ધારો કે S એ અનંત શ્રેણી 1+frac{8}{2!}+frac{21 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) અંશમાં રહેલી શ્રેણી $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ નું સામાન્ય પદ $T_n$ તફાવતની રીત દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ તફાવતો $7, 13, 19, 25, \ldots$ છે,જે $6

Vedclass · Accepted Answer

$8 < S < 12$

Vedclass · Answer

(C) અંશમાં રહેલી શ્રેણી $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ નું સામાન્ય પદ $T_n$ તફાવતની રીત દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ તફાવતો $7, 13, 19, 25, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે. આમ,$T_n = an^2 + bn + c$. $n=1$ માટે,$T_1 = a+b+c = 1$. $n=2$ માટે,$T_2 = 4a+2b+c = 8$. $n=3$ માટે,$T_3 = 9a+3b+c = 21$. આને ઉકેલતા,આપણને $a=3, b=-2, c=0$ મળે છે. તેથી,$T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$. શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ છે. પ્રથમ પદ $1$ ($n=1$ માટે) હોવાથી,આપણે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ લખી શકીએ. ધારો કે $k = n-1$,તો $n = k+1$. $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$. કારણ કે $2 તેથી,$8 < S < 12$.

ધારો કે $S$ એ અનંત શ્રેણી $1+\frac{8}{2!}+\frac{21}{3!}+\frac{40}{4!}+\frac{65}{5!}+\ldots$ નો સરવાળો દર્શાવે છે. તો

Similar Questions

$\frac{1 \cdot 2}{1!} + \frac{2 \cdot 3}{2!} + \frac{3 \cdot 4}{3!} + \frac{4 \cdot 5}{4!} + \dots \infty = $

શ્રેણી $\frac{2}{3!} + \frac{4}{5!} + \frac{6}{7!} + \dots$ ની કિંમત શું છે?

${e^{e^x}}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^r}$ નો સહગુણક શું છે?

$\frac{e^{7x} + e^x}{e^{3x}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module