$f(x)=4 \log _{e}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$,નીચેનામાંથી કયું સાચું નથી?

સમીકરણ $2e^{|x|} \tan^{-1}|x| = 1$ ના ઉકેલોની સંખ્યા - છે.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ વિધેય $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ અંતરાલ $[1,2]$ પર સતત હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત	$(1)$ $8$
$(Q)$ વિધેય $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$ એ $R$ પર વધતું વિધેય હોય તે માટે $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત	$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ થી મોટી એવી સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ કે જેના માટે $x=3$ એ $h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોય	$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ ની સંખ્યા કે જેના માટે $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin |x-k|+\cos \left|x-k+\frac{1}{2}\right|\right), x \in R$ એ $x_0$ પર વિકલનીય ન હોય	$(4)$ $6$
	$(5)$ $10$

જો $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$ હોય,તો ગણ $\{(x, f(x)) \mid f^{\prime}(x)=0\}$ ના તમામ બિંદુઓ શેના પર આવેલા છે?

ધારો કે $f(x)=2^x-x^2, x \in R$. જો $m$ અને $n$ એ અનુક્રમે $y=f(x)$ અને $y=f^{\prime}(x)$ વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા હોય,તો $m+n$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $x \in (0, 1)$ માટે $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$ છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ $f$ ને $(0, 1)$ માં એક શૂન્ય છે.
$II.$ $f$ એ $(0, 1)$ માં એકવિધ (monotone) છે.
તો,