$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

ધારો કે $f(x)$ એ $[0,2]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિકલનીય વિધેય છે,જેથી તમામ $x \in (0,2)$ માટે $f^{\prime}(x) = f^{\prime}(2-x)$,$f(0) = 1$ અને $f(2) = e^{2}$ છે. તો $\int_{0}^{2} f(x) dx$ ની કિંમત ..... છે.

ધારો કે $f(x) = 7 \tan^8 x + 7 \tan^6 x - 3 \tan^4 x - 3 \tan^2 x$ એ દરેક $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે છે. તો સાચું/સાચા પદ/પદો કયા છે?
$(A) \int_0^{\pi/4} x f(x) dx = \frac{1}{12}$
$(B) \int_0^{\pi/4} f(x) dx = 0$
$(C) \int_0^{\pi/4} x f(x) dx = \frac{1}{6}$
$(D) \int_0^{\pi/4} f(x) dx = 1$

$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

$\int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx =$

ધારો કે $g_i: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$,અને $f: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $g_1(x)=1, g_2(x)=|4x-\pi|$ અને $f(x)=\sin^2 x$,દરેક $x \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]$ માટે.
$S_i = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} f(x) \cdot g_i(x) dx, i=1, 2$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
$(1)$ $\frac{16S_1}{\pi}$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $\frac{48S_2}{\pi^2}$ નું મૂલ્ય.