જો y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ sqrt{4-x^2} frac{dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે. $\sqrt{

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે. $\sqrt{4-x^2}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ મળે. આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ અને $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$. ધારો કે $u = \sin^{-1}(x/2)$,તો $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$. તેથી,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$. ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે. $y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$. ધારો કે $t = u^2/2$,તો $dt = u du$. સંકલન $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ થાય. કિંમત મૂકતા,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$. $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ અને $u = \pi/2$ લેતા,$C = 0$ મળે. તેથી,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$. $x=0$ માટે,$y(0) = -2$. તેથી,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $\alpha > 0, \beta > 0$ અને $\gamma > 0$ છે. તો $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ શું થાય?

જો વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$ નો ઉકેલ $xy = e^x \phi(x) + C$ હોય,તો $\phi(x)$ બરાબર શું થાય?

જો $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \log x^2$ અને $y(e) = 0$ હોય,તો $y(e^2) = $

જો $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$,$x > -2$,અને $\phi(0) = 4$ હોય,તો $\phi(2)$ ની કિંમત .... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module