PhysicsQ1–55 of 55 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
એક કૃત્રિમ ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E$ છે. ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા કેટલી હશે?
A
$-2 E$
B
$2 E$
C
$\frac{2 E}{3}$
D
$-\frac{2 E}{3}$
Solution
(B) પૃથ્વીના દળ $M$ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{G M m}{r}$ છે.
ઉપગ્રહની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{G M m}{2 r}$ છે.
કુલ ઉર્જા $E$ એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = U + K = -\frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{2 r} = -\frac{G M m}{2 r}$.
$U$ અને $E$ ના સૂત્રોની સરખામણી કરતા:
$U = -\frac{G M m}{r}$
$E = -\frac{G M m}{2 r}$
તેથી,$U = 2 \times (-\frac{G M m}{2 r}) = 2 E$.
ઉપગ્રહની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{G M m}{2 r}$ છે.
કુલ ઉર્જા $E$ એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = U + K = -\frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{2 r} = -\frac{G M m}{2 r}$.
$U$ અને $E$ ના સૂત્રોની સરખામણી કરતા:
$U = -\frac{G M m}{r}$
$E = -\frac{G M m}{2 r}$
તેથી,$U = 2 \times (-\frac{G M m}{2 r}) = 2 E$.
0 likesView Solution
2
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
ખરબચડી સપાટી અને બ્લોક વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક નક્કી કરવા માટે,સપાટીને $45^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી રાખવામાં આવે છે અને બ્લોકને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. બ્લોક $d$ અંતર કાપવા માટે $t$ સમય લે છે. ત્યારબાદ ખરબચડી સપાટીને લીસી સપાટી વડે બદલવામાં આવે છે અને સમાન પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. હવે બ્લોક તેટલું જ અંતર $d$ કાપવા માટે $t/2$ સમય લે છે. તો ઘર્ષણાંક કેટલો હશે?
A
$3/4$
B
$5/4$
C
$1/2$
D
$1/\sqrt{2}$
Solution
(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{2d / a_s} = \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_r = \sqrt{2d / a_r} = \sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = t$ અને $t_s = t/2$,તેથી $t_r = 2t_s$ થાય.
તેથી,$\sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))} = 2 \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 / (\sin \theta - \mu \cos \theta) = 4 / \sin \theta$.
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta$.
$4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$.
$\mu = (3/4) \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,$\mu = (3/4) \tan 45^{\circ} = 3/4 \times 1 = 3/4$.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_r = \sqrt{2d / a_r} = \sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = t$ અને $t_s = t/2$,તેથી $t_r = 2t_s$ થાય.
તેથી,$\sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))} = 2 \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 / (\sin \theta - \mu \cos \theta) = 4 / \sin \theta$.
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta$.
$4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$.
$\mu = (3/4) \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,$\mu = (3/4) \tan 45^{\circ} = 3/4 \times 1 = 3/4$.
0 likesView Solution
3
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
એક લીસી દળરહિત દોરી એક લીસી સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થાય છે. બે દળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ $(m_{1} > m_{2})$ દોરીના બે છેડે બાંધેલા છે. દળોને સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરવા દેવામાં આવે છે. બે દળો પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ કેટલું છે?
A
$(m_{1} + m_{2}) g$
B
$\frac{(m_{1} - m_{2})^{2}}{m_{1} + m_{2}} g$
C
$(m_{1} - m_{2}) g$
D
$\frac{(m_{1} + m_{2})^{2}}{m_{1} - m_{2}} g$
Solution
(B) ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલા બે દળોની સિસ્ટમ માટે,દરેક દળનો પ્રવેગ $a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે દળો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{CM})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$a_{CM} = \frac{m_{1}a_{1} + m_{2}a_{2}}{m_{1} + m_{2}}$.
$m_{1}$ ની દિશાને ધન લેતા,$a_{1} = a$ અને $a_{2} = -a$.
$a_{CM} = \frac{m_{1}a - m_{2}a}{m_{1} + m_{2}} = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_{CM} = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \times \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) g = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} g$.
સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = (m_{1} + m_{2}) a_{CM}$ છે.
$F_{ext} = (m_{1} + m_{2}) \times \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} g = \frac{(m_{1} - m_{2})^{2}}{m_{1} + m_{2}} g$.
બે દળો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{CM})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$a_{CM} = \frac{m_{1}a_{1} + m_{2}a_{2}}{m_{1} + m_{2}}$.
$m_{1}$ ની દિશાને ધન લેતા,$a_{1} = a$ અને $a_{2} = -a$.
$a_{CM} = \frac{m_{1}a - m_{2}a}{m_{1} + m_{2}} = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_{CM} = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \times \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) g = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} g$.
સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = (m_{1} + m_{2}) a_{CM}$ છે.
$F_{ext} = (m_{1} + m_{2}) \times \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} g = \frac{(m_{1} - m_{2})^{2}}{m_{1} + m_{2}} g$.
0 likesView Solution
4
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક લાકડાનો બ્લોક બીકરમાં રાખેલા પાણી પર તરે છે. બ્લોકનો $40 \%$ ભાગ પાણીની સપાટીની ઉપર છે. હવે બીકરને એક લિફ્ટમાં રાખવામાં આવે છે જે $g / 2$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. તો બ્લોક
A
ડૂબી જશે
B
$10 \%$ ભાગ પાણીની સપાટીની ઉપર રાખીને તરશે
C
$40 \%$ ભાગ પાણીની સપાટીની ઉપર રાખીને તરશે
D
$70 \%$ ભાગ પાણીની સપાટીની ઉપર રાખીને તરશે
Solution
(C) જ્યારે પ્રવાહી સ્થિર હોય ત્યારે ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. જ્યારે પ્રવાહી પ્રવેગિત હોય,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{\text{eff}}$ ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બ્લોક સંતુલનમાં છે: $V_{\text{immersed}} \rho g = V_{\text{total}} \rho_b g$,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $\rho_b$ એ બ્લોકની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $40 \%$ ભાગ સપાટીની ઉપર છે,તેથી $60 \%$ ભાગ ડૂબેલો છે,એટલે કે $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$.
આમ,$0.6 V \rho g = V \rho_b g \implies \rho_b = 0.6 \rho$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{\text{eff}} = g + a = 1.5 g$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g)$ બને છે.
પ્રવેગિત ફ્રેમમાં બ્લોકનું વજન $W_{\text{eff}} = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$ થાય છે.
સંતુલન માટે,$F_B = W_{\text{eff}} \implies V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g) = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$.
$1.5 g$ વડે ભાગતા,આપણને $V_{\text{immersed}} \rho = V_{\text{total}} \rho_b$ મળે છે.
$\rho_b = 0.6 \rho$ મૂકતા,આપણને $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$ મળે છે.
તેથી,ડૂબેલા કદનો અંશ $60 \%$ રહે છે અને સપાટીની ઉપરનો ભાગ $40 \%$ જ રહે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બ્લોક સંતુલનમાં છે: $V_{\text{immersed}} \rho g = V_{\text{total}} \rho_b g$,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $\rho_b$ એ બ્લોકની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $40 \%$ ભાગ સપાટીની ઉપર છે,તેથી $60 \%$ ભાગ ડૂબેલો છે,એટલે કે $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$.
આમ,$0.6 V \rho g = V \rho_b g \implies \rho_b = 0.6 \rho$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{\text{eff}} = g + a = 1.5 g$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g)$ બને છે.
પ્રવેગિત ફ્રેમમાં બ્લોકનું વજન $W_{\text{eff}} = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$ થાય છે.
સંતુલન માટે,$F_B = W_{\text{eff}} \implies V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g) = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$.
$1.5 g$ વડે ભાગતા,આપણને $V_{\text{immersed}} \rho = V_{\text{total}} \rho_b$ મળે છે.
$\rho_b = 0.6 \rho$ મૂકતા,આપણને $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$ મળે છે.
તેથી,ડૂબેલા કદનો અંશ $60 \%$ રહે છે અને સપાટીની ઉપરનો ભાગ $40 \%$ જ રહે છે.
0 likesView Solution
5
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક સમાન સળિયાને તેના મધ્યબિંદુથી આડી રીતે લટકાવવામાં આવ્યો છે. $w$ વજન ધરાવતા ધાતુના ટુકડાને મધ્યબિંદુથી $l$ અંતરે લટકાવવામાં આવે છે. સળિયાને આડી સ્થિતિમાં લાવવા માટે બીજી બાજુએ $l_{1}$ અંતરે $w_{1}$ વજન લટકાવવામાં આવે છે. જ્યારે $w$ ને સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાને ફરીથી આડી સ્થિતિમાં લાવવા માટે $w_{1}$ ને મધ્યબિંદુથી $l_{2}$ અંતરે રાખવું પડે છે. ધાતુના ટુકડાની વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ (specific gravity) કેટલી છે?
A
$\frac{w}{w_{1}}$
B
$\frac{w l}{w l - w_{1} l_{2}}$
C
$\frac{l_{1}}{l_{1} - l_{2}}$
D
$\frac{l_{1}}{l_{2}}$
Solution
(C) સળિયાને આડી સંતુલન સ્થિતિમાં રાખવા માટે,મધ્યબિંદુની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
શરૂઆતમાં,ટોર્ક સંતુલન છે: $w \cdot l = w_{1} \cdot l_{1}$.
જ્યારે $w$ વજન ધરાવતો ધાતુનો ટુકડો પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B}$ અનુભવે છે. અસરકારક વજન $w' = w - F_{B}$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V \rho_{w} g$ છે,જ્યાં $V$ એ ધાતુનું કદ છે અને $\rho_{w}$ એ પાણીની ઘનતા છે. $w = V \rho_{metal} g$ હોવાથી,$F_{B} = w \cdot \frac{\rho_{w}}{\rho_{metal}} = \frac{w}{\sigma}$,જ્યાં $\sigma$ એ ધાતુની વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
આમ,નવું અસરકારક વજન $w' = w(1 - \frac{1}{\sigma})$ છે.
નવા સંતુલન માટે,ટોર્ક સંતુલન છે: $w' \cdot l = w_{1} \cdot l_{2}$.
$w'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $w(1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ પરથી,$w = \frac{w_{1} l_{1}}{l}$.
નવા સંતુલન સમીકરણમાં $w$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{w_{1} l_{1}}{l} (1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
$l_{1} (1 - \frac{1}{\sigma}) = l_{2}$.
$1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$.
$\frac{1}{\sigma} = 1 - \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{l_{1} - l_{2}}{l_{1}}$.
તેથી,$\sigma = \frac{l_{1}}{l_{1} - l_{2}}$.
શરૂઆતમાં,ટોર્ક સંતુલન છે: $w \cdot l = w_{1} \cdot l_{1}$.
જ્યારે $w$ વજન ધરાવતો ધાતુનો ટુકડો પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B}$ અનુભવે છે. અસરકારક વજન $w' = w - F_{B}$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V \rho_{w} g$ છે,જ્યાં $V$ એ ધાતુનું કદ છે અને $\rho_{w}$ એ પાણીની ઘનતા છે. $w = V \rho_{metal} g$ હોવાથી,$F_{B} = w \cdot \frac{\rho_{w}}{\rho_{metal}} = \frac{w}{\sigma}$,જ્યાં $\sigma$ એ ધાતુની વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
આમ,નવું અસરકારક વજન $w' = w(1 - \frac{1}{\sigma})$ છે.
નવા સંતુલન માટે,ટોર્ક સંતુલન છે: $w' \cdot l = w_{1} \cdot l_{2}$.
$w'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $w(1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ પરથી,$w = \frac{w_{1} l_{1}}{l}$.
નવા સંતુલન સમીકરણમાં $w$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{w_{1} l_{1}}{l} (1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
$l_{1} (1 - \frac{1}{\sigma}) = l_{2}$.
$1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$.
$\frac{1}{\sigma} = 1 - \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{l_{1} - l_{2}}{l_{1}}$.
તેથી,$\sigma = \frac{l_{1}}{l_{1} - l_{2}}$.
0 likesView Solution
6
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
દ્વિ-ધાતુ મિશ્રધાતુનું બંધારણ નક્કી કરવા માટે,એક નમૂનાને પહેલા હવામાં અને પછી પાણીમાં તોલવામાં આવે છે. આ વજન અનુક્રમે $w_1$ અને $w_2$ મળે છે. જો બે ઘટક ધાતુઓની ઘનતા અનુક્રમે $\rho_1$ અને $\rho_2$ હોય,તો નમૂનામાં પ્રથમ ધાતુનું વજન કેટલું હશે? (જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે)
A
$\frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2-\rho_1)}[w_1(\rho_2-\rho_w)-w_2 \rho_2]$
B
$\frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2+\rho_1)}[w_1(\rho_2-\rho_w)+w_2 \rho_2]$
C
$\frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2-\rho_1)}[w_1(\rho_2+\rho_w)-w_2 \rho_1]$
D
$\frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2-\rho_1)}[w_1(\rho_1-\rho_w)-w_2 \rho_1]$
Solution
(A) ધારો કે પ્રથમ ધાતુનું વજન $x$ છે અને બીજી ધાતુનું વજન $(w_1 - x)$ છે.
ધારો કે બે ધાતુઓના કદ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
$v_1 = \frac{x}{\rho_1}$ અને $v_2 = \frac{w_1 - x}{\rho_2}$.
મિશ્રધાતુનું કુલ કદ $V = v_1 + v_2 = \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2}$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,વજનમાં ઘટાડો એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલો હોય છે:
$w_1 - w_2 = V \rho_w = \left( \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2} \right) \rho_w$.
