WBJEE 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે,$\log _{101} \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})=0$
$\therefore \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x}) = (101)^{0} = 1$
$\Rightarrow \sqrt{x+7}+\sqrt{x} = 7^{1} = 7$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})^{2} = 7^{2}$
$x+7+x+2\sqrt{x(x+7)} = 49$
$2x+7+2\sqrt{x^{2}+7x} = 49$
$2\sqrt{x^{2}+7x} = 42-2x$
$\sqrt{x^{2}+7x} = 21-x$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^{2}+7x = (21-x)^{2}$
$x^{2}+7x = 441 - 42x + x^{2}$
$7x = 441 - 42x$
$49x = 441$
$x = \frac{441}{49} = 9$

(C) ધારો કે $y = 20^{301}$.
$y$ માં અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\log_{10} y = \log_{10} (20^{301}) = 301 \times \log_{10} (2 \times 10)$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10} y = 301 \times (\log_{10} 2 + \log_{10} 10) = 301 \times (0.3010 + 1) = 301 \times 1.3010$.
$301 \times 1.3010 = 391.601$.
અંકોની સંખ્યા $\lfloor 391.601 \rfloor + 1 = 391 + 1 = 392$ છે.

(C) કારણ કે $a, b$ અને $c$ એ $GP$ માં છે,તેથી $b^{2} = ac$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $2 \log_{e} b = \log_{e} a + \log_{e} c$ મળે છે.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(\log_{e} a) x^{2} - (2 \log_{e} b) x + \log_{e} c = 0$ છે.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા,આપણને $(\log_{e} a) - (2 \log_{e} b) + \log_{e} c = 0$ મળે છે,જે $\log_{e} a + \log_{e} c = 2 \log_{e} b$ માં પરિણમે છે,જે સત્ય છે.
આમ,$x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજું બીજ $\alpha$ છે. બીજનો ગુણાકાર $\frac{\log_{e} c}{\log_{e} a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$1 \times \alpha = \frac{\log_{e} c}{\log_{e} a} = \log_{a} c$.
આમ,બીજ $1$ અને $\log_{a} c$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $pq(x^{2}+1) = r^{2}x$ છે,જેને $x^{2} - \frac{r^{2}}{pq}x + 1 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$\tan A$ અને $\tan B$ બીજ હોવાથી,$\tan A + \tan B = \frac{r^{2}}{pq}$ અને $\tan A \tan B = 1$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $A + B = 180^{\circ} - C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(A + B) = \tan(180^{\circ} - C) = -\tan C$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\frac{r^{2}}{pq}}{1 - 1} = -\tan C$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{r^{2}/pq}{0} = -\tan C$,જેનો અર્થ છે કે $\tan C$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$C = 90^{\circ}$,જે દર્શાવે છે કે $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\alpha, \beta$ એ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ છે અને $\alpha+h, \beta+h$ એ $px^{2}+qx+r=0$ ના બીજ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે,વિવેચક $D_{1} = b^{2}-4ac$ છે અને બીજનો તફાવત $(\alpha-\beta)^{2} = \frac{D_{1}}{a^{2}}$ છે.
બીજા સમીકરણ માટે,વિવેચક $D_{2} = q^{2}-4pr$ છે અને બીજનો તફાવત $((\alpha+h)-(\beta+h))^{2} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$ છે.
કારણ કે $(\alpha+h)-(\beta+h) = \alpha-\beta$,તેથી $(\alpha-\beta)^{2} = ((\alpha+h)-(\beta+h))^{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{D_{1}}{a^{2}} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{D_{1}}{D_{2}} = \frac{a^{2}}{p^{2}}$.
આમ,વિવેચકોનો ગુણોત્તર $a^{2}: p^{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}=0$.
$\beta$ એ $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ નું બીજ છે,તેથી $\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}=0$.
ધારો કે $f(x)=x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}$.
$f(\alpha)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(\alpha)=\alpha^{2}+6 p^{2} \alpha+10 q^{2} = (\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}) + 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} = 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} > 0$.
$f(\beta)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(\beta)=\beta^{2}+6 p^{2} \beta+10 q^{2} = (\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}) - (3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) = -(3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) < 0$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી અને $f(\alpha) > 0$ તથા $f(\beta) < 0$ હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,$\alpha < \gamma < \beta$ થાય તેવું બીજ $\gamma$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}-x-1=0$ ના બીજ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^{2}-\alpha-1=0 \implies \alpha^{2}=\alpha+1$
$\beta^{2}-\beta-1=0 \implies \beta^{2}=\beta+1$
અનુક્રમે $\alpha^{n-1}$ અને $\beta^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{n+1}=\alpha^{n}+\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1}=\beta^{n}+\beta^{n-1}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha^{n}+\beta^{n})+(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
$S_{n}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,આ છે:
$S_{n+1}=S_{n}+S_{n-1}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+p x+q=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ છે.
પ્રથમ,$\alpha^{3}+\beta^{3}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) = (-p)^{3}-3 q(-p) = -p^{3}+3 p q = 3 p q-p^{3}$.
ત્યારબાદ,$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2} - \alpha^{2} \beta^{2} = [(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta]^{2} - (\alpha \beta)^{2} = [(-p)^{2}-2 q]^{2} - q^{2} = (p^{2}-2 q)^{2} - q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+4 q^{2}-q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+3 q^{2} = p^{2}(p^{2}-3 q)-q(p^{2}-3 q) = (p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$.
આમ,કિંમતો $3 p q-p^{3}$ અને $(p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} x^n$.
આને $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ તરીકે લખી શકાય.
$e^y = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ હોવાથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$f(x) = (e^{2x} - 1) - (e^x - 1) = e^{2x} - e^x$.
$f(x) = 0$ લેતા,$e^{2x} - e^x = 0$,જેનો અર્થ છે $e^x(e^x - 1) = 0$.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $e^x > 0$ હોવાથી,$e^x - 1 = 0$ થવું જોઈએ,જે $e^x = 1$ આપે છે.
આમ,$x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x-1}$ છે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x \ge 1$ હોવું જરૂરી છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x+1) + (x-1) - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2x - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ અથવા $-2\sqrt{x^2-1} = 2x-1$ થાય છે.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(x^2-1) = 4x^2 - 4x + 1$ મળે છે.
આથી $4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$,જે $4x = 5$ એટલે કે $x = \frac{5}{4}$ આપે છે.
મૂળ સમીકરણમાં $x = \frac{5}{4}$ મુકતા,ડાબી બાજુ $\sqrt{\frac{9}{4}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 1$ મળે છે,જ્યારે જમણી બાજુ $\sqrt{4} = 2$ મળે છે.
$1 \neq 2$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી પદાવલિ $|x+iy|^2 + |(x-3)+iy|^2 + |x+i(y-1)|^2$ બને છે.
$= (x^2 + y^2) + ((x-3)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2)$.
$= x^2 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 + x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$= 3x^2 - 6x + 3y^2 - 2y + 10$.
$= 3(x-1)^2 + 3(y - \frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$.
આ પદાવલિ ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $x-1 = 0$ અને $y - \frac{1}{3} = 0$ હોય.
તેથી,$x = 1$ અને $y = \frac{1}{3}$.
આમ,$z = 1 + \frac{i}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ એ એકમ વર્તુળ $|z| = 1$ માં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળમાં હોવાથી,શિરોબિંદુઓ $z_{2}$ અને $z_{3}$ ને $z_{1}$ ને અનુક્રમે $\frac{2\pi}{3}$ અને $\frac{4\pi}{3}$ રેડિયનના ખૂણે ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
તેથી,$z_{2} = z_{1}\omega$ અને $z_{3} = z_{1}\omega^{2}$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
તેથી,ગુણાકાર $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1} \times (z_{1}\omega) \times (z_{1}\omega^{2}) = z_{1}^{3} \omega^{3}$.
કારણ કે $\omega^{3} = 1$,તેથી $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1}^{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $1+z+z^{3}+z^{4}=0$ છે.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $(1+z) + z^{3}(1+z) = 0$.
$(1+z)(1+z^{3}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1+z=0$ અથવા $1+z^{3}=0$.
તેથી,$z = -1$ અથવા $z^{3} = -1$.
$z^{3} = -1$ ના બીજ $e^{i\pi/3}, e^{i\pi}, e^{i5\pi/3}$ છે.
આમ,ભિન્ન બીજ $z = -1, e^{i\pi/3}, e^{i5\pi/3}$ છે.
આ ત્રણ બિંદુઓ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(A) એકમના $1$ સિવાયના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે,જ્યાં $\omega = e^{i 2\pi/3}$.
આપેલ $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}$ એ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{\alpha}{\beta}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\alpha/\beta)} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}$ થાય.
$1 + \omega + \omega^{2} = 0$ હોવાથી,$\alpha + \beta = \omega + \omega^{2} = -1$ મળે.
કિસ્સો $I$: જો $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^{2}$ હોય,તો $S = \frac{\omega^{2}}{\omega + \omega^{2}} = \frac{\omega^{2}}{-1} = -\omega^{2}$.
કિસ્સો $II$: જો $\alpha = \omega^{2}$ અને $\beta = \omega$ હોય,તો $S = \frac{\omega}{\omega^{2} + \omega} = \frac{\omega}{-1} = -\omega$.
આમ,$S$ નું મૂલ્ય $-\omega$ અથવા $-\omega^{2}$ છે.

