WBJEE 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया है,$\log _{101} \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})=0$
$\therefore \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x}) = (101)^{0} = 1$
$\Rightarrow \sqrt{x+7}+\sqrt{x} = 7^{1} = 7$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})^{2} = 7^{2}$
$x+7+x+2\sqrt{x(x+7)} = 49$
$2x+7+2\sqrt{x^{2}+7x} = 49$
$2\sqrt{x^{2}+7x} = 42-2x$
$\sqrt{x^{2}+7x} = 21-x$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^{2}+7x = (21-x)^{2}$
$x^{2}+7x = 441 - 42x + x^{2}$
$7x = 441 - 42x$
$49x = 441$
$x = \frac{441}{49} = 9$

(C) माना $y = 20^{301}$.
$y$ में अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ की गणना करते हैं।
$\log_{10} y = \log_{10} (20^{301}) = 301 \times \log_{10} (2 \times 10)$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{10} y = 301 \times (\log_{10} 2 + \log_{10} 10) = 301 \times (0.3010 + 1) = 301 \times 1.3010$.
$301 \times 1.3010 = 391.601$.
अंकों की संख्या $\lfloor 391.601 \rfloor + 1 = 391 + 1 = 392$ है।

(C) चूंकि $a, b$ और $c$ एक $GP$ में हैं,इसलिए $b^{2} = ac$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $2 \log_{e} b = \log_{e} a + \log_{e} c$ प्राप्त होता है।
दिया गया द्विघात समीकरण $(\log_{e} a) x^{2} - (2 \log_{e} b) x + \log_{e} c = 0$ है।
समीकरण में $x = 1$ रखने पर,हमें $(\log_{e} a) - (2 \log_{e} b) + \log_{e} c = 0$ प्राप्त होता है,जो $\log_{e} a + \log_{e} c = 2 \log_{e} b$ में सरल हो जाता है,जो सत्य है।
अतः,$x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
माना दूसरा मूल $\alpha$ है। मूलों का गुणनफल $\frac{\log_{e} c}{\log_{e} a}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$1 \times \alpha = \frac{\log_{e} c}{\log_{e} a} = \log_{a} c$ है।
अतः,मूल $1$ और $\log_{a} c$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $pq(x^{2}+1) = r^{2}x$ है,जिसे $x^{2} - \frac{r^{2}}{pq}x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\tan A$ और $\tan B$ मूल हैं,इसलिए $\tan A + \tan B = \frac{r^{2}}{pq}$ और $\tan A \tan B = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $A + B = 180^{\circ} - C$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan(A + B) = \tan(180^{\circ} - C) = -\tan C$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\frac{r^{2}}{pq}}{1 - 1} = -\tan C$ मिलता है।
इसका अर्थ है $\frac{r^{2}/pq}{0} = -\tan C$,जिसका अर्थ है कि $\tan C$ अपरिभाषित है।
अतः,$C = 90^{\circ}$,जो दर्शाता है कि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल हैं और $\alpha+h, \beta+h$ समीकरण $px^{2}+qx+r=0$ के मूल हैं।
पहले समीकरण के लिए,विविक्तकर $D_{1} = b^{2}-4ac$ है और मूलों का अंतर $(\alpha-\beta)^{2} = \frac{D_{1}}{a^{2}}$ है।
दूसरे समीकरण के लिए,विविक्तकर $D_{2} = q^{2}-4pr$ है और मूलों का अंतर $((\alpha+h)-(\beta+h))^{2} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$ है।
चूँकि $(\alpha+h)-(\beta+h) = \alpha-\beta$,इसलिए $(\alpha-\beta)^{2} = ((\alpha+h)-(\beta+h))^{2}$ होगा।
अतः,$\frac{D_{1}}{a^{2}} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{D_{1}}{D_{2}} = \frac{a^{2}}{p^{2}}$.
इस प्रकार,विविक्तकरों का अनुपात $a^{2}: p^{2}$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$,$x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}=0$ है।
$\beta$,$x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ का एक मूल है,इसलिए $\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}=0$ है।
मान लीजिए $f(x)=x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}$ है।
$f(\alpha)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(\alpha)=\alpha^{2}+6 p^{2} \alpha+10 q^{2} = (\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}) + 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} = 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} > 0$ है।
$f(\beta)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(\beta)=\beta^{2}+6 p^{2} \beta+10 q^{2} = (\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}) - (3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) = -(3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) < 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है और $f(\alpha) > 0$ तथा $f(\beta) < 0$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा मूल $\gamma$ मौजूद है जो $\alpha < \gamma < \beta$ को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-x-1=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^{2}-\alpha-1=0 \implies \alpha^{2}=\alpha+1$
$\beta^{2}-\beta-1=0 \implies \beta^{2}=\beta+1$
क्रमशः $\alpha^{n-1}$ और $\beta^{n-1}$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{n+1}=\alpha^{n}+\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1}=\beta^{n}+\beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha^{n}+\beta^{n})+(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
$S_{n}$ की परिभाषा के अनुसार,यह है:
$S_{n+1}=S_{n}+S_{n-1}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+p x+q=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।
सबसे पहले,$\alpha^{3}+\beta^{3}$ की गणना करें:
$\alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) = (-p)^{3}-3 q(-p) = -p^{3}+3 p q = 3 p q-p^{3}$.
इसके बाद,$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$ की गणना करें:
$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2} - \alpha^{2} \beta^{2} = [(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta]^{2} - (\alpha \beta)^{2} = [(-p)^{2}-2 q]^{2} - q^{2} = (p^{2}-2 q)^{2} - q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+4 q^{2}-q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+3 q^{2} = p^{2}(p^{2}-3 q)-q(p^{2}-3 q) = (p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$.
अतः,मान $3 p q-p^{3}$ और $(p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$ हैं।

(B) दिया गया है,$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} x^n$.
हम इसे $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $e^y = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$,इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = (e^{2x} - 1) - (e^x - 1) = e^{2x} - e^x$ प्राप्त होता है।
$f(x) = 0$ रखने पर,$e^{2x} - e^x = 0$,जिसका अर्थ है $e^x(e^x - 1) = 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है,इसलिए $e^x - 1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $e^x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 0$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x-1}$ है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए,$x \ge 1$ होना आवश्यक है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x+1) + (x-1) - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ प्राप्त होता है।
यह $2x - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ या $-2\sqrt{x^2-1} = 2x-1$ में सरल हो जाता है।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(x^2-1) = 4x^2 - 4x + 1$ प्राप्त होता है।
इससे $4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$ मिलता है,जो $4x = 5$ अर्थात $x = \frac{5}{4}$ देता है।
मूल समीकरण में $x = \frac{5}{4}$ रखने पर,बायां पक्ष $\sqrt{\frac{9}{4}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 1$ प्राप्त होता है,जबकि दायां पक्ष $\sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि $1 \neq 2$,इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) माना $z = x + iy$.
तब व्यंजक $|x+iy|^2 + |(x-3)+iy|^2 + |x+i(y-1)|^2$ हो जाता है।
$= (x^2 + y^2) + ((x-3)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2)$.
$= x^2 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 + x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$= 3x^2 - 6x + 3y^2 - 2y + 10$.
$= 3(x-1)^2 + 3(y - \frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$.
यह व्यंजक न्यूनतम तब होता है जब $x-1 = 0$ और $y - \frac{1}{3} = 0$ हो।
अतः,$x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$z = 1 + \frac{i}{3}$.

