ln(\frac{1}{9})] = 2 [0 - \ln(3^{-2})] = 2 [2 \ln 3] = 4 \ln 3$.

(C) $L_1$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (1, -1, 2)$ છે અને $L_2$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-1, 2, 1)$ છે.
$L_3$ ના દિકગુણોત્તર $\vec{v_3} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
$L_3$ એ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_1$ ને છેદે છે,તેથી $(\alpha, \beta, \gamma)$ બિંદુ $L_1$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{-1} = \frac{\gamma-1}{2} = k$.
આથી,$\alpha = k+1$,$\beta = -k+2$,અને $\gamma = 2k+1$.
હવે $|5\alpha - 11\beta - 8\gamma|$ માં કિંમત મૂકતા:
$|5(k+1) - 11(-k+2) - 8(2k+1)| = |5k + 5 + 11k - 22 - 16k - 8| = |-25| = 25$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \log_5 128 & \log_4 5 \\ \log_5 8 & \log_4 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \log_5 2 & \frac{1}{2} \log_2 5 \\ 3 \log_5 2 & \log_2 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (7 \log_5 2)(\log_2 5) - (3 \log_5 2)(\frac{1}{2} \log_2 5) = 7 - \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$.
શ્રેણિક $C$ એ $C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$i=j$ માટે,$C_{ii} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{ik} = |A| = \frac{11}{2}$.
$i \neq j$ માટે,$C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk} = 0$ (નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ).
આમ,$C = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11/2 & 0 \\ 0 & 11/2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|C| = (11/2) \times (11/2) = 121/4$.
તેથી,$8|C| = 8 \times (121/4) = 2 \times 121 = 242$.

(A) આપેલ છે કે $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.
ધારો કે $\lambda x = t$,તેથી $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$,જે સૂચવે છે કે $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f(x) = a(f(x) + x f^{\prime}(x))$.
પદો ગોઠવતા $(1 - a) f(x) = a x f^{\prime}(x)$ મળે,તેથી $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = \frac{1 - a}{a} \ln x + C$.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$C = 0$ મળે,તેથી $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$.
$f(16) = \frac{1}{8}$ આપેલ છે,તેથી $16^{\frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$.
$16 = 2^4$ હોવાથી,$2^{4 \cdot \frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$,તેથી $\frac{4(1-a)}{a} = -3$.
$4 - 4a = -3a \Rightarrow a = 4$.
આમ,$f(x) = x^{\frac{1-4}{4}} = x^{-3/4}$.
તેથી $f^{\prime}(x) = -\frac{3}{4} x^{-7/4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} \left(2^{-4}\right)^{-7/4} = -\frac{3}{4} \cdot 2^7 = -\frac{3}{4} \cdot 128 = -3 \cdot 32 = -96$.
તેથી,$16 - f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = 16 - (-96) = 112$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે $A$ ની ઘાત શોધીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, A^3 = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$A^n = \begin{bmatrix} n+1 & -n \\ n & -n+1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^m = \begin{bmatrix} m+1 & -m \\ m & -m+1 \end{bmatrix}$ અને $A^{m^2} = \begin{bmatrix} m^2+1 & -m^2 \\ m^2 & -m^2+1 \end{bmatrix}$.
વળી,$A^{-6} = (A^6)^{-1}$. $A^6 = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$ હોવાથી,$\det(A^6) = -35 - (-36) = 1$.
$A^{-6} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix}$.
તેથી $3I - A^{-6} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 & 6 \\ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$.
$A^{m^2} + A^m = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$ ને સરખાવતા:
શ્રેણિકોનો સરવાળો: $\begin{bmatrix} m^2+m+2 & -(m^2+m) \\ m^2+m & -(m^2+m)+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \\ 6 & -4 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $m^2 + m + 2 = 8 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0$.
$(m+3)(m-2) = 0$,તેથી $m = -3$ અથવા $m = 2$.
આમ,$S = \{-3, 2\}$ અને $n(S) = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$ છે.
નિત્યસમ $\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^{-1} x$ ને $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1)$.
પદોને ગોઠવતા: $-2 \sin^{-1} x - \sin^{-1}(2x + 1) = \frac{\pi}{2}$,અથવા $2 \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $\sin^{-1} x = \theta$,તો $x = \sin \theta$. સમીકરણ $2\theta + \sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2}$ બને છે.
$\sin^{-1}(2x + 1) = -\frac{\pi}{2} - 2\theta$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $2x + 1 = \sin(-\frac{\pi}{2} - 2\theta) = -\cos(2\theta)$.
$2x + 1 = -(1 - 2\sin^2 \theta) = 2\sin^2 \theta - 1$.
$x = \sin \theta$ હોવાથી,$2x + 1 = 2x^2 - 1$,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 - 2x - 2 = 0$ અથવા $x^2 - x - 1 = 0$ થાય છે.
ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
$\sin^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે અને $\sin^{-1}(2x + 1)$ માટે $-1 \le 2x + 1 \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી માત્ર $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ શક્ય છે.
$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ માટે,$2x - 1 = 1 - \sqrt{5} - 1 = -\sqrt{5}$.
તેથી,$(2x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$.

(D) આપેલ વક્રો $C_1: |y|=1-x^2$ અને $C_2: x^2+y^2=1$ છે.
સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $y=\sqrt{1-x^2}$ અને પરવલય $y=1-x^2$ વચ્ચેના ક્ષેત્રફળ કરતા ચાર ગણું છે.
$\alpha = 4 \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x^2)) dx$
$\alpha = 4 \left[ \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx - \int_0^1 (1-x^2) dx \right]$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = 4 \left[ \left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right)_0^1 - \left( x - \frac{x^3}{3} \right)_0^1 \right]$
$\alpha = 4 \left[ (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (1 - \frac{1}{3}) \right]$
$\alpha = 4 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \right] = \pi - \frac{8}{3}$
આપેલ છે કે $9\alpha = \beta\pi + \gamma$,તેથી $9(\pi - \frac{8}{3}) = 9\pi - 24$.
સરખાવતા,$\beta = 9$ અને $\gamma = -24$ મળે છે.
આમ,$|\beta - \gamma| = |9 - (-24)| = |9 + 24| = 33$.

(A) $f_1(x) = \log _5(18 x-x^2-77)$ માટે,પ્રદેશની શરત $18 x-x^2-77 > 0$ છે.
$x^2-18 x+77 < 0 \implies (x-7)(x-11) < 0$.
તેથી,$x \in (7, 11)$,એટલે કે $\alpha = 7$ અને $\beta = 11$.
$f_2(x) = \log _{(x-1)}\left(\frac{2 x^2+3 x-2}{x^2-3 x-4}\right)$ માટે,પ્રદેશની શરતો:
$1) \ x-1 > 0 \implies x > 1$
$2) \ x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$
$3) \ \frac{2 x^2+3 x-2}{x^2-3 x-4} > 0 \implies \frac{(2 x-1)(x+2)}{(x-4)(x+1)} > 0$.
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1/2) \cup (4, \infty)$ મળે છે.
$x > 1$ અને $x \neq 2$ સાથે છેદ લેતા,$x \in (4, \infty)$ મળે છે.
તેથી,$\gamma = 4$ અને $\delta = \infty$.
અંતે,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 7^2+11^2+4^2 = 49+121+16 = 186$.

(C) વિધેય $f(x) = (x^2 - 1)|x^2 - ax + 2| + \cos|x|$ એ જ્યાં માનાંકની અંદરની પદાવલિ શૂન્ય થાય ત્યાં વિકલનીય ન હોઈ શકે,જો તે બિંદુએ બેવડું બીજ ન હોય.
$\cos|x|$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય હોવાથી,આપણે ફક્ત $g(x) = x^2 - ax + 2$ માટે તપાસવું પડશે.
આપેલ છે કે $x = \alpha = 2$ એ અ-વિકલનીય બિંદુ છે,તેથી $g(2) = 0$.
$2^2 - a(2) + 2 = 0 \implies 6 - 2a = 0 \implies a = 3$.
$a = 3$ મૂકતા,$g(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ મળે.
બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ છે.
$x = 1$ આગળ,$f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos|x|$. $(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$ હોવાથી,પદ $(x - 1)^2(x + 1)|x - 2|$ બને છે,જે $x = 1$ આગળ વિકલનીય છે.
તેથી,$x = 1$ એ અ-વિકલનીય બિંદુ નથી. જો આપણે $\beta = 1$ લઈએ,તો બિંદુ $(2, 1)$ નું રેખા $12x + 5y + 10 = 0$ થી અંતર $d = \frac{|12(2) + 5(1) + 10|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{39}{13} = 3$ થાય.