$\rho_1 \rho_2$ વડે ગુણતા:
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + (w_1 - x) \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + w_1 \rho_1 - x \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w + w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1 \rho_2 - w_2 \rho_1 \rho_2 - w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_1 \rho_2$.
$x = \frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2 - \rho_1)} [w_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_2]$.
ધારો કે બે ધાતુઓના કદ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
$v_1 = \frac{x}{\rho_1}$ અને $v_2 = \frac{w_1 - x}{\rho_2}$.
મિશ્રધાતુનું કુલ કદ $V = v_1 + v_2 = \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2}$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,વજનમાં ઘટાડો એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલો હોય છે:
$w_1 - w_2 = V \rho_w = \left( \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2} \right) \rho_w$.
$\rho_1 \rho_2$ વડે ગુણતા:
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + (w_1 - x) \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + w_1 \rho_1 - x \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w + w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1 \rho_2 - w_2 \rho_1 \rho_2 - w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_1 \rho_2$.
$x = \frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2 - \rho_1)} [w_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_2]$.
0 likesView Solution
7
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
$0.04 \ cm^{3}$ કદ ધરાવતા પ્રવાહીનું એક ટીપું કાચની સ્લાઇડની સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે. ત્યારબાદ બીજી કાચની સ્લાઇડ તેના પર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી પ્રવાહી બે સ્લાઇડની સપાટીઓ વચ્ચે $20 \ cm^{2}$ ક્ષેત્રફળનું પાતળું પડ બનાવે. સ્લાઇડ્સને અલગ કરવા માટે સપાટીઓને લંબ રૂપે $16 \times 10^{5} \ dyne$ બળ લગાડવું પડે છે. પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ($dyne \ cm^{-1}$ માં) કેટલું હશે?
A
$60$
B
$70$
C
$80$
D
$90$
Solution
(C) ધારો કે પ્રવાહીના પડની જાડાઈ $x$ છે.
પ્રવાહીનું કદ $V = A \times x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પડનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$x = V / A$.
પ્રવાહી બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે પાતળું પડ બનાવે છે,જે $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતું અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનાવે છે. પાતળા પડ માટે,જાડાઈ $x$ એ મેનિસ્કસના વ્યાસ જેટલી હોય છે,તેથી $x = 2r$,જેનો અર્થ છે કે $r = x / 2 = V / (2A)$.
વક્ર સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = T / r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે.
$\Delta P = T / r$ અને $r = V / (2A)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = (T / (V / (2A))) \times A = (2AT / V) \times A = (2A^{2}T) / V$.
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $T = (F \times V) / (2A^{2})$.
આપેલ છે: $F = 16 \times 10^{5} \ dyne$,$V = 0.04 \ cm^{3}$,$A = 20 \ cm^{2}$.
$T = (16 \times 10^{5} \times 0.04) / (2 \times 20^{2}) = (16 \times 10^{5} \times 0.04) / (2 \times 400) = (0.64 \times 10^{5}) / 800 = 64000 / 800 = 80 \ dyne \ cm^{-1}$.
પ્રવાહીનું કદ $V = A \times x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પડનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$x = V / A$.
પ્રવાહી બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે પાતળું પડ બનાવે છે,જે $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતું અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનાવે છે. પાતળા પડ માટે,જાડાઈ $x$ એ મેનિસ્કસના વ્યાસ જેટલી હોય છે,તેથી $x = 2r$,જેનો અર્થ છે કે $r = x / 2 = V / (2A)$.
વક્ર સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = T / r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે.
$\Delta P = T / r$ અને $r = V / (2A)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = (T / (V / (2A))) \times A = (2AT / V) \times A = (2A^{2}T) / V$.
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $T = (F \times V) / (2A^{2})$.
આપેલ છે: $F = 16 \times 10^{5} \ dyne$,$V = 0.04 \ cm^{3}$,$A = 20 \ cm^{2}$.
$T = (16 \times 10^{5} \times 0.04) / (2 \times 20^{2}) = (16 \times 10^{5} \times 0.04) / (2 \times 400) = (0.64 \times 10^{5}) / 800 = 64000 / 800 = 80 \ dyne \ cm^{-1}$.
0 likesView Solution
8
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
$a$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ધાતુનો ગોળો એક સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના ઊભી સ્તંભમાં $v$ વેગ સાથે નીચે પડી રહ્યો છે. જો પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ હોય,તો ગોળા પર લાગતું વિરોધી બળ કેટલું હશે?
A
$6 \pi \eta a^{2} v$
B
$\frac{6 \eta v}{\pi a}$
C
$6 \pi \eta a v$
D
$\frac{\pi \eta v}{6 a^{3}}$
Solution
(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે $a$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ધરાવતા સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં એક અવરોધક બળ (સ્નિગ્ધ બળ) લાગે છે.
આ સ્નિગ્ધ બળ $F$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F = 6 \pi \eta a v$
આ બળ ગોળાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આ સ્નિગ્ધ બળ $F$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F = 6 \pi \eta a v$
આ બળ ગોળાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
0 likesView Solution
9
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
એક ધાતુના સળિયાને બે છેડેથી મજબૂતીથી જકડી રાખવામાં આવ્યો છે જેથી તેનું ઉષ્મીય પ્રસરણ અટકાવી શકાય. જો $L$,$\alpha$,અને $Y$ અનુક્રમે સળિયાની લંબાઈ,રેખીય ઉષ્મીય પ્રસરણાંક અને તેના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ દર્શાવતા હોય,તો સળિયાના તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો કરવાથી સળિયામાં ઉદ્ભવતું રેખીય પ્રતિબળ કેટલું હશે?
A
$\alpha$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં
B
$Y$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં
C
$\Delta T$ ના સમપ્રમાણમાં
D
$L$ થી સ્વતંત્ર
Solution
(D) જ્યારે સળિયાને બંને છેડેથી જકડી રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ઉષ્મીય પ્રસરણ અટકે છે,જેના પરિણામે ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવે છે.
ઉષ્મીય વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ $\sigma = Y \cdot \text{વિકૃતિ}$.
વિકૃતિનું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$ મળે છે.
અહીં $Y$,$\alpha$,અને $\Delta T$ એ પ્રતિબળ નક્કી કરતા પરિબળો છે,તેથી પ્રતિબળ સળિયાની લંબાઈ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે પ્રતિબળ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
ઉષ્મીય વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ $\sigma = Y \cdot \text{વિકૃતિ}$.
વિકૃતિનું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$ મળે છે.
અહીં $Y$,$\alpha$,અને $\Delta T$ એ પ્રતિબળ નક્કી કરતા પરિબળો છે,તેથી પ્રતિબળ સળિયાની લંબાઈ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે પ્રતિબળ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
0 likesView Solution
10
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
મેદાનમાં ફેંકવામાં આવેલો ક્રિકેટનો દડો ફેંક્યા પછી $t_{1}$ અને $t_{2}$ સમયે પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $h_{1}$ અને $h_{2}$ ઊંચાઈએ છે. દડો પ્રક્ષેપણ બિંદુ જેટલી જ ઊંચાઈએ ફિલ્ડર દ્વારા પકડવામાં આવે છે. આ મુસાફરીમાં દડાનો ઉડ્ડયન સમય (time of flight) કેટલો હશે?
A
$\frac{h_{1} t_{2}^{2}-h_{2} t_{1}^{2}}{h_{1} t_{2}-h_{2} t_{1}}$
B
$\frac{h_{1} t_{1}^{2}+h_{2} t_{2}^{2}}{h_{2} t_{1}+h_{1} t_{2}}$
C
$\frac{h_{1} t_{2}^{2}+h_{2} t_{1}^{2}}{h_{1} t_{2}+h_{2} t_{1}}$
D
$\frac{h_{1} t_{1}^{2}-h_{2} t_{2}^{2}}{h_{1} t_{2}-h_{2} t_{1}}$
Solution
(A) સમય $t$ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈ માટે:
$h_1 = (u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 \implies \frac{h_1}{t_1} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_1 \quad (1)$
$h_2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \implies \frac{h_2}{t_2} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_2 \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{h_1}{t_1} - \frac{h_2}{t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1) \implies \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1)$
$\frac{g}{2} = \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2 (t_2 - t_1)} \quad (3)$
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે. સમીકરણ $(1)$ પરથી,$u \sin \theta = \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1$.
$T = \frac{2}{g} \left( \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1 \right) = \frac{2h_1}{gt_1} + t_1$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $\frac{g}{2}$ ની કિંમત $T$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{h_1}{t_1} \left( \frac{t_1 t_2 (t_2 - t_1)}{h_1 t_2 - h_2 t_1} \right) + t_1 = \frac{h_1 t_2^2 - h_1 t_1 t_2 + h_1 t_1 t_2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$
$T = \frac{h_1 t_2^2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$.
$h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈ માટે:
$h_1 = (u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 \implies \frac{h_1}{t_1} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_1 \quad (1)$
$h_2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \implies \frac{h_2}{t_2} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_2 \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{h_1}{t_1} - \frac{h_2}{t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1) \implies \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1)$
$\frac{g}{2} = \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2 (t_2 - t_1)} \quad (3)$
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે. સમીકરણ $(1)$ પરથી,$u \sin \theta = \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1$.
$T = \frac{2}{g} \left( \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1 \right) = \frac{2h_1}{gt_1} + t_1$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $\frac{g}{2}$ ની કિંમત $T$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{h_1}{t_1} \left( \frac{t_1 t_2 (t_2 - t_1)}{h_1 t_2 - h_2 t_1} \right) + t_1 = \frac{h_1 t_2^2 - h_1 t_1 t_2 + h_1 t_1 t_2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$
$T = \frac{h_1 t_2^2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$.
0 likesView Solution
11
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
આવર્ત ગતિમાં રહેલા કણનું સ્થાનાંતર $y = 4 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \sin(1000 t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સ્થાનાંતરને $n$ સ્વતંત્ર આવર્ત ગતિઓના સંપાતપણાના પરિણામ તરીકે ગણી શકાય. અહીં $n$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) આપેલ છે,$y = 4 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \sin(1000 t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos^{2} \theta = 1 + \cos(2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) = 1 + \cos t$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2 \times [2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right)] \sin(1000 t)$
$y = 2(1 + \cos t) \sin(1000 t)$
$y = 2 \sin(1000 t) + 2 \sin(1000 t) \cos t$.
ગુણાકારમાંથી સરવાળાના સૂત્ર $2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2 \sin(1000 t) + [\sin(1000 t + t) + \sin(1000 t - t)]$
$y = 2 \sin(1000 t) + \sin(1001 t) + \sin(999 t)$.
આ પદ $3$ સ્વતંત્ર આવર્ત ગતિઓનું સંપાતપણું દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિઓ $1000, 1001,$ અને $999$ rad/s છે.
તેથી,$n = 3$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos^{2} \theta = 1 + \cos(2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) = 1 + \cos t$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2 \times [2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right)] \sin(1000 t)$
$y = 2(1 + \cos t) \sin(1000 t)$
$y = 2 \sin(1000 t) + 2 \sin(1000 t) \cos t$.
ગુણાકારમાંથી સરવાળાના સૂત્ર $2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2 \sin(1000 t) + [\sin(1000 t + t) + \sin(1000 t - t)]$
$y = 2 \sin(1000 t) + \sin(1001 t) + \sin(999 t)$.
આ પદ $3$ સ્વતંત્ર આવર્ત ગતિઓનું સંપાતપણું દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિઓ $1000, 1001,$ અને $999$ rad/s છે.
તેથી,$n = 3$.
0 likesView Solution
12
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
જ્યારે $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) કરતો કણ $v$ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે, ત્યારે કણની ગતિઊર્જા
A
$v$ આવૃત્તિ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે
B
$2v$ આવૃત્તિ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે
C
$v/2$ આવૃત્તિ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે
D
અચળ રહે છે
Solution
$(B)$ $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $u = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(a\omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $K = \frac{1}{4}m\omega^2 a^2 (1 + \cos(2\omega t))$ મળે છે.
$SHM$ ની આવૃત્તિ $v = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી, ગતિઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $\cos(2\omega t)$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે, જે $v' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2v$ છે.
તેથી, ગતિઊર્જા $2v$ ની આવૃત્તિ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે.
કણનો વેગ $u = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(a\omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $K = \frac{1}{4}m\omega^2 a^2 (1 + \cos(2\omega t))$ મળે છે.
$SHM$ ની આવૃત્તિ $v = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી, ગતિઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $\cos(2\omega t)$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે, જે $v' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2v$ છે.
તેથી, ગતિઊર્જા $2v$ ની આવૃત્તિ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે.
0 likesView Solution
13
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
એક ખરબચડા સમક્ષિતિજ સમતલ પર સ્થિર રહેલા નક્કર સમાન ગોળાને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતો સમક્ષિતિજ આઘાત આપવામાં આવે છે જેથી તે $v_{0}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે સરકવાનું શરૂ કરે છે. જ્યારે તે અંતે સરક્યા વિના ગબડવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તેના કેન્દ્રની ઝડપ કેટલી હશે?
A
$\frac{2}{7} v_{0}$
B
$\frac{3}{7} v_{0}$
C
$\frac{5}{7} v_{0}$
D
$\frac{6}{7} v_{0}$
Solution
(C) ધારો કે ગોળાના કેન્દ્રનો અંતિમ વેગ $v$ છે અને જ્યારે તે સરક્યા વિના ગબડવાનું શરૂ કરે ત્યારે તેની અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે.
ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરતું હોવાથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_i = m v_0 r$
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_f = mvr + I_{cm}\omega$
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,શરત $v = r\omega$ અથવા $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા:
$mv_0 r = mvr + (\frac{2}{5} mr^2)(\frac{v}{r})$
$mv_0 r = mvr + \frac{2}{5} mvr$
$v_0 = v + \frac{2}{5} v$
$v_0 = \frac{7}{5} v$
$v = \frac{5}{7} v_0$
ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરતું હોવાથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_i = m v_0 r$
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_f = mvr + I_{cm}\omega$
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,શરત $v = r\omega$ અથવા $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા:
$mv_0 r = mvr + (\frac{2}{5} mr^2)(\frac{v}{r})$
$mv_0 r = mvr + \frac{2}{5} mvr$
$v_0 = v + \frac{2}{5} v$
$v_0 = \frac{7}{5} v$
$v = \frac{5}{7} v_0$
0 likesView Solution
14
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
ત્રણ સમાન ચોરસ પ્લેટો આકૃતિમાં દર્શાવેલ અક્ષોની આસપાસ એવી રીતે ફરે છે કે તેમની ગતિ ઊર્જા સમાન હોય. દરેક પરિભ્રમણ અક્ષ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તો કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\omega_{1}: \omega_{2}: \omega_{3}$ શું હશે?
A
$1: 1: 1$
B
$\sqrt{2}: \sqrt{2}: 1$
C
$1: \sqrt{2}: 1$
D
$1: 2: \sqrt{2}$
Solution
(B) ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા સમાન હોવાથી,$I_{1} \omega_{1}^{2} = I_{2} \omega_{2}^{2} = I_{3} \omega_{3}^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
$a$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે:
$1$. અક્ષ $1$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુઓને સમાંતર),$I_{1} = \frac{Ma^{2}}{12}$.
$2$. અક્ષ $2$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને વિકર્ણને સમાંતર),$I_{2} = \frac{Ma^{2}}{12}$.
$3$. અક્ષ $3$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ),લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{3} = I_{x} + I_{y} = \frac{Ma^{2}}{12} + \frac{Ma^{2}}{12} = \frac{Ma^{2}}{6}$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $I_{1}: I_{2}: I_{3} = \frac{1}{12}: \frac{1}{12}: \frac{1}{6} = 1: 1: 2$ છે.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\omega_{1}: \omega_{2}: \omega_{3} = \frac{1}{\sqrt{I_{1}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{2}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{3}}} = \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{2}} = 1: 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: \sqrt{2}: 1$ થાય.
ગતિ ઊર્જા સમાન હોવાથી,$I_{1} \omega_{1}^{2} = I_{2} \omega_{2}^{2} = I_{3} \omega_{3}^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
$a$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે:
$1$. અક્ષ $1$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુઓને સમાંતર),$I_{1} = \frac{Ma^{2}}{12}$.
$2$. અક્ષ $2$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને વિકર્ણને સમાંતર),$I_{2} = \frac{Ma^{2}}{12}$.
$3$. અક્ષ $3$ માટે (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ),લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{3} = I_{x} + I_{y} = \frac{Ma^{2}}{12} + \frac{Ma^{2}}{12} = \frac{Ma^{2}}{6}$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $I_{1}: I_{2}: I_{3} = \frac{1}{12}: \frac{1}{12}: \frac{1}{6} = 1: 1: 2$ છે.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\omega_{1}: \omega_{2}: \omega_{3} = \frac{1}{\sqrt{I_{1}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{2}}}: \frac{1}{\sqrt{I_{3}}} = \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{1}}: \frac{1}{\sqrt{2}} = 1: 1: \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}: \sqrt{2}: 1$ થાય.
0 likesView Solution
15
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક સમાન નક્કર ગોળાકાર દડો $h$ ઊંચાઈ પરથી લીસા ઢળતા સમતલ પર ગબડી રહ્યો છે. જ્યારે દડો ઢળતા સમતલના તળિયે પહોંચે છે ત્યારે તેનો વેગ $v$ છે. જો હવે આ દડાને તે જ વેગ $v$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે,તો દડો કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે?
A
$\frac{5 h}{8}$
B
$\frac{3 h}{5}$
C
$\frac{5 h}{7}$
D
$\frac{7 h}{9}$
Solution
(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,તળિયે કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $v = R\omega$,તેથી $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા એ તળિયે રહેલી કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{7}{10}mv^2 \implies v^2 = \frac{10}{7}gh$.
જ્યારે દડાને $v$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h'$ પર,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 - 2gh'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = v^2 - 2gh' \implies h' = \frac{v^2}{2g}$.
$v^2 = \frac{10}{7}gh$ કિંમત મૂકતા:
$h' = \frac{10/7 gh}{2g} = \frac{5}{7}h$.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $v = R\omega$,તેથી $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા એ તળિયે રહેલી કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{7}{10}mv^2 \implies v^2 = \frac{10}{7}gh$.
જ્યારે દડાને $v$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h'$ પર,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 - 2gh'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = v^2 - 2gh' \implies h' = \frac{v^2}{2g}$.
$v^2 = \frac{10}{7}gh$ કિંમત મૂકતા:
$h' = \frac{10/7 gh}{2g} = \frac{5}{7}h$.
0 likesView Solution
16
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
$L$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતો એક પાતળો સળિયો $AB$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છેડા $A$ ની આસપાસ ઉર્ધ્વ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે તે રીતે આડા રાખવામાં આવ્યો છે. જ્યારે સળિયો ઉર્ધ્વ સ્થિતિમાં લટકે છે ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે. સળિયાના છેડા $B$ ને આડી સ્થિતિમાંથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જે ક્ષણે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે ત્યારે:
A
છેડા $B$ ની ઝડપ $\sqrt{\sin \theta}$ ના પ્રમાણમાં છે
B
સ્થિતિ ઉર્જા $(1-\cos \theta)$ ના પ્રમાણમાં છે
C
કોણીય પ્રવેગ $\cos \theta$ ના પ્રમાણમાં છે
D
બિંદુ $A$ ની આસપાસ ટોર્ક તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલું જ રહે છે
Solution
(A, C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ અને દળ $m$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી $L/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = (L/2) \sin \theta$ જેટલું નીચે ઉતરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = mL^2/3$.
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} (mL^2/3) \omega^2 \Rightarrow \omega^2 \propto \sin \theta \Rightarrow \omega \propto \sqrt{\sin \theta}$.
છેડા $B$ ની ઝડપ $v = \omega L$ હોવાથી,$v \propto \sqrt{\sin \theta}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે,$A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau = mg(L/2) \cos \theta$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $mg(L/2) \cos \theta = (mL^2/3) \alpha$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\alpha \propto \cos \theta$. આમ,વિકલ્પ $C$ પણ સાચો છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = (L/2) \sin \theta$ જેટલું નીચે ઉતરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = mL^2/3$.
$mg(L/2) \sin \theta = \frac{1}{2} (mL^2/3) \omega^2 \Rightarrow \omega^2 \propto \sin \theta \Rightarrow \omega \propto \sqrt{\sin \theta}$.
છેડા $B$ ની ઝડપ $v = \omega L$ હોવાથી,$v \propto \sqrt{\sin \theta}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે,$A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau = mg(L/2) \cos \theta$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $mg(L/2) \cos \theta = (mL^2/3) \alpha$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\alpha \propto \cos \theta$. આમ,વિકલ્પ $C$ પણ સાચો છે.
0 likesView Solution
17
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
સમાન કદ,આકાર અને દીવાલની જાડાઈ ધરાવતા પરંતુ અલગ-અલગ પદાર્થોમાંથી બનેલા બે ધાતુના પાત્રો $P$ અને $Q$ માં બરફનો સમાન જથ્થો ભરવામાં આવે છે. પાત્રોને સમાન વાતાવરણમાં રાખવામાં આવે છે. $P$ માં રહેલો બરફ $t_{1}$ સમયમાં સંપૂર્ણપણે ઓગળી જાય છે જ્યારે $Q$ માં તે $t_{2}$ સમય લે છે. $P$ અને $Q$ ના પદાર્થોની ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર કેટલો છે?
A
$t_{2}: t_{1}$
B
$t_{1}: t_{2}$
C
$t_{1}^{2}: t_{2}^{2}$
D
$t_{2}^{2}: t_{1}^{2}$
Solution
(A) પદાર્થમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\Delta T)}{x}$,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $x$ એ દીવાલની જાડાઈ છે.
પાત્રો સમાન કદ,આકાર અને દીવાલની જાડાઈ ધરાવતા હોવાથી,$A$ અને $x$ અચળ છે. વાતાવરણ સમાન હોવાથી,$\Delta T$ પણ અચળ છે.
બરફના આપેલ દળ $m$ માટે,તેને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q = mL$ છે,જ્યાં $L$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે. આમ,બંને પાત્રો માટે $Q$ અચળ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર એ બરફ ઓગળવા માટે લાગતા સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{t}$.
તેથી,$K \propto \frac{1}{t}$,જેનો અર્થ છે કે $K_P t_1 = K_Q t_2$.
આને ગોઠવતા આપણને ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{K_P}{K_Q} = \frac{t_2}{t_1}$.
પાત્રો સમાન કદ,આકાર અને દીવાલની જાડાઈ ધરાવતા હોવાથી,$A$ અને $x$ અચળ છે. વાતાવરણ સમાન હોવાથી,$\Delta T$ પણ અચળ છે.
બરફના આપેલ દળ $m$ માટે,તેને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q = mL$ છે,જ્યાં $L$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે. આમ,બંને પાત્રો માટે $Q$ અચળ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર એ બરફ ઓગળવા માટે લાગતા સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{t}$.
તેથી,$K \propto \frac{1}{t}$,જેનો અર્થ છે કે $K_P t_1 = K_Q t_2$.
આને ગોઠવતા આપણને ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{K_P}{K_Q} = \frac{t_2}{t_1}$.
0 likesView Solution
18
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
$10 \ W$ ના ઇલેક્ટ્રિક હીટરનો ઉપયોગ $0.5 \ kg$ પાણી ભરેલા પાત્રને ગરમ કરવા માટે થાય છે. એવું જોવા મળે છે કે $15 \ min$ માં પાણી અને પાત્રનું તાપમાન $3 \ K$ જેટલું વધે છે. ત્યારબાદ પાત્રને ખાલી કરીને,સૂકવીને તેમાં $2 \ kg$ તેલ ભરવામાં આવે છે. તે જ હીટર હવે પાત્ર-તેલ સિસ્ટમનું તાપમાન $20 \ min$ માં $2 \ K$ જેટલું વધારે છે. પ્રક્રિયામાં કોઈ ઉષ્માનો વ્યય થતો નથી અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ છે તેમ ધારીએ,તો તેલની વિશિષ્ટ ઉષ્મા તે જ એકમમાં કેટલી હશે?
A
$1.50 \times 10^{3}$
B
$2.55 \times 10^{3}$
C
$3.00 \times 10^{3}$
D
$5.10 \times 10^{3}$
Solution
(B) હીટર દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા પ્રવાહી અને પાત્ર બંને દ્વારા શોષાય છે. સૂત્ર છે: $(m_L s_L + m_C s_C) \Delta T = P \times t$.
પાણી માટે: $m_w = 0.5 \ kg$,$s_w = 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$,$\Delta T = 3 \ K$,$t_1 = 15 \times 60 = 900 \ s$,$P = 10 \ W$.
$(0.5 \times 4200 + m_C s_C) \times 3 = 10 \times 900$
$(2100 + m_C s_C) \times 3 = 9000$
$2100 + m_C s_C = 3000 \implies m_C s_C = 900 \ J \ K^{-1}$.
તેલ માટે: $m_o = 2 \ kg$,$s_o = ?$,$\Delta T = 2 \ K$,$t_2 = 20 \times 60 = 1200 \ s$,$P = 10 \ W$.
$(2 \times s_o + m_C s_C) \times 2 = 10 \times 1200$
$(2 s_o + 900) \times 2 = 12000$
$2 s_o + 900 = 6000$
$2 s_o = 5100$
$s_o = 2550 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1} = 2.55 \times 10^{3} \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.
પાણી માટે: $m_w = 0.5 \ kg$,$s_w = 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$,$\Delta T = 3 \ K$,$t_1 = 15 \times 60 = 900 \ s$,$P = 10 \ W$.
$(0.5 \times 4200 + m_C s_C) \times 3 = 10 \times 900$
$(2100 + m_C s_C) \times 3 = 9000$
$2100 + m_C s_C = 3000 \implies m_C s_C = 900 \ J \ K^{-1}$.
તેલ માટે: $m_o = 2 \ kg$,$s_o = ?$,$\Delta T = 2 \ K$,$t_2 = 20 \times 60 = 1200 \ s$,$P = 10 \ W$.
$(2 \times s_o + m_C s_C) \times 2 = 10 \times 1200$
$(2 s_o + 900) \times 2 = 12000$
$2 s_o + 900 = 6000$
$2 s_o = 5100$
$s_o = 2550 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1} = 2.55 \times 10^{3} \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.
0 likesView Solution
19
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
નીચેનામાંથી કઈ ઘટનામાં ઉષ્મા તરંગો પ્રકાશની ઝડપે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે?
A
ઉષ્મા વહન (Thermal conduction)
B
બળજબરીપૂર્વકનું ઉષ્મા નયન (Forced convection)
C
કુદરતી ઉષ્મા નયન (Natural convection)
D
ઉષ્મા વિકિરણ (Thermal radiation)
Solution
(D) ઉષ્મા વિકિરણ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં ઉષ્માના સ્થાનાંતરની પ્રક્રિયા છે.