(B) दिया गया है कि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ इकाई वृत्त $|z| = 1$ में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त में स्थित है,इसलिए शीर्ष $z_{2}$ और $z_{3}$ को $z_{1}$ को क्रमशः $\frac{2\pi}{3}$ और $\frac{4\pi}{3}$ रेडियन के कोण पर घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
अतः,$z_{2} = z_{1}\omega$ और $z_{3} = z_{1}\omega^{2}$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
इसलिए,गुणनफल $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1} \times (z_{1}\omega) \times (z_{1}\omega^{2}) = z_{1}^{3} \omega^{3}$।
चूंकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1}^{3}$।

(B) दिया गया समीकरण $1+z+z^{3}+z^{4}=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(1+z) + z^{3}(1+z) = 0$.
$(1+z)(1+z^{3}) = 0$.
इसका अर्थ है $1+z=0$ या $1+z^{3}=0$.
अतः,$z = -1$ या $z^{3} = -1$.
$z^{3} = -1$ के मूल $e^{i\pi/3}, e^{i\pi}, e^{i5\pi/3}$ हैं।
इस प्रकार,भिन्न मूल $z = -1, e^{i\pi/3}, e^{i5\pi/3}$ हैं।
ये तीन बिंदु आर्गंड समतल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(A) इकाई के $1$ के अलावा घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega = e^{i 2\pi/3}$ है।
दिया गया $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}$ एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{\alpha}{\beta}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\alpha/\beta)} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}$ होता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$,इसलिए $\alpha + \beta = \omega + \omega^{2} = -1$ है।
स्थिति $I$: यदि $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^{2}$ है,तो $S = \frac{\omega^{2}}{\omega + \omega^{2}} = \frac{\omega^{2}}{-1} = -\omega^{2}$।
स्थिति $II$: यदि $\alpha = \omega^{2}$ और $\beta = \omega$ है,तो $S = \frac{\omega}{\omega^{2} + \omega} = \frac{\omega}{-1} = -\omega$।
अतः,$S$ का मान $-\omega$ या $-\omega^{2}$ है।

(A) चूंकि $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं,इसलिए $|z_{1} - z_{2}| = |z_{2} - z_{3}| = |z_{3} - z_{1}| = k$ है।
दिया गया है $\alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$,इसलिए $|\alpha| = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1$ है।
मान लीजिए $A = \alpha z_{1} + \beta$,$B = \alpha z_{2} + \beta$,और $C = \alpha z_{3} + \beta$ है।
अब $A$ और $B$ के बीच की दूरी $|A - B| = |(\alpha z_{1} + \beta) - (\alpha z_{2} + \beta)| = |\alpha(z_{1} - z_{2})| = |\alpha| |z_{1} - z_{2}| = 1 \cdot k = k$ है।
इसी प्रकार,$|B - C| = |\alpha(z_{2} - z_{3})| = k$ और $|C - A| = |\alpha(z_{3} - z_{1})| = k$ है।
चूंकि नए बिंदुओं के बीच की दूरियां समान हैं,इसलिए वे एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(A) समीकरण $|z-z_{1}|+|z-z_{2}|=k$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है यदि $k > |z_{1}-z_{2}|$ हो।
दिए गए समीकरण में,$k = 2|z_{1}-z_{2}|$ है।
चूंकि $2|z_{1}-z_{2}| > |z_{1}-z_{2}|$,इसलिए दीर्घवृत्त की शर्त पूरी होती है।
अतः,$z$ का बिंदुपथ $z_{1}$ और $z_{2}$ पर नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त है।

(C) $7$ व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनने के तरीके ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
$4$ स्वरों में से $2$ स्वर चुनने के तरीके ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$5$ अक्षरों को चुनने के कुल तरीके $35 \times 6 = 210$ हैं।
चूंकि इन $5$ चुने गए अक्षरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए शब्दों की कुल संख्या $210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$ है।

(A) हम जानते हैं कि $AM-GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ होता है।
$2^{\sin x}$ और $2^{\cos x}$ पर इसे लागू करने पर:
$\frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x+\cos x}{2}} = 2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$।
हम जानते हैं कि $\sin x+\cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
व्यंजक $2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें घातांक $1+\frac{\sin x+\cos x}{2}$ को न्यूनतम करना होगा।
$\sin x+\cos x$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,न्यूनतम मान $2^{1+\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$f(x) = x + \frac{1}{2} = \frac{2x+1}{2}$.
$f(2x) = 2x + \frac{1}{2} = \frac{4x+1}{2}$.
$f(4x) = 4x + \frac{1}{2} = \frac{8x+1}{2}$.
चूंकि $f(x), f(2x), f(4x)$ $HP$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{f(x)}, \frac{1}{f(2x)}, \frac{1}{f(4x)}$ $AP$ में होंगे।
अतः,$\frac{2}{f(2x)} = \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(4x)}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{4x+1} = \frac{2}{2x+1} + \frac{2}{8x+1}$.
$\frac{2}{4x+1} = \frac{10x+2}{(2x+1)(8x+1)}$.
$2(2x+1)(8x+1) = (4x+1)(10x+2)$.
$32x^2 + 20x + 2 = 40x^2 + 18x + 2$.
$8x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(4x - 1) = 0$.
$x = 0$ या $x = 1/4$.
यदि $x = 0$ है,तो पद $1/2, 1/2, 1/2$ हैं,जो समान हैं।
यदि $x = 1/4$ है,तो पद $3/4, 1, 3/2$ हैं,जो $HP$ में हैं।
अतः,$x$ का केवल $1$ वास्तविक मान संभव है।

(C) अंश में दी गई श्रेणी $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ का सामान्य पद $T_n$ अंतर विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। प्रथम अंतर $7, 13, 19, 25, \ldots$ हैं,जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अतः,$T_n = an^2 + bn + c$।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a+b+c = 1$।
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a+2b+c = 8$।
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a+3b+c = 21$।
इन्हें हल करने पर,हमें $a=3, b=-2, c=0$ प्राप्त होता है। इसलिए,$T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$।
श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ है।
चूंकि पहला पद $1$ ($n=1$ के लिए) है,हम $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $k = n-1$,तो $n = k+1$।
$S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$।
चूंकि $2 < e < 3$,इसलिए $8 < 4e < 12$।
अतः,$8 < S < 12$।

