જો $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^{30}$ નો સહગુણક $\alpha$ હોય,તો $|\alpha|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ અને $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ જ્યાં $q$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $q \ne 1$. જો $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

અઋણ પૂર્ણાંકો $s$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{જો } r \leq s \\ 0 & \text{જો } r > s \end{cases}$. ધન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ માટે,ધારો કે $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,જ્યાં કોઈપણ અઋણ પૂર્ણાંક $p$ માટે,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે

જો $(1 + x + x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $a_r$ એ $x^r$ નો સહગુણક હોય,તો $a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n\,a_{2n} = $

ધારો કે $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોની સંખ્યા $K$ છે. જો $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{P} \quad(P \in N)$ નો સહગુણક $\alpha_{P}$ હોય,તો $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$

List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે?