જો x frac{dy}{dx} = y(log y - log x + 1) હોય, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.આ એક સુ

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{y}{x}\right) = cx$,જ્યાં $c$ સંકલનનો અચળાંક છે.

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$.$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન થશે $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$.$\log(u) = \log(x) + \log(c)$,જ્યાં $\log(c)$ સંકલનનો અચળાંક છે.$\log(\log v) = \log(cx)$.બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\log v = cx$.$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

જો $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ હોય,તો આ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શું છે?

Similar Questions

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ માંથી પસાર થતા વક્ર માટે $(x, y)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} \right)$ છે,તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$ નો $x=1, y=1$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

$y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો:

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module