જ્યારે $1! + 2! + 3! + \ldots + 11!$ ને $12$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

${}^{47}C_4 + \sum_{j=1}^5 {}^{(52-j)}C_3$ ની કિંમત શોધો.

$3n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $3$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે સમાન ભાગે કેટલી રીતે વહેંચી શકાય?

ધારો કે $n$ એ $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓ એક હારમાં એવી રીતે ઊભા રહેવાની રીતોની સંખ્યા છે કે જેથી બધી છોકરીઓ ક્રમિક રીતે ઊભી રહે. ધારો કે $m$ એ $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓ એક હારમાં એવી રીતે ઊભા રહેવાની રીતોની સંખ્યા છે કે જેથી બરાબર ચાર છોકરીઓ ક્રમિક રીતે ઊભી રહે. તો $\frac{m}{n}$ નું મૂલ્ય શોધો.

${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ ની કિંમત $.......$ છે.

જો અંકો $0, 1, 3, 5,$ અને $7$ નો ઉપયોગ કરીને $5,000$ થી મોટી $4$-અંકી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે બનાવવામાં આવે,તો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય ત્યારે $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા બનવાની સંભાવના કેટલી છે?