(A) કારણ કે $z_{1}, z_{2}$ અને $z_{3}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે,તેથી $|z_{1} - z_{2}| = |z_{2} - z_{3}| = |z_{3} - z_{1}| = k$.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$,તેથી $|\alpha| = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1$.
ધારો કે $A = \alpha z_{1} + \beta$,$B = \alpha z_{2} + \beta$,અને $C = \alpha z_{3} + \beta$.
હવે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|A - B| = |(\alpha z_{1} + \beta) - (\alpha z_{2} + \beta)| = |\alpha(z_{1} - z_{2})| = |\alpha| |z_{1} - z_{2}| = 1 \cdot k = k$.
તે જ રીતે,$|B - C| = |\alpha(z_{2} - z_{3})| = k$ અને $|C - A| = |\alpha(z_{3} - z_{1})| = k$.
નવા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવાથી,તેઓ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(A) સમીકરણ $|z-z_{1}|+|z-z_{2}|=k$ એ ઉપવલય દર્શાવે છે જો $k > |z_{1}-z_{2}|$ હોય.
આપેલ સમીકરણમાં,$k = 2|z_{1}-z_{2}|$ છે.
કારણ કે $2|z_{1}-z_{2}| > |z_{1}-z_{2}|$,તેથી ઉપવલયની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,$z$ નો બિંદુપથ એ $z_{1}$ અને $z_{2}$ પર નાભિ ધરાવતો ઉપવલય છે.

(C) $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
$4$ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$5$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $35 \times 6 = 210$ છે.
આ $5$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી કુલ શબ્દોની સંખ્યા $210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $AM-GM$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ થાય.
$2^{\sin x}$ અને $2^{\cos x}$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x+\cos x}{2}} = 2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x+\cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
$2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$ પદને ન્યૂનતમ કરવા માટે,ઘાતાંક $1+\frac{\sin x+\cos x}{2}$ ને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
$\sin x+\cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,ન્યૂનતમ કિંમત $2^{1+\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$f(x) = x + \frac{1}{2} = \frac{2x+1}{2}$.
$f(2x) = 2x + \frac{1}{2} = \frac{4x+1}{2}$.
$f(4x) = 4x + \frac{1}{2} = \frac{8x+1}{2}$.
$f(x), f(2x), f(4x)$ એ $HP$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{f(x)}, \frac{1}{f(2x)}, \frac{1}{f(4x)}$ એ $AP$ માં હોય.
તેથી,$\frac{2}{f(2x)} = \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(4x)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{4x+1} = \frac{2}{2x+1} + \frac{2}{8x+1}$.
$\frac{2}{4x+1} = \frac{10x+2}{(2x+1)(8x+1)}$.
$2(2x+1)(8x+1) = (4x+1)(10x+2)$.
$32x^2 + 20x + 2 = 40x^2 + 18x + 2$.
$8x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(4x - 1) = 0$.
$x = 0$ અથવા $x = 1/4$.
જો $x = 0$ હોય,તો પદો $1/2, 1/2, 1/2$ મળે,જે સમાન છે.
જો $x = 1/4$ હોય,તો પદો $3/4, 1, 3/2$ મળે,જે $HP$ માં છે.
આમ,$x$ ની માત્ર $1$ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય છે.

(C) અંશમાં રહેલી શ્રેણી $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ નું સામાન્ય પદ $T_n$ તફાવતની રીત દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ તફાવતો $7, 13, 19, 25, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આમ,$T_n = an^2 + bn + c$.
$n=1$ માટે,$T_1 = a+b+c = 1$.
$n=2$ માટે,$T_2 = 4a+2b+c = 8$.
$n=3$ માટે,$T_3 = 9a+3b+c = 21$.
આને ઉકેલતા,આપણને $a=3, b=-2, c=0$ મળે છે. તેથી,$T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$.
શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ છે.
પ્રથમ પદ $1$ ($n=1$ માટે) હોવાથી,આપણે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ લખી શકીએ.
ધારો કે $k = n-1$,તો $n = k+1$.
$S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$.
કારણ કે $2 < e < 3$,તેથી $8 < 4e < 12$.
તેથી,$8 < S < 12$.

