ધારો કે f: R rightarrow R એ ત્રણ વખત વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને પદાવલિ $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ આપેલ છે.નોંધો કે $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x)) = (f^{\

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(C) આપણને પદાવલિ $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ આપેલ છે.નોંધો કે $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x)) = (f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)$.વળી,$\frac{d^2}{dx^2} (f(x) f^{\prime}(x)) = \frac{d}{dx} ((f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)) = 2 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x) = 3 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x)$.આમ,આપેલી પદાવલિ એ $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ નું દ્વિતીય વિકલિત છે,એટલે કે $g(x) = h^{\prime \prime}(x)$.$f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2$ આપેલ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ $f(x)$ ને $(0, 4)$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછા $4$ શૂન્યો છે ($x=0$ પર,અને $(1,2), (2,3), (3,4)$ ની વચ્ચે).ધારો કે $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$. $h(x)$ ના શૂન્યો એ $f(x)$ ના શૂન્યો અને $f^{\prime}(x)$ ના શૂન્યો છે.$f(x)$ ના શૂન્યો $x_1=0$,અને $x_2 \in (1,2)$,$x_3 \in (2,3)$,$x_4 \in (3,4)$ છે. તેથી $f(x)$ ને ઓછામાં ઓછા $4$ શૂન્યો છે.રોલના પ્રમેય મુજબ,$f^{\prime}(x)$ ને $(0, 4)$ માં ઓછામાં ઓછા $3$ શૂન્યો છે ($f(x)$ ના શૂન્યોની વચ્ચે).આમ,$h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ ને $[0, 4]$ માં ઓછામાં ઓછા $4+3=7$ શૂન્યો છે.રોલના પ્રમેય મુજબ,જો $h(x)$ ને $7$ શૂન્યો હોય,તો $h^{\prime}(x)$ ને ઓછામાં ઓછા $6$ શૂન્યો હોય,અને $h^{\prime \prime}(x)$ ને ઓછામાં ઓછા $5$ શૂન્યો હોય.

Similar Questions

વિધેય $f(x) = \sin(2 \pi x)$ માટે અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતા $C$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધેય $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$,$x \in R$ ધ્યાનમાં લો.
વિધાન-$1$: $f'(4) = 0$.
વિધાન-$2$: $f$ એ $[2, 5]$ માં સતત છે,$(2, 5)$ માં વિકલનીય છે અને $f(2) = f(5)$ છે.

જો $f(x) = x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1/2]$ પર $L.M.V.T.$ સત્ય હોય,તો $C$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એ બે વાર સતત વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ થાય. તો:

જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module