ઉપવલયો E_{k}: kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1 ધ્યાનમા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.અક્ષો પરના અંતિમ બિંદુઓ $(\pm 1/\

Vedclass · Accepted Answer

$3080$

Vedclass · Answer

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.અક્ષો પરના અંતિમ બિંદુઓ $(\pm 1/\sqrt{k}, 0)$ અને $(0, \pm 1/k)$ છે.પ્રથમ ચરણમાં $(1/\sqrt{k}, 0)$ અને $(0, 1/k)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{1/\sqrt{k}} + \frac{y}{1/k} = 1$ છે,જે $\sqrt{k}x + ky = 1$ માં સરળ બને છે.વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા $r_{k}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર છે:$r_{k} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{(\sqrt{k})^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{k + k^{2}}}$.તેથી,$\frac{1}{r_{k}^{2}} = k + k^{2}$.આપણે $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{20} (k + k^{2}) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} k^{2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.$n=20$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 	imes 21}{2} = 210$.$\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20 	imes 21 	imes 41}{6} = 10 	imes 7 	imes 41 = 2870$.આમ,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = 210 + 2870 = 3080$.

Similar Questions

ઉપવલય $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

$2a$ અને $2b$ મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો ધરાવતા ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કોના જેટલો થાય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module