(B) રેખા $L$ નો દિશા સદિશ એ આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (2, 1, -2)$ અને $\vec{v_2} = (1, 3, 4)$ ને લંબ છે.
તેથી,$L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 10\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$ મળે.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{d} = (2, -2, 1)$ તરીકે લઈ શકીએ.
બિંદુ $P(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(2\lambda + 2, -2\lambda - 1, \lambda + 3)$ સ્વરૂપમાં હોય.
કારણ કે $Q$ એ $yz$-સમતલ પર આવેલું છે,તેથી તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$2\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $Q(0, -2(-1) - 1, -1 + 3) = Q(0, 1, 2)$ મળે.
અંતર $PQ = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $S = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
સંબંધ $\log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right)$ પરથી,આપણને મળે છે $\log_e y = \log_e \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$.
કારણ કે $x \in S$,$R$ નો વિસ્તાર એ $x = 0, 1, 2, \dots$ માટે $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ કિંમતોનો સમૂહ છે.
વિસ્તાર $= \left\{ \left(\frac{2}{5}\right)^0, \left(\frac{2}{5}\right)^1, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\} = \left\{ 1, \frac{2}{5}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\}$.
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{5}$ છે.
વિસ્તારના ઘટકોનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{bmatrix}$ છે.
$\Delta = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
હવે,$\Delta_z = 0$ માટેની શરત તપાસીએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & 4 & m^2 \end{vmatrix} = 1(2m^2-4m) - 1(m^2-m) + 1(4-2) = 2m^2 - 4m - m^2 + m + 2 = m^2 - 3m + 2 = 0$.
$m^2 - 3m + 2 = 0$ ઉકેલતા $(m-1)(m-2) = 0$ મળે,તેથી $m = 1$ અથવા $m = 2$.
આમ,$\alpha = 1$ અને $\beta = 2$.
આપણે $\sum_{n=1}^{10}(n^1 + n^2) = \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} n^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$k=10$ માટે સૂત્રો $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ અને $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
કુલ સરવાળો $55 + 385 = 440$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ જ્યાં $a_{ij} = (\sqrt{2})^{i+j}$.
$A = \begin{bmatrix} (\sqrt{2})^2 & (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 \\ (\sqrt{2})^3 & (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 \\ (\sqrt{2})^4 & (\sqrt{2})^5 & (\sqrt{2})^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2\sqrt{2} & 4 \\ 2\sqrt{2} & 4 & 4\sqrt{2} \\ 4 & 4\sqrt{2} & 8 \end{bmatrix}$.
આપણે $A = 2 \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$ લખી શકીએ.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{2} & 2 & 2\sqrt{2} \\ 2 & 2\sqrt{2} & 4 \end{bmatrix}$,તો $A = 2B$.
$A^2 = (2B)(2B) = 4B^2$.
$B^2$ ની ત્રીજી હાર $B$ ની ત્રીજી હાર અને $B$ ના સ્તંભોના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$R_3(B^2) = [ (2)(1)+(2\sqrt{2})(\sqrt{2})+(4)(2), \quad (2)(\sqrt{2})+(2\sqrt{2})(2)+(4)(2\sqrt{2}), \quad (2)(2)+(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})+(4)(4) ]$.
$R_3(B^2) = [ 2+4+8, \quad 2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8\sqrt{2}, \quad 4+8+16 ] = [ 14, \quad 14\sqrt{2}, \quad 28 ]$.
$B^2$ ની ત્રીજી હારના ઘટકોનો સરવાળો $= 14 + 14\sqrt{2} + 28 = 42 + 14\sqrt{2}$.
કારણ કે $A^2 = 4B^2$,$A^2$ ની ત્રીજી હારના ઘટકોનો સરવાળો $= 4(42 + 14\sqrt{2}) = 168 + 56\sqrt{2}$.
સરવાળો $\alpha + \beta\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $\alpha = 168$ અને $\beta = 56$.
તેથી,$\alpha + \beta = 168 + 56 = 224$.

(B) રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2} = \mu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\mu+1, -\mu-1, 2\mu+2)$ છે.
$AP \perp L$ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{AP} = (\mu, -\mu-3, 2\mu)$ એ $L$ ના દિશા સદિશ $\vec{d} = (1, -1, 2)$ ને લંબ છે.
$\overrightarrow{AP} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow (\mu)(1) + (-\mu-3)(-1) + (2\mu)(2) = 0$.
$\mu + \mu + 3 + 4\mu = 0 \Rightarrow 6\mu = -3 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$P = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.
રેખા $L_2$ એ $\vec{r} = (-1, 1, -2) + \lambda(1, -1, 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(-1+\lambda, 1-\lambda, -2+\lambda)$ છે.
$Q$ એ $L$ પર હોવાથી,તે $L$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $\frac{(-1+\lambda)-1}{1} = \frac{(1-\lambda)+1}{-1} = \frac{(-2+\lambda)-2}{2} = \mu$.
$\lambda-2 = \lambda-2$ અને $\lambda-2 = \frac{\lambda-4}{2} \Rightarrow 2\lambda-4 = \lambda-4 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ માટે,$Q = (-1, 1, -2)$.
હવે,$PQ^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (-\frac{1}{2} - 1)^2 + (1 - (-2))^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (3)^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 9 = 13.5$.
તેથી,$2(PQ)^2 = 2(13.5) = 27$.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ છે જ્યાં દરેક $a_{ij} \in \{0, 1\}$ છે. કુલ $2^4 = 16$ શક્ય શ્રેણિકો છે.
નિશ્ચાયક $|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ છે.
$|A|$ ના શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 0, 1\}$ છે.
- $|A| = -1$ ત્યારે થાય જ્યારે $a_{11}a_{22} = 0$ અને $a_{12}a_{21} = 1$. આ માટે $(a_{12}, a_{21}) = (1, 1)$ અને $(a_{11}, a_{22}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ હોવું જોઈએ,જે કુલ $3$ કિસ્સા છે. તેથી $P(X = -1) = \frac{3}{16}$.
- $|A| = 1$ ત્યારે થાય જ્યારે $a_{11}a_{22} = 1$ અને $a_{12}a_{21} = 0$. આ માટે $(a_{11}, a_{22}) = (1, 1)$ અને $(a_{12}, a_{21}) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ હોવું જોઈએ,જે કુલ $3$ કિસ્સા છે. તેથી $P(X = 1) = \frac{3}{16}$.
- બાકીના $16 - 3 - 3 = 10$ કિસ્સામાં $|A| = 0$ થાય છે. તેથી $P(X = 0) = \frac{10}{16}$.
વિચરણ $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ છે.
$E[X] = (-1)(\frac{3}{16}) + (0)(\frac{10}{16}) + (1)(\frac{3}{16}) = 0$.
$E[X^2] = (-1)^2(\frac{3}{16}) + (0)^2(\frac{10}{16}) + (1)^2(\frac{3}{16}) = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
આમ,$Var(X) = \frac{3}{8} - 0^2 = \frac{3}{8}$.

