JEE Main 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) વિધાન $I$ સામાન્ય રીતે પ્રમાણભૂત વર્નિયર કેલિપર્સ માટે સાચું માનવામાં આવે છે જ્યાં $1$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(VSD)$ $< 1$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ હોય છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે વર્નિયર અચળાંક (લઘુત્તમ માપ) ને એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ અને એક વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેની ગણતરી $LC = 1 MSD - 1 VSD = \frac{1 MSD}{n}$ તરીકે થાય છે,જ્યાં $n$ એ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગોની સંખ્યા છે. તે $MSD$ અને વિભાગોની સંખ્યાનો ગુણાકાર નથી.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$P \propto r^2 T^4$.
ધારો કે $r_1 = 0.2 \ m$,$T_1 = 800 \ K$,અને $P_1 = E$.
ધારો કે $r_2 = 0.8 \ m$,$T_2 = 400 \ K$,અને $P_2$ એ મોટા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{E} = \left( \frac{0.8}{0.2} \right)^2 \left( \frac{400}{800} \right)^4$.
$\frac{P_2}{E} = (4)^2 \times (\frac{1}{2})^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.
તેથી,$P_2 = E$.

(B) જરૂરી કુલ ઉષ્મા એ પાંચ તબક્કાઓમાં શોષાયેલી ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $\Delta Q_1 = m \cdot S_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 2100 \times 10 = 21 \ J$
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફને પાણીમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta Q_2 = m \cdot L_f = 10^{-3} \times 3.35 \times 10^5 = 335 \ J$
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $\Delta Q_3 = m \cdot S_{\text{water}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 4180 \times 100 = 418 \ J$
$4$. $100^{\circ} C$ પર પાણીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta Q_4 = m \cdot L_v = 10^{-3} \times 2.25 \times 10^6 = 2250 \ J$
$5$. વરાળને $100^{\circ} C$ થી $110^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $\Delta Q_5 = m \cdot S_{\text{steam}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 1920 \times 10 = 19.2 \ J$
કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{\text{total}} = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 + \Delta Q_3 + \Delta Q_4 + \Delta Q_5 = 21 + 335 + 418 + 2250 + 19.2 = 3043.2 \ J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $3043 \ J$ મળે છે.

(C) બંધ પાઇપ માટે $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_c = \frac{n V_1}{4 \ell_1}$ છે,જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે. $9^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે,$f_c = \frac{9 V_1}{4 \ell_1}$.
ખુલ્લી પાઇપ માટે $m^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_o = \frac{m V_2}{2 \ell_2}$ છે. $4^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે,$f_o = \frac{4 V_2}{2 \ell_2} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$.
આપેલ છે કે $f_c = f_o$,તેથી $\frac{9 V_1}{4 \ell_1} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$.
ધ્વનિની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ હોવાથી,$V_1 = \sqrt{\frac{B}{\rho_1}}$ અને $V_2 = \sqrt{\frac{B}{\rho_2}}$ મૂકતા.
$\frac{9}{4 \ell_1} \sqrt{\frac{B}{\rho_1}} = \frac{2}{\ell_2} \sqrt{\frac{B}{\rho_2}} \Rightarrow \frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{8}{9} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$.
અહીં $\ell_1 = 10 \ cm$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{16}$ હોવાથી,$\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \frac{1}{4}$.
$\ell_2 = 10 \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{20}{9} \ cm$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$r = R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગનું દળ $M' = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/2)^2 = M/4$ છે.
આ દૂર કરેલા ભાગની તેની પોતાની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} M' r^2 = \frac{1}{2} (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દૂર કરેલા ભાગની તકતીની મૂળ કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને (તેના પોતાના કેન્દ્રથી $d = R/2$ અંતરે) જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + M' d^2 = \frac{1}{32} MR^2 + (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2 + \frac{1}{16} MR^2 = \frac{3}{32} MR^2$ છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3}{32} MR^2 = \frac{16-3}{32} MR^2 = \frac{13}{32} MR^2$ થાય.

(C) સંપૂર્ણ ગોળાને કારણે $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F_1 = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2} \quad ...(1)$
જ્યારે $r = R/3$ ત્રિજ્યાનો ગોળાકાર ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દળ $M'$ ગોળાની ઘનતા $\rho$ ને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે:
$M' = \rho \cdot V' = \left( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3}\pi (R/3)^3 \right) = \frac{M}{27}$
દૂર કરેલા ગોળાનું કેન્દ્ર એ મુખ્ય કેન્દ્ર $O$ થી $d = R - R/3 = 2R/3$ અંતરે છે. આ કેન્દ્રથી બિંદુવત દળ $m$ નું અંતર $2R - 2R/3 = 4R/3$ છે.
બાકી રહેલા ભાગ દ્વારા લાગતું બળ $F_2$ એ મૂળ બળમાંથી દૂર કરેલા ભાગ દ્વારા લાગતું બળ બાદ કરવાથી મળે છે:
$F_2 = F_1 - F_{\text{removed}} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{G(M/27)m}{(4R/3)^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{27 \cdot (16R^2/9)} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{48R^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{48} \right) = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{12-1}{48} \right) = \frac{11}{48} \frac{GMm}{R^2}$
હવે,ગુણોત્તર $F_1 : F_2$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{GMm / 4R^2}{11GMm / 48R^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{48}{11} = \frac{12}{11}$
આમ,$F_1 : F_2 = 12 : 11$.

(B) દોરી $D$ બિંદુએ ઢીલી થાય તે માટે ત્યાં વેગ $v_D = \sqrt{g l}$ હોવો જોઈએ.
$A$ અને $D$ બિંદુઓ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_D^2 + mg(2l)$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (gl) + 2mgl = \frac{5}{2} mgl \Rightarrow v_0^2 = 5gl$.
$B$ બિંદુએ ઉર્ધ્વ સાથેનો ખૂણો $30^\circ$ છે. $A$ થી $B$ ની ઊંચાઈ $h_B = l(1 - \cos 30^\circ) = l(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
$KE_B = \frac{1}{2} m v_0^2 - mgh_B = \frac{5}{2} mgl - mgl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = mgl(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})$.
$C$ બિંદુએ ઉર્ધ્વ સાથેનો ખૂણો $60^\circ$ છે. $A$ થી $C$ ની ઊંચાઈ $h_C = l(1 - \cos 60^\circ) = \frac{l}{2}$ છે.
$KE_C = \frac{1}{2} m v_0^2 - mgh_C = \frac{5}{2} mgl - mgl(\frac{1}{2}) = 2mgl$.
ગુણોત્તર $\frac{KE_B}{KE_C} = \frac{mgl(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})}{2mgl} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \approx 1.18$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે $r_1 = 2 \ cm$ અને $r_2 = 4 \ cm$ એ બે પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_1 = P_0 + \frac{4T}{r_1}$ છે અને બીજા પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_2 = P_0 + \frac{4T}{r_2}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી સામાન્ય સપાટી માટે,દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{4T}{R} = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
તેથી,$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$.
$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = \frac{2 \times 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4 \ cm$.

(C) ધારો કે દરેક વાહકની લંબાઈ $L$ છે અને $1^{\text{st}}$ તથા $2^{\text{nd}}$ વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. તેથી $3^{\text{rd}}$ વાહકનું ક્ષેત્રફળ $2A$ થશે.
ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1 = \frac{L}{k_1 A} = \frac{L}{60A}$,$R_2 = \frac{L}{k_2 A} = \frac{L}{120A}$,$R_3 = \frac{L}{k_3 (2A)} = \frac{L}{135 \times 2A} = \frac{L}{270A}$.
વાહક $1$ અને $2$ સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{12}$ છે:
$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{60A}{L} + \frac{120A}{L} = \frac{180A}{L} \implies R_{12} = \frac{L}{180A}$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સંયોજનમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ અચળ રહે છે:
$H = \frac{100 - \theta}{R_{12}} = \frac{\theta - 0}{R_3}$
$\frac{100 - \theta}{L / 180A} = \frac{\theta}{L / 270A}$
$180(100 - \theta) = 270\theta$
$2(100 - \theta) = 3\theta$
$200 - 2\theta = 3\theta$
$5\theta = 200 \implies \theta = 40^{\circ}C$.