(A) $\left(a x^{2}+\frac{1}{b x}\right)^{13}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x^{2})^{13-r} (b^{-1} x^{-1})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} b^{-r} x^{26-3r}$ है।
$x^{8}$ के गुणांक के लिए,$26-3r = 8$ रखें,जिससे $3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6}$ है।
$\left(a x-\frac{1}{b x^{2}}\right)^{13}$ का सामान्य पद $T'_{r+1} = {}^{13}C_{r} (a x)^{13-r} (-b^{-1} x^{-2})^{r} = {}^{13}C_{r} a^{13-r} (-1)^{r} b^{-r} x^{13-3r}$ है।
$x^{-8}$ के गुणांक के लिए,$13-3r = -8$ रखें,जिससे $3r = 21$,अतः $r = 7$ प्राप्त होता है।
गुणांक $-{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर:
${}^{13}C_{6} a^{7} b^{-6} = -{}^{13}C_{7} a^{6} b^{-7}$।
चूंकि ${}^{13}C_{6} = {}^{13}C_{7}$,इसलिए $a^{7} b^{-6} = -a^{6} b^{-7}$।
$a^{6} b^{-6}$ से भाग देने पर,$a = -b^{-1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ab = -1$,या $ab+1=0$।

(B) हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके व्यंजक को विघटित कर सकते हैं: $\frac{2}{(1-x)(2-x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर: $2 = A(2-x) + B(1-x)$.
$x=1$ के लिए,$2 = A(1) \implies A=2$.
$x=2$ के लिए,$2 = B(-1) \implies B=-2$.
अतः,$\frac{2}{(1-x)(2-x)} = \frac{2}{1-x} - \frac{2}{2-x} = 2(1-x)^{-1} - (1-\frac{x}{2})^{-1}$.
द्विपद श्रेणी $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$2(1 + x + x^2 + x^3 + \dots) - (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots)$.
$x^3$ का गुणांक $2(1) - \frac{1}{8} = 2 - \frac{1}{8} = \frac{16-1}{8} = \frac{15}{8}$ है।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार इस प्रकार है:
$(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$
और $(x+1)^{n} = { }^{n} C_{0} x^{n}+{ }^{n} C_{1} x^{n-1}+{ }^{n} C_{2} x^{n-2}+\ldots+{ }^{n} C_{n}$.
इन दो व्यंजकों का गुणा करने पर,हमें $(1+x)^{2n} = (1+x)^{n}(x+1)^{n}$ प्राप्त होता है।
$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2n} C_{n}$ है।
दो श्रेणियों का गुणा करने पर,$x^{n}$ का गुणांक संबंधित गुणांकों के गुणनफल का योग है:
$({ }^{n} C_{0})^{2} + ({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n}$.
दिया गया योग $({ }^{n} C_{1})^{2}$ से शुरू होता है,इसलिए हम पहले पद $({ }^{n} C_{0})^{2} = 1$ को घटा देंगे:
$({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n} - ({ }^{n} C_{0})^{2} = { }^{2n} C_{n} - 1$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ होता है।
दी गई श्रेणी $E = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$n=1: \sin \left(\frac{\pi}{720}\right)$
$n=2: \sin \left(\frac{\pi}{360}\right)$
$n=3: \sin \left(\frac{\pi}{120}\right)$
$n=4: \sin \left(\frac{\pi}{30}\right)$
$n=5: \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$n=6: \sin(\pi) = 0$
सभी $n \ge 6$ के लिए,$n!$ संख्या $720$ का गुणज है,इसलिए $\sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right) = 0$ होता है।
अतः,योग $\sin \left(\frac{\pi}{720}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{360}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{120}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{30}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$. साथ ही,$\cot \frac{4 \pi}{5} = -\cot \frac{\pi}{5}$.
दिए गए व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{4 \pi}{7} + \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ से गुणा करने पर:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = (\sin \frac{3 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{5 \pi}{7} - \sin \frac{3 \pi}{7}) + (\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{5 \pi}{7})$.
$\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}$ को छोड़कर सभी पद कट जाते हैं।
चूंकि $\sin \pi = 0$,हमें $2 \sin \frac{\pi}{7} S = -\sin \frac{\pi}{7}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \frac{\pi}{7} \neq 0$,इसलिए $S = -\frac{1}{2}$.
अतः,योग एक ऋणात्मक संख्या है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y=0$,$L_2: 5x+y=4$,और $L_3: x+5y=4$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $A = (1, -1)$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $C = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर: $B = (2/3, 2/3)$ प्राप्त होता है।
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$BC = \frac{\sqrt{26}}{3}$
$CA = 2\sqrt{2}$
यहाँ $AB = BC$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) यह शर्त कि एक वृत्त $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ किसी अन्य वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ को उसके व्यास के सिरों पर काटता है,लंबकोणीयता की शर्त $2(gg_{i}+ff_{i})=c+c_{i}$ के समतुल्य है।
प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-5=0$ के लिए,$g_{1}=0, f_{1}=0, c_{1}=-5$. शर्त लागू करने पर: $2(g(0)+f(0))=c-5 \Rightarrow c=5$.
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-8x-6y+10=0$ के लिए,$g_{2}=-4, f_{2}=-3, c_{2}=10$. शर्त लागू करने पर: $2(g(-4)+f(-3))=c+10$ $\Rightarrow 2(-4g-3f)=5+10$ $\Rightarrow 4g+3f=-15/2$.
तीसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x+2y-2=0$ के लिए,$g_{3}=-2, f_{3}=1, c_{3}=-2$. शर्त लागू करने पर: $2(g(-2)+f(1))=c-2$ $\Rightarrow 2(-2g+f)=5-2$ $\Rightarrow -2g+f=3/2$.
समीकरणों $4g+3f=-7.5$ और $-2g+f=1.5$ को हल करने पर:
दूसरे समीकरण से,$f=2g+1.5$. पहले में प्रतिस्थापित करने पर: $4g+3(2g+1.5)=-7.5$ $\Rightarrow 10g+4.5=-7.5$ $\Rightarrow 10g=-12$ $\Rightarrow g=-1.2$.
तब $f=2(-1.2)+1.5 = -2.4+1.5 = -0.9$.
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $4f = 4(-0.9) = -3.6$ और $3g = 3(-1.2) = -3.6$. अतः,$4f=3g$ सही है।

(A) दिया गया है,$y=[|\sin x|+|\cos x|]$ और $x^{2}+y^{2}=10$.
हम जानते हैं कि $(|\sin x|+|\cos x|) \in [1, \sqrt{2}]$.
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,इसलिए $y = 1$ होगा।
दिए गए वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=1$ को $x^{2}+y^{2}=10$ में रखने पर:
$x^{2}+1^{2}=10$ $\Rightarrow x^{2}=9$ $\Rightarrow x=\pm 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ और $(-3, 1)$ हैं।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=10$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
बिंदु $(-3, 1)$ पर,ढाल $m_{1} = -(-3)/1 = 3$.
रेखा $y=1$ एक क्षैतिज रेखा है,इसलिए इसकी ढाल $m_{2} = 0$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{3-0}{1+3(0)}| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=12$,अतः $a=3$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $y=4x+3$ की ढाल $m=4$ है।
परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{y_{1}}{2a}$ होती है।
चूंकि अभिलंब रेखा $y=4x+3$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $4$ होगी। अतः,$-\frac{y_{1}}{2(3)} = 4$,जिससे $y_{1} = -24$ प्राप्त होता है।
$y_{1} = -24$ को परवलय के समीकरण में रखने पर,$(-24)^{2} = 12x$,अतः $576 = 12x$,जिससे $x_{1} = 48$ प्राप्त होता है।
परवलय पर बिंदु $(48, -24)$ है।
$(48, -24)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-24) = 4(x - 48)$ है,जो $4x - y - 216 = 0$ हो जाता है।
दी गई रेखा $4x - y + 3 = 0$ है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_{1} = 0$ और $Ax + By + C_{2} = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_{1} - C_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|3 - (-216)|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|3 + 216|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{219}{\sqrt{17}}$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $y^{2} = 64x$ $(i)$ है।
परवलय पर स्थित वह बिंदु जो रेखा $4x + 3y + 35 = 0$ के सबसे निकट है,वह बिंदु है जहाँ स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समानांतर होती है।
रेखा $4x + 3y + 35 = 0$ की ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 64$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{32}{y}$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{32}{y} = -\frac{4}{3} \Rightarrow y = -24$.
$y = -24$ को $(i)$ में रखने पर:
$(-24)^{2} = 64x$ $\Rightarrow 576 = 64x$ $\Rightarrow x = 9$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(9, -24)$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $f(x) = x^{2} + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b$ है।
परवलय $y = f(x)$ का शीर्ष $x = -\frac{b}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$ पर स्थित होता है।
अब,$f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = 2x + b$.
बिंदु $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = -\frac{b}{2}$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$f'\left(-\frac{b}{2}\right) = 2\left(-\frac{b}{2}\right) + b = -b + b = 0$.
ढाल $0$ होने का अर्थ है कि स्पर्श रेखा क्षैतिज है,अर्थात यह $x$-अक्ष के समानांतर है।
इसलिए,स्पर्श रेखा और $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण $0^{\circ}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(7x+5)^{2}+(7y+3)^{2}=\lambda^{2}(4x+3y-24)^{2}$ है।
यह $SP^{2} = \lambda^{2} PM^{2}$ के रूप में है,जहाँ $S$ नाभि है और $PM$ नियता से लंबवत दूरी है।
परवलय के लिए उत्केंद्रता $e = 1$ होनी चाहिए।
यहाँ,$e = \lambda \cdot \frac{\sqrt{4^2+3^2}}{7} = \lambda \cdot \frac{5}{7}$ है।
परवलय के लिए $e = 1$ होने पर,$\lambda \cdot \frac{5}{7} = 1$ होगा।
अतः,$\lambda = \pm \frac{7}{5}$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{25}=1$ है।
यहाँ,$a^{2}=144$ और $b^{2}=25$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 12 \times \frac{\sqrt{119}}{12}, 0) = (\pm \sqrt{119}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, \sqrt{2})$ है और यह नाभियों $(\pm \sqrt{119}, 0)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(0, \sqrt{2})$ और नाभि $(\sqrt{119}, 0)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(\sqrt{119}-0)^{2} + (0-\sqrt{2})^{2}}$
$r = \sqrt{119 + 2} = \sqrt{121} = 11$.

(A) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
दिया है,नाभियाँ $(\pm 8, 0) = (\pm ae, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 8$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 24$ है,जिसका अर्थ है $b^{2} = 12a$।
हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$।
$ae = 8$ और $b^{2} = 12a$ रखने पर,हमें $12a = 8^{2} - a^{2}$ प्राप्त होता है।
$a^{2} + 12a - 64 = 0$।
$(a + 16)(a - 4) = 0$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
तब $b^{2} = 12(4) = 48$।
$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 48$ को मानक समीकरण में रखने पर: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$।
$48$ से गुणा करने पर,हमें $3x^{2} - y^{2} = 48$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^{2}=8 \sqrt{3} x$ के लिए स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+c$ है,जहाँ $c=\frac{a}{m}$.
यहाँ $4a=8 \sqrt{3}$,इसलिए $a=2 \sqrt{3}$.
अतः,$c=\frac{2 \sqrt{3}}{m}$.
अतिपरवलय $4x^{2}-y^{2}=4$ के लिए,$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1$,जहाँ $a^{2}=1$ और $b^{2}=4$.
स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है.
मान रखने पर,$c^{2}=m^{2}-4$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\left(\frac{2 \sqrt{3}}{m}\right)^{2}=m^{2}-4$
$\frac{12}{m^{2}}=m^{2}-4$
$m^{4}-4m^{2}-12=0$
$(m^{2}-6)(m^{2}+2)=0$.
$m^{2}=-2$ संभव नहीं है,इसलिए $m^{2}=6$,अर्थात $m=\sqrt{6}$ (धनात्मक ढाल के लिए).
अतः $c=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}$.
इस प्रकार,स्पर्शरेखा का समीकरण $y=\sqrt{6}x+\sqrt{2}$ है.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a \sin x-\sin 2 x}{\tan ^{3} x} = 1$.
$\sin x$ और $\sin 2x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a(x - \frac{x^3}{6}) - (2x - \frac{8x^3}{6})}{x^3} = 1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2a - 2)x + (\frac{8}{6} - \frac{2a}{6})x^3}{x^3} = 1$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $2a - 2 = 0$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ का मान $1$ है।

(D) दिया गया है,$f^{\prime}(4)=5$.
हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(4)-f\left(x^{2}\right)}{x-2}$ का मूल्यांकन करना है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital नियम लागू करते हैं।
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}[f(4)-f(x^2)]}{\frac{d}{dx}[x-2]}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{0 - f^{\prime}(x^2) \cdot 2x}{1}$
$x=2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = -f^{\prime}(2^2) \cdot 2(2) = -f^{\prime}(4) \cdot 4$
चूंकि $f^{\prime}(4)=5$,इसलिए $L = -(5) \cdot 4 = -20$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x-1 < [x] \leq x$ होता है।
$x = n\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n\sqrt{2}-1 < [n\sqrt{2}] \leq n\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $n$ से विभाजित करने पर,$\frac{n\sqrt{2}-1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \frac{n\sqrt{2}}{n}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sqrt{2} - \frac{1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \sqrt{2}$ हो जाता है।
जब $n \rightarrow \infty$ हो,तो सीमा लेने पर $\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{2} - \frac{1}{n}) = \sqrt{2}$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{[n\sqrt{2}]}{n} = \sqrt{2}$।

(B) मान लीजिए $n^{th}$ पद का अंश $a_{n} = 1, 10, 21, 34, 49, \ldots$ है।
यह एक द्विघात अनुक्रम है। प्रथम अंतर $9, 11, 13, 15, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
सामान्य पद $a_{n} = An^{2} + Bn + C$ द्वारा दिया जाता है।
$n=1$ के लिए,$a_{1} = A + B + C = 1$.
$n=2$ के लिए,$a_{2} = 4A + 2B + C = 10$.
$n=3$ के लिए,$a_{3} = 9A + 3B + C = 21$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $(a_{2}-a_{1}) = 3A + B = 9$ और $(a_{3}-a_{2}) = 5A + B = 11$.
घटाने पर $2A = 2 \Rightarrow A = 1$ प्राप्त होता है।
तब $3(1) + B = 9 \Rightarrow B = 6$.
तब $1 + 6 + C = 1 \Rightarrow C = -6$.
अतः,$a_{n} = n^{2} + 6n - 6$.
श्रेणी का $n^{th}$ पद $t_{n} = \frac{n^{2} + 6n - 6}{n!}$ है।
जैसे $n \rightarrow \infty$,फैक्टोरियल $n!$ बहुपद $n^{2} + 6n - 6$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है।
इसलिए,$\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2} + 6n - 6}{n!} = 0$.

