JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(p+2)x+(2p+9)=0$ ના બીજ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (p+2)^2 - 4(2p+9) \geq 0$
$p^2 + 4p + 4 - 8p - 36 \geq 0$
$p^2 - 4p - 32 \geq 0$
$(p-8)(p+4) \geq 0$
આથી $p \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$.
$2$. બીજનો સરવાળો ઋણ હોવો જોઈએ:
સરવાળો $= -\frac{b}{a} = p+2 < 0 \implies p < -2$.
$3$. બીજનો ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ:
ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = 2p+9 > 0 \implies p > -\frac{9}{2}$.
આ શરતોને જોડતા: $p \in (-\frac{9}{2}, -4]$.
તેથી,$\alpha = -\frac{9}{2}$ અને $\beta = -4$.
આપણે $\beta - 2\alpha = -4 - 2(-\frac{9}{2}) = -4 + 9 = 5$ મેળવીએ છીએ.

(D) $1$. $3y-x=2$ અને $x+y=2$ ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(1, 1)$ મળે છે.
$2$. $B$ અને $C$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી $(y=0)$,$AB$ અને $AC$ ના સમીકરણોમાં $y=0$ મૂકતા $B = (-2, 0)$ અને $C = (2, 0)$ મળે છે.
$3$. $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $x=1$ છે.
$4$. $B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $y=x+2$ છે.
$5$. લંબકેન્દ્ર $P$ એ $x=1$ અને $y=x+2$ નું છેદબિંદુ છે,જે $(1, 3)$ મળે છે.
$6$. $\triangle PBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

(C) ધારો કે નાભિઓ $F_1(-ae, 0)$ અને $F_2(ae, 0)$ છે. આપેલ છે કે $F_1 = P(-3, 0)$,તેથી $ae = 3$.
લેટસ રેક્ટમ $F_2(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના અંતિમ બિંદુઓ $L_1(ae, b^2/a)$ અને $L_2(ae, -b^2/a)$ છે.
ખૂણો $\angle L_1 P L_2 = 90^\circ$. ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ખૂણો $\angle L_1 P F_2 = 45^\circ$.
$\triangle L_1 P F_2$ માં,$\tan 45^\circ = \frac{L_1 F_2}{P F_2} = \frac{b^2/a}{2ae} = 1$.
આમ,$b^2 = 2a(ae) = 2a(3) = 6a$.
હાયપરબોલાના ગુણધર્મ $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $6a = 9 - a^2$ મળે છે,તેથી $a^2 + 6a - 9 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = -3 \pm 3\sqrt{2}$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 3\sqrt{2} - 3$.
પછી $a^2 = 27 - 18\sqrt{2}$ અને $b^2 = 18\sqrt{2} - 18$.
$a^2b^2 = (27 - 18\sqrt{2})(18\sqrt{2} - 18) = 810\sqrt{2} - 1134$.
$\alpha\sqrt{2} - \beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 810$ અને $\beta = 1134$.
તેથી,$\alpha + \beta = 810 + 1134 = 1944$.

(A) $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના $r$ ઘટકો ધરાવતા એવા ઉપગણોની સંખ્યા જેમાં કોઈ પણ બે ઘટકો ક્રમિક ન હોય તે સૂત્ર $\binom{n-r+1}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=5$ માટે,દરેક શક્ય કદ $r$ માટે આવા ઉપગણોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
- $r=0$ (ખાલી ગણ) માટે: $\binom{5-0+1}{0} = \binom{6}{0} = 1$.
- $r=1$ માટે: $\binom{5-1+1}{1} = \binom{5}{1} = 5$.
- $r=2$ માટે: $\binom{5-2+1}{2} = \binom{4}{2} = 6$.
- $r=3$ માટે: $\binom{5-3+1}{3} = \binom{3}{3} = 1$.
કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $n(S_5) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13$.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: y = x + 1$,$L_2: y = 4x - 8$,અને $L_3: y = mx + c$ છે. લંબકેન્દ્ર $H(3, -1)$ છે.
પ્રથમ,$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલીને શિરોબિંદુ $P$ શોધો: $x + 1 = 4x - 8$ $\Rightarrow 3x = 9$ $\Rightarrow x = 3$. તેથી $y = 4$. એટલે કે $P = (3, 4)$.
$P$ માંથી $QR$ પરનો વેધ $H(3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. $P$ અને $H$ બંનેનો $x$-યામ $3$ હોવાથી,વેધ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ છે. તેથી,$QR$ સમક્ષિતિજ રેખા હોવી જોઈએ,એટલે કે $m = 0$.
રેખા $QR$ એ $y = c$ છે. $H(3, -1)$ લંબકેન્દ્ર હોવાથી,રેખા $QH$ એ $PR$ ને લંબ છે. $PR$ (રેખા $L_2$) નો ઢાળ $4$ છે,તેથી $QH$ નો ઢાળ $-1/4$ થાય.
રેખા $QH$ એ $H(3, -1)$ અને $Q$ માંથી પસાર થાય છે. $Q$ એ $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ છે. $y = x + 1$ અને $y = c \Rightarrow x = c - 1$. તેથી $Q = (c - 1, c)$.
$QH$ નો ઢાળ $= \frac{c - (-1)}{(c - 1) - 3} = \frac{c + 1}{c - 4} = -\frac{1}{4}$.
$4c + 4 = -c + 4$ $\Rightarrow 5c = 0$ $\Rightarrow c = 0$.
તેથી,$m - c = 0 - 0 = 0$.

(A) ગણ $A$ માટે,આપણી પાસે $|\alpha-1| \leq 4$ અને $|\beta-5| \leq 6$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-4 \leq \alpha-1 \leq 4$,તેથી $-3 \leq \alpha \leq 5$.
અને $-6 \leq \beta-5 \leq 6$,તેથી $-1 \leq \beta \leq 11$.
આમ,$A$ એ $\alpha \in [-3, 5]$ અને $\beta \in [-1, 11]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
ગણ $B$ માટે,આપણી પાસે $16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(\alpha-2)^2}{9} + \frac{(\beta-6)^2}{16} \leq 1$ મળે છે.
આ $(2, 6)$ પર કેન્દ્રિત ઉપવલય છે,જેમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $b=4$ ($\beta$ ની દિશામાં) અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $a=3$ ($\alpha$ ની દિશામાં) છે.
$B$ માટે $\alpha$ નો વિસ્તાર $[2-3, 2+3] = [-1, 5]$ છે,જે $[-3, 5]$ માં સમાયેલ છે.
$B$ માટે $\beta$ નો વિસ્તાર $[6-4, 6+4] = [2, 10]$ છે,જે $[-1, 11]$ માં સમાયેલ છે.
આમ,સમગ્ર ઉપવલયાકાર પ્રદેશ $B$ એ લંબચોરસ પ્રદેશ $A$ ની અંદર આવેલો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $B \subset A$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} + \cos \frac{5 \theta}{2} = 2 \cos^3 \frac{5 \theta}{2}$
નિત્યસમ $2 \cos^3 A - \cos A = \cos 3A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2}$
આ સમીકરણનો ઉકેલ $\theta = \frac{n \pi}{3}$ અને $\theta = \frac{2n \pi}{9}$ મળે છે.
અંતરાલ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં ઉકેલો $\theta \in \{-\frac{4 \pi}{9}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2 \pi}{9}, 0, \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{9}\}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $7$ છે.

(C) આપેલ છે $a_6 = a + 5d = 7$ $(i)$
આપેલ છે $S_7 = \frac{7}{2}(2a + 6d) = 7 \Rightarrow a + 3d = 1$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(a + 5d) - (a + 3d) = 7 - 1$ $\Rightarrow 2d = 6$ $\Rightarrow d = 3$.
$d = 3$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $a + 3(3) = 1 \Rightarrow a = -8$.
આપેલ છે $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = 700$.
$a = -8$ અને $d = 3$ મૂકતા: $\frac{n}{2}[2(-8) + (n-1)3] = 700$.
$\frac{n}{2}[-16 + 3n - 3] = 700$ $\Rightarrow n(3n - 19) = 1400$ $\Rightarrow 3n^2 - 19n - 1400 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3n + 56)(n - 25) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 25$.
આમ,$a_n = a_{25} = a + 24d = -8 + 24(3) = -8 + 72 = 64$.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right) + \operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Re}(\bar{w})$, તેથી
$\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=\operatorname{Re}\left(\overline{\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)$
આમ, $2\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=2 \Rightarrow \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1$
ધારો કે $z=x+iy$. તો
$\frac{z-1}{2z+i}=\frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)}=\frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{4x^2+(2y+1)^2}$
વાસ્તવિક ભાગ: $\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{4x^2+(2y+1)^2}=1$
$2x^2-2x+2y^2+y=4x^2+4y^2+4y+1$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1=0$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0$
વર્તુળના પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,
કેન્દ્ર $(a,b)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right)$
$r^2=a^2+b^2-c=\frac{1}{4}+\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$
તેથી, $\frac{15ab}{r^2}=15\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{16}{5}=18$

(B) ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 10$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 5a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવા માટે,આપણે $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
વિકલન કરતા,$f'(t) = 2t + 1 = 0$,તેથી $t = -\frac{1}{2}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{3 - 6 + 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ છે.
આમ,$e = \frac{2}{3}$,તેથી $e^2 = \frac{4}{9}$.
ઉપવલય માટે,$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,જે આપે છે $\frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
$b^2 = 5a$ મૂકતા,આપણને $\frac{5a}{a^2} = \frac{5}{9}$ મળે છે,તેથી $\frac{5}{a} = \frac{5}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 9$.
તેથી $b^2 = 5(9) = 45$.
તેથી,$a^2 + b^2 = 9^2 + 45 = 81 + 45 = 126$.