(D) અહીં $\vec{r}_A = (t^2 \hat{i} + 3nt \hat{j} + 2 \hat{k})$ અને $\vec{r}_B = (2t \hat{i} - t^2 \hat{j} + 4pt \hat{k})$ છે.
$t=1 \ s$ પર વેગ $\vec{V}_A = \frac{d\vec{r}_A}{dt} = (2t \hat{i} + 3n \hat{j}) = (2 \hat{i} + 3n \hat{j})$ અને $\vec{V}_B = \frac{d\vec{r}_B}{dt} = (2 \hat{i} - 2t \hat{j} + 4p \hat{k}) = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4p \hat{k})$ થાય.
$\vec{V}_A \cdot \vec{V}_B = 0$ હોવાથી,$(2)(2) + (3n)(-2) + (0)(4p) = 0 \Rightarrow 4 - 6n = 0 \Rightarrow n = 2/3$.
$|\vec{V}_A| = |\vec{V}_B|$ હોવાથી,$|\vec{V}_A|^2 = |\vec{V}_B|^2 \Rightarrow 2^2 + (3n)^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2 \Rightarrow 9n^2 = 4 + 16p^2$.
$n = 2/3$ મૂકતા,$9(4/9) = 4 + 16p^2 \Rightarrow 4 = 4 + 16p^2 \Rightarrow p = 0$.
$t=1 \ s$ પર,$\vec{r}_A = (1 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$ અને $\vec{r}_B = (2 \hat{i} - 1 \hat{j})$ થાય.
સાપેક્ષ સ્થાન $\vec{r}_{A/B} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = m(\vec{r}_{A/B} \times \vec{V}_A) = 1 \cdot [(-1 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j})] = |\begin{smallmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}| = -4 \hat{i} + 4 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
મૂલ્ય $|\vec{L}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96}$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ $L = 90$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વેગનો પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 60 \sin 30^{\circ} = 60 \times 0.5 = 30 \; m/s$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડમાં $(t=1)$ કાપવામાં આવેલ ઊંચાઈ $h_0 = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 30 - 5 = 25 \; m$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{u_y}{g} = \frac{30}{10} = 3 \; s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતા પહેલા છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપવામાં આવેલ ઊંચાઈ એ $t = 2 \; s$ અને $t = 3 \; s$ વચ્ચે કાપેલું અંતર છે. આ અંતર મહત્તમ ઊંચાઈથી શૂન્ય પ્રારંભિક વેગ સાથે નીચે ફેંકવામાં આવેલા કણ દ્વારા પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે,જે $h_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \; m$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$n$ મી સેકન્ડમાં અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S_n = u_y + \frac{a}{2}(2n-1)$. $t=2$ થી $t=3$ ના અંતરાલ માટે,$n=3$,$u_y=30$,$a=-10$: $h_1 = 30 + \frac{-10}{2}(2(3)-1) = 30 - 5(5) = 30 - 25 = 5 \; m$.
ગુણોત્તર $h_0 : h_1 = 25 : 5 = 5$ થાય.

(B) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a = 0)$ હોય છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,દડા પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(Mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ $(f)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
બળોને સંતુલિત કરતા:
$Mg = F_B + f$
$f = Mg - F_B$
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_{glycerine} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
કારણ કે $M = V \rho_{ball}$,તેથી $V = \frac{M}{\rho_{ball}}$.
આપેલ છે કે $\rho_{glycerine} = \frac{1}{2} \rho_{ball}$,તેથી:
$F_B = V (\frac{1}{2} \rho_{ball}) g = \frac{1}{2} (V \rho_{ball}) g = \frac{Mg}{2}$.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$.

(B) તારની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 \ell}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \left( \frac{0.003}{0.60} + 2 \times \frac{0.01}{0.50} + \frac{0.05}{10.00} \right)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{0.003}{0.60} = 0.005$,
$2 \times \frac{0.01}{0.50} = 2 \times 0.02 = 0.04$,
$\frac{0.05}{10.00} = 0.005$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $0.005 + 0.04 + 0.005 = 0.05$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
પ્રતિશત ત્રુટિ $= 0.05 \times 100 = 5 \%$.

(D) એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $(\gamma)$ નું સૂત્ર $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
સખત દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
તેથી,$\gamma_1 = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
કંપન મોડ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 7$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપન) છે.
તેથી,$\gamma_2 = 1 + \frac{2}{7} \approx 1 + 0.286 = 1.286$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$\gamma_2 < \gamma_1$ મળે છે.

(A) પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ પર,દળ $M' = 4M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{G(4M)}{(2R)^2} = \frac{4GM}{4R^2} = \frac{GM}{R^2} = g$ થાય છે.
બંને જગ્યાએ ગુરુત્વપ્રવેગ સમાન હોવાથી,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સમાન રહે છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
લોલકના ગોળાનું દળ સાદા લોલકના આવર્તકાળને અસર કરતું નથી. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
જોકે,આવર્તકાળ સમાન હોવાનું કારણ બંને ગ્રહો પર $g$ ની સમાનતા છે,લોલકનું દળ નહીં. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 1) - \hat{j}(1 \times 2 - 1 \times 2) + \hat{k}(1 \times 1 - 1 \times 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 - 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i} - 0\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} - \hat{k}$.

(B) કાર્ય $(W)$ એ બળ $(\vec{F})$ અને સ્થાનાંતર $(\vec{S})$ નો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
આપેલ છે કે $\vec{F} = 2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{S} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,$W = (2\hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(1) + (b)(-2) + (1)(-1) = 0$.
$2 - 2b - 1 = 0$.
$1 - 2b = 0$.
$2b = 1$.
તેથી,$b = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 100 \ \text{g} = 0.1 \ \text{kg}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ \text{m/s}$,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20)^2 = 0.05 \times 400 = 20 \ \text{J}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ બાકી રહે છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m (u \cos 60^{\circ})^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20 \times 0.5)^2 = 0.05 \times (10)^2 = 0.05 \times 100 = 5 \ \text{J}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = 20 \ \text{J} - 5 \ \text{J} = 15 \ \text{J}$.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,ટ્યુબના તમામ બિંદુઓ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
અહીં,$A_1 = \pi r_1^2$ અને $A_2 = \pi r_2^2$ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 2 \ cm$,$r_2 = 1 \ cm$,અને $v_1 = 2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\pi (2)^2 \times 2 = \pi (1)^2 \times v_2$
$4 \times 2 = 1 \times v_2$
$v_2 = 8 \ m/s$.

(C) વિસ્તૃત (extensive) ચલો એવા છે જે સિસ્ટમના કદ અથવા દ્રવ્યના જથ્થા પર આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે: આંતરિક ઉર્જા,કદ અને દળ.
તીવ્ર (intensive) ચલો એવા છે જે સિસ્ટમના કદ અથવા દ્રવ્યના જથ્થાથી સ્વતંત્ર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે: દબાણ,તાપમાન અને ઘનતા.
વિધાનોનું મૂલ્યાંકન:
$(A)$ આંતરિક ઉર્જા,કદ અને દળ ખરેખર વિસ્તૃત ચલો છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(B)$ દબાણ,તાપમાન અને ઘનતા ખરેખર તીવ્ર ચલો છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(C)$ કદ વિસ્તૃત છે,જ્યારે તાપમાન અને ઘનતા તીવ્ર છે. આ વિધાન ખોટું છે.
$(D)$ તાપમાન તીવ્ર છે,જ્યારે દળ અને આંતરિક ઉર્જા વિસ્તૃત છે. આ વિધાન ખોટું છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે દળ $m = 0.1 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 2 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$ છે. બિંદુ $A$ પર વેગ $v_A = 10 \ m/s$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $E_A = E_B = E_C$.
બિંદુ $A$ પર (સંદર્ભ સપાટી,$h_A = 0$): $E_A = \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} m (10)^2 = 50m$.
બિંદુ $B$ પર,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $30^\circ$ છે,તેથી ઊંચાઈ $h_B = R(1 - \cos 30^\circ) = 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - \sqrt{3}$ છે.
$E_B = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgh_B = 50m \implies \frac{1}{2} v_B^2 + 10(2 - \sqrt{3}) = 50 \implies v_B^2 = 60 + 20\sqrt{3}$.
$K.E._B = \frac{1}{2} m v_B^2 = m(30 + 10\sqrt{3})$.
બિંદુ $C$ પર,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $90^\circ$ છે (આકૃતિ મુજબ),તેથી ઊંચાઈ $h_C = R = 2 \ m$ છે.
$E_C = \frac{1}{2} m v_C^2 + mgh_C = 50m \implies \frac{1}{2} v_C^2 + 10(2) = 50 \implies v_C^2 = 60$.
$K.E._C = \frac{1}{2} m v_C^2 = 30m$.
ગુણોત્તર $\frac{K.E._B}{K.E._C} = \frac{m(30 + 10\sqrt{3})}{30m} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$.

(D) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના પ્રવાહીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dm = \frac{M_{total}}{L} dx = \frac{2M}{1} dx = 2M dx$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) \omega^2 x = (2M dx) \omega^2 x$ છે.
બાહ્ય છેડે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F$ એ $x = 0$ થી $x = L = 1 \ m$ સુધીના આ બળોનું સંકલન છે:
$F = \int_{0}^{L} 2M \omega^2 x dx = 2M \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2M \omega^2 \left( \frac{1}{2} \right) = M \omega^2$.
આપેલ છે કે કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{\frac{F}{\alpha M}}$ છે,તેથી $\omega^2 = \frac{F}{\alpha M}$.
$F = M \omega^2$ ને $\omega^2 = \frac{F}{M}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.

(A) જ્યારે સમઘનને $x$ જેટલા નાના સ્થાનાંતરથી નીચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = A \rho g x$ છે,જ્યાં $A = L^2$ એ સમઘનના પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે.
સમઘન હલકો હોવાથી અને પાણીમાં તરતો હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -L^2 \rho g x$ થશે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m \frac{d^2x}{dt^2} = -L^2 \rho g x$,જે આપણને $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{L^2 \rho g}{m}) x$ આપે છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે,જેમાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{L^2 \rho g}{m}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{L^2 \rho g}}$ છે.
અહીં $m = 10 \ g = 10^{-2} \ kg$,$L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{(0.1)^2 \times 10^3 \times 10}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{0.01 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{10^{-2}}{10^2}} = 2 \pi \sqrt{10^{-4}} = 2 \pi \times 10^{-2} \ s$.
આને $y \pi \times 10^{-2} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $y = 2$ મળે છે.

(B) વિધાન-$I$ સાચું છે: તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા (viscosity) ઘટે છે. ગરમ પાણીની સ્નિગ્ધતા ઠંડા પાણી કરતા ઓછી હોવાથી,તે ઝડપથી વહે છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે: સાબુ એક સર્ફેક્ટન્ટ (surfactant) તરીકે કામ કરે છે,જે પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે. તેથી,સાબુના પાણીનું પૃષ્ઠતાણ શુદ્ધ પાણી કરતા ઓછું હોય છે.
આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે. અહીં $x(t)$ એ સ્થાન દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[L]$ છે.
$1$. $A \sin t$ પદ માટે: ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ખૂણો પરિમાણરહિત હોય છે. તેથી,$[A] = [x] = [L]$.
$2$. $B \cos^2 t$ પદ માટે: તેવી જ રીતે,$[B] = [x] = [L]$.
$3$. $Ct^2$ પદ માટે: $[Ct^2] = [x] = [L]$ હોવાથી,$[C] [T^2] = [L]$,જેનો અર્થ છે કે $[C] = [L T^{-2}]$.
$4$. $D$ પદ માટે: $D$ એ $x(t)$ માં ઉમેરાયેલ છે,તેથી $[D] = [x] = [L]$.
હવે,$\frac{ABC}{D}$ નું પરિમાણ શોધીએ:
$\left[ \frac{ABC}{D} \right] = \frac{[L] \times [L] \times [L T^{-2}]}{[L]} = [L^2 T^{-2}]$.

(D) . આદર્શ વાયુ માટે,જો દબાણ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય $(P \propto 1/V)$,તો $PV = \text{અચળ}$. આ સમતાપી પ્રક્રિયા $(III)$ ને અનુરૂપ છે.
$B$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. સમદાબ પ્રક્રિયા $(IV)$ માં,શોષાયેલી ઉષ્મા આંતરિક ઉર્જા વધારવા અને કાર્ય કરવા બંને માટે વપરાય છે.
$C$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $(I)$ માં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
$D$. સમકદ પ્રક્રિયા $(II)$ માં,કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = 0$.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(C) પ્રક્રિયા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા બે ભાગની બનેલી છે: ગોળીના તાપમાનને તેના ગલનબિંદુ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા અને અવસ્થા પરિવર્તન (ઓગળવા) માટે જરૂરી ઉષ્મા.
ધારો કે ગોળીનું દળ $m \ kg$ છે.
તાપમાન $300 \ K$ થી $600 \ K$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = ms \Delta T = m \times 125 \times (600 - 300) = m \times 125 \times 300 = 37500m \ J$ છે.
ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = mL = m \times 2.5 \times 10^4 = 25000m \ J$ છે.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 37500m + 25000m = 62500m \ J$.
આપેલ છે કે $Q = 625 \ J$,તેથી $62500m = 625$.
$m = \frac{625}{62500} = 0.01 \ kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા,$m = 0.01 \times 1000 = 10 \ g$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય $(WET)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W_g = K_f - K_i$
ગોળો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$. ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_g = mgL \sin \theta$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,$I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{r}$.
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
થયેલ કાર્યને ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$mgL \sin \theta = \frac{7}{10} mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7} gL \sin \theta$
આ દર્શાવે છે કે $v^2 \propto \sin \theta$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$v_1^2 : v_2^2$ નો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(D) કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$t = 0$ થી $t = 2 \ s$ માટે,આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $200 \ m/s$ અને $400 \ m/s$ છે,અને ઊંચાઈ $2 \ s$ છે.
ક્ષેત્રફળ $1 = \frac{1}{2} \times (200 + 400) \times 2 = 600 \ m$.
$t = 2 \ s$ થી $t = 30.5 \ s$ માટે,વેગ $400 \ m/s$ અચળ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 30.5 - 2 = 28.5 \ s$.
ક્ષેત્રફળ $2 = 400 \times 28.5 = 11400 \ m$.
કુલ અંતર $= 600 + 11400 = 12000 \ m$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા: $12000 \ m = 12 \ km$.

(D) ધારો કે મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R = 20 \ cm$ છે અને કાપાની ત્રિજ્યા $r = 5 \ cm$ છે.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન $M = \sigma \pi R^2$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે.
કાપેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન $m = \sigma \pi r^2$ છે.
કારણ કે $r = R/4$,તેથી દ્રવ્યમાન $m = \sigma \pi (R/4)^2 = M/16$ થાય.
મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
કાપાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $d = R - r = 20 - 5 = 15 \ cm$ ના અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને $X_{\text{com}}$ ધારો. પોલાણવાળા તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$X_{\text{com}} = \frac{M(0) - m(d)}{M - m}$
$X_{\text{com}} = \frac{0 - (M/16)(15)}{M - M/16} = \frac{-(15/16)M}{(15/16)M} = -1 \ cm$.
અંતરનું મૂલ્ય $|X_{\text{com}}| = 1 \ cm$ છે.

(B) આપેલ છે કે કણો ઉગમબિંદુથી સમાન અંતરે છે,તેથી તેમના માન સમાન છે: $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}|$.
$|\overrightarrow{A}|^2 = |\overrightarrow{B}|^2 \implies 2^2 + (3n)^2 + 2^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2$.
$4 + 9n^2 + 4 = 4 + 4 + 16p^2 \implies 8 + 9n^2 = 8 + 16p^2 \implies 9n^2 = 16p^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$3n = \pm 4p$,તેથી $p = \pm \frac{3n}{4}$.
સદિશો કાટખૂણે હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
$(2)(2) + (3n)(-2) + (2)(4p) = 0 \implies 4 - 6n + 8p = 0$.
કિસ્સો $1$: $p = \frac{3n}{4}$ ને ડોટ ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 - 6n + 8(\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n + 6n = 0 \implies 4 = 0$ (અશક્ય).
કિસ્સો $2$: $p = -\frac{3n}{4}$ ને ડોટ ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 - 6n + 8(-\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n - 6n = 0 \implies 12n = 4 \implies n = \frac{1}{3}$.
તેથી,$n^{-1} = \frac{1}{n} = 3$.

(C) આ પ્રક્રિયા અચાનક સંકોચન છે, જે એક એડિબેટિક (સમોષ્મી) પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$, પ્રારંભિક કદ $V_1 = V_0$, અંતિમ કદ $V_2 = V_0/4$, અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 3/2$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$273 \times V_0^{(3/2 - 1)} = T_2 \times (V_0/4)^{(3/2 - 1)}$.
$273 \times V_0^{0.5} = T_2 \times (V_0/4)^{0.5}$.
$273 = T_2 \times (1/4)^{0.5} = T_2 \times (1/2)$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 \ K - 273 \ K = 273 \ K$ છે.

(D) બળ $\vec{F}$ દ્વારા થયેલું કાર્ય રેખા સંકલન $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int (x^2 y \, dx + y^2 \, dy)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંકલન મુજબ: $W = \int_0^4 x^2(10-x) \, dx + \int_0^2 y^2 \, dy$
$W = [\frac{10x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_0^4 + [\frac{y^3}{3}]_0^2$
$W = \frac{640}{3} - 64 + \frac{8}{3} = \frac{648}{3} - 64 = 216 - 64 = 152 \ J$.

(B) શરૂઆતની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m u^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ શરૂઆતનો વેગ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને દડાનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે.
$v_x = u \cos \theta = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $(KE_{top})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$KE_{top} = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^2$.
$KE_{top} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^2}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$.
આમ,$KE = \frac{1}{2} m u^2$ હોવાથી,$KE_{top} = \frac{KE}{4}$ થાય.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 4.0 \sin(20 \times 10^{-3} x + 600 t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \ rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 20 \times 10^{-3} \ mm^{-1} = 20 \ m^{-1}$.
તરંગનો વેગ $v = -\frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
$v = -\frac{600}{20} = -30 \ m/s$.

(C) આપેલ ઉર્જાનું સમીકરણ: $E = \alpha^3 e^{-\beta t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln E = 3 \ln \alpha - \beta t$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dE}{E} = 3 \frac{d\alpha}{\alpha} - \beta dt$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3 \left( \frac{d\alpha}{\alpha} \right) + \beta |dt|$.
અહીં $\frac{d\alpha}{\alpha} = 1.2 \%$ અને $t$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{dt}{t} = 1.6 \%$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $dt = 0.016 \times t$.
$t = 5 \ s$ સમયે,$dt = 0.016 \times 5 = 0.08 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3(1.2 \%) + (0.3 \ s^{-1})(0.08 \ s) \times 100 \%$.
$\left( \frac{dE}{E} \right)_{\max} = 3.6 \% + (0.024) \times 100 \% = 3.6 \% + 2.4 \% = 6 \%$.

(A) કોણીય સ્થાન $\theta(t) = 5t^2 - 8t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનનું વિકલન છે: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 10t - 8$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગનું વિકલન છે: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ rad/s}^2$.
વર્તુળાકાર તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
લગાડવામાં આવેલ ટોર્ક $\tau = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)(10) = 5MR^2$ છે.
ટોર્ક દ્વારા મળતો પાવર $P = \tau \omega$ છે.
$t = 2$ સેકન્ડ પર,$\omega = 10(2) - 8 = 12 \text{ rad/s}$.
તેથી,$P = (5MR^2)(12) = 60 MR^2$ $W$.

