ધારો કે f : N rightarrow R એક વિધેય છે જેથી પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$.ધારો કે $g(x) = 2f(x)$. તો $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$.અહીં $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$.ધારો કે $g(x) = 2f(x)$. તો $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$.અહીં $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$ હોવાથી,$g(x) = 2^{2x}$ મળે.તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$.હવે,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$.આપણને આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.બંને પદોને સરખાવતા: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$.

Similar Questions

જો $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય હોય જે શરત $f(x) \cdot f(1/x) = f(x) + f(1/x)$ અને $f(2) = 9$ નું પાલન કરે છે,તો:

જો $\phi (x) = a^x$ હોય,તો $\{ \phi (p) \} ^3$ કોના બરાબર થાય?

ધારો કે $f$ એક એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$,જ્યાં $x \neq 0$. તો $f(3) + f(8)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module