ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (1-x^2 y^2) dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y dx + x dy$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 e^2-1}{2(3 e^2+1)}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2 y^2) dx = y dx + x dy$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y dx + x dy$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(1-(xy)^2) dx = d(xy)$ મળે છે.પદોને ગોઠવતા,$dx = \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{1-(xy)^2}$.સૂત્ર $\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+xy}{1-xy} \right| + C$ મળે.$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા $1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2}{1-2} \right| + C$,તેથી $1 = \frac{1}{2} \ln 3 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1 - \frac{1}{2} \ln 3$.હવે,$x=2$ અને $y=\alpha$ માટે,$2 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right| + 1 - \frac{1}{2} \ln 3$.$1 + \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$,જેનું સાદું રૂપ $2 + \ln 3 = \ln \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$ થાય છે.બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$3e^2 = \left| \frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} \right|$.કિસ્સો $1$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = 3e^2 \implies 1+2\alpha = 3e^2 - 6e^2\alpha \implies \alpha(2+6e^2) = 3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2-1}{2(3e^2+1)}$.કિસ્સો $2$: $\frac{1+2\alpha}{1-2\alpha} = -3e^2 \implies 1+2\alpha = -3e^2 + 6e^2\alpha \implies \alpha(2-6e^2) = -3e^2-1 \implies \alpha = \frac{3e^2+1}{2(3e^2-1)}$.

Similar Questions

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x-y)(dx+dy)=dx-dy$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x=0$ હોય ત્યારે $y=-1$ છે. (સૂચના: $x-y=t$ લો)

જો $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$ હોય,તો $|f(xy)|$ ની કિંમત શું થાય?

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 - y^2}{1 - x^2}} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module