આ તરંગો પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે અને તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
આ તરંગો પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે અને તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
0 likesView Solution
20
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
નિર્ણાયક તાપમાન $T$ પર એક ઘનાકાર બોક્સમાં રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) ના વિકિરણનો વિચાર કરો. જો બોક્સની દરેક બાજુની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે અને બોક્સની દીવાલોનું તાપમાન તથા વિકિરણનું તાપમાન અડધું કરવામાં આવે,તો કુલ ઊર્જા
A
અડધી થાય છે
B
બમણી થાય છે
C
ચાર ગણી થાય છે
D
સમાન રહે છે
Solution
(A) તાપમાન $T$ પર પોલાણમાં રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણની ઊર્જા ઘનતા $u$ એ $u = aT^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વિકિરણ અચળાંક છે.
બોક્સમાં સમાયેલી કુલ ઊર્જા $E$ એ ઊર્જા ઘનતા $u$ અને બોક્સના કદ $V$ નો ગુણાકાર છે.
$E = u \times V = aT^4 \times V$.
શરૂઆતમાં,બાજુની લંબાઈ $L$ છે,તેથી કદ $V_1 = L^3$. ઊર્જા $E_1 = aT^4 L^3$ છે.
અંતે,બાજુની લંબાઈ બમણી થાય છે,તેથી $L' = 2L$,અને નવું કદ $V_2 = (2L)^3 = 8L^3$.
તાપમાન અડધું થાય છે,તેથી $T' = T/2$.
નવી કુલ ઊર્જા $E_2 = a(T')^4 V_2 = a(T/2)^4 (8L^3)$.
$E_2 = a(T^4 / 16) (8L^3) = (8/16) aT^4 L^3 = (1/2) aT^4 L^3$.
$E_2 = E_1 / 2$.
તેથી,કુલ ઊર્જા અડધી થાય છે.
બોક્સમાં સમાયેલી કુલ ઊર્જા $E$ એ ઊર્જા ઘનતા $u$ અને બોક્સના કદ $V$ નો ગુણાકાર છે.
$E = u \times V = aT^4 \times V$.
શરૂઆતમાં,બાજુની લંબાઈ $L$ છે,તેથી કદ $V_1 = L^3$. ઊર્જા $E_1 = aT^4 L^3$ છે.
અંતે,બાજુની લંબાઈ બમણી થાય છે,તેથી $L' = 2L$,અને નવું કદ $V_2 = (2L)^3 = 8L^3$.
તાપમાન અડધું થાય છે,તેથી $T' = T/2$.
નવી કુલ ઊર્જા $E_2 = a(T')^4 V_2 = a(T/2)^4 (8L^3)$.
$E_2 = a(T^4 / 16) (8L^3) = (8/16) aT^4 L^3 = (1/2) aT^4 L^3$.
$E_2 = E_1 / 2$.
તેથી,કુલ ઊર્જા અડધી થાય છે.
0 likesView Solution
21
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક વૈજ્ઞાનિક તાપમાનનું નવું માપક્રમ સૂચવે છે જેમાં બરફ બિંદુ $25 X$ ($X$ એ તાપમાનનો નવો એકમ છે) અને વરાળ બિંદુ $305 X$ છે. આ નવા માપક્રમમાં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ($J kg^{-1} X^{-1}$ માં) કેટલી હશે?
A
$4.2 \times 10^{3}$
B
$3.0 \times 10^{3}$
C
$1.2 \times 10^{3}$
D
$1.5 \times 10^{3}$
Solution
(D) સેલ્સિયસ માપક્રમ પર બરફ બિંદુ $0^{\circ} C$ અને વરાળ બિંદુ $100^{\circ} C$ છે.
નવા માપક્રમમાં,બરફ બિંદુ $25 X$ અને વરાળ બિંદુ $305 X$ છે.
$100^{\circ} C$ નો તાપમાનનો તફાવત $(305 - 25) X = 280 X$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$1^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $\frac{280}{100} X = 2.8 X$ ના ફેરફારને સમાન છે.
આનો અર્થ એ છે કે $1^{\circ} C = 2.8 X$,અથવા $1 X = \frac{1}{2.8}^{\circ} C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200 \ J kg^{-1} (^{\circ} C)^{-1}$ છે.
એકમમાં $1^{\circ} C = 2.8 X$ સંબંધ મૂકતા:
$c = 4200 \ J kg^{-1} (2.8 X)^{-1} = \frac{4200}{2.8} J kg^{-1} X^{-1} = 1500 \ J kg^{-1} X^{-1}$.
આમ,$c = 1.5 \times 10^{3} J kg^{-1} X^{-1}$.
નવા માપક્રમમાં,બરફ બિંદુ $25 X$ અને વરાળ બિંદુ $305 X$ છે.
$100^{\circ} C$ નો તાપમાનનો તફાવત $(305 - 25) X = 280 X$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$1^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $\frac{280}{100} X = 2.8 X$ ના ફેરફારને સમાન છે.
આનો અર્થ એ છે કે $1^{\circ} C = 2.8 X$,અથવા $1 X = \frac{1}{2.8}^{\circ} C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200 \ J kg^{-1} (^{\circ} C)^{-1}$ છે.
એકમમાં $1^{\circ} C = 2.8 X$ સંબંધ મૂકતા:
$c = 4200 \ J kg^{-1} (2.8 X)^{-1} = \frac{4200}{2.8} J kg^{-1} X^{-1} = 1500 \ J kg^{-1} X^{-1}$.
આમ,$c = 1.5 \times 10^{3} J kg^{-1} X^{-1}$.
0 likesView Solution
22
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
વાન ડર વાલ્સ વાયુનો એક મોલ,જે $\left(p+\frac{a}{V^{2}}\right)(V-b)=R T$ સમીકરણનું પાલન કરે છે,તે $p-V$ આલેખમાં દર્શાવેલ ક્વોસી-સ્ટેટિક ચક્રીય પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે. આ પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા કેટલી છે?
A
$\frac{1}{2}(p_{1}-p_{2})(V_{1}-V_{2})$
B
$\frac{1}{2}(p_{1}+p_{2})(V_{1}-V_{2})$
C
$\frac{1}{2}(p_{1}+\frac{a}{V_{1}^{2}}-p_{2}-\frac{a}{V_{2}^{2}})(V_{1}-V_{2})$
D
$\frac{1}{2}(p_{1}+\frac{a}{V_{1}^{2}}+p_{2}+\frac{a}{V_{2}^{2}})(V_{1}-V_{2})$
Solution
(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q$ એ વાયુ દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય $\Delta W$ જેટલી હોય છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય $p-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$p-V$ આલેખમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,પાયો $(V_{1}-V_{2})$ છે અને વેધ $(p_{1}-p_{2})$ છે.
તેથી,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = \frac{1}{2}(p_{1}-p_{2})(V_{1}-V_{2})$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય $p-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$p-V$ આલેખમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,પાયો $(V_{1}-V_{2})$ છે અને વેધ $(p_{1}-p_{2})$ છે.
તેથી,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = \frac{1}{2}(p_{1}-p_{2})(V_{1}-V_{2})$.
0 likesView Solution
23
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
એક મોલ આદર્શ એકપરમાણ્વિય વાયુને અચળ દબાણે $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે. તો વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? (આપેલ છે,$R = 8.32 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$)
A
$0.83 \times 10^{3} \text{ J}$
B
$46 \times 10^{3} \text{ J}$
C
$2.08 \times 10^{3} \text{ J}$
D
$1.25 \times 10^{3} \text{ J}$
Solution
(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_{v} \Delta T$.
એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{3}{2} R$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 1 \text{ mol}$
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = (100 + 273) - (0 + 273) = 100 \text{ K}$
$R = 8.32 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 1 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.32 \right) \times 100$
$\Delta U = 1.5 \times 8.32 \times 100$
$\Delta U = 1248 \text{ J}$
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની કિંમત મુજબ,$\Delta U \approx 1.25 \times 10^{3} \text{ J}$ મળે છે.
એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{3}{2} R$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 1 \text{ mol}$
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = (100 + 273) - (0 + 273) = 100 \text{ K}$
$R = 8.32 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 1 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.32 \right) \times 100$
$\Delta U = 1.5 \times 8.32 \times 100$
$\Delta U = 1248 \text{ J}$
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની કિંમત મુજબ,$\Delta U \approx 1.25 \times 10^{3} \text{ J}$ મળે છે.
0 likesView Solution
24
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
$r$ અવરોધ ધરાવતું એક હીટિંગ એલિમેન્ટ એક એડિબેટિક સિલિન્ડરની અંદર મૂકવામાં આવ્યું છે,જેમાં $m$ દળ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ઘર્ષણરહિત પિસ્ટન છે. સિલિન્ડરમાં એક મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે. વાયુનું તાપમાન સમય $t$ સાથે $T = \alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2$ મુજબ બદલાય છે (જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ અચળાંકો છે),જ્યારે દબાણ અચળ રહે છે. પિસ્ટનની ઉપરનું વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ છે. તો:
A
આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર $\frac{5}{2} R(\alpha+\beta t)$ છે
B
એલિમેન્ટમાં વહેતો પ્રવાહ $\sqrt{\frac{5}{2 r} R(\alpha+\beta t)}$ છે
C
પિસ્ટન અચળ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે
D
પિસ્ટન અચળ ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે
Solution
(A, C) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે. આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{n f R T}{2} = \frac{5 R}{2} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર $\frac{dU}{dt} = \frac{5 R}{2} (\alpha + \beta t)$ છે.
દબાણ અચળ હોવાથી,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_p = \frac{7}{2} R$ છે.
આમ,હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $i^2 r = \frac{dQ}{dt} = n C_p \frac{dT}{dt} = 1 \times \frac{7}{2} R \times (\alpha + \beta t)$ છે.
તેથી,પ્રવાહ $i = \sqrt{\frac{7 R}{2 r} (\alpha + \beta t)}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P$ અચળ હોવાથી,$V = \frac{nRT}{P} = \frac{R}{P} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
પિસ્ટનનું સ્થાન $x = \frac{V}{A} = \frac{R}{PA} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{R}{PA} (\alpha + \beta t)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{R \beta}{PA}$ છે,જે અચળ છે. આમ,વિકલ્પો $(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.
આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર $\frac{dU}{dt} = \frac{5 R}{2} (\alpha + \beta t)$ છે.
દબાણ અચળ હોવાથી,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_p = \frac{7}{2} R$ છે.
આમ,હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $i^2 r = \frac{dQ}{dt} = n C_p \frac{dT}{dt} = 1 \times \frac{7}{2} R \times (\alpha + \beta t)$ છે.
તેથી,પ્રવાહ $i = \sqrt{\frac{7 R}{2 r} (\alpha + \beta t)}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$P$ અચળ હોવાથી,$V = \frac{nRT}{P} = \frac{R}{P} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
પિસ્ટનનું સ્થાન $x = \frac{V}{A} = \frac{R}{PA} (\alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2)$ છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{R}{PA} (\alpha + \beta t)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{R \beta}{PA}$ છે,જે અચળ છે. આમ,વિકલ્પો $(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
એક કાર $72 \text{ km/h}$ ની ઝડપે રસ્તાની બાજુમાં રહેલા સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરી રહી છે જે $850 \text{ Hz}$ ની આવૃત્તિનો અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે. કારનો ડ્રાઈવર સ્ત્રોત તરફ જતી વખતે અને સ્ત્રોતને ઓળંગ્યા પછી દૂર જતી વખતે અવાજ સાંભળે છે. જો અવાજનો વેગ $340 \text{ m/s}$ હોય, તો ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો હશે ($\text{ Hz}$ માં)?
A
$50$
B
$85$
C
$100$
D
$150$
Solution
(C) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે અવલોકનકાર $v_0$ વેગ સાથે સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $N_{\text{approach}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N_{\text{approach}} = N \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
અહીં $N = 850 \text{ Hz}$, $v = 340 \text{ m/s}$, અને $v_0 = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ m/s}$.
$N_{\text{approach}} = 850 \left( \frac{340 + 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{360}{340} \right) = 900 \text{ Hz}$.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $N_{\text{separation}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N_{\text{separation}} = N \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$
$N_{\text{separation}} = 850 \left( \frac{340 - 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{320}{340} \right) = 800 \text{ Hz}$.
બંને આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta N = N_{\text{approach}} - N_{\text{separation}} = 900 \text{ Hz} - 800 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$.
$N_{\text{approach}} = N \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
અહીં $N = 850 \text{ Hz}$, $v = 340 \text{ m/s}$, અને $v_0 = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ m/s}$.
$N_{\text{approach}} = 850 \left( \frac{340 + 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{360}{340} \right) = 900 \text{ Hz}$.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $N_{\text{separation}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N_{\text{separation}} = N \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$
$N_{\text{separation}} = 850 \left( \frac{340 - 20}{340} \right) = 850 \left( \frac{320}{340} \right) = 800 \text{ Hz}$.
બંને આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta N = N_{\text{approach}} - N_{\text{separation}} = 900 \text{ Hz} - 800 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$.
0 likesView Solution
26
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
ધ્વનિ તરંગો બે માર્ગોમાંથી પસાર થાય છે—એક સીધા માર્ગે અને બીજો $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગે—અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ફરીથી એક પાઇપમાં જોડાઈને સંપાત થાય છે. જો પાઇપમાં ધ્વનિ તરંગોનો વેગ $v$ હોય,તો મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા પરિણામી તરંગોની આવૃત્તિઓ કોના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હશે?
A
$\frac{v}{r(\pi-2)}$
B
$\frac{v}{r(\pi-1)}$
C
$\frac{2v}{r(\pi-1)}$
D
$\frac{v}{r(\pi+1)}$
Solution
(A) સીધા માર્ગની પથ લંબાઈ $2r$ (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) છે.
અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગની પથ લંબાઈ $\pi r$ છે.
બંને માર્ગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ છે.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર (સંવિનાશી વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પથ તફાવતને મૂકતા,આપણને $r(\pi - 2) = n\lambda$ મળે છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = f\lambda$ હોવાથી,$\lambda = \frac{v}{f}$ થાય.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $r(\pi - 2) = n \frac{v}{f}$.
આવૃત્તિ $f$ માટે ગોઠવતા: $f = n \left[ \frac{v}{r(\pi - 2)} \right]$.
આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા પરિણામી તરંગોની આવૃત્તિઓ $\frac{v}{r(\pi - 2)}$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હશે.
અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગની પથ લંબાઈ $\pi r$ છે.
બંને માર્ગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ છે.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર (સંવિનાશી વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પથ તફાવતને મૂકતા,આપણને $r(\pi - 2) = n\lambda$ મળે છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = f\lambda$ હોવાથી,$\lambda = \frac{v}{f}$ થાય.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $r(\pi - 2) = n \frac{v}{f}$.
આવૃત્તિ $f$ માટે ગોઠવતા: $f = n \left[ \frac{v}{r(\pi - 2)} \right]$.
આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા પરિણામી તરંગોની આવૃત્તિઓ $\frac{v}{r(\pi - 2)}$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હશે.
0 likesView Solution
27
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક સીટી જેનો હવાના સ્તંભ બંને છેડે ખુલ્લો છે તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $5100 \ Hz$ છે. જો હવામાં અવાજની ઝડપ $340 \ ms^{-1}$ હોય,તો સીટીની લંબાઈ $cm$ માં કેટલી હશે?
A
$5 / 3$
B
$10 / 3$
C
$5$
D
$20 / 3$
Solution
(B) ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2l}$ છે,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $f = 5100 \ Hz$,$v = 340 \ ms^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5100 = \frac{340}{2l}$
$l = \frac{340}{5100 \times 2}$
$l = \frac{340}{10200} = \frac{34}{1020} = \frac{1}{30} \ m$.
લંબાઈને $cm$ માં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$l = \frac{1}{30} \times 100 = \frac{10}{3} \ cm$.
આપેલ છે: $f = 5100 \ Hz$,$v = 340 \ ms^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5100 = \frac{340}{2l}$
$l = \frac{340}{5100 \times 2}$
$l = \frac{340}{10200} = \frac{34}{1020} = \frac{1}{30} \ m$.
લંબાઈને $cm$ માં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$l = \frac{1}{30} \times 100 = \frac{10}{3} \ cm$.
0 likesView Solution
28
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને ચાર્જ કરવામાં આવે છે અને પછી તેને ચાર્જિંગ બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે. જો હવે પ્લેટોને ઇન્સ્યુલેટીંગ હેન્ડલ્સ વડે ખેંચીને એકબીજાથી દૂર કરવામાં આવે,તો
A
કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ વધે છે
B
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ વધે છે
C
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ઘટે છે
D
કેપેસિટર પરનો ચાર્જ ઘટે છે
Solution
(B) જ્યારે કેપેસિટરને ચાર્જ કરવામાં આવે છે અને પછી બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે ચાર્જ વહેવા માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોને એકબીજાથી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d$ વધે છે,જેના કારણે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
ચાર્જ $Q$ અચળ હોવાથી અને $Q = CV$ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V = \frac{Q}{C}$ વધવો જોઈએ કારણ કે $C$ ઘટે છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ વધે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોને એકબીજાથી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d$ વધે છે,જેના કારણે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
ચાર્જ $Q$ અચળ હોવાથી અને $Q = CV$ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V = \frac{Q}{C}$ વધવો જોઈએ કારણ કે $C$ ઘટે છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ વધે છે.
0 likesView Solution
29
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
હાઇડ્રોજનની આયનીકરણ ઉર્જા $13.6 \text{ eV}$ છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માંથી હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં કૂદકો મારે ત્યારે મુક્ત થતા ફોટોનની ઉર્જા કેટલી હશે ($\text{ eV}$ માં)?
A
$3.4$
B
$4.53$
C
$10.2$
D
$13.6$
Solution
(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ માટે,ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6 \text{ eV}}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
$n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતા ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV} - 3.4 \text{ eV} = 10.2 \text{ eV}$.
ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ માટે,ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6 \text{ eV}}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
$n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતા ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV} - 3.4 \text{ eV} = 10.2 \text{ eV}$.
0 likesView Solution
30
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેની અડધી જગ્યા $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થથી ભરેલી છે. બાકીના અડધા ભાગમાં હવા છે. કેપેસિટરને $Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે. તો:
A
ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર હવાવાળા વિસ્તાર કરતા વધારે છે
B
નીચેની પ્લેટના બે અડધા ભાગો પર વિદ્યુતભાર ઘનતા અસમાન છે
C
હવાવાળા ભાગની ઉપરની પ્લેટના અડધા ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{Q}{K+1}$ છે
D
ઉપર દર્શાવેલ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $\frac{(1+K) C_{0}}{2}$ છે,જ્યાં $C_{0}$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે.
Solution
(B, C, D) કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ અને હવાવાળા ભાગનું $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ છે,જ્યાં $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2}(K+1)$ છે. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,બંને પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન છે. વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V$ અને $Q_2 = C_2 V$ છે.
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2} = K$ છે. $Q_1 + Q_2 = Q$ હોવાથી,$Q_2 = \frac{Q}{K+1}$ અને $Q_1 = \frac{KQ}{K+1}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1 = Q_1 / (A/2)$ અને $\sigma_2 = Q_2 / (A/2)$ છે. $Q_1 \neq Q_2$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા અસમાન છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma_1}{K \varepsilon_0}$ અને $E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$ છે. $\sigma_1 = K \sigma_2$ મૂકતા,$E_1 = \frac{K \sigma_2}{K \varepsilon_0} = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} = E_2$ મળે છે. ક્ષેત્રો સમાન છે,તેથી $(a)$ ખોટું છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ અને હવાવાળા ભાગનું $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ છે,જ્યાં $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2}(K+1)$ છે. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,બંને પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન છે. વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V$ અને $Q_2 = C_2 V$ છે.
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2} = K$ છે. $Q_1 + Q_2 = Q$ હોવાથી,$Q_2 = \frac{Q}{K+1}$ અને $Q_1 = \frac{KQ}{K+1}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1 = Q_1 / (A/2)$ અને $\sigma_2 = Q_2 / (A/2)$ છે. $Q_1 \neq Q_2$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા અસમાન છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma_1}{K \varepsilon_0}$ અને $E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$ છે. $\sigma_1 = K \sigma_2$ મૂકતા,$E_1 = \frac{K \sigma_2}{K \varepsilon_0} = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} = E_2$ મળે છે. ક્ષેત્રો સમાન છે,તેથી $(a)$ ખોટું છે.
0 likesView Solution
31
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
ત્રણ કેપેસિટર $3 \mu F$,$6 \mu F$ અને $6 \mu F$ ને $120 V$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. $3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટમાં) કેટલો હશે?
A
$24$
B
$30$
C
$40$
D
$60$
Solution
(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર્સ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \mu F^{-1}$
તેથી,$C_{eq} = 1.5 \mu F$.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = C_{eq} \times V = 1.5 \mu F \times 120 V = 180 \mu C$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. તેથી,$3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = 180 \mu C$ છે.
$3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{180 \mu C}{3 \mu F} = 60 V$.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \mu F^{-1}$
તેથી,$C_{eq} = 1.5 \mu F$.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = C_{eq} \times V = 1.5 \mu F \times 120 V = 180 \mu C$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. તેથી,$3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = 180 \mu C$ છે.
$3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{180 \mu C}{3 \mu F} = 60 V$.
0 likesView Solution
32
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
ચાર કોષો,દરેકનું emf $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે,જે શ્રેણીમાં બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડાયેલા છે. ભૂલથી એક કોષ ઉલટો જોડાઈ ગયો છે. તો બાહ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ કેટલો હશે?
A
$\frac{2 E}{4 r+R}$
B
$\frac{3 E}{4 r+R}$
C
$\frac{3 E}{3 r+R}$
D
$\frac{2 E}{3 r+R}$
Solution
(A) જ્યારે $E$ emf ધરાવતા ચાર કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ emf $4E$ થાય છે.
જો એક કોષ ઉલટો જોડવામાં આવે,તો તેનું emf બાકીના કોષોના emf નો વિરોધ કરે છે.
તેથી,પરિપથનું અસરકારક emf $E_{eff} = E + E + E - E = 2E$ થશે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા ચાર કોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{total} = r + r + r + r = 4r$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 4r + R$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{2E}{4r + R}$ મળે છે.
જો એક કોષ ઉલટો જોડવામાં આવે,તો તેનું emf બાકીના કોષોના emf નો વિરોધ કરે છે.
તેથી,પરિપથનું અસરકારક emf $E_{eff} = E + E + E - E = 2E$ થશે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા ચાર કોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{total} = r + r + r + r = 4r$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 4r + R$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{2E}{4r + R}$ મળે છે.
0 likesView Solution
33
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક સર્કિટમાં $E_{1} = 1 \text{ V}$, $E_{2} = 2 \text{ V}$ અને $E_{3} = 3 \text{ V}$ ના emf અને અનુક્રમે $1 \Omega$, $2 \Omega$ અને $1 \Omega$ ના આંતરિક અવરોધ ધરાવતી ત્રણ બેટરીઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમાંતર જોડાણમાં છે. બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કેટલો હશે ($\text{ V}$ માં)?
A
$1.0$
B
$2.0$
C
$2.2$
D
$3.0$
Solution
(B) બેટરીઓ સમાંતર જોડાણમાં છે. આ જોડાણ માટે સમતુલ્ય emf $E_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}}}{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}}$
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}$
અહીં $E_{1} = 1 \text{ V}, r_{1} = 1 \Omega$; $E_{2} = 2 \text{ V}, r_{2} = 2 \Omega$; $E_{3} = 3 \text{ V}, r_{3} = 1 \Omega$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ, સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધની ગણતરી કરીએ:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 + 0.5 + 1 = 2.5 \Omega^{-1} = \frac{5}{2} \Omega^{-1}$
$r_{eq} = \frac{2}{5} \Omega = 0.4 \Omega$
હવે, સમતુલ્ય emf ની ગણતરી કરીએ:
$E_{eq} = r_{eq} \times \left( \frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}} \right)$
$E_{eq} = 0.4 \times \left( \frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{1} \right) = 0.4 \times (1 + 1 + 3) = 0.4 \times 5 = 2.0 \text{ V}$
આમ, બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2.0 \text{ V}$ છે.
$E_{eq} = \frac{\frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}}}{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}}$
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}$
અહીં $E_{1} = 1 \text{ V}, r_{1} = 1 \Omega$; $E_{2} = 2 \text{ V}, r_{2} = 2 \Omega$; $E_{3} = 3 \text{ V}, r_{3} = 1 \Omega$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ, સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધની ગણતરી કરીએ:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 + 0.5 + 1 = 2.5 \Omega^{-1} = \frac{5}{2} \Omega^{-1}$
$r_{eq} = \frac{2}{5} \Omega = 0.4 \Omega$
હવે, સમતુલ્ય emf ની ગણતરી કરીએ:
$E_{eq} = r_{eq} \times \left( \frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}} \right)$
$E_{eq} = 0.4 \times \left( \frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{1} \right) = 0.4 \times (1 + 1 + 3) = 0.4 \times 5 = 2.0 \text{ V}$
આમ, બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2.0 \text{ V}$ છે.
0 likesView Solution
34
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
$10 \ \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટરને પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન માટે $0.01 \ A$ પ્રવાહની જરૂર પડે છે. આ ગેલ્વેનોમીટરને $120 \ V$ ના પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન ધરાવતા વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે કેટલો અવરોધ જોડવો પડશે?
A
$11990 \ \Omega$ શ્રેણીમાં
B
$11990 \ \Omega$ સમાંતરમાં
C
$12010 \ \Omega$ શ્રેણીમાં
D
$12010 \ \Omega$ સમાંતરમાં
Solution
(A) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે.
આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો આંતરિક અવરોધ,$G = 10 \ \Omega$
પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ,$i_g = 0.01 \ A$
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ,$V = 120 \ V$
શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{V}{i_g} - G$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{120}{0.01} - 10$
$R = 12000 - 10$
$R = 11990 \ \Omega$
આમ,$11990 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો જોઈએ.
આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો આંતરિક અવરોધ,$G = 10 \ \Omega$
પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ,$i_g = 0.01 \ A$
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ,$V = 120 \ V$
શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{V}{i_g} - G$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{120}{0.01} - 10$
$R = 12000 - 10$
$R = 11990 \ \Omega$
આમ,$11990 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો જોઈએ.
0 likesView Solution
35
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $50 \ keV$ ના એક્સ-રે ફોટોન જેટલી જ છે. ફોટોનની ઉર્જા અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય? (ઇલેક્ટ્રોન દળની ઉર્જા સમકક્ષ $0.5 \ MeV$ છે).
