જો x=f(y) એ વિકલ સમીકરણ (1+y^2)+(x-2 e^{tan ^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)+(x-2 e^{	an ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ છે. પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}-x}{1+y^2}$

Vedclass · Accepted Answer

$e^{\pi / 6}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)+(x-2 e^{	an ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ છે. પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}-x}{1+y^2}$ મળે છે. આને $\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$ તરીકે લખી શકાય. આ $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{2 e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2}$. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an ^{-1} y}$ છે. ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ છે. $x e^{	an ^{-1} y} = \int \frac{2 e^{	an ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{	an ^{-1} y} dy = \int \frac{2 e^{2 	an ^{-1} y}}{1+y^2} dy$. ધારો કે $t = 	an ^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$. $x e^{	an ^{-1} y} = \int 2 e^{2t} dt = e^{2t} + C = e^{2 	an ^{-1} y} + C$. આપેલ છે કે $f(0)=1$,એટલે કે $y=0$ ત્યારે $x=1$: $1 \cdot e^{	an ^{-1} 0} = e^{2 	an ^{-1} 0} + C \implies 1 \cdot 1 = 1 + C \implies C = 0$. આમ,$x e^{	an ^{-1} y} = e^{2 	an ^{-1} y} \implies x = e^{	an ^{-1} y}$. $y = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$x = e^{	an ^{-1}(1/\sqrt{3})} = e^{\pi / 6}$.

જો $x=f(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$,$y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ નો ઉકેલ હોય અને $f(0)=1$ હોય,તો $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 1$ છે. તો

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module