(D) બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $p = {}^{n}C_{3}$ છે.
બનાવી શકાતા ચતુષ્કોણની સંખ્યા $q = {}^{n}C_{4}$ છે.
આપેલ છે કે $p+q = 126$,તેથી ${}^{n}C_{3} + {}^{n}C_{4} = 126$.
નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${}^{n+1}C_{4} = 126$ મળે છે.
કારણ કે ${}^{9}C_{4} = 126$,તેથી $n+1 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 8$. તેથી ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપણે સમીકરણ $x|x-2|+3|x-3|+1=0$ ને ત્રણ કિસ્સાઓમાં તપાસીએ:
કિસ્સો $(I): x < 2$
સમીકરણ $x(2-x) + 3(3-x) + 1 = 0$ બને છે
$-x^2 + 2x + 9 - 3x + 1 = 0$
$-x^2 - x + 10 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 10 = 0$
ઉકેલો $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$ મળે છે.
અહીં $x = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$ એ $x < 2$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $(II): 2 \leq x < 3$
સમીકરણ $x^2 - 5x + 10 = 0$ બને છે,જેનો વિવેચક $D < 0$ હોવાથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $(III): x \geq 3$
સમીકરણ $x^2 + x - 8 = 0$ બને છે,જેના ઉકેલો $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$ મળે છે,જે $x \geq 3$ ની શરતનું પાલન કરતા નથી.
આમ,કુલ $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ માટે,$b < 5$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$e_1^2 = 1 - \frac{b^2}{25}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{b^2}{16}$.
આપેલ છે કે $e_1 e_2 = 1$,તેથી $e_1^2 e_2^2 = 1$.
$(1 - \frac{b^2}{25})(1 + \frac{b^2}{16}) = 1$.
$1 + \frac{b^2}{16} - \frac{b^2}{25} - \frac{b^4}{400} = 1$.
$\frac{9b^2}{400} = \frac{b^4}{400} \Rightarrow b^2 = 9$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(0, \pm ae_1) = (0, \pm \sqrt{25-9}) = (0, \pm 4)$ છે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \sqrt{16+9}, 0) = (\pm 5, 0)$ છે.
$(\pm 5, 0)$ અને $(0, \pm 4)$ માંથી પસાર થતો ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$.
આપેલ છે કે $ar + ar^3 + ar^5 = 21 \Rightarrow ar(1 + r^2 + r^4) = 21$ $(1)$.
આપેલ છે કે $ar^7 + ar^9 + ar^{11} = 15309 \Rightarrow ar^7(1 + r^2 + r^4) = 15309$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,$\frac{ar^7(1 + r^2 + r^4)}{ar(1 + r^2 + r^4)} = \frac{15309}{21}$.
$r^6 = 729$ $\Rightarrow r^6 = 3^6$ $\Rightarrow r = 3$ (કારણ કે પદો ધન છે).
$r = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $a(3)(1 + 9 + 81) = 21$ $\Rightarrow 3a(91) = 21$ $\Rightarrow a = \frac{21}{273} = \frac{1}{13}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
$n = 9$ માટે,$S_9 = \frac{\frac{1}{13}(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{19683 - 1}{13 \times 2} = \frac{19682}{26} = 757$.

(C) ધારો કે $y = (t+2)^{\frac{1}{42}}$. જેમ $t \rightarrow -1^{+}$,તેમ $y \rightarrow 1^{+}$.
તેથી $(t+2)^{\frac{1}{7}} = y^6$,$(t+2)^{\frac{1}{6}} = y^7$,અને $(t+2)^{\frac{1}{21}} = y^2$.
સમીકરણ $(y^6-1)x^2 + (y^7-1)x + (y^2-1) = 0$ બને છે.
$(y-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{y^6-1}{y-1}x^2 + \frac{y^7-1}{y-1}x + \frac{y^2-1}{y-1} = 0$ મળે છે.
$y \rightarrow 1$ લેતા,આપણને $6x^2 + 7x + 2 = 0$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $a+b = -\frac{7}{6}$.
આમ,$72(a+b)^2 = 72 \times \left(-\frac{7}{6}\right)^2 = 72 \times \frac{49}{36} = 2 \times 49 = 98$.

(D) આપેલ નાભિ $S = (-5, 0)$ અને નિયામિકા $x = -9/5$ છે. નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$ae = 5$ અને $\frac{a}{e} = \frac{9}{5}$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા: $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$.
તેથી $e = 5/3$. $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$b^2 = 9(\frac{25}{9} - 1) = 16$,તેથી $b = 4$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
અતિવલય પરના બિંદુ $(\alpha, 2\sqrt{5})$ માટે: $\frac{\alpha^2}{9} - \frac{20}{16} = 1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow \alpha^2 = \frac{81}{4}$.
બિંદુ $P(x, y)$ ના નાભિ અંતરો $r_1 = |ex - a|$ અને $r_2 = |ex + a|$ છે.
ગુણાકાર $p = |e^2x^2 - a^2| = |\frac{25}{9} \cdot \frac{81}{4} - 9| = |\frac{225}{4} - 9| = |\frac{225 - 36}{4}| = \frac{189}{4}$.
આમ,$4p = 4 \cdot \frac{189}{4} = 189$.

(A) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_r = (-1)^{r-4} (r-1)(r-2) {}^{20}C_r$ છે,જ્યાં $r = 4$ થી $20$.
$(1-x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r (-x)^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા:
$\frac{d^2}{dx^2} (1-x)^{20} = 380(1-x)^{18}$.
$x=1$ મુકતા,સરવાળો $0$ થાય છે.
આથી,શ્રેણીનો સરવાળો $34$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots = \frac{\pi^4}{90}$.
$\beta = \frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}+\ldots = \frac{1}{2^4} \left( \frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots \right) = \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90}$.
$\alpha = \frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \right) - \beta = \frac{\pi^4}{90} - \frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90}$.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90}}{\frac{1}{16} \times \frac{\pi^4}{90}} = 15$.

(B) $|x-2|^2+|x-2|-2=0$ સમીકરણ માટે:
ધારો કે $t = |x-2|$,તેથી $t^2+t-2=0$.
$(t+2)(t-1)=0 \Rightarrow t=1$ (કારણ કે $t \geq 0$).
$|x-2|=1 \Rightarrow x-2=1$ અથવા $x-2=-1$.
$x=3, 1$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $= 3^2+1^2 = 9+1 = 10$.
$x^2-2|x-3|-5=0$ સમીકરણ માટે:
કિસ્સો-$I$: $x \geq 3$,તો $x^2-2(x-3)-5=0$ $\Rightarrow x^2-2x+1=0$ $\Rightarrow (x-1)^2=0$ $\Rightarrow x=1$.
$1 < 3$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય નથી.
કિસ્સો-$II$: $x < 3$,તો $x^2-2(-(x-3))-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-6-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-11=0$.
બીજ $\alpha, \beta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-11)}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}$.
બંને બીજ $3$ કરતા નાના છે,તેથી બંને માન્ય છે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $= (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-2)^2 - 2(-11) = 4 + 22 = 26$.
કુલ સરવાળો $= 10 + 26 = 36$.

(A) વિકર્ણ $OB$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = -\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = -(2+\sqrt{3}) = \tan(105^{\circ})$ છે.
વિકર્ણ $OB$ એ $\angle AOC = 90^{\circ}$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$OA$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\alpha = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
તેથી,શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos 60^{\circ}, a \sin 60^{\circ}) = (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2})$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ બીજા વિકર્ણ $(\sqrt{3}-1)x - (\sqrt{3}+1)y + 8\sqrt{3} = 0$ પર આવેલું છે.
$A$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}-1)(\frac{a}{2}) - (\sqrt{3}+1)(\frac{\sqrt{3}a}{2}) + 8\sqrt{3} = 0$
$a(\frac{\sqrt{3}-1 - 3 - \sqrt{3}}{2}) = -8\sqrt{3}$
$-2a = -8\sqrt{3} \implies a = 4\sqrt{3}$.
તેથી,$a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-11)} = 4$ છે.
ઉપવલય $3x^2 + py^2 = 4$ એ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3(1)^2 + p(2)^2 = 4$,જે આપણને $p = \frac{1}{4}$ આપે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4/3} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = \frac{4}{3}$ અને $b^2 = 16$ છે. આ શિરોલંબ ઉપવલય છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}}$ છે.
નાભિ અંતરો $b \pm ey_0$ છે,એટલે કે $4 \pm \sqrt{\frac{11}{12}} \times 2$.
તેથી $f_1 f_2 = 16 - \frac{11}{3} = \frac{37}{3}$.
અંતે,$6f_1f_2 - r = 6(\frac{37}{3}) - 4 = 70$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક રેખા $PQ$ છે જેનો ઢાળ $\tan \alpha$ છે. ઘડિયાળની દિશામાં $\frac{\alpha}{2}$ ખૂણે ફેરવ્યા પછી,નવી રેખા $PR$ નો નમનકોણ $\alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$ થશે.
નવી રેખા $PR$ નો ઢાળ $2-\sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $\tan(\frac{\alpha}{2}) = 2-\sqrt{3} = \tan 15^{\circ}$.
આમ,$\frac{\alpha}{2} = 15^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 30^{\circ}$.
બિંદુ $P(a, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $PR$ નું સમીકરણ $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2-\sqrt{3})x - y - a(2-\sqrt{3}) = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{|-a(2-\sqrt{3})|}{\sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{4 + 3 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$.
તેથી,$|a| = \sqrt{3}+1$.
$a^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$.
હવે,$3a^2 \tan^2 \alpha - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \tan^2 30^{\circ} - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{3} - 2\sqrt{3} = 4+2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4$.