(A) $\left(a x^{2}+\frac{1}{b x}\right)^{13}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x^{2})^{13-r} (b^{-1} x^{-1})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} b^{-r} x^{26-3r}$ છે.
$x^{8}$ ના સહગુણક માટે,$26-3r = 8$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$.
સહગુણક ${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6}$ છે.
$\left(a x-\frac{1}{b x^{2}}\right)^{13}$ નું સામાન્ય પદ $T'_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x)^{13-r} (-b^{-1} x^{-2})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} (-1)^{r} b^{-r} x^{13-3r}$ છે.
$x^{-8}$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = -8$ લેતા,$3r = 21$,તેથી $r = 7$.
સહગુણક $-{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$ છે.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા:
${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6} = -{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$.
${}^{13}C_{6} = {}^{13}C_{7}$ હોવાથી,$a^{7} b^{-6} = -a^{6} b^{-7}$.
$a^{6} b^{-6}$ વડે ભાગતા,$a = -b^{-1}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $ab = -1$,અથવા $ab+1=0$.

(B) આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું વિભાજન કરી શકીએ: $\frac{2}{(1-x)(2-x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $2 = A(2-x) + B(1-x)$.
$x=1$ માટે,$2 = A(1) \implies A=2$.
$x=2$ માટે,$2 = B(-1) \implies B=-2$.
તેથી,$\frac{2}{(1-x)(2-x)} = \frac{2}{1-x} - \frac{2}{2-x} = 2(1-x)^{-1} - (1-\frac{x}{2})^{-1}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$2(1 + x + x^2 + x^3 + \dots) - (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots)$.
$x^3$ નો સહગુણક $2(1) - \frac{1}{8} = 2 - \frac{1}{8} = \frac{16-1}{8} = \frac{15}{8}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ આ મુજબ છે:
$(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$
અને $(x+1)^{n} = { }^{n} C_{0} x^{n}+{ }^{n} C_{1} x^{n-1}+{ }^{n} C_{2} x^{n-2}+\ldots+{ }^{n} C_{n}$.
આ બે પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $(1+x)^{2n} = (1+x)^{n}(x+1)^{n}$ મળે છે.
$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક ${ }^{2n} C_{n}$ છે.
બે શ્રેણીઓનો ગુણાકાર કરતા,$x^{n}$ નો સહગુણક એ અનુરૂપ સહગુણકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$({ }^{n} C_{0})^{2} + ({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n}$.
આપેલ સરવાળો $({ }^{n} C_{1})^{2}$ થી શરૂ થાય છે,તેથી આપણે પ્રથમ પદ $({ }^{n} C_{0})^{2} = 1$ બાદ કરીશું:
$({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n} - ({ }^{n} C_{0})^{2} = { }^{2n} C_{n} - 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $k$ માટે $\sin(k\pi) = 0$ થાય છે.
આપેલ શ્રેણી $E = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$n=1: \sin \left(\frac{\pi}{720}\right)$
$n=2: \sin \left(\frac{\pi}{360}\right)$
$n=3: \sin \left(\frac{\pi}{120}\right)$
$n=4: \sin \left(\frac{\pi}{30}\right)$
$n=5: \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$n=6: \sin(\pi) = 0$
બધા $n \ge 6$ માટે,$n!$ એ $720$ નો ગુણક છે,તેથી $\sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right) = 0$ થાય છે.
આમ,સરવાળો $\sin \left(\frac{\pi}{720}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{360}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{120}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{30}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$. વળી,$\cot \frac{4 \pi}{5} = -\cot \frac{\pi}{5}$.
આપેલ પદાવલિને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\cot \frac{\pi}{5}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{4 \pi}{7} + \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ વડે ગુણતા:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = (\sin \frac{3 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{5 \pi}{7} - \sin \frac{3 \pi}{7}) + (\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{5 \pi}{7})$.
$\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}$ સિવાયના તમામ પદો ઉડી જાય છે.
$\sin \pi = 0$ હોવાથી,આપણને $2 \sin \frac{\pi}{7} S = -\sin \frac{\pi}{7}$ મળે છે.
$\sin \frac{\pi}{7} \neq 0$ હોવાથી,$S = -\frac{1}{2}$.
આમ,સરવાળો એક ઋણ સંખ્યા છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y=0$,$L_2: 5x+y=4$,અને $L_3: x+5y=4$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $A = (1, -1)$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $C = (-1, 1)$ મળે છે.
$L_2$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $B = (2/3, 2/3)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$BC = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$CA = 2\sqrt{2}$
અહીં $AB = BC$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ એ અન્ય વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ ને તેના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર છેદે તે શરત લંબછેદી વર્તુળોની શરત $2(gg_{i}+ff_{i})=c+c_{i}$ ને સમાન છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-5=0$ માટે,$g_{1}=0, f_{1}=0, c_{1}=-5$. શરત લાગુ પાડતા: $2(g(0)+f(0))=c-5 \Rightarrow c=5$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-8x-6y+10=0$ માટે,$g_{2}=-4, f_{2}=-3, c_{2}=10$. શરત લાગુ પાડતા: $2(g(-4)+f(-3))=c+10$ $\Rightarrow 2(-4g-3f)=5+10$ $\Rightarrow 4g+3f=-15/2$.
ત્રીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-4x+2y-2=0$ માટે,$g_{3}=-2, f_{3}=1, c_{3}=-2$. શરત લાગુ પાડતા: $2(g(-2)+f(1))=c-2$ $\Rightarrow 2(-2g+f)=5-2$ $\Rightarrow -2g+f=3/2$.
સમીકરણો $4g+3f=-7.5$ અને $-2g+f=1.5$ ઉકેલતા:
બીજા સમીકરણ પરથી,$f=2g+1.5$. પ્રથમમાં મૂકતા: $4g+3(2g+1.5)=-7.5$ $\Rightarrow 10g+4.5=-7.5$ $\Rightarrow 10g=-12$ $\Rightarrow g=-1.2$.
તેથી $f=2(-1.2)+1.5 = -2.4+1.5 = -0.9$.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $4f = 4(-0.9) = -3.6$ અને $3g = 3(-1.2) = -3.6$. આમ,$4f=3g$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે,$y=[|\sin x|+|\cos x|]$ અને $x^{2}+y^{2}=10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(|\sin x|+|\cos x|) \in [1, \sqrt{2}]$.
અહીં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,$y = 1$ થાય.
આપેલ વક્રોના છેદબિંદુ માટે $y=1$ ને $x^{2}+y^{2}=10$ માં મૂકતા:
$x^{2}+1^{2}=10$ $\Rightarrow x^{2}=9$ $\Rightarrow x=\pm 3$.
છેદબિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-3, 1)$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=10$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(-3, 1)$ આગળ,ઢાળ $m_{1} = -(-3)/1 = 3$.
રેખા $y=1$ એ સમક્ષિતિજ રેખા છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_{2} = 0$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{3-0}{1+3(0)}| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે. $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=12$,તેથી $a=3$ મળે.
આપેલ રેખા $y=4x+3$ નો ઢાળ $m=4$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{y_{1}}{2a}$ છે.
અભિલંબ રેખા $y=4x+3$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $4$ થશે. તેથી,$-\frac{y_{1}}{2(3)} = 4$,જે $y_{1} = -24$ આપે છે.
$y_{1} = -24$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$(-24)^{2} = 12x$,તેથી $576 = 12x$,જે $x_{1} = 48$ આપે છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $(48, -24)$ છે.
$(48, -24)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-24) = 4(x - 48)$ છે,જે $4x - y - 216 = 0$ થાય છે.
આપેલ રેખા $4x - y + 3 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_{1} = 0$ અને $Ax + By + C_{2} = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_{1} - C_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|3 - (-216)|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|3 + 216|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{219}{\sqrt{17}}$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 64x$ $(i)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ જે રેખા $4x + 3y + 35 = 0$ ની સૌથી નજીક હોય ત્યાં સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોય છે.
રેખા $4x + 3y + 35 = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 64$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{32}{y}$ મળે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય:
$\frac{32}{y} = -\frac{4}{3} \Rightarrow y = -24$.
$y = -24$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$(-24)^{2} = 64x$ $\Rightarrow 576 = 64x$ $\Rightarrow x = 9$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(9, -24)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $f(x) = x^{2} + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b$ થાય.
પરવલય $y = f(x)$ નું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$ આગળ મળે છે.
હવે,$f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = 2x + b$.
બિંદુ $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = -\frac{b}{2}$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$f'\left(-\frac{b}{2}\right) = 2\left(-\frac{b}{2}\right) + b = -b + b = 0$.
ઢાળ $0$ હોવાનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શક રેખા આડી છે,એટલે કે તે $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
તેથી,સ્પર્શક અને $x$-અક્ષની ધન દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(7x+5)^{2}+(7y+3)^{2}=\lambda^{2}(4x+3y-24)^{2}$ છે.
આ સમીકરણ $SP^{2} = \lambda^{2} PM^{2}$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $S$ નાભિ છે અને $PM$ એ નિયામિકાથી લંબ અંતર છે.
પરવલય માટે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 1$ હોવી જોઈએ.
અહીં,$e = \lambda \cdot \frac{\sqrt{4^2+3^2}}{7} = \lambda \cdot \frac{5}{7}$.
પરવલય માટે $e = 1$ હોવાથી,$\lambda \cdot \frac{5}{7} = 1$.
તેથી,$\lambda = \pm \frac{7}{5}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{25}=1$ છે.
અહીં,$a^{2}=144$ અને $b^{2}=25$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 12 \times \frac{\sqrt{119}}{12}, 0) = (\pm \sqrt{119}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, \sqrt{2})$ છે અને તે નાભિઓ $(\pm \sqrt{119}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(0, \sqrt{2})$ અને નાભિ $(\sqrt{119}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(\sqrt{119}-0)^{2} + (0-\sqrt{2})^{2}}$
$r = \sqrt{119 + 2} = \sqrt{121} = 11$.

