ધારો કે P={z in C:|z+2-3 i| leq 1} અને Q={z i | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ગણ $P$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે. ગણ $Q$ એ $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $z=x

Vedclass · Accepted Answer

$35$

Vedclass · Answer

(B) ગણ $P$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે. ગણ $Q$ એ $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $z=x+iy$,તો $(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i) \leq -8$,જેનું સાદું રૂપ $2x-2y \leq -8$,અથવા $x-y \leq -4$,એટલે કે $y \geq x+4$ થાય છે. આપણે અંતર $f(z) = |z-(3-2i)|$ નું મૂલ્ય શોધવું છે,જે $z$ થી બિંદુ $A(3, -2)$ સુધીનું અંતર છે. રેખા $L: x-y+4=0$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. $C(-2, 3)$ થી રેખા $x-y+4=0$ નું અંતર $\frac{|-2-3+4|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} બિંદુ $A(3, -2)$ એ રેખા $x+y-1=0$ પર આવેલું છે. $A$ થી રેખા $x-y+4=0$ નું અંતર $\frac{|3-(-2)+4|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$ છે. મહત્તમ અંતર $A(3, -2)$ થી સૌથી દૂર વર્તુળ પરના બિંદુ $z_1$ પર મળે છે. $A(3, -2)$ અને $C(-2, 3)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3-(-2)}{-2-3} = -1$ છે. રેખા $y-3 = -1(x+2) \Rightarrow x+y-1=0$ છે. $z_1$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જે $C$ થી $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં રેખા $x+y-1=0$ પર $1$ ના અંતરે છે. $C$ થી $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. તેથી $z_1 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$. $|z_1|^2 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-5\sqrt{2}$. $z_2$ એ $P \cap Q$ માં $A(3, -2)$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે. આ રેખા $x-y+4=0$ અને વર્તુળની સીમાનું છેદબિંદુ છે. $x-y+4=0$ અને $(x+2)^2+(y-3)^2=1$ ઉકેલતા $z_2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે. $|z_2|^2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-\sqrt{2}$. $|z_1|^2+2|z_2|^2 = (14-5\sqrt{2}) + 2(14-\sqrt{2}) = 42-7\sqrt{2}$. આમ,$\alpha=42, \beta=-7$,તેથી $\alpha+\beta=35$.

Similar Questions

$|z|^2+|z-3|^2+|z-i|^2$ ની કિંમત ન્યૂનતમ હોય ત્યારે $z$ બરાબર શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module