ધારો કે f, g:(0, infty) rightarrow mathbb{R} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.લેબનીઝના નિયમ મુજબ

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.લેબનીઝના નિયમ મુજબ,$f'(x) = 2(x - x^2) e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$.આપેલ છે $g(x) = \int_{0}^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$. ધારો કે $t = u^2$,તો $dt = 2u du$. જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=x^2, u=x$.તેથી,$g(x) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} (2u) du = 2 \int_{0}^{x} u^2 e^{-u^2} du$.લેબનીઝના નિયમ મુજબ,$g'(x) = 2x^2 e^{-x^2}$.હવે,$f'(x) + g'(x) = (2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}) + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) + g(x) = \int 2xe^{-x^2} dx = -e^{-x^2} + C$.$f(0) = 0$ અને $g(0) = 0$ હોવાથી,$f(0) + g(0) = 0$,તેથી $C = 1$.આમ,$f(x) + g(x) = 1 - e^{-x^2}$.$x = \sqrt{\log_{e} 9}$ માટે,$x^2 = \log_{e} 9$.તેથી $f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}) = 1 - e^{-\log_{e} 9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.નોંધ: આપેલા વિકલ્પો $9$ ના ગુણાંકમાં લાગે છે. જો પ્રશ્ન $9(f+g)$ માંગતો હોય,તો જવાબ $8$ છે.

Similar Questions

વિધેય $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ ની કિંમત જ્યાં $f'(x) = 0$ થાય છે તે શોધો:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\sin ^5\left(\frac{\pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{2 \pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{3 \pi}{6 n}\right)+\ldots+\sin ^5\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) dt }{x^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x > 0$ માટે $S(x) = \int_{x^2}^{x^3} \ln t \, dt$ અને $H(x) = \frac{S'(x)}{x}$ છે. તો $H(x)$ એ :

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module