A
$1:50$
B
$1:20$
C
$20:1$
D
$50:1$
Solution
(C) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK_e}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા છે અને $m$ એ તેનું દળ છે.
આમ,$K_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
ફોટોનની ઉર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_e = \lambda_p = \lambda$.
ફોટોનની ઉર્જા અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{hc/\lambda}{h^2/(2m\lambda^2)} = \frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda}{h}$.
કારણ કે $E_p = \frac{hc}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{hc}{E_p}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2mc}{h} \cdot \frac{hc}{E_p} = \frac{2mc^2}{E_p}$.
અહીં $mc^2 = 0.5 \ MeV = 500 \ keV$ અને $E_p = 50 \ keV$ આપેલ છે:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2 \times 500 \ keV}{50 \ keV} = \frac{1000}{50} = 20$.
તેથી,ગુણોત્તર $20:1$ છે.
આમ,$K_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
ફોટોનની ઉર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_e = \lambda_p = \lambda$.
ફોટોનની ઉર્જા અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{hc/\lambda}{h^2/(2m\lambda^2)} = \frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda}{h}$.
કારણ કે $E_p = \frac{hc}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{hc}{E_p}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2mc}{h} \cdot \frac{hc}{E_p} = \frac{2mc^2}{E_p}$.
અહીં $mc^2 = 0.5 \ MeV = 500 \ keV$ અને $E_p = 50 \ keV$ આપેલ છે:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2 \times 500 \ keV}{50 \ keV} = \frac{1000}{50} = 20$.
તેથી,ગુણોત્તર $20:1$ છે.
0 likesView Solution
36
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર વિશે સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો શોધો.
A
યોગ્ય વિકિરણના શોષણ અને ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર સમય વિલંબ હોતો નથી.
B
આઈન્સ્ટાઈનનું વિશ્લેષણ એક થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ આપે છે જેની નીચે કોઈ ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થઈ શકતા નથી.
C
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા આપાત વિકિરણની આવૃત્તિના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
D
ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા વિકિરણની તીવ્રતા પર આધાર રાખતી નથી.
Solution
(A, B, D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના પ્રાયોગિક અવલોકનો અનુસાર:
$1$. યોગ્ય વિકિરણના શોષણ અને ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર સમય વિલંબ હોતો નથી,ખૂબ ઓછી તીવ્રતા પર પણ.
$2$. આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi_0$ છે,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે. ઈલેક્ટ્રોન ત્યારે જ ઉત્સર્જિત થાય છે જો $\nu > \nu_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) હોય. આમ,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિથી નીચે કોઈ ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થતા નથી.
$3$. મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ એ આવૃત્તિ $\nu$ નું રેખીય વિધેય છે,પરંતુ તે તેના સીધા પ્રમાણમાં નથી (વર્ક ફંક્શન પદ $\phi_0$ ને કારણે).
$4$. મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે; તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિધાનો $(a)$,$(b)$ અને $(d)$ સાચા છે.
$1$. યોગ્ય વિકિરણના શોષણ અને ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર સમય વિલંબ હોતો નથી,ખૂબ ઓછી તીવ્રતા પર પણ.
$2$. આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi_0$ છે,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે. ઈલેક્ટ્રોન ત્યારે જ ઉત્સર્જિત થાય છે જો $\nu > \nu_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) હોય. આમ,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિથી નીચે કોઈ ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થતા નથી.
$3$. મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ એ આવૃત્તિ $\nu$ નું રેખીય વિધેય છે,પરંતુ તે તેના સીધા પ્રમાણમાં નથી (વર્ક ફંક્શન પદ $\phi_0$ ને કારણે).
$4$. મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે; તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિધાનો $(a)$,$(b)$ અને $(d)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
37
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
$a$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક ખૂબ જ નાનો વર્તુળાકાર લૂપ શરૂઆતમાં ($t=0$ સમયે) $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા સ્થિર વર્તુળાકાર લૂપ સાથે એક જ સમતલમાં અને એકકેન્દ્રી છે. મોટા લૂપમાં અચળ પ્રવાહ $I$ વહે છે. નાનો લૂપ સામાન્ય વ્યાસની આસપાસ $\omega$ જેટલી અચળ કોણીય ઝડપથી ફરે છે. સમય $t$ ના વિધેય તરીકે નાના લૂપમાં પ્રેરિત emf કેટલું હશે?
A
$\frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \cos (\omega t)$
B
$\frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \sin (\omega^{2} t^{2})$
C
$\frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \sin (\omega t)$
D
$\frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \sin^{2} (\omega t)$
Solution
(C) ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા લૂપના કેન્દ્રમાં $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 b}$ છે.
નાનો લૂપ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે તેના ક્ષેત્રફળ $A = \pi a^{2}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
સમય $t$ પર નાના લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2 b} \right) (\pi a^{2}) \cos(\omega t)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_{0} I \pi a^{2}}{2 b} \cos(\omega t) \right]$.
$\varepsilon = -\frac{\mu_{0} I \pi a^{2}}{2 b} (-\omega \sin(\omega t)) = \frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \sin(\omega t)$.
નાનો લૂપ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે તેના ક્ષેત્રફળ $A = \pi a^{2}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
સમય $t$ પર નાના લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2 b} \right) (\pi a^{2}) \cos(\omega t)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_{0} I \pi a^{2}}{2 b} \cos(\omega t) \right]$.
$\varepsilon = -\frac{\mu_{0} I \pi a^{2}}{2 b} (-\omega \sin(\omega t)) = \frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \sin(\omega t)$.
0 likesView Solution
38
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
ગામા $(\gamma)$ કિરણ ફોટોનની ઊર્જા $E_{\gamma}$ છે અને એક્સ-રે ફોટોનની ઊર્જા $E_{X}$ છે. જો દ્રશ્ય પ્રકાશના ફોટોનની ઊર્જા $E_{v}$ હોય,તો આપણે કહી શકીએ કે:
A
$E_{X} > E_{\gamma} > E_{v}$
B
$E_{\gamma} > E_{v} > E_{X}$
C
$E_{\gamma} > E_{X} > E_{v}$
D
$E_{X} > E_{v} > E_{\gamma}$
Solution
(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ $\nu$ નો ક્રમ: દ્રશ્ય પ્રકાશ < એક્સ-રે < ગામા કિરણો છે,તેથી ફોટોનની ઊર્જા પણ આ જ ક્રમમાં હોય છે.
$1$. દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે,ઊર્જાનો વિસ્તાર આશરે $1.6 \ eV$ થી $3.2 \ eV$ $(E_{v} \approx 2.48 \ eV)$ છે.
$2$. એક્સ-રે માટે,ઊર્જાનો વિસ્તાર આશરે $100 \ eV$ થી $100 \ keV$ છે.
$3$. ગામા કિરણો માટે,ઊર્જા સામાન્ય રીતે $100 \ keV$ કરતા વધારે હોય છે.
આ શ્રેણીઓની સરખામણી કરતા,આપણે કહી શકીએ કે $E_{\gamma} > E_{X} > E_{v}$.
$1$. દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે,ઊર્જાનો વિસ્તાર આશરે $1.6 \ eV$ થી $3.2 \ eV$ $(E_{v} \approx 2.48 \ eV)$ છે.
$2$. એક્સ-રે માટે,ઊર્જાનો વિસ્તાર આશરે $100 \ eV$ થી $100 \ keV$ છે.
$3$. ગામા કિરણો માટે,ઊર્જા સામાન્ય રીતે $100 \ keV$ કરતા વધારે હોય છે.
આ શ્રેણીઓની સરખામણી કરતા,આપણે કહી શકીએ કે $E_{\gamma} > E_{X} > E_{v}$.
0 likesView Solution
39
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક અનંત શીટ જે સમાન સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવે છે તે $xy$-સમતલ પર રહેલી છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A = a(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ થી બિંદુ $B = a(\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k})$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય (જ્યાં $a$ એ લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતો અચળાંક છે અને $\varepsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે) કેટલું હશે?
A
$\frac{3 \sigma a q}{2 \varepsilon_{0}}$
B
$\frac{2 \sigma a q}{\varepsilon_{0}}$
C
$\frac{5 \sigma a q}{2 \varepsilon_{0}}$
D
$\frac{3 \sigma a q}{\varepsilon_{0}}$
Solution
(A) સમાન સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}$ (જ્યાં $z > 0$) દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુ $A$ અને $B$ ના $z$-યામ ધન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}$ લેવામાં આવે છે.
કાર્ય $W = -q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -q \vec{E} \cdot (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A})$.
અહીં $\vec{r}_{A} = a(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ અને $\vec{r}_{B} = a(\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_{B} - \vec{r}_{A} = a(-4\hat{j} + 3\hat{k})$.
કાર્ય $W = -q (\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}) \cdot a(-4\hat{j} + 3\hat{k}) = -\frac{q \sigma a}{2\varepsilon_{0}} (3) = -\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$.
નોંધ: કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$ છે.
કાર્ય $W = -q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -q \vec{E} \cdot (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A})$.
અહીં $\vec{r}_{A} = a(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ અને $\vec{r}_{B} = a(\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_{B} - \vec{r}_{A} = a(-4\hat{j} + 3\hat{k})$.
કાર્ય $W = -q (\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}) \cdot a(-4\hat{j} + 3\hat{k}) = -\frac{q \sigma a}{2\varepsilon_{0}} (3) = -\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$.
નોંધ: કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$ છે.
0 likesView Solution
40
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
$r_{1}$ અને $r_{2}$ $(r_{2} > r_{1})$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમકેન્દ્રીય ગોળીય ધાતુના કવચનો વિચાર કરો. જો બહારના કવચ પર $q$ વિદ્યુતભાર હોય અને અંદરનું કવચ અર્થિંગ (grounded) કરેલું હોય,તો અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર કેટલો હશે?
A
$\frac{-r_{2}}{r_{1}} q$
B
શૂન્ય
C
$\frac{-r_{1}}{r_{2}} q$
D
$-q$
Solution
(C) ધારો કે અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q^{\prime}$ છે.
અંદરનું કવચ અર્થિંગ કરેલું હોવાથી,તેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંદરના કવચની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $q^{\prime}$ અને બહારના કવચ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે હોય છે.
અંદરના કવચ પરનું સ્થિતિમાન $V_{1} = \frac{k q^{\prime}}{r_{1}} + \frac{k q}{r_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_{1} = 0$ લેતા,આપણને $\frac{k q^{\prime}}{r_{1}} + \frac{k q}{r_{2}} = 0$ મળે છે.
$q^{\prime}$ માટે ઉકેલતા,$\frac{q^{\prime}}{r_{1}} = -\frac{q}{r_{2}}$ મળે છે.
તેથી,$q^{\prime} = -\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right) q$.
અંદરનું કવચ અર્થિંગ કરેલું હોવાથી,તેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંદરના કવચની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $q^{\prime}$ અને બહારના કવચ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે હોય છે.
અંદરના કવચ પરનું સ્થિતિમાન $V_{1} = \frac{k q^{\prime}}{r_{1}} + \frac{k q}{r_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_{1} = 0$ લેતા,આપણને $\frac{k q^{\prime}}{r_{1}} + \frac{k q}{r_{2}} = 0$ મળે છે.
$q^{\prime}$ માટે ઉકેલતા,$\frac{q^{\prime}}{r_{1}} = -\frac{q}{r_{2}}$ મળે છે.
તેથી,$q^{\prime} = -\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right) q$.
0 likesView Solution
41
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતો એક લાંબો વાહક તાર $120^{\circ}$ ના ખૂણે વાળેલો છે (આકૃતિ જુઓ). વાંકથી $d$ અંતરે ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલા બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ કેટલું હશે? ($\mu_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે):
A
$\frac{3 \mu_{0} I}{2 \pi d}$
B
$\frac{\mu_{0} I}{2 \pi d}$
C
$\frac{\mu_{0} I}{\sqrt{3} \pi d}$
D
$\frac{\sqrt{3} \mu_{0} I}{2 \pi d}$
Solution
(D) સીધા વાહક તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ભૂમિતિ માટે,બિંદુ $P$ એ વાંકથી ખૂણાના દ્વિભાજક પર $d$ અંતરે છે. દરેક વાયર સેગમેન્ટથી $P$ નું લંબ અંતર $r = d \sin(60^{\circ}) = \frac{d \sqrt{3}}{2}$ છે.
બિંદુ $P$ પર વાયરના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણા $\theta_{1} = 90^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 30^{\circ}$ છે.
બે સમાન સેગમેન્ટ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} + \sin 30^{\circ})$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (d \sqrt{3} / 2)} \times (1 + 1/2)$
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$
$B_{\text{net}} = \frac{3 \mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \mu_{0} I}{2 \pi d}$.
આપેલ ભૂમિતિ માટે,બિંદુ $P$ એ વાંકથી ખૂણાના દ્વિભાજક પર $d$ અંતરે છે. દરેક વાયર સેગમેન્ટથી $P$ નું લંબ અંતર $r = d \sin(60^{\circ}) = \frac{d \sqrt{3}}{2}$ છે.
બિંદુ $P$ પર વાયરના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણા $\theta_{1} = 90^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 30^{\circ}$ છે.
બે સમાન સેગમેન્ટ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} + \sin 30^{\circ})$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (d \sqrt{3} / 2)} \times (1 + 1/2)$
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$
$B_{\text{net}} = \frac{3 \mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \mu_{0} I}{2 \pi d}$.
0 likesView Solution
42
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
$0.05 \ nm$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલો એક ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ $10^{16}$ પરિભ્રમણ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોનના આ પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય મોમેન્ટ ($A \ m^{2}$ માં) કેટલી હશે?
A
$2.16 \times 10^{-23}$
B
$3.21 \times 10^{-22}$
C
$3.21 \times 10^{-24}$
D
$1.26 \times 10^{-23}$
Solution
(D) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.05 \ nm = 0.05 \times 10^{-9} \ m$
આવૃત્તિ $f = 10^{16} \ Hz$ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ)
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $I = e \times f$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$M = (e \times f) \times (\pi r^{2})$
$M = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^{16} \ s^{-1}) \times (3.14) \times (0.05 \times 10^{-9} \ m)^{2}$
$M = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{16} \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-18}$
$M = 1.6 \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-21} \ m^{2} \cdot C/s$
$M = 0.01256 \times 10^{-21} \ A \ m^{2}$
$M = 1.26 \times 10^{-23} \ A \ m^{2}$
ત્રિજ્યા $r = 0.05 \ nm = 0.05 \times 10^{-9} \ m$
આવૃત્તિ $f = 10^{16} \ Hz$ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ)
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $I = e \times f$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$M = (e \times f) \times (\pi r^{2})$
$M = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^{16} \ s^{-1}) \times (3.14) \times (0.05 \times 10^{-9} \ m)^{2}$
$M = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{16} \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-18}$
$M = 1.6 \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-21} \ m^{2} \cdot C/s$
$M = 0.01256 \times 10^{-21} \ A \ m^{2}$
$M = 1.26 \times 10^{-23} \ A \ m^{2}$
0 likesView Solution
43
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
$m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો પ્રોટોન $E$ ગતિઊર્જા સાથે એક સમતલમાં ગતિ કરે છે. જો ગતિના સમતલને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અસ્તિત્વમાં હોય,તો પ્રોટોન કેટલી ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરશે?
A
$\frac{2 E m}{q B}$
B
$\frac{\sqrt{2 E m}}{q B}$
C
$\frac{\sqrt{E m}}{2 q B}$
D
$\sqrt{\frac{2 E q}{m B}}$
Solution
(B) આપેલ છે: ગતિઊર્જા $= E$,દળ $= m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $= B$,વિદ્યુતભાર $= q$.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = qvB$ અને $F_c = \frac{mv^2}{r}$.
આ બંનેને સરખાવતા,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,જેનું સાદું રૂપ $r = \frac{mv}{qB}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
$v$ ની કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{2E}}{\sqrt{m} \cdot qB} = \frac{\sqrt{2Em}}{qB}$.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = qvB$ અને $F_c = \frac{mv^2}{r}$.
આ બંનેને સરખાવતા,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,જેનું સાદું રૂપ $r = \frac{mv}{qB}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
$v$ ની કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{2E}}{\sqrt{m} \cdot qB} = \frac{\sqrt{2Em}}{qB}$.
0 likesView Solution
44
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનનો પ્રવાહ એક સ્ક્રીન પરના સાંકડા સ્લિટ તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ). વચ્ચેના વિસ્તારમાં એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ (શિરોલંબ નીચેની તરફ) અને એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ (આકૃતિના સમતલની બહાર) દર્શાવ્યા મુજબ છે. તો:
A
$\frac{|E|}{|B|}$ ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન સ્લિટમાંથી પસાર થશે
B
$|E| /|B|$ ઝડપ ધરાવતા પ્રોટોન સ્લિટમાંથી પસાર થશે,સમાન ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન નહીં
C
ઇલેક્ટ્રોન કે પ્રોટોન તેમની ઝડપને ધ્યાનમાં લીધા વિના સ્લિટમાંથી પસાર થશે નહીં
D
ઇલેક્ટ્રોન તેમની ઝડપને ધ્યાનમાં લીધા વિના હંમેશા ઉપરની તરફ વિચલિત થશે
Solution
(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ધરાવતા વિસ્તારમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,લોરેન્ઝ બળ $F = q(E + v \times B)$ છે.
કણ વિચલિત થયા વિના પસાર થાય તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $qE = -q(v \times B)$.
પ્રોટોન $(q > 0)$ માટે: વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ નીચેની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B)$ ઉપરની તરફ છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$v$ જમણી તરફ છે,$B$ બહારની તરફ છે,તેથી $v \times B$ ઉપરની તરફ છે). વિચલન ન થાય તે માટે,$qE = qvB$,જે $v = E/B$ આપે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $(q < 0)$ માટે: વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ ઉપરની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B)$ નીચેની તરફ છે (કારણ કે $q$ ઋણ છે,$F_B$ ની દિશા ઉલટાય છે). વિચલન ન થાય તે માટે,$|q|E = |q|vB$,જે પણ $v = E/B$ આપે છે.
તેથી,$v = E/B$ ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સ્લિટમાંથી પસાર થશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
કણ વિચલિત થયા વિના પસાર થાય તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $qE = -q(v \times B)$.
પ્રોટોન $(q > 0)$ માટે: વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ નીચેની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B)$ ઉપરની તરફ છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$v$ જમણી તરફ છે,$B$ બહારની તરફ છે,તેથી $v \times B$ ઉપરની તરફ છે). વિચલન ન થાય તે માટે,$qE = qvB$,જે $v = E/B$ આપે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $(q < 0)$ માટે: વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ ઉપરની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B)$ નીચેની તરફ છે (કારણ કે $q$ ઋણ છે,$F_B$ ની દિશા ઉલટાય છે). વિચલન ન થાય તે માટે,$|q|E = |q|vB$,જે પણ $v = E/B$ આપે છે.
તેથી,$v = E/B$ ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સ્લિટમાંથી પસાર થશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
0 likesView Solution
45
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
એક ગજિયા ચુંબકની મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}$ છે. ચુંબકની ચુંબકીય લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $12 \text{ cm}$ અને $1 \text{ cm}^{2}$ છે. આ ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય ($SI$ એકમમાં) કેટલું હશે?
A
$0.6$
B
$1.3$
C
$1.24$
D
$2.4$
Solution
(A) મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $I$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $I = M/V$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times V$ દ્વારા મળે છે.
ગજિયા ચુંબકનું કદ $V$ એ તેની ચુંબકીય લંબાઈ $l$ અને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણાકાર છે.
આપેલ છે:
$I = 5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}$
$l = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
$A = 1 \text{ cm}^{2} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}$
કદ $V = l \times A = 0.12 \times 10^{-4} \text{ m}^{3} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3}$.
હવે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ની ગણતરી કરતા:
$M = (5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}) \times (1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3})$
$M = 6.0 \times 10^{-1} \text{ A m}^{2} = 0.6 \text{ A m}^{2}$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times V$ દ્વારા મળે છે.
ગજિયા ચુંબકનું કદ $V$ એ તેની ચુંબકીય લંબાઈ $l$ અને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણાકાર છે.
આપેલ છે:
$I = 5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}$
$l = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
$A = 1 \text{ cm}^{2} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}$
કદ $V = l \times A = 0.12 \times 10^{-4} \text{ m}^{3} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3}$.
હવે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ની ગણતરી કરતા:
$M = (5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}) \times (1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3})$
$M = 6.0 \times 10^{-1} \text{ A m}^{2} = 0.6 \text{ A m}^{2}$.
0 likesView Solution
46
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ માટે જે $\alpha$ અથવા $\beta$ ક્ષય અનુભવે છે,નીચેનામાંથી શું શક્ય નથી?
A
મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોબાર ઉત્પન્ન થાય છે
B
મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન થાય છે
C
મૂળ ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું ન્યુક્લિયસ ઉત્પન્ન થાય છે
D
મૂળ ન્યુક્લિયસ કરતા ઓછો પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું ન્યુક્લિયસ ઉત્પન્ન થાય છે
Solution
(B) $\alpha$ ક્ષયમાં,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે. $\beta^-$ ક્ષયમાં,$Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે અને $A$ અચળ રહે છે. $\beta^+$ ક્ષયમાં,$Z$ માં $1$ નો ઘટાડો થાય છે અને $A$ અચળ રહે છે.
આઇસોટોપ સમાન પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવે છે પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવે છે. કારણ કે $\alpha$ ક્ષય $Z$ ને બદલે છે અને $\beta$ ક્ષય પણ $Z$ ને બદલે છે,તેથી આ બંને પ્રક્રિયાઓમાંથી કોઈ પણ મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન કરી શકતી નથી. આમ,સાચો જવાબ એ છે કે મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન થઈ શકતો નથી.
આઇસોટોપ સમાન પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવે છે પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવે છે. કારણ કે $\alpha$ ક્ષય $Z$ ને બદલે છે અને $\beta$ ક્ષય પણ $Z$ ને બદલે છે,તેથી આ બંને પ્રક્રિયાઓમાંથી કોઈ પણ મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન કરી શકતી નથી. આમ,સાચો જવાબ એ છે કે મૂળ ન્યુક્લિયસનો આઇસોટોપ ઉત્પન્ન થઈ શકતો નથી.
0 likesView Solution
47
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક વસ્તુને $10 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સથી $30 \ cm$ દૂર મૂકવામાં આવે છે અને પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચાય છે. હવે,બહિર્ગોળ લેન્સના સંપર્કમાં એક અંતર્ગોળ લેન્સ મૂકવામાં આવે છે. ફરીથી સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે પડદાને $45 \ cm$ ખસેડવો પડે છે. અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય ($cm$ માં) કેટલું હશે?
A
$72$
B
$60$
C
$36$
D
$20$
Solution
(D) પ્રથમ સ્થિતિ માટે,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ છે કે $f_1 = 10 \ cm$ અને $u = -30 \ cm$.
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$v = 15 \ cm$.
બીજી સ્થિતિ માટે,જ્યારે અંતર્ગોળ લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = v + 45 \ cm = 15 + 45 = 60 \ cm$ થાય છે.
વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$ સમાન રહે છે.
ધારો કે $F$ એ સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ છે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$F = 20 \ cm$.
સંયોજનના સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{10} + \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{f_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1-2}{20} = -\frac{1}{20}$.
આમ,$f_2 = -20 \ cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $20 \ cm$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 10 \ cm$ અને $u = -30 \ cm$.
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$v = 15 \ cm$.
બીજી સ્થિતિ માટે,જ્યારે અંતર્ગોળ લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = v + 45 \ cm = 15 + 45 = 60 \ cm$ થાય છે.
વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$ સમાન રહે છે.
ધારો કે $F$ એ સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ છે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$F = 20 \ cm$.
સંયોજનના સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{10} + \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{f_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1-2}{20} = -\frac{1}{20}$.
આમ,$f_2 = -20 \ cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $20 \ cm$ છે.
0 likesView Solution
48
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક પ્રકાશિત વસ્તુને પડદાથી $d$ અંતરે રાખવામાં આવી છે. વસ્તુ અને પડદાની વચ્ચે એક બહિર્ગોળ લેન્સ એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચાય. આ બહિર્ગોળ લેન્સની મહત્તમ શક્ય કેન્દ્રલંબાઈ કેટલી હશે?
A
$4 d$
B
$2 d$
C
$\frac{d}{2}$
D
$\frac{d}{4}$
Solution
(D) જ્યારે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $d$ નિશ્ચિત હોય,ત્યારે બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટેની શરત સ્થાનાંતરની રીત (displacement method) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે. તેથી $u + v = d$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
$u = -(d - v)$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} + \frac{1}{d - v} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા દ્વિઘાત સમીકરણ $v^2 - dv + df = 0$ મળે છે.
$v$ ના વાસ્તવિક ઉકેલ માટે,વિવેચક (discriminant) શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ: $D = d^2 - 4df \geq 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $d^2 \geq 4df$,અથવા $f \leq \frac{d}{4}$.
આમ,બહિર્ગોળ લેન્સની મહત્તમ શક્ય કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{d}{4}$ છે.
ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે. તેથી $u + v = d$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
$u = -(d - v)$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} + \frac{1}{d - v} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા દ્વિઘાત સમીકરણ $v^2 - dv + df = 0$ મળે છે.
$v$ ના વાસ્તવિક ઉકેલ માટે,વિવેચક (discriminant) શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ: $D = d^2 - 4df \geq 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $d^2 \geq 4df$,અથવા $f \leq \frac{d}{4}$.
આમ,બહિર્ગોળ લેન્સની મહત્તમ શક્ય કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{d}{4}$ છે.
0 likesView Solution
49
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2014
સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા રચાતું મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ કેવું હોય છે?
A
વાસ્તવિક,ઉલટું અને વિવર્ધિત
B
વાસ્તવિક,ચત્તું અને વિવર્ધિત
C
આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત
D
આભાસી,ઉલટું અને વિવર્ધિત
Solution
(A) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વસ્તુનું મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ રચે છે.
જ્યારે વસ્તુને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્રની સહેજ બહાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સ વાસ્તવિક,ઉલટું અને વિવર્ધિત પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
આ પ્રતિબિંબ ત્યારબાદ આઈપીસ (eyepiece) માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે તેને વધુ વિવર્ધિત કરીને અંતિમ આભાસી પ્રતિબિંબ આપે છે.
જ્યારે વસ્તુને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્રની સહેજ બહાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સ વાસ્તવિક,ઉલટું અને વિવર્ધિત પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
આ પ્રતિબિંબ ત્યારબાદ આઈપીસ (eyepiece) માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે તેને વધુ વિવર્ધિત કરીને અંતિમ આભાસી પ્રતિબિંબ આપે છે.