(D) $12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3$ છે.
$5$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમાંથી પસંદ કરેલા $3$ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
આ $5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_3$ છે.
તેથી,કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $^{12}C_3 - ^{5}C_3$.
$^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
કુલ ત્રિકોણ = $220 - 10 = 210$.

(A) આપેલ સમીકરણ $1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0$ છે।
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(\cos \theta + 3i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$\frac{(2 \cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta + 3i \sin \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{2 \cos^2 \theta + 6i \cos \theta \sin \theta + i \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{(2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta \cos \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$ છે।
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + 10 \left(\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}\right) = 0$.
$\frac{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 20 \cos^2 \theta - 30 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = 0$.
$21 \cos^2 \theta - 21 \sin^2 \theta = 0 \implies 21 \cos(2\theta) = 0$.
તેથી, $\cos(2\theta) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.
તેથી, $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
હવે $\sum \theta^2 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{5\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{7\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}(1 + 9 + 25 + 49) = \frac{84 \pi^2}{16} = \frac{21 \pi^2}{4}$.

(D) વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{1016}C_{r} (5^{\frac{1}{2}})^{1016-r} (7^{\frac{1}{8}})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$5$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$7$ નો ઘાતાંક $\frac{r}{8}$ છે,તેથી $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$5$ નો ઘાતાંક $\frac{1016-r}{2} = 508 - \frac{r}{2}$ છે. આ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી તે આપોઆપ બેકી સંખ્યા છે.
આમ,$r \in \{0, 8, 16, \dots, 1016\}$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 8$,અને છેલ્લું પદ $l = 1016$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$1016 = 0 + (n-1)8$ મળે છે.
$n-1 = \frac{1016}{8} = 127$.
$n = 128$.
તેથી,કુલ $128$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(D) For Statement $I$:
Using Taylor series expansions:
$\tan ^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$
$\log _e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} [\ln(1+x) - \ln(1-x)] = \frac{1}{2} [(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5})] = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots$
Substituting these into the limit:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}) + (x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}) - 2x}{x^5} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x + \frac{2x^5}{5} - 2x}{x^5} = \frac{2}{5}$.
Thus,Statement $I$ is true.
For Statement $II$:
Let $L = \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{2}{1-x}}$. This is a $1^\infty$ form.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 1} (x-1) \cdot \frac{2}{1-x}} = e^{\lim _{x \rightarrow 1} -2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
Thus,Statement $II$ is true.

(D) આપણે $(1919)^{1919}$ ના છેલ્લા બે અંકો શોધવાની જરૂર છે.
આ $(1919)^{1919} \pmod{100}$ શોધવા સમાન છે.
$(1919)^{1919} \equiv (19)^{1919} \pmod{100}$.
$19^2 = 361 \equiv 61 \pmod{100}$ હોવાથી,$19^4 = (61)^2 = 3721 \equiv 21 \pmod{100}$.
$19^8 = (21)^2 = 441 \equiv 41 \pmod{100}$.
$19^{10} = 19^8 \times 19^2 = 41 \times 61 = 2501 \equiv 01 \pmod{100}$.
આમ,$(19)^{10} \equiv 1 \pmod{100}$.
હવે,$19^{1919} = (19^{10})^{191} \times 19^9 \equiv 1^{191} \times 19^9 \pmod{100}$.
$19^9 = 19^8 \times 19 = 41 \times 19 = 779 \equiv 79 \pmod{100}$.
છેલ્લા બે અંકો $79$ છે.
છેલ્લા બે અંકોનો ગુણાકાર $7 \times 9 = 63$ છે.

(A) $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર સ્પર્શતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(4 - a)^2 + (6 - r)^2 = r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$16 - 8a + a^2 + 36 - 12r + r^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 8a - 12r + 52 = 0$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.
પરવલય $y^2 = 9x$ નો $(4, 6)$ આગળનો સ્પર્શક $y(6) = \frac{9}{2}(x + 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $12y = 9x + 36$ અથવા $3x - 4y + 12 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ આ રેખાને $(4, 6)$ આગળ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(a, r)$ થી રેખા $3x - 4y + 12 = 0$ નું અંતર $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|3a - 4r + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r$,જે $|3a - 4r + 12| = 5r$ આપે છે.
આનો અર્થ $3a - 4r + 12 = 5r$ અથવા $3a - 4r + 12 = -5r$ થાય.
કિસ્સો $1$: $3a - 9r + 12 = 0 \Rightarrow a = 3r - 4$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $(3r - 4)^2 - 8(3r - 4) - 12r + 52 = 0$.
$9r^2 - 24r + 16 - 24r + 32 - 12r + 52 = 0$ $\Rightarrow 9r^2 - 60r + 100 = 0$ $\Rightarrow (3r - 10)^2 = 0$ $\Rightarrow r = \frac{10}{3}$.
કિસ્સો $2$: $3a + r + 12 = 0 \Rightarrow a = \frac{-r - 12}{3}$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $(\frac{-r - 12}{3})^2 - 8(\frac{-r - 12}{3}) - 12r + 52 = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $(r + 12)^2 + 24(r + 12) - 108r + 468 = 0$.
$r^2 + 24r + 144 + 24r + 288 - 108r + 468 = 0$ $\Rightarrow r^2 - 60r + 900 = 0$ $\Rightarrow (r - 30)^2 = 0$ $\Rightarrow r = 30$.
$a < 0$ હોવાથી,$r = 30$ માટે,$a = \frac{-30 - 12}{3} = -14 < 0$,જે માન્ય છે. તેથી,$r = 30$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A(-2, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = m(x + 2)$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = x - 2$ માં $x = \frac{y}{m} - 2$ મૂકતા,આપણને $y^2 = \frac{y}{m} - 2 - 2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 - \frac{y}{m} + 4 = 0$ અથવા $my^2 - y + 4m = 0$ થાય છે.
રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$(-1)^2 - 4(m)(4m) = 0 \implies 1 - 16m^2 = 0 \implies m^2 = \frac{1}{16} \implies m = \frac{1}{4}$ (કારણ કે $B$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $m > 0$).
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{1}{4}(x + 2)$ અથવા $x = 4y - 2$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $B$ શોધવા માટે $m = \frac{1}{4}$ ને $y^2 - 4y + 4 = 0$ માં મૂકતા,$(y - 2)^2 = 0$ મળે છે,તેથી $y = 2$. ત્યારબાદ $x = 4(2) - 2 = 6$. આમ,$B = (6, 2)$.
રેખા $AB$,પરવલય $P$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y = 0$ થી $y = 2$ સુધી સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{2} (x_{\text{line}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{0}^{2} ((4y - 2) - (y^2 + 2)) dy = \int_{0}^{2} (4y - 4 - y^2) dy$.
ક્ષેત્રફળ $= [2y^2 - 4y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{2} = (2(4) - 4(2) - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - 8 - \frac{8}{3} = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે $A^n = A^{n-2} + A^2 - I$. $n=50$ માટે,આપણને $A^{50} = A^{48} + A^2 - I$ મળે છે.
આ પુનરાવર્તિત સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$A^{50} = A^{48} + (A^2 - I) = A^{46} + 2(A^2 - I) = A^{44} + 3(A^2 - I) = \dots = A^2 + 24(A^2 - I) = 25A^2 - 24I$ મળે છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{50} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} - 24 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25-24 & 0 & 0 \\ 25 & 25-24 & 0 \\ 25 & 0 & 25-24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0 \\ 25 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તમામ ઘટકોનો સરવાળો $1 + 0 + 0 + 25 + 1 + 0 + 25 + 0 + 1 = 53$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(7 x^4 \cot y-e^x \operatorname{cosec} y\right) \frac{d x}{d y}=x^5$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d y}{d x} = \frac{7 \cot y}{x} - \frac{e^x \operatorname{cosec} y}{x^5}$.
$\sin y$ વડે ગુણતા: $\sin y \frac{d y}{d x} - \frac{7 \cos y}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$.
ધારો કે $t = \cos y$,તો $\frac{d t}{d x} = -\sin y \frac{d y}{d x}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{d t}{d x} - \frac{7 t}{x} = -\frac{e^x}{x^5}$,એટલે કે $\frac{d t}{d x} + \frac{7 t}{x} = \frac{e^x}{x^5}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = x^7$ છે.
ઉકેલ: $t \cdot x^7 = \int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$.
$x=1, y=\frac{\pi}{2}$ મૂકતા,$0 = e + C \implies C = -e$.
તેથી,$\cos y = \frac{e^x(x^2 - 2x + 2) - e}{x^7}$.
$x=2$ માટે,$\cos y = \frac{e^2(4 - 4 + 2) - e}{128} = \frac{2e^2 - e}{128}$.