(A) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,इसलिए $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$।
व्यंजक $\sum a^{3} \sin (B-C) = k^{3} \sum \sin^{3} A \sin (B-C)$ है।
चूँकि $A = 180^{\circ} - (B+C)$,इसलिए $\sin A = \sin (B+C)$।
इस प्रकार,व्यंजक $k^{3} \sum \sin^{2} A \sin (B+C) \sin (B-C)$ हो जाता है।
$\sin (B+C) \sin (B-C) = \sin^{2} B - \sin^{2} C$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$k^{3} [\sin^{2} A (\sin^{2} B - \sin^{2} C) + \sin^{2} B (\sin^{2} C - \sin^{2} A) + \sin^{2} C (\sin^{2} A - \sin^{2} B)]$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $k^{3} [\sin^{2} A \sin^{2} B - \sin^{2} A \sin^{2} C + \sin^{2} B \sin^{2} C - \sin^{2} B \sin^{2} A + \sin^{2} C \sin^{2} A - \sin^{2} C \sin^{2} B] = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $S$,$D$,और $P$ क्रमशः गाना,नाचना और पेंटिंग पसंद करने वाले व्यक्तियों के समुच्चय हैं।
दिया गया है: $n(S \cup D \cup P) = 265$,$n(S) = 200$,$n(D) = 110$,$n(P) = 55$,$n(S \cap D) = 60$,$n(S \cap P) = 30$,और $n(S \cap D \cap P) = 10$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करते हुए:
$n(S \cup D \cup P) = n(S) + n(D) + n(P) - n(S \cap D) - n(S \cap P) - n(D \cap P) + n(S \cap D \cap P)$
$265 = 200 + 110 + 55 - 60 - 30 - n(D \cap P) + 10$
$265 = 285 - n(D \cap P)$
$n(D \cap P) = 285 - 265 = 20$
केवल नाचना और पेंटिंग पसंद करने वाले व्यक्तियों की संख्या $n(D \cap P) - n(S \cap D \cap P)$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$20 - 10 = 10$।

(B) दिया गया है कि समुच्चय $A$ और $B$ के अवयवों की संख्या क्रमशः $n(A) = p$ और $n(B) = q$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की कुल संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = pq$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^n$ होती है।
अतः,समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^{pq}$ है।

(A) दिया गया है,$X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$.
यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $\frac{1}{\sqrt{n}}$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शाता है।
$n = 1$ के लिए,$X_{1} = \{x^{2} + y^{2} \leq 1\}$.
$n = 2$ के लिए,$X_{2} = \{x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}\}$.
जैसे-जैसे $n \to \infty$,त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ होती है।
सभी $X_{n}$ का सर्वनिष्ठ (intersection) उन बिंदुओं का समुच्चय है जो सभी $n \geq 1$ के लिए $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{n}$ को संतुष्ट करते हैं।
इसका अर्थ है $x^{2} + y^{2} \leq 0$.
चूंकि $x^{2} + y^{2}$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए एकमात्र समाधान $x^{2} + y^{2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $x = 0$ और $y = 0$.
अतः,$\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} = \{0 + 0i\} = \{0\}$.
इसलिए,सर्वनिष्ठ एक एकल समुच्चय है।

(A) $52$ पत्तों में से $5$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_5 = 2598960$ हैं।
फुल हाउस (एक जोड़ा और एक तिकड़ी) बनाने के लिए:
$1$. तिकड़ी के लिए फेस वैल्यू चुनें: $^{13}C_1 = 13$ तरीके।
$2$. उस फेस वैल्यू के $3$ पत्ते चुनें: $^4C_3 = 4$ तरीके।
$3$. शेष $12$ वैल्यू में से जोड़े के लिए फेस वैल्यू चुनें: $^{12}C_1 = 12$ तरीके।
$4$. उस फेस वैल्यू के $2$ पत्ते चुनें: $^4C_2 = 6$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3744$।
प्रायिकता = $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165}$।

(A) माना $S = 1! + 2! + 3! + 4! + \ldots + 11!$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $n \ge 4$ के लिए,$n!$ में $4 \times 3 = 12$ एक गुणनखंड के रूप में होता है।
इसलिए,$4!, 5!, \ldots, 11!$ सभी $12$ से विभाज्य हैं।
अतः,$S$ को $12$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल वही होगा जो $(1! + 2! + 3!)$ को $12$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9$ है।
चूंकि $9 < 12$,इसलिए शेषफल $9$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$. मान लीजिए $y = \frac{x-2}{x-3}$.
$y(x-3) = x-2 \implies yx - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y-2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{3x-2}{x-1}$.
दिया गया है $g(x) = 2x-3$. मान लीजिए $y = 2x-3$.
$y+3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$.
अतः,$g^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
हमें दिया गया है $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{13}{2}$.
$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x+3}{2} = \frac{13}{2}$.
$2(x-1)$ से गुणा करने पर: $2(3x-2) + (x+3)(x-1) = 13(x-1)$.
$6x - 4 + x^2 + 2x - 3 = 13x - 13$.
$x^2 + 8x - 7 = 13x - 13$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
$(x-2)(x-3) = 0$.
मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं। $x$ के मानों का योग $2 + 3 = 5$ है।

(C) दिया गया है,$f(x) = 2x^2 + 5x + 1$।
साथ ही,$f(x) = a(x+1)(x-2) + b(x-2)(x-1) + c(x-1)(x+1)$।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$f(x) = (a+b+c)x^2 + (-a-3b)x + (-2a+2b-c)$।
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
$1) \; a + b + c = 2$
$2) \; -a - 3b = 5$
$3) \; -2a + 2b - c = 1$
चूंकि हमारे पास $3$ चरों $(a, b, c)$ के लिए $3$ रैखिक समीकरण हैं और गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $a, b, c$ के लिए एक अद्वितीय हल मौजूद है।
इन्हें हल करने पर,हमें $a = -\frac{35}{4}$,$b = \frac{5}{4}$,और $c = \frac{38}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a, b, c$ में से प्रत्येक के लिए केवल एक ही विकल्प है।

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $2$ तक समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int_{0}^{2} (1+x)^{n} dx = \int_{0}^{2} \left( {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n} \right) dx$.
बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{2} = \frac{(1+2)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.
दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ x{}^{n}C_{0} + \frac{x^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{x^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{x^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{1}{}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n}$.
अतः,$S = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$.
चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम $L$' Hospital नियम का उपयोग करते हैं।
लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $\cos(x^4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \cos(x^4)$ है।
हर $x \sin x$ का अवकलन $\sin x + x \cos x$ है।
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \cos(x^4)}{\sin x + x \cos x}$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos(x^4)}{\frac{\sin x}{x} + \cos x}$.
जैसे ही $x \rightarrow 0$,$\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$,$\cos(x^4) \rightarrow 1$,और $\cos x \rightarrow 1$ होता है।
इसलिए,$L = \frac{2(1)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) दिया गया संबंध $\theta R \phi$ इस प्रकार परिभाषित है कि $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $\theta$ के लिए,$\theta R \theta$ का अर्थ है $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$. चूँकि $1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$,यह $1 = 1$ हो जाता है,जो सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $\theta R \phi$ है,तो $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$. $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ और $\tan^{2} \phi = \sec^{2} \phi - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(1 + \tan^{2} \theta) - (\sec^{2} \phi - 1) = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\tan^{2} \theta - \sec^{2} \phi = -1$ या $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \theta = 1$ हो जाता है। इसका अर्थ है $\phi R \theta$. अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $\theta R \phi$ और $\phi R \psi$ है,तो $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ और $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 1$. इन दोनों को जोड़ने पर,$\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi + \sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 2$. चूँकि $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \phi = 1$,हमें $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi + 1 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi = 1$. इसका अर्थ है $\theta R \psi$. अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) माना संबंध $R = \{(A, B) : B = P A Q^{-1}\}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $P$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।
स्वतुल्यता के लिए: चूँकि $A = I A I^{-1}$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है (जो व्युत्क्रमणीय है),इसलिए $(A, A) \in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए: माना $(A, B) \in R$। तब $B = P A Q^{-1}$। बाईं ओर $P^{-1}$ और दाईं ओर $Q$ से गुणा करने पर,हमें $P^{-1} B Q = A$ प्राप्त होता है। चूँकि $P^{-1}$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय हैं,माना $P' = P^{-1}$ और $Q' = Q^{-1}$। तब $A = P' B (Q')^{-1}$,इसलिए $(B, A) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: माना $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$। तब $A = P_1 B Q_1^{-1}$ और $B = P_2 C Q_2^{-1}$। $B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A = P_1 (P_2 C Q_2^{-1}) Q_1^{-1} = (P_1 P_2) C (Q_1 Q_2)^{-1}$। चूँकि व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का गुणनफल भी व्युत्क्रमणीय होता है,इसलिए $(A, C) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(A) आव्यूह $A$ $3D$ स्थान में $z$-अक्ष के परितः $\theta = \frac{2\pi}{n}$ कोण पर एक घूर्णन आव्यूह को दर्शाता है।
घूर्णन आव्यूह के गुणधर्म के अनुसार,$A^k = \begin{bmatrix} \cos (k\theta) & \sin (k\theta) & 0 \\ -\sin (k\theta) & \cos (k\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
$A^n$ के लिए,हमारे पास $k = n$ है,इसलिए $k\theta = n \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi$ है।
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} \cos (2\pi) & \sin (2\pi) & 0 \\ -\sin (2\pi) & \cos (2\pi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ है।
$A^{n-1}$ के लिए,कोण $(n-1) \times \frac{2\pi}{n} = 2\pi - \frac{2\pi}{n}$ है।
चूंकि $n \geq 2$,$\frac{2\pi}{n}$ $2\pi$ का गुणज नहीं है,इसलिए $A^{n-1} \neq I$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) तत्समक आव्यूह $I$ को $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ द्वारा दर्शाया गया है।
$I$ के स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने पर क्रमचय आव्यूह (permutation matrices) प्राप्त होते हैं।
एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए,$3$ स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
अतः,$P$ के लिए $6$ अलग-अलग विकल्प हैं।
चूंकि $P$ एक क्रमचय आव्यूह है,इसका सारणिक (determinant) क्रमचय के चिह्न के बराबर होता है,जो या तो $1$ या $-1$ होता है।
इसलिए,$\operatorname{det}(P) = \pm 1$.
अतः,$P$ के लिए छह अलग-अलग विकल्प हैं और $\operatorname{det}(P) = \pm 1$ है।

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$।
हम सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं।
साथ ही,$\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$।
अतः,$\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$।
इसकी तुलना $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ से करने पर,हमें $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 5$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^2 + 1$ है।
हमें समुच्चय $f^{-1}([1, 6])$ ज्ञात करना है,जिसमें वे सभी $x$ शामिल हैं जिनके लिए $f(x) \in [1, 6]$ है।
अतः,$1 \le 3x^2 + 1 \le 6$.
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $0 \le 3x^2 \le 5$.
$3$ से भाग देने पर: $0 \le x^2 \le \frac{5}{3}$.
वर्गमूल लेने पर: $-\sqrt{\frac{5}{3}} \le x \le \sqrt{\frac{5}{3}}$.
अतः,समुच्चय $[ -\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}} ]$ है।

(C) दिया गया फलन $y=3 \sin \left(\sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}\right)$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,$\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2} \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^{2} \leq \frac{\pi^{2}}{16}$,अतः $x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$।
माना $u = \sqrt{\frac{\pi^{2}}{16}-x^{2}}$। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक बदलता है,$u$,$\frac{\pi}{4}$ से $0$ तक बदलता है।
अतः,$u$ का परिसर $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ है।
अब,$y = 3 \sin(u)$। चूँकि $u \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$,$\sin(u)$,$\sin(0) = 0$ से $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ तक बदलता है।
इसलिए,$y$,$3 \times 0 = 0$ से $3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ तक बदलता है।
अतः,फलन का परिसर $\left[0, \frac{3}{\sqrt{2}}\right]$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + bx + c$ है।
यह एक द्विघात फलन है जो एक परवलय को दर्शाता है।
फलन के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(x) = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})$ है।
चूँकि वर्ग पद हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ अनिवार्य रूप से $x_1 = x_2$ नहीं है (उदाहरण के लिए,$f(x) = x^2$ में $f(1) = f(-1) = 1$),इसलिए यह बहु-एक (many-to-one) फलन है।
इसके अलावा,इस फलन का परिसर $[c - \frac{b^2}{4}, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है (यदि सह-प्रांत $\mathbb{R}$ है),इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
अतः,यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) दिया गया है,$f(x)=\frac{\tan \{\pi[x-\frac{\pi}{2}]\}}{2+[x]^{2}}$.
चूँकि $[x-\frac{\pi}{2}]$ सभी $x$ के लिए एक पूर्णांक है,मान लीजिए $[x-\frac{\pi}{2}] = k$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$.
तब अंश $\tan(\pi k)$ हो जाता है,जो सभी पूर्णांक $k$ के लिए $0$ के बराबर है।
चूँकि हर $2+[x]^{2}$ हमेशा $\geq 2$ है और कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए फलन सरल होकर सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = \frac{0}{2+[x]^{2}} = 0$ हो जाता है।
एक अचर फलन $f(x) = 0$ सभी $x$ के मानों के लिए सतत और अवकलनीय होता है।
अतः,फलन $x$ के सभी मानों के लिए सतत है।

