ધારો કે $Q$ અને $R$ એ બિંદુ $P(a, a, a)$ માંથી રેખાઓ $x=y, z=1$ અને $x=-y, z=-1$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદ છે. જો $\angle QPR$ કાટખૂણો હોય,તો $12a^2$ ની કિંમત શોધો.

રેખાઓ $\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-1}{1}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવતી રેખા,સમતલ $P: ax-y-z=0$,$(a>0)$ સાથે $\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{27}}\right)$ નો ખૂણો બનાવે છે. જો બિંદુ $(1,1,-5)$ નું સમતલ $P$ માં પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ હોય,તો $\alpha+\beta-\gamma$ ની કિંમત $........$ છે.

રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3}$ અને સમતલ $2x + 3y + z = 0$ ના છેદબિંદુ શોધો.

ધારો કે એક એકમ સદિશ $\hat{OP}$ એ યામ અક્ષો $OX, OY, OZ$ ની ધન દિશાઓ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે,જ્યાં $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$. જો $\hat{OP}$ એ બિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 4)$ અને $(1, 5, 7)$ માંથી પસાર થતા સમતલને લંબ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ અસમતલીય સદિશો છે. જો રેખા $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c})$ અને સમતલ $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ ના છેદબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ હોય,તો $x y z=$

રેખા $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+\hat{j})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})=8$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.