(A) આડી પાઈપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
જ્યારે વાલ્વ બંધ હોય,ત્યારે પાણીનો વેગ $v_1 = 0$ છે અને દબાણ $P_1$ છે.
જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનો વેગ $v$ છે અને દબાણ $P_2$ છે.
બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho (0)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$.
પદોને ગોઠવતા: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{2}{\rho}} \times \sqrt{P_1 - P_2}$.
અહીં $\rho$ (પાણીની ઘનતા) અચળ હોવાથી,ઝડપ $v$ એ $\sqrt{P_1 - P_2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, સમયગાળાનો વર્ગ $(T)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે $T_m$ અને $R_m$ એ ચંદ્રનો સમયગાળો અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે, અને $T_s$ અને $R_s$ એ ઉપગ્રહનો સમયગાળો અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $R_s = R_m / 9$ અને $T_m = 27 \text{ દિવસ}$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left(\frac{T_m}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_s}\right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{27}{T_s}\right)^2 = \left(\frac{R_m}{R_m / 9}\right)^3 = (9)^3 = 729$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{27}{T_s} = \sqrt{729} = 27$.
તેથી, $T_s = \frac{27}{27} = 1 \text{ દિવસ}$.

(D) પાણીને આપેલી ઉષ્મા $dQ = m s dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
અહીં $s = 1 \ J \ g^{-1} \ K^{-1}$ આપેલ છે.
એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $dS$ એ $dS = \frac{dQ}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$dQ$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dS = \frac{m s dT}{T}$ મળે છે.
એન્ટ્રોપીમાં કુલ ફેરફાર $\Delta S$ શોધવા માટે,આપણે $T_1$ થી $T_2$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{m s dT}{T} = m s \int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T}$.
$\Delta S = m s \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)$.
અહીં $s = 1$ હોવાથી,એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $\Delta S = m \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)$ થાય છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. માર્ગ $\text{ABCD}$ છે।
માર્ગ $\text{AB}$ (સમદાબી વિસ્તરણ) માટે: $\text{W}_{\text{AB}} = \text{P}_0(3\text{V}_0 - 2\text{V}_0) = \text{P}_0\text{V}_0$.
માર્ગ $\text{BC}$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે: $\text{W}_{\text{BC}} = 0$ (કારણ કે $\Delta\text{V} = 0$).
માર્ગ $\text{CD}$ (સમદાબી સંકોચન) માટે: $\text{W}_{\text{CD}} = 2\text{P}_0(\text{V}_0 - 3\text{V}_0) = 2\text{P}_0(-2\text{V}_0) = -4\text{P}_0\text{V}_0$.
કુલ કાર્ય $\text{W}_{\text{ABCD}} = \text{W}_{\text{AB}} + \text{W}_{\text{BC}} + \text{W}_{\text{CD}} = \text{P}_0\text{V}_0 + 0 - 4\text{P}_0\text{V}_0 = -3\text{P}_0\text{V}_0$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T = kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે:
$kx_1 = 5 \ N$ (સમીકરણ $1$)
$kx_2 = 7 \ N$ (સમીકરણ $2$)
આપણે $x' = (5x_1 - 2x_2)$ વિસ્તરણ માટે તણાવ $T'$ શોધવાની જરૂર છે.
$T' = kx' = k(5x_1 - 2x_2)$
$T' = 5(kx_1) - 2(kx_2)$
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T' = 5(5) - 2(7)$
$T' = 25 - 14 = 11 \ N$.

(A) $h$ ઊંડાઈએ હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \rho gh + \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંડાઈ છે,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પરપોટાની અંદરના દબાણ અને વાતાવરણીય દબાણ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta P = P_{in} - P_0 = \rho gh + \frac{2T}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T = 0.095 \ J/m^2$,અને $R = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = (10^3 \times 10 \times 0.2) + \frac{2 \times 0.095}{10^{-3}}$
$\Delta P = 2000 + \frac{0.19}{10^{-3}}$
$\Delta P = 2000 + 190 = 2190 \ N/m^2$.

(B) ઉપગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h = R + R/3 = 4R/3$ છે.
કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{4R/3}} = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = m v_0 r$ છે,જ્યાં $m = M/2$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot (4R/3)$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot \sqrt{\frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R} \cdot \frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3}}$
$L = M \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3 \cdot 4}} = M \sqrt{\frac{GMR}{3}}$.
આને આપેલ સમીકરણ $M \sqrt{\frac{GMR}{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) ધારો કે $T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{\text{in}} = P_0 + \rho gh + \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પરપોટાની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $(P_0)$ કરતા $2100 \ N/m^2$ વધારે છે,તેથી $P_{\text{in}} - P_0 = 2100 \ N/m^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = 0.1 \ cm = 10^{-3} \ m$,$h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$2100 = \rho gh + \frac{2T}{R}$
$2100 = (1000 \times 10 \times 0.2) + \frac{2T}{10^{-3}}$
$2100 = 2000 + \frac{2T}{10^{-3}}$
$100 = \frac{2T}{10^{-3}}$
$2T = 100 \times 10^{-3} = 0.1$
$T = 0.05 \ N/m$.

(D) આપેલ અભિવ્યક્તિ $y = \frac{32.3 \times 1125}{27.4}$ છે.
મૂલ્યની ગણતરી કરતા: $y = 1326.18613...$
ગુણાકાર અને ભાગાકારમાં સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે.
અભિવ્યક્તિમાં,$32.3$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે,$1125$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે,અને $27.4$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
સૌથી ઓછા સાર્થક અંકોની સંખ્યા $3$ છે.
$1326.186$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1330$ મળે છે.

(A) ટીપાને તોડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = S \Delta A$.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે પરથી $r = \frac{R}{n^{1/3}}$ મળે છે.
કરવામાં આવતું કાર્ય $W = S(n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi R^2 S (n^{1/3} - 1)$ છે.
$n = 27$ માટે: $W_1 = 4 \pi R^2 S (27^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (3 - 1) = 8 \pi R^2 S = 10 \ J$.
$n = 64$ માટે: $W_2 = 4 \pi R^2 S (64^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (4 - 1) = 12 \pi R^2 S$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{12 \pi R^2 S}{8 \pi R^2 S} = \frac{12}{8} = 1.5$.
તેથી,$W_2 = 1.5 \times 10 \ J = 15 \ J$.

(D) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $v_x = v_0 \cos 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ અને $v_y = v_0 \sin 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ પર,શિરોલંબ વેગનો ઘટક શૂન્ય થાય છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(v_0/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$ દ્વારા મળે છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + H\hat{j}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x\hat{i}$ છે.
તેથી,$\vec{L} = m(x\hat{i} + H\hat{j}) \times (v_x\hat{i}) = mH v_x (\hat{j} \times \hat{i}) = -mH v_x \hat{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = m \left( \frac{v_0^2}{4g} \right) \left( \frac{v_0}{\sqrt{2}} \right) = \frac{m v_0^3}{4 \sqrt{2} g}$.
દિશા ઋણ $z$-અક્ષ $(- \hat{k})$ તરફ છે.

(C) બેન્ક્ડ રોડ પર મહત્તમ ઝડપ $v_0$ થી ગતિ કરતી કાર માટે,તેના પર લાગતા બળો લંબબળ $N$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f = \mu N$ છે,જે બહારની તરફ લપસતા અટકાવવા માટે ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ક્ષૈતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$N \sin \theta + f \cos \theta = \frac{m v_0^2}{r}$
$N \cos \theta - f \sin \theta = m g$
સમીકરણોમાં $f = \mu N$ મૂકતા:
$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \frac{m v_0^2}{r}$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = m g$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v_0^2}{r g}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$r g \sin \theta + \mu r g \cos \theta = v_0^2 \cos \theta - \mu v_0^2 \sin \theta$
$\mu$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\mu(r g \cos \theta + v_0^2 \sin \theta) = v_0^2 \cos \theta - r g \sin \theta$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\mu(r g + v_0^2 \tan \theta) = v_0^2 - r g \tan \theta$
$\mu = \frac{v_0^2 - r g \tan \theta}{r g + v_0^2 \tan \theta}$

(C) ઢાળવાળા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}}$.
સમાન નક્કર નળાકાર માટે,તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mr^2$ છે.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 mr^2}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
અહીં ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin 45^{\circ}$ ની કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a = \frac{2}{3} g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} g}{3}$.

(B) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
વળી,લઘુત્તમ વિચલન સમયે,આપાતકોણ $i$ એ પ્રિઝમ કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ સાથે $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ તરીકે સંબંધિત છે.
આ કિંમતને વક્રીભવનાંકના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$.
આપેલ છે: $\mu = \sqrt{2}$ અને $A = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$.