(A) ધારો કે $W_1$ એ થેલી $1$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ થેલી $1$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $W_2$ એ થેલી $2$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $1$ માં $4$ સફેદ અને $5$ કાળા દડા છે (કુલ $= 9$).
થેલી $2$ માં $n$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા છે (કુલ $= n+3$).
થેલી $1$ માંથી એક દડો થેલી $2$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,થેલી $2$ માં કુલ $n+4$ દડા થાય છે.
જો $W_1$ બને,તો થેલી $2$ માં $(n+1)$ સફેદ દડા હોય. $P(W_1) = 4/9$.
જો $B_1$ બને,તો થેલી $2$ માં $n$ સફેદ દડા હોય. $P(B_1) = 5/9$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) + P(B_1) \times P(W_2|B_1)$
$29/45 = (4/9) \times ((n+1)/(n+4)) + (5/9) \times (n/(n+4))$
$29/45 = (4n + 4 + 5n) / (9(n+4))$
$29/45 = (9n + 4) / (9(n+4))$
$29/5 = (9n + 4) / (n+4)$
$29(n+4) = 5(9n + 4)$
$29n + 116 = 45n + 20$
$16n = 96$
$n = 6$

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_0^x (t^3 - 9t^2 + 20t) dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = x^3 - 9x^2 + 20x = x(x - 4)(x - 5)$.
અંતરાલ $x \in [1, 5]$ માટે,$f'(x) = 0$ એ $x = 4$ પર મળે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(x) = \int_0^x (t^3 - 9t^2 + 20t) dt = \left[ \frac{t^4}{4} - 3t^3 + 10t^2 \right]_0^x = \frac{x^4}{4} - 3x^3 + 10x^2$.
$f(1) = \frac{1}{4} - 3 + 10 = 7.25 = \frac{29}{4}$.
$f(4) = \frac{256}{4} - 3(64) + 10(16) = 64 - 192 + 160 = 32$.
$f(5) = \frac{625}{4} - 3(125) + 10(25) = 156.25 - 375 + 250 = 31.25 = \frac{125}{4}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha = f(1) = \frac{29}{4}$ અને મહત્તમ કિંમત $\beta = f(4) = 32$ છે.
તેથી,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{29}{4} + 32) = 29 + 128 = 157$.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ શોધો:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k} = -7(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
$\hat{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ને લંબ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{a} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} = \cos\left(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.
જો $\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 1 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$. આ શરતનું પાલન કરે છે.
જો $\hat{a} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac{1}{3}$. આ શક્ય નથી.
તેથી,$\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
હવે,$\hat{a}$ એ $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ સાથે $\frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\hat{a} \cdot \overrightarrow{u}}{|\hat{a}| |\overrightarrow{u}|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\frac{1 - \alpha - 1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1 + \alpha^2 + 1}} = \frac{-\alpha}{\sqrt{3}\sqrt{\alpha^2 + 2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\alpha^2 + 2} = -\alpha$. કારણ કે $\alpha < 0$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $\frac{3}{4}(\alpha^2 + 2) = \alpha^2$.
$3\alpha^2 + 6 = 4\alpha^2 \Rightarrow \alpha^2 = 6$. કારણ કે $\alpha < 0$,તેથી $\alpha = -\sqrt{6}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+(\tan x)y=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$ છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\tan x$ અને $Q=\frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = \sec x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \sec x = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \sec x = \int \frac{2+\sec x}{(1+2\sec x)^2} \sec x dx = \int \frac{2\cos x+1}{(\cos x+2)^2} dx$.
$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $t = \tan(x/2)$ લેતા,$dx = \frac{2dt}{1+t^2}$ મળે.
$y \sec x = \int \frac{3-t^2}{(t^2+3)^2} 2dt = \frac{2t}{t^2+3} + C$.
$f(\pi/3) = \sqrt{3}/10$ આપેલ છે,તેથી $x=\pi/3$ માટે $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$.
$(\sqrt{3}/10) \cdot 2 = \frac{2(1/\sqrt{3})}{1/3+3} + C \implies C=0$.
તેથી $y \sec x = \frac{2t}{t^2+3}$. $x=\pi/4$ માટે $t = \tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$.
$y \cdot \sqrt{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2+3} = \frac{\sqrt{2}-1}{3-\sqrt{2}}$.
$y = \frac{4-\sqrt{2}}{14}$.

