k ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો,જેના મ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ પરવલયો $2y^2 = kx$ અને $ky^2 = 2(y - x)$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{2y^2}{k}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકો:$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$$k

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ પરવલયો $2y^2 = kx$ અને $ky^2 = 2(y - x)$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{2y^2}{k}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકો:$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$$ky^2 = 2y - \frac{4y^2}{k}$$y^2(k + \frac{4}{k}) = 2y$$y(y(k + \frac{4}{k}) - 2) = 0$તેથી,$y = 0$ અથવા $y = \frac{2}{k + \frac{4}{k}} = \frac{2k}{k^2 + 4}$.ક્ષેત્રફળ $A$ આ મુજબ મળે છે:$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (x_2 - x_1) dy = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} ((y - \frac{ky^2}{2}) - \frac{2y^2}{k}) dy$$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (y - (\frac{k}{2} + \frac{2}{k})y^2) dy$$A = [\frac{y^2}{2} - (\frac{k^2 + 4}{2k}) \frac{y^3}{3}]_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}}$$A = \frac{1}{2}(\frac{2k}{k^2 + 4})^2 - \frac{k^2 + 4}{6k} (\frac{2k}{k^2 + 4})^3 = \frac{1}{6} (\frac{2k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} (\frac{k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} \frac{1}{(k + \frac{4}{k})^2}$.ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થવા માટે,છેદ $(k + \frac{4}{k})^2$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.$AM \geq GM$ મુજબ,$k + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{4}{k}} = 4$ ($k > 0$ માટે) અથવા $k + \frac{4}{k} \leq -4$ ($k $(k + \frac{4}{k})^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $16$ છે,જે $k = \frac{4}{k}$ એટલે કે $k^2 = 4$ હોય ત્યારે મળે છે,તેથી $k = 2$ અથવા $k = -2$.આ મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો $2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$ થાય છે.

Similar Questions

વર્તુળ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ ને $x$-અક્ષની ઉપર સ્પર્શતા સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

પરવલય $y^{2}=4x$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ,જે $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તે શોધો:

વક્ર $y^2=2(x-3)$ પરનું બિંદુ કે જ્યાં અભિલંબ રેખા $y-2x+1=0$ ને સમાંતર હોય તે છે

$x=5t^2+2, y=10t+4$ (જ્યાં $t$ એ પ્રાચલ છે) દ્વારા વર્ણવેલ પરવલયના નાભિના યામ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module