(A) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
આપેલ છે કે નાભિ $(\pm 8, 0) = (\pm ae, 0)$ છે,તેથી $ae = 8$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 24$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 12a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$.
$ae = 8$ અને $b^{2} = 12a$ મૂકતા,આપણને મળે છે $12a = 8^{2} - a^{2}$.
$a^{2} + 12a - 64 = 0$.
$(a + 16)(a - 4) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે છે.
તેથી $b^{2} = 12(4) = 48$.
$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 48$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$.
$48$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^{2} - y^{2} = 48$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^{2}=8 \sqrt{3} x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે,જ્યાં $c=\frac{a}{m}$.
અહીં $4a=8 \sqrt{3}$,તેથી $a=2 \sqrt{3}$.
આમ,$c=\frac{2 \sqrt{3}}{m}$.
અતિવલય $4x^{2}-y^{2}=4$ માટે,$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1$,જ્યાં $a^{2}=1$ અને $b^{2}=4$.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=m^{2}-4$.
બંને સમીકરણો સરખાવતા:
$\left(\frac{2 \sqrt{3}}{m}\right)^{2}=m^{2}-4$
$\frac{12}{m^{2}}=m^{2}-4$
$m^{4}-4m^{2}-12=0$
$(m^{2}-6)(m^{2}+2)=0$.
$m^{2}=-2$ શક્ય નથી,તેથી $m^{2}=6$,એટલે કે $m=\sqrt{6}$ (ધન ઢાળ માટે).
તેથી $c=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=\sqrt{6}x+\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a \sin x-\sin 2 x}{\tan ^{3} x} = 1$.
$\sin x$ અને $\sin 2x$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a(x - \frac{x^3}{6}) - (2x - \frac{8x^3}{6})}{x^3} = 1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2a - 2)x + (\frac{8}{6} - \frac{2a}{6})x^3}{x^3} = 1$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2a - 2 = 0$,જે $a = 1$ આપે છે.
આમ,$a$ ની કિંમત $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$f^{\prime}(4)=5$.
આપણે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(4)-f\left(x^{2}\right)}{x-2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}[f(4)-f(x^2)]}{\frac{d}{dx}[x-2]}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{0 - f^{\prime}(x^2) \cdot 2x}{1}$
$x=2$ મૂકતા,આપણને મળે:
$L = -f^{\prime}(2^2) \cdot 2(2) = -f^{\prime}(4) \cdot 4$
કારણ કે $f^{\prime}(4)=5$,તેથી $L = -(5) \cdot 4 = -20$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x-1 < [x] \leq x$.
$x = n\sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $n\sqrt{2}-1 < [n\sqrt{2}] \leq n\sqrt{2}$ મળે છે.
આ અસમતાને $n$ વડે ભાગતા,$\frac{n\sqrt{2}-1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \frac{n\sqrt{2}}{n}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\sqrt{2} - \frac{1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \sqrt{2}$ થાય છે.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,$\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2} - \frac{1}{n}) = \sqrt{2}$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{2} = \sqrt{2}$ મળે છે.
સેન્ડવિચ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{[n\sqrt{2}]}{n} = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $n^{th}$ પદનો અંશ $a_{n} = 1, 10, 21, 34, 49, \ldots$ છે.
આ એક દ્વિઘાત શ્રેણી છે. પ્રથમ તફાવત $9, 11, 13, 15, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
સામાન્ય પદ $a_{n} = An^{2} + Bn + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$a_{1} = A + B + C = 1$.
$n=2$ માટે,$a_{2} = 4A + 2B + C = 10$.
$n=3$ માટે,$a_{3} = 9A + 3B + C = 21$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $(a_{2}-a_{1}) = 3A + B = 9$ અને $(a_{3}-a_{2}) = 5A + B = 11$.
બાદબાકી કરતા $2A = 2 \Rightarrow A = 1$ મળે છે.
પછી $3(1) + B = 9 \Rightarrow B = 6$.
પછી $1 + 6 + C = 1 \Rightarrow C = -6$.
તેથી,$a_{n} = n^{2} + 6n - 6$.
શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $t_{n} = \frac{n^{2} + 6n - 6}{n!}$ છે.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ ફેક્ટોરિયલ $n!$ એ બહુપદી $n^{2} + 6n - 6$ કરતા ખૂબ ઝડપથી વધે છે.
તેથી,$\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2} + 6n - 6}{n!} = 0$.