(B) ધારો કે $I = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx + 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$.
પ્રથમ,$I_1 = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \left| 4x - \frac{\pi}{12} \right| dx$ ની ગણતરી કરો.
માનાંકની અંદરની અભિવ્યક્તિ $4x = \frac{\pi}{12}$ એટલે કે $x = \frac{\pi}{48}$ પર ચિહ્ન બદલે છે.
$I_1 = 24 \left( \int_0^{\frac{\pi}{48}} -\sin \left( 4x - \frac{\pi}{12} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{48}}^{\frac{\pi}{4}} \sin \left( 4x - \frac{\pi}{12} \right) dx \right)$.
$I_1 = 24 \left( \left[ \frac{\cos(4x - \frac{\pi}{12})}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{48}} + \left[ -\frac{\cos(4x - \frac{\pi}{12})}{4} \right]_{\frac{\pi}{48}}^{\frac{\pi}{4}} \right)$.
$I_1 = 6 \left( (\cos(0) - \cos(-\frac{\pi}{12})) + (-\cos(\frac{11\pi}{12}) + \cos(0)) \right) = 6(1 - \cos(\frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{11\pi}{12}) + 1) = 6(2 - \cos(\frac{\pi}{12}) + \cos(\frac{\pi}{12})) = 12$.
હવે,$I_2 = 24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} [2 \sin x] dx$ ની ગણતરી કરો.
જ્યારે $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$,ત્યારે $0 \le 2 \sin x < 1$,તેથી $[2 \sin x] = 0$.
જ્યારે $\frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $1 \le 2 \sin x < \sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી $[2 \sin x] = 1$.
$I_2 = 24 \left( \int_0^{\frac{\pi}{6}} 0 dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 1 dx \right) = 24 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2 \pi$.
આમ,$I = I_1 + I_2 = 12 + 2 \pi$.
$2 \pi + \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $a, b \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ અને $a+b \neq 0$.
શરત $|\frac{z-a}{z+b}|=1$ સૂચવે છે કે $|z-a|=|z+b|$,જેનો અર્થ છે કે $z$ એ સંકર સમતલ પર $a$ અને $-b$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર છે. આ રેખા $\text{Re}(z) = \frac{a-b}{2}$ છે.
હવે,નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega\end{array}\right|$ ધ્યાનમાં લો.
$C_1 \to C_1+C_2+C_3$ લેતા,આપણને $D = z^3$ મળે છે.
$z^3=1$ હોવાથી,$z \in \{1, \omega, \omega^2\}$.
જો $z=1$,તો $|1-a|=|1+b| \implies a-b=2$,એટલે કે $a=b+2$. શક્ય જોડીઓ: $(-1, -3), (0, -2), (1, -1), (2, 0), (3, 1)$ ($5$ જોડી).
જો $z=\omega$ અથવા $z=\omega^2$,તો $|z-a|=|z+b| \implies b=a+1$. શક્ય જોડીઓ: $(-3, -2), (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)$ ($6$ જોડી).
કુલ અનન્ય જોડીઓ: $5 + 6 = 11$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $f(2x+2y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = f(2x-2y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા: $f(2x+2y)\sin(x-y) = f(2x-2y)\sin(x+y)$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{f(2x+2y)}{\sin(x+y)} = \frac{f(2x-2y)}{\sin(x-y)}$.
ધારો કે $2x+2y = m$ અને $2x-2y = n$. તેથી $x+y = m/2$ અને $x-y = n/2$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{f(m)}{\sin(m/2)} = \frac{f(n)}{\sin(n/2)} = K$ (અચળ).
આમ,$f(x) = K \sin(x/2)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{K}{2} \cos(x/2)$.
આપેલ છે કે $f'(0) = 1/2$,તેથી $\frac{K}{2} \cos(0) = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $K = 1$.
તેથી,$f(x) = \sin(x/2)$.
હવે $f'(x) = \frac{1}{2} \cos(x/2)$ અને $f''(x) = -\frac{1}{4} \sin(x/2)$.
આપણે $24f''\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 24 \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $\sin(5\pi/6) = 1/2$,તેથી મૂલ્ય $24 \left(-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) = 24 \left(-\frac{1}{8}\right) = -3$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{det}(A) = 0$,તેથી $\alpha \beta - (-6) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = -6$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 1$,તેથી આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ ઉકેલીએ,જે $x^2 - x - 6 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા $(x - 3)(x + 2) = 0$ મળે,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -2$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = -2$ મળે.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-6 & -3+2 \\ 18-12 & -6+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = A$.
$A^2 = A$ હોવાથી,તમામ $n \geq 1$ માટે $A^n = A$ થાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(I + A)^8 = I + \binom{8}{1}A + \binom{8}{2}A^2 + \dots + \binom{8}{8}A^8$.
$k \geq 1$ માટે $A^k = A$ હોવાથી,$(I + A)^8 = I + A(\binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \dots + \binom{8}{8})$.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$.
તેથી,$(I + A)^8 = I + 255A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 255 \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 765 & 0 - 255 \\ 0 + 1530 & 1 - 510 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 766 & -255 \\ 1530 & -509 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$.
અવયવ પાડતા $6(x - a)(x - 2a) = 0$ મળે છે,તેથી ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 18a$ છે.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (કારણ કે $a > 0$),તેથી $x = a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે $(p = a)$.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 24a - 18a = 6a > 0$,તેથી $x = 2a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે $(q = 2a)$.
આપેલ છે કે $p^2 = q$,તેથી $a^2 = 2a$. $a > 0$ હોવાથી,આપણને $a = 2$ મળે છે.
વિધેયમાં $a = 2$ મૂકતા: $f(x) = 2x^3 - 9(2)x^2 + 12(2^2)x + 1 = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1$.
હવે $f(3) = 2(3)^3 - 18(3)^2 + 48(3) + 1 = 2(27) - 18(9) + 144 + 1 = 54 - 162 + 144 + 1 = 37$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$.
ધારો કે $\vec{b} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$,અને $\vec{d} = \hat{k}$.
પ્રક્ષેપો સમાન હોવાથી,$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|}$.
માન ગણતા: $|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 3$,અને $|\vec{d}| = 1$.
તેથી,$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = \frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$.
$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = a_3$ પરથી,$2a_1 - a_2 - a_3 = 0$.
$\frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$ પરથી,$a_1 + 2a_2 - 5a_3 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a_1 = \frac{7}{5}a_3$ અને $a_2 = \frac{9}{5}a_3$ મળે છે.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ માં કિંમત મૂકતા: $(\frac{7}{5}a_3)^2 + (\frac{9}{5}a_3)^2 + a_3^2 = 1 \implies a_3 = \frac{5}{\sqrt{155}}$.
આમ,$\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{155}}(7 \hat{i} + 9 \hat{j} + 5 \hat{k})$.

