ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે. જો $|\operatorname{adj}(24A)| = |\operatorname{adj}(3 \operatorname{adj}(2A))|$ હોય,તો $|A^2|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી $A^2 - 5A + 7I = 0$.
વિધાન-$I$: ${A^{-1}} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
વિધાન-$II$: બહુપદી $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ ને $5(A - 4I)$ માં ઘટાડી શકાય છે.

ધારો કે $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ એ શૂન્યતર $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જ્યાં $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$. ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$\text{trace}(M)$ એ $M$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,નીચેના વિધાનોમાંથી:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ જો trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ તો } R \text{ માં બરાબર એક શૂન્યતર ઘટક છે.}$

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ ક્રમના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે. જો $\det(ABA^T) = 8$ અને $\det(AB^{-1}) = 8$ હોય,તો $\det(BA^{-1}B^T)$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ અને $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(જ્યાં $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 - \omega^2 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?