ધારો કે $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}, \lambda \in R$. જો $\vec{a}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=13 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}+21=0$ થાય,તો $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $QR, RP, PQ$ ની દિશામાં ત્રણ એકમ સદિશો છે.
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ શોધો.
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ જો ત્રિકોણ $PQR$ બદલાતો હોય,તો $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ અને $(2)$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

જો $|\overline{a}|=3$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$,$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,અને $\overline{a}$ એ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ હોય,તો $|\overline{a} \times(\overline{b} \times \overline{c})|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે અને બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ છે. જો બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ અને $-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો સદિશ $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ ને લંબ સદિશ પર સદિશ $\overline{OP}$ નો પ્રક્ષેપ $......$ છે.

જો $A, B, C, D$ અવકાશમાં ચાર બિંદુઓ હોય,તો $|\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}| = \lambda \times (\Delta ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$. તો $\lambda$ શોધો.

જો $\vec{a}_1$ એ સદિશ $\vec{b}$ ની દિશામાં સદિશ $\vec{a}$ નો ઘટક હોય અને $\vec{a}_2$ એ $\vec{b}$ ને લંબ સદિશ $\vec{a}$ નો ઘટક હોય,તો $\vec{a}_1 \times \vec{a}_2 = \dots$