k ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ જેના માટે (tan^{-1} x)^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = (	an^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. ધારો કે $u = 	an^{-1} x$. તો $

Vedclass · Accepted Answer

$[\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = (	an^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. ધારો કે $u = 	an^{-1} x$. તો $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$. કારણ કે $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. હવે,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$. કારણ કે $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ નો વિસ્તાર $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ છે. આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ છે. આપેલ છે કે $f(x) = k \pi^3$,તેથી $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$.

$k$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ જેના માટે $(\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3 = k \pi^3$,$x \in \mathbb{R}$,એ અંતરાલ છે

Similar Questions

જો $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y + \sin^{-1} z = \frac{3\pi}{2}$ હોય,તો $x^{100} + y^{100} + z^{100} - \frac{9}{x^{101} + y^{101} + z^{101}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha$ અને $\beta$ પ્રથમ ચરણમાં એવા ખૂણાઓ હોય કે જેથી $\tan \alpha = \frac{1}{7}$ અને $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$,તો $\alpha + 2\beta =$ ($^{\circ}$ માં)

જો $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $x y+y z+z x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module