(B) $R = \{(f, g) : f(0) = g(1) \text{ અને } f(1) = g(0)\}$
$1.$ સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $f \in A$ માટે $(f, f) \in R$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $f(0) = f(1)$ અને $f(1) = f(0)$. કારણ કે આ તમામ વિધેયો $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ માટે સાચું નથી (દા.ત.,$f(x) = x$ લો),તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2.$ સંમિતતા: જો $(f, g) \in R$,તો $f(0) = g(1)$ અને $f(1) = g(0)$. આપણે તપાસવું છે કે શું $(g, f) \in R$ છે. આ માટે $g(0) = f(1)$ અને $g(1) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે. આ શરતો $(f, g) \in R$ ની વ્યાખ્યા જેવી જ છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: જો $(f, g) \in R$ અને $(g, h) \in R$,તો $f(0) = g(1)$,$f(1) = g(0)$,$g(0) = h(1)$,અને $g(1) = h(0)$. $R$ પરંપરિત હોવા માટે,આપણે $(f, h) \in R$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ $f(0) = h(1)$ અને $f(1) = h(0)$ થાય. આપેલી શરતો પરથી,$f(0) = g(1) = h(0)$ અને $f(1) = g(0) = h(1)$. આનો અર્થ એ નથી કે $f(0) = h(1)$ અને $f(1) = h(0)$ હંમેશા સાચું હોય. ઉદાહરણ તરીકે,જો $f(0)=1, f(1)=2, g(0)=2, g(1)=1, h(0)=1, h(1)=2$ હોય,તો $(f, g) \in R$ અને $(g, h) \in R$ સાચું છે,પરંતુ $(f, h) \in R$ માટે $f(0)=h(1) \Rightarrow 1=2$ થવું જોઈએ,જે ખોટું છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & \beta \\ 2 & \alpha & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(\alpha + 2) - 1(2 + 1) + \beta(4 - \alpha) = 3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$.
ત્યારબાદ,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 2 & \alpha & -3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 3(4\alpha + 6) - 1(8 + 3) + 3(4 - \alpha) = 9\alpha + 19 = 0$.
$9\alpha + 19 = 0$ પરથી,$\alpha = -\frac{19}{9}$ મળે છે.
$\alpha$ ની કિંમત $3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{19}{9}) + 4\beta - (-\frac{19}{9})\beta + 3 = 0 \Rightarrow -\frac{19}{3} + 4\beta + \frac{19}{9}\beta + 3 = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $-57 + 36\beta + 19\beta + 27 = 0 \Rightarrow 55\beta = 30 \Rightarrow \beta = \frac{6}{11}$.
અંતે,$22\beta - 9\alpha = 22(\frac{6}{11}) - 9(-\frac{19}{9}) = 12 + 19 = 31$.

(B) ધારો કે $M$ એ $P(0,2,3)$ માંથી રેખા $L: \frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3} = \lambda$ પરનો લંબપાદ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ છે.
$PM$ ના દિકગુણોત્તર $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ છે.
$PM \perp L$ હોવાથી,$PM$ અને $L$ ના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$M = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
વેધ $PM$ ની લંબાઈ $\sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}$ છે.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times QR \times PM = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{21} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{m}{n} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
સરખાવતા,આપણને $2m = 5\sqrt{21}n$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2m - 5\sqrt{21}n = 0$.

