ધારો કે f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} એ ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$. બંને બાજુ $f^{\prime}(x)$ વડે ગુણતા,આપણને $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ મળે છે.બ

Vedclass · Accepted Answer

$36$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$. બંને બાજુ $f^{\prime}(x)$ વડે ગુણતા,આપણને $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ મળે છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^2 = \frac{1}{2}(f(x))^2 + C$ મળે છે.શરૂઆતની શરતો $f(0) = 0$ અને $f^{\prime}(0) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2}(3)^2 = \frac{1}{2}(0)^2 + C$,તેથી $C = \frac{9}{2}$ મળે છે.આમ,$(f^{\prime}(x))^2 = (f(x))^2 + 9$. કારણ કે $f^{\prime}(x) \geq 0$,તેથી $f^{\prime}(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 9}$ મળે છે.ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{df}{\sqrt{f^2 + 9}} = \int dx$,જે $\ln|f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9}| = x + C_1$ આપે છે.$f(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln|0 + \sqrt{0 + 9}| = 0 + C_1$,તેથી $C_1 = \ln 3$ મળે છે.તેથી,$f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9} = 3e^x$.ધારો કે $y = f(x)$. તો $\sqrt{y^2 + 9} = 3e^x - y$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 + 9 = 9e^{2x} - 6ye^x + y^2$,જેનું સાદુરૂપ $6ye^x = 9e^{2x} - 9$ થાય છે.તેથી,$f(x) = \frac{9(e^{2x} - 1)}{6e^x} = \frac{3}{2}(e^x - e^{-x}) = 3\sinh(x)$.$x = \ln 3$ માટે,$f(\ln 3) = \frac{3}{2}(3 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3}) = 4$.આમ,$9f(\ln 3) = 9 	imes 4 = 36$.

Similar Questions

વિધેય $xy = e^{(x-y)}$ માટે $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

જો $x^3+y^3=3axy$ હોય,તો $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ બિંદુએ $3ay^{\prime \prime}+40$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે અને $f(1)=4$ છે. તો $\lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$ ની કિંમત શોધો,જો $f^{\prime}(1)=2$ હોય.

જો $\sin x \sqrt{\cos y} - \cos y \sqrt{\sin x} = 0$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = $

જો $y = \sqrt{\sin^{-1} x + y}$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = $ . . . . . . . (જ્યાં,$x \in (0, 1)$)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module