(A) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$.
પદાવલિ $\sum a^{3} \sin (B-C) = k^{3} \sum \sin^{3} A \sin (B-C)$ છે.
$A = 180^{\circ} - (B+C)$ હોવાથી,$\sin A = \sin (B+C)$.
આમ,પદાવલિ $k^{3} \sum \sin^{2} A \sin (B+C) \sin (B-C)$ બને છે.
$\sin (B+C) \sin (B-C) = \sin^{2} B - \sin^{2} C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$k^{3} [\sin^{2} A (\sin^{2} B - \sin^{2} C) + \sin^{2} B (\sin^{2} C - \sin^{2} A) + \sin^{2} C (\sin^{2} A - \sin^{2} B)]$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $k^{3} [\sin^{2} A \sin^{2} B - \sin^{2} A \sin^{2} C + \sin^{2} B \sin^{2} C - \sin^{2} B \sin^{2} A + \sin^{2} C \sin^{2} A - \sin^{2} C \sin^{2} B] = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $S$,$D$ અને $P$ એ અનુક્રમે ગાવું,નાચવું અને ચિત્રકામ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(S \cup D \cup P) = 265$,$n(S) = 200$,$n(D) = 110$,$n(P) = 55$,$n(S \cap D) = 60$,$n(S \cap P) = 30$ અને $n(S \cap D \cap P) = 10$.
inclusion-exclusion ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$n(S \cup D \cup P) = n(S) + n(D) + n(P) - n(S \cap D) - n(S \cap P) - n(D \cap P) + n(S \cap D \cap P)$
$265 = 200 + 110 + 55 - 60 - 30 - n(D \cap P) + 10$
$265 = 285 - n(D \cap P)$
$n(D \cap P) = 285 - 265 = 20$
માત્ર નાચવું અને ચિત્રકામ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n(D \cap P) - n(S \cap D \cap P)$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$20 - 10 = 10$.

(B) આપેલ છે કે ગણ $A$ અને $B$ ના ઘટકોની સંખ્યા અનુક્રમે $n(A) = p$ અને $n(B) = q$ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની કુલ સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = pq$ થાય.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
તેથી,ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{pq}$ છે.

(A) આપેલ છે,$X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ડિસ્ક દર્શાવે છે.
$n = 1$ માટે,$X_{1} = \{x^{2} + y^{2} \leq 1\}$.
$n = 2$ માટે,$X_{2} = \{x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}\}$.
જેમ $n \to \infty$,ત્રિજ્યા $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$.
તમામ $X_{n}$ નો છેદગણ એવા બિંદુઓનો ગણ છે જે તમામ $n \geq 1$ માટે $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{n}$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x^{2} + y^{2} \leq 0$.
કારણ કે $x^{2} + y^{2}$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી એકમાત્ર ઉકેલ $x^{2} + y^{2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે $x = 0$ અને $y = 0$.
આમ,$\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} = \{0 + 0i\} = \{0\}$.
તેથી,છેદગણ એ એક સિંગલટન ગણ છે.

(A) $52$ પત્તામાંથી $5$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_5 = 2598960$ છે.
ફુલ હાઉસ (એક જોડી અને એક ત્રિપુટી) બનાવવા માટે:
$1$. ત્રિપુટી માટે ફેસ વેલ્યુ પસંદ કરો: $^{13}C_1 = 13$ રીતો.
$2$. તે ફેસ વેલ્યુના $3$ પત્તા પસંદ કરો: $^4C_3 = 4$ રીતો.
$3$. બાકીની $12$ વેલ્યુમાંથી જોડી માટે ફેસ વેલ્યુ પસંદ કરો: $^{12}C_1 = 12$ રીતો.
$4$. તે ફેસ વેલ્યુના $2$ પત્તા પસંદ કરો: $^4C_2 = 6$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3744$.
સંભાવના = $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165}$.