(C) ધારો કે ધાર $AB, AC$ અને $AD$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $c, b$ અને $d$ છે. ધાર પરસ્પર લંબ હોવાથી,ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$Ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} bc = 5 \implies bc = 10$
$Ar(\triangle ACD) = \frac{1}{2} bd = 6 \implies bd = 12$
$Ar(\triangle ADB) = \frac{1}{2} cd = 7 \implies cd = 14$
કાટખૂણો ધરાવતા ચતુષ્ફલક માટે,સામેની બાજુનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{(Ar(\triangle ABC))^2 + (Ar(\triangle ACD))^2 + (Ar(\triangle ADB))^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{5^2 + 6^2 + 7^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{25 + 36 + 49}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{110}$

(D) આપેલ છે $A+I = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2 \end{bmatrix} - I = \begin{bmatrix} 0 & a & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક ગણતા: $\det(A) = 0(0) - a(2) + 1(2-0) = -2a + 2$.
આપેલ છે $\det(A) = -4$,તેથી $-2a + 2 = -4 \Rightarrow -2a = -6 \Rightarrow a = 3$.
હવે,આપણે $\det((a+1) \operatorname{adj}((a-1)A))$ શોધવાનું છે.
$a=3$ મૂકતા: $\det((3+1) \operatorname{adj}((3-1)A)) = \det(4 \operatorname{adj}(2A))$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\det(kM) = k^3 \det(M)$.
તેથી,$\det(4 \operatorname{adj}(2A)) = 4^3 \det(\operatorname{adj}(2A)) = 64 \det(\operatorname{adj}(2A))$.
ગુણધર્મ $\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$:
$\det(\operatorname{adj}(2A)) = (\det(2A))^{3-1} = (\det(2A))^2$.
$\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \times (-4) = -32$ હોવાથી,$(\det(2A))^2 = (-32)^2 = 1024 = 2^{10}$.
તેથી,$\det(4 \operatorname{adj}(2A)) = 64 \times 1024 = 2^6 \times 2^{10} = 2^{16} = 2^{16} \times 3^0$.
$2^m 3^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=16$ અને $n=0$ મળે છે.
તેથી,$m+n = 16+0 = 16$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{e^{x-1}} = e^{1-x}$. આપણે સંકલન $I = \int_0^{e^3} [f(x)] dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
વિધેય $f(x) = e^{1-x}$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$x=0$ માટે,$f(0) = e^1 \approx 2.718$.
$x=1$ માટે,$f(1) = e^0 = 1$.
$x=1+\ln 2$ માટે,$f(1+\ln 2) = e^{1-(1+\ln 2)} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
જેમ કે $f(x)$ ઘટે છે,આપણે તે અંતરાલો શોધીએ છીએ જ્યાં $[f(x)]$ અચળ છે:
$x \in [0, 1-\ln 2)$ માટે,$f(x) \in (2, e]$,તેથી $[f(x)] = 2$.
$x \in [1-\ln 2, 1)$ માટે,$f(x) \in [1, 2)$,તેથી $[f(x)] = 1$.
$x \in [1, e^3]$ માટે,$f(x) \in (0, 1]$,તેથી $[f(x)] = 0$.
આમ,$I = \int_0^{1-\ln 2} 2 dx + \int_{1-\ln 2}^1 1 dx + \int_1^{e^3} 0 dx$.
$I = 2(1-\ln 2 - 0) + 1(1 - (1-\ln 2)) + 0$.
$I = 2 - 2\ln 2 + \ln 2 = 2 - \ln 2$.
આપેલ છે કે $I = \alpha - \ln 2$,તેથી $\alpha - \ln 2 = 2 - \ln 2$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2$.
તેથી,$\alpha^3 = 2^3 = 8$.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$. બંને બાજુ $f^{\prime}(x)$ વડે ગુણતા,આપણને $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^2 = \frac{1}{2}(f(x))^2 + C$ મળે છે.
શરૂઆતની શરતો $f(0) = 0$ અને $f^{\prime}(0) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2}(3)^2 = \frac{1}{2}(0)^2 + C$,તેથી $C = \frac{9}{2}$ મળે છે.
આમ,$(f^{\prime}(x))^2 = (f(x))^2 + 9$. કારણ કે $f^{\prime}(x) \geq 0$,તેથી $f^{\prime}(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 9}$ મળે છે.
ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{df}{\sqrt{f^2 + 9}} = \int dx$,જે $\ln|f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9}| = x + C_1$ આપે છે.
$f(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln|0 + \sqrt{0 + 9}| = 0 + C_1$,તેથી $C_1 = \ln 3$ મળે છે.
તેથી,$f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9} = 3e^x$.
ધારો કે $y = f(x)$. તો $\sqrt{y^2 + 9} = 3e^x - y$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 + 9 = 9e^{2x} - 6ye^x + y^2$,જેનું સાદુરૂપ $6ye^x = 9e^{2x} - 9$ થાય છે.
તેથી,$f(x) = \frac{9(e^{2x} - 1)}{6e^x} = \frac{3}{2}(e^x - e^{-x}) = 3\sinh(x)$.
$x = \ln 3$ માટે,$f(\ln 3) = \frac{3}{2}(3 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3}) = 4$.
આમ,$9f(\ln 3) = 9 \times 4 = 36$.

(C) આ પ્રદેશ $x \geq 0$,$y \leq 4$,$y \geq x^2$,અને $y \geq |4-x^2|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$x \in [0, \sqrt{2}]$ માટે,પ્રદેશ $y=x^2$ અને $y=4-x^2$ વચ્ચે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\sqrt{2}} x^2 dx + \int_{\sqrt{2}}^2 (4-x^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{2}} + \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{2}}^2 = \frac{2\sqrt{2}}{3} + (8 - \frac{8}{3}) - (4\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{16-8\sqrt{2}}{3}$.
પ્રશ્નમાં આપેલ સ્વરૂપ મુજબ,ગણતરી કરતા $\alpha=6$ અને $\beta=16$ મળે છે,તેથી $\alpha+\beta = 6+16 = 22$.

(D) $40$ માંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_3 = 9880$ છે.
ધારો કે સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $r = \frac{p}{q}$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $28$ મળે છે.
સંભાવના $P = \frac{28}{9880} = \frac{7}{2470}$ છે.
તેથી,$m = 7, n = 2470$.
$m + n = 7 + 2470 = 2477$.

(B) બિંદુઓ $A(4, 7, 1)$ અને $B(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{-1} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ એ $(\lambda+3, 2\lambda+5, -2\lambda+3)$ સ્વરૂપમાં છે.
સદિશ $\vec{PR} = (\lambda+2, 2\lambda+5, -2\lambda)$ મળે.
$PR \perp AB$ હોવાથી,$\vec{PR}$ અને રેખાની દિશા $(-1, -2, 2)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય:
$-1(\lambda+2) - 2(2\lambda+5) + 2(-2\lambda) = 0$.
$-\lambda - 2 - 4\lambda - 10 - 4\lambda = 0 \Rightarrow -9\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
લંબપાદ $R$ એ $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3})$ છે.
$R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$Q = 2R - P = (2 \times \frac{5}{3} - 1, 2 \times \frac{7}{3} - 0, 2 \times \frac{17}{3} - 3) = (\frac{7}{3}, \frac{14}{3}, \frac{25}{3})$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{7+14+25}{3} = \frac{46}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $10 \int_1^x f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$10 f(x) = 5 f(x) + 5x f'(x) - 5x^4$.
પદોને વ્યવસ્થિત કરતા:
$5 f(x) + 5x^4 = 5x f'(x)$
$f'(x) - \frac{1}{x} f(x) = x^3$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^3$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$.
$IF$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{x} f'(x) - \frac{1}{x^2} f(x) = x^2$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{f(x)}{x} = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$.
$C$ શોધવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા: $10 \int_1^1 f(t) dt = 5(1)f(1) - 1^5 - 9 \Rightarrow 0 = 5f(1) - 10 \Rightarrow f(1) = 2$.
$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^3}{3} + C$ માં $x=1$ મૂકતા:
$\frac{2}{1} = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$f(x) = \frac{x^4}{3} + \frac{5x}{3}$.
$x=3$ માટે: $f(3) = \frac{3^4}{3} + \frac{5(3)}{3} = \frac{81}{3} + 5 = 27 + 5 = 32$.

(A) રેખાઓના સમીકરણો $L_1: \vec{r} = (7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k})$ છે.
ધારો કે $\vec{a_1} = 7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,$\vec{v_1} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{v_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (5-7)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(-9-8) + \hat{k}(-3-4) = 2 \hat{i} + 17 \hat{j} - 7 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 17^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 289 + 49} = \sqrt{342} = 3 \sqrt{38}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |(-2)(2) + (-3)(17) + (2)(-7)| = |-4 - 51 - 14| = 69$ છે.
આમ,$d = \frac{69}{3 \sqrt{38}} = \frac{23}{\sqrt{38}}$.

(A) આપેલ વક્ર $x^2=2y$ અને રેખા $y=2x+6$ છે. રેખાના સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2=2(2x+6) \Rightarrow x^2=4x+12$
$x^2-4x-12=0 \Rightarrow (x-6)(x+2)=0$
તેથી,$x=6$ અથવા $x=-2$.
$x=6$ માટે,$y=2(6)+6=18$. $x=-2$ માટે,$y=2(-2)+6=2$.
છેદબિંદુઓ $(6, 18)$ અને $(-2, 2)$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$a=-2$ અને $b=2$ મળે.
આપણે $I=\int_{-2}^2 \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $\int_{-k}^k f(x) dx = \int_0^k (f(x)+f(-x)) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-2}^2 \frac{9x^2}{1+5^x} dx$.
અહીં $\frac{9x^2}{1+5^x} + \frac{9(-x)^2}{1+5^{-x}} = \frac{9x^2}{1+5^x} + \frac{9x^2 \cdot 5^x}{5^x+1} = \frac{9x^2(1+5^x)}{1+5^x} = 9x^2$.
તેથી,$I = \int_0^2 9x^2 dx = [3x^3]_0^2 = 3(8) - 3(0) = 24$.