વિકલ સમીકરણ y frac{dy}{dx} = x left[ frac{y^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.$y$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\phi\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=c x^{2}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.$y$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x \phi(y^2/x^2)}{y \phi'(y^2/x^2)}$ મળે.ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{x \phi(v^2)}{vx \phi'(v^2)} = v + \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \int \frac{dx}{x}$.ધારો કે $u = v^2$,તેથી $du = 2v dv$,એટલે કે $v dv = \frac{1}{2} du$.સંકલન કરતા: $\frac{1}{2} \int \frac{\phi'(u)}{\phi(u)} du = \ln|x| + C_1$.$\frac{1}{2} \ln|\phi(u)| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln|\phi(v^2)| = 2 \ln|x| + 2C_1 = \ln|x^2| + \ln|c|$.આમ,$\phi(v^2) = c x^2$.$v^2 = y^2/x^2$ મૂકતા,$\phi(y^2/x^2) = c x^2$ મળે.

વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ અચળાંક છે):

Similar Questions

જો $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ એ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ (homogeneous differential equation) હોય,તો $f(x, y)$ નું સામાન્ય સ્વરૂપ શું છે?

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = x^{2} + xy - 2y^{2}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$ અને $y(1) = 0$ શરતનું પાલન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$,$x > \frac{1}{e}$,નો ઉકેલ છે,જે $y(1) = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો $2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)}$ ની કિંમત $....$ છે.

વિકલ સમીકરણ $(x + y)dx + xdy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module