(C) फलन $f(x) = a \sin |x| + b e^{|x|}$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin |-h| + b e^{|-h|} - (a \sin 0 + b e^0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin(-h) + b e^{-h} - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-a \sin h + b(e^{-h} - 1)}{h} = -a - b$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin h + b e^h - b}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a \sin h + b(e^h - 1)}{h} = a + b$.
अवकलनीयता के लिए,$LHD = RHD \implies -a - b = a + b \implies 2a + 2b = 0 \implies a + b = 0$.

(C) हमें $g(x) = x f^{\prime}(x)$ दिया गया है।
$g^{\prime}(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$g^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}$.
चूँकि $g(0) = 0 \cdot f^{\prime}(0) = 0$,इसलिए:
$g^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h f^{\prime}(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(h)$.
यह दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$,$x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{h \to 0} f^{\prime}(h) = f^{\prime}(0)$.
चूँकि $f^{\prime}(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $g^{\prime}(0) = 1$ प्राप्त होता है।

(A, D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$.
$x > 1$ के लिए,$\int_{0}^{x} |1-t| dt = \int_{0}^{1} (1-t) dt + \int_{1}^{x} (t-1) dt$.
$= \left[ t - \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{1}^{x} = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{x^2}{2} - x - (\frac{1}{2} - 1) \right) = \frac{1}{2} + \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{2} = \frac{x^2}{2} - x + 1$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2} - x + 1, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$.
$x=1$ पर सांतत्य:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (\frac{x^2}{2} - x + 1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2}$.
$f(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर सतत है।
$x=1$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1-h - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\frac{(1+h)^2}{2} - (1+h) + 1) - \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1+2h+h^2}{2} - h - \frac{1}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^2}{2}}{h} = 0$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,विकल्प $A$ और $D$ दोनों सही हैं।

(C) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$[2, 7]$ में अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए,कोई $c \in (2, 7)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(7) - f(2)}{7 - 2}$ होता है।
यह दिया गया है कि $(2, 7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
दिए गए मान $f(2) = 3$ और अंतराल $[2, 7]$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{f(7) - 3}{7 - 2} \leq 5$
$\frac{f(7) - 3}{5} \leq 5$
$f(7) - 3 \leq 25$
$f(7) \leq 28$.
अतः,$f(7)$ का अधिकतम संभव मान $28$ है।

(D) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य: $LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$ और $RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$. चूंकि $LHL = RHL = f(0)$,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है।
$x=0$ पर अवकलनीयता: $f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \sin(1/h)$. यह सीमा अस्तित्व में नहीं है क्योंकि यह $-1$ और $1$ के बीच दोलन करती है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
रोले के प्रमेय के लिए $f(a) = f(b)$ और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह $[-1, 1]$ या $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए $[a, b]$ पर सांतत्य और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। अंतराल $[0, 1]$ के लिए,$f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है। इसलिए,यह $[0, 1]$ पर $LMVT$ की शर्तों को पूरा करता है।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$c \in (a, b)$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $[0, h]$ अंतराल में $f(x) = \cos x$ दिया गया है,इसलिए $f'(c) = \frac{\cos h - \cos 0}{h - 0}$ होगा।
चूँकि $c = \theta h$ जहाँ $0 < \theta < 1$ है,इसलिए $f'(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ होगा।
$f'(x) = -\sin x$ होने के कारण,$-\sin(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ प्राप्त होता है।
टेलर श्रेणी विस्तार $\cos h \approx 1 - \frac{h^2}{2}$ का उपयोग करने पर,$-\sin(\theta h) \approx \frac{1 - \frac{h^2}{2} - 1}{h} = -\frac{h}{2}$ मिलता है।
अतः,$\sin(\theta h) \approx \frac{h}{2}$ होता है।
छोटे $h$ के लिए,$\sin(\theta h) \approx \theta h$ होता है,इसलिए $\theta h \approx \frac{h}{2}$ होगा।
अतः,$\theta \approx \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $h \rightarrow 0^{+}$ की सीमा लेते हैं,तो $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_{0}^{2} e^{x^{4}}(x - \alpha) dx = 0$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx = \alpha \int_{0}^{2} e^{x^{4}} dx$।
अतः,$\alpha = \frac{\int_{0}^{2} x e^{x^{4}} dx}{\int_{0}^{2} e^{x^{4}} dx}$।
मान लीजिए $f(x) = e^{x^{4}}$ है। चूंकि $f(x) > 0$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए है,$\alpha$ के लिए यह व्यंजक अंतराल $[0, 2]$ में $x$ के मानों का भारित औसत (weighted average) दर्शाता है।
चूंकि $x$ का मान $0$ से $2$ के बीच है,इसलिए भारित औसत $\alpha$ को भी अंतराल $[0, 2]$ में $x$ के न्यूनतम और अधिकतम मानों के बीच ही स्थित होना चाहिए।
अतः,$0 < \alpha < 2$,जिसका अर्थ है कि $\alpha \in (0, 2)$।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$।
हमें $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि फलन की परिभाषा $x = 1$ पर बदलती है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} (2x^2 + 1) dx + \int_{1}^{2} (4x^3 - 1) dx$।
प्रथम भाग का समाकलन:
$\int_{0}^{1} (2x^2 + 1) dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2(1)^3}{3} + 1 \right) - (0) = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
द्वितीय भाग का समाकलन:
$\int_{1}^{2} (4x^3 - 1) dx = \left[ x^4 - x \right]_{1}^{2} = (2^4 - 2) - (1^4 - 1) = (16 - 2) - (0) = 14$।
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = \frac{5}{3} + 14 = \frac{5 + 42}{3} = \frac{47}{3}$।

(C) दिया गया है,$f(x) = \max \{x+|x|, x-[x]\}$.
$x \geq 0$ के लिए,$x+|x| = 2x$ और $x-[x] = \{x\} \in [0, 1)$। चूंकि $x \geq 0$ के लिए $2x \geq \{x\}$,इसलिए $f(x) = 2x$।
$x < 0$ के लिए,$x+|x| = x-x = 0$ और $x-[x] = \{x\} \in [0, 1)$। चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $f(x) = x-[x] = \{x\}$।
अतः,$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \int_{-3}^{0} (x-[x]) dx + \int_{0}^{3} 2x dx$।
चूंकि $x-[x]$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $1$ है,$\int_{-3}^{0} (x-[x]) dx = 3 \int_{0}^{1} x dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3}{2}$।
और $\int_{0}^{3} 2x dx = [x^2]_0^3 = 9$।
इसलिए,$\int_{-3}^{3} f(x) dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$।