(D) આપેલ છે $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 5$. $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,$f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x) = \frac{1}{x^2} + 5$ મળે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $f(x) = \frac{2x^2}{3} - \frac{1}{3x^2} + \frac{5}{3}$ મળે.
$\alpha = \int_1^2 \left(\frac{2x^2}{3} - \frac{1}{3x^2} + \frac{5}{3}\right) dx$ નું સંકલન કરતા $\alpha = \frac{19}{6}$ મળે.
તે જ રીતે $g(x)$ માટે ઉકેલતા $g(x) = -\frac{2x}{5} - \frac{3}{5x}$ મળે.
$\beta = \int_1^2 (-\frac{2x}{5} - \frac{3}{5x}) dx$ નું સંકલન કરતા $\beta = -\frac{3}{5} - \frac{3}{5}\ln 2$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$9\alpha + \beta$ ની કિંમત $11$ થાય છે.

(A) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \langle 1, 0, -1 \rangle$ અને $\vec{v_2} = \langle 3, 4, 5 \rangle$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} = \frac{|(1)(3) + (0)(4) + (-1)(5)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|3 + 0 - 5|}{\sqrt{2} \sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{50}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$\cos \theta = \frac{1}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$ મળે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$AB = AC = \sqrt{15}$ આપેલ છે,તેથી $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{3 \sqrt{24}}{2}$ મળે.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\frac{3 \sqrt{24}}{2})^2 = \frac{9 \times 24}{4} = 9 \times 6 = 54$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^9}{(\sqrt{1+x^2}+x)^9} dx = \int (\sqrt{1+x^2}+x)^{19} dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{1+x^2}+x$. તો $\frac{dt}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1 = \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{t}{\sqrt{1+x^2}}$.
તેથી,$dx = \frac{\sqrt{1+x^2}}{t} dt$.
કારણ કે $t = \sqrt{1+x^2}+x$,આપણી પાસે $\sqrt{1+x^2}-x = \frac{1}{t}$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\sqrt{1+x^2} = t + \frac{1}{t} \implies \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^{19} \cdot \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \int (t^{19} + t^{17}) dt$.
$I = \frac{1}{2} (\frac{t^{20}}{20} + \frac{t^{18}}{18}) + C = \frac{t^{19}}{2} (\frac{t}{20} + \frac{1}{18t}) + C = \frac{t^{19}}{360} (9t + \frac{10}{t}) + C$.
કારણ કે $t = \sqrt{1+x^2}+x$ અને $\frac{1}{t} = \sqrt{1+x^2}-x$,આપણી પાસે $9t + \frac{10}{t} = 9(\sqrt{1+x^2}+x) + 10(\sqrt{1+x^2}-x) = 19\sqrt{1+x^2} - x$ છે.
આમ,$I = \frac{1}{360} ((\sqrt{1+x^2}+x)^{19} (19\sqrt{1+x^2}-x)) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$m = 360$ અને $n = 19$.
તેથી,$m+n = 360 + 19 = 379$.

(B) ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું કાર્ડ ફુલ્લી છે,અને $E$ એ ઘટના છે કે બાકીના $51$ કાર્ડમાંથી ખેંચાયેલા $n$ કાર્ડ ફુલ્લી છે.
આપણને $P(S|E) = \frac{11}{50}$ આપેલ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(S|E) = \frac{P(E|S)P(S)}{P(E|S)P(S) + P(E|S^c)P(S^c)}$.
જો ખોવાયેલું કાર્ડ ફુલ્લી $(S)$ હોય,તો $51$ કાર્ડમાં $12$ ફુલ્લી બાકી રહે. $P(E|S) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{51}{n}}$.
જો ખોવાયેલું કાર્ડ ફુલ્લી ન હોય $(S^c)$,તો $51$ કાર્ડમાં $13$ ફુલ્લી બાકી રહે. $P(E|S^c) = \frac{\binom{13}{n}}{\binom{51}{n}}$.
$P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(S^c) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(S|E) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{12}{n} + 3 \cdot \binom{13}{n}} = \frac{11}{50}$.
$\frac{13-n}{52-n} = \frac{11}{50}$ ઉકેલતા,$n = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. સરળતા માટે,ધારો કે $\vec{a} = \vec{0}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,તેથી $\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,તેથી $\vec{c} = -(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + (-\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})}{3} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{3}$ છે.
હવે,$\overrightarrow{AG} = \vec{g} - \vec{a} = \frac{1}{3}(\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})$. તેથી,$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{9}(1^2+2^2+6^2) = \frac{41}{9}$.
$\overrightarrow{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (\frac{1}{3}-2)\hat{i} + (\frac{2}{3}+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \hat{k}$. તેથી,$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{25}{9} + \frac{25}{9} + 1 = \frac{59}{9}$.
$\overrightarrow{CG} = \vec{g} - \vec{c} = (\frac{1}{3}+1)\hat{i} + (\frac{2}{3}-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = \frac{4}{3}\hat{i} - \frac{7}{3}\hat{j} - 3\hat{k}$. તેથી,$|\overrightarrow{CG}|^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} + 9 = \frac{65+81}{9} = \frac{146}{9}$.
અંતે,$6(|\overrightarrow{AG}|^2+|\overrightarrow{BG}|^2+|\overrightarrow{CG}|^2) = 6(\frac{41+59+146}{9}) = 6(\frac{246}{9}) = 6 \times \frac{82}{3} = 2 \times 82 = 164$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z-5}{1}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(0, 0, 5)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4\alpha) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(2\alpha-3) = (3-4\alpha)\hat{i} + 2\hat{j} + (2\alpha-3)\hat{k}$.
સદિશ $\vec{AB} = (0-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-1)(3-4\alpha) + (-2)(2) + (2)(2\alpha-3)|}{\sqrt{(3-4\alpha)^2 + 2^2 + (2\alpha-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$|4\alpha - 3 - 4 + 4\alpha - 6| = |8\alpha - 13|$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{16\alpha^2 - 24\alpha + 9 + 4 + 4\alpha^2 - 12\alpha + 9}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{20\alpha^2 - 36\alpha + 22}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $6(64\alpha^2 - 208\alpha + 169) = 25(20\alpha^2 - 36\alpha + 22)$.
$384\alpha^2 - 1248\alpha + 1014 = 500\alpha^2 - 900\alpha + 550$.
$116\alpha^2 + 348\alpha - 464 = 0$.
$116$ વડે ભાગતા: $\alpha^2 + 3\alpha - 4 = 0$.
બીજનો સરવાળો $\alpha_1 + \alpha_2 = -3$.