(A) ધારો કે $S = 1! + 2! + 3! + 4! + \ldots + 11!$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \ge 4$ માટે,$n!$ માં $4 \times 3 = 12$ અવયવ તરીકે હોય છે.
તેથી,$4!, 5!, \ldots, 11!$ બધા $12$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$S$ ને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ એ $(1! + 2! + 3!)$ ને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ જેટલી જ હોય.
$1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9$.
$9 < 12$ હોવાથી,શેષ $9$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$. ધારો કે $y = \frac{x-2}{x-3}$.
$y(x-3) = x-2 \implies yx - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y-2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1}$.
તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{3x-2}{x-1}$.
આપેલ છે $g(x) = 2x-3$. ધારો કે $y = 2x-3$.
$y+3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$.
તેથી,$g^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
આપણને આપેલ છે $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{13}{2}$.
$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x+3}{2} = \frac{13}{2}$.
$2(x-1)$ વડે ગુણતા: $2(3x-2) + (x+3)(x-1) = 13(x-1)$.
$6x - 4 + x^2 + 2x - 3 = 13x - 13$.
$x^2 + 8x - 7 = 13x - 13$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
$(x-2)(x-3) = 0$.
બીજ $x = 2$ અને $x = 3$ છે. $x$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = 2x^2 + 5x + 1$.
વળી,$f(x) = a(x+1)(x-2) + b(x-2)(x-1) + c(x-1)(x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (a+b+c)x^2 + (-a-3b)x + (-2a+2b-c)$.
$x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \; a + b + c = 2$
$2) \; -a - 3b = 5$
$3) \; -2a + 2b - c = 1$
અહીં $3$ ચલ $(a, b, c)$ માટે $3$ સુરેખ સમીકરણો છે અને સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય નથી,તેથી $a, b, c$ માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
આ ઉકેલતા,આપણને $a = -\frac{35}{4}$,$b = \frac{5}{4}$,અને $c = \frac{38}{4}$ મળે છે.
આમ,$a, b, c$ દરેક માટે બરાબર એક જ વિકલ્પ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને મળે:
$\int_{0}^{2} (1+x)^{n} dx = \int_{0}^{2} \left( {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n} \right) dx$.
ડાબી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{2} = \frac{(1+2)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ x{}^{n}C_{0} + \frac{x^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{x^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{x^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{1}{}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n}$.
આમ,$S = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$.
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$' Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
લેબનિઝના નિયમ મુજબ,અંશનું વિકલન $\cos(x^4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \cos(x^4)$ થાય.
છેદ $x \sin x$ નું વિકલન $\sin x + x \cos x$ થાય.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \cos(x^4)}{\sin x + x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos(x^4)}{\frac{\sin x}{x} + \cos x}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$,$\cos(x^4) \rightarrow 1$,અને $\cos x \rightarrow 1$.
તેથી,$L = \frac{2(1)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) આપેલ સંબંધ $\theta R \phi$ એ $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $\theta$ માટે,$\theta R \theta$ નો અર્થ છે $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$. કારણ કે $1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$,આ $1 = 1$ થાય છે,જે સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $\theta R \phi$ હોય,તો $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$. $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ અને $\tan^{2} \phi = \sec^{2} \phi - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(1 + \tan^{2} \theta) - (\sec^{2} \phi - 1) = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\tan^{2} \theta - \sec^{2} \phi = -1$ અથવા $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \theta = 1$ થાય છે. આનો અર્થ છે $\phi R \theta$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $\theta R \phi$ અને $\phi R \psi$ હોય,તો $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ અને $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 1$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi + \sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 2$. કારણ કે $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \phi = 1$,આપણને $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi + 1 = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi = 1$. આનો અર્થ છે $\theta R \psi$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,$R$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(D) ધારો કે સંબંધ $R = \{(A, B) : B = P A Q^{-1}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે.
સ્વવાચકતા માટે: $A = I A I^{-1}$ જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે (જે વ્યસ્ત છે),તેથી $(A, A) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$. તો $B = P A Q^{-1}$. ડાબી બાજુ $P^{-1}$ અને જમણી બાજુ $Q$ વડે ગુણતા,આપણને $P^{-1} B Q = A$ મળે છે. $P^{-1}$ અને $Q$ વ્યસ્ત હોવાથી,ધારો કે $P' = P^{-1}$ અને $Q' = Q^{-1}$. તેથી $A = P' B (Q')^{-1}$,એટલે કે $(B, A) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$. તો $A = P_1 B Q_1^{-1}$ અને $B = P_2 C Q_2^{-1}$. $B$ ની કિંમત મૂકતા,$A = P_1 (P_2 C Q_2^{-1}) Q_1^{-1} = (P_1 P_2) C (Q_1 Q_2)^{-1}$. વ્યસ્ત શ્રેણિકોનો ગુણાકાર પણ વ્યસ્ત હોવાથી,$(A, C) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ એ $z$-અક્ષની આસપાસ $\theta = \frac{2\pi}{n}$ ખૂણે $3D$ અવકાશમાં પરિભ્રમણ શ્રેણિક દર્શાવે છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ,$A^k = \begin{bmatrix} \cos (k\theta) & \sin (k\theta) & 0 \\ -\sin (k\theta) & \cos (k\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^n$ માટે,આપણી પાસે $k = n$ છે,તેથી $k\theta = n \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi$.
આમ,$A^n = \begin{bmatrix} \cos (2\pi) & \sin (2\pi) & 0 \\ -\sin (2\pi) & \cos (2\pi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$A^{n-1}$ માટે,ખૂણો $(n-1) \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi - \frac{2\pi}{n}$ છે.
કારણ કે $n \geq 2$,$\frac{2\pi}{n}$ એ $2\pi$ નો ગુણક નથી,તેથી $A^{n-1} \neq I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) એકમ શ્રેણિક $I$ એ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ના સ્તંભોને ફરીથી ગોઠવવાથી ક્રમચય શ્રેણિકો (permutation matrices) મળે છે.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,$3$ સ્તંભોને ફરીથી ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
આમ,$P$ માટે $6$ અલગ-અલગ પસંદગીઓ છે.
જેহেতু $P$ એ ક્રમચય શ્રેણિક છે,તેનો નિશ્ચાયક એ ક્રમચયના ચિહ્ન જેટલો હોય છે,જે $1$ અથવા $-1$ હોય છે.
તેથી,$\operatorname{det}(P) = \pm 1$.
આમ,$P$ માટે છ અલગ-અલગ પસંદગીઓ છે અને $\operatorname{det}(P) = \pm 1$ છે.

(A) આપેલ છે,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ જાણીએ છીએ.
વળી,$\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$.
તેથી,$\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$.
આને $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ મળે.
આમ,$x = 5$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^2 + 1$ છે.
આપણે $f^{-1}([1, 6])$ ગણ શોધવો છે,જેમાં તમામ $x$ નો સમાવેશ થાય છે જેથી $f(x) \in [1, 6]$ થાય.
તેથી,$1 \le 3x^2 + 1 \le 6$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા: $0 \le 3x^2 \le 5$.
$3$ વડે ભાગતા: $0 \le x^2 \le \frac{5}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $-\sqrt{\frac{5}{3}} \le x \le \sqrt{\frac{5}{3}}$.
આમ,ગણ $[ -\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}} ]$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $y=3 \sin \left(\sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}\right)$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2} \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} \leq \frac{\pi^{2}}{16}$,તેથી $x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$.
ધારો કે $u = \sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}$. જેમ $x$ એ $0$ થી $\frac{\pi}{4}$ સુધી બદલાય છે,તેમ $u$ એ $\frac{\pi}{4}$ થી $0$ સુધી બદલાય છે.
આમ,$u$ નો વિસ્તાર $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ છે.
હવે,$y = 3 \sin(u)$. કારણ કે $u \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$,$\sin(u)$ એ $\sin(0) = 0$ થી $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ સુધી બદલાય છે.
તેથી,$y$ એ $3 \times 0 = 0$ થી $3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ સુધી બદલાય છે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\left[0, \frac{3}{\sqrt{2}}\right]$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} + bx + c$ છે.
આ એક દ્વિઘાત વિધેય છે જે પરવલય દર્શાવે છે.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ.
અહીં,$f(x) = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})$.
વર્ગ પદ હંમેશા અનૃણ હોવાથી,$f(x_1) = f(x_2)$ નો અર્થ એ નથી કે $x_1 = x_2$ (દા.ત.,$f(x) = x^2$ માં $f(1) = f(-1) = 1$),તેથી તે અનેક-એક વિધેય છે.
વધુમાં,આ વિધેયનો વિસ્તાર $[c - \frac{b^2}{4}, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $\mathbb{R}$ જેટલો નથી (જો સહપ્રદેશ $\mathbb{R}$ હોય તો),તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,આ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) આપેલ છે,$f(x)=\frac{\tan \{\pi[x-\frac{\pi}{2}]\}}{2+[x]^{2}}$.
કારણ કે $[x-\frac{\pi}{2}]$ એ તમામ $x$ માટે એક પૂર્ણાંક છે,ધારો કે $[x-\frac{\pi}{2}] = k$,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
તેથી અંશ $\tan(\pi k)$ બને છે,જે તમામ પૂર્ણાંક $k$ માટે $0$ ની બરાબર છે.
છેદ $2+[x]^{2}$ હંમેશા $\geq 2$ છે અને ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી,તેથી વિધેય સરળ બનીને $f(x) = \frac{0}{2+[x]^{2}} = 0$ થાય છે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
અચળ વિધેય $f(x) = 0$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સતત અને વિકલનીય છે.
તેથી,વિધેય $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સતત છે.

