ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2)=1$. જો બધા $x \in R$ માટે $F(x) = x f(x)$ હોય,$\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ અને $\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો $F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx$ ની કિંમત શોધો:

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે,અને $\{x\} = x - [x]$ છે. તો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $M$ શોધો જેના માટે $\int_1^M \{x\}^{[x]} dx > 1$ થાય.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ અને $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. જો $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ હોય,તો $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ની કિંમત શોધો.

યાદી $I$	યાદી $II$
$P.$ $f(0)=0$ અને $\int_0^1 f(x) dx=1$ નું પાલન કરતા,$\leq 2$ ઘાતવાળા અ-ઋણ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદીઓ $f(x)$ ની સંખ્યા છે	$1.$ $8$
$Q.$ અંતરાલ $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ બરાબર છે	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ બરાબર છે	$4.$ $0$

કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$

ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?