0 likesView Solution
50
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
એક કાચના સ્લેબમાં ક્રમશઃ ઘટતા વક્રીભવનાંક $(RI)$ ધરાવતા પાતળા સમાન સ્તરો છે,જેથી કોઈપણ સ્તરનો $RI$ $\mu - m \Delta \mu$ છે. અહીં,$\mu$ અને $\Delta \mu$ અનુક્રમે $0$ માં સ્તરનો $RI$ અને કોઈપણ બે ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેના $RI$ નો તફાવત દર્શાવે છે. પૂર્ણાંક $m = 0, 1, 2, 3, \ldots$ એ ક્રમિક સ્તરોની સંખ્યા દર્શાવે છે. $0$ માં સ્તરથી પ્રકાશનું કિરણ $30^{\circ}$ ના આપાતકોણે $1$ લા સ્તરમાં પ્રવેશે છે. $m$ માં વક્રીભવન પછી,કિરણ આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર બહાર આવે છે. જો $\mu = 1.5$ અને $\Delta \mu = 0.015$ હોય,તો $m$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$20$
B
$30$
C
$40$
D
$50$
Solution
(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,સમાંતર સ્તરોની શ્રેણી માટે,વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈનનો ગુણાકાર દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર અચળ રહે છે.
ધારો કે $\mu_0$ એ $0$ માં સ્તરનો વક્રીભવનાંક છે અને $i_0$ એ પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પરનો આપાતકોણ છે.
$\mu_0 \sin i_0 = \mu_m \sin r_m$
આપેલ છે:
$\mu_0 = \mu = 1.5$
$i_0 = 30^{\circ}$
$\mu_m = \mu - m \Delta \mu = 1.5 - m(0.015)$
કારણ કે $m$ માં વક્રીભવન પછી કિરણ આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર બહાર આવે છે,તેથી વક્રીભવન કોણ $r_m = 90^{\circ}$ થશે.
મૂલ્યો મૂકતા:
$1.5 \sin 30^{\circ} = (1.5 - m \times 0.015) \sin 90^{\circ}$
$1.5 \times 0.5 = (1.5 - 0.015m) \times 1$
$0.75 = 1.5 - 0.015m$
$0.015m = 1.5 - 0.75$
$0.015m = 0.75$
$m = \frac{0.75}{0.015} = \frac{750}{15} = 50$
આમ,$m$ નું મૂલ્ય $50$ છે.
ધારો કે $\mu_0$ એ $0$ માં સ્તરનો વક્રીભવનાંક છે અને $i_0$ એ પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પરનો આપાતકોણ છે.
$\mu_0 \sin i_0 = \mu_m \sin r_m$
આપેલ છે:
$\mu_0 = \mu = 1.5$
$i_0 = 30^{\circ}$
$\mu_m = \mu - m \Delta \mu = 1.5 - m(0.015)$
કારણ કે $m$ માં વક્રીભવન પછી કિરણ આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર બહાર આવે છે,તેથી વક્રીભવન કોણ $r_m = 90^{\circ}$ થશે.
મૂલ્યો મૂકતા:
$1.5 \sin 30^{\circ} = (1.5 - m \times 0.015) \sin 90^{\circ}$
$1.5 \times 0.5 = (1.5 - 0.015m) \times 1$
$0.75 = 1.5 - 0.015m$
$0.015m = 1.5 - 0.75$
$0.015m = 0.75$
$m = \frac{0.75}{0.015} = \frac{750}{15} = 50$
આમ,$m$ નું મૂલ્ય $50$ છે.
0 likesView Solution
51
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
આપેલ પરિપથમાં,ડાયોડને આદર્શ ગણો. જ્યારે $V_{i}$,$2 \ V$ થી વધીને $6 \ V$ થાય છે,ત્યારે પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર ($mA$ માં) કેટલો હશે?
A
શૂન્ય
B
$20$
C
$80 / 3$
D
$40$
Solution
(B) આદર્શ ડાયોડ માટે,તે ત્યારે વહન કરે છે જ્યારે એનોડ પરનું સ્થિતિમાન કેથોડ પરના સ્થિતિમાન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોય. અહીં,કેથોડ $3 \ V$ ના અચળ સ્થિતિમાન પર છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $V_{i} = 2 \ V$ હોય,ત્યારે એનોડ પરનું સ્થિતિમાન $(2 \ V)$ એ કેથોડ પરના સ્થિતિમાન $(3 \ V)$ કરતા ઓછું છે. તેથી,ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે અને ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે. તેથી,પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_{initial} = 0 \ A$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $V_{i} = 6 \ V$ હોય,ત્યારે એનોડ પરનું સ્થિતિમાન $(6 \ V)$ એ કેથોડ પરના સ્થિતિમાન $(3 \ V)$ કરતા વધારે છે. તેથી,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને શોર્ટ સર્કિટ (આદર્શ) તરીકે વર્તે છે. અંતિમ પ્રવાહ $I_{final}$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I_{final} = \frac{V_{i} - V_{cathode}}{R} = \frac{6 \ V - 3 \ V}{150 \ \Omega} = \frac{3 \ V}{150 \ \Omega} = 0.02 \ A = 20 \ mA$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta I = I_{final} - I_{initial} = 20 \ mA - 0 \ mA = 20 \ mA$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $V_{i} = 2 \ V$ હોય,ત્યારે એનોડ પરનું સ્થિતિમાન $(2 \ V)$ એ કેથોડ પરના સ્થિતિમાન $(3 \ V)$ કરતા ઓછું છે. તેથી,ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે અને ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે. તેથી,પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_{initial} = 0 \ A$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $V_{i} = 6 \ V$ હોય,ત્યારે એનોડ પરનું સ્થિતિમાન $(6 \ V)$ એ કેથોડ પરના સ્થિતિમાન $(3 \ V)$ કરતા વધારે છે. તેથી,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને શોર્ટ સર્કિટ (આદર્શ) તરીકે વર્તે છે. અંતિમ પ્રવાહ $I_{final}$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I_{final} = \frac{V_{i} - V_{cathode}}{R} = \frac{6 \ V - 3 \ V}{150 \ \Omega} = \frac{3 \ V}{150 \ \Omega} = 0.02 \ A = 20 \ mA$.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta I = I_{final} - I_{initial} = 20 \ mA - 0 \ mA = 20 \ mA$ છે.
0 likesView Solution
52
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
જો કોઈ પદાર્થમાં વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચેનો બેન્ડગેપ $5.0 \ eV$ હોય,તો તે પદાર્થ છે
A
અર્ધવાહક
B
સારો વાહક
C
સુપરકન્ડક્ટર
D
અવાહક
Solution
(D) એનર્જી બેન્ડ થિયરીના આધારે પદાર્થોનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:
$1$. વાહકો: વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,અથવા ઉર્જા ગેપ નહિવત હોય છે.
$2$. અર્ધવાહકો: એનર્જી બેન્ડ ગેપ નાનો હોય છે,સામાન્ય રીતે $1 \ eV$ ની આસપાસ (દા.ત.,$Si \approx 1.1 \ eV$,$Ge \approx 0.7 \ eV$).
$3$. અવાહકો: એનર્જી બેન્ડ ગેપ ખૂબ મોટો હોય છે,સામાન્ય રીતે $3 \ eV$ કરતા વધારે.
અહીં આપેલો બેન્ડગેપ $5.0 \ eV$ છે,જે $3 \ eV$ કરતા ઘણો વધારે હોવાથી,આ પદાર્થ અવાહક તરીકે વર્ગીકૃત થાય છે.
$1$. વાહકો: વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,અથવા ઉર્જા ગેપ નહિવત હોય છે.
$2$. અર્ધવાહકો: એનર્જી બેન્ડ ગેપ નાનો હોય છે,સામાન્ય રીતે $1 \ eV$ ની આસપાસ (દા.ત.,$Si \approx 1.1 \ eV$,$Ge \approx 0.7 \ eV$).
$3$. અવાહકો: એનર્જી બેન્ડ ગેપ ખૂબ મોટો હોય છે,સામાન્ય રીતે $3 \ eV$ કરતા વધારે.
અહીં આપેલો બેન્ડગેપ $5.0 \ eV$ છે,જે $3 \ eV$ કરતા ઘણો વધારે હોવાથી,આ પદાર્થ અવાહક તરીકે વર્ગીકૃત થાય છે.
0 likesView Solution
53
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2014
કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં સામાન્ય રીતે વપરાતા ટ્રાન્ઝિસ્ટરના આઉટપુટ લાક્ષણિકતાઓમાં,એક્ટિવ રિજનમાં બેઝ કરંટ $I_{B}$,કલેક્ટર કરંટ $I_{C}$ અને કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ ના મૂલ્યો નીચેનામાંથી કયા ક્રમમાં હોય છે?
A
$I_{B}$ અને $I_{C}$ બંને $\mu A$ માં અને $V_{CE}$ વોલ્ટમાં
B
$I_{B}$ એ $\mu A$ માં,$I_{C}$ એ $mA$ માં અને $V_{CE}$ વોલ્ટમાં
C
$I_{B}$ એ $mA$ માં,$I_{C}$ એ $\mu A$ માં અને $V_{CE}$ $mV$ માં
D
$I_{B}$ એ $mA$ માં,$I_{C}$ એ $mA$ માં અને $V_{CE}$ $mV$ માં
Solution
(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરના કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં,બેઝ કરંટ $I_{B}$ ખૂબ જ નાનો હોય છે અને સામાન્ય રીતે માઇક્રોએમ્પીયર $(\mu A)$ ના ક્રમમાં હોય છે.
કારણ કે કલેક્ટર કરંટ $I_{C} = \beta I_{B}$ છે અને કરંટ ગેઇન $\beta$ સામાન્ય રીતે મોટો (આશરે $100$) હોય છે,તેથી કલેક્ટર કરંટ $I_{C}$ મિલિએમ્પીયર $(mA)$ ના ક્રમમાં હોય છે.
ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એક્ટિવ રિજનમાં રાખવા માટે કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ સામાન્ય રીતે વોલ્ટ $(V)$ ના ક્રમમાં જાળવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $I_{B}$ એ $\mu A$ માં,$I_{C}$ એ $mA$ માં અને $V_{CE}$ વોલ્ટમાં છે.
કારણ કે કલેક્ટર કરંટ $I_{C} = \beta I_{B}$ છે અને કરંટ ગેઇન $\beta$ સામાન્ય રીતે મોટો (આશરે $100$) હોય છે,તેથી કલેક્ટર કરંટ $I_{C}$ મિલિએમ્પીયર $(mA)$ ના ક્રમમાં હોય છે.
ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એક્ટિવ રિજનમાં રાખવા માટે કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ સામાન્ય રીતે વોલ્ટ $(V)$ ના ક્રમમાં જાળવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $I_{B}$ એ $\mu A$ માં,$I_{C}$ એ $mA$ માં અને $V_{CE}$ વોલ્ટમાં છે.
0 likesView Solution
54
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
નીચે આપેલ લોજિક સર્કિટનું આઉટપુટ $Y$ શું છે?
A
$\bar{A}+B$
B
$\bar{A}$
C
$\overline{(\overline A+B)} \cdot \bar{A}$
D
$\overline{(\overline A+B)} \cdot A$
Solution
(B) ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેના પરિણામે $\bar{A}$ મળે છે.
આ $\bar{A}$ ને ઇનપુટ $B$ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $\bar{A} \cdot B$ મળે છે.
આ પરિણામ $(\bar{A} \cdot B)$ અને મૂળ $\bar{A}$ ને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} \cdot B)$
બુલિયન બીજગણિતના એબ્સોર્પ્શન (શોષણ) નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે $X + (X \cdot Y) = X$,આપણે આ સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$Y = \bar{A} \cdot (1 + B)$
કારણ કે $(1 + B) = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$Y = \bar{A} \cdot 1 = \bar{A}$
આ $\bar{A}$ ને ઇનપુટ $B$ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $\bar{A} \cdot B$ મળે છે.
આ પરિણામ $(\bar{A} \cdot B)$ અને મૂળ $\bar{A}$ ને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} \cdot B)$
બુલિયન બીજગણિતના એબ્સોર્પ્શન (શોષણ) નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે $X + (X \cdot Y) = X$,આપણે આ સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$Y = \bar{A} \cdot (1 + B)$
કારણ કે $(1 + B) = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$Y = \bar{A} \cdot 1 = \bar{A}$
0 likesView Solution
55
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2014
$I$ અને $4I$ તીવ્રતા ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ એકવર્ણી કિરણપુંજોનું સંપાતીકરણ થાય છે. પરિણામી ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા કેટલી હશે?
A
$5I$ અને $3I$
B
$9I$ અને $3I$
C
$4I$ અને $I$
D
$9I$ અને $I$
Solution
(D) બે સુસંબદ્ધ તરંગોના સંપાતીકરણ માટે મહત્તમ તીવ્રતા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$
બે સુસંબદ્ધ તરંગોના સંપાતીકરણ માટે ન્યૂનતમ તીવ્રતા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.
$I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$
બે સુસંબદ્ધ તરંગોના સંપાતીકરણ માટે ન્યૂનતમ તીવ્રતા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real WBJEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live WBJEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in WBJEE 2014?
There are 55 Physics questions from the WBJEE 2014 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are WBJEE 2014 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice WBJEE 2014 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full WBJEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from WBJEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix WBJEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick WBJEE 2014 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.