(C) વિધેય $f(x) = a \sin |x| + b e^{|x|}$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin |-h| + b e^{|-h|} - (a \sin 0 + b e^0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin(-h) + b e^{-h} - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-a \sin h + b(e^{-h} - 1)}{h} = -a - b$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin h + b e^h - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin h + b(e^h - 1)}{h} = a + b$.
વિકલનીયતા માટે,$LHD = RHD \implies -a - b = a + b \implies 2a + 2b = 0 \implies a + b = 0$.

(C) આપણને $g(x) = x f^{\prime}(x)$ આપેલ છે.
$g^{\prime}(0)$ શોધવા માટે,આપણે વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$g^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}$.
કારણ કે $g(0) = 0 \cdot f^{\prime}(0) = 0$,તેથી:
$g^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h f^{\prime}(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(h)$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{h \to 0} f^{\prime}(h) = f^{\prime}(0)$.
$f^{\prime}(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$g^{\prime}(0) = 1$ મળે છે.

(A, D) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$.
$x > 1$ માટે,$\int_{0}^{x} |1-t| dt = \int_{0}^{1} (1-t) dt + \int_{1}^{x} (t-1) dt$.
$= \left[ t - \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{1}^{x} = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{x^2}{2} - x - (\frac{1}{2} - 1) \right) = \frac{1}{2} + \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2} = \frac{x^2}{2} - x + 1$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2} - x + 1, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$.
$x=1$ આગળ સાતત્ય:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (\frac{x^2}{2} - x + 1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2}$.
$f(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $LHL = RHL = f(1)$,તેથી $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે.
$x=1$ આગળ વિકલનીયતા:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1-h - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\frac{(1+h)^2}{2} - (1+h) + 1) - \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1+2h+h^2}{2} - h - \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^2}{2}}{h} = 0$.
કારણ કે $LHD \neq RHD$,તેથી $f(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,વિકલ્પ $A$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(C) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,$[2, 7]$ પર વિકલનીય વિધેય $f(x)$ માટે,કોઈ $c \in (2, 7)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(7) - f(2)}{7 - 2}$ થાય.
આપેલ છે કે $(2, 7)$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ છે,તેથી $f^{\prime}(c) \leq 5$ થાય.
આપેલ કિંમતો $f(2) = 3$ અને અંતરાલ $[2, 7]$ મૂકતા:
$\frac{f(7) - 3}{7 - 2} \leq 5$
$\frac{f(7) - 3}{5} \leq 5$
$f(7) - 3 \leq 25$
$f(7) \leq 28$.
આમ,$f(7)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત $28$ છે.

(D) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$.
$x=0$ આગળ સાતત્ય: $LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$ અને $RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$. $LHL = RHL = f(0)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત છે.
$x=0$ આગળ વિકલનીયતા: $f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \sin(1/h)$. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી કારણ કે તે $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે. તેથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી.
રોલના પ્રમેય માટે $f(a) = f(b)$ અને $(a, b)$ પર વિકલનીયતા જરૂરી છે. $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય ન હોવાથી,તે $[-1, 1]$ કે $[0, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું નથી.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ માટે $[a, b]$ પર સાતત્ય અને $(a, b)$ પર વિકલનીયતા જરૂરી છે. અંતરાલ $[0, 1]$ માટે,$f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે. તેથી,તે $[0, 1]$ પર $LMVT$ ની શરતોનું પાલન કરે છે.

(C) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,$c \in (a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $[0, h]$ અંતરાલમાં $f(x) = \cos x$ આપેલ છે,તેથી $f'(c) = \frac{\cos h - \cos 0}{h - 0}$ થાય.
જ્યાં $c = \theta h$ અને $0 < \theta < 1$ છે,તેથી $f'(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ થાય.
$f'(x) = -\sin x$ હોવાથી,$-\sin(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ મળે.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ $\cos h \approx 1 - \frac{h^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\sin(\theta h) \approx \frac{1 - \frac{h^2}{2} - 1}{h} = -\frac{h}{2}$ મળે.
આમ,$\sin(\theta h) \approx \frac{h}{2}$ થાય.
નાના $h$ માટે,$\sin(\theta h) \approx \theta h$ હોવાથી,$\theta h \approx \frac{h}{2}$ થાય.
તેથી,$\theta \approx \frac{1}{2}$ મળે.
જ્યારે $h \rightarrow 0^{+}$ લઈએ,ત્યારે $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \theta = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int_{0}^{2} e^{x^{4}}(x - \alpha) dx = 0$.
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx = \alpha \int_{0}^{2} e^{x^{4}} dx$.
તેથી,$\alpha = \frac{\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx}{\int_{0}^{2} e^{x^{4}} dx}$.
ધારો કે $f(x) = e^{x^{4}}$. કારણ કે $f(x) > 0$ એ તમામ $x \in [0, 2]$ માટે છે,$\alpha$ માટેનું પદ એ અંતરાલ $[0, 2]$ માં $x$ ની કિંમતોની ભારિત સરેરાશ (weighted average) દર્શાવે છે.
જેમ કે $x$ ની કિંમત $0$ થી $2$ ની વચ્ચે છે,તેથી ભારિત સરેરાશ $\alpha$ પણ અંતરાલ $[0, 2]$ માં $x$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતોની વચ્ચે જ હોવી જોઈએ.
તેથી,$0 < \alpha < 2$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \in (0, 2)$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$.
આપણે $\int_{0}^{2} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે વિધેયની વ્યાખ્યા $x = 1$ આગળ બદલાય છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીશું:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} (2x^2 + 1) dx + \int_{1}^{2} (4x^3 - 1) dx$.
પ્રથમ ભાગનું સંકલન:
$\int_{0}^{1} (2x^2 + 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2(1)^3}{3} + 1 \right) - (0) = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
બીજા ભાગનું સંકલન:
$\int_{1}^{2} (4x^3 - 1) dx = \left[ x^4 - x \right]_{1}^{2} = (2^4 - 2) - (1^4 - 1) = (16 - 2) - (0) = 14$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \frac{5}{3} + 14 = \frac{5 + 42}{3} = \frac{47}{3}$.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \max \{x+|x|, x-[x]\}$.
$x \geq 0$ માટે,$x+|x| = 2x$ અને $x-[x] = \{x\} \in [0, 1)$. કારણ કે $x \geq 0$ માટે $2x \geq \{x\}$,તેથી $f(x) = 2x$.
$x < 0$ માટે,$x+|x| = x-x = 0$ અને $x-[x] = \{x\} \in [0, 1)$. કારણ કે $0 \leq \{x\} < 1$,તેથી $f(x) = x-[x] = \{x\}$.
આમ,$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \int_{-3}^{0} (x-[x]) dx + \int_{0}^{3} 2x dx$.
$x-[x]$ એ $1$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય હોવાથી,$\int_{-3}^{0} (x-[x]) dx = 3 \int_{0}^{1} x dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3}{2}$.
અને $\int_{0}^{3} 2x dx = [x^2]_0^3 = 9$.
તેથી,$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$.

(D) આપેલ છે,$M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$.
નિત્યસમ $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$.
ધારો કે $2x = t$,તો $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/4, t=\pi/2$.
$N = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(t/2 + 1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(\frac{t+2}{2})^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
હવે,$M - N = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{x+2} - \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} \right) dx$.
$\int \frac{\cos x}{x+2} dx$ પર ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{1}{x+2}$ અને $dv = \cos x dx$ લેતા,$du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ અને $v = \sin x$ મળે.
$M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
આમ,$M - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$.

(A) આપેલ વક્રો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ છે,જે પરવલયો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=x^{2}$ ને $x=y^{2}$ માં મૂકતા:
$x=(x^{2})^{2}$
$x=x^{4}$
$x^{4}-x=0$
$x(x^{3}-1)=0$
$x(x-1)(x^{2}+x+1)=0$
અહીં $x^{2}+x+1=0$ ના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,તેથી $x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $y=0$. જ્યારે $x=1$,ત્યારે $y=1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=(\cos x+y)^{1/2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \cos x + y$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x + \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -\sin x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dx}(2y - 1) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2 \frac{dy}{dx}) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \cos x = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ એ દ્વિતીય ક્રમનું સુરેખ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $u(x)$ અને $v(x)$ બે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય,તો તેમનું કોઈપણ સુરેખ સંયોજન $y = c_{1}u(x) + c_{2}v(x)$ પણ ઉકેલ બને છે,જ્યાં $c_{1}$ અને $c_{2}$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
વિકલ્પ $A$ એ સુરેખ સંયોજનનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે જ્યાં $c_{1}=5$ અને $c_{2}=8$ છે.
વિકલ્પ $B$ ને $y = c_{1}u(x) + (c_{2}-c_{1})v(x)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે $u(x)$ અને $v(x)$ નું નવા સ્વૈચ્છિક અચળાંકો સાથેનું સુરેખ સંયોજન છે.
તેથી,$A$ અને $B$ બંને વિકલ સમીકરણના ઉકેલો દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ છે.
બંને બાજુ $(1+x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}} y = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ અને $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.
$y$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x \phi(y^2/x^2)}{y \phi'(y^2/x^2)}$ મળે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{x \phi(v^2)}{vx \phi'(v^2)} = v + \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
ધારો કે $u = v^2$,તેથી $du = 2v dv$,એટલે કે $v dv = \frac{1}{2} du$.
સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \int \frac{\phi'(u)}{\phi(u)} du = \ln|x| + C_1$.
$\frac{1}{2} \ln|\phi(u)| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln|\phi(v^2)| = 2 \ln|x| + 2C_1 = \ln|x^2| + \ln|c|$.
આમ,$\phi(v^2) = c x^2$.
$v^2 = y^2/x^2$ મૂકતા,$\phi(y^2/x^2) = c x^2$ મળે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ અને $Q = \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log_{e} x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. તેથી,$\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.
તેથી,$IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ છે.
$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.
ધારો કે $v = \log_{e} x$,તો $dv = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ બને છે.
તેથી,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.
જ્યારે $x = e$ ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે,તેથી $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.
$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $\log_{e} x$ વડે ભાગતા અથવા $2$ વડે ગુણતા,$2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$,જેનું સાદું રૂપ $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે,$\sqrt{y}=\cos ^{-1} x \Rightarrow y=(\cos ^{-1} x)^{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos ^{-1} x) \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
બંને બાજુ $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} = -2 \cos ^{-1} x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} \times \left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -2 \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = 2$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = 2$ મળે છે.

(C) જ્યારે પાસાને $12$ વખત ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^{12}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $6$ બાજુઓમાંથી દરેક બરાબર $2$ વાર આવે.
આ મલ્ટિનોમિયલ વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં આપણે $12$ પરિણામોને $6$ જૂથોમાં વહેંચીએ છીએ,જેમાં દરેક જૂથનું કદ $2$ છે.
દરેક બાજુ બે વાર આવે તે રીતે $12$ પરિણામોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{12!}{2! 2! 2! 2! 2! 2!} = \frac{12!}{(2!)^6} = \frac{12!}{2^6}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના:
$P = \frac{12!}{2^6 \times 6^{12}}$.

(C, D) આપેલ છે કે,$P(A)=0.7$ અને $P(B)=0.6.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap B) \leq P(A)$ અને $P(A \cap B) \leq P(B).$
તેથી,$P(A \cap B) \leq \min(0.7, 0.6) = 0.6.$
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
$P(A \cup B) \leq 1$ હોવાથી,$0.7 + 0.6 - P(A \cap B) \leq 1 \Rightarrow P(A \cap B) \geq 0.3.$
આમ,$P(A \cap B)$ ની રેન્જ $0.3 \leq P(A \cap B) \leq 0.6$ છે.
આથી,વિકલ્પો $(c)$ અને $(d)$ હંમેશા ખોટા છે.

(C) ધારો કે $B$ એ છોકરો અને $G$ એ છોકરી દર્શાવે છે. $2$ બાળકો માટે શક્ય પરિણામો $\{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં દરેક પરિણામની સંભાવના $1/4$ છે.
આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછું $1$ બાળક છોકરો છે,તેથી નિદર્શાવકાશ ઘટીને $S = \{BB, BG, GB\}$ થાય છે.
ઘટેલા નિદર્શાવકાશમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 3$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે બીજું બાળક છોકરી હોય,જે એવા પરિણામોને અનુરૂપ છે જેમાં બરાબર $1$ છોકરો અને $1$ છોકરી હોય. આ પરિણામો $\{BG, GB\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો નથી,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી પ્રશ્નનો જવાબ સાચો આપે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(E_2) = p$ અને $P(E_1) = 1 - p$.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_2) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો નથી,તો તે $5$ વિકલ્પોમાંથી એક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરે છે,તેથી સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{1}{5}$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો હતો (યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યો નથી) જ્યારે તેણે જવાબ સાચો આપ્યો હોય,જે $P(E_2|E)$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) P(E|E_2)}{P(E_1) P(E|E_1) + P(E_2) P(E|E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|E) = \frac{p \times 1}{(1 - p) \times \frac{1}{5} + p \times 1}$
$P(E_2|E) = \frac{p}{\frac{1 - p + 5p}{5}}$
$P(E_2|E) = \frac{5p}{1 + 4p}$