(D) दिया गया है,$M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$।
सर्वसमिका $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ का उपयोग करने पर,$N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$।
मान लीजिए $2x = t$,तो $dx = \frac{dt}{2}$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=\pi/2$।
$N = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(t/2 + 1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(\frac{t+2}{2})^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$।
अब,$M - N = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{x+2} - \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} \right) dx$।
$\int \frac{\cos x}{x+2} dx$ पर खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = \frac{1}{x+2}$ और $dv = \cos x dx$ लेने पर,$du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ और $v = \sin x$ प्राप्त होता है।
$M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$।
अतः,$M - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$।

(A) दिए गए वक्र $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ हैं,जो परवलय हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x^{2}$ को $x=y^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x=(x^{2})^{2}$
$x=x^{4}$
$x^{4}-x=0$
$x(x^{3}-1)=0$
$x(x-1)(x^{2}+x+1)=0$
चूंकि $x^{2}+x+1=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।
जब $x=0$,तब $y=0$। जब $x=1$,तब $y=1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिया गया वक्र $y=(\cos x+y)^{1/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \cos x + y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x + \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -\sin x$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dx}(2y - 1) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2 \frac{dy}{dx}) = -\cos x$.
$(2y - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \cos x = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ द्वितीय कोटि का एक रैखिक समघाती अवकल समीकरण है।
अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत के अनुसार,यदि $u(x)$ और $v(x)$ दो स्वतंत्र हल हैं,तो उनका कोई भी रैखिक संयोजन $y = c_{1}u(x) + c_{2}v(x)$ भी एक हल होता है,जहाँ $c_{1}$ और $c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं।
विकल्प $A$ रैखिक संयोजन का एक विशिष्ट मामला है जहाँ $c_{1}=5$ और $c_{2}=8$ है।
विकल्प $B$ को $y = c_{1}u(x) + (c_{2}-c_{1})v(x)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जो नए स्वेच्छ अचरों के साथ $u(x)$ और $v(x)$ का एक रैखिक संयोजन है।
अतः,$A$ और $B$ दोनों अवकल समीकरण के हल को दर्शाते हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ है।
दोनों पक्षों को $(1+x^{2})$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{1+x^{2}} y = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ और $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.
$y$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x \phi(y^2/x^2)}{y \phi'(y^2/x^2)}$ प्राप्त होता है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{x \phi(v^2)}{vx \phi'(v^2)} = v + \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
माना $u = v^2$,तब $du = 2v dv$,अर्थात $v dv = \frac{1}{2} du$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{\phi'(u)}{\phi(u)} du = \ln|x| + C_1$.
$\frac{1}{2} \ln|\phi(u)| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln|\phi(v^2)| = 2 \ln|x| + 2C_1 = \ln|x^2| + \ln|c|$.
अतः,$\phi(v^2) = c x^2$.
$v^2 = y^2/x^2$ रखने पर,$\phi(y^2/x^2) = c x^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ और $Q = \frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
माना $u = \log_{e} x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. अतः,$\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.
इसलिए,$IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.
हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है।
$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.
माना $v = \log_{e} x$,तो $dv = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ हो जाता है।
अतः,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.
जब $x = e$ है तब $y = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.
$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.
$C$ का मान रखने पर,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $\log_{e} x$ से भाग देने या $2$ से गुणा करने पर,$2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$,जो सरल होकर $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$\sqrt{y}=\cos ^{-1} x \Rightarrow y=(\cos ^{-1} x)^{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos ^{-1} x) \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} = -2 \cos ^{-1} x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} \times \left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -2 \times \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = 2$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $(1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} = c$ से करने पर,हमें $c = 2$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक पासे को $12$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6^{12}$ होती है।
हम चाहते हैं कि $6$ फलकों में से प्रत्येक ठीक $2$ बार आए।
यह एक बहुपदीय वितरण (multinomial distribution) समस्या है जहाँ हम $12$ परिणामों को $6$ समूहों में व्यवस्थित करते हैं,जिनमें से प्रत्येक का आकार $2$ है।
$12$ परिणामों को इस तरह व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि प्रत्येक फलक दो बार आए,बहुपदीय गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{12!}{2! 2! 2! 2! 2! 2!} = \frac{12!}{(2!)^6} = \frac{12!}{2^6}$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता है:
$P = \frac{12!}{2^6 \times 6^{12}}$.

(C, D) दिया गया है,$P(A)=0.7$ और $P(B)=0.6.$
हम जानते हैं कि $P(A \cap B) \leq P(A)$ और $P(A \cap B) \leq P(B).$
अतः,$P(A \cap B) \leq \min(0.7, 0.6) = 0.6.$
साथ ही,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
चूंकि $P(A \cup B) \leq 1,$ इसलिए $0.7 + 0.6 - P(A \cap B) \leq 1 \Rightarrow P(A \cap B) \geq 0.3.$
इस प्रकार,$P(A \cap B)$ की सीमा $0.3 \leq P(A \cap B) \leq 0.6$ है।
अतः,विकल्प $(c)$ और $(d)$ अनिवार्य रूप से गलत हैं।

(C) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $2$ बच्चों के लिए संभावित परिणाम $\{BB, BG, GB, GG\}$ हैं,जहाँ प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $1/4$ है।
यह दिया गया है कि कम से कम $1$ बच्चा लड़का है,इसलिए प्रतिदर्श समष्टि घटकर $S = \{BB, BG, GB\}$ हो जाती है।
घटी हुई प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 3$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दूसरा बच्चा लड़की है,जो उन परिणामों के अनुरूप है जहाँ ठीक $1$ लड़का और $1$ लड़की है। ये परिणाम $\{BG, GB\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{3}$ है।

(C) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर नहीं जानता है,और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है। माना $E$ वह घटना है कि छात्र प्रश्न का सही उत्तर देता है।
हमें दिया गया है $P(E_2) = p$ और $P(E_1) = 1 - p$।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_2) = 1$ है।
यदि छात्र उत्तर नहीं जानता है,तो वह $5$ विकल्पों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुनता है,इसलिए सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{1}{5}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि छात्र उत्तर जानता था (यादृच्छिक रूप से नहीं चुना) यह देखते हुए कि उसने सही उत्तर दिया है,जो $P(E_2|E)$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) P(E|E_2)}{P(E_1) P(E|E_1) + P(E_2) P(E|E_2)}$
मान रखने पर:
$P(E_2|E) = \frac{p \times 1}{(1 - p) \times \frac{1}{5} + p \times 1}$
$P(E_2|E) = \frac{p}{\frac{1 - p + 5p}{5}}$
$P(E_2|E) = \frac{5p}{1 + 4p}$