(A) રેખીય વીજભારની કુલ લંબાઈ $L = \frac{a}{2}$ છે.
રેખીય વીજભારનો કુલ વીજભાર $q = \lambda L = \lambda \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\lambda a}{2}$ થાય.
આ રેખીય વીજભાર સમઘનની એક ધારના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે. એક ધાર એ સમપ્રમાણ ગોઠવણીમાં $4$ સમાન સમઘન દ્વારા વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી, આપેલ સમઘન દ્વારા ઘેરાયેલો વીજભાર એ કુલ વીજભારનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે.
આમ, સમઘન દ્વારા ઘેરાયેલો વીજભાર $q_{in} = \frac{q}{4} = \frac{\lambda a / 2}{4} = \frac{\lambda a}{8}$ થાય.
ગોસના નિયમ મુજબ, સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ છે.
$q_{in}$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $\phi = \frac{\lambda a}{8 \varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો કુલ અવરોધ $1 \Omega$ છે. સ્લાઇડિંગ કોન્ટેક્ટ મધ્યમાં હોવાથી,વાયર બે ભાગમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $0.5 \Omega$ છે.
વાયરનો એક ભાગ $(0.5 \Omega)$ એ બાહ્ય અવરોધ $R_e = 2 \Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p' = \frac{0.5 \times 2}{0.5 + 2} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$ છે.
આ સમાંતર જોડાણ પોટેન્શિયોમીટર વાયરના બીજા ભાગ $(0.5 \Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}} = 0.5 \Omega + 0.4 \Omega = 0.9 \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{0.9 \text{ V}}{0.9 \Omega} = 1.0 \text{ A}$ થાય.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રયોગ $\mu > 1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
$\mu > 1$ હોવાથી,તરંગલંબાઇ ઘટે છે $(\lambda' < \lambda)$,જે શલાકાની પહોળાઈમાં ઘટાડો $(\beta' < \beta)$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,શલાકાઓ નજીક આવે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ છે. $\mu > 1$ હોવાથી,પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ ઘટે છે. પ્રકાશની આવૃત્તિ માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તે બદલાતી નથી. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
શલાકાની પહોળાઈમાં ઘટાડો એ તરંગલંબાઇમાં ઘટાડાને કારણે થાય છે,જે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપમાં ફેરફારનું પરિણામ છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,જેનો અર્થ છે કે $mv = \frac{nh}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$.
આમ,$\lambda \propto \frac{r}{n}$.
ધરા અવસ્થા માટે,$n_1 = 1$ અને $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m$.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_4 = 4$ અને $r_4 = 8.48 \times 10^{-10} \ m = 84.8 \times 10^{-11} \ m$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_4} = \frac{r_1}{n_1} \times \frac{n_4}{r_4} = \frac{5.3 \times 10^{-11}}{1} \times \frac{4}{84.8 \times 10^{-11}} = \frac{5.3 \times 4}{84.8} = \frac{21.2}{84.8} = \frac{1}{4}$.

(B) આ સિસ્ટમ સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ લેન્સની બનેલી છે: એક પાણીનો લેન્સ $(p_1)$,એક કાચનો લેન્સ $(p_2)$,અને બીજો પાણીનો લેન્સ $(p_3)$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $p = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{surrounding}}$.
ઉપરના પાણીના લેન્સ માટે $(p_1)$: $p_1 = (4/3 - 1) \left(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-|R_1|}\right) = \frac{1}{3|R_1|}$.
વચ્ચેના કાચના લેન્સ માટે $(p_2)$: $p_2 = (\frac{3/2}{4/3} - 1) \left(\frac{1}{-|R_1|} - \frac{1}{-|R_2|}\right) = (9/8 - 1) \left(\frac{1}{|R_2|} - \frac{1}{|R_1|}\right) = -\frac{1}{8} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$.
આ સંયોજનનો કુલ પાવર $p_{eq} = p_1 + p_2 + p_3$ છે. ગણતરી કરતા,$p_{eq} = -\frac{1}{6} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$ મળે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ લંબાઈની પ્લેટોને $V_x = 10^6 \ m/s$ ના સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ઓળંગવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{L}{V_x} = \frac{0.1}{10^6} = 10^{-7} \ s$
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 9.1 \ V/cm = 910 \ V/m$.
શિરોલંબ દિશામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ:
$a_y = \frac{eE}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 910}{9.1 \times 10^{-31}} = 1.6 \times 10^{14} \ m/s^2$
બહાર નીકળતી વખતે શિરોલંબ વેગનો ઘટક $V_y = u_y + a_y t$,જ્યાં $u_y = 0$:
$V_y = 0 + (1.6 \times 10^{14}) \times 10^{-7} = 1.6 \times 10^7 \ m/s$.

(A) સ્ટાન્ડર્ડ અવરોધકો સામાન્ય રીતે મેંગેનિન, કોન્સ્ટન્ટન અથવા નાઈક્રોમ જેવી મિશ્ર ધાતુઓમાંથી બનાવવામાં આવે છે.
આ પદાર્થોને પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમનો અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તેમની અવરોધકતા $(\rho)$ તાપમાનની વિશાળ શ્રેણીમાં લગભગ અચળ રહે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, જે આલેખ તાપમાનના સંદર્ભમાં લગભગ અચળ અવરોધકતા દર્શાવે છે તે તે છે જ્યાં રેખા લગભગ આડી (અથવા ખૂબ જ નાનો ઢાળ ધરાવે છે) હોય છે.
જોકે, પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં, જે વક્ર તાપમાન પર અવરોધકતાની ખૂબ જ નબળી નિર્ભરતા દર્શાવે છે તે લગભગ સપાટ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા, કોઈ પણ આલેખ સંપૂર્ણપણે અચળ રેખા દર્શાવતો નથી, પરંતુ ભૌતિક વિજ્ઞાનના અભ્યાસક્રમમાં, સ્ટાન્ડર્ડ અવરોધકો માટે વપરાતી સામગ્રી (જેમ કે મેંગેનિન) તાપમાન સાથે અવરોધકતામાં ખૂબ જ નાના, લગભગ નગણ્ય ફેરફાર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.
તેથી, જે આલેખ સૌથી ઓછો ફેરફાર (સૌથી આડી રેખા) દર્શાવે છે તે સૌથી યોગ્ય રજૂઆત છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 550 \ nm$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1240}{550} \approx 2.25 \ eV$ મળે છે.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય તો જ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થાય છે.
$Cs$ માટે,$\Phi_{Cs} = 1.9 \ eV$. કારણ કે $2.25 \ eV > 1.9 \ eV$,તેથી $Cs$ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર શક્ય છે.
$Li$ માટે,$\Phi_{Li} = 2.5 \ eV$. કારણ કે $2.25 \ eV < 2.5 \ eV$,તેથી $Li$ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર શક્ય નથી.
તેથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માત્ર $Cs$ માટે જ શક્ય છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{B}{\mu_0} = n I$ મળે છે.
$n$ (એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1}]$ છે.
$I$ (વિદ્યુતપ્રવાહ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
તેથી,$\frac{B}{\mu_0}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{-1} A]$ થાય છે.

(D) સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલી $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ emf અને $r_1, r_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બે બેટરીઓ માટે,સમતુલ્ય emf $\varepsilon_{eq}$ નું સૂત્ર $\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$ છે.
$\varepsilon_{eq}$ નું આ મૂલ્ય હંમેશા $\varepsilon_1$ અને $\varepsilon_2$ ની વચ્ચે હોય છે. તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે કારણ કે તે બંને કરતા નાનું હોવું જરૂરી નથી.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ માટે $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.
ચોક્કસપણે $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $r_{eq} < r_1$ અને $r_{eq} < r_2$. તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(D) જ્યારે $p$-બાજુ (એનોડ) પરનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુ (કેથોડ) પરના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય ત્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે.
$(A)$ $p$-બાજુ = $-10 \ V$,$n$-બાજુ = $0 \ V$. $-10 < 0$ હોવાથી,તે રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
$(B)$ $p$-બાજુ = $-10 \ V$,$n$-બાજુ = $-15 \ V$. $-10 > -15$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.
$(C)$ $p$-બાજુ = $4 \ V$,$n$-બાજુ = $2 \ V$. $4 > 2$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.
$(D)$ $p$-બાજુ = $-5 \ V$,$n$-બાજુ = $-10 \ V$. $-5 > -10$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.
$(E)$ $p$-બાજુ = $0 \ V$ (ગ્રાઉન્ડ),$n$-બાજુ = $2 \ V$. $0 < 2$ હોવાથી,તે રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
તેથી,સર્કિટ $(B), (C)$ અને $(D)$ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.

(C) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 40 \mu F$,વોલ્ટેજ $V = 100 V$,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 2$.
નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 2 \times 40 \mu F = 80 \mu F$.
વધારાનો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q' - q = (C' - C)V = (80 - 40) \times 10^{-6} \times 100 = 40 \times 10^{-6} \times 100 = 4 \times 10^{-3} C = 4 mC$.
સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U' - U = \frac{1}{2}C'V^2 - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}(K-1)CV^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} \times (2-1) \times 40 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 40 \times 10^{-6} \times 10000 = 20 \times 10^{-2} J = 0.2 J$.
આમ,વધારાનો વિદ્યુતભાર $4 mC$ છે અને ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $0.2 J$ છે.

(D) એક બાજુ સિલ્વર કરેલા લેન્સ માટે,સિસ્ટમનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_{\ell} + P_{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P_{\ell} = \frac{(\mu - 1)}{R}$ એ લેન્સની એક સપાટીનો પાવર છે. તે બહિર્ગોળ લેન્સ હોવાથી,બંને સપાટીઓ પાવરમાં ફાળો આપે છે.
$P_{m} = -\frac{1}{f_{m}} = -\frac{1}{(-R/2)} = \frac{2}{R}$ (કારણ કે સિલ્વર કરેલી સપાટી દ્વારા બનેલા અરીસાની ત્રિજ્યા $R/2$ છે).
$P_{eq} = 2 \left[ \frac{(\mu - 1)}{R} + \frac{(\mu - 1)}{R} \right] + \frac{2}{R} = \frac{4\mu - 4 + 2}{R} = \frac{4\mu - 2}{R}$.
આ સિસ્ટમ $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{R}{4\mu - 2} = -\frac{R}{2(2\mu - 1)}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,વસ્તુને આ સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે.
તેથી અંતર $d = 2|F| = 2 \times \frac{R}{2(2\mu - 1)} = \frac{R}{2\mu - 1}$ થાય.

(B) આપેલ છે: $R = 2 \ m$,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 1 \ m$. વસ્તુની ઝડપ $v_0 = 90 \ km/h = 25 \ m/s$. વસ્તુ નજીક આવી રહી હોવાથી,$u = -24 \ m$ અને $du/dt = v_0 = 25 \ m/s$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$,જે પરથી $v_I = \frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 v_0 = -m^2 v_0$ મળે.
$u = -24 \ m$ અને $f = 1 \ m$ માટે,$v = \frac{uf}{u-f} = \frac{(-24)(1)}{-24-1} = \frac{24}{25} \ m$.
મોટવણી $m = -v/u = -(\frac{24/25}{-24}) = \frac{1}{25}$.
પ્રતિબિંબનો વેગ $v_I = -m^2 v_0 = -(\frac{1}{25})^2 (25) = -\frac{1}{25} \ m/s$.
વેગના સમીકરણ $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$ નું ફરીથી સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$a_I = \frac{d^2v}{dt^2} = -[2(\frac{v}{u})(\frac{u \frac{dv}{dt} - v \frac{du}{dt}}{u^2})] v_0 - (\frac{v}{u})^2 a_0$. અહીં $a_0 = 0$ હોવાથી,$a_I = -2(\frac{v}{u})(\frac{u v_I - v v_0}{u^2}) v_0$.
કિંમતો મૂકતા: $a_I = -2(\frac{24/25}{-24})(\frac{(-24)(-1/25) - (24/25)(25)}{(-24)^2}) (25) = -2(-\frac{1}{25})(\frac{24/25 - 24}{576}) (25) = 2(\frac{1}{25})(\frac{24 - 600}{25 \times 576}) (25) = 2(\frac{-576}{25 \times 576}) = -\frac{2}{25} \ m/s^2$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = |-\frac{2}{25}| = 0.08 \ m/s^2$. તેથી,$100a = 100 \times 0.08 = 8$.

(D) પાતળા લેન્સનો પાવર લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સંમિત બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$, તેથી $P = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 4 \text{D}$.
જ્યારે લેન્સને $AB$ સમતલ (મુખ્ય અક્ષને લંબ) દ્વારા કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી થાય છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક અડધા ભાગનો પાવર $P' = P/2 = 2 \text{D}$ થાય છે.
જ્યારે આ અડધા ભાગને $CD$ સમતલ (મુખ્ય અક્ષને સમાંતર) દ્વારા વધુ કાપવામાં આવે છે, ત્યારે વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે, પરંતુ અસરકારક છિદ્ર (એપર્ચર) અડધું થઈ જાય છે। જો કે, લેન્સનો પાવર વક્રતા ત્રિજ્યા અને વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે, એપર્ચર પર નહીં। તેથી, ચાર ભાગોમાંથી દરેકનો પાવર અડધા લેન્સના પાવર જેટલો જ રહે છે, જે $P'' = 2 \text{D}$ છે।

(B) રેઝોનન્સ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,તેથી સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
શરૂઆતમાં,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{\varepsilon_m}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_m$ એ પીક emf છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ ને બમણો કરીને $2R$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે રેઝોનન્સ પર નવો પ્રવાહ કંપવિસ્તાર $I_0' = \frac{\varepsilon_m}{2R}$ થાય છે.
પ્રારંભિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_0' = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.

(C) બિંદુ $A$ એ ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર $r$ અંતરે છે. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_A$ નીચે મુજબ છે:
$V_A = \frac{kP}{r^2} = V_0$
$E_A = \frac{2kP}{r^3} = E_0$
બિંદુ $B$ એ ડાયપોલની વિષુવરેખીય રેખા પર $2r$ અંતરે છે. વિષુવરેખીય રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_B$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે સ્થિતિમાન $V = \frac{k \vec{P} \cdot \hat{r}}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને વિષુવરેખીય રેખા માટે,$\vec{P}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે,તેથી $\cos(90^\circ) = 0$.
વિષુવરેખીય રેખા પર $d = 2r$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_B$ નીચે મુજબ છે:
$E_B = \frac{kP}{d^3} = \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{kP}{8r^3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_0 = \frac{2kP}{r^3}$,તેથી $\frac{kP}{r^3} = \frac{E_0}{2}$.
આ કિંમત $E_B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_B = \frac{1}{8} \times \left( \frac{kP}{r^3} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{E_0}{2} = \frac{E_0}{16}$.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\frac{E_0}{16}$ છે.

(D) કેપેસીટન્સ $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{q}{V}$ છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = \frac{W}{q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,તેથી $C = \frac{q^2}{W}$ લખી શકાય.
વિદ્યુતભાર $q$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[C]$ છે.
કાર્ય $W$ નું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતો કેપેસીટન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[C] = \frac{[C]^2}{[M L^2 T^{-2}]} = [C^2 M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(D) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_m = F_c \Rightarrow evB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow mv = eBr$.
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતમાં $mv = eBr$ મૂકતા: $(eBr)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow er^2B = \frac{nh}{2\pi}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \sqrt{\frac{nh}{2\pi eB}}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
આ સમીકરણમાં $n = 2$ મૂકતા: $r = \sqrt{\frac{2h}{2\pi eB}} = \sqrt{\frac{h}{\pi eB}}$.

(D) જ્યારે એક લંબચોરસ ધાતુનું લૂપ અચળ ઝડપ $v$ થી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી લૂપની બાજુમાં પ્રેરિત ગતિકીય $\text{emf}$ નું સૂત્ર $\varepsilon = B \ell v$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,$\ell$ એ લૂપની બાજુની લંબાઈ છે,અને $v$ એ વેગ છે.
$B$,$\ell$,અને $v$ બધા અચળ હોવાથી,જ્યાં સુધી લૂપ આંશિક રીતે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર છે ત્યાં સુધી પ્રેરિત $\text{emf} \ (\varepsilon)$ અચળ રહે છે.
તેથી,પ્રેરિત $\text{emf} \ (\varepsilon)$ ના મૂલ્યનો સમય $(t)$ સાથેનો આલેખ એક આડી સીધી રેખા મળે છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે, $\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે, $K_{\max} = 2 \ \text{eV}$ અને કાર્ય વિધેય $\phi = 1 \ \text{eV}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{hc}{\lambda} - 1 \implies \frac{hc}{\lambda} = 3 \ \text{eV}$.
હવે, $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ તરંગલંબાઈ માટે, આપાત ફોટોનની નવી ઊર્જા $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \times \frac{hc}{\lambda} = 2 \times 3 = 6 \ \text{eV}$ થશે.
નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'_{\max} = E' - \phi = 6 \ \text{eV} - 1 \ \text{eV} = 5 \ \text{eV}$ મળે છે.

(D) આ પરિપથમાં બે $AND$ ગેટ અને બે $NOT$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. ઉપરના $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A\overline{B}$ છે.
નીચેના $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A}B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $G$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે $G$ નું આઉટપુટ $Y$ છે.
જો $G$ એ $XOR$ ગેટ હોય,તો $Y = A\overline{B} + \overline{A}B$.
જો $G$ એ $XNOR$ ગેટ હોય,તો $Y = \overline{A\overline{B} + \overline{A}B} = (A\overline{B} + \overline{A}B)' = A B + \overline{A}\overline{B}$.
ચાલો $Y = AB + \overline{A}\overline{B}$ માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ:
- $A=0, B=0$ માટે: $Y = (0)(0) + (1)(1) = 1$.
- $A=0, B=1$ માટે: $Y = (0)(1) + (1)(0) = 0$.
- $A=1, B=0$ માટે: $Y = (1)(0) + (0)(1) = 0$.
- $A=1, B=1$ માટે: $Y = (1)(1) + (0)(0) = 1$.
આ આપેલ સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,ગેટ $G$ એ $XNOR$ ગેટ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\beta \propto \lambda$.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_R)$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_B)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $\lambda_R > \lambda_B$,લાલ પ્રકાશ માટે ફ્રિન્જની પહોળાઈ વાદળી પ્રકાશ કરતા વધારે હશે $(\beta_R > \beta_B)$.
તેથી,લાલ પ્રકાશ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ફ્રિન્જ વાદળી પ્રકાશ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ફ્રિન્જ કરતા પહોળી (વધારે અંતરે) હોય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ સાચું છે.

(C) પ્રકાશના મહત્તમ પ્રસરણ માટે, પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) થવું જોઈએ।
અહીં ફિલ્મનો વક્રીભવનાંક $(\mu_f = 2.0)$ એ હવા $(\mu_a = 1.0)$ અને કાચની સ્લેબ $(\mu_g = 1.45)$ બંને કરતા વધારે છે, તેથી ફિલ્મની ઉપરની અને નીચેની બંને સપાટીઓ પર $\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉદભવે છે।
પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2 \mu_f t = n \lambda$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે, આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$2 \mu_f t = \lambda$
$t = \frac{\lambda}{2 \mu_f}$
આપેલ કિંમતો $\lambda = 550 \ \text{nm}$ અને $\mu_f = 2.0$ મૂકતા:
$t = \frac{550 \ \text{nm}}{2 \times 2.0} = \frac{550}{4} \ \text{nm} = 137.5 \ \text{nm}$.

(A) જ્યારે પ્રોટોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોય છે: $eE = evB$,જે $E = vB$ અથવા $B = E/v$ આપે છે.
જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રોટોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે: $R = \frac{mv}{eB}$.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $B = E/v$ મૂકતા: $R = \frac{mv}{e(E/v)} = \frac{mv^2}{eE}$.
$E$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E = \frac{mv^2}{eR}$.
આપેલ છે: $m = 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$v = 2 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$,$R = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$E = \frac{(1.6 \times 10^{-27}) \times (2 \times 10^5)^2}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 0.02} = \frac{1.6 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{10}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-2}} = \frac{4 \times 10^{-17}}{2 \times 10^{-21}} = 2 \times 10^4 \text{ N/C}$.
આને $x \times 10^4 \text{ N/C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $X$ $(I_X = 5 \text{ A})$ માટે,બિંદુ $P$ નું અંતર $r_X = 6 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_X$ કાગળની અંદરની દિશામાં છે.
$B_X = \frac{\mu_0 \times 5}{2\pi \times 0.1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.1} = 100 \times 10^{-7} \text{ T} = 10^{-5} \text{ T}$.
તાર $Y$ $(I_Y = 4 \text{ A})$ માટે,બિંદુ $P$ નું અંતર $r_Y = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_Y$ કાગળની અંદરની દિશામાં છે.
$B_Y = \frac{\mu_0 \times 4}{2\pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.04} = 200 \times 10^{-7} \text{ T} = 2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (કાગળની અંદર) હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_X + B_Y = 1 \times 10^{-5} + 2 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$ થશે.
આને $x \times 10^{-5} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) કેપેસિટર પ્લેટોના આડછેદ પર સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_d$ સમાન હોય છે.
$J_d = \frac{I}{A} = \frac{6 \ A}{16 \ cm^2}$.
નાના ક્ષેત્રફળ $A_0$ માંથી વહેતો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ $I_d = J_d \times A_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_d = \left( \frac{6}{16} \right) \times 3.2 \ A$.
$I_d = 0.375 \times 3.2 \ A = 1.2 \ A$.
$1 \ A = 1000 \ mA$ હોવાથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $1.2 \times 1000 \ mA = 1200 \ mA$ થાય.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. તેથી,કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટને જોતા,$2 \text{V}$ ની બેટરી $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
$4 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ છે.
બાકીની સર્કિટ ($2 \Omega$,$3 \Omega$,$6 \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખા) પણ બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
$3 \Omega$ અને $6 \Omega$ ના સમાંતર અવરોધનું સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \Omega$ છે.
આ $R_p$ એ $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{branch} = 2 \Omega + 2 \Omega = 4 \Omega$ છે.
આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 0.5 \text{A} + 0.5 \text{A} = 1 \text{A}$ છે.

(B) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$A:$ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ તેની ભૂમિતિ (આંટાની સંખ્યા $N$,ક્ષેત્રફળ $A$,લંબાઈ $l$) પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$B:$ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu N^2 A / l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$. તેથી,તે માધ્યમની પરમીએબિલિટી પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન ખોટું છે.
$C:$ લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આત્મ-પ્રેરિત e.m.f. પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$D:$ મિકેનિક્સમાં,દળ એ જડત્વ (વેગમાં ફેરફારનો વિરોધ) દર્શાવે છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમમાં,આત્મ-પ્રેરકત્વ એ વિદ્યુત જડત્વ (પ્રવાહમાં ફેરફારનો વિરોધ) દર્શાવે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$E:$ ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ સ્થાપિત કરવા માટે,બેક e.m.f. ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે જેથી વિદ્યુત જડત્વને દૂર કરી શકાય. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A, C, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(10^{-30} \ kg) \times (2.21 \times 10^6 \ m/s)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.21 \times 10^{-24}} \ m$
$\lambda = 3 \times 10^{-10} \ m = 3 \ \mathring{A}$.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર આશરે $0.01 \ \mathring{A}$ થી $100 \ \mathring{A}$ હોય છે.
તેથી,$3 \ \mathring{A}$ એ $X$-કિરણોના વર્ણપટમાં આવતું હોવાથી,આ કણ $X$-કિરણો જેવું વર્તન કરશે.

(A) ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,$\mu_1 = 1$ (હવા) અને $\mu_2 = 1.5$ (કાચ).
ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,વસ્તુ અંતર $u = -PO = -x$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = PI = x$ છે,જ્યાં $x$ એ $PO$ અંતર છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધન છે કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર કાચના માધ્યમમાં છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{5}{2x} = \frac{1}{2R}$
$x = 5R$.
તેથી,અંતર $PO$ એ $5R$ છે.

(A) ધારો કે $n_1$ નો ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = \lambda$ છે. તો $n_2$ નો ક્ષય અચળાંક $\lambda_2 = 3\lambda$ થશે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1$ માટે: $N_1(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$n_2$ માટે: $N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda t}$.
સમય $t$ એ $n_1$ નું એક અર્ધ-આયુષ્ય છે,તેથી $t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$N_1(t) = N_0 e^{-\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-\ln 2} = N_0 / 2$.
$N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-3 \ln 2} = N_0 (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 (2)^{-3} = N_0 / 8$.
ગુણોત્તર $\frac{N_2(t)}{N_1(t)} = \frac{N_0 / 8}{N_0 / 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) જે ક્ષણે કી બંધ કરવામાં આવે છે $(t = 0)$,ત્યારે કેપેસિટર વિદ્યુતભારિત હોતું નથી.
શરૂઆતની ક્ષણે અવિદ્યુતભારિત કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
તેથી,સર્કિટમાં પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે,જે $I = V/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર અવિદ્યુતભારિત હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ શૂન્ય (ન્યૂનતમ) હોય છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = Q/C = 0$ (ન્યૂનતમ) હોય છે.
આમ,વિધાનો $B, C,$ અને $D$ સાચા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $A :$ ટોર્ક $\tau = C\theta$,જ્યાં $C$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે. તેથી,$[C] = [\tau]/[\theta] = [ML^2 T^{-2}] / [1] = [ML^2 T^{-2}]$. વિધાન $A$ સાચું છે.
$B :$ પ્રવાહ સંવેદિતા $(I_s) = \frac{NBA}{k}$ અને વોલ્ટેજ સંવેદિતા $(V_s) = \frac{I_s}{R} = \frac{NBA}{kR}$. $N$ વધારવાથી $I_s$ વધે છે,પરંતુ $R$ પણ $N$ સાથે વધે છે,તેથી $V_s$ વધે તે જરૂરી નથી. વિધાન $B$ સાચું છે.
$C :$ કારણ કે $V_s = \frac{NBA}{kR}$ અને $R \propto N$,જો $N \to 2N$ થાય,તો $R \to 2R$ થાય. તેથી,$V_s' = \frac{(2N)BA}{k(2R)} = V_s$. વોલ્ટેજ સંવેદિતા બદલાતી નથી. વિધાન $C$ ખોટું છે.
$D :$ $MCG$ ને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,સમાંતરમાં નાનો શંટ અવરોધ જોડવો પડે છે. વિધાન $D$ ખોટું છે.
$E :$ પ્રવાહ સંવેદિતા $I_s = \frac{NBA}{k}$,તેથી $I_s \propto N$. તે આંટાની સંખ્યા પર સીધો આધાર રાખે છે. વિધાન $E$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $A$ અને $B$ સાચા છે.

(C) ડાયપોલ $1$ (અક્ષીય સ્થાન) ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2kpr}{(r^2-a^2)^2}$ છે,જ્યાં $p = q(2a)$ છે. જોકે,વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બળોને જોતા: ડાયપોલ $1$ ના $+q$ થી લાગતું બળ $F_1 = \frac{kqQ}{(r-a)^2}$ (અપાકર્ષી) અને $-q$ થી લાગતું બળ $F_2 = \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ (આકર્ષી) છે. ડાયપોલ $1$ દ્વારા લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net,1} = \frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ છે.
ડાયપોલ $2$ (વિષુવવૃત્તીય સ્થાન) માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{kp}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ છે. ડાયપોલ $2$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ $F_{net,2} = \frac{k(2a)qQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ છે.
ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_{net,1} = F_{net,2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2} = \frac{2akqQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{(r+a)^2 - (r-a)^2}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{4ra}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{2r}{(r^2-a^2)^2} = \frac{1}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
આ સમીકરણને $r/a$ માટે ઉકેલતા $r/a \approx 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a/r \approx 1/3 \approx 0.33$. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સમસ્યા માટે સૌથી નજીકનો ભૌતિક અર્થઘટન $a/r \approx 0.5$ (વિકલ્પ $C$) છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $h$ જાડાઈ ધરાવતા સમાંતર બાજુવાળા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે બે સમાંતર સપાટીઓ પર વક્રીભવન અનુભવે છે.
ધારો કે $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $d$ એ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
સ્લેબમાંથી પ્રકાશના માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,પાર્શ્વ સ્થાનાંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{h \sin(i - r)}{\cos r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ છે કારણ કે $D$ પરનો પોટેન્શિયલ $A$ કરતા વધારે છે. આમ,ડાયોડ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે (આદર્શ ડાયોડ ધારતા).
$1$. સર્કિટ $4 \ \Omega$ ના અવરોધ અને બે $4 \ \Omega$ ના સમાંતર જોડાણની શ્રેણીમાં સરળ બને છે.
$2$. બે સમાંતર $4 \ \Omega$ અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \ \Omega$ છે.
$3$. સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{net} = 4 \ \Omega + 2 \ \Omega = 6 \ \Omega$ છે. (વિધાન $A$ સાચું છે,$E$ ખોટું છે).
$4$. સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{net}} = \frac{6 \ V}{6 \ \Omega} = 1 \ A$ છે. (વિધાન $B$ સાચું છે).
$5$. $CD$ ની આજુબાજુનો પોટેન્શિયલ $V_{CD} = I \times R_{CD} = 1 \ A \times 4 \ \Omega = 4 \ V$ છે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
$6$. પ્રવાહ બે સમાંતર શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી $0.5 \ A$ પ્રવાહ $AB$ શાખામાંથી વહે છે. $AB$ ની આજુબાજુનો પોટેન્શિયલ $V_{AB} = 0.5 \ A \times 4 \ \Omega = 2 \ V$ છે. (વિધાન $C$ ખોટું છે).
તેથી,વિધાનો $A, B$ અને $D$ સાચા છે.

(C) આપેલ વિદ્યુત ફ્લક્સનું સમીકરણ: $\phi = \alpha \sigma + \beta \lambda$.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ: $[\phi] = [\alpha \sigma] = [\beta \lambda]$.
$[\phi] = [\alpha \sigma]$ પરથી,$[\alpha] = \frac{[\phi]}{[\sigma]}$ મળે છે.
$[\phi] = [\beta \lambda]$ પરથી,$[\beta] = \frac{[\phi]}{[\lambda]}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ ધ્યાનમાં લો: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[\phi]/[\sigma]}{[\phi]/[\lambda]} = \frac{[\lambda]}{[\sigma]}$.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ના પરિમાણ $[Q/L]$ છે અને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ના પરિમાણ $[Q/L^2]$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[Q/L]}{[Q/L^2]} = \frac{L^2}{L} = [L]$.
પરિમાણ $[L]$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$ લંબાઈ દર્શાવે છે,જે સ્થાનાંતરનો એકમ છે.

(B) સિલ્વર કરેલા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{f_L} - \frac{1}{f_m}$.
અહીં,$f_m = -\frac{|R_2|}{2}$ (કારણ કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે).
પ્રવાહીમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_L} = \left(\frac{\mu_2}{\mu_1} - 1\right) \left(\frac{1}{|R_1|} + \frac{1}{|R_2|}\right) = \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right)$ છે.
આ કિંમતોને સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f_{eq}} = 2 \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right) + \frac{2}{|R_2|}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2(\mu_2 - \mu_1)(|R_1| + |R_2|) + 2\mu_1 |R_1|}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_1| - \mu_1 |R_2| + \mu_1 |R_1|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|}$.
તેથી,$f_{eq} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}$.
વસ્તુના સ્થાને જ વાસ્તવિક અને ઉલટું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી પડે,જે $u = 2|f_{eq}|$ અંતરે હોય છે.
$u = 2 \cdot \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|}$.
આ જવાબ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 \cos(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}) \hat{n}_E$ છે,જ્યાં $\hat{n}_E = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j}}{5}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
તરંગ સદિશ $\vec{k} = 5 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 4\hat{j}) = 1.5 \times 10^{-2} \hat{i} + 2 \times 10^{-2} \hat{j}$ છે.
પ્રસરણની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{k} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{n}_B = \hat{k} \times \hat{n}_E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\hat{n}_B = \left( \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} \right) \times \left( \frac{4\hat{i} - 3\hat{j}}{5} \right) = \frac{1}{25} [3\hat{i} \times (-3\hat{j}) + 4\hat{j} \times 4\hat{i}] = \frac{1}{25} [-9\hat{k} - 16\hat{k}] = -\frac{25}{25} \hat{k} = -\hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{57}{3 \times 10^8}$ છે.
આમ,$\overrightarrow{B} = -\frac{57}{3 \times 10^8} \cos \left[7.5 \times 10^6 t - 5 \times 10^{-3}(3 x + 4 y)\right] \hat{k}$.

(A) સર્કિટ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$\varepsilon - L \frac{dI}{dt} - IR = 0$
અહીં,$\varepsilon = 12 \text{ V}$,$L = 3 \text{ H}$,અને $R = 12 \Omega$ છે.
જેમ કે સ્લાઇડિંગ કોન્ટેક્ટને બહારની તરફ ખેંચવામાં આવે છે,અવરોધ $R$ વધે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ ઘટે છે. તેથી,પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = -8 \text{ A/s}$ થશે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$12 - 3 \times (-8) - I \times 12 = 0$
$12 + 24 - 12I = 0$
$36 = 12I$
$I = 3 \text{ A}$

(D) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ જે $r$ અંતરે રહેલા છે,તેમની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
આપેલ છે:
$q_1 = 7 \ \mu C = 7 \times 10^{-6} \ C$
$q_2 = -4 \ \mu C = -4 \times 10^{-6} \ C$
યામ $(-7 \ cm, 0, 0)$ અને $(7 \ cm, 0, 0)$ છે.
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$:
$r = \sqrt{(7 - (-7))^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} \ cm = 14 \ cm = 0.14 \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ લેતા:
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (7 \times 10^{-6}) \times (-4 \times 10^{-6})}{0.14}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (-28 \times 10^{-12})}{0.14}$
$U = \frac{-252 \times 10^{-3}}{0.14} = \frac{-0.252}{0.14} = -1.8 \ J$

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_{min}}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{min}$ એ પ્રિઝમના કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી આપણે સૂત્રમાં $\delta_{min} = A$ મૂકીએ.
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,એટલે કે $A = 60^{\circ}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\text{max}} = E - \phi$
અહીં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 2 \text{ V}$ હોવાથી, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\text{max}} = e V_s = 2 \text{ eV}$ થાય.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.14 \text{ eV}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \text{ eV} = E - 2.14 \text{ eV}$
$E = 2 + 2.14 = 4.14 \text{ eV}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = 4.14 \text{ eV}$ અને $hc = 1242 \text{ eV nm}$ મૂકતા:
$4.14 = \frac{1242}{\lambda}$
$\lambda = \frac{1242}{4.14} \text{ nm} = 300 \text{ nm}$.

(D) $1$. શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $(\mu_0)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ પરથી,$[\mu_0] = [\frac{B \cdot r}{I}] = [\frac{(M T^{-2} A^{-1}) \cdot L}{A}] = [M L T^{-2} A^{-2}]$. તેથી,$(A)-(III)$.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$: $F = qvB$ પરથી,$[B] = [\frac{F}{qv}] = [\frac{M L T^{-2}}{A T \cdot L T^{-1}}] = [M T^{-2} A^{-1}]$. તેથી,$(B)-(II)$.
$3$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$: $M = I \cdot A$,જ્યાં $I$ પ્રવાહ છે અને $A$ ક્ષેત્રફળ છે. તેથી,$[M] = [A \cdot L^2] = [L^2 A]$. તેથી,$(C)-(IV)$.
$4$. ટોર્સનલ અચળાંક $(c)$: $\tau = c \theta$ પરથી,જ્યાં $\tau$ ટોર્ક છે અને $\theta$ પરિમાણરહિત ખૂણો છે,$[c] = [\tau] = [M L^2 T^{-2}]$. તેથી,$(D)-(I)$.

(A) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times (2a)$ છે. અહીં,$q = 4 \times 10^{-6} \ C$ અને અંતર $2a = 18 \ cm = 0.18 \ m$ છે.
તેથી,$p = (4 \times 10^{-6} \ C) \times (0.18 \ m) = 7.2 \times 10^{-7} \ Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલને $\theta_1 = 0^{\circ}$ (સંતુલન) થી $\theta_2 = 180^{\circ}$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = (-pE \cos 180^{\circ}) - (-pE \cos 0^{\circ})$ છે.
$W = pE - (-pE) = 2pE$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 2 \times (7.2 \times 10^{-7} \ Cm) \times (10^4 \ NC^{-1})$.
$W = 14.4 \times 10^{-3} \ J = 14.4 \ mJ$.

(C) ગેલવેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે શંટ અવરોધ $r_s$ માટેની શરત સમાંતર પરિપથના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I_g R_g = (I - I_g) r_s$.
આપેલ છે:
ગેલવેનોમીટરનો અવરોધ $R_g = 30 \ \Omega$
પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $I_g = 20 \ \text{mA} = 20 \times 10^{-3} \ \text{A} = 0.02 \ \text{A}$
માપવા માટેનો મહત્તમ પ્રવાહ $I = 3 \ \text{A}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.02 \times 30 = (3 - 0.02) \times r_s$
$0.6 = 2.98 \times r_s$
$r_s = \frac{0.6}{2.98} \ \Omega$
આપણને આપેલ છે કે $r_s = \frac{30}{X} \ \Omega$. તેથી:
$\frac{30}{X} = \frac{0.6}{2.98}$
$X = \frac{30 \times 2.98}{0.6}$
$X = 50 \times 2.98 = 149$.
આમ,$X$ નું મૂલ્ય $149$ છે.

(C) તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $I \propto w^2$. ધારો કે $I_1$ અને $I_2$ એ $d$ અને $xd$ પહોળાઈ ધરાવતી બે સ્લિટમાંથી મળતી તીવ્રતા છે.
આમ,$\sqrt{I_1} \propto d$ અને $\sqrt{I_2} \propto xd$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \frac{9}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
સમપ્રમાણતાના મૂલ્યો મૂકતા,$\frac{xd + d}{xd - d} = \frac{3}{2}$.
$\frac{d(x + 1)}{d(x - 1)} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(x + 1) = 3(x - 1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + 2 = 3x - 3$ થાય છે.
તેથી,$x = 5$.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે $30$ થી $170$ ની વચ્ચે દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા આશરે અચળ (ન્યુક્લિયોન દીઠ આશરે $8 \text{ MeV}$) રહે છે. આનું કારણ એ છે કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા અંતરનું છે અને તે સંતૃપ્ત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ન્યુક્લિયોન ફક્ત તેના નજીકના પડોશીઓ સાથે જ આંતરક્રિયા કરે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે. કારણ $(R)$ જણાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ લાંબા અંતરનું છે,જે ખોટું છે; ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા અંતરનું બળ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.