(A) $f(x) = x^3 + ax^2 + b \ln|x| + 1$
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + \frac{b}{x}$
$x=-1$ અને $x=2$ ક્રાંતિક બિંદુઓ હોવાથી,$f'(-1) = 0$ અને $f'(2) = 0$.
$f'(-1) = 3 - 2a - b = 0 \implies 2a + b = 3$
$f'(2) = 12 + 4a + \frac{b}{2} = 0 \implies 8a + b = -24$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $6a = -27 \implies a = -4.5$
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $2(-4.5) + b = 3 \implies -9 + b = 3 \implies b = 12$
તેથી,$f(x) = x^3 - 4.5x^2 + 12 \ln|x| + 1$.
અંતરાલ $[-2, -0.5]$ માં,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંત્યબિંદુઓ તપાસીએ.
$f'(x) = 3x^2 - 9x + \frac{12}{x} = \frac{3(x+1)(x-2)^2}{x}$.
$[-2, -0.5]$ માં,$f'(x) = 0$ એ $x = -1$ પર મળે છે.
$f(-1) = -1 - 4.5 + 12 \ln(1) + 1 = -4.5$.
$f(-2) = -8 - 4.5(4) + 12 \ln(2) + 1 = -8 - 18 + 1 + 12(0.7) = -25 + 8.4 = -16.6$.
$f(-0.5) = -0.125 - 4.5(0.25) + 12 \ln(0.5) + 1 = -0.125 - 1.125 + 1 - 12(0.7) = -0.25 - 8.4 = -8.65$.
$M = -4.5$ અને $m = -16.6$.
$|M+m| = |-4.5 - 16.6| = |-21.1| = 21.1$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0$ છે.
તેને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં ગોઠવતા:
$x(x^2 + e^x) \frac{dy}{dx} + e^x(x-2)y = x^3$
$\frac{dy}{dx} + \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} y = \frac{x^2}{x^2 + e^x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{e^x(x-2)}{x(x^2 + e^x)} dx}$.
ધારો કે $u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$. તો $du = \frac{x^2 e^x - e^x(2x)}{x^4} dx = \frac{e^x(x-2)}{x^3} dx$.
તેથી,$I$.$F$. $= e^{\int \frac{1}{u} du} = u = 1 + \frac{e^x}{x^2}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int \frac{x^2}{x^2 + e^x} \cdot (\frac{x^2 + e^x}{x^2}) dx + C$.
$y(1 + \frac{e^x}{x^2}) = \int 1 dx + C = x + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0(1 + e) = 1 + C$,તેથી $C = -1$.
આમ,$y = \frac{x-1}{1 + \frac{e^x}{x^2}}$.
$x = 2$ માટે,$y(2) = \frac{2-1}{1 + \frac{e^2}{4}} = \frac{1}{\frac{4+e^2}{4}} = \frac{4}{4+e^2}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x+3) \sin(\pi-x)}{1+3 \cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{(x+3+\pi-x+3) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi+6) \sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2I = 2(\pi+6) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
$I = (\pi+6) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+3 \cos^2 x} dx$.
ધારો કે $\sqrt{3} \cos x = t$,તેથી $-\sqrt{3} \sin x dx = dt$,એટલે કે $\sin x dx = -\frac{dt}{\sqrt{3}}$.
જ્યારે $x=0, t=\sqrt{3}$ અને જ્યારે $x=\pi/2, t=0$.
$I = (\pi+6) \int_{\sqrt{3}}^0 \frac{-dt/\sqrt{3}}{1+t^2} = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dt}{1+t^2}$.
$I = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} [\tan^{-1} t]_0^{\sqrt{3}} = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} (\tan^{-1} \sqrt{3} - \tan^{-1} 0) = \frac{\pi+6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi(\pi+6)}{3\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે કે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))|=81$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ હોવાથી,અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} M| = |M|^2$.
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))| = (|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|)^2 = ((|\operatorname{adj} A|)^2)^2 = (|\operatorname{adj} A|)^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$.
આમ,$|A|^8 = 81 = 3^4$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 3^{4/8} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$|A|^2 = 3$.
હવે,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = (|\operatorname{adj} A|)^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$.
આપેલ સમીકરણ $(|A|^4)^{\frac{(n-1)^2}{2}} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$ છે.
$|A|^{2(n-1)^2} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2(n^2-2n+1) = 3n^2-5n-4$.
$2n^2-4n+2 = 3n^2-5n-4$.
$n^2-n-6 = 0$.
$(n-3)(n+2) = 0$,તેથી $n=3$ અથવા $n=-2$.
આપણે $\sum_{n \in S} |A|^{n^2+n}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n=3$ માટે,$|A|^{3^2+3} = |A|^{12} = (|A|^2)^6 = 3^6 = 729$.
$n=-2$ માટે,$|A|^{(-2)^2+(-2)} = |A|^{4-2} = |A|^2 = 3$.
સરવાળો $= 729 + 3 = 732$.

(A) વક્રો $y=4-\frac{x^2}{4}$ અને $y=\frac{x-4}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\alpha$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણોને સરખાવીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$4-\frac{x^2}{4} = \frac{x-4}{2}$
$16-x^2 = 2x-8$
$x^2+2x-24 = 0$
$(x+6)(x-4) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x=-6$ અને $x=4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\alpha = \int_{-6}^4 \left\{ \left(4-\frac{x^2}{4}\right) - \left(\frac{x-4}{2}\right) \right\} dx$
$\alpha = \int_{-6}^4 \left( 4 - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + 2 \right) dx = \int_{-6}^4 \left( 6 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\alpha = \left[ 6x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{12} \right]_{-6}^4$
$\alpha = \left( 6(4) - \frac{16}{4} - \frac{64}{12} \right) - \left( 6(-6) - \frac{36}{4} - \frac{-216}{12} \right)$
$\alpha = \left( 24 - 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -36 - 9 + 18 \right)$
$\alpha = \left( 20 - \frac{16}{3} \right) - (-27) = \frac{44}{3} + 27 = \frac{44+81}{3} = \frac{125}{3}$
તેથી,$6 \alpha = 6 \times \frac{125}{3} = 2 \times 125 = 250$.

(B) સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -2 \\ 12 & 3 & -(4+\lambda) \end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(-3(4+\lambda) + 6) - 3(-7(4+\lambda) + 24) + 5(21 - 36) = 0$.
$2(-12 - 3\lambda + 6) - 3(-28 - 7\lambda + 24) + 5(-15) = 0$.
$2(-6 - 3\lambda) - 3(-4 - 7\lambda) - 75 = 0$.
$-12 - 6\lambda + 12 + 21\lambda - 75 = 0 \Rightarrow 15\lambda = 75 \Rightarrow \lambda = 5$.
અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક પણ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\left|\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 5 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 - R_2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 7 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
$1(-27 + 6) - 0 + 7(24 - 3(16-\mu)) = 0$.
$-21 + 7(24 - 48 + 3\mu) = 0 \Rightarrow -21 + 7(3\mu - 24) = 0$.
$-3 + 3\mu - 24 = 0 \Rightarrow 3\mu = 27 \Rightarrow \mu = 9$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5, 9)$ છે. રેખા $4x - 3y = 0$ છે.
ત્રિજ્યા એ $(5, 9)$ થી $4x - 3y = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે: $r = \frac{|4(5) - 3(9)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|20 - 27|}{5} = \frac{7}{5}$.

(D) ધારો કે રેખા $L$ એ $C(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે રેખા $L$ એ રેખા $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ ને બિંદુ $A(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ પર છેદે છે.
ધારો કે રેખા $L$ એ રેખા $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ ને બિંદુ $B(\mu+3, 2\mu+4, \mu)$ પર છેદે છે.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,$AC$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$AC$ ના દિકગુણોત્તરો $(2\lambda+1-1, 3\lambda-1-1, 4\lambda+1-1) = (2\lambda, 3\lambda-2, 4\lambda)$ છે.
$BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(\mu+3-1, 2\mu+4-1, \mu-1) = (\mu+2, 2\mu+3, \mu-1)$ છે.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{3\lambda-2}{2\mu+3} = \frac{4\lambda}{\mu-1} = k$.
$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{4\lambda}{\mu-1}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{\mu+2} = \frac{2}{\mu-1} \Rightarrow \mu-1 = 2\mu+4 \Rightarrow \mu = -5$ મળે છે.
$B$ ના યામમાં $\mu = -5$ મૂકતા,આપણને $B(-5+3, 2(-5)+4, -5) = (-2, -6, -5)$ મળે છે.
રેખા $L$ ના દિકગુણોત્તરો ($C(1,1,1)$ અને $B(-2, -6, -5)$ માંથી પસાર થતી) $(1-(-2), 1-(-6), 1-(-5)) = (3, 7, 6)$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-1}{6}$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(7, 15, 13)$ માટે: $\frac{7-1}{3} = 2, \frac{15-1}{7} = 2, \frac{13-1}{6} = 2$. બધા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$(7, 15, 13)$ એ રેખા $L$ પર આવેલું છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$.
$\sin \theta = \frac{\sqrt{65}}{9}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{65}{81} = \frac{16}{81}$,તેથી $\cos \theta = \frac{4}{9}$ (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$).
હવે,$\vec{c} \cdot \hat{a} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{a} = 3(\hat{a} \cdot \hat{a}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{a}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a})$.
$\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{a} = \cos \theta = \frac{4}{9}$,અને $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a} = 0$ હોવાથી,$\vec{c} \cdot \hat{a} = 3(1) + 6(\frac{4}{9}) + 0 = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.
તે જ રીતે,$\vec{c} \cdot \hat{b} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{b} = 3(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{b}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b})$.
$\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{4}{9}$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$,અને $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b} = 0$ હોવાથી,$\vec{c} \cdot \hat{b} = 3(\frac{4}{9}) + 6(1) + 0 = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3}$.
અંતે,$9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b}) = 9(\frac{17}{3}) - 3(\frac{22}{3}) = 3(17) - 22 = 51 - 22 = 29$.

(C) ધારો કે $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ અને $h(x) = [\sqrt{x}]$. વિધેય $f(x) = g(x) - h(x)$ ત્યાં અસતત હોય છે જ્યાં $g(x)$ અથવા $h(x)$ અસતત હોય,જો તેમના કૂદકા (jumps) એકબીજાને રદ ન કરતા હોય.
$g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ એ અસતત છે જ્યારે $\frac{x^2}{2} \in \mathbb{Z}$,એટલે કે $x^2 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$. $x \in [0, 4]$ માટે,$x^2 \in [0, 16]$. તેથી,$x^2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}$.
$g(x)$ એ $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{9}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$ પર અસતત છે.
$h(x) = [\sqrt{x}]$ એ અસતત છે જ્યારે $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$,એટલે કે $x \in \{1, 4, 9, 16\}$. $x \in [0, 4]$ માટે,$x \in \{1, 4\}$.
આ બિંદુઓને જોડતા,અસતત બિંદુઓનો કુલ ગણ $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, 3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4\}$ મળે છે.
કિંમતો તપાસતા,આપણને $[0, 4]$ અંતરાલમાં $10$ અસતત બિંદુઓ મળે છે.

(B) ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે. સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે તેમાં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ હોવા જરૂરી છે.
આપેલ છે કે $(1, 2) \in R$. પરંપરિતતા જાળવવા માટે,જો આપણે અન્ય ઘટકો ઉમેરીએ,તો પરંપરિત ગુણધર્મ જળવાવો જોઈએ.
$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત હોવો જોઈએ પણ સંમિત ન હોવો જોઈએ,અને $(1, 2) \in R$ છે પણ $(2, 1) \notin R$ (સંમિતતા ટાળવા માટે),તેથી આપણે વધુમાં વધુ $6$ ઘટકો ધરાવતા સંબંધો તપાસીએ:
$1$. જો $R$ માં $4$ ઘટકો હોય: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\}$. આ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,સંમિત નથી. ($1$ રીત)
$2$. જો $R$ માં $5$ ઘટકો હોય: આપણે ${(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}$ માંથી એક ઘટક ઉમેરીએ. $(1, 2)$ સાથે પરંપરિતતા જાળવવા માટે,$(2, 3)$ ઉમેરતા $(1, 3)$ મળે,અને $(3, 1)$ ઉમેરતા $(3, 2)$ મળે.
શક્ય ગણ: ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}$ અને ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}$. ($2$ રીતો)
$3$. જો $R$ માં $6$ ઘટકો હોય: આપણે બે ઘટકો ઉમેરીએ. પરંપરિતતા અને સ્વવાચકતા જાળવી રાખતા અને સંમિતતા ટાળતા $3$ અલગ ગણ મળે છે.
કુલ સંબંધોની સંખ્યા $= 1 + 2 + 3 = 6$.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ વિશિષ્ટ છે જો $|A| = ad - bc = 0$,એટલે કે $ad = bc$.
આપણે $a, b, c, d \in \{2, 3, 6, 9\}$ પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $1$: બધા ઘટકો સમાન હોય. આવા $4$ શ્રેણિકો મળે.
કિસ્સો $2$: બે ભિન્ન ઘટકોનો ઉપયોગ થાય. $ad = bc$ શરત મુજબ,$(2 \times 9, 3 \times 6) = (18, 18)$ શક્ય છે.
આમ,કુલ $36$ વિશિષ્ટ શ્રેણિકો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{(\sqrt{2}+1)+1}{(\sqrt{2}+1)-1} = \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (1+\sqrt{2})^2 |\vec{a}-\vec{b}|^2$.
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (3+2\sqrt{2}) |\vec{a}-\vec{b}|^2$.
ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$.
$2k^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = (3+2\sqrt{2})(2k^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$.
$2k^2$ વડે ભાગતા:
$1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2} = (3+2\sqrt{2})(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2})$.
ધારો કે $x = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2}$.
$1+x = 3+2\sqrt{2} - (3+2\sqrt{2})x$.
$x(4+2\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}$.
$x = \frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} = 1 + 1 + 2x = 2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2+\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે $y = \frac{5-x}{x^2-3x+2}$.
$y(x^2-3x+2) = 5-x$
$yx^2 - 3xy + 2y = 5-x$
$yx^2 + (1-3y)x + (2y-5) = 0$.
જો $y=0$ હોય,તો $x=5$,જે શક્ય છે.
જો $y \neq 0$ હોય,તો $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D \geq 0$ થવો જોઈએ.
$D = (1-3y)^2 - 4(y)(2y-5) \geq 0$
$1 + 9y^2 - 6y - 8y^2 + 20y \geq 0$
$y^2 + 14y + 1 \geq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y^2 + 14y + 1 = 0$ ઉકેલતા:
$y = \frac{-14 \pm \sqrt{196-4}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{-14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = -7 \pm 4\sqrt{3}$.
આમ,$y \in (-\infty, -7-4\sqrt{3}] \cup [-7+4\sqrt{3}, \infty)$.
અહીં,$\alpha = -7-4\sqrt{3}$ અને $\beta = -7+4\sqrt{3}$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (-7-4\sqrt{3})^2 + (-7+4\sqrt{3})^2$
$= (49 + 48 + 56\sqrt{3}) + (49 + 48 - 56\sqrt{3})$
$= 97 + 97 = 194$.

(A) ધારો કે $U$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B$ એ પક્ષપાતી (બંને બાજુ છાપવાળો) સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે.
આપણી પાસે $P(U) = \frac{19}{20}$ અને $P(B) = \frac{1}{20}$ છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|U) = \frac{1}{2}$ છે.
પક્ષપાતી સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|B) = 1$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છાપ મળે ત્યારે પસંદ કરેલ સિક્કો નિષ્પક્ષ હોય તેની સંભાવના:
$P(U|H) = \frac{P(U)P(H|U)}{P(U)P(H|U) + P(B)P(H|B)}$
$P(U|H) = \frac{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{20} \times 1} = \frac{\frac{19}{40}}{\frac{19}{40} + \frac{2}{40}} = \frac{19}{21}$.
આમ,$m = 19$ અને $n = 21$.
$n^2 - m^2 = 21^2 - 19^2 = 441 - 361 = 80$.

(B) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$
$p + p + q + q = 1 \implies 2p + 2q = 1 \implies p + q = \frac{1}{2}$
હવે,અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0(p) + 1(p) + 2(q) + 3(q) = p + 5q$
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 0^2(p) + 1^2(p) + 2^2(q) + 3^2(q) = p + 13q$
આપેલ છે કે $E(X^2) = 2E(X)$:
$p + 13q = 2(p + 5q)$
$p + 13q = 2p + 10q$
$p = 3q$
$p + q = \frac{1}{2}$ માં $p = 3q$ મૂકતા:
$3q + q = \frac{1}{2} \implies 4q = \frac{1}{2} \implies q = \frac{1}{8}$
તેથી $p = 3(\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
અંતે,$8p - 1$ ની કિંમત શોધો:
$8(\frac{3}{8}) - 1 = 3 - 1 = 2$

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y = 1+x^2$ અને રેખાઓ $y = x+7$ તથા $y = 11-3x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1+x^2 = x+7 \Rightarrow x^2-x-6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$. પ્રદેશ $[-2, 2]$ અંતરાલમાં હોવાથી,આપણે $x = -2$ લઈએ છીએ.
$1+x^2 = 11-3x \Rightarrow x^2+3x-10 = 0 \Rightarrow (x+5)(x-2) = 0$. આપણે $x = 2$ લઈએ છીએ.
$x+7 = 11-3x \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-2}^{1} ((x+7) - (1+x^2)) dx + \int_{1}^{2} ((11-3x) - (1+x^2)) dx$
$A = \int_{-2}^{1} (6+x-x^2) dx + \int_{1}^{2} (10-3x-x^2) dx$
$A = [6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} + [10x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2}$
ગણતરી કરતા,$A = \frac{50}{3}$ મળે છે.
તેથી,$3A = 3 \times \frac{50}{3} = 50$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$. $f(x)$ એ ચાર ઘાતની બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
સીમાનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $5$ હોય તે માટે $e=0$,$d=0$ અને $c=5$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 5x^2$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 10x = x(4ax^2 + 3bx + 10)$.
$f(x)$ ના અંતિમ મૂલ્યો $x=4$ અને $x=5$ આગળ હોવાથી,$f'(4)=0$ અને $f'(5)=0$.
$f'(4) = 64a + 12b + 10 = 0 \implies 32a + 6b = -5$.
$f'(5) = 100a + 15b + 10 = 0 \implies 20a + 3b = -2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $b = \frac{-2 - 20a}{3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $32a + 2(-2 - 20a) = -5 \implies 32a - 4 - 40a = -5 \implies -8a = -1 \implies a = \frac{1}{8}$.
તેથી $3b = -2 - 20(\frac{1}{8}) = -4.5 \implies b = -\frac{3}{2}$.
હવે,$f(2) = \frac{1}{8}(2^4) - \frac{3}{2}(2^3) + 5(2^2) = 2 - 12 + 20 = 10$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} - 2xy = (x^2+1)^2 \cos x$ છે.
$(x^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2+1} y = (x^2+1) \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ અને $Q(x) = (x^2+1) \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{-\ln(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{1}{x^2+1} = \int (x^2+1) \cos x \cdot \frac{1}{x^2+1} dx = \int \cos x dx = \sin x + C$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{0^2+1} = \sin(0) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$y = (x^2+1)(\sin x + 1)$.
હવે,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 (x^2+1)(\sin x + 1) dx = \int_{-3}^3 (x^2 \sin x + x^2 + \sin x + 1) dx$.
$x^2 \sin x$ અને $\sin x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-3, 3]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$\int_{-3}^3 y(x) dx = \int_{-3}^3 x^2 dx + \int_{-3}^3 1 dx = 2 \int_{0}^3 x^2 dx + 2 \int_{0}^3 1 dx = 2 [\frac{x^3}{3}]_0^3 + 2[x]_0^3 = 2(9) + 2(3) = 18 + 6 = 24$.

(B) આપેલી રેખા બે રેખાઓને લંબ છે,જેના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -b\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
તેથી,જરૂરી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & a & b \\ -b & a & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(5a - ab) - \hat{j}(5 + b^2) + \hat{k}(a + ab)$ છે.
રેખા $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ ના દિશા ગુણોત્તર $(-2, d, -4)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય: $\frac{5a - ab}{-2} = \frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} = k$.
બિંદુ $(0, -\frac{1}{2}, 0)$ રેખા $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4}{d} = \frac{z-c}{-4}$ પર હોવાથી,$\frac{0-1}{-2} = \frac{-1/2 + 4}{d} = \frac{0-c}{-4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{7/2}{d} = \frac{-c}{-4}$ મળે.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2d}$ પરથી $d = 7$ મળે અને $\frac{1}{2} = \frac{c}{4}$ પરથી $c = 2$ મળે.
હવે,$\frac{5a - ab}{-2} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow 2(5a - ab) = a + ab \Rightarrow 10a - 2ab = a + ab \Rightarrow 9a = 3ab \Rightarrow b = 3$.
વળી,$\frac{-(b^2 + 5)}{d} = \frac{a + ab}{-4} \Rightarrow \frac{-(9 + 5)}{7} = \frac{a + 3a}{-4} \Rightarrow -2 = \frac{4a}{-4} \Rightarrow -2 = -a \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a+b+c+d = 2 + 3 + 2 + 7 = 14$.

(B) રેખા $L_1$ ને $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય. ધારો કે $Q = (\lambda+1, \lambda+2, \lambda)$.
$PQ \perp L_1$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda-4, \lambda+1, \lambda+3)$ એ દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\lambda-4)(1) + (\lambda+1)(1) + (\lambda+3)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,$Q = (1, 2, 0)$ અને $\vec{PQ} = (-4, 1, 3)$.
રેખા $L_2$ ને $\frac{x-2}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય. ધારો કે $R = (\mu+2, \mu, \mu+1)$.
$PR \perp L_2$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PR} = (\mu-3, \mu-1, \mu+4)$ એ દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\mu-3)(1) + (\mu-1)(1) + (\mu+4)(1) = 0 \Rightarrow 3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
આમ,$R = (2, 0, 1)$ અને $\vec{PR} = (-3, -1, 4)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 3 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-3)) - \hat{j}(-16 - (-9)) + \hat{k}(4 - (-3)) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{7^2 + 7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3}$.
$A = \frac{1}{2} \times 7\sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.
$4A^2 = 4 \times \frac{49 \times 3}{4} = 147$.

(A) સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ નિશ્ચાયકો $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \\ 24 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda + 3) - 5(4\lambda + 72) - 1(4 - 72) = -17\lambda - 289 = 0$.
તેથી,$\lambda = -17$.
હવે,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 7 & 3 & -3 \\ \mu & 1 & -17 \end{vmatrix} = 540 - 12\mu = 0$.
તેથી,$\mu = 45$.
સમીકરણો $x+5y-z=1$ અને $4x+3y-3z=7$ મળે છે.
$(Eq 2)$ માંથી $3 \times (Eq 1)$ બાદ કરતા: $x - 12y = 4 \Rightarrow x = 12y + 4$.
$x$ ની કિંમત $Eq 1$ માં મૂકતા: $z = 17y + 3$.
આપેલ છે કે $7 \leq x+y+z \leq 77$.
$x$ અને $z$ ની કિંમતો મૂકતા: $7 \leq 30y + 7 \leq 77 \Rightarrow 0 \leq 30y \leq 70 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2.33$.
$y$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$y \in \{0, 1, 2\}$.
દરેક $y$ માટે,$x$ અને $z$ ના અનન્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો મળે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો છે.

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ અને $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
અંશ: $\tan(\tan x) - \sin(\sin x) = (\tan x - \sin x) + \frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\sin^3 x}{6} + \dots$
છેદ: $\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + \dots$
તેથી,$f(x) = 1 + \frac{\frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\sin^3 x}{6}}{\tan x - \sin x}$.
$x^3$ વડે ભાગતા,$f(x) = 1 + \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2$.

(B) ધારો કે $I = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}\right) \left(3x^{-24} + x^{-26}\right)^{\frac{1}{23}} dx$.
$t = 3x^{-24} + x^{-26}$ લેતા,$dt = -24(3x^{-25} + \frac{26}{24}x^{-27}) dx$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 23, \beta = -1, \gamma = -3$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 23 - 1 - 3 = 19$.

(A) રેખાઓ $\vec{r_1} = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)$ અને $\vec{r_2} = (\lambda, 4, 5) + s(3, 4, 5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
અહીં,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{6}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 2, 2)$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\lambda-1)(-1) + 2(2) + 2(-1)|}{\sqrt{6}} = \frac{|3-\lambda|}{\sqrt{6}}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,તેથી $|3-\lambda| = 1$,જે $\lambda = 4$ અથવા $\lambda = 2$ આપે છે.
આમ,$\lambda_1 = 4$ અને $\lambda_2 = 2$.
આપણે $(0,0), (4,2)$ અને $(2,4)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવાની છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 6$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OA = \sqrt{20}, OB = \sqrt{20}, AB = \sqrt{8}$ છે.
ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{8}}{4 \cdot 6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

(B) આપેલ છે $x^2+x+1=0$. $\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2+\alpha+1=0$. તેથી,$\alpha = \omega$ અથવા $\omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3=1$ અને $1+\omega+\omega^2=0$.
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-a-2b & 64-a-14b & 52+2a-8b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આનાથી સમીકરણો મળે છે: $a+2b=4$ અને $a+14b=64$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $12b=60 \Rightarrow b=5$. $b=5$ ને $a+2b=4$ માં મૂકતા $a+10=4 \Rightarrow a=-6$ મળે છે.
હવે,$a=-6, b=5$ ને $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ માં મૂકો.
$\alpha^3=1$ હોવાથી,$\alpha^4=\alpha$,$\alpha^{-6}=1$,અને $\alpha^5=\alpha^2$.
તેથી,$\frac{4}{\alpha} + m + \frac{n}{\alpha^2} = 3$.
$\frac{1}{\alpha} = \alpha^2$ અને $\frac{1}{\alpha^2} = \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$4\alpha^2 + m + n\alpha = 3$ મળે છે.
$\alpha^2 = -1-\alpha$ હોવાથી,$4(-1-\alpha) + m + n\alpha = 3 \Rightarrow (n-4)\alpha + (m-4) = 3$.
આ સમીકરણ માટે,$n-4=0 \Rightarrow n=4$ અને $m-4=3 \Rightarrow m=7$.
તેથી,$m+n = 7+4 = 11$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} + 3$,$x \neq 0$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે જાણવા માટે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{3x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$x = 3$ અને $x = -3$ મળે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -3, 0, 3$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$x \in (-\infty, -3)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી $f(x)$ ચુસ્ત વધતું છે.
$x \in (-3, 0)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $f(x)$ ચુસ્ત ઘટતું છે.
$x \in (0, 3)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $f(x)$ ચુસ્ત ઘટતું છે.
$x \in (3, \infty)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી $f(x)$ ચુસ્ત વધતું છે.
આપેલ અંતરાલો સાથે સરખાવતા:
વધતું અંતરાલ $(-\infty, -3) \cup (3, \infty) \Rightarrow \alpha_1 = -3, \alpha_2 = 3$.
ઘટતું અંતરાલ $(-3, 0) \cup (0, 3) \Rightarrow \alpha_3 = -3, \alpha_4 = 0, \alpha_5 = 3$.
તેથી,$\sum_{i=1}^5 \alpha_i^2 = (-3)^2 + (3)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 = 9 + 9 + 9 + 0 + 9 = 36$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = 0.7$,$P(B) = 0.4$,$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
પ્રથમ,$P(A \cap B)$ શોધો:
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \implies 0.7 = P(A \cap B) + 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.2$.
ત્યારબાદ,$P(A \cup \overline{B})$ શોધો:
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + (1 - 0.4) - 0.5 = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
હવે,$P(B \mid (A \cup \overline{B}))$ ની ગણતરી કરો:
$P(B \mid (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P(A \cap B) + 0}{0.8} = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(D) આપેલ છે $I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$. ધારો કે $2x = t$,તેથી $2dx = dt$,એટલે કે $dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x = -\frac{1}{2}$,ત્યારે $t = -1$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 2$. આ કિંમતો મૂકતા,$I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$. તેથી,$2I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$.
ગુણધર્મ $\int_a^b g(t) dt = \int_a^b g(a+b-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2I_1 = \int_{-1}^2 (1-t) f((1-t)(1-(1-t))) dt = \int_{-1}^2 (1-t) f((1-t)t) dt$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$2I_1 = \int_{-1}^2 f(t(1-t)) dt - \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$.
$I_2 = \int_{-1}^2 f(t(1-t)) dt$ અને $2I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$ મૂકતા,આપણને મળે $2I_1 = I_2 - 2I_1$.
તેથી,$4I_1 = I_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{I_2}{I_1} = 4$.

(D) ધારો કે સદિશ $\vec{p}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે. તેથી $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$.
કારણ કે $\vec{p}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$.
$(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
તેથી,$\vec{p} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - 2(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -3\hat{i} + 3\hat{k}$.
એકમ સદિશ $\hat{c}$ એ $\pm \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{\sqrt{(-3)^2 + 3^2}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{k})$ છે.

(C) ધારો કે $I = \pi^2 \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| \, dx$.
$x \sin(\pi x) \ge 0$ એ $x \in [-1, 0]$ અને $x \in [1, 3/2]$ માટે છે,અને $x \sin(\pi x) \le 0$ એ $x \in [0, 1]$ માટે છે,તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \pi^2 \left[ \int_{-1}^{0} x \sin(\pi x) \, dx - \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) \, dx \right]$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sin(\pi x) \, dx = -\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)$.
ભાગોની ગણતરી કરતા:
$\int_{-1}^{0} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{-1}^{0} = \frac{1}{\pi}$.
$\int_{0}^{1} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{0}^{1} = \frac{1}{\pi}$.
$\int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{1}^{3/2} = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \pi^2 [\frac{1}{\pi} - \frac{1}{\pi} + (\frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 1 + 3\pi$.

(C) ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ છે. સંબંધ $R$ એ $(x, y) \in R$ જો $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$ હોય તો વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે એવા જોડકાં $(x, y)$ શોધીએ કે જેના માટે $\max\{x, y\} = 3$ અથવા $\max\{x, y\} = 4$ થાય:
$\max\{x, y\} = 3$ માટે,જોડકાં $(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)$ છે.
$\max\{x, y\} = 4$ માટે,જોડકાં $(0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$ છે.
આમ,$R = \{(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)\}$.
$R$ માં ઘટકોની કુલ સંખ્યા $16$ છે. તેથી,$(S_1)$ ખોટું છે.
સ્વવાચકતા માટે: $(0, 0) \notin R$ કારણ કે $\max\{0, 0\} = 0 \notin \{3, 4\}$. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
સંમિતતા માટે: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$. કારણ કે $\max\{x, y\} = \max\{y, x\}$,તેથી $(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: $(0, 3) \in R$ અને $(3, 1) \in R$,પરંતુ $(0, 1) \notin R$ કારણ કે $\max\{0, 1\} = 1 \notin \{3, 4\}$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,માત્ર $(S_2)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x-1$ અને $g(x)=e^x$.
પ્રથમ,$g(f(f(x)))$ શોધો:
$f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)-1 = x-2$.
$g(f(f(x))) = g(x-2) = e^{x-2}$.
વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\sqrt{x}} = e^{-2 \sqrt{x}} \cdot e^{x-2} = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ છે.
આ $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ અને $Q(x) = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int e^{x-2 \sqrt{x}-2} \cdot e^{2 \sqrt{x}} dx + C = \int e^{x-2} dx + C = e^{x-2} + C$.
$y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 \cdot e^0 = e^{0-2} + C \implies 0 = e^{-2} + C \implies C = -e^{-2}$.
તેથી,$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = e^{x-2} - e^{-2}$.
$x=1$ માટે: $y \cdot e^2 = e^{1-2} - e^{-2} = e^{-1} - e^{-2} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} = \frac{e-1}{e^2}$.
તેથી,$y(1) = \frac{e-1}{e^4}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 x}-1}{\tan x}\right)$. $2$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec 2 < 0$,તેથી $\sqrt{1+\tan^2 2} = |\sec 2| = -\sec 2$. આમ,પ્રથમ પદ $\cot ^{-1}\left(\frac{-\sec 2 - 1}{\tan 2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{-(1+\cos 2)}{\sin 2}\right) = \cot ^{-1}\left(-\cot 1\right) = \pi - \cot ^{-1}(\cot 1) = \pi - 1$ થાય.
બીજા પદ માટે,$1/2$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sec(1/2) > 0$,તેથી $\sqrt{1+\tan^2(1/2)} = \sec(1/2)$. આમ,બીજું પદ $\cot ^{-1}\left(\frac{\sec(1/2) + 1}{\tan(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1+\cos(1/2)}{\sin(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\cot(1/4)\right) = 1/4$ થાય.
બંનેની બાદબાકી કરતા,આપણને $(\pi - 1) - 1/4 = \pi - 5/4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2p & 8+3p+2q \\ 6 & 12+3p & 20+6p+3q \end{bmatrix}$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા: $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$,આપણે નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ.
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & q \\ 4 & 2+2p & 2+p+q \\ 6 & 6+3p & 8+3p+q \end{vmatrix}$.
વધુ સાદું રૂપ આપતા,આપણને $|A| = 8 = 2^3$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))) = |M|^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n=3$ છે,તેથી $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3A))) = |3A|^{(3-1)^2} = |3A|^4$.
કારણ કે $|3A| = 3^3 |A| = 3^3 \cdot 2^3$,તેથી $|3A|^4 = (3^3 \cdot 2^3)^4 = 3^{12} \cdot 2^{12}$.
$2^m \cdot 3^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=12$ અને $n=12$ મળે છે.
તેથી,$m+n = 12+12 = 24$.

(A) આ પ્રદેશ પરવલય $y^2 = 9x$ અને રેખા $y = 3x - 6$ દ્વારા બંધિત છે.
આકૃતિ મુજબ,છાયાંકિત પ્રદેશ $x=0$,$y^2=9x$ (નીચેની શાખા $y = -3\sqrt{x}$) અને $y=3x-6$ દ્વારા બંધિત છે.
$y = -3\sqrt{x}$ અને $y = 3x-6$ નું છેદબિંદુ શોધતા: $3x-6 = -3\sqrt{x} \implies x-2 = -\sqrt{x}$. ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તો $t^2+t-2=0 \implies (t+2)(t-1)=0 \implies t=1 \implies x=1$.
$A = \int_{0}^{1} [(-3\sqrt{x}) - (3x-6)] dx = \int_{0}^{1} (-3x^{1/2} - 3x + 6) dx$
$A = [-3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{3x^2}{2} + 6x]_0^1 = [-2(1) - 1.5 + 6] = 2.5$.
$6A = 6 \times 2.5 = 15$.

(B) $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{4x+5}{3x-7}\right)$ માટે,$-1 \leq \frac{4x+5}{3x-7} \leq 1$ જરૂરી છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{4x+5}{3x-7} \geq -1 \Rightarrow \frac{7x-2}{3x-7} \geq 0$. આથી $x \in (-\infty, 2/7] \cup (7/3, \infty)$.
કિસ્સો $2$: $\frac{4x+5}{3x-7} \leq 1 \Rightarrow \frac{x+12}{3x-7} \leq 0$. આથી $x \in [-12, 7/3)$.
છેદ લેતા,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[-12, 2/7]$ મળે છે. તેથી $\alpha = -12$ અને $\beta = 2/7$.
$g(x) = \log_2(2-6\log_{27}(2x+5))$ માટે,$2-6\log_{27}(2x+5) > 0$ અને $2x+5 > 0$ જરૂરી છે.
$6\log_{27}(2x+5) < 2$ $\Rightarrow \log_{27}(2x+5) < 1/3$ $\Rightarrow 2x+5 < 3$ $\Rightarrow x < -1$.
વળી,$2x+5 > 0 \Rightarrow x > -5/2$.
તેથી,$g(x)$ નો પ્રદેશ $(-5/2, -1)$ છે. તેથી $\gamma = -5/2$ અને $\delta = -1$.
હવે,$|7(\alpha+\beta) + 4(\gamma+\delta)| = |7(-12 + 2/7) + 4(-5/2 - 1)| = |-84 + 2 - 10 - 4| = |-96| = 96$.

(C) ધારો કે રેખાઓ નીચે મુજબ છે:
$L_1: x+2=y-1=z=\ell$
$L_2: \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}=m$
$L_3: \frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}=n$
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ:
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
યામોને સરખાવતા: $\ell-2=5m+3, \ell+1=-m, \ell=m+1$. ઉકેલતા $\ell=0, m=-1$ મળે છે. બિંદુ $A = (-2, 1, 0)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ:
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
યામોને સરખાવતા: $5m+3=-3n, -m=3n+3, m+1=n+2$. ઉકેલતા $m=0, n=-1$ મળે છે. બિંદુ $B = (3, 0, 1)$.
$L_3$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ:
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
યામોને સરખાવતા: $-3n=\ell-2, 3n+3=\ell+1, n+2=\ell$. ઉકેલતા $\ell=2, n=0$ મળે છે. બિંદુ $C = (0, 3, 2)$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$
$\vec{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (0 - (-2))\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-2) - \hat{j}(10-2) + \hat{k}(10+2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 12\hat{k}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{224} = \sqrt